% EO 12Nov07
 
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\begin{document}

\title{MAP2321 - Técnicas em Teoria do Controle - Lista 5}
\date{\today}

\maketitle


\begin{exercise}
	Calcule a Transformada de Laplace das funções definidas em $t\geq 0$ e $a$, $b$ e $c$ fixos:
	\begin{align*} 
		f(t)&=t^2 e^{-at} & f(t)&=e^{-at}\cos(\omega t) \\
		f(t)&=\begin{cases}
				0 & t<0 \\
				a & 0 \leq t < b \\
				-a & b \leq t \leq c \\
				0 & c<t
			\end{cases}
		&
		f(t)&=\begin{cases}
				0 & t<0 \\
				a & 0 \leq t < b \\
				-a & b \leq t \leq c \\
				f(t-c) & c<t
			\end{cases}
	\end{align*}
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Calcule a Anti-transformada de Laplace das funções:
	\begin{align*} 
		F(s)&=\frac{1}{(s^2 + 3s + 2)} & F(s)&=\frac{2s+3}{s^2 + 3s + 2} \\
		F(s)&=\frac{s^2+2s+3}{(s+1)^3} & F(s)&=\frac{s^3 + 5s^2 + 10s + 7}{s^2 + 3s + 2} \\
		F(s)&=\frac{5s+10}{s^2(s+1)(s+3)} & F(s)&=\frac{3}{s(s^2 + 2s + 5)}
	\end{align*}
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Mostre que se existe a Transformada de Laplace de $f$, então $\set{L}(tf(t))=-\frac{d}{ds}F(s)$. Calcule a Transformada de Laplace de $f(t)=t\sin(\omega t)$
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Resolva os problemas de Cauchy:
	\begin{align*} 
			&\begin{cases}
				\dddot{x}+2\ddot{x}+5\dot{x}-3=0 \\
				x(0)=0 \\
				\dot{x}(0)=0
			\end{cases}
			&&
			\begin{cases}
				\ddot{x}+3\dot{x}+2x=0 \\
				x(0)=0 \\
				\dot{x}(0)=0
			\end{cases}
			&&
			\begin{cases}
				\ddot{x}+3\dot{x}+2x=0 \\
				x(0)=a \\
				\dot{x}(0)=b
			\end{cases}
			\\
			&\begin{cases}
				\ddot{x}-x=t^2 \\
				x(0)=0 \\
				\dot{x}(0)=0
			\end{cases}
			&&
			\begin{cases}
				\ddot{x}+x=0 \\
				x(0)=1 \\
				\dot{x}(0)=1
			\end{cases}
			&&
			\begin{cases}
				\ddot{x}+x=\delta \\
				x(0)=a \\
				\dot{x}(0)=b
			\end{cases}
	\end{align*}
\end{exercise}

\begin{exercise} 
	Demonstre o Teorema fundamental da Álgebra utilizando o Teorema de Rouche.
\end{exercise}

\begin{exercise} 
	Calcule o resíduo em cada um dos polos:
	\begin{align*} 
		f(z)&=\frac{1}{z^2+1} & f(z)&=\frac{2z}{z^3+z^2-2} \\
		f(z)&=\frac{1-\cos(z)}{z^3} & f(z)&=\frac{e^z}{\sin(z)} 
	\end{align*}
\end{exercise}

\begin{exercise} 
	Calcules as integrais:
	\begin{align*} 
		\int_{0}^{2\pi}&\frac{dx}{cos(x)-2} & \int_{-\infty}^{\infty}&\frac{dx}{x^{2}+1}, n\in \N{} \\
		\int_{0}^{\infty}&\frac{x^2}{x^4+x^2+1}dx & \int_{0}^{\infty}&\frac{\cos(x)}{x^2+a^2}dx
	\end{align*}
\end{exercise}
\end{document}