Derivada Covariante ao Longo de Funções

O objetivo deste texto é definir o significado de derivada covariante ao longo de uma função, por exemplo, o significado da derivada covariante de um campo vetorial ao longo de uma curva. Provamos algumas propriedades que facilitam o manuseio deste conceito nas demonstrações básicas da geometria Riemanniana.

Seja M uma variedade diferenciável (todas as variedades consideradas e todas as aplicações serão sempre diferenciáveis, onde diferenciável significa C^{∞}). Considere M munida de uma conexão afim ∇.

Temos então que dado um campo vetorial X em um aberto U contendo um ponto m ∈ M e dado um vetor v ∈ T_{m}M, temos um vetor ∇_{v}X ∈ T_{m}M. Seja agora N uma outro variedade e φ: N → M uma aplicação. Entendemos por um campo vetorial ao longo de φ, uma aplicação X: N → T M tal que π ∘ X = φ, onde π: T M → M é a projeção do fibrado tangente de M.

Dado agora um vetor v tangente a N num ponto n, gostaríamos de poder calcular ∇_{v}X, obtendo um vetor tangente a M no ponto φ(n). Muitos textos se restringem ao caso que φ é uma imersão, de modo que trocando N por um aberto em N contendo n, pode-se supor que φ é um mergulho. Daí, é possível conseguir extensões locais de X a um campo vetorial num aberto de M contendo φ(n). Tais extensões podem ser derivadas da maneira usual, e não é difícil mostrar que o fato de v ser tangente a N garante que a derivada covariante não depende da extensão escolhida.

Na realidade, é totalmente desnecessário que φ seja uma imersão. Daremos uma definição que não depende disso. Consideraremos também fibrados vetoriais genéricos, já que não há motivo para se restringir ao fibrado tangente.

Seja M uma variedade e E um fibrado vetorial sobre M com projeção π e fibra típica E_{0}. Denotaremos por Γ(E) o espaço das seções de E. Denotaremos por T M^{∗} ⊗E o fibrado vetorial sobre M cuja fibra sobre o ponto m é T_{m}M^{∗} ⊗ E_{m} ≃ L(T_{m}M, E_{m}). Denotaremos a projeção desse fibrado também por π. Definimos então o que é uma conexão sobre E.

Definição. Uma conexão ∇ sobre o fibrado vetorial E é uma aplicação linear (sobre ℝ) ∇: Γ(E) → Γ(T M^{∗} ⊗ E) que satisfaz a condição ∇(fs) = df ⊗ s + f∇s, para toda função escalar f em M em toda seção s ∈ Γ(E).

Note então que se v ∈ T_{m}M é um vetor tangente a M então podemos calcular a transformação linear ∇s(m) no vetor v obtendo o vetor ∇_{v}s em E_{m}. Também se X é um campo vetorial em M podemos definir ∇_{X}s como sendo a seção de E que no ponto m vale ∇_{X}(m)s. Note então que a condição que define a conexão é simplesmente ∇_{X}(fs) = X(f)s + f∇_{X}s.

Podemos fazer as considerações usuais sobre derivação de seções definidas em abertos de E (se s ∈ Γ(E_{|U}), onde U ⊂ M é um aberto então para cada ponto m ∈ U podemos considerar uma função escalar f em M que dá um numa vizinhança de m e tem suporte contido em U. Daí definimos ∇s(m) como sendo ∇(fs)(m)). É fácil mostrar que para cada aberto U ⊂ M temos uma conexão induzida no fibrado Γ(E_{|U}).

Seja agora N uma outra variedade e φ: N → M uma aplicação. Consideramos o fibrado vetorial φ^{∗}E sobre N (o pull-back de E por φ) cuja fibra no ponto n ∈ N é E_{φ(n)}.

Mais precisamente, o espaço total desse fibrado é:

φ^{∗}E = { (n, e) : n ∈ N, e ∈ E_{φ(n)} }.

A fibra típica também é E_{0}, a projeção é π: (n, e) ↦ e, e se α: π^{−1}(U) → U × E_{0} é uma trivialização de E então uma trivialização de φ^{∗}E é:

\begin{matrix}φ^{∗}α: & π^{−1}(φ^{−1}(U)) → φ^{−1}(U) × E_{0} \\ (n, e) ↦ (n, α^{2}(e)). \end{matrix}

Definimos por uma seção de E ao longo de φ uma função s: N → E tal que π ∘ s = φ. Note que para cada n ∈ N temos que s(n) é um ponto de E_{φ(n)}, ou seja, de φ^{∗}E_{n}. Vemos então que podemos associar a s uma seção de φ^{∗}E. É fácil ver que esta associação define um isomorfismo entre o espaço vetorial das seções de φ^{∗}E e o espaço vetorial das seções de E ao longo de φ (na realidade temos também um isomorfismo entre os módulos sobre o anel das funções escalares em N). Assim, não distinguiremos mais tais objetos.

Mostraremos então que uma conexão ∇ em E induz de maneira canônica uma conexão φ^{∗}∇ em φ^{∗}E. Isto em particular nos permite fazer a derivada covariante de seções de E ao longo de φ. Temos o seguinte teorema.

Teorema 1. Seja (E, M, π, E_{0}) um fibrado vetorial. Seja ∇ uma conexão em E. Então dada uma aplicação φ de uma variedade N em M, existe uma única conexão φ^{∗}∇ em φ^{∗}E tal que se s ∈ Γ(E), v ∈ T_{n}N então (φ^{∗}∇)_{v}(s ∘ φ) = ∇_{dφ(v)}s.

Antes de demonstrar o teorema, vamos fazer alguns comentários que mostram que conexões num fibrado E podem ser dadas localmente. Seja então (U_{λ})_{λ∈L} uma cobertura aberta de M. Se duas conexões ∇ e ∇′ em E induzem sobre todos os U_{λ} a mesma conexão então ∇ = ∇′. Além do mais, se para cada λ ∈ L for dada uma conexão ∇_{λ} em E_{|U_{λ}} de modo que para todos λ, μ ∈ L com U_{λ} ∩ U_{μ} ≠ ϕ as conexões ∇_{λ} e ∇_{μ} induzem a mesma conexão sobre U_{λ} ∩ U_{μ} então existe uma única conexão ∇ em E que induz sobre cada U_{λ} a conexão ∇_{λ}. Essas afirmações são facilmente demonstráveis. Note também que o conjunto das seções em que duas conexões coincidem é um submódulo de Γ(E) (sobre o anel das funções escalares de M). Assim, se temos um conjunto de geradores de Γ(E) como módulo sobre os quais as conexões coincidem, então concluímos que as conexões são iguais.

Agora a parte de unicidade do teorema é imediata. Se U ⊂ M é um aberto sobre o qual conseguimos uma base de seções de E, s_{1}, s_{2}, …, s_{c}, então as seções s_{i} ∘ φ de φ^{∗}E_{|φ^{−1}(U)} são geradores de Γ(φ^{∗}E_{|φ^{−1}(U)}) como módulo, e sobre estas quaisquer candidatos a φ^{∗}∇ coincidem. Usando a parte de unicidade e mais a observação sobre construção de conexão por pedaços, vemos que basta provar a existência no caso em que M admite globalmente uma base de seções de E. Nesse caso, observe que se os s_{i} formam uma base de seções de E então os s_{i} ∘ φ formam uma base de seções de φ^{∗}E, donde cada s ∈ Γ(φ^{∗}E) se escreve de modo único como ∑_{i=1}^{c} f_{i} s_{i} ∘ φ, onde as f_{i} são funções escalares em N. Daí definimos φ^{∗}∇ pela fórmula:

(φ^{∗}∇)_{v}(s) = ∑_{i=1}^{c} v(f_{i})s_{i}(φ(n)) + f_{i}(n)(∇_{dφ(v)}s_{i}), n ∈ N, v ∈ T_{n}N.

É fácil verificar que a fórmula acima realmente define uma conexão com as propriedades desejadas, o que completa a demonstração do teorema.

Precisamos agora de alguns teoremas que nos permitam manipular esse novo conceito. Primeiramente veremos o que acontece quando fazemos dois pull-backs consecutivos. Temos o seguinte teorema.

Teorema 2. Seja E um fibrado vetorial sobre uma variedade M. Seja ∇ uma conexão em E. Sejam φ: N → M e ψ: P → N aplicações. Então ψ^{∗}φ^{∗}∇ = (φ ∘ ψ)^{∗}∇, onde identificamos os fibrados vetoriais isomorfos ψ^{∗}φ^{∗}E e (φ ∘ ψ)^{∗}E.

É fácil constatar o isomorfismo entre os fibrados vetoriais já que existe uma identificação óbvia entre os espaços totais, e através desta temos que as trivializações ψ^{∗}φ^{∗}α e (φ ∘ ψ)^{∗}α coincidem. O teorema então decorre simplesmente da parte de unicidade do teorema 1, já que ψ^{∗}φ^{∗}∇ obviamente satisfaz a condição que caracteriza (φ ∘ ψ)^{∗}∇.

Observe que a operação introduzida no início de restringir fibrados e conexões a abertos U ⊂ M correspondem agora a fazer o pull-back i^{∗} pela inclusão i: U → M. O teorema 2 nos diz em particular que o pull-back φ^{∗} comuta com a restrição a um aberto U (tanto para o fibrado como para a conexão).

O próximo passo é ver o que acontece quando consideramos uma aplicação entre dois fibrados vetoriais, relacionando duas conexões. Dados dois fibrados vetoriais E, F sobre M dizemos que uma aplicação (diferenciável) T: E → F é um morfismo (de fibrados vetoriais) quando T preserva as fibras induzindo a identidade na base, i.e., π ∘ T = π e é linear nas fibras. Dadas conexões ∇ e ∇′ em E e F respectivamente dizemos que elas são T -relacionadas quando ∇′_{v}(T ∘ s) = T (∇_{v}s) para todos s ∈ Γ(E), v ∈ T M.

Note que como todo vetor de φ^{∗}E (num ponto n ∈ N) é também um vetor de E (no ponto φ(n)), temos uma aplicação canônica φ̄ de φ^{∗}E em E. É fácil ver que todo morfismo T entre E e F induz um único morfismo φ^{∗}T entre φ^{∗}E e φ^{∗}F tal que φ̄∘(φ^{∗}T) = (φ^{∗}T)∘φ̄ (denotando por φ̄ a aplicação canônica nos dois fibrados). Temos então o seguinte teorema.

Teorema 3. Sejam M, N variedades, E, F fibrados vetoriais sobre M, T um morfismo entre E e F, φ uma aplicação entre N e M e ∇, ∇′ conexões T -relacionadas em E e F. Então φ^{∗}∇ e φ^{∗}∇′ são φ^{∗}T -relacionadas.

Para demonstrar o teorema, seja v um vetor tangente a N num ponto n. Podemos trocar M por um aberto U contendo φ(n) e trocar N pelo aberto φ^{−1}(U). Podemos escolher U de modo que exista uma base de seções em E_{|U}, donde as seções da forma s ∘ φ serão geradores de Γ(φ^{∗}E_{|φ^{−1}(U)}) como módulo. Observe que o conjunto das seções de φ^{∗}E_{|φ^{−1}(U)} que satisfazem a igualdade desejada (φ^{∗}∇′)_{v}((φ^{∗}T) ∘ s) = (φ^{∗}T)((φ^{∗}∇)_{v}s) formam um submódulo. Daí basta mostrar a igualdade para seções da forma s ∘ φ, o que é simples.

Finalmente, lembremos que uma conexão num fibrado vetorial E induz uma conexão em cada potência tensorial ⊗_{p}^{q}E de E (onde ⊗_{p}^{q}E indica o produto tensorial de p cópias de E^{∗} por q cópias de E). Denotaremos tal conexão por ⊗_{p}^{q}∇. Recordamos abaixo (para futura referência) as propriedades que caracterizam essas conexões.

Em primeiro lugar, seja s uma seção de ⊗_{p}^{q}E, sejam α_{1}, α_{2}, …, α_{p} seções de E e sejam β_{1}, β_{2}, …, β_{q} seções de E^{∗}. Denotamos por s(α_{1}, …, α_{p}, β_{1}, …, β_{q}) a função escalar de M obtida aplicando o tensor aos vetores e co-vetores ponto a ponto. Note que ⊗_{0}^{0}E é isomorfo a M × ℝ, donde funções escalares em M podem ser consideradas como seções de ⊗_{0}^{0}E. A família de conexões (⊗_{p}^{q}∇)_{p,q∈ℕ} é caracterizada pelo fato de que ⊗_{0}^{0}∇ é a diferenciação comum de funções escalares, juntamente com a fórmula:

∇_{v}[s(α_{1}, …, α_{p}, β_{1}, …, β_{q})] = (∇_{v}s)(α_{1}, …, α_{p}, β_{1}, …, β_{q}) + s(∇_{v}α_{1}, …, α_{p}, β_{1}, …, β_{q}) + ⋯ + s(α_{1}, …, ∇_{v}α_{p}, β_{1}, …, β_{q}) + s(α_{1}, …, α_{p}, ∇_{v}β_{1}, …, β_{q})

+ ⋯ + s(α_{1}, …, α_{p}, β_{1}, …, ∇_{v}β_{q}),

onde denotamos todas as conexões envolvidas por ∇.

Temos então o seguinte teorema.

Teorema 4. Seja E um fibrado vetorial sobre uma variedade M e seja ∇ uma conexão em E. Seja φ uma aplicação de uma variedade N em M. Então φ^{∗} ⊗_{p}^{q} ∇ = ⊗_{p}^{q}φ^{∗}∇, onde identificamos os fibrados isomorfos ⊗_{p}^{q}φ^{∗}E e φ^{∗} ⊗_{p}^{q} ∇.

O isomorfismo entre os fibrados é simples (na realidade temos o seguinte resultado mais geral: Considere a categoria dos espaços vetoriais de dimensão finita onde os morfismos são os isomorfismos lineares. Seja F um funtor dessa categoria nela mesma. Suponha que F tem a seguinte propriedade: Dado um espaço vetorial de dimensão finita V a função de GL(V) em GL(F(V)) obtida por restrição de F é diferenciável. Então F associa a cada fibrado vetorial E sobre M um fibrado vetorial F(E) sobre M, aplicando o funtor F fibra por fibra. Temos um isomorfismo canônico entre os fibrados φ^{∗}F(E) e F(φ^{∗}E)).

Devemos mostrar que ⊗_{p}^{q}φ^{∗}∇ tem a propriedade que caracteriza φ^{∗} ⊗_{p}^{q} ∇. Seja então s uma seção de ⊗_{p}^{q}E e seja v ∈ T_{n}N. Devemos mostrar que ambas as conexões coincidem quando derivam s ∘ φ em relação ao vetor v. Devemos então comparar dois tensores no ponto φ(n). Para isso, basta aplicá-los a p vetores e q co-vetores do ponto φ(n). Podemos estender estes vetores e co-vetores a campos vetoriais α_{1}, α_{2}, …, α_{p} e co-vetoriais β_{1}, β_{2}, …, β_{q} em E. Temos a seguinte igualdade de funções escalares em N:

(s ∘ φ)(α_{1} ∘ φ, …, α_{p} ∘ φ, β_{1} ∘ φ, …, β_{q} ∘ φ) = [s(α_{1}, …, α_{p}, β_{1}, …, β_{q})] ∘ φ.

Para terminar a demonstração do teorema, observe que o caso p = q = 0 decorre simplesmente da regra da cadeia e no caso p = 0, q = 1 não há nada o que fazer. Derivando a expressão acima obtemos o caso q = 0, o que em particular resolve o caso em que s é só um co-vetor. Daí podemos derivar novamente a expressão acima (com p, q quaisquer, pois já sabemos manipular os co-vetores β_{i}) e provar o caso geral.

Suponha agora que temos um sub-fibrado vetorial F de E (isto significa que F é um fibrado vetorial com base M cujo espaço total está contido no espaço total de E e tal que a inclusão i: F → E é um morfismo de fibrados vetoriais). Temos então uma inclusão de Γ(F) em Γ(E). Suponha que temos uma conexão ∇ em E com a propriedade de que a derivada de uma seção de F ao longo de um vetor de T M é um vetor de F. Podemos então restringir ∇ a uma conexão ∇′ em F. Note que ∇′ e ∇ são então i-relacionadas e que podemos aplicar o teorema 3 para concluir que φ^{∗}∇′ também é a restrição de φ^{∗}∇.

Um caso particular da situação acima é aquele em que consideramos as potências exteriores e simétricas de E (i.e., os fibrados de tensores alternados e simétricos) como subfibrados de ⊗_{p}^{q}E. A observação acima nos diz então que o teorema 4 pode ser generalizado para as potências exteriores e simétricas de E.

Passemos agora a nos preocupar apenas com o caso em que E = T M. O teorema abaixo nos diz como reobter a curvatura e a torção a partir do pull-back de uma conexão.

Teorema 5. Seja M uma variedade com conexão ∇ sobre seu fibrado tangente. Sejam T e R sua torção e curvatura respectivamente. Seja φ: N → M uma função definida numa variedade N. Então valem as seguintes fórmulas:

(φ^{∗}∇)_{Y} (φ^{∗}∇)_{X}(dφ ∘ Z) − (φ^{∗}∇)_{X}(φ^{∗}∇)_{Y} (dφ ∘ Z) + (φ^{∗}∇)_{[X,Y]}(dφ ∘ Z)
= R(dφ ∘ X, dφ ∘ Y)(dφ ∘ Z), e

(φ^{∗}∇)_{X}(dφ ∘ Y) − (φ^{∗}∇)_{Y} (dφ ∘ X) − dφ ∘ [X, Y] = T (dφ ∘ X, dφ ∘ Y).

Nas fórmulas acima aplicamos os tensores T e R da variedade M em campos vetoriais ao longo de φ, o que obviamente pode ser feito ponto a ponto, produzindo um novo campo ao longo de φ.

A demonstração das fórmulas acima pode ser feita em coordenadas locais. Observamos primeiro que ambos os lados das duas equações são C^{∞}(N)-lineares em X, Y e Z. Daí, quando consideramos coordenadas locais ψ = (x_{1}, …, x_{d}) em N e θ = (y_{1}, …, y_{c}) em M, basta considerar o caso em que X = ∂/∂x_{i}, Y = ∂/∂x_{j} e Z = ∂/∂x_{k}. Quando calculamos o lado esquerdo das equações vemos que os termos envolvendo derivadas de φ se cancelam. Para o cálculo do lado direito, observamos que T e R são tensores, donde fixamos um ponto n ∈ N e calculamos o lado direito apenas sobre o ponto φ(n). Podemos trocar os campos dφ ∘ X, dφ ∘ Y e dφ ∘ Z por quaisquer campos que coincidam com eles no ponto φ(n). Daí podemos supor que suas coordenadas na carta θ são constantes. Mediante essas simplificações os colchetes de Lie desaparecem e a verificação das igualdades é muito simples.

Os cinco teoremas mostrados neste texto são as ferramentas básicas para uma manipulação rigorosa da derivada covariante ao longo de funções.