% EO 30Ago07
 
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%%% Outras configuracoes
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\begin{document}

\title{MAP2321 - Técnicas em Teoria do Controle - Lista 2}
\date{\today}

\maketitle

\begin{exercise}
	Seja $\set{U} = \{ u: \R{+} \rightarrow \R{m} \mbox{, localmente integrável} \}$ e considere um sistema de controle linear invariante no tempo $\dot{x} = Ax + Bu$, onde $x:\R{+} \rightarrow \R{n}$, $u \in \set{U}$, $A \in \set{M}_{n \times n}$ e $B \in \set{M}_{n \times m}$.
	
	Chamamos de conjunto de acessibilidade da origem em tempo $T$ o conjunto $\set{A}(0,T)=\{\int_{0}^{T} e^{A(t-s)}Bu(s)ds : u \in \set{U} \}$. Mostre que se $0 < T_1 < T_2$ então $\set{A}(0,T_1) \subset \set{A}(0,T_2)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Prove ou dê um contra exemplo: se um sistema de controle linear invariante no tempo é controlável então ele é observável?
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Considere, para $a \neq 0$, a matriz:
	\begin{equation*}
    	A=\left[ \begin{array}{ccc}
        	1 & a & 0 \\
        	0 & 1 & a \\
        	0 & 0 & 1
        \end{array} \right]
    \end{equation*}

	Para quais $B \in \left\{ 
	    	\left[ \begin{array}{c}
	        	1 \\
	        	0 \\
	        	0
	        \end{array} \right],
	    	\left[ \begin{array}{c}
	        	0 \\
	        	0 \\
	        	1
	        \end{array} \right],
	    	\left[ \begin{array}{c}
	        	1 \\
	        	0 \\
	        	1
	        \end{array} \right]
	\right\}$ o par $(A,B)$ é controlável?

	Para quais $C \in \left\{ 
	    	\left[ \begin{array}{ccc}
	        	1 & 0 & 0
	        \end{array} \right],
	    	\left[ \begin{array}{ccc}
	        	0 & 1 & 0
	        \end{array} \right]
	\right\}$ o par $(A,C)$ é observável?
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Sejam $A \in \set{M}_{n \times n}$ e $B \in \set{M}_{n \times m}$. Mostre que a imagem de
	\begin{align*}
    	l:\overbrace{\R{m}\times \ldots \times \R{m}}^{n} &\longrightarrow \R{n} \\
    	(u_0,\ldots,u_{n-1}) &\longmapsto \sum_{i=0}^{n-1} A^iBu_i 
    \end{align*}
	é invariante por $A$ e contém a imagem de $B$. Mostre ainda que esse é o menor subespaço de $\R{n}$ com essa propriedade.
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Considere um sistema de controle linear invariante no tempo, $\dot{x}=Ax+Bu$, com:
	\begin{align*}
    	A &=\left[ \begin{array}{ccc}
		    3 & 3 &  -3 \\
		    2 & 0 & -1 \\
		    2 & -3 &  2
        \end{array} \right] 
		&
    	B &=\left[ \begin{array}{c}
        	3 \\
        	2 \\
        	2
        \end{array} \right] 
    \end{align*}

	Verifique que este sistema não é controlável. Coloque-o na forma de Kalman.
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Um balão de massa $m$ flutua numa altura constante e possui 2 jatos de ar independentes que podem impulsioná-lo em direções perpendiculares com força $u_1$ e $u_2$. O ar oferece uma resistência proporcional à velocidade (coeficiente atrito viscoso igual a $b \geq 0$).
	
	Podemos traduzir isso nas equações diferenciais abaixo:
	\begin{center}
    
    \begin{minipage}[htp]{0.3\linewidth}
        \psfrag{x}{$x$}
        \psfrag{y}{$y$}
        \psfrag{z}{$z$}
        \psfrag{u1}{$u_1-b\dot{x}$}
        \psfrag{u2}{$u_2-b\dot{y}$}
        \includegraphics{../img/balao.eps}
    \end{minipage}
	\begin{minipage}[htp]{0.3\linewidth}
		\begin{align*}
      		m\ddot{x} &= u_1-b\dot{x} \\
      		m\ddot{y} &= u_2-b\dot{y}
		\end{align*}
	\end{minipage}
    \end{center}

	Decida se esse sistema é controlável. E se fosse necessário que $u_1=u_2$?
	
	Se instalarmos um velocímetro o sistema será observável? E se instalarmos também um GPS?
	
	Com o auxílio de uma ferramenta como Scilab (www.scilab.org), encontre a matriz de controlabilidade $Q_{10}$ e depois projete um controle que, com o balão parado, mova-o $\sqrt{2}$ metros na diagonal e pare-o novamente em 10 segundos. Poderíamos projetar um controle mais econômico (com relação ao esforço dos propulsores) do que este?
	
\end{exercise}

\end{document}