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\newcounter{questao}
\newcommand{\quest}{\stepcounter{questao}{\bf \arabic{questao}.\ }}

\begin{document}
\hrule
 {  \sf  Lista de exercícios de MAP2321 \hfill \fbox{1-08}}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\thispagestyle{empty}

\quest Calcular $\text{e}^{tA}$ para os seguintes valores de $A$
\begin{gather}
  A =
\begin{pmatrix}
  0 & 1 & 0 & 0 \\
3\omega^2 & 0 & 0 & 2\omega \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & -2\omega & 0 & 0 
\end{pmatrix}
\end{gather}
\begin{gather}
A=\begin{pmatrix}
  0 & 1 \\
-1 & -2\delta
\end{pmatrix}
%\end{gather}
%\begin{gather}
A= \begin{pmatrix}
  2 & 1 & 0\\
-1 & 2 &  0 \\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}
\end{gather}


\quest Se $A$ e $B$ são matrizes quadradas mostre que 
\begin{gather}
  x(t)= \text{e}^{-tA}\text{e}^{(t-t_0)(A+B)}\text{e}^{t_0A}x_0
\end{gather}
é uma solução da equação diferencial linear:
\begin{gather}
  \dot{x}(t)=\text{e}^{-tA}B\text{e}^{tA}x(t)
\end{gather}

\quest Dado que 
\begin{gather}
  y(t) = \sum_{k=1}^n a_k\sin(2\pi kt) + b_k\cos(2\pi kt)
\end{gather}
Encontre matrizes colunas $\mathbf{c}$ e $\mathbf{b}$ e uma matriz
quadrada $A$ tal que
\begin{gather}
  y(t)=\mathbf{c}^\prime \text{e}^{tA} \mathbf{b}
\end{gather}

\quest Calcule a matriz de controlabilidade $Q_T$ quando 
\begin{gather}
  A=
  \begin{pmatrix}
    0 & 1 \\
    -1 & 0 
  \end{pmatrix} \text{ e } B=
  \begin{pmatrix}
    0 \\ 1
  \end{pmatrix}
\end{gather}

\quest Mostre que se o sistema 
\begin{gather}
  \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)
\end{gather}
for controlável então o sistema no espaço de estados
$\mathbb{R}^{n+m}$
\begin{gather}
   \dot{x}(t) = Ax(t) + By(t)\\
    \dot{y}(t) = u(t)
\end{gather}
também é controlável

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
