% EO 09Ago07
 
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%%% Configuracoes para amstex
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%%% Outras configuracoes
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\pagestyle{plain}

\begin{document}

\title{MAP2321 - Técnicas em Teoria do Controle - Lista 0}
\date{\today}

\maketitle

\begin{exercise}
	Mostre que se $A$ e $B$ comutam, i.e., $AB=BA$, então $e^AB=Be^A$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Mostre que se $A$ e $B$ comutam, i.e., $AB=BA$, então $e^{A+B}=e^Ae^B$. (Dica: mostre que $e^Ae^B$ é solução de $\dot{x}=(A+B)x$)
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Mostre que se $e^{A+B}=e^Ae^B$ então $A$ e $B$ comutam, i.e., $AB=BA$. Note que isto é a recíproca do exercício anterior.
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Mostre que se $M$ é invertível então $e^{M^{-1}AM}=M^{-1}e^AM$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Calcule a exponencial de:
	\begin{enumerate}
		\item
			$
				\left[ \begin{array}{cccc}
					\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
					0 &\lambda_2  & \cdots & 0 \\
					\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
					0 & 0 & \cdots & \lambda_n
				\end{array} \right]_{n \times n}
			$
	
		\item
			$
				\left[ \begin{array}{ccccc}
	                   0 & 1 & 0 & \cdots & 0	\\
	                   0 & 0 & 1 & \cdots & 0	\\
	                   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	                   0 & 0 & 0 & \cdots & 1	\\
	                   0 & 0 & 0 & \cdots & 0	
				\end{array} \right]_{n \times n}
			$
	
		\item
			$
				\lambda I_n + \left[ \begin{array}{ccccc}
	                   0 & 1 & 0 & \cdots & 0	\\
	                   0 & 0 & 1 & \cdots & 0	\\
	                   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	                   0 & 0 & 0 & \cdots & 1	\\
	                   0 & 0 & 0 & \cdots & 0	
				\end{array} \right]_{n \times n}
			$
			
			(Dica: múltiplos da identidade comutam com qualquer matriz)
		
		\item
			$
				\left[ \begin{array}{cccc}
					A_1 & 0 & \cdots & 0 \\
					0 & A_2  & \cdots & 0 \\
					\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
					0 & 0 & \cdots & A_n
				\end{array} \right]
			$
	
			onde as $A_i$ são matrizes quadradas.

		\item
			$
				\left[ \begin{array}{cc}
					0 & 1 \\
					-1 & 0
				\end{array} \right]
			$
	
			Dica: encontre a solução da EDO:
				\begin{align*}
	            	\dot{x} &= y \\
	            	\dot{y} &= -x
	            \end{align*}
	\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Resolva a EDO
	\begin{align*}
	    \dot{x} &=Ax \\
	    x(0) &= x_0
    \end{align*}
	onde
	\begin{equation*}
    	A=\left[ \begin{array}{cc}
            	-1 & 2 \\
            	-4 & 5 \\
			\end{array} \right]
    \end{equation*}
	seguindo os passos:
	
	\begin{enumerate}
        \item Encontre os autovalore e respectivos autovetores da matriz A.
        \item Note que $A=E diag(\lambda_1,\lambda_2) E^{-1}$, onde $E$ é a matriz cuja primeira coluna é o autovetor relativo a $\lambda_1$ e a segunda coluna é o autovetor relativo a $\lambda_2$. Conclua que
        \begin{equation*}
        	e^{At}=e^{Ediag(\lambda_1,\lambda_2)E^{-1}t}
        \end{equation*}
        \item Calcule $e^{At}$ e dê a solução da EDO.
    \end{enumerate}	
\end{exercise}

\begin{exercise}
	Seguindo um racicínio análogo ao do exercício anterior, resolva a EDO
	\begin{align*}
	    \dot{x} &=Ax \\
	    x(0) &= x_0
    \end{align*}
	onde
	\begin{equation*}
    	A=\left[ \begin{array}{ccc}
            	-1 & 2 & 0 \\
            	-4 & 5 & 0 \\
            	 0 & 0 & 17
			\end{array} \right]
    \end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}
	A dinâmica de um motor com armadura de corrente contínua é descrita pelas seguintes equações diferenciais:
	\begin{align*}
		e_b &= k_1 \frac{d\theta}{dt} \\
		e_a &= L \frac{di}{dt} + Ri + e_b \\
		k_2 i &= T = J \frac{d^2\theta}{dt^2} + b \frac{d\theta}{dt}
	\end{align*}
	
	Na tabela \ref{t:auv} estão descritas as constantes e variáveis desse modelo.

	\begin{table}[htp]
		\begin{tabular}{|r|l|}
			\hline
			$\theta$ & deslocamento angular do motor \\
			$i$ & corrente da armadura \\
			$T$ & torque desenvolvido pelo motor \\
			$e_a$ & tensão da armadura \\
			$e_b$ & força contra-eletromotriz \\
			$k_1$ & constante positiva de força contra-eletromotriz \\
			$k_2$ & constante positiva de torque do motor \\
			$J$ & inércia do motor e da carga, suposta constante e positiva \\
			$L$ & coeficiente positiva de indutância da armadura \\
			$R$ & coeficiente positiva de resistência da armadura \\
			$b$ & coeficiente positiva de amortecimento viscoso do motor e da carga \\
			\hline
		\end{tabular}
		\caption{Constantes e variáveis do motor DC com armadura}
		\label{t:auv}
	\end{table}

	Fazendo as substituições convenientes de modo a remover $i$ e chamando $\dot{\theta}=\omega$, obtemos:
	\begin{equation}
    	\label{edo}
    	LJ\ddot{\omega} + (Lb+RJ)\dot{\omega} + (Rb+k_1k_2)\omega = k_2e_a
    \end{equation}

	Na modelagem de motores é comum despresar-se a indutância da armadura. Nesse caso a dinâmica fica descrita por uma EDO mais simples:
	\begin{equation}
    	\label{edo simples}
    	\dot{\omega} = \frac{k_2}{RJ}e_a - \frac{Rb+k_1k_2}{RJ}\omega
    \end{equation}
	
	Em laboratório, com técnicas de identificação de sistemas, foram obtidos para um motor de testes os seguintes valores:
	\begin{align}
    	\label{valores}
    	\frac{k_2}{RJ}&=1.3595 &
    	\frac{Rb+k_1k_2}{RJ}&=2.6316
    \end{align}
	
	Com essas informações:
	\begin{enumerate}
        \item Escreva a equação (\ref{edo}) como um sistema de EDO's de ordem 1.
        \item Coloque esse sistema em notação matricial.
        \item Encontre a solução da parte homogênea da EDO (\ref{edo simples}) usando os valores fornecidos em (\ref{valores})
    \end{enumerate}

	Os sistemas acima pertencem a uma família de modelos que em breve será estudada nesta disciplina: sistemas lineares de controle com uma entrada e uma saída (SISO). Mas por hora basta pensar que podemos influenciar o comportamento deles escolhendo convenientemente $e_a$.
	
	Para ilustrar isso suponha a seguinte situação: precisamos manter o eixo parado e, caso um distúrbio externo aplicar um torque ao eixo, voltar a sua velocidade para $0$.
	
	Se fizermos $e_a=C\omega$, para quais valores de C o sistema terá esse comportamento? (Dica: lembre-se que $e^{at} \xrightarrow{t\rightarrow \infty} 0$ quando $a<0$)
	
\end{exercise}

\end{document}