Hamiltonianos, Lagrangeanos e transformada de Legendre

Introdução.

O objetivo deste texto é o de introduzir uma formulação intrínseca para as equações de Euler-Lagrange em variedades. Também estudamos a transformada de Legendre em fibrados vetoriais.

Notações e convenções.

Seja Q uma variedade diferenciável (neste texto todos os objetos considerados serão diferenciáveis, onde diferenciável significa de classe C^{∞}). Seja ξ um fibrado vetorial sobre Q, com projeção π: ξ → Q e fibra típica ξ_{0}. Seja L: U → ℝ uma função escalar definida num aberto U ⊂ ξ. Definimos a derivada fibrativa de L como sendo a função 𝔽L: U → ξ^{∗} (onde ξ^{∗} é o fibrado dual de ξ) dada por:

𝔽L(v) = d(L_{|ξ(q)∩U})(v),

onde v ∈ U, q = π(v) ∈ Q e ξ(q) = π^{−1}(q) é a fibra de ξ sobre q.

É fácil ver que 𝔽L preserva as fibras e induz a identidade na base Q, i.e., π^{∗} ∘ 𝔽L = π, onde π^{∗} é a projeção do fibrado ξ^{∗} (note no entanto que 𝔽L não é linear nas fibras em geral).

Definimos também outras duas funções de U em ℝ associadas a L, a ação A_{L} e a energia E_{L} (quando houver somente uma função L em consideração escreveremos simplesmente A e E):

A(v) = 𝔽L(v) ∘ v, E = A − L.

Em geral, denotaremos por φ: Z → Z̃ uma carta em Q, onde Z é um aberto em Q e Z̃ é um aberto em ℝ^{n}. Escreveremos φ = (q_{1}, …, q_{n}). Denotaremos por φ̄ uma carta em ξ definida em π^{−1}(Z) a valores em Z̃ ×ξ_{0} (a rigor, para termos uma carta em ξ precisamos ainda escolher um isomorfismo entre ξ_{0} e ℝ^{k}). Escreveremos φ̄ = (q_{1}, …, q_{n}, v_{1}, …, v_{k}). A carta φ̄ será sempre linear nas fibras de ξ e tal que π_{1} ∘ φ̄ = φ ∘ π, onde π_{1} é a primeira projeção no produto ℝ^{n} × ℝ^{k} (i.e., a carta φ̄ será sempre obtida combinando a carta φ de Q e um referencial local de ξ).

Note que temos uma pequena ambigüidade de notação, já que as n primeiras funções coordenadas de φ̄ são q_{i} ∘ π e não q_{i}, mas em geral não haverá confusão.

Denotamos por φ^{∗} a carta em ξ^{∗} canonicamente associada a φ̄, ou seja, φ_{|T_{q}Q^{∗}}^{∗} é a transposta inversa de φ̄_{|T_{q}Q} (ou então, o referencial local de ξ^{∗} usado para construir φ^{∗} é o dual do referencial local usado em ξ para construir φ̄). Escrevemos φ^{∗} = (q_{1}, …, q_{n}, p_{1}, …, p_{k}). A mesma observação sobre ambigüidade de notação se aplica aqui.

Quando ξ = T Q é o fibrado tangente convencionamos que φ̄ é a carta canonicamente associada a φ (i.e., o referencial escolhido para construir φ̄ é (∂/∂q_{1}, …, ∂/∂q_{n})).

Denotamos por θ a 1-forma canônica no fibrado cotangente T Q^{∗}, ou seja:

θ_{p}(z) = p(dπ^{∗}(z)), ∀z ∈ T_{p}T Q^{∗}.

Temos que ω = −dθ é a forma simplética canônica em T Q^{∗}. Em coordenadas locais temos:

θ = ∑_{i=1}^{n} p_{i}dq_{i}, ω = ∑_{i=1}^{n} dq_{i} ∧ dp_{i}.

Equações de Euler-Lagrange.

Nesta seção o fibrado ξ será sempre o fibrado tangente T Q. O objetivo é definir quando uma curva q: I → Q é uma solução das equações de Euler-Lagrange. Nos referiremos à função L definida sobre o aberto U ⊂ T Q como sendo o lagrangeano.

Lembremos que π^{∗} ∘ 𝔽L = π. Diferenciando está igualdade no ponto v ∈ U obtemos dπ^{∗} ∘ d𝔽L_{v} = dπ_{v}. Está igualdade nos mostra que d𝔽L_{v} preserva vetores verticais (i.e., vetores tangentes à fibra, ou equivalentemente, vetores anulados por dπ). Ela nos mostra também que a imagem de d𝔽L_{v} e o espaço vertical geram todos os vetores (dado z ∈ T_{𝔽L(v)}T Q^{∗} tome u ∈ T_{v}T Q com dπ(u) = dπ^{∗}(z). Daí observe que d𝔽L_{v}(u) e z diferem por um vetor vertical). Note também que apenas vetores verticais são mandados por d𝔽L_{v} em vetores verticais.

Vemos então que dada uma 1-forma μ no subespaço vertical de T_{𝔽L(v)}T Q^{∗} podemos usar a restrição de d𝔽L_{v} aos espaços verticais para obter uma 1-forma λ no subespaço vertical de T_{v}T Q, usando pull-back. Escreveremos simplesmente λ = d𝔽L_{v}^{∗}μ. O lema abaixo diz que uma 1-forma em T_{𝔽L(v)}T Q^{∗} fica completamente determinada pelo seu pullback via d𝔽L_{v} e pelo seus valores no subespaço vertical.

Lema 1. Sejam dadas 1-formas λ em T_{v}T Q e μ no subespaço vertical de T_{𝔽L(v)}T Q^{∗}. Suponha que d𝔽L_{v}^{∗}μ coincide com a restrição de λ ao subespaço vertical de T_{v}T Q. Então μ admite uma única extensão α a uma 1-forma em T_{𝔽L(v)}T Q^{∗} tal que d𝔽L_{v}^{∗}α = λ.

Demonstração. Seja z ∈ T_{𝔽L(v)}T Q^{∗}. Escreva z = d𝔽L_{v}(u) + w, com w vertical. Defina α(z) = λ(u) + μ(w). É fácil ver que α está bem definida e linear. A unicidade é clara já que α está determinada sobre a imagem de d𝔽L_{v} e sobre o espaço vertical

Construiremos agora um vetor tangente a T Q^{∗} no ponto 𝔽L(v). Primeiro construimos uma 1-forma α em T Q^{∗} no ponto 𝔽L(v) usando o lema 1. Seja λ = dE_{v}. Note que o subespaço vertical de T_{𝔽L(v)}T Q^{∗} pode ser identificado com a fibra T_{q}Q^{∗}, donde uma 1forma nesse espaço vertical pode ser identificada com um vetor de T_{q}Q. Seja então μ a 1-forma nesse espaço vertical que se identifica com o vetor v (i.e., μ é a 1-forma “calcular em v”).

Devemos verificar as hipóteses do lema 1. Seja então w ∈ T_{v}T Q um vetor vertical (identificamos esse espaço vertical com a fibra T_{q}Q). Temos:

λ(w) = \frac{d}{dt}E(v + tw)|_{t=0} ,

mas E(v + tw) é dado por:

𝔽L(v + tw) ∘ (v + tw) − L(v + tw) = 𝔽L(v + tw) ∘ v + t𝔽L(v + tw) ∘ w − L(v + tw).

Diferenciando em t = 0 (observe que podemos restringir 𝔽L ao aberto da fibra T_{q}Q ∩ U para fazer esse cálculo, e aí obtemos simplesmente uma aplicação de um aberto do espaço vetorial T_{q}Q no espaço vetorial T_{q}Q^{∗}):

λ(w) = d𝔽L_{v}(w) ∘ v + 𝔽L(v) ∘ w − 𝔽L(v) ∘ w = d𝔽L_{v}(w) ∘ v.

Vemos então que λ(w) = μ(d𝔽L_{v}(w)) = d𝔽L_{v}^{∗}μ(w). Podemos então aplicar o lema 1 para obter a 1-forma α. Usando agora a forma simplética ω obtemos um vetor tangente a T Q^{∗} no ponto 𝔽L(v), o qual denotaremos por \frac{∂L}{∂q}(v). Esse vetor é caracterizado por:

ω(\frac{∂L}{∂q}(v), ·) = α.

Temos agora um teorema que justifica a notação usada para esse vetor.

Lema 2. Usando uma carta φ em torno do ponto q temos que a expressão de \frac{∂L}{∂q}(v) é:

\frac{∂L}{∂q}(v) = ∑_{i=1}^{n} v_{i} \frac{∂}{∂q_{i}} + \frac{∂L}{∂q_{i}} (v)\frac{∂}{∂p_{i}} .

Demonstração: Seja α′ a 1-forma associada ao vetor dado pela fórmula acima através de ω. Devemos mostrar que α = α′. Basta então checar que α′ satisfaz as duas propriedades que caracterizam α.

Temos:

α′ = ∑_{i=1}^{n} v_{i}dp_{i} − \frac{∂L}{∂q_{i}} (v)dq_{i}.

Daí α′(∂/∂p_{i}) = v_{i} = μ(∂/∂p_{i}), donde α′ coincide com μ sobre vetores verticais. Resta mostrar que d𝔽L_{v}^{∗}α′ = λ. Isso é verdade quando calculamos sobre vetores verticais pois d𝔽L_{v}^{∗}μ = λ. Basta então ver que d𝔽L_{v}^{∗}α′(∂/∂q_{i}) = λ(∂/∂q_{i}).

Em coordenadas locais, 𝔽L é dado por 𝔽L(q, v) = (q, \frac{∂L}{∂v}(q, v)) (para simplificar a notação estamos identificando um objeto com suas coordenadas. Elementos de ℝ^{2n} serão escritos como pares de elementos de ℝ^{n}). Daí:

\begin{aligned}d𝔽L_{v}^{∗}α′ (\frac{∂}{∂q_{i}} ) & = α′ ∘ d𝔽L_{v} (\frac{∂}{∂q_{i}} ) = α′ (\frac{∂𝔽L}{∂q_{i}}(v)) = α′ (\frac{∂}{∂q_{i}} , \frac{∂^{2}L}{∂q_{i}∂v} (q, v)) \\ & = (∑_{j=1}^{n} v_{j} \frac{∂^{2}L}{∂q_{i}∂v_{j}} (q, v)) − \frac{∂L}{∂q_{i}} (v). \end{aligned}

Também:

λ (\frac{∂}{∂q_{i}} ) = dE_{v} (\frac{∂}{∂q_{i}} ) = \frac{∂E}{∂q_{i}} (v) = \frac{∂A}{∂q_{i}} (v) − \frac{∂L}{∂q_{i}} (v),

e observando que A é dada em coordenadas por:

A(q, v) = ∑_{j=1}^{n} v_{j} \frac{∂L}{∂v_{j}} (q, v),

vem o resultado desejado

Finalmente estamos em condições de formular as equações de Euler-Lagrange. Diremos que uma curva q: I → Q (onde I ⊂ ℝ é um intervalo) é uma solução das equações de Euler-Lagrange quando:

\frac{d}{dt}𝔽L ∘ q̇(t) = \frac{∂L}{∂q}(q̇(t)), ∀t ∈ I,

onde q̇: I → T Q é a derivada de q.

Observamos que a equação acima inclui a condição de que q̇ seja uma curva contida em U ⊂ T Q, de modo que os dois lados da equação façam sentido. Observamos também que para cada t ∈ I os dois lados da equação definem um vetor tangente ao fibrado T Q^{∗} no ponto 𝔽L(q̇(t)). Usando o lema 2 é fácil ver que em coordenadas locais as equações adquirem o forma clássica, ou seja:

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂v_{i}} (q(t), q̇(t)) = \frac{∂L}{∂q_{i}} (q(t), q̇(t)).

(na realidade para obter exatamente a forma clássica deveríamos chamar as funções coordenadas de T Q de q̇_{i} ao invés de v_{i}, mas consideramos que isso pode trazer confusão).

Devemos fazer algumas observações sobre a regularidade da curva q, sobre a natureza do intervalo I e sobre as relações entre soluções das equações de Euler-Lagrange e extremais de um certo funcional no espaço de curvas em Q. Não é objetivo deste texto explicar como é feita a formalização da teoria de variedades de dimensão infinita, e nem deduzir as equações de Euler-Lagrange. De qualquer modo, enunciamos alguns resultados.

Fixado um intervalo fechado I = [a, b] é possível dar ao conjunto das curvas de classe C^{k} (0 ≤ k < ∞) definidas em I e a valores em Q uma estrutura de variedade de Banach. Dada uma curva q: I → Q considera-se o gráfico de Q como uma seção do fibrado trivial I × Q. É possível então a uma vizinhança desse gráfico dar uma estrutura de fibrado vetorial, o que produz um sistema de coordenadas no espaço de curvas. Essa carta toma valores no espaço de Banach de seções C^{k} desse fibrado vetorial (a norma nesse espaço de Banach é a norma C^{k} usual). Fixados dois pontos q_{1}, q_{2} em Q mostra-se que o espaço de curvas C^{k} com extremidades em q_{1} e q_{2} forma uma subvariedade mergulhada dentro do espaço de todas as curvas C^{k}.

Para k ≥ 1 definimos um funcional L nesse espaço de curvas fazendo:

L(q) = ∫_{a}^{b} L(q̇(t))dt.

(na realidade o funcional L está definido no aberto do espaço de curvas formado pelas curvas q tais que q̇ fica dentro de U).

Vale então que o funcional L é C^{∞} e que os pontos onde sua diferencial é zero são exatamente as curvas solução das equações de Euler-Lagrange. Note que o lado esquerdo dessas equações envolvem segundas derivadas de q, as quais podem não existir no caso k = 1. Mas é verdade que as curvas q de classe C^{1} nas quais a diferencial de L é zero são aquelas para as quais o lado esquerdo faz sentido e a equação vale. É efetivamente possível que 𝔽L ∘ q̇ seja derivável mesmo que q não seja duas vezes derivável, desde que o lagrangeano seja suficientemente degenerado (a noção de lagrangeano regular será definida mais tarde). Um exemplo óbvio ocorre quando L é constante (toda curva C^{1} é solução das equações de Euler-Lagrange).

Quanto às questões decorrentes do fato de I poder não ser um intervalo aberto, observamos que para k < ∞ é equivalente definir que q é de classe C^{k} em I usando derivadas laterais nas extremidades onde I não é aberto ou exigindo que existam extensões C^{k} a intervalos abertos contendo I (as extensões podem ser construídas usando o polinômio de taylor de ordem k em coordenadas locais). Para k = ∞ é mais usual simplesmente exigir que a extensão C^{∞} a um intervalo aberto contendo I exista. Em qualquer caso, observamos que não garantimos a princípio que as extensões de q podem ser feitas de modo que as equações de Euler-Lagrange sejam satisfeitas para t no intervalo extendido. No caso de lagrangeanos regulares (que definiremos logo adiante) mostraremos que todas as soluções C^{1} das equações são C^{∞} e que elas admitem extensões C^{∞} a um intervalo aberto contendo I de modo que as equações sejam satisfeitas também no intervalo extendido.

Formulamos agora as equações de Euler-Lagrange de um modo um pouco diferente. Precisaremos supor agora que q é de classe C^{2}. Devemos mostrar primeiro então que para lagrangeanos regulares toda solução C^{1} é C^{2}. Dizemos que o lagrangeano L é regular quando 𝔽L for um difeomorfismo local, ou equivalentemente, se d𝔽L_{v} for um isomorfismo para todo v ∈ U.

Seja q: I → Q uma solução C^{1} das equações de Euler-Lagrange e suponha que L é regular. Vemos que o lado direito das equações é função contínua de t, já que (usando o lema 2) é fácil ver que \frac{∂L}{∂q} define uma função C^{∞} de U em T T Q^{∗}. Daí 𝔽L ∘ q̇ é C^{1} e como 𝔽L é um difeomorfismo local, podemos compor 𝔽L ∘ q̇ com as inversas locais de 𝔽L para concluir que q̇ é C^{1} e logo q é C^{2}.

Voltamos agora a descartar a hipótese de regularidade de L, porém abandonaremos as soluções que não são C^{2}. Seja então q: I → Q uma curva de classe C^{2} e seja t ∈ I.

A igualdade entre os vetores \frac{d}{dt}𝔽L∘q̇(t) e \frac{∂L}{∂q}(q̇(t)) é equivalente à igualdade entre as 1formas correspondentes a eles via a forma simplética ω (a 1-forma correspondente ao vetor z é ω(z, ·)). Essas 1-formas coincidem sobre vetores verticais, pois em coordenadas locais ambas têm as n últimas coordenadas iguais às do vetor q̇(t) (note que o vetor \frac{d}{dt}𝔽L ∘ q̇(t) tem projeção dπ igual a q̇(t), e portanto suas n primeiras coordenadas são às do vetor q̇(t). Observe também que a correspondência via ω troca as n primeiras coordenadas com as n últimas coordenadas, trocando o sinal das n primeiras).

Assim, a igualdade entre essas duas 1-formas equivale à igualdade de seu pull-back por d𝔽L_{q̇(t)}. Defina ω_{L} = 𝔽L^{∗}ω. Obtemos então outra formulação para as equações de Euler-Lagrange:

ω_{L}(q̈(t), ·) = dE_{q̇(t)}, ∀t ∈ I,

onde q̈: I → T T Q é a derivada de q̇ (note que usamos que q é C^{2} quando fizemos \frac{d}{dt}𝔽L ∘ q̇(t) = d𝔽L_{q̇(t)}(q̈(t)) ).

No caso em que L é regular, ω_{L} é uma forma simplética em U (não degenerada) donde podemos definir um campo vetorial L⃗ em U ⊂ T Q fazendo ω_{L}(L⃗, ·) = dE.

Mostremos que para v ∈ U, dπ(L⃗(v)) = v. De fato, denote (como já fizemos anteriormente) ω(\frac{∂L}{∂q}(v), ·) por α. Sabemos que d𝔽L_{v}^{∗}α = dE_{v}. Como d𝔽L_{v} é um isomorfismo, vemos que d𝔽L_{v}(L⃗) = \frac{∂L}{∂q}(v). Lembrando que dπ^{∗} ∘ d𝔽L_{v} = dπ e que (pelo lema 1) dπ^{∗} \frac{∂L}{∂q}(v) = v, vem o resultado desejado.

Vemos então que L⃗ define uma “equação diferencial ordinária de segunda ordem” sobre Q, i.e., as curvas integrais de L⃗ são da forma q̇, onde q é uma curva em Q. É imediato que as curvas q em Q tais que q̇ é curva integral de L⃗ são exatamente as soluções das equações de Euler-Lagrange. Agora o teorema usual sobre fluxo de campos vetoriais pode ser aplicado para concluir que toda solução das equações de Euler-Lagrange é C^{∞} e que o domínio maximal de uma solução é sempre um intervalo aberto.

Transformada de Legendre.

Voltamos agora a tomar ξ como sendo um fibrado vetorial genérico. Como sempre temos uma função L definida num aberto U ⊂ ξ a valores reais, a qual chamamos de lagrangeano.

Na seção anterior definimos lagrangeano regular para o caso ξ = T Q, mas obviamente a mesma definição se aplica aqui. Dizemos também que L é hiper-regular se for regular e 𝔽L for injetora.

Diremos que uma função H: V → ℝ definida num aberto V ⊂ ξ^{∗} é uma transformada de Legendre de L se a imagem de 𝔽L está contida em V e H ∘ 𝔽L = E.

Observamos que da seção anterior podemos aproveitar o lema 1 e a construção da 1-forma α em T_{𝔽L(v)}ξ^{∗} associada a um elemento v ∈ U. Lá não usamos que ξ = T Q. Na realidade, o uso da hipótese ξ = T Q é feito apenas para termos a forma simplética canônica ω.

Temos o seguinte teorema.

Teorema 1. Se L é um lagrangeano regular e H é uma transformada de Legendre de L então 𝔽H ∘ 𝔽L é a inclusão de U em ξ (identificando ξ^{∗∗} com ξ).

Demonstração: Seja v ∈ U. Seja α a 1-forma citada acima. Sabemos que d𝔽L_{v}^{∗}α = dE_{v}. Diferenciando a relação H ∘ 𝔽L = E no ponto v vem d𝔽L_{v}^{∗}dH_{𝔽L(v)} = dE_{v}.

Como d𝔽L_{v} é um isomorfismo vemos que dH_{𝔽L(v)} = α. Mas 𝔽H(𝔽L(v)) é a restrição de dH_{𝔽L(v)} ao subespaço vertical, ou seja, a restrição de α ao subespaço vertical. Mas a restrição de α ao subespaço vertical é o funcional em ξ_{q}^{∗} que se identifica com v, i.e., 𝔽H(𝔽L(v)) = v (mediante a identificação entre ξ e ξ^{∗∗})

Corolário. Se L é um lagrangeano regular então L admite uma transformada de Legendre H se e somente se L for hiper-regular.

Demonstração: Se H existe então o teorema acima mostra que 𝔽L admite 𝔽H como inversa à esquerda, donde é injetora e L é hiper-regular. Se L é hiper-regular então tome V como sendo a imagem de 𝔽L. Vemos que 𝔽L é um difeomorfismo (global) de U em V, donde podemos definir H = E ∘ 𝔽L^{−1}.

É possível que um lagrangeano não regular admita transformada de Legendre. Um exemplo simples ocorre se L é constante igual a k ∈ ℝ. Daí podemos tomar H constante igual a −k.

Podemos perguntar se no caso regular, quando a transformada de Legendre existe, se V sempre coincide com a imagem de 𝔽L. Se V é conexo e a imagem de 𝔽H está contida em U então a resposta é afirmativa (por exemplo, se U = ξ. É claro que precisamos de uma hipótese de tamanho mínimo para U, pois caso contrário podemos diminuir U fazendo a imagem de 𝔽L diminuir, e manter o tamanho de V).

De fato, como 𝔽L é um difeomorfismo local, vemos que a imagem de 𝔽L é um aberto contido em V. Mas se a imagem de 𝔽H está contida em U então podemos considerar 𝔽L ∘ 𝔽H, a qual pelo teorema 1 é uma retração de V sobre a imagem de 𝔽L. Mas um retrato é sempre fechado e como V é conexo, V é a imagem de 𝔽L.

A partir de agora consideraremos apenas lagrangeanos hiper-regulares, já que pelo corolário do teorema 1, esse caso não é menos geral que o caso regular quando transformadas de Legendre existem.

Diremos que a transformada de Legendre H é estrita se V é a imagem de 𝔽L. É fácil ver que a transformada de Legendre estrita é única, já que esta deve ser igual a E ∘ 𝔽L^{−1}.

Finalmente, temos o teorema que diz que aplicando a transformada de Legendre duas vezes voltamos à função original.

Teorema 2. Seja L um lagrangeano hiper-regular. Seja H sua transformada de Legendre estrita. Então H também é hiper-regular e L é a transformada de Legendre estrita de H.

Demonstração: Como V é a imagem de 𝔽L, o teorema 1 mostra que 𝔽H e 𝔽L são difeomorfismos mutuamente inversos, donde H é hiper-regular, sendo U a imagem de 𝔽H.

Devemos mostrar que L ∘ 𝔽H = E_{H}. Isso é o mesmo que mostrar que L = E_{H} ∘ 𝔽L. Mas E_{H} = A_{H} − H, donde precisamos mostrar que L = A_{H} ∘ 𝔽L − H ∘ 𝔽L. Aplicando num elemento v ∈ U vem:

\begin{aligned}A_{H}(𝔽L(v)) − H(𝔽L(v)) & = 𝔽H(𝔽L(v)) ∘ 𝔽L(v) − E(v) = 𝔽L(v) ∘ v − E(v) \\ & = A(v) − E(v) = L(v), \end{aligned}

o que completa a demonstração

Equações de Hamilton

Seja H uma função definida num aberto V ⊂ T Q^{∗} a valores reais. Chamamos H de hamiltoneano.

Como T Q^{∗} tem uma forma simplética canônica ω, podemos associar à 1-forma dH um único campo vetorial H⃗ em V satisfazendo:

ω(H⃗, ·) = dH.

Chamamos H⃗ de campo hamiltoneano associado a H.

Em coordenadas locais, a 1-forma dH se escreve como:

dH = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂H}{∂q_{i}} dq_{i} + \frac{∂H}{∂p_{i}} dp_{i},

portanto o campo H⃗ é dado por:

H⃗ = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂H}{∂p_{i}} \frac{∂}{∂q_{i}} − \frac{∂H}{∂q_{i}} \frac{∂}{∂p_{i}} .

Uma curva integral p: I → T Q^{∗} de H⃗ chama-se uma solução das equações de Hamilton. Escrevendo q = π^{∗} ∘ p e usando coordenadas locais as equações adquirem a forma clássica:

\{ \begin{matrix}q̇_{i} & = \frac{∂H}{∂p_{i}} , \\ ṗ_{i} & = −\frac{∂H}{∂q_{i}} . \end{matrix}

Finalmente, temos o teorema fundamental que relaciona as equações de Euler-Lagran-ge, as equações de Hamilton e a transformada de Legendre.

Teorema 3. Seja L um lagrangeano hiper-regular (no fibrado ξ = T Q). Seja H sua transformada de Legendre estrita. Então dada uma solução q: I → Q das equações de Euler-Lagrange, temos que p = 𝔽L∘q̇ é solução das equações de Hamilton. Reciprocamente, se p: I → T Q^{∗} é solução das equações de Hamilton então q = π^{∗} ∘ p é solução das equações de Euler-Lagrange e p = 𝔽L ∘ q̇.

Demonstração: Temos que H ∘ 𝔽L = E, donde 𝔽L^{∗}dH = dE. Como também ω_{L} = 𝔽L^{∗}ω e 𝔽L é um difeomorfismo, vemos que os campos L⃗ e H⃗ são 𝔽L relacionados. Daí segue facilmente o resultado

Exemplo.

Seja Q uma variedade. Uma métrica sub-Riemanniana em Q é um par (D, g), onde D é uma distribuição em Q e g é uma seção do fibrado D^{∗} ⊗ D^{∗}, de modo que para cada q ∈ Q, g(q) é um produto interno (simétrico, definido positivo) em D(q).

Definimos um lagrangeano L no fibrado ξ = D fazendo L(v) = \frac{1}{2}g(v, v), para v ∈ D. Calculemos 𝔽L, A e E.

Temos 𝔽L(v) = g(v, ·), A = 2L e E = L. Como g é não degenerado é fácil ver que 𝔽L é um difeomorfismo sobre D^{∗}. Daí L é hiper-regular e temos uma transformada de Legendre (estrita) H definida em D^{∗}.

Um produto interno g num espaço vetorial V (de dimensão finita) induz um produto interno g^{∗} no seu dual V^{∗}, fazendo:

g^{∗}(g(v, ·), g(w, ·)) = g(v, w), ∀v, w ∈ V.

Daí, temos para cada q ∈ Q um produto interno g_{q}^{∗} em D_{q}^{∗} obtido por dualização de g_{q}. É fácil ver então que H é dado por H(α) = \frac{1}{2}g^{∗}(α, α), para α ∈ D^{∗}.

Temos uma aplicação natural de T Q^{∗} em D^{∗} dada pela restrição de funcionais lineares, ou seja, α ↦ α_{|D(π^{∗}(α)}. Compondo H com essa aplicação, obtemos um hamiltoneano H̃ em T Q^{∗}. Porém, exceto se D = T Q esse hamiltoneano é não regular (podemos extender o produto interno g_{q}^{∗} de D_{q}^{∗} a uma forma bilinear simétrica g̃ em T_{q}Q^{∗}, compondo g_{q}^{∗} com a restrição de funcionais lineares. Temos então que H̃(α) é dado por \frac{1}{2} g̃(α, α). Daí vemos que 𝔽H é dado por 𝔽H(α) = g̃(α, ·). Mas g̃ é uma forma bilinear degenerada, exceto se D = T Q).

Esse hamiltoneano H̃ é realmente importante em geometria sub-Riemanniana, as soluções de suas equações hamiltoneanas (ou suas projeções π^{∗} em Q) são chamadas extremais normais. Prova-se que elas são localmente minimizadoras do comprimento de arco sub-Riemanniano. No caso Riemanniano (D = T Q) essas são as únicas curvas que minimizam localmente o comprimento de arco (são as geodésicas). No caso geral sub-Riemanniano podem haver outros (os extremais anormais).