Generalizando a derivada de Lie de formas diferenciais

Introdução.

Seja M uma variedade diferenciável (ao longo do texto diferenciável significa C^{∞}. Todos os objetos considerados serão diferenciáveis). Seja X um campo vetorial sobre M. Denotamos por F: A → M o fluxo maximal de X, onde A ⊂ ℝ × M é um aberto (para m ∈ M fixado a função t ↦ F (t, m) é a curva integral maximal de X satisfazendo F (0, m) = m).

Seja ω uma r-forma (alternada) em M. A derivada de Lie de ω em relação a X é definida por:

𝕃_{X}ω(m) = \frac{d}{dt}(F_{t}^{∗}ω)(m)|_{t=0} ,

onde F_{t} é dada por F_{t}(m) = F (t, m).

Sabe-se que 𝕃_{X}ω = di_{X}ω + i_{X}dω. Sabe-se também que:

\frac{d}{dt}(F_{t}^{∗}ω)(m) = F_{t}^{∗}𝕃_{X}ω(m) = F_{t}^{∗}(di_{X}ω + i_{X}dω)(m).  (1)

Queremos considerar o problema geral de calcular \frac{d}{dt}(F_{t}^{∗}ω)(m), onde F: A → M é uma função qualquer diferenciável num aberto A ⊂ ℝ × M (podemos considerar também o caso F: A ⊂ ℝ × M → N).

Se F não satisfaz a condição F_{s} ∘ F_{t} = F_{s+t} então certamente F não é fluxo de um campo X. Se pelo menos F_{t} for um difeomorfismo para cada t e F_{0} = Id. podemos encontrar um campo X dependente do tempo do qual F é fluxo. Tratamos agora o caso em que F: A ⊂ ℝ × M → N é só diferenciável.

Podemos (no caso em que X existe) escrever a fórmula (1) na forma:

\frac{d}{dt}(F_{t}^{∗}ω)(m) = (dF_{t}^{∗}i_{X}ω + F_{t}^{∗}i_{X}dω)(m).

Observe que F_{t}^{∗} e i_{X} sempre aparecem juntos do lado direito. Calculemos F_{t}^{∗}i_{X}ω(m).

F_{t}^{∗}i_{X}ω(m) = dF_{t}(m)^{∗}i_{X}ω(F_{t}(m)).

Isto significa que (F_{t}^{∗}i_{X}ω)(m) depende só do valor de X no ponto F_{t}(m). Temos:

X(F_{t}(m)) = \frac{d}{dt}F_{t}(m).

Isto motiva a seguinte definição.

Definição. Sejam M, N variedades, A ⊂ ℝ × M um aberto, F: A → N uma função. Se ω é uma r-forma em N então definimos para todo (t, m) ∈ A:

F̃^{t}ω(m) = dF_{t}(m)^{∗}i_{v}ω(F_{t}(m)),

onde F_{t} = F (t, ·) e v = \frac{d}{dt}F_{t}(m).

Vemos que F̃^{t}ω é uma r − 1-forma definida no domínio aberto de F_{t} (obs: se ω é uma zero-forma convencionamos que i_{v}ω = 0). Temos o seguinte teorema:

Teorema 1. Sejam M, N variedades, A ⊂ ℝ × M aberto, F: A → N função, ω uma r-forma em N. Então:

\frac{d}{dt}(F_{t}^{∗}ω)(m) = (dF̃^{t}ω + F̃^{t}dω)(m).

Demonstração: Ambos os lados definem um operador que associa a cada r-forma de N uma r − 1-forma no domínio de F_{t}. É fácil ver que ambos são ℝ-lineares. Denotemos o operador do lado esquerdo por O e o do lado direito por O′. Então:

O(ω ∧ λ) = O(ω) ∧ F_{t}^{∗}λ + F_{t}^{∗}ω ∧ O(λ).

Temos também:

F̃^{t}(ω ∧ λ) = F̃^{t}(ω) ∧ F_{t}^{∗}λ + (−1)^{gr. ω}F_{t}^{∗}ω ∧ F̃^{t}λ,

utilizando a fórmula correspondente para i_{v}(ω ∧ λ).

Daí, utilizando a fórmula para a derivação exterior de um produto exterior, vem:

O′(ω ∧ λ) = O′(ω) ∧ F_{t}^{∗}λ + F_{t}^{∗}ω ∧ O′(λ).

É fácil ver (usando a fórmula para a diferencial exterior em coordenadas locais) que quando temos uma família de formas a um parâmetro t então d e \frac{d}{dt} comutam. Logo:

O(dω) = dO(ω).

Vê-se diretamente que O′(dω) = dO′(ω).

Observamos que O e O′ são operadores locais, no sentido que O(ω)_{m} e O′(ω)_{m} só dependem dos valores de ω numa vizinhança de F_{t}(m).

As propriedades observadas até agora nos mostram que basta ver que O e O′ coincidem sobre as zero-formas para termos O = O′ (pois, localmente, as zero-formas geram todas as outras através de diferencial exterior, produto exterior e somas). Seja então f ∈ C^{∞}(N) uma zero-forma. Temos:

O(f)_{m} = \frac{d}{dt}(F_{t}^{∗}f)(m) = \frac{d}{dt}(f ∘ F_{t})(m) = df(F_{t}(m)) ∘ \frac{d}{dt}F_{t}(m),

e também:

O′(f)_{m} = F̃^{t}df(m) = i_{v}df(F_{t}(m)) = df(F_{t}(m)) ∘ v,

onde v = \frac{d}{dt}F_{t}(m)

A demonstração acima é praticamente idêntica à da fórmula usual 𝕃 = di + id, mas abaixo daremos algumas aplicações interessantes onde usamos toda a generalidade do teorema 1 para F. Temos o:

Teorema 2. Sejam M, N variedades. Se f, g: M → N são homotópicas e ω é uma forma fechada em N então f^{∗}ω − g^{∗}ω é exata (i.e., f e g induzem a mesma transformação nos grupos de cohomologia de Rham).

Demonstração: Sabe-se (usando teoremas de aproximação) que se f, g são continuamente homotópicas então elas são C^{∞}-homotópicas. Então existe uma homotopia C^{∞} F: [0, 1] × M → N (F é C^{∞} significa que F tem uma extensão C^{∞} a um aberto A ⊂ ℝ×M contendo [0, 1] × M). Integrando de zero a um os dois lados da fórmula dada pelo teorema 1 vem:

(F_{1}^{∗}ω − F_{0}^{∗}ω)(m) = ∫_{0}^{1}(dF̃^{t}ω + F̃^{t}dω)(m)dt.

Note que F_{0} = f, F_{1} = g, dω = 0. Usando a fórmula para diferencial exterior em coordenadas locais é fácil ver que d e a integral dt comutam. Daí:

g^{∗}ω − f^{∗}ω = d ∫_{0}^{1} F̃^{t}ωdt,

onde ∫_{0}^{1} F̃^{t}ωdt é uma forma dada por:

(∫_{0}^{1} F̃^{t}ωdt)(m) = ∫_{0}^{1} F̃^{t}ω(m)dt

Corolário. Se M é contrátil então toda forma fechada de grau maior ou igual a 1 é exata.

Demonstração: De fato, a função identidade e uma função constante são homotópicas. Mas Id.^{∗}ω = ω e se gr. ω ≥ 1 o pull-back pela função constante é zero. Logo ω é exata

Variedades simpléticas.

Uma variedade simplética é um par (M, ω), onde M é uma variedade, ω é uma 2forma (alternada) com ω(m) não degenerada para todo m ∈ M e dω = 0. É claro que a dimensão de M tem que ser par, logo escrevemos dim. M = 2n. A condição dω = 0 equivale à existência de um atlas formado por cartas φ: U → Ũ, φ = (x^{1}, x^{2}, …, x^{2n}) tais que:

ω = ∑_{i=1}^{n} dx^{n+i} ∧ dx^{i}.  (2)

De fato, temos o:

Teorema 3 (Darboux). Seja (M, ω) uma variedade simplética. Então dado m ∈ M existe uma carta φ: U → Ũ, φ = (x^{1}, x^{2}, …, x^{2n}) tal que m ∈ U e tal que a igualdade (2) vale.

Demonstração: Seja ψ: V → Ṽ, ψ = (y^{1}, y^{2}, …, y^{2n}) uma carta com m ∈ V e Ṽ convexo (portanto V contrátil). Defina ω_{0} por:

ω_{0} = ∑_{i=1}^{n} dy^{n+i} ∧ dy^{i}.

Podemos escolher ψ de modo que ω(m) = ω_{0}(m) (admitimos da álgebra linear o teorema sobre existência de uma base num espaço vetorial que deixa uma forma bilinear alternada na forma canônica). Definimos para cada t ∈ ℝ a forma ω_{t} = (1 − t)ω_{0} + tω (em particular ω = ω_{1}).

O conjunto dos pares (t, x) ∈ ℝ × V tais que ω_{t}(x) é não degenerada forma um aberto em ℝ × M. Como ω_{t}(m) = ω(m) para todo t ∈ ℝ, vemos que esse aberto contém [0, 1] × {m}, e como [0, 1] é compacto, podemos diminuir V de modo que ω_{t}(x) seja não degenerada para todo (t, x) ∈ [0, 1] × V.

Como V é contrátil e ω_{0} − ω é fechada, o corolário do teorema 1 nos dá uma 1-forma λ em V com dλ = ω_{0} − ω. Temos a liberdade de somar à λ a diferencial de uma função escalar. Escolhendo essa função de modo que sua diferencial no ponto m seja −λ(m), podemos supor λ(m) = 0.

Denotando por A o aberto em ℝ × V (contendo [0, 1] × V) no qual ω_{t}(x) é não degenerada para todo (t, x) ∈ A, definimos um campo vetorial dependente do tempo X: A → T M tal que:

i_{X(t,x)}ω_{t}(x) = λ(x), ∀(t, x) ∈ A.

Seja F: A′ → M o fluxo maximal de X definido num aberto A′ ⊂ ℝ × M. Como λ(m) = 0, temos X(t, m) = 0 sempre que (t, m) ∈ A, logo a curva integral maximal de X que passa por m no instante zero é definida (e constante) num intervalo aberto contendo [0, 1]. Logo [0, 1]×{m} ⊂ A′. Como [0, 1] é compacto, podemos escolher um aberto U ∋ m tal que [0, 1] × U ⊂ A′.

Temos que a expressão F_{t}^{∗}ω_{t}(x) para (t, x) ∈ A′ nos define uma família de formas a um parâmetro (note que a imagem de F_{t} está contida em V). Utilizamos a fórmula dada pelo teorema 1 para derivar essa expressão em relação a t (consideramos F_{t}^{∗}ω_{s}(x), fazemos as derivadas parciais em relação à s e à t e somamos):

\frac{d}{dt}(F_{t}^{∗}ω_{t})(x) = dF̃^{t}ω_{t}(x) + F̃^{t}dω_{t}(x) + F_{t}^{∗} \frac{d}{dt}ω_{t}(x) = dF_{t}^{∗}i_{X_{t}}ω_{t}(x) + F_{t}^{∗}(ω − ω_{0})(x),

notando que ω_{t} é fechada.

Temos então:

\frac{d}{dt}(F_{t}^{∗}ω_{t})(x) = F_{t}^{∗}dλ(x) + F_{t}^{∗}(ω − ω_{0})(x) = 0,

donde F_{1}^{∗}ω = F_{0}^{∗}ω_{0} em U. Mas F_{0} = Id., donde F_{1}^{∗}ω = ω_{0} em U. Temos que F_{1} leva U difeomorficamente sobre o aberto F_{1}(U) que contém o ponto F_{1}(m) = m. Logo basta definir φ = ψ ∘ F_{1}^{−1}: F_{1}(U) → ψ(U)

Formas de contato.

Seja M uma variedade. Uma forma de contato em M é uma 1-forma θ que nunca se anula e tal que para cada m ∈ M a 2-forma dθ restrita ao subespaço Ker θ_{m} ⊂ T_{m}M é não degenerada.

Note que θ anula uma distribuição D de codimensão um. Como dθ é não degenerada em D, vemos que D tem que ter dimensão par e logo M tem que ter dimensão ímpar. Escrevemos dim. D = 2n e dim. M = 2n + 1.

É fácil ver que se θ é de contato então qualquer outra 1-forma que anule D também é de contato. De fato, essa outra 1-forma tem que ser do tipo fθ, onde f é uma função que nunca se anula. Daí d(fθ) = df ∧ θ + fdθ, onde o termo df ∧ θ se anula quando nos restringimos a D e fdθ também é não degenerada em D. Daí uma distribuição D de codimensão um é chamada uma distribuição de contato quando é localmente anulada por uma forma de contato. O par (M, D) se chama uma variedade de contato. Observação: normalmente, se D é uma distribuição qualquer, define-se a forma bilinear de Levi L: D_{m} × D_{m} → T_{m}M/D_{m} fazendo L(v, w) = [X, Y]_{m} + D_{m}, onde X, Y são campos vetoriais dentro de D tais que X_{m} = v, Y_{m} = w. O valor de [X, Y]_{m} módulo D não depende das extensões X, Y de v e w. De fato, se X′, Y′ são outras extensões então para qualquer 1-forma θ anulando D numa vizinhança de m temos:

dθ(v, w) = X(θ(Y))_{m} − Y (θ(X))_{m} − θ([X, Y]_{m}) = −θ([X, Y]_{m}),

e analogamente dθ(v, w) = −θ([X′, Y′]_{m}), donde θ([X, Y]_{m} − [X′, Y′]_{m}) = 0 e como θ_{m} é um elemento arbitrário do anulador de D_{m}, vem o resultado desejado. No caso em que D é de codimensão 1, podemos localmente definir D como o núcleo de uma 1-forma θ. Daí os cálculos acima mostram que a menos de um isomorfismo entre T_{m}M/D_{m} e ℝ dado por θ, temos L = −dθ. Podemos então dizer que D é de contato quando L é não degenerada em todo ponto (note que D é integrável se e só se L é identicamente nula. nesse sentido pode-se dizer que contato é o caso extremo da não integrabilidade).

Identifiquemos a forma bilinear dθ_{m} com a transformação linear dθ_{m}: T_{m}M → T_{m}M^{∗} dada por v ↦ dθ_{m}(v, ·). Podemos então considerar Ker dθ_{m}. Como T_{m}M tem dimensão ímpar, obviamente dθ_{m} não pode ser não degenerada, logo esse núcleo é não trivial. Como dθ_{m} é não degenerada restrita à D, vemos que esse núcleo tem soma direta com D, donde tem que ser unidimensional. Existe então um único vetor ξ ∈ Ker dθ_{m} tal que θ_{m}(ξ) = 1. Essa construção define um campo vetorial ξ sobre a variedade M. Não é difícil mostrar que ξ é diferenciável (de fato, usando coordenadas locais, vemos que a matriz de dθ_{m}: T_{m}M → T_{m}M^{∗} é função diferenciável de m. Essa matriz tem posto constante igual a 2n, donde podemos, num ponto m, escolher 2n linhas linearmente independentes dessa matriz. Essas linhas ainda serão linearmente independentes numa vizinhança de m, donde teremos um referencial local de 2n 1-formas diferenciáveis linearmente independentes anulando Ker dθ. Isso mostra que Ker dθ é um subfibrado vetorial (diferenciável) de T M. Esse fibrado admite um referencial local (no caso, uma seção não nula) X. Basta tomar ξ = X/θ(X)).

O campo ξ definido acima (associado a θ) foi caracterizado pelas propriedades i_{ξ}dθ = 0 e θ(ξ) = 1. A fórmula di_{ξ}θ + i_{ξ}dθ = 𝕃_{ξ}θ mostra que essas propriedades são equivalentes a 𝕃_{ξ}θ = 0 e θ(ξ) = 1.

Mostramos agora um exemplo de como obter formas de contato.

Exemplo. Construção de variedades de contato a partir de variedades simpléticas.

Seja (M, ω) uma variedade simplética (de dimensão 2n). Suponha que ω é exata (por exemplo, pelo teorema 2, esse é o caso se M for contrátil). Mostraremos que existe uma forma de contato θ em M × ℝ satisfazendo:

(1) O campo ξ é dado por ξ(m, t) = (0, 1) (onde 0 ∈ T_{m}M e 1 ∈ T_{t}ℝ ≃ ℝ) para todos m ∈ M, t ∈ ℝ.

(2) Denotando por i: M → M × ℝ a inclusão i(m) = (m, 0) vale i^{∗}dθ = ω.

De fato, seja λ uma 1-forma em M tal que dλ = ω. Defina θ = π_{1}^{∗}λ + dπ_{2}, onde π_{1}, π_{2} são as projeções do produto cartesiano M × ℝ. É claro que θ_{m}(0, 1) = 1.

Para ver que a derivada de Lie de θ em relação ao campo (0, 1) é nula, precisamos ver que θ é invariante pelo fluxo de (0, 1), i.e., se F é o fluxo maximal de (0, 1) então F_{t}^{∗}θ = θ para todo t. É claro que F_{t} é dada por F_{t}(m, s) = (m, s + t) e daí:

F_{t}^{∗}θ = (π_{1} ∘ F_{t})^{∗}λ + dF_{t}^{∗}π_{2} = π_{1}^{∗}λ + d(π_{2} ∘ F_{t}) = π_{1}^{∗}λ + dπ_{2} = θ.

Isso (se mostrarmos que θ é de contato) termina o item (1). Quanto ao item (2) basta calcular:

i^{∗}θ = (π_{1} ∘ i)^{∗}λ + di^{∗}π_{2} = λ.

Mostremos que θ é de contato. Como θ(ξ) = 1, vemos que θ nunca se anula. Seja D = Ker θ. É claro que i^{∗}dθ = ω. Seja (m, t) ∈ M × ℝ. Como ξ gera o núcleo de dπ_{1} e D é complementar ao espaço gerado por ξ, vemos que dπ_{1} leva D_{(m,t)} isomorficamente sobre T_{m}M. Denote por S o inverso desse isomorfismo. Afirmamos que S^{∗}dθ_{(m,t)} = ω_{m} (daí decorrerá que dθ_{|D} é não degenerada, e logo θ é de contato).

De fato, dados v_{1}, v_{2} ∈ T_{m}M temos S(v_{1}) = v_{1} + c_{1}ξ, S(v_{2}) = v_{2} + c_{2}ξ (onde identificamos T_{m}M com T_{m}M ⊕ 0 ⊂ T_{m}M ⊕ ℝ). Daí:

S^{∗}dθ_{(m,t)}(v_{1}, v_{2}) = dθ_{(m,t)}(v_{1} + c_{1}ξ, v_{2} + c_{2}ξ) = dθ_{(m,t)}(v_{1}, v_{2}),

lembrando que dθ(ξ, ·) é nula.

Precisamos então mostrar que dθ_{(m,t)}(v_{1}, v_{2}) = ω_{m}(v_{1}, v_{2}), ou então, denotando por i_{t}: M → M × ℝ a inclusão i_{t}(m) = (m, t), queremos mostrar que i_{t}^{∗}dθ = ω. Mas isso é imediato, pois i_{t} = F_{t} ∘ i e F_{t}^{∗}dθ = dθ.

Mostraremos agora que toda variedade de contato é localmente como a do exemplo acima. Temos o seguinte teorema.

Teorema 4. Seja M uma variedade e θ uma forma de contato em M. Para cada ponto m ∈ M existe uma carta φ: U → Ũ, φ = (x_{0}, x_{1}, …, x_{2n}) com m ∈ U tal que ξ = ∂/∂x_{0} e tal que a subvariedade mergulhada dada por x_{0} = 0 munida com a restrição de dθ é uma variedade simplética.

Demonstração: Como ξ é um campo vetorial que nunca se anula, existe uma carta φ com ξ = ∂/∂x_{0} (podemos supor que Ũ é um bloco retangular e que φ(m) = 0). Sendo S a subvariedade dada por x_{0} = 0, resta ver que dθ restrita a T_{x}S é não degenerada para cada x ∈ S (já que ela é obviamente fechada). De fato, se v ∈ T_{x}S é tal que dθ(v, w) = 0 para todo w ∈ T_{x}S então (como T_{x}S ⊕ [ξ] = T_{x}M e dθ(v, ξ) = 0) vemos que o mesmo vale para todo w ∈ T_{x}M, donde v deve ser paralelo a ξ. Como v ∈ T_{x}S vemos que v = 0

Estamos aptos agora a provar a versão do teorema de Darboux para formas de contato. Temos então:

Teorema 5. Seja M uma variedade e θ uma forma de contato em M. Para cada ponto m ∈ M existe uma carta φ: U → Ũ, φ = (x_{0}, x_{1}, …, x_{2n}) com m ∈ U tal que:

θ = dx^{0} + ∑_{i=1}^{n} x^{n+i}dx^{i}.

Demonstração: Construa uma carta φ como a da demonstração do teorema 4. Seja S a subvariedade dada por x_{0} = 0 e seja i: S → M a inclusão. Defina ω = i^{∗}dθ. Então (S, ω) é uma variedade simplética.

Pelo teorema 3 (diminuindo U se necessário) podemos encontrar uma carta ψ = (y^{1}, y^{2}, …, y^{2n}) em S tal que:

ω = ∑_{i=1}^{n} dy^{n+i} ∧ dy^{i}.  (3)

Defina z_{i} = y_{i} ∘ π, onde π: U → S é a projeção sobre as 2n últimas coordenadas (na carta φ). Afirmamos que dθ é dada por:

dθ = ∑_{i=1}^{n} dz^{n+i} ∧ dz^{i}.  (3′)

De fato, sobre os pontos de S isso decorre do fato que i^{∗}dθ = ω e do fato que ξ está no núcleo de dθ (apenas verifique que a 2-forma definida pela fórmula (3’) também satisfaz essas duas propriedades).

Para pontos fora de S considere o fluxo F_{t} de ξ, que é dado por:

F_{t}(x^{0}, x^{1}, …, x^{2n}) = (x^{0} + t, x^{1}, …, x^{2n}),

onde F_{t} está definida no aberto de U onde a expressão acima faz sentido (note que U é um bloco retangular). Sabemos que F_{t}^{∗}dθ = dθ e é fácil calcular que a 2-forma dada por (3) também é preservada por F_{t}. Isso mostra a afirmação dada por (3).

Seja λ a 1-forma em U dada por:

λ = ∑_{i=1}^{n} z^{n+i}dz^{i}.

É claro que dλ = dθ. Daí λ − θ é fechada e como U é contrátil vemos que θ é da forma:

θ = dz_{0} + ∑_{i=1}^{n} z^{n+i}dz^{i},  (4)

onde z_{0} é uma função em U.

Para completar a demonstração basta mostrar que σ = (z^{0}, z^{1}, …, z^{2n}) define uma carta em M (com domínio talvez menor que U). Basta ver que dz_{0}, dz_{1}, …, dz_{2n} são funcionais linearmente independentes no ponto m. Basta observar os seguintes fatos. Num ponto de S e num vetor tangente a S, dz_{i} coincide com dy_{i} para i ≥ 1. Também dz_{0}(ξ) = 1 (aplique os dois lados de (4) ao vetor ξ). Daí pegue uma combinação linear nula dos covetores dz_{i}(m) e aplique-a ao vetor ξ e aos vetores ∂/∂y_{i}