Teorema de Frobenius e Aplicações

O objetivo deste texto é unificar algumas situações que aparecem em geometria diferencial nas quais se usa o teorema de Frobenius. Começamos com alguns exemplos. Todas as funções e variedades consideradas serão diferenciáveis, onde diferenciável significa C^{∞}. Exemplo 1. Considere o problema de encontrar um potencial V para um dado campo vetorial F em um aberto U ⊂ ℝ^{n}. Sabemos que tal potencial existirá localmente se e só se rot F = 0. Para garantir a existência global de V precisamos de uma hipótese topológica sobre U, a saber, a de U ser simplesmente conexo. Note que o problema aqui consiste em resolver a equação diferencial parcial (EDP):

dV (x) = F (x),

onde identificamos 1-formas e campos vetorias em ℝ^{n}. Esta é uma EDP particularmente simples já que a incógnita V não aparece do lado direito. Exemplo 2. Sejam G, H grupos de Lie. Seja dado um homomorfismo φ: 𝔤 → 𝔥 entre suas álgebras de Lie. Considere o problema de encontrar um homomorfismo f: G → H entre os grupos tal que df_{e} = φ. Sabemos que tal homomorfismo sempre existe localmente, mas para garantir a existência global precisamos supor G simplesmente conexo.

Podemos também reduzir esse problema a uma EDP. Para isso, sejam X_{1}, X_{2}, …, X_{n} campos vetoriais invariantes à esquerda e linearmente independentes em G. Sejam Y_{1}, Y_{2}, …, Y_{n} os campos vetoriais invariantes à esquerda em H tais que Y_{i}(e) = φ(X_{i}(e)). Não é difícil mostrar que f é um homomorfismo com df_{e} = φ se e só se f satisfaz à EDP:

df(X_{i}(x)) = Y_{i}(f(x)), i = 1, 2, …, n,

com condição inicial f(e) = e. Exemplo 3. Seja M uma variedade Riemanniana. Considere o problema de encontrar um campo vetorial X em M que seja covariantemente constante (com uma condição inicial X(x_{0}) = X_{0}). Sabemos que tal campo existe localmente se e só se o tensor de curvatura R é zero. A existência de uma solução global exige a hipótese de M ser simplesmente conexa.

Nos três exemplos acima o problema consiste em resolver uma EDP do tipo:

df(x) = F (x, f(x)).  (1)

Nos três casos temos uma condição de integrabilidade (que nos garante a existência de soluções locais) e uma condição topológica sobre o domínio (que nos garante a existência de uma solução global). No primeiro exemplo a condição de integrabilidade é rot F = 0, no segundo é o fato de a transformação linear φ preservar o colchete das álgebras de Lie e no terceiro exemplo a condição é R = 0. Nos três casos a condição topológica é a de o espaço ser simplesmente conexo.

Para unificar esses exemplos precisamos primeiramente dar um enunciado preciso para a EDP (1). Se o domínio de f é um aberto do ℝ^{m} e o contra-domínio é o ℝ^{n} então a função F deve tomar valores em L(ℝ^{m}, ℝ^{n}). Se f é uma função entre variedades então o valor de F (x, y) será uma transformação linear entre espaços vetoriais que dependem dos pontos x, y (os espaços tangentes nesses pontos).

Sejam então M, N variedades diferenciáveis. Consideremos o fibrado vetorial das transformações lineares entre espaços tangentes a M e espaços tangentes a N, L(T M, T N) com base M × N e com espaço total:

L(T M, T N) = { (m, n, T) : m ∈ M, n ∈ N, T ∈ L(T_{m}M, T_{n}N) }.

A fibra típica é L(ℝ^{c}, ℝ^{d}), onde c é a dimensão de M e d é a dimensão de N. A projeção é π: (m, n, T) ↦ (m, n). Se φ: U → Ũ e ψ: V → Ṽ são cartas de M e N respectivamente então uma trivialização de L(T M, T N) é:

\begin{aligned}\overline{(φ, ψ)}: & π^{−1}(U × V) → U × V × L(ℝ^{c}, ℝ^{d}) \\ & (m, n, T) ↦ (m, n, dψ_{n} ∘ T ∘ dφ_{m}^{−1}). \end{aligned}

Seja F uma seção de L(T M, T N). O problema é encontrar uma função diferenciável f: U → N (com U ⊂ M aberto), satisfazendo a EDP (1), com uma condição inicial f(m_{0}) = n_{0}. Em primeiro lugar, se U é conexo então uma tal f caso exista é única. Para ver isso, seja γ: (a, b) → U uma curva diferenciável. Temos que a função f ∘ γ: (a, b) → N é uma curva em N que satisfaz a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):

\frac{d(f ∘ γ)}{dt}(t) = F (γ(t), f ∘ γ(t)) ∘ γ′(t).

Considere então o campo vetorial dependente do tempo X : (a, b) × N → T N em N dado por:

X(t, n) = F (γ(t), n) ∘ γ′(t), t ∈ (a, b), n ∈ N.

Então se f, g são duas soluções de (1) em U temos que f ∘ γ e g ∘ γ são duas curvas integrais de X. Logo, se existe um ponto do traço de γ no qual f e g coincidem então estas coincidem sobre todo o traço de γ. Como U é conexo, U é conexo por caminhos diferenciáveis por partes, e supondo f(m_{0}) = g(m_{0}) para algum m_{0} ∈ U temos f = g.

Mais adiante daremos condições necessárias e suficientes para a existência de soluções locais para a EDP (1), com condições iniciais arbitrárias. Estas serão chamadas de condições de integrabilidade de F. Note porém que é possível que F não satisfaça as condições de integrabilidade, mas que existam soluções locais com condições iniciais particulares. Mostramos acima que mesmo nessa situação soluções locais são únicas em abertos conexos.

Para estudar o problema de existência, vamos fixar um enunciado para o teorema de Frobenius. Em relação aos resultados abaixo, utilizamos o texto [WN1] como referência.

Dada uma variedade M com uma distribuição D (de posto constante) então se D é involutiva (i.e., se X, Y são campos vetoriais com imagem em D então [X, Y] tem imagem em D), então para todo m_{0} ∈ M existe uma subvariedade integral (K, f) (i.e., f: K → M é uma imersão e df_{x}(T_{x}K) = D_{f(x)}, ∀x ∈ K) com m_{0} ∈ f(K).

Seja m_{0} ∈ M. Seja K ⊂ M o conjunto dos pontos da forma γ(b), onde γ: [a, b] → M é uma curva diferenciável por partes tangente a D com γ(a) = m_{0}. É possível introduzir em K uma estrutura de subvariedade imersa em M, de modo que K seja conexa (na topologia de K) e (K, inclusão) seja uma subvariedade integral de D. Esta será chamada a subvariedade integral maximal passando por m_{0}. Além do mais, se γ: [a, b] → M é qualquer curva diferenciável tangente a D que passa por um ponto de K então γ está contida em K (na realidade se g: P → M é uma função com dg_{x}(T_{x}P) ⊂ D_{g(x)} para todo x ∈ P, onde P é uma variedade (com bordo) conexa, então se a imagem de g corta K ela está contida em K).

Outro resultado importante que precisamos é a mudança de contradomínio em relação a subvariedades integrais. Seja (K, f) uma subvariedade integral de D (não necessariamente a maximal), com f injetora. Seja P um espaço topológico localmente conexo (no sentido que todo ponto tem um sistema fundamental de vizinhanças conexas) e g: P → M uma função contínua. Suponha que a imagem de g esteja contida na imagem de f. Então a única aplicação g_{0}: P → K com f ∘g_{0} = g é contínua. Além do mais, se P é uma variedade (com bordo) e g é diferenciável então g_{0} é diferenciável.

Um corolário importante do resultado acima é que dg_{x}(T_{x}P) ⊂ D_{g(x)}, ∀x ∈ P (pois como g_{0} é diferenciável, podemos aplicar a regra da cadeia em g = f ∘ g_{0}).

Uma vez enunciado o teorema de Frobenius (e alguns resultados relacionados) passemos a estudar a existência de soluções locais para a EDP (1). Para que f: U → N seja uma solução local de (1) é necessário e suficiente que a aplicação gr f: x ↦ (x, f(x)) seja uma subvariedade integral da distribuição D em M × N dada por D_{(x,y)} = gr F (x, y), onde gr F (x, y) ⊂ T_{x}M ⊕ T_{y}N é o gráfico de F (x, y). Agora D é uma distribuição de posto constante em M × N (igual à dimensão de M) logo (1) admite soluções locais com condição inicial arbitrária se e só se D admite subvariedades integrais passando por pontos arbitrários, i.e., se e só se D é involutiva. Essa é a condição de integrabilidade para F.

Na realidade, devemos mostrar que se D é involutiva então (1) admite soluções locais. Seja (m_{0}, n_{0}) ∈ M × N uma condição inicial para (1). Então D admite uma subvariedade integral passando por (m_{0}, n_{0}). Seja K ⊂ M ×N uma tal subvariedade. Sabemos que se f existe então K é o gráfico de f. Sejam π_{1}, π_{2} as projeções do produto cartesiano M × N. A distribuição D sendo em cada ponto o gráfico de F (x, y), é projetada isomorficamente sobre T_{x}M pela diferencial de π_{1}. Logo, π_{1}_{|K}: K → M é um difeomorfismo local, donde em uma vizinhança V de (m_{0}, n_{0}) relativa a K podemos invertê-lo. Definimos então f na vizinhança aberta π_{1}(V) ⊂ M de m_{0} fazendo f(x) = π_{2} ∘ (π_{1}_{|V})^{−1}(x).

Temos então o seguinte teorema:

Teorema 1. Sejam M, N variedades diferenciáveis e F uma seção do fibrado L(T M, T N). Então dados (m_{0}, n_{0}) ∈ M × N e U ⊂ M uma vizinhança aberta conexa de m_{0} existe no máximo uma solução f: U → N da EDP (1) satisfazendo f(m_{0}) = n_{0}. Além do mais,

(1) admite soluções locais com condições iniciais arbitrárias se e só se a distribuição D em M × N dada em cada ponto pelo gráfico de F (x, y) é involutiva.

Passemos ao problema de existência de soluções globais f: M → N de (1) ou, pelo menos, como garantir um tamanho mínimo para o domínio U da solução. De agora em diante suporemos sempre que D é involutiva, que (m_{0}, n_{0}) é uma condição inicial fixada em M × N e que K ⊂ M × N é a subvariedade integral maximal passando por (m_{0}, n_{0}).

Note que os abertos U nos quais conseguimos definir soluções f são exatamente os abertos sobre os quais conseguimos inverter π_{1}_{|K}. Se soubermos então que π_{1}_{|K} é um recobrimento, concluiremos que existem soluções f pelo menos em todo aberto simplesmente conexo contendo m_{0}. Discutiremos então técnicas para mostrar que π_{1}_{|K} é um recobrimento.

Em primeiro lugar, já sabemos que π_{1}_{|K} é um difeomorfismo local. Basta então mostrar que para toda curva diferenciável γ: [a, b] → M com γ(a) ∈ π_{1}(K) e para todo ponto x̃ ∈ K com π_{1}(x̃) = γ(a) existe um levantamento γ̃: [a, b] → K de γ com γ̃(a) = x̃.

Inicialmente, observe que um tal levantamento (suposto contínuo) é automaticamente diferenciável, pois π_{1}_{|K} é um difeomorfismo local. Além do mais, pelos comentários que seguem o enunciado do teorema de Frobenius é fácil ver que uma curva diferenciável que começa em K terá imagem contida em K se e só se for tangente à distribuição (e mesmo K sendo só imersa em M × N é irrelevante para a diferenciabilidade e continuidade de γ̃ se consideramos seu contra-domínio em K ou em M × N). Assim, devemos encontrar uma curva diferenciável γ̃ em M × N tangente à D e começando em x̃, cuja projeção π_{1} seja γ.

Temos então γ̃ = (γ̃^{1}, γ̃^{2}), com γ̃^{1} = γ e γ̃^{2} uma curva diferenciável em N começando em x̃^{2}. É fácil ver que a condição de que γ̃ seja tangente à D equivale a γ̃^{2} satisfazer a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):

\frac{dγ̃^{2}}{dt} (t) = F (γ(t), γ̃^{2}(t)) ∘ \frac{dγ}{dt} .  (2)

Assim, para concluir que π_{1}_{|K} é um recobrimento devemos mostrar que a curva integral do campo vetorial dependente do tempo X(t, x) = F (γ(t), x)(dγ/dt) em N que começa no ponto x̃^{2} tem duração no mínimo b − a. Mais adiante serão vistos exemplos de aplicação desta técnica.

Vamos rever os exemplos 1, 2 e 3. No exemplo 1, temos que a variedade M é o aberto U, a variedade N é a reta ℝ, o fibrado L(T M, T N) é simplesmente U × ℝ × ℝ^{n}^{∗}. A seção de L(T M, T N) é (x, y) ∈ U × ℝ ↦ F (x). A condição de integrabilidade rot F = 0 é fácil de ser calculada. A EDO (2) fica:

\frac{dγ̃^{2}}{dt} (t) = F (γ(t)) ∘ \frac{dγ}{dt} ,

onde agora γ̃^{2}: [a, b] → ℝ. Esta é uma EDO muito simples, já que a função incógnita γ̃^{2} sequer aparece do lado direito, de modo que suas soluções são apenas as integrais indefinidas da função do lado direito, e logo existem em todo o intervalo [a, b]. Verificada esta condição, concluímos que soluções globais V existirão sempre que o aberto U for simplesmente conexo.

No exemplo 2, temos que as variedades M e N são os grupos de Lie G e H. A seção F de L(T G, T H) é definida de modo que para cada par (g, h) ∈ G × H, F (g, h) leva a base formada pelos X_{i}(g) nos vetores Y_{i}(h). Assim, o gráfico de F (g, h) é o subespaço de T_{g}G ⊕ T_{h}H gerado pelos vetores linearmente independentes (X_{i}(g), Y_{i}(h)). Como os X_{i}, Y_{i} são invariantes à esquerda é fácil ver que a distribuição D em G × H gerada pelos campos (X_{i}, Y_{i}) é invariante à esquerda. Uma tal distribuição será involutiva se e só se D_{e} for uma subálgebra de Lie de 𝔤 ⊕ 𝔥. Mas D_{e} é o gráfico do homomorfismo φ: 𝔤 → 𝔥, logo é mesmo uma subálgebra de Lie. Logo a condição de integrabilidade para F (o que garantiu que D fosse involutiva) é o fato de φ preservar o colchete de Lie. Com relação à existência de soluções globais, neste caso é imediato o fato de π_{1}_{|K} ser um recobrimento, pois é um difeomorfismo local e um homomorfismo de grupos de Lie (K é a subvariedade integral maximal passando por e da distribuição invariante à esquerda D, logo é um subgrupo de Lie). Assim, se G é simplesmente conexo, existem soluções globais f.

Antes de começar a discutir o exemplo 3, analisaremos com mais detalhes as construções que fizemos. Começamos com duas variedades M, N e construímos o fibrado trivial M × N, com base M. Em vez de procurar uma função f: U ⊂ M → N, procuramos o seu gráfico, gr f: U → M × N, que é a seção (local) do fibrado trivial M × N que usualmente se identifica com a aplicação f. Porém, às vezes o problema já vem na “forma correta”, i.e., começamos desde o início com uma variedade M, um fibrado E sobre M e o problema consiste em procurar uma seção de E que satisfaz a EDP (1). Obviamente, precisamos consertar alguns detalhes, principalmente o tipo de objeto da função F.

Na nova situação, se v ∈ E, π(v) = x ∈ M (π é a projeção do fibrado E), então F (v) deve pertencer a L(T_{x}M, T_{v}E). Devemos então considerar o fibrado J (E), com base E e espaço total:

J (E) = { (v, T) : v ∈ E, T ∈ L(T_{π(v)}M, T_{v}E) }.

A projeção é dada por π̄: (v, T) ↦ v e a fibra típica é L(ℝ^{c}, ℝ^{d}), onde c é a dimensão de M e d é a dimensão de E. Se φ: U → Ũ é uma carta de M e ψ: V → Ṽ é uma carta de E com π(V) ⊂ U então uma trivialização de J (E) é dada por:

\begin{aligned}\overline{(φ, ψ)}: & π̄^{−1}(V) → V × L(ℝ^{c}, ℝ^{d}) \\ & (v, T) ↦ (v, dψ_{v} ∘ T ∘ dφ_{π(v)}^{−1}). \end{aligned}

Devemos então considerar uma seção F de J (E). A distribuição D em E deve agora ser dada em cada ponto v ∈ E pela imagem de F (v) (em vez do gráfico). Temos aqui uma hipótese importante que antes era satisfeita automaticamente: devemos exigir que para cada v ∈ E, dπ_{v} ∘ F (v) seja a identidade de T_{π(v)}M. Sem esta hipótese o argumento antigo para construção de soluções locais a partir da involutividade de D não funciona, pois usamos esse fato para concluir que a restrição de π à subvariedade integral é um difeomorfismo local. De qualquer maneira, se f: U ⊂ M → E é uma seção local de E então dπ_{f(m)} ∘ df_{m} é a identidade de T_{m}M, logo se F não satisfaz essa nova hipótese, certamente não existirão soluções f.

Feitos esses comentários, comecemos a estudar o exemplo 3. Temos uma variedade (Riemanniana) M, um fibrado (vetorial) E = T M sobre M. As seções de E são os campos vetoriais em M. Devemos determinar uma seção F de J (E) de modo que soluções locais de (1) sejam campos vetoriais covariantemente constantes.

Seja Ver(E) o subfibrado vertical de T E, i.e., o fibrado formado pelos vetores tangentes às fibras de E. A conexão Riemanniana ∇ em E = T M nos define um subfibrado complementar a Ver(E) em T E que denotaremos por Hor(E) (o subfibrado horizontal). Se v ∈ E denote por ρ(v): T_{v}E → Ver_{v}(E) a projeção associada à decomposição Hor_{v}(E)⊕Ver_{v}(E).

Se X é um campo vetorial (local) em M então ∇_{m}X = ρ(X(m)) ∘ dX_{m}. Se queremos ∇_{m}X = 0 precisamos que a imagem de dX_{m} esteja contida no núcleo de ρ(X(m)), ou seja em Hor_{X(m)}(E). Comparando as dimensões dos dois subespaços (ambas são iguais à dimensão de M) vemos que na realidade essa inclusão será uma igualdade. Assim, encontramos a distribuição D: ela é Hor(E). Quanto a F (embora o que importa é D) vemos que F (v): T_{π(v)}M → T_{v}E é a função levantamento horizontal, i.e., a inversa da restrição de dπ_{v} a Hor_{v}(E).

Assim, a involutividade de D = Hor(E) é a condição de integrabilidade nesse exemplo. É possível (embora tedioso) usando coordenadas mostrar que isso equivale a R = 0. Mais adiante mostraremos um cálculo intrínseco que produz a fórmula do tensor de curvatura a partir da involutividade de D. Mas, primeiramente, vamos analisar a existência de soluções globais.

A técnica descrita anteriormente (envolvendo o estudo das curvas integrais da EDO (2)) não se aplica aqui literalmente pois em um fibrado não trivial E não existe uma decomposição global de γ̃ como um par (γ̃^{1}, γ̃^{2}), mas de qualquer modo, essa decomposição existe localmente e logo é possível empregar uma técnica análoga.

Mais precisamente, seja X_{0} ∈ T M (π(X_{0}) = m_{0}) uma condição inicial para a EDP (1). Seja K ⊂ T M a subvariedade integral maximal de D passando por X_{0}. Temos que π_{|K}: K → M é um difeomorfismo local. Para mostrar que π_{|K} é um recobrimento devemos considerar uma curva diferenciável γ: [a, b] → M com γ(a) ∈ π(K) e um ponto ṽ ∈ K com π(ṽ) = γ(a) e mostrar que existe um levantamento γ̃: [a, b] → K de γ com γ̃(a) = ṽ. Novamente é fácil ver que isso é o mesmo que achar uma curva diferenciável γ̃ em T M que seja tangente à D, que comece em ṽ e se projete sobre γ por π.

Uma curva diferenciável γ̃ em T M que se projeta sobre γ é um campo vetorial ao longo de γ. É fácil ver que a condição de que γ̃ é tangente à distribuição significa que esse campo vetorial é paralelo. Então encontrar γ̃ equivale a realizar um transporte paralelo do vetor ṽ ao longo da curva γ. Como transporte paralelo é feito através da resolução de uma EDO linear, vemos que esse transporte pode ser realizado em todo o intervalo [a, b], o que mostra que π_{|K} é um recobrimento. Daí, se M é simplesmente conexa, existem transportes paralelos globais em M.

Voltando à condição de integrabilidade, vamos deduzir sem o uso de coordenadas a condição R = 0. Em primeiro lugar, para cada v ∈ E, dπ_{v} leva Hor_{v}(E) isomorficamente sobre T_{π(v)}M. Assim, se X é um campo vetorial em M existe um único campo vetorial X̄ em E que é horizontal (i.e., tem imagem em Hor(E)) e é π-relacionado com X (i.e., dπ_{v}(X̄(v)) = X(π(v)), ∀v ∈ E). Chamaremos este o levantamento horizontal de X (note que X̄(v) = F (v) ∘ X(π(v)), ∀v ∈ E).

Se X_{1}, X_{2}, …, X_{c} são uma base de campos vetoriais em um aberto U ⊂ M então X̄_{1}, X̄_{2}, …, X̄_{c} são campos vetoriais linearmente independentes no aberto π^{−1}(U) ⊂ E que geram a distribuição Hor(E). Assim, para verificar que Hor(E) é involutiva basta mostrar que o colchete de Lie de dois levantamentos horizontais X̄, Ȳ ainda é um campo horizontal. Como X̄ é π-relacionado com X e Ȳ é π-relacionado com Y, então [X̄, Ȳ] é π-relacioniado com [X, Y]. Assim, [X̄, Ȳ] é horizontal se e só se é igual a \overline{[X, Y]}.

Para mostrar que dois campos vetoriais coincidem, basta mostrar que eles coincidem quando aplicados às funções coordenadas de uma carta. Seja φ = (x_{1}, x_{2}, …, x_{c}) uma carta de M. Seja (x_{1}, x_{2}, …, x_{c}, dx_{1}, dx_{2}, …, dx_{c}) a carta correspondente em T M. Como [X̄, Ȳ] e \overline{[X, Y]} são π-relacionados com [X, Y] é fácil ver que eles dão o mesmo resultado quando aplicados sobre as funções coordenadas x_{i} da carta (mais precisamente, essas funções deviam ser denotadas por x_{i} ∘ π). Basta então mostrar que eles coincidem sobre as funções dx_{i}. Mas as funções dx_{i} são lineares nas fibres de T M, e portanto concluímos que basta mostrar que eles coincidem sobre funções f: T M → ℝ que são lineares nas fibras.

As funções f: T M → ℝ que são lineares nas fibras estão em correspondência biunívoca com as 1-formas ω em M. Usando a métrica Riemanniana, vemos que as 1-formas ω estão em correspondência biunívoca com os campos vetoriais Z, fazendo ω = ⟨Z, ⟩. Assim, correspondemos a cada função f: T M → ℝ linear nas fibras o campo vetorial Z em M tal que f(v) = ⟨v, Z(π(v))⟩. Campos vetoriais em T M podem ser aplicados na função f, então usemos a correspondência entre f e Z para poder aplicar campos vetoriais de T M em campos vetorias de M.

Devemos mostrar então que para todos campos vetoriais X, Y, Z em M temos [X̄, Ȳ](Z) = \overline{[X, Y]}(Z). Abaixo calculamos X̄(Z) (isto é, X̄(f)).

Seja v ∈ T M. Seja ν: (−ϵ, ϵ) → T M uma curva que passa por v no instante zero com velocidade X̄(v). Seja γ = π ∘ ν. Então ν é um campo vetorial ao longo da curva γ em M, onde γ passa no instante zero pelo ponto π(v) = m com velocidade X(m). Observe que a derivada covariante (Dν/dt)(0) é zero, já que (dν/dt)(0) é um vetor horizontal. Temos:

X̄(Z)_{v} = X̄(f)_{v} = \frac{d}{dt}f ∘ ν|_{t=0} = \frac{d}{dt}⟨ν(t), Z(γ(t))⟩|_{t=0} = ⟨v, ∇_{X}Z(m)⟩.

A última igualdade mostra que X̄(Z) é a função escalar em T M linear nas fibras correspondente ao campo vetorial ∇_{X}Z em M. Daí [X̄, Ȳ](Z) = X̄Ȳ (Z) − Ȳ X̄(Z) = ∇_{X}∇_{Y} Z − ∇_{Y} ∇_{X}Z. Por outro lado, \overline{[X, Y]}(Z) = ∇_{[X,Y]}Z. Os dois coincidem para todos X, Y, Z se e só se:

R(X, Y, Z) = ∇_{X}∇_{Y} Z − ∇_{Y} ∇_{X}Z − ∇_{[X,Y]}Z = 0.

Considere agora uma variedade Riemanniana M de curvatura zero. Sabemos que se M for completa e simplesmente conexa então ela será isométrica ao ℝ^{n}. Removendo a hipótese de M ser simplesmente conexa temos exemplos como o cilindro e o toro plano. Removendo a hipótese de M ser completa (mas mantendo a de ser simplesmente conexa) temos os abertos do ℝ^{n}. Será que toda variedade Riemanniana simplesmente conexa de curvatura zero é isométrica a um aberto do ℝ^{n}? Veremos adiante que não. Tentaremos aplicar as técnicas expostas até agora para construir uma isometria de M num aberto do ℝ^{n} e veremos o que impede essa construção. Daí construiremos um contra-exemplo.

Sabemos que dado um vetor X_{0} tangente num ponto m_{0} existe um único campo vetorial X em M paralelo e com X(m_{0}) = X_{0}. Podemos então escolher uma base ortonormal num ponto m_{0} e considerar os campos paralelos X_{1}, X_{2}, …, X_{c} correspondentes a esses vetores. Sabemos que os X_{i} formam uma base ortonormal no ponto m_{0} e logo são uma base ortonormal em todo ponto. Se construirmos uma carta global φ = (x_{1}, x_{2}, …, x_{c}) em M com os vetores de base ∂/∂x_{i} iguais aos X_{i} então teremos que φ é uma isometria de M com um aberto do ℝ^{n}.

Caímos então na EDP (1): queremos determinar uma função φ: M → ℝ^{n} de modo que dφ_{x} seja a transformação linear que leva os vetores X_{i}(x) nos vetores e_{i} da base canônica do ℝ^{n}. Tome então a seção F do fibrado L(T M, T ℝ^{n}) de modo que F (x, y) ∘ X_{i}(x) = e_{i}. A distribuição D em M × ℝ^{n} é gerada pelos campos vetoriais (X_{i}, e_{i}). Temos:

[(X_{i}, e_{i}), (X_{j}, e_{j})] = ([X_{i}, X_{j}], [e_{i}, e_{j}]) = ([X_{i}, X_{j}], 0).

É fácil ver que este campo estará na distribuição D se e só se [X_{i}, X_{j}]=0 (rededuzimos aqui a condição usual para que exista uma carta cuja base de campos vetoriais é dada). De fato:

[X_{i}, X_{j}] = ∇_{X_{i}}X_{j} − ∇_{X_{j}}X_{i} = 0.

Assim, a condição de integrabilidade é satisfeita e existem soluções locais. Seja K uma subvariedade integral maximal de D. Devemos mostrar que π_{1}_{|K} é um recobrimento. Seja γ: [a, b] → M uma curva diferenciável com γ(a) ∈ π_{1}(K). Devemos mostrar que a EDO (2) admite soluções cujo domínio é todo o intervalo [a, b] (com condições iniciais arbitrárias).

De fato, supondo por absurdo que γ̃^{2}: [a, c) → ℝ^{n} é uma solução maximal com c < b então a função γ̃^{2} não tem ponto de aderência quando t → c, e portanto sua imagem fica fora de qualquer compacto para t → c. Mas F (γ(t), γ̃^{2}(t)) é uma isometria e logo dγ̃^{2}/dt e dγ/dt têm a mesma norma para todo t. Como ∥dγ/dt∥ é contínua em [a, b] resulta que ela é limitada por uma constante k e logo a imagem de γ̃^{2} tem diâmetro no máximo k(c − a), ou seja, está dentro de um compacto. A contradição mostra que π_{1}_{|K} é um recobrimento de M.

Finalmente, como M é simplesmente conexa, vemos que π_{1}_{|K} é um difeomorfismo global de K em M e o argumento já usado anteriormente mostra que a EDP (1) admite uma solução global φ: M → ℝ^{n}. Esta φ será uma isometria local de M sobre um aberto do ℝ^{n}. Porém não podemos garantir que φ seja injetora e portanto não temos uma isometria global. Na realidade se φ não for injetora então não existe nenhuma isometria (global) de M sobre um aberto do ℝ^{n}.

De fato, φ é única a menos de translações e rotações no contradomínio. Sabemos que duas isometrias locais com domínio conexo cujo valor e diferencial coincidem num ponto são iguais. Dada outra isometria local ψ: M → ℝ^{n} então podemos encontrar uma transformação T: ℝ^{n} → ℝ^{n} que seja a composta de uma translação e uma transformação ortogonal, de modo que T ∘ φ e ψ tenham o mesmo valor e diferencial num ponto (a translação corrige o valor e a rotação corrige a diferencial).

Para obter um exemplo real onde φ não é injetora, tome U um aberto do ℝ^{n} que não seja simplesmente conexo, considere o recobrimento universal de U, (Ũ, π) e coloque em Ũ a métrica Riemanniana induzida de U por π (de modo que Ũ se torna o recobrimento Riemanniano universal de U). Assim, π: Ũ → ℝ^{n} é uma isometria local mas não é injetora, donde Ũ é uma variedade Riemanniana de curvatura zero, simplesmente conexa que não é isométrica a nenhum aberto do ℝ^{n}.

Também não é verdade que tais recobrimentos universais são a única possibilidade. Podemos tirar um ponto de Ũ, por exemplo, de modo que π deixa de ser um recobrimento. Daí, pelo mesmo argumento de antes, nenhuma isometria local de Ũ − {p} em ℝ^{n} pode ser um recobrimento sobre sua imagem.