Gabarito da Primeira Prova

MAT5719 – Cálculo Diferencial Geométrico no IR^{n}

Prof. Daniel Victor Tausk 21/01/2004

Questão 1) Considere a função f : IR^{2} → IR definida por f(x, y) = xy, para todos x, y ∈ IR. Determine a diferencial de f num ponto arbitrário (x, y) ∈ IR^{2}.

Resolução. A função f é igual ao produto das duas projeções de IR^{2} e portanto é diferenciável. A diferencial de f num ponto (x, y) ∈ IR^{2} é dada por:

df(x, y) · (h, k) = ( \frac{∂f}{∂x}(x, y) \frac{∂f}{∂y} (x, y) ) ( \begin{matrix}h \\ k \end{matrix} ) = yh + xk,

para todos (h, k) ∈ IR^{2}.

Questão 2) Determine o fecho em IR^{2} do conjunto:

A = {(x, y) ∈ IR^{2} : y ≠ 0}.

Justifique sua resposta.

Resolução. Afirmamos que \overline{A} = IR^{2}. De fato, temos obviamente A ⊂ \overline{A} e portanto basta mostrar que (x, 0) ∈ \overline{A}, para todo x ∈ IR. Dado x ∈ IR e r > 0, temos que o ponto (x, \frac{r}{2}) pertence a B((x, 0), r) ∩ A; logo (x, 0) é aderente ao conjunto A, i.e., (x, 0) ∈ \overline{A}.

Questão 3) Mostre que o conjunto:

A = {(x, y, z) ∈ IR^{3} : z > x^{2} + y^{2} e xyz > 1}

é aberto em IR^{3}.

Resolução. Considere as funções f : IR^{3} → IR e g : IR^{3} → IR definidas por:

f(x, y, z) = z − x^{2} − y^{2}, g(x, y, z) = xyz,

para todos (x, y, z) ∈ IR^{3}. As funções f e g são contínuas, sendo dadas por combinações lineares de produtos de projeções de IR^{3}. Temos obviamente:

A = f^{−1}(]0, +∞[ ) ∩ g^{−1}(]1, +∞[ );

como a imagem inversa de um conjunto aberto por uma função contínua é um conjunto aberto e como a interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto, segue que A é aberto em IR^{3}.

Questão 4) Sejam K um subconjunto compacto de IR^{n} e F um subconjunto fechado de IR^{n} com K ∩ F = ∅. Mostre que existe um escalar c > 0 tal que d(x, y) ≥ c, para todos x ∈ K, y ∈ F.

Resolução. Suponha por absurdo que tal escalar c > 0 não existe; isso significa que para todo c > 0 existem x ∈ K e y ∈ F com d(x, y) < c. Para cada inteiro k ≥ 1 escolha x_{k} ∈ K e y_{k} ∈ F com d(x_{k}, y_{k}) < \frac{1}{k}. Como K é limitado, a seqüência (x_{k})_{k≥1} possui uma subseqüência convergente (x_{k_{i}})_{i≥1}; como K é fechado, o limite dessa subseqüência é um ponto x pertencente a K. Como d(x_{k_{i}}, y_{k_{i}}) < \frac{1}{k_{i}} → 0, segue que também (y_{k_{i}})_{i≥1} converge para x. Como F é fechado, temos x ∈ F, contradizendo K ∩ F = ∅.

Questão 5) Seja S um subgrupo aditivo de IR^{n}, i.e., S é um subconjunto não vazio de IR^{n} tal que x − y ∈ S, para todos x, y ∈ S. Mostre que se S é discreto então S é fechado em IR^{n}.

Resolução. Como a origem pertence a S e S é um conjunto discreto, existe r > 0 tal que B(0, r) ∩ S = {0}. Seja agora x ∈ IR^{n}, x ∉ S. Vamos mostrar que x não é aderente a S, i.e., que existe uma bola aberta centrada em x que é disjunta de S. Em primeiro lugar, afirmamos que a bola B(x, \frac{r}{2}) possui no máximo um ponto de S; de fato, caso contrário, teríamos dois pontos distintos y_{1}, y_{2} ∈ B(x, \frac{r}{2}) ∩ S e portanto y_{1} − y_{2} seria um elemento não nulo de B(0, r) ∩ S. Agora, se B(x, \frac{r}{2}) ∩ S = ∅, não há nada mais para ser mostrado; senão, seja y ∈ B(x, \frac{r}{2}) ∩ S. Como x ∉ S, temos d(x, y) > 0; tome r′ = min \{\frac{r}{2}, d(x, y)\} > 0. Temos B(x, r′) ∩ S ⊂ B(x, \frac{r}{2}) ∩ S = \{y\} e ao mesmo tempo y ∉ B(x, r′). Logo B(x, r′) ∩ S = ∅. Isso completa a demonstração.