O Triedro de Frenet

MAT–2454 - Cálculo Diferencial e Integral II Daniel Victor Tausk

Seja γ : I → IR^{3} uma curva de classe C^{3} definida num intervalo I ⊂ IR. Assuma que γ é regular, ou seja, γ′(t) ≠ 0 para todo t ∈ I. Fixamos t_{0} ∈ I e para cada t ∈ I definimos:

(1)  s = σ(t) = ∫_{t_{0}}^{t} ∥γ′(u)∥ du.

Para t ≥ t_{0}, σ(t) é igual ao comprimento da curva γ restrita ao intervalo [t_{0}, t] e para t < t_{0}, σ(t) é igual a menos o comprimento da curva γ restrita ao intervalo [t, t_{0}]. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (segunda versão), temos:

\frac{ds}{dt} = σ′(t) = ∥γ′(t)∥.

Escrevemos também r⃗ = γ(t), de modo que γ′(t) = \frac{dr⃗}{dt} e portanto:

(2)  \frac{ds}{dt} = ∥\frac{dr⃗}{dt}∥.

Como γ′(t) ≠ 0 para todo t ∈ I, temos que σ′(t) > 0 para todo t ∈ I; segue que σ : I → IR é uma função estritamente crescente e portanto podemos considerar sua inversa σ^{−1}, que é uma função de classe C^{3} definida no intervalo σ(I). Em outras palavras, podemos reescrever a identidade s = σ(t) colocando t em função de s, obtendo t = σ^{−1}(s); temos:

\frac{dt}{ds} = (\frac{ds}{dt})^{−1}.

Substituindo t = σ^{−1}(s) em r⃗ = γ(t), obtemos uma expressão para r⃗ em função do parâmetro s; de modo mais preciso, consideramos a função composta μ = γ ∘ σ^{−1} e obtemos uma curva r⃗ = μ(s). Note que:

(3)  μ′(s) = \frac{dr⃗}{ds} = \frac{dr⃗}{dt} \frac{dt}{ds} = \frac{dr⃗}{dt} ∥\frac{dr⃗}{dt}∥^{−1},

ou seja, μ′(s) = \frac{dr⃗}{ds} é o versor do vetor tangente \frac{dr⃗}{dt} à curva γ. Em particular ∥μ′(s)∥ = 1. Dizemos que a curva μ é uma reparametrização por comprimento de arco de γ.

1. Exemplo. Seja γ : IR → IR^{3} definida por:

(4)  r⃗ = γ(t) = (R cos t, R sen t, 0),

onde R > 0 é uma constante fixada. Temos que γ parametriza uma circunferência de raio R e centro na origem, contida no plano z = 0. Temos γ′(t) = (−R sen t, R cos t, 0) e portanto ∥γ′(t)∥ = R. Tomando t_{0} = 0 e usando (1) obtemos:

s = σ(t) = ∫_{0}^{t} R du = Rt.

Logo t = \frac{s}{R}. Substituindo essa relação em (4) obtemos:

r⃗ = μ(s) = (R cos \frac{s}{R}, R sen \frac{s}{R}, 0),

onde μ = γ ∘ σ^{−1}. A curva μ é uma reparametrização por comprimento de arco da curva γ. Embora os cálculos envolvidos neste exemplo tenham sido muito simples, observamos que na maioria dos casos é muito difícil obter uma expressão explicíta para uma reparametrização por comprimento de arco de uma dada curva regular γ.

Se interpretamos r⃗ = γ(t) como sendo a posição no instante t de um corpo que se movimenta pelo espaço IR^{3} então s = σ(t) é a distância percorrida por esse corpo desde o instante t_{0} até o instante t, para t ≥ t_{0} (e s = σ(t) é igual a menos a distância percorrida desde o instante t até o instante t_{0}, para t < t_{0}). Definimos:

v⃗ = \frac{dr⃗}{dt}, a⃗ = \frac{dv⃗}{dt} = \frac{d^{2}r⃗}{dt^{2}},

v = \frac{ds}{dt}, a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^{2}s}{dt^{2}}.

Note que, na interpretação física, v⃗ é a velocidade vetorial, a⃗ é a aceleração vetorial, v é a velocidade escalar e a é a aceleração escalar do corpo. Com a terminologia introduzida acima, a identidade (2) fica:

∥v⃗∥ = v,

ou seja, a norma da velocidade vetorial coincide com a velocidade escalar. Como veremos abaixo, não é verdadade em geral que a norma da aceleração vetorial coincide com a aceleração escalar.

Definimos agora:

T = \frac{dr⃗}{ds} .

Como vimos em (3), T é simplesmente o versor do vetor tangente v⃗ = \frac{dr⃗}{dt}, ou seja:

(5)  T = \frac{v⃗}{v} = \frac{γ′}{∥γ′∥} .

Chamamos T o vetor tangente unitário à curva r⃗ = γ(t). Derivando a identidade T · T = 1 com respeito a s obtemos:

2 T · \frac{dT}{ds} = 0,

ou seja, o vetor \frac{dT}{ds} é normal ao vetor T (e portanto a \frac{dr⃗}{dt}). O vetor \frac{dT}{ds} em geral não é unitário; sua norma mede, intuitivamente, o quanto o vetor tangente unitário T muda de direção. Definimos:

κ = ∥\frac{dT}{ds} ∥;

chamamos κ a curvatura da curva r⃗ = γ(t).

Vamos agora obter uma fórmula para a aceleração vetorial a⃗. De (5) vem v⃗ = vT; derivando essa identidade com respeito a t obtemos:

a⃗ = aT + v \frac{dT}{dt} = aT + v \frac{dT}{ds} \frac{ds}{dt}.

Logo:

(6)  a⃗ = aT + v^{2} \frac{dT}{ds} .

Note que, como \frac{dT}{ds} é normal a T, a identidade (6) nos diz que \frac{dT}{ds} ≠ 0 se e somente se os vetores a⃗ e T são linearmente independentes, ou seja:

κ ≠ 0 ⟺ \frac{dT}{ds} ≠ 0 ⟺ a⃗ e v⃗ são linearmente independentes.

Vamos assumir a partir de agora que o vetor \frac{dT}{ds} não é nulo. Denotaremos por N o versor \frac{dT}{ds} ∥\frac{dT}{ds} ∥^{−1} do vetor \frac{dT}{ds}. Chamaremos N o vetor normal unitário à curva r⃗ = γ(t). Temos obviamente:

(7)  \frac{dT}{ds} = κN.

Levando em conta (7), a identidade (6) nos dá:

(8)  a⃗ = aT + v^{2}κN.

Fisicamente, a identidade (8) nos diz que a aceleração vetorial a⃗ tem duas componentes; uma tangente ao movimento (ou seja, paralela a T), com norma igual à aceleração escalar a. A outra é normal ao movimento (ou seja, paralela a N) e possui norma igual a v^{2}κ. A componente normal ao movimento é normalmente conhecida como aceleração centrípeta. Escrevendo R = \frac{1}{κ} obtemos a fórmula mais familiar \frac{v^{2}}{R} para a norma da aceleração centrípeta; o escalar R é conhecido como o raio de curvatura da curva r⃗ = γ(t). Observamos que o raio de curvatura de uma circunferência coincide com seu raio (verifique!).

Usando (8) fica fácil obter uma expressão para a aceleração escalar a; de fato, multiplicando (8) escalarmente por T e usando (5) obtemos:

(9)  a = \frac{a⃗ · v⃗}{v} .

Denotamos por B o produto vetorial de T por N, ou seja:

(10)  B = T ∧ N.

Como T e N são unitários e normais, temos que o vetor B também é unitário. Além do mais, a trinca (T, N, B) é uma base ortonormal positivamente orientada de IR^{3}. O vetor B é chamado o vetor binormal à curva r⃗ = γ(t) e a base (T, N, B) é chamada o triedro de Frenet–Serret da curva r⃗ = γ(t). Multiplicando a identidade (8) vetorialmente por v⃗ = vT obtemos:

v⃗ ∧ a⃗ = (vT) ∧ (aT) + (vT) ∧ (v^{2}κN) = v^{3}κB.

Como ∥B∥ = 1, v > 0 e κ > 0 concluímos que ∥v⃗ ∧ a⃗∥ = v^{3}κ, ou seja:

(11)  κ = \frac{∥v⃗ ∧ a⃗∥}{v^{3}} = \frac{∥γ′ ∧ γ′′∥}{∥γ′∥^{3}} ,

o que nos dá uma expressão para a curvatura κ que envolve apenas derivadas de r⃗ com respeito ao parâmatro t. Note que de (5) e (8) podemos obter também uma expressão para o vetor N:

(12)  N = \frac{va⃗ − av⃗}{v^{3}κ} = \frac{va⃗ − av⃗}{∥v⃗ ∧ a⃗∥} ,

onde a pode ser calculado usando (9). Usando (5), (10) e (12) obtemos a seguinte expressão para a binormal B:

(13)  B = \frac{v⃗ ∧ a⃗}{∥v⃗ ∧ a⃗∥} = \frac{γ′ ∧ γ′′}{∥γ′ ∧ γ′′∥} .

Na prática, em vez de usar (12), é mais simples calcular N usando (5) e (13), levando em conta que:

(14)  N = B ∧ T.

Nosso objetivo agora é obter as coordenadas das derivadas \frac{dT}{ds}, \frac{dN}{ds} e \frac{dB}{ds} na base (T, N, B). Note que essa tarefa já foi realizada para a derivada \frac{dT}{ds} (vide (7)). Vamos então determinar as coordenadas de \frac{dN}{ds} na base (T, N, B); note que, como essa base é ortonormal, essas coordenadas são dadas por \frac{dN}{ds} · T, \frac{dN}{ds} · N e \frac{dN}{ds} · B. Derivando as identidades N · N = 1 e N · T = 0 com respeito a s obtemos:

2 N · \frac{dN}{ds} = 0, \frac{dN}{ds} · T + N · \frac{dT}{ds} = 0.

Usando (7) obtemos:

(15)  N · \frac{dN}{ds} = 0, T · \frac{dN}{ds} = −κ.

A componente de \frac{dN}{ds} na direção da binormal B será chamada a torção da curva r⃗ = γ(t) e será denotada por τ; temos então:

(16)  τ = B · \frac{dN}{ds} .

De (15) e (16) vem:

(17)  \frac{dN}{ds} = −κT + τB.

Finalmente, calculamos as coordenadas de \frac{dB}{ds} na base (T, N, B). Para isso, derivamos as identidades B · T = 0, B · N = 0 e B · B = 1 com respeito a s obtendo:

\frac{dB}{ds} · T = −B · \frac{dT}{ds} = −B · (κN) = 0,

\frac{dB}{ds} · N = −B · \frac{dN}{ds} = −τ,

\frac{dB}{ds} · B = 0.

Logo:

(18)  \frac{dB}{ds} = −τN.

As identidades (7), (17) e (18) são conhecidas como as equações de Frenet– Serret.

Vamos agora obter uma fórmula para a torção τ que envolva apenas derivadas de r⃗ com respeito ao parâmetro t. Derivamos a identidade (8) com respeito a t:

\frac{da⃗}{dt} = \frac{da}{dt}T + a\frac{dT}{dt} + \frac{d(v^{2}κ)}{dt}N + v^{2}κ\frac{dN}{dt}

= \frac{da}{dt}T + a\frac{dT}{ds} \frac{ds}{dt} + \frac{d(v^{2}κ)}{dt}N + v^{2}κ\frac{dN}{ds} \frac{ds}{dt}

= \frac{da}{dt}T + avκN + \frac{d(v^{2}κ)}{dt}N + v^{3}κ\frac{dN}{ds} .

Na última igualdade acima utilizamos (7). Multiplicando as expressões acima escalarmente por B e levando em conta (16) obtemos:

\frac{da⃗}{dt} · B = v^{3}κτ.

Usando (13) chegamos a:

\frac{1}{∥v⃗ ∧ a⃗∥} \frac{da⃗}{dt} · (v⃗ ∧ a⃗) = v^{3}κτ.

Da identidade acima e de (11) obtemos finalmente a seguinte expressão para a torção:

(19)  τ = \frac{1}{∥v⃗ ∧ a⃗∥^{2}} \frac{da⃗}{dt} · (v⃗ ∧ a⃗) = \frac{γ′′′ · (γ′ ∧ γ′′)}{∥γ′ ∧ γ′′∥^{2}} .

2. Exemplo. Seja γ : IR → IR^{3} definida por:

r⃗ = γ(t) = (R cos t, R sen t, ct),

onde R > 0 e c ∈ IR são constantes fixadas. Temos que r⃗ = γ(t) descreve o movimento de um corpo cuja sombra no plano z = 0 movimenta-se pela circunferência de centro na origem e raio R em movimento circular uniforme; a sombra do corpo no eixo z segue um movimento retilíneo uniforme com velocidade igual a c vezes a velocidade angular da sombra no plano z = 0. Temos:

γ′(t) = (−R sen t, R cos t, c), ∥γ′(t)∥ = \sqrt{R^{2} + c^{2}}.

Usando (5) obtemos:

T (t) = \frac{1}{\sqrt{R^{2} + c^{2}}} (−R sen t, R cos t, c).

Temos também:

γ′′(t) = (−R cos t, −R sen t, 0),
γ′(t) ∧ γ′′(t) = (Rc sen t, −Rc cos t, R^{2}),
∥γ′(t) ∧ γ′′(t)∥ = R\sqrt{R^{2} + c^{2}}.

De (11) obtemos então:

κ(t) = \frac{R}{R^{2} + c^{2}} ,

e de (13) obtemos:

B(t) = \frac{1}{\sqrt{R^{2} + c^{2}}} (c sen t, −c cos t, R).

Podemos agora calcular N usando (14):

N(t) = (− cos t, − sen t, 0),

e calcular τ usando (19):

τ(t) = \frac{c}{R^{2} + c^{2}} .

Observamos que a curvatura κ e a torção τ da curva γ são constantes. Esse fenômeno é uma particularidade deste exemplo; em geral, a curvatura e a torção de uma curva r⃗ = γ(t) são funções do parâmetro t.