% EO 25Out07
 
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%%% Alguns comandos uteis
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%%% Configuracoes para amstex
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%%% Outras configuracoes
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\begin{document}

\title{MAP2321 - Técnicas em Teoria do Controle - Lista 4}
\date{\today}

\maketitle

\begin{exercise}
	Mostre que $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$ e que $\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Calcule:
	\begin{equation*}
    	\int_{0}^{1+i}\bar{z}dz
	\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Calcule a integral das funções complexas ao longo de $\gamma$, curva simples fechada que percorre a circunferência de raio 1 e centro na origem:
	\begin{align*}
		f(z)&=\frac{\sin(z)}{z} \\
		f(z)&=\frac{z}{z^2} \\
		f(z)&=\frac{\cos(z)}{z^2+4}\\
		f(z)&=\frac{1}{2+z^2}
	\end{align*}
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Calcule
	\begin{equation*}
		\int_{\gamma}\cos(z) dz
	\end{equation*}
	onde
	\begin{equation*}
		\gamma(t)=\begin{cases}
			2t-1 & \mbox{se } 0 \leq t \leq 1 \\
			e^{i\pi(t-1)} & \mbox{se } 1 \leq t \leq 2 
		\end{cases}
	\end{equation*}
	
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Quais os possíveis valores que a integral
	\begin{equation*}
		\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+4} dz
	\end{equation*}
	pode assumir quando $\gamma$ é uma curva simples fechada parametrizada no sentido anti-horário?
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Seja $\gamma$ a parametrização no sentido anti-horário da circunferência de raio $R$ e centro $z_0$. Calcule:
	\begin{equation*}
		\int_{\gamma}\frac{1}{(z-z_0)^p} dz
	\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Dê condições suficientes para que $\int_{\gamma}\ln(z) dz=0$.
\end{exercise}


\end{document}
