2\underline{a} Lista de Exercícios MAT-5799 – Variedades Diferenciáveis e Grupos de Lie Prof. Daniel Victor Tausk 25/11/2002

1. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k}, S ⊂ M um subconjunto, p um número natural e f : S → IR^{p} uma função.

(a) Dizemos que a aplicação f é localmente extensível em classe C^{k} se para todo x ∈ S existe um aberto U ⊂ M contendo x e uma aplicação g : U → IR^{p} de classe C^{k} tal que g|_{U∩S} = f|_{U∩S}. Mostre que se f é localmente extensível em classe C^{k} então f admite uma extensão f̄: V → IR^{p} de classe C^{k} definida em um aberto V ⊂ M contendo S.

(b) Mostre que se S ⊂ M é uma subvariedade de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e se f é uma aplicação de classe C^{k} então f é localmente extensível em classe C^{k}. Usando o resultado do item (a), conclua que f admite uma extensão de classe C^{k} a um aberto de M contendo S.

(c) Mostre que se S ⊂ M é uma subvariedade fechada de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e se f é uma aplicação de classe C^{k} então f admite uma extensão f̄: M → IR^{p} de classe C^{k}.

2. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k}, (S_{i})_{i∈I} uma família localmente finita de subconjuntos de M e (ε_{i})_{i∈I} uma família de números reais positivos. Mostre que existe uma função ε : M → ]0, +∞[ de classe C^{k} tal que para todo i ∈ I e todo x ∈ S_{i} temos ε(x) ≤ ε_{i}.

3. Seja V = M_{n×n}(IR) o espaço vetorial real formado pelas matrizes reais n × n. Para todo A ∈ V, definimos um campo vetorial X_{A} : V → V de classe C^{∞} na variedade V fazendo:

X_{A}(L) = LA,

para todo L ∈ V. Mostre que, para todos A, B ∈ V, o colchete de Lie [X_{A}, X_{B}] dos campos vetoriais X_{A} e X_{B} coincide com o campo vetorial X_{[A,B]}, onde [A, B] denota o comutador das matrizes A e B, i.e., [A, B] = AB − BA ∈ V.

4. Considere o parabolóide:

M = {(x, y, z) ∈ IR^{3} : z = x^{2} + y^{2}}.

(a) Mostre que M é uma subvariedade de classe C^{∞} de IR^{3} e determine o espaço tangente a M num ponto arbitrário (x, y, z) ∈ M.

(b) Para cada (x, y, z) ∈ M, mostre que os vetores X(x, y, z) e Y (x, y, z) definidos por:

X(x, y, z) = (y^{3}, x^{3}, 2xy(x^{2} + y^{2})), Y (x, y, z) = (e^{x}, e^{y}, 2xe^{x} + 2ye^{y}),

pertencem ao espaço tangente T_{(x,y,z)}M.

(c) Verifique que X : M → T M, Y : M → T M são campos vetoriais de classe C^{∞} em M e calcule o colchete de Lie [X, Y].

5. Seja S^{3} ⊂ IR^{4} a esfera unitária de centro na origem.

(a) Para cada (x, y, z, t) ∈ S^{3}, mostre que os vetores X(x, y, z, t) e Y (x, y, z, t) definidos por:

X(x, y, z, t) = (−y, x, t, −z), Y (x, y, z, t) = (−z, −t, x, y),

pertencem ao espaço tangente T_{(x,y,z,t)}S^{3}.

(b) Verifique que X : S^{3} → T S^{3}, Y : S^{3} → T S^{3} são campos vetoriais de classe C^{∞} em S^{3} e calcule o colchete de Lie [X, Y].

6. Considere a 1-forma θ de classe C^{∞} em IR^{3} definida por:

θ(x, y, z) = dz − y dx,

para todos (x, y, z) ∈ IR^{3}. Mostre que não existe uma subvariedade não vazia S ⊂ IR^{3} de dimensão 2 tal que a restrição de θ a S é nula, i.e., tal que θ(x, y, z)|_{T_{(x,y,z)}S} = 0, para todos (x, y, z) ∈ S.

7. Seja ξ um fibrado vetorial de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) sobre uma variedade diferenciável M de classe C^{k}. Denote por M_{0} a seção nula de ξ. Sabemos que M_{0} é uma subvariedade de ξ de classe C^{k}; sabemos também que, para todo x ∈ M, a fibra ξ_{x} é uma subvariedade de ξ de classe C^{k}. Se 0_{x} ∈ ξ_{x} denota o vetor nulo da fibra ξ_{x}, mostre que:

T_{0_{x}}ξ = T_{0_{x}}M_{0} ⊕ T_{0_{x}}ξ_{x},

para todo x ∈ M.

8. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → IR uma aplicação de classe C^{k}. Identificamos a diferencial de f com uma seção do fibrado cotangente T M^{∗}, i.e., consideramos a aplicação:

df : M ∋ x ⟼ df(x) ∈ T_{x}M^{∗} ⊂ T M^{∗}.

Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta em M e considere a carta T^{∗}φ : π^{−1}(U) → Ũ × IR^{n}^{∗} em T M^{∗} definida por:

T^{∗}φ(x, α) = (φ(x), (dφ(x)^{∗})^{−1}(α)),

para todos x ∈ U, α ∈ T_{x}M^{∗}, onde π : T M^{∗} → M denota a projeção canônica.

(a) Se f̃ = f ∘ φ^{−1} : Ũ → IR denota a representação de f com respeito à carta φ, mostre que a representação da aplicação df : M → T M^{∗} com respeito às cartas φ e T^{∗}φ é dada por:

Ũ ∋ z ⟼ (z, df̃(z)) ∈ Ũ × IR^{n}^{∗}.

Conclua que a aplicação df é de classe C^{k−1}.

(b) Seja x ∈ M tal que df(x) = 0. Pelo resultado do Exercício 7, temos:

T_{0}(T M^{∗}) = T_{0}M_{0} ⊕ T_{0}(T_{x}M^{∗}),

onde 0 denota o vetor nulo de T_{x}M^{∗} e M_{0} denota a seção nula de T M^{∗}. Seja p_{2} : T_{0}(T M^{∗}) → T_{0}(T_{x}M^{∗}) ≅ T_{x}M^{∗} a segunda projeção com respeito à soma direta acima. Suponha que k ≥ 2. Note que, para todo v ∈ T_{x}M, temos:

d(df)(x) · v ∈ T_{0}(T M^{∗})

e portanto p_{2}(d(df)(x) · v) ∈ T_{x}M^{∗}. Mostre que:

p_{2}(d(df)(x) · v) · w = d^{(2)}f(x)(v, w),

para todos v, w ∈ T_{x}M, onde d^{(2)}f(x) denota o Hessiano de f no ponto x.