%% Cabeçalho e estilo do Oda:
%  PAT 25Set07 EO 30Ago07
 
\documentclass[psamsfonts]{amsart}

\addtolength{\oddsidemargin}{-2cm}
\addtolength{\evensidemargin}{-2cm}
\addtolength{\topmargin}{-2.5cm}
\addtolength{\textheight}{5cm}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\parindent=0pt
%%%
%%% Acentos ok
%%%
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}

%%%
%%% Fontes especiais
%%%
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts}

%%%
%%% Imagens
%%%
\usepackage{graphicx,psfrag,subfigure}

%%%
%%% Alguns comandos uteis
%%%
\DeclareMathOperator{\smt}{smt}
\newcommand{\R}[1]{\mathbb{R}^{#1}}
\newcommand{\N}[1]{\mathbb{N}^{#1}}
\newcommand{\set}[1]{\ensuremath{\mathcal{#1}}}
\newcommand{\innerprod}[2]{\ensuremath{\left\langle {#1} , {#2} \right\rangle}}
\renewcommand{\dim}[1]{\ensuremath{\operatorname{dim} \left( {#1} \right)}}

%%%
%%% Configuracoes para amstex
%%%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercise}{}

%%%
%%% Outras configuracoes
%%%
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi}. }
\pagestyle{plain}

\begin{document}

\title{MAP2321 - Técnicas em Teoria do Controle - Lista 3}
\date{\today}

\maketitle

\begin{exercise}
Verificar se as seguintes matrizes são estáveis:
\[
\begin{pmatrix}
  -2 & 1 & 0\\
   1 & 1 & 2 \\
   0 & 0 & 1 
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
  -1 & 0 & 0\\
   1 & -1 & 1 \\
   -2 & 0 & -1 
\end{pmatrix} e  \begin{pmatrix}
  -1 & 0 & 1\\
   1 & -1 & 1 \\
   -1 & -1 & 2 
\end{pmatrix}
\]
\end{exercise}

\begin{exercise}
Considere as matrizes
\[ A=
\begin{pmatrix}
  2 & 1 & 2 & 1 \\
  0 & 1 & 2 & 2 \\
  0 & 0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 2 & -1 
\end{pmatrix}, B=
\begin{pmatrix}
  1 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} \text{ e } B_1=
\begin{pmatrix}
  0 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
\]
Verifique se os pares $(A,B)$ e $(A,B_1)$ são estabilizáveis e
completamente estabilizáveis.

\end{exercise}

\begin{exercise}
Sejam as matrizes de um sistema de controle linear dadas por:
\[ A=
\begin{pmatrix}
  2 & 1 & 0 \\
 0 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 0
\end{pmatrix}, B=
\begin{pmatrix}
  0 \\ -1 \\ 1
\end{pmatrix} \]
Verifique que o sistema é controlável e ache a equação diferencial
linear
\[ y^{\prime\prime\prime} + a y^{\prime\prime} + b y^\prime + c y
=u(t) \]
que é equivalente ao sistema com as matrizes $A$ e $B$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Mostre que se $A$ é uma matriz quadrada de dimensão $n$ tal que 
$\omega(A)\geq -1$ então existe um vetor unitário $v\in \R{n}$ tal que 
\[ \lim_{t\to \infty} \exp{2t}||\exp(tA)v|| = \infty \]
\end{exercise}

\begin{exercise}
Considere a equação diferencial:

\[\ddot{y}(t) +2\xi\dot{y}(t) + \omega^2y(t) =0\]

Dê condições sobre os parâmetros $\xi$ e $\omega$ para que o sistema
seja assintoticamente estável, estável (não assintoticamente) e instável.
	
\end{exercise}

\end{document}