1\underline{a} Lista de Exercícios

MAT-5799 – Variedades Diferenciáveis e Grupos de Lie

Prof. Daniel Victor Tausk

17/09/2002

1. Seja M = IR a reta real e seja A o atlas maximal de classe C^{∞} em M que contém o sistema de coordenadas φ : IR → IR definido por φ(x) = x^{3}. Mostre que:

(a) a topologia induzida por A em M coincide com a topologia usual de IR (em particular essa topologia é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade e portanto (M, A) é uma variedade diferenciável de classe C^{∞});

(b) a estrutura diferenciável A em M é diferente da estrutura diferenciável usual de classe C^{∞} em IR;

(c) existe um difeomorfismo de classe C^{∞} entre a variedade (M, A) e a reta IR munida de sua estrutura diferenciável usual de classe C^{∞};

(d) a aplicação (M, A) ∋ x ↦ x + 1 ∈ (M, A) não é de classe C^{1}.

Observaç~ ao: sabe-se que, para n ≠ 4, qualquer estrutura diferenciável A de classe C^{∞} em IR^{n} que induza a topologia usual de IR^{n} é tal que existe um difeomorfismo de classe C^{∞} entre a variedade (IR^{n}, A) e a variedade IR^{n} munida de sua estrutura diferenciável usual. Para n = 4, no entanto, existem infinitas estruras diferenciáveis em IR^{n} duas a duas não difeomorfas, que induzem a topologia usual de IR^{n}. As estruturas diferenciáveis em IR^{4} que induzem a topologia usual mas que produzem variedades não difeomorfas ao IR^{4} usual são conhecidas como estruturas diferenciáveis exóticas de IR^{4}.

2. Considere o cone:

M = {(x, y, z) ∈ IR^{3} : z^{2} = x^{2} + y^{2}, z ≥ 0}.

A aplicação φ : M → IR^{2} definida por φ(x, y, z) = (x, y) é bijetora e é portanto um sistema de coordenadas em M. Seja A o atlas maximal de classe C^{∞} em M que contém φ. Mostre que:

(a) a topologia induzida por A em M torna M homeomorfo a IR^{2} (e portanto (M, A) é uma variedade diferenciável de classe C^{∞});

(b) a aplicação inclusão i : (M, A) → IR^{3} é contínua, mas não é de classe C^{1};

(c) M não é uma subvariedade de IR^{3} de classe C^{1}.

[dica: no item (c) não é suficiente observar que a inclusão de (M, A) em IR^{3} não é um mergulho. Uma idéia é mostrar que se γ : ]−ε, ε[ → IR^{3} é uma curva de classe C^{1} com γ(]−ε, ε[ ) ⊂ M e γ(0) = 0 então γ′(0) = 0].

3. Considere o subconjunto M ⊂ IR^{2} definido por:

M = {(t, |t|) : t ∈ ]−1, 1[ }.

Seja ϕ : IR → IR a aplicação definida por ϕ(t) = e^{^{−}\frac{1}{t^{2}}} , para t ≠ 0 e ϕ(0) = 0.

(a) Mostre que ϕ é uma aplicação de classe C^{∞} e que todas as derivadas de ϕ se anulam na origem.

[dica: mostre que a k-ésima derivada de ϕ é dada por ϕ^{(k)}(t) = \frac{P_{k}(t)}{Q_{k}(t)} ϕ(t), para todo t ≠ 0, onde P_{k} e Q_{k} são polinômios; conclua que lim_{t→0} ϕ^{(k)}(t) = 0 para todo k e portanto, por um Corolário do Teorema do Valor Médio, a k-ésima derivada ϕ^{(k)}(0) (existe e) é nula para todo k].

(b) Mostre que ϕ|_{[0,+∞[} é uma bijeção estritamente crescente de [0, +∞[ sobre [0, 1[.

(c) Seja γ : IR → M a aplicação definida por:

γ(t) = \{ \begin{matrix}(−ϕ(t), ϕ(t)), & t ≤ 0, \\ (ϕ(t), ϕ(t)), & t ≥ 0. \end{matrix}

Mostre que γ é bijetora.

(d) Seja A o atlas maximal de classe C^{∞} em M que contém o sistema de coordenadas γ^{−1} : M → IR. Mostre que a topologia induzida por A em M torna M homeomorfo a IR (e portanto (M, A) é uma variedade diferenciável de classe C^{∞}).

(e) A aplicação inclusão i : (M, A) → IR^{2} é de classe C^{∞}, mas não é uma imersão.

(f) M não é uma subvariedade de IR^{2}. [dica: para o item (f), veja a sugestão do Exercício 2].

4. Seja M_{n×n}(IR) o espaço vetorial real das matrizes reais n × n e seja M_{n×n}^{sim}(IR) o subespaço de M_{n×n}(IR) formado pelas matrizes simétricas. Mostre que a matriz identidade é um valor regular da aplicação:

f : M_{n×n}(IR) ∋ X ⟼ XX^{t} ∈ M_{n×n}^{sim}(IR),

onde X^{t} denota a transposta da matriz X. Conclua que o grupo ortogonal:

O(n) = {X ∈ M_{n×n}(IR) : XX^{t} = Id}

é uma subvariedade de dimensão \frac{1}{2}n(n − 1) de M_{n×n}(IR). Qual é o espaço tangente a O(n) no ponto Id?

5. Seja IRP^{n} o espaço projetivo real n-dimensional, i.e., IRP^{n} é o conjunto das retas que passam pela origem em IR^{n+1}. Daí IRP^{n} coincide com o Grassmanniano G_{1}(n + 1) e é portanto uma variedade diferenciável de classe C^{∞} e de dimensão n. Considere a aplicação p : IR^{n+1} \{0} → IRP^{n} que a cada x ∈ IR^{n+1}, x ≠ 0, associa a reta em IR^{n+1} passando pela origem e por x. Mostre que p é uma submersão sobrejetora de classe C^{∞} e que a restrição de p à esfera S^{n} ⊂ IR^{n+1} é um difeomorfismo local sobrejetor de classe C^{∞}.

6. O objetivo deste exercício é mostrar que o conjunto Lin_{r}(IR^{m}, IR^{n}) das aplicações lineares T : IR^{m} → IR^{n} de posto r é uma subvariedade de Lin(IR^{m}, IR^{n}). Seja Z uma matriz real n × m e considere a seguinte decomposição em blocos para Z:

Z = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ M_{n×m}(IR),

onde A é uma matriz r × r, B é uma matriz r × (m − r), C é uma matriz (n − r) × r e D é uma matriz (n − r) × (m − r).

(a) Mostre que se A é inversível então Z tem posto r se e somente se existe uma matriz X ∈ M_{r×(m−r)}(IR) tal que B = AX e D = CX.

(b) Escolha bases 𝔅 em IR^{m} e 𝔅′ em IR^{n} e decomponha a matriz Z = [T]_{𝔅𝔅′} que representa uma aplicação linear T ∈ Lin(IR^{m}, IR^{n}) nas bases 𝔅 e 𝔅′ em blocos A, B, C, D como acima. Seja U_{𝔅𝔅′} o subconjunto de Lin(IR^{m}, IR^{n}) formado pelas aplicações T cujo correspondente bloco A ∈ M_{r×r}(IR) é inversível e defina uma aplicação:

φ_{𝔅𝔅′} : U_{𝔅𝔅′} ⟶ GL(r, IR) × M_{(n−r)×r}(IR) × M_{r×(m−r)}(IR) × M_{(n−r)×(m−r)}(IR),

fazendo:

φ_{𝔅𝔅′}(T) = (A, C, A^{−1}B, D − CA^{−1}B),

onde GL(r, IR) denota o conjunto das matrizes reais r × r inversíveis. Mostre que φ_{𝔅𝔅′} é uma carta em Lin(IR^{m}, IR^{n}) (relativamente à estrutura diferenciável de classe C^{∞} usual do espaço vetorial real Lin(IR^{m}, IR^{n})).

(c) Mostre que φ_{𝔅𝔅′} é uma carta de subvariedade para Lin_{r}(IR^{m}, IR^{n}). Conclua que Lin_{r}(IR^{m}, IR^{n}) é uma subvariedade de classe C^{∞} e de dimensão r(m + n − r) de Lin(IR^{m}, IR^{n}).

7. Seja GL(n, IR) o grupo linear geral de IR^{n}, i.e., o conjunto dos isomorfismos de IR^{n} (que identificamos com o conjunto das matrizes reais inversíveis n × n). Então GL(n, IR) é um aberto de M_{n×n}(IR) e é portanto uma variedade diferenciável de classe C^{∞} de dimensão n^{2}. Considere o Grassmanniano G_{r}(n) dos subespaços r-dimensionais de IR^{n} (0 ≤ r ≤ n). Mostre que a aplicação:

ρ : GL(n, IR) × G_{r}(n) ∋ (A, V) ⟼ A(V) ∈ G_{r}(n)

é de classe C^{∞}.