Polinômios

1. Definições e convenções básicas.

Começamos introduzindo algumas convenções, notações e definições básicas que serão usadas durante o resto do texto.

Neste texto, o termo anel significará sempre anel comutativo com unidade. Se A, B são anéis com A ⊂ B então quando dissermos que A é subanel de B estaremos supondo sempre que 1_{A} = 1_{B}, i.e., a unidade multiplicativa de A coincide com a de B (note que exigindo apenas que as duas operações de A, sejas as restrições das operações de B a condição 1_{A} = 1_{B} pode não ser cumprida. Tome por exemplo B como sendo o anel das funções de ℝ em ℝ e A o subanel formado pelas funções que se anulam fora do intervalo [a, b]. Mas observe também que se B é um domínio de integridade então a condição é sempre satisfeita).

Convencionaremos também que um homomorfismo f: A → B entre anéis A, B deve sempre satisfazer f(1_{A}) = 1_{B} (observe novamente que se B é um domínio, estamos apenas excluindo o homomorfismo nulo).

Observe que se A é um subanel de B então B é um A-módulo. Então, dada uma família (X_{λ})_{λ∈L} de elementos de B diremos que ela é linearmente independente sobre A quando for linearmente independente em B visto como A-módulo, i.e., dada uma família (a_{λ})_{λ∈L} de elementos de A, nula exceto por um número finito de índices λ, se ∑_{λ∈L} a_{λ}X_{λ} = 0 então a_{λ} = 0, ∀λ ∈ L.

A partir de agora, para facilitar a terminologia, diremos que uma família de elementos de um anel (ou de um módulo) é quase-nula quando os seus elementos forem todos nulos, exceto por um número finito de índices. Neste caso fica bem definida a soma dos elementos da família (que utilizamos quando escrevemos ∑_{λ∈L} a_{λ}X_{λ}), da maneira óbvia. Consideraremos também famílias de elementos de um anel cujos elementos são todos iguais a 1, exceto por um número finito de índices. Diremos que uma tal família é quase-um e nesse caso definiremos o produto ∏_{λ∈L} a_{λ} dos elementos da família, da maneira óbvia.

Seja A um anel. Se x ∈ A e n ∈ ℕ definiremos x^{n} fazendo x^{0} = 1 e x^{n+1} = x · x^{n} (note então que convencionamos que 0^{0} = 1).

Seja então X = (X_{λ})_{λ∈L} uma família de elementos de A. Se α = (α_{λ})_{λ∈L} é uma família de números naturais quase-nula indexada no mesmo conjunto L que X então escrevemos X^{α} para significar ∏_{λ∈L} X_{λ}^{α_{λ}}. Definimos então a família dos monômios de X como sendo a família mon(X) indexada no conjunto 𝔉_{0}(L; ℕ) das funções (famílias) quasenulas de números naturais definidas em L, tal que mon(X)_{α} = X^{α}, para α ∈ 𝔉_{0}(L; ℕ).

Definimos o grau (ou grau total) de um índice α como sendo ∑_{λ∈L} α_{λ}. Às vezes, como abuso de linguagem, nos referiremos ao grau do elemento X^{α}, ao invés do grau do índice α (mas note que os elementos da família mon(X) não precisam ser distintos. Não estamos supondo nem mesmo que os elementos de X sejam distintos, mas mesmo nesse caso, os elementos de mon(X) não precisam ser distintos. Por exemplo, se A é finito então mon(X) necessariamente contém repetições, já que é sempre uma família infinita).

Se A é um subanel de B e se X = (X_{λ})_{λ∈L} é uma família de elementos de B, dizemos que X é algebricamente independente sobre A se mon(X) for linearmente independente sobre A. Como X é uma subfamília de mon(X) (monômios de grau 1) vemos que se X é algebricamente independente então X também é linearmente independente. Se Y é uma subfamília de X então mon(Y) é uma subfamília de mon(X), donde X algebricamente independente implica Y algebricamente independente. É fácil ver que independência algébrica sobre A implica independência algébrica sobre qualquer subanel de A.

Se X ∈ B é um elemento então dizemos que X é transcendente sobre A quando a família cujo único elemento é X for algebricamente independente sobre A.

Seja S ⊂ A um subconjunto. Denotamos por [S] o subanel gerado por S, i.e., a interseção dos subaneis de A que contem S (este é o menor subanel de A que contém S). Se [S] = A dizemos também que S é um conjunto de geradores para A. Se A é um subanel de B então para S ⊂ B escrevemos A[S] ao invés de [A ∪ S]. Se S = {X_{1}, X_{2}, …, X_{n}} escrevemos também A[X_{1}, X_{2}, …, X_{n}] e se S = { X_{λ} : λ ∈ L } escrevemos A[X_{λ} : λ ∈ L], ou simplesmente A[X].

Em geral, A[S] contém, mas não coincide com o sub A-módulo de B gerado por S. É fácil ver que A[S] é o sub A-módulo gerado por S se e somente se esse A-módulo é um subanel de B. Por exemplo, se S é fechado por multiplicação então S gera A[S] como A-módulo. De fato, nesse caso, o produto de combinações lineares de elementos de S com coeficientes em A é uma combinação linear de elementos de S com coeficientes em A.

Observamos alguns fatos simples para uso futuro. Se f, g: A → B são homomorfismos que coincidem num conjunto de geradores S de A então f = g. De fato, o conjunto dos pontos de A onde f e g coincidem é um subanel de A, o qual contém S, e portanto coincide com A. Podemos dizer também que uma função definida em S a valores em B tem no máximo uma extensão a um homomorfismo de A em B.

Se S gera A então f(S) gera o anel f(A). De fato, f(S) ⊂ f(A) e f^{−1}([f(S)]) é um subanel de A que contém S, logo coincide com A e [f(S)] = f(A). Vemos então que um homomorfismo leva um conjunto de geradores do domínio em um conjunto de geradores da imagem.

2. Anéis de polinômios e extensões de homomorfismos

Seja A um subanel de um anel B. Seja X = (X_{λ})_{λ∈L} uma família de elementos de B. Se X é algebricamente independente sobre A então diremos que A[X] = A[X_{λ} : λ ∈ L] é um anel de polinômios sobre A. Note que a família mon(X) é fechada por multiplicação (já que X^{α}X^{β} = X^{α+β}). Vemos então que mon(X) é uma base de A[X] como A-módulo (e portanto A[X] é um A-módulo livre).

Daí todo elemento de A[X] se escreve de modo único na forma ∑_{α} a_{α}X^{α}, com (a_{α})_{α∈𝔉_{0}(L;ℕ)} uma família quase-nula em A. Os elementos de mon(X) serão chamados monômios (em X) e os elementos de A[X] serão chamados polinômios (em X, sobre A). Podemos agora falar do grau (ou grau total) de um monômio em X sem abuso de linguagem, pois agora mon(X) é uma família de elementos distintos (pois é linearmente independente). Também o grau (em X) de um polinômio não nulo p ∈ A[X] é o maior dos graus dos monômios que aparecem em p com coeficiente não nulo.

Enfatizamos que na definição dada acima de grau é fundamental a família X em relação a qual está se considerando o grau de p, mas não é importante o anel A. Mais precisamente, se A′ é um subanel de A e se p está em A′[X] então o grau de p sobre A′ é o mesmo (pela unicidade dos coeficientes a_{α} de p em A). Mas, por exemplo, se X ∈ B é um elemento transcendente sobre A então o grau de X^{2} em X é 2 enquanto que o grau de X^{2} em X^{2} (que também é um elemento transcendente sobre A, como é fácil ver) é 1.

Passemos agora aos teoremas fundamentais de extensão de homomorfismos. A partir de agora, por simplicidade, deixaremos de dar nome a um anel que contém A[X]. B será simplesmente um outro anel qualquer. Observamos que um homomorfismo f: A → B induz canonicamente em B uma estrutura de A-módulo fazendo a · b = f(a)b, com a ∈ A, b ∈ B (isso generaliza a situação em que A é um submódulo de B, com f = inclusão).

Teorema 1. Sejam A, B anéis e f: A → B um homomorfismo. Se X = (X_{λ})_{λ∈L} é uma família algebricamente independente sobre A e se Y = (Y_{λ})_{λ∈L} é qualquer família de elementos de um anel que contém B então f admite uma única extensão a um homomorfismo f̃: A[X] → B[Y] tal que f̃(X_{λ}) = Y_{λ}, ∀λ ∈ L.

Demonstração. A unicidade decorre do fato que A ∪ { X_{λ} : λ ∈ L } gera A[X]. Para a existência, note que mon(X) é uma base de A[X] como A-módulo e B[Y] é um A-módulo (temos um homomorfismo f: A → B[Y]). Defina f̃ na base mon(X) fazendo f̃(X^{α}) = Y^{α} e extenda f̃ para A[X] por A-linearidade. De f̃(X^{0}) = Y^{0} vem f̃(1) = 1, donde se vê facilmente que f̃ extende f.

Para ver que f̃ é um homomorfismo basta ver que f̃ preserva a multiplicação. Para isso apenas verifique que (a_{1}, a_{2}) ↦ f̃(a_{1}a_{2}) e (a_{1}, a_{2}) ↦ f̃(a_{1})f̃(a_{2}) definem operadores A-bilineares de A[X]×A[X] em B[Y], e ambos coincidem sobre elementos da base mon(X).

Relacionemos agora a injetividade e a sobrejetividade de f com a de f̃. É fácil ver que a imagem de f̃ é f(A)[Y]. Daí se f é sobre B então f̃ é sobre B[Y] (é claro que a recíproca não vale pois, por exemplo, Y pode conter todos os elementos de B). Deste simples comentário segue o

Teorema 2. Seja A um subanel de um anel B. Seja Y = (Y_{λ})_{λ∈L} uma família de elementos de B e seja X = (X_{λ})_{λ∈L} uma família algebricamente independente sobre A. Então o subanel A[Y] de B é a imagem do homomorfismo f̃ que fixa A e leva X_{λ} em Y_{λ}, para cada λ ∈ L.

Demonstração. Apenas aplique o comentário acima para f = Identidade.

Quanto à injetividade de f̃ temos o seguinte teorema.

Teorema 3. Nas condições do teorema 1, f̃ é injetora se e somente se f é injetora e Y é algebricamente independente sobre f(A). Em particular, se f é injetora e Y é algebricamente independente sobre B então f̃ é injetora.

Demonstração. Como f̃ é A-linear e mon(X) é uma A-base então f̃ é injetora se e somente se leva mon(X) em uma família A-linearmente independente em B[Y], i.e., se e somente se mon(Y) é A-linearmente independente em B[Y]. Observe também que quando f é injetora então independência linear em B[Y] como A-módulo equivale à independência linear como f(A)-módulo. Daí decorre facilmente o teorema.

Corolário. Nas condições do teorema, se f: A → B é um isomorfismo e Y é algebricamente independente sobre B então f̃: A[X] → B[Y] é um isomorfismo.

Demonstração. Imediata.

Em particular o teorema 3 nos dá a unicidade do anel de polinômios para um dado conjunto (ou para um dado cardinal) L. Mais precisamente, se A[X] e A[Y] são anéis de polinômios sobre A e se as famílias X e Y têm a mesma cardinalidade então A[X] e A[Y] são isomorfos (por um isomorfismo que fixa A). Basta aplicar o corolário para f = Identidade.

Mostraremos agora a existência dos anéis de polinômios.

Teorema 4. Seja A um anel e L um conjunto. Então existe um anel B contendo A e uma família X de elementos de B indexada em L e algebricamente independente sobre A.

Demonstração. Apenas considere o A-módulo livre gerado pelo conjunto 𝔉_{0}(L; ℕ), i.e., o A-módulo das funções quase-nulas de 𝔉_{0}(L; ℕ) em A. Tome este A-módulo como sendo B.

Precisamos definir a multiplicação de B. Note que temos uma inclusão natural de 𝔉_{0}(L; ℕ) em B, identificando o elemento α ∈ 𝔉_{0}(L; ℕ) com a função que se anula sempre, exceto pelo ponto α onde ela vale 1.

É fácil ver que mediante a identificação acima 𝔉_{0}(L; ℕ) forma uma base do A-módulo B. A multiplicação de B deve ser um operador A-bilinear em B, que podemos definir na base: definimos que o produto de α_{1} por α_{2} é α_{1} + α_{2}. É fácil ver então que com essa multiplicação B se torna um anel (a associatividade e a comutatividade devem ser provadas observando que os operadores multi-lineares envolvidos coincidem na base).

O elemento neutro da multiplicação de B é α = 0. A multiplicação (em B pensado como A-módulo) desse elemento neutro pelos elementos de A nos dá uma cópia de A como subanel de B. Para cada λ ∈ L defina X_{λ} como sendo o elemento de 𝔉_{0}(L; ℕ) que se anula sempre, exceto em λ onde seu valor é 1. É fácil ver que mon(X) é exatamente 𝔉_{0}(L; ℕ) (pois X^{α} = α), que é linearmente independente sobre A, donde X é algebricamente independente sobre A.

Os próximos teoremas nos dão critérios úteis para saber se uma dada família é algebricamente independente sobre um anel A.

Teorema 5. Seja A um anel. Se X = (X_{λ})_{λ∈L} é uma família algebricamente independente sobre A e se Y = (Y_{μ})_{μ∈M} é uma família algebricamente independente sobre A[X] então a união X ∪ Y (significando a família indexada na união disjunta de L e M, cuja restrição a L e a M é X e Y, respectivamente) é algebricamente independente sobre A.

Demonstração. Em primeiro lugar, é fácil ver que A[X][Y] = A[Y][X] = A[X ∪ Y]. Pelo teorema 4 podemos encontrar num anel que extende A uma família Z indexada em L ˙∪M (união disjunta) que é algebricamente independente sobre A.

Seja f: A[X∪Y] → A[Z] o homomorfismo que fixa A, tal que f(X_{λ}) = Z_{λ}, ∀λ ∈ L e tal que f(Y_{μ}) = Z_{μ}, ∀μ ∈ M (para ver que f existe aplique o teorema 1 duas vezes, primeiro para extender a identidade de A para A[X] e depois para extender o homomorfismo obtido para A[X][Y] = A[X ∪ Y]).

Seja g: A[Z] → A[X ∪ Y] o homomorfismo que fixa A, tal que g(Z_{λ}) = X_{λ}, ∀λ ∈ L e tal que g(Z_{μ}) = Y_{μ}, ∀μ ∈ M (g existe pelo teorema 1).

Temos que f e g são mutuamente inversos, pois f ∘g e g∘f coincidem com a identidade num conjunto de geradores. Em particular g é injetora e do teorema 3 decorre o resultado.

Corolário. Se A é um anel e X_{1}, X_{2}, …, X_{n} são elementos de uma extensão de A tais que X_{i} é transcendente sobre A[X_{1}, …, X_{i−1}] para cada i = 1, 2, …, n então a família (X_{1}, …, X_{n}) é algebricamente independente sobre A.

Demonstração. Basta aplicar o teorema n − 1 vezes.

O teorema seguinte é uma recíproca do teorema 5.

Teorema 6. Seja A um anel e X = (X_{λ})_{λ∈L} uma família algebricamente independente sobre A. Se L_{1}, L_{2} ⊂ L são subconjuntos disjuntos de L então X_{|L_{2}} = (X_{λ})_{λ∈L_{2}} é algebricamente independente sobre A[X_{|L_{1}}].

Demonstração. A idéia é muito parecida com a do teorema 5. Considere uma família Y indexada em L_{2} algebricamente independente sobre A[X_{|L_{1}}]. Usando o teorema 1 defina homomorfismos f: A[X_{|L_{1}∪L_{2}}] → A[X_{|L_{1}}][Y] e g: A[X_{|L_{1}}][Y] → A[X_{|L_{1}∪L_{2}}] que fixam A e tais que f(X_{λ}) = X_{λ}, ∀λ ∈ L_{1}, f(X_{λ}) = Y_{λ}, ∀λ ∈ L_{2}, g(X_{λ}) = X_{λ}, ∀λ ∈ L_{1} e g(Y_{λ}) = X_{λ}, ∀λ ∈ L_{2}.

É fácil ver que f e g são mutuamente inversos e do teorema 3 aplicado a g segue o resultado.

Finalmente, mostramos que para decidir se uma família é algebricamente independente, basta se preocupar com suas subfamílias finitas.

Teorema 7. Seja A um anel e X = (X_{λ})_{λ∈L} uma família de elementos de uma extensão de A. Então X é algebricamente independente sobre A se e somente se toda subfamília finita de X é algebricamente independente sobre A.

Demonstração. Para mostrar que mon(X) é linearmente independente basta verificar que qualquer subfamília finita de mon(X) o é. Mas qualquer subfamília finita de mon(X) está contida em mon(X_{|M}) para algum subconjunto finito M ⊂ L. Isto completa a demonstração.

Como corolário dos teoremas 5, 6 e 7 podemos enunciar uma definição alternativa para independência algébrica.

Corolário. Uma família X = (X_{λ})_{λ∈L} é algebricamente independente sobre um anel A se e somente se para cada λ ∈ L, X_{λ} for transcendente sobre A[X_{μ} : μ ∈ L − {λ}].

Demonstração. A parte “se” decorre do teorema 7 e do corolário do teorema 5. A parte “somente se” decorre do teorema 6.

3. Polinômios em um número finito de variáveis.

Em vista do teorema 7, nos concentraremos a partir de agora no caso em que o conjunto L é finito (mesmo que alguns dos resultados considerados se apliquem no caso infinito). Falaremos então de uma seqüência X = (X_{1}, …, X_{n}), ao invés de uma família. Quando dissermos que A[X] é um anel de polinômios em n variáveis sobre A fica subentendido que X = (X_{1}, …, X_{n}) é uma seqüência algebricamente independente sobre A.

Seja A[X] um anel de polinômios em n variáveis sobre A e p ∈ A[X]. Se B é um anel do qual A é subanel e se b_{1}, …, b_{n} são elementos de B definimos a evaluação p(b_{1}, …, b_{n}) de p em (b_{1}, …, b_{n}) da seguinte forma. Consideramos o homomorfismo de A[X] em B que fixa A e leva X_{i} em b_{i} para cada i (vide teorema 1) e aplicamos esse homomorfismo em p.

Observe que podemos tomar B = A[X] e b_{i} = X_{i} e é fácil ver que p(X_{1}, …, X_{n}) = p. É por isso que às vezes se denota um polinômio p por p(X_{1}, …, X_{n}).

A definição acima nos leva a outra definição. Se p ∈ A[X] é um polinômio então associada a p temos uma função p̄: B^{n} → B definida por p̄(b_{1}, …, b_{n}) = p(b_{1}, …, b_{n}). Esta é chamada a função polinomial associada a p. É fácil ver que p ↦ p̄ define um homomorfismo do anel A[X] no anel 𝔉(B^{n}; B) das funções de B^{n} em B. Quando B = A, a imagem desse homomorfismo é chamada o anel de funções polinomiais em A. O núcleo desse homomorfismo será estudado na próxima seção quando A for um domínio.

Interpretando o teorema 2 utilizando a definição de evaluação, vemos que o subanel A[b_{1}, …, b_{n}] de B é { p(b_{1}, …, b_{n}) : p ∈ A[X] }.

Temos o seguinte teorema.

Teorema 8. Seja A um anel e sejam B, C anéis que extendem A. Seja A[X] um anel de polinômios em n variáveis sobre A. Sejam b_{1}, …, b_{n} elementos de B e f: B → C um homomorfismo que fixa A. Então f(p(b_{1}, …, b_{n})) = p(f(b_{1}), …, f(b_{n})).

Demonstração. Seja g: A[X] → B o homomorfismo que fixa A e leva X_{i} em b_{i}. Então f ∘ g é o homomorfismo de A em C que fixa A e leva X_{i} em f(b_{i}). Daí:

f ∘ g(p) = p(f(b_{1}), …, f(b_{n})) = f(p(b_{1}, …, b_{n})).

Isto completa a demonstração.

No caso em que f não fixa A, podemos generalizar o teorema 8. Precisamos apenas considerar a ação de f nos coeficientes do polinômio. Considere um anel de polinômios em n variáveis C[Y] sobre C e defina o homomorfismo h: A[X] → C[Y] que extende f_{|A} e leva X_{i} em Y_{i}. Denotamos o polinômio (em Y sobre C) h(p) por p^{f} (é fácil ver que este polinômio é obtido de p aplicando f nos seus coeficientes e trocando as “variáveis” X_{i} por Y_{i}). Então a fórmula que generaliza o teorema 8 fica:

f(p(b_{1}, …, b_{n})) = p^{f}(f(b_{1}), …, f(b_{n})).

Para demonstrar apenas denote por e: C[Y] → C o homomorfismo que fixa C e leva Y_{i} em f(b_{i}) e verifique que f ∘ g = e ∘ h (compare-os em um conjunto de geradores).

Dentre as aplicações do teorema 8 destacamos o seguinte exemplo. Podemos evaluar um polinômio p ∈ A[X] em polinômios q_{1}, …, q_{n} ∈ A[X], obtendo um polinômio p(q_{1}, …, q_{n}) ∈ A[X]. Podemos agora evaluar o polinômio obtido em n elementos b_{1}, …, b_{n} de um anel B que extende A. O teorema 8 nos dá o seguinte resultado:

p(q_{1}, …, q_{n})(b_{1}, …, b_{n}) = p(q_{1}(b_{1}, …, b_{n}), …, q_{n}(b_{1}, …, b_{n})).

Fórmulas como a mostrada acima serão usadas posteriormente sem menção explícita ao teorema 8.

Se A[X] é um anel de polinômios sobre A em uma variável X (n = 1) então é possível definir uma outra operação binária, além das operações usuais de anel. Podemos definir a composição de polinômios, da seguinte forma. Se p, q ∈ A[X] são polinômios definimos p ∘ q = p(q), i.e., o polinômio p evaluado no elemento q ∈ A[X]. A aplicação do teorema 8 mostrada acima nos diz nesse caso que essa operação é associativa.

Temos agora um teorema sobre polinômios em uma variável, o algorítmo de divisão de Euclides.

Teorema 9. (algorítmo de divisão de Euclides) Seja A um anel e X um elemento transcendente sobre A. Sejam a, b ∈ A[X] polinômios, com b ≠ 0. Se o coeficiente de maior grau de b não é divisor de zero em A então existe no máximo um par (q, r) de polinômios sobre A tais que a = bq + r e grau(r) < grau(b) (ou r = 0). Se o coeficiente de maior grau de b é inversível em A então tal par efetivamente existe.

Demonstração. Para a unicidade, note que a = bq + r e a = bq′ + r′ implicam b(q − q′) = r′ −r. Como o coeficiente de maior grau de b não é divisor de zero em A então se q −q′ ≠ 0 é fácil ver que grau(b(q − q′)) = grau(b) + grau(q − q′). Mas grau(r′ − r) < grau(b) (ou r′ − r = 0), contradição. Daí q − q′ = 0, donde r′ − r = 0, o que completa a demonstração da unicidade.

Supondo agora que o coeficiente de mais alto grau de b (que denotaremos por γ) é inversível em A, mostremos a existência. Observe que se grau(a) < grau(b) (ou a = 0) então acabou. Tome q = 0 e r = a.

Se grau(a) ≥ grau(b), podemos escrever a = bq + r com grau(r) < grau(a) (ou r = 0). Basta escolher q de modo que seu coeficiente de maior grau seja γ^{−1} vezes o coeficiente de maior grau de a, e de modo que grau(q) = grau(a) − grau(b) (e tome r = a − bq).

Se grau(r) ≥ grau(b) podemos reaplicar esse resultado para escrever r = q_{1}b + r_{1} com grau(r_{1}) < grau(r) (ou r_{1} = 0). Daí, a = b(q + q_{1}) + r_{1}. Aplicando o resultado sucessivamente até obter grau(r_{i}) < grau(b) (ou r_{i} = 0), chegamos ao resultado desejado.

Note que a demonstração usada acima fornece um algorítmo para se obter q e r. Este é o algorítmo de divisão de Euclides. Chamaremos ao par (q, r) uma divisão Euclideana de a por b. O teorema seguinte nos diz o que acontece quando mudamos o anel no qual a divisão é feita. O seu corolário é relativamente surpreendente.

Teorema 10. Seja A um subanel de um anel B. Se a, b ∈ A[X] são polinômios onde o coeficiente de maior grau de b é inversível em A então o resultado da divisão Euclideana de a por b é o mesmo em A e em B.

Demonstração. Seja (q, r) o resultado da divisão Euclideana de a por b em A. Em B[X] também é verdade que a = bq + r e grau(r) < grau(b) (ou r = 0). Como o coeficiente de maior grau de b é inversível em A, não pode ser um divisor de zero em B. Pela unicidade da divisão Euclideana em B, vemos que (q, r) é o resultado da divisão Euclideana de a por b em B.

Corolário. Nas condições do teorema 10, se a se escreve como bq com q ∈ B[X] então q ∈ A[X].

Demonstração. De a = bq segue que (q, 0) é o resultado da divisão Euclideana de a por b em B[X]. Logo q ∈ A[X].

4. Polinômios sobre um domínio de integridade.

Seja D um domínio de integridade. Suponha que um anel A contém D como subanel e que todo elemento não nulo de D é inversível em A. Então A contém um corpo de frações F de D, a saber, F = \{ \frac{a}{b} : a, b ∈ D, b ≠ 0 \}. Vamos relacionar a independência algébrica sobre D e sobre F.

Teorema 11. Seja A um anel que contém um domínio D como subanel, de modo que todo elemento não nulo de D é inversível em A. Se F é o corpo de frações de D contido em A então uma família X = (X_{λ})_{λ∈L} em A é linearmente independente sobre D se e somente se for linearmente independente sobre F.

Demonstração. Basta mostrar que independência linear sobre D implica independência linear sobre F. Seja então (f_{λ})_{λ∈L} uma família quase-nula em F com ∑_{λ∈L} f_{λ}X_{λ} = 0. Escreva f_{λ} = a_{λ}/b_{λ}, com a_{λ}, b_{λ} ∈ D e b_{λ} = 1 sempre que f_{λ} = 0 (b_{λ} ≠ 0).

Então (a_{λ})_{λ∈L} é uma família quase-nula em D e (b_{λ})_{λ∈L} é uma família quase-um em D. Podemos escrever então b = ∏_{λ∈L} b_{λ} ∈ D (b ≠ 0). De ∑_{λ∈L} f_{λ}X_{λ} = 0 segue ∑_{λ∈L} f_{λ}bX_{λ} = 0, com f_{λ}b ∈ D. Daí decorre que f_{λ}b = 0 e logo f_{λ} = 0 para cada λ ∈ L.

Corolário. Nas condições do teorema 11, X é algebricamente independente sobre D se e somente se for algebricamente independente sobre F.

Demonstração. Basta ver que independência algébrica de X equivale à independência linear de mon(X).

Seja agora D um domínio e considere o homomorfismo p ↦ p̄ de D[X] em 𝔉(D^{n}; D) explicado na seção anterior, onde D[X] é um anel de polinômios em n variáveis sobre D (p̄ é a função polinomial associada a p).

O objetivo agora é calcular o núcleo desse homomorfismo. Mas antes precisaremos de alguns lemas preliminares.

Lema 1. Se A é um anel e se X é um elemento transcendente sobre A então dado um polinômio p ∈ A[X] se a ∈ A é tal que p(a) = 0 então existe q ∈ A[X] com p = q(X − a).

Demonstração. Basta usar o algorítmo de divisão de Euclides para escrever p = q(X−a)+r com grau(r) = 0 (ou r = 0). Note que 1 é inversível em A. Evaluando os dois lados em a segue que r = 0.

Corolário. Seja D um domínio, X um elemento transcendente sobre D e seja p ∈ D[X] um polinômio. Se a_{1}, a_{2}, …, a_{n} são elementos distintos de D tais que p(a_{i}) = 0 para cada i então existe q ∈ D[X] tal que p = q ∏_{i=1}^{n}(X − a_{i}).

Demonstração. Basta fazer indução em n. Se n = 1, use o Lema. Se o Corolário vale para n − 1 elementos de D então escreva p = q′ ∏_{i=1}^{n−1}(X − a_{i}). Evaluando os dois lados em a_{n} e usando que D é um domínio segue que q′(a_{n}) = 0. Basta então usar o lema para escrever q′ = q(X − a_{n}).

Note que em particular o corolário nos diz que em um domínio D um polinômio p que se anula em n elementos distintos de D deve ser nulo ou ter grau pelo menos n. Temos mais um lema.

Lema 2. (método de interpolação de Lagrange) Seja D um domínio e seja A um anel do qual D é subanel, tal que todo elemento não nulo de D é inversível em A. Sejam X um elemento transcendente sobre A, a_{1}, a_{2}, …, a_{n} elementos distintos de D e b_{1}, b_{2}, …, b_{n} elementos de A. Então existe um polinômio p ∈ A[X] de grau menor do que n (ou p = 0) tal que p(a_{i}) = b_{i} para cada i. Se A for um domínio, tal polinômio é único.

Demonstração. Simplesmente exibimos o polinômio. Considere o polinômio p ∈ A[X] dado por:

p = ∑_{i=1}^{n} b_{i} \frac{(X − a_{1}) ⋯ { \atop (X − a_{i})} ⋯ (X − a_{n})}{(a_{i} − a_{1}) ⋯ { \atop (a_{i} − a_{i})} ⋯ (a_{i} − a_{n})},

onde ˆ significa que aquele fator deve ser excluído. Então é fácil ver que p cumpre as condições desejadas. Se A é um domínio a unicidade de p decorre do comentário feito após o corolário do lema 1.

Observamos que se D é um domínio e se X é transcendente sobre D então D[X] também é um domínio. De fato, é fácil ver que se p, q ∈ D[X] são polinômios não nulos então (pq é não nulo e) grau(pq) = grau(p) + grau(q).

Daí decorre que em geral se (X_{λ})_{λ∈L} é uma família algebricamente independente sobre D então D[X] é um domínio. De fato, no caso em que L é finito, temos D[X_{1}, …, X_{n}] = D[X_{1}] … [X_{n}], onde cada X_{i} é transcendente sobre D[X_{1}, …, X_{i−1}]. No caso geral, basta observar que um número finito de polinômios está sempre contido em D[X_{|M}] para algum subconjunto finito M ⊂ L.

Finalmente, podemos achar o núcleo de p ↦ p̄.

Teorema 12. Seja D um domínio e seja D[X] um anel de polinômios em n variáveis sobre D. Seja σ: D[X] → 𝔉(D^{n}; D) o homomorfismo σ(p) = p̄. Se D é infinito então σ é injetor. Se D é finito com q elementos então Ker σ é o ideal gerado pelos polinômios X_{i}^{q} − X_{i}, i = 1, 2, …, n.

Demonstração. Suponha D infinito e provemos por indução em n que Ker σ = {0}. A base da indução pode ser feita para n = 0, e portanto é trivial. Suponha o teorema válido para polinômios em n − 1 variáveis.

Seja p ∈ D[X] com p̄ = 0. Temos que D[X_{1}, …, X_{n−1}] é um domínio e p é um polinômio em X_{n} sobre esse domínio. Daí, p ou é nulo ou tem um número finito de zeros. Seja a ∈ D. Então p(X_{1}, …, X_{n−1}, a) é um polinômio em n − 1 variáveis sobre D cuja função polinomial é nula, donde pela hipótese de indução é o polinômio nulo. Daí p (pensado como polinômio em X_{n}) tem todos os elementos de D como zeros. Como D é infinito segue que p = 0.

Suponha agora D finito com q elementos. Observamos que nesse caso D é um corpo (dado a ∈ D, a ≠ 0, vemos que a multiplicação por a é uma função injetora de D em D, donde é sobrejetora. Em particular, 1 está na imagem dessa função). Mostremos também por indução em n que Ker σ é o ideal gerado pelos polinômios X_{i}^{q} − X_{i}, i = 1, 2, …, n.

A base da indução pode ser feita para n = 0 e portanto é trivial (Ker σ = {0} nesse caso). Suponha o teorema válido para polinômios em n − 1 variáveis. Seja p ∈ D[X] com p̄ = 0.

Escreva D = {k_{1}, …, k_{q}}. Temos para cada i = 1, 2, …, q que p(X_{1}, …, X_{n−1}, k_{i}) é um polinômio em n − 1 variáveis cuja função polinomial é nula. Pela hipótese de indução podemos escrever:

p(X_{1}, …, X_{n−1}, k_{i}) = ∑_{j=1}^{n−1} p_{j}^{i}(X_{j}^{q} − X_{j}),

onde cada p_{j}^{i} ∈ D[X_{1}, …, X_{n−1}].

Utilize o lema 2 para encontrar para cada j = 1, 2, …, n − 1 um polinômio r_{j} ∈ D[X] tal que r_{j}(X_{1}, …, X_{n−1}, k_{i}) = p_{j}^{i}, para cada j e para cada i. Considere o seguinte polinômio r ∈ D[X]:

r = ∑_{j=1}^{n−1} r_{j}(X_{j}^{q} − X_{j}).

Vemos que r e p (pensados como polinômios em X_{n}) coincidem quando evaluados em qualquer elemento de D. Daí p−r é um polinômio em X_{n} sobre o domínio D[X_{1}, …, X_{n−1}] que se anula sobre os elementos k_{1}, …, k_{q}.

Daí, pelo corolário do lema 1, p − r se escreve como o produto de um elemento de D[X] por ∏_{i=1}^{q}(X_{n} − k_{i}). Se mostrarmos que ∏_{i=1}^{q}(X_{n} − k_{i}) = X_{n}^{q} − X_{n}, o teorema estará provado. Isso será feito no lema abaixo.

Lema 3. Seja D um domínio finito com q elementos. Se D = {k_{1}, …, k_{q}} e se X é um elemento transcendente sobre D então ∏_{i=1}^{q}(X − k_{i}) = X^{q} − X.

Demonstração. Na demonstração do teorema 12 vimos que na realidade D é um corpo. Daí D − {0} é um grupo de ordem q − 1 e logo dado a ∈ D − {0} temos a^{q−1} = 1. Daí a^{q} −a = 0 para todo a ∈ D. Pelo corolário do lema 1, vemos que X^{q} −X = p ∏_{i=1}^{q}(X −k_{i}) para algum p ∈ D[X]. É fácil ver que p = 1, o que completa a demonstração.

5. Polinômios simétricos.

Seja A um anel e seja A[X] um anel de polinômios em n variáveis sobre A. Começamos definindo uma ação do grupo S_{n} de permutações de n elementos no anel A[X].

Seja σ ∈ S_{n}. Defina um homomorfismo σ̃: A[X] → A[X] declarando que σ̃ fixa A e σ̃(X_{i}) = X_{σ(i)} (vide teorema 1). É fácil ver que σ̃ ∘ τ̃ = { \atop σ ∘ τ} e que ẽ é a identidade de A[X] (onde e ∈ S_{n} é o elemento neutro). Temos então uma ação (à esquerda) do grupo S_{n} no anel A[X].

Diremos que um polinômio p ∈ A[X] é simétrico (em X sobre A) se p for fixo pela ação do grupo S_{n}. É fácil ver que o conjunto dos polinômios simétricos é um subanel de A[X] que denotaremos por Sim ou por Sim_{A}(X) quando houver possibilidade de confusão.

Seja Y um elemento transcendente sobre A[X]. Considere o polinômio ∏_{i=1}^{n}(Y − X_{i}). Temos:

∏_{i=1}^{n}(Y − X_{i}) = Y^{n} − s_{1}Y^{n−1} + s_{2}Y^{n−2} − ⋯ + (−1)^{n}s_{n},

onde s_{i} ∈ A[X].

Temos que σ̃ se extende a um homomorfismo de A[X][Y] em si mesmo se declararmos que Y deve ficar fixo. Denotaremos essa extensão também por σ̃. Aplicando σ̃ aos dois lados da igualdade que define os s_{i} vemos que s_{i} ∈ Sym, ∀i.

Os polinômios s_{i} ∈ A[X] serão chamados polinômios simétricos elementares (em X sobre A). A rigor, a definição dos s_{i} dependeu da escolha do elemento transcendente Y sobre A[X]. Mas de acordo com os resultados da seção 2 sobre isomorfismos entre anéis de polinômios está claro que os s_{i} não dependem da escolha de Y. Comentários desse tipo não serão feitos novamente.

Quando A é um domínio o nome “polinômios simétricos elementares” é bem justificado. Isso é o que diz o clássico teorema fundamental dos polinômios simétricos.

Teorema 13. Seja D um domínio e seja D[X] um anel de polinômios em n variáveis sobre D. Se p ∈ D[X] é um polinômio simétrico então existe um polinômio q ∈ D[X] tal que p = q(s_{1}, …, s_{n}), i.e., (pelo teorema 2) Sim = D[s_{1}, …, s_{n}].

Demonstração. Fazemos indução em n. Para n = 1 o teorema é trivial. Suponha o teorema válido para polinômios em n − 1 variáveis. Denote por X′ a seqüência (X_{1}, …, X_{n−1}). Então D[X] = D[X′][X_{n}].

A hipótese de indução nos diz que se p ∈ Sim_{D}(X′) então existe q ∈ D[X′] tal que p = q(s′_{1}, …, s′_{n−1}), onde s′_{i} são os polinômios simétricos elementares em X′. Relacionemos os s′_{i} com os s_{i}. Temos:

\begin{aligned}Y^{n} − s_{1}Y^{n−1} & + s_{2}Y^{n−2} − ⋯ + (−1)^{n}s_{n} = \\ & (Y^{n−1} − s′_{1}Y^{n−2} + s′_{2}Y^{n−3} − ⋯ + (−1)^{n−1}s′_{n−1})(Y − X_{n}). \end{aligned}

Pelo corolário do teorema 10 aplicado aos aneis D[s_{1}, …, s_{n}, X_{n}] e D[X] segue que cada s′_{i} pertence a D[s_{1}, …, s_{n}, X_{n}]. Daí D[s′_{1}, …, s′_{n−1}] (e, pela hipótese de indução, Sim_{D}(X′)) está contido em D[s_{1}, …, s_{n}, X_{n}].

Seja então p ∈ Sim_{D}(X). Mostremos que p ∈ D[s_{1}, …, s_{n}]. Olhando p como polinômio em X_{n} sobre D[X′] vemos que os coeficientes de p pertencem a Sim_{D}(X′) (para isso identifique S_{n−1} com o subgrupo de S_{n} das permutações que fixam o n-ésimo elemento e observe que a ação canônica de S_{n−1} em D[X′] é a restrição da ação de S_{n} em D[X]).

Daí cada coeficiente de p está em D[s_{1}, …, s_{n}, X_{n}] e portanto (como p está sendo visto como polinômio em X_{n}) p está em D[s_{1}, …, s_{n}][X_{n}] também. Daí, pelo teorema 2, existe um polinômio (em Y) a ∈ D[s_{1}, …, s_{n}][Y] tal que a(X_{n}) = p. Tomando b = ∏_{i=1}^{n}(Y −X_{i}) então b ∈ D[s_{1}, …, s_{n}][Y] e b(X_{n}) = 0. Se (q, r) é o resultado da divisão Euclideana de a por b então a = bq + r, donde r(X_{n}) = p e r ∈ D[s_{1}, …, s_{n}][Y] tem grau menor que n (ou r = 0).

Deixando os elementos de S_{n} agir nos dois lados da igualdade r(X_{n}) = p vemos que r(X_{i}) = p para i = 1, 2, …, n (note que os elementos de S_{n} fixam os coeficientes de r, use o teorema 8). Daí o polinômio r −p em Y sobre o domínio D[X_{1}, …, X_{n}] tem X_{1}, …, X_{n} como zeros enquanto que (se r − p ≠ 0) seu grau é menor que n. Pela observação seguinte ao corolário do lema 1 temos r − p = 0, donde r = p e p ∈ D[s_{1}, …, s_{n}].

6. Corpos de funções racionais.

Na seção 1 definimos o subanel [S] gerado por um subconjunto S de um anel A. Aqui consideraremos o subcorpo gerado por um subconjunto S de um corpo F, o qual denotaremos por (S) (a definição é análoga, (S) é a interseção dos subcorpos de F que contém S). Também de modo análogo ao feito com anéis, se E é um subcorpo de F então introduzimos as notações E(S), E(X_{1}, …, X_{n}) e E(X) (quando X é uma família de elementos de F). Os dois resultados sobre homomorfismos mencionados após a definição de [S] na seção 1 tem formulações análogas para (S).

Se F é um subcorpo de um corpo E e se X = (X_{λ})_{λ∈L} é uma família de elementos de E dizemos que E é um corpo de funções racionais sobre F (em X) se X é algebricamente independente sobre F e E = F (X). Os elementos de F (X) serão chamados funções racionais (em X, sobre F).

Observamos que F (X) é um corpo de frações do domínio F [X]. Na realidade isso é verdade mesmo que X não seja algebricamente independente sobre F (recordamos que um corpo F é um corpo de frações de um domínio D se D é subanel de F e se F = (D)). Observe então que toda função racional é da forma p/q, com p, q polinômios e q ≠ 0.

De modo análogo ao feito com os polinômios, de agora em diante não daremos mais nome a um corpo E que contém os elementos da família X. Quando dissermos que X é uma família algebricamente independente sobre F deixamos subentendido que os elementos de X pertencem a algum corpo que contém F.

Recordamos um lema sobre corpos de frações.

Lema 4. Sejam D um domínio, F um corpo de frações de D e E um corpo qualquer. Dado um homomorfismo f: D → E então f admite uma extensão f̃ a F se e somente se f for injetor. Quando essa extensão existe, ela é única. Além do mais, f̃ é sempre injetor e sua imagem é um corpo de frações de f(D).

Demonstração. Como todo homomorfismo entre corpos é injetor, temos que se f̃ existe então f é injetor. Se f é injetor defina f̃(a/b) = f(a)/f(b), para a, b ∈ D, b ≠ 0 (note que se b ≠ 0 então f(b) ≠ 0). É necessário verificar que f̃ está bem definido (note que a representação a/b de um elemento de F não é única). Deve-se verificar também que f̃ é um homomorfismo. Deixamos os detalhes a cargo do leitor. Quanto à unicidade, é claro que um homomorfismo de corpos f̃ que extende f tem que satisfazer f̃(a/b) = f(a)/f(b).

É claro que f̃ é injetor, já que é um homomorfismo entre corpos. Como D gera F, f(D) gera f̃(F), donde f̃(F) é um corpo de frações de f(D).

Na realidade, podemos generalizar o lema 4, dizendo que quando f não é injetor então ainda assim f admite uma única extensão ao subanel de F formado pelos elementos que podem ser escritos na forma a/b com a, b ∈ D e f(b) ≠ 0. Deixamos novamente os detalhes a cargo do leitor.

Vamos olhar o que acontece com alguns dos teoremas da seção 2 quando trocamos polinômios por funções racionais e anéis por corpos. Por exemplo, o teorema 1 é falso se trocarmos os anéis A e B por corpos F e E, e trocarmos A[X], B[Y] por F (X), E(Y). De fato, pelo lema 4, o homomorfismo de F [X] em E[Y] só se extende a F (X) quando for injetor, i.e., (pelo teorema 3), quando Y for algebricamente independente sobre E.

Em particular, observe que em geral não podemos definir a evaluação de uma função racional r ∈ F (X) em elementos b_{1}, …, b_{n} de um corpo que extende F (porém, seguindo a observação seguinte ao lema 4, podemos definir r(b_{1}, …, b_{n}) quando r se escreve como um quociente de polinômios p/q e q(b_{1}, …, b_{n}) ≠ 0).

Quanto ao teorema 2, observamos que se F é um subcorpo de um corpo E, X = (X_{λ})_{λ∈L} é uma família algebricamente independente sobre F e se Y = (Y_{λ})_{λ∈L} é uma família de elementos de E então o subcorpo F (Y) de E é a imagem do homomorfismo que fixa F e leva X_{λ} em Y_{λ}, o qual está definido num domínio entre F [X] e F (X). A demonstração é simples (observe que um elemento de F (Y) se escreve como o quociente de elementos de F [Y] e aplique o teorema 2).

Apesar das dificuldades com o teorema 1, ainda podemos concluir que dois corpos de funções racionais F (X) e F (Y) sobre F onde X, Y tem a mesma cardinalidade, são isomorfos. Basta ver que temos um isomorfismo entre F [X] e F [Y], o qual pelo lema 4 se extende a um isomorfismo entre os corpos de frações. Temos então a “unicidade” do corpo de funções racionais.

Em relação ao teorema 4, podemos dizer que dado um corpo F e um conjunto L existe um corpo de funções racionais F (X) sobre F com X indexada em L. Basta usar o teorema 4 para construir F [X] e observe que esse domínio admite um corpo de frações, o qual nos dá o resultado desejado.

Quanto ao teorema 6, observamos que se F (X) é um corpo de funções racionais sobre F (onde X = (X_{λ})_{λ∈L}) então dados subconjuntos disjuntos L_{1}, L_{2} de L temos que X_{|L_{2}} é algebricamente independente sobre F (X_{|L_{1}}) pelo teorema 6 e pelo corolário do teorema 11.

Provamos agora o teorema principal dessa seção.

Teorema 14. Seja F um subcorpo de um corpo E. Seja X = (X_{λ})_{λ∈L} uma família algebricamente independente sobre E. Então F (X) ∩ E[X] = F [X].

Demonstração. Devemos mostrar que se p/q = r, com p, q ∈ F [X] (q ≠ 0) e r ∈ E[X] então r ∈ F [X]. Como sempre, usamos o argumento que os polinômios p, q e r estão em E[X_{|M}] para algum subconjunto finito M ⊂ L, donde basta provar o teorema no caso em que L é finito. Fazemos então indução no número de elementos n de L.

O caso n = 1 decorre do corolário do teorema 10. Suponha o teorema verdadeiro para funções racionais em n − 1 variáveis sobre E. Sejam p, q ∈ F [X], r ∈ E[X], com p = qr e q ≠ 0, onde X = (X_{1}, …, X_{n}). Mostremos que r ∈ F [X]. Escreva X′ = (X_{1}, …, X_{n−1}).

Considerando p, q e r como polinômios em X_{n} podemos aplicar o corolário do teorema 10 para os anéis F (X′) ⊂ E(X′) para concluir que r ∈ F (X′)[X_{n}]. Como r ∈ E[X′][X_{n}], vemos que seus coeficientes (como polinômio em X_{n}) estão em F (X′) ∩ E[X′] e pela hipótese de indução estão em F [X′]. Logo r ∈ F [X′][X_{n}] = F [X].