Variedades de Banach e Espaços de Funções com Aplicações à Geometria Sub-Riemanniana

Relatório de Iniciação Científica

Bolsista: Daniel Victor Tausk Orientador: Cláudio Gorodski Introdução.

O objetivo deste texto é introduzir uma estrutura de variedade de Banach em alguns espaços de funções, visando aplicações à geometria diferencial ou, mais especificamente, à geometria sub-Riemanniana. O texto também explora várias técnicas para manipular alguns operadores definidos nesses espaços de funções, estudando suas propriedades de diferenciabilidade e calculando suas diferenciais.

As seções 0.0 a 0.4 consistem numa rápida introdução ao cálculo em espaços de Banach e em variedades de Banach, ressaltando as diferenças em relação ao cálculo em dimensão finita. Grande parte das demonstrações é totalmente idêntica ao caso de dimensão finita, de modo que as omitimos. Exceto por essas demonstrações e por alguns resultados introdutórios de análise funcional (como o teorema da aplicação aberta, do gráfico fechado, etc) a exposição é auto-contida.

Destacamos na seção 0.0 o lema 1, que se mostra nas seções seguintes uma ferramenta muito prática para demonstrar a diferenciabilidade de operadores em espaços de Banach. Destacamos nas seções 0.1 e 0.4 a introdução dos conceitos de imersão fraca e mergulho fraco (diferentemente de muitos textos, onde os conceitos de imersão e mergulho significam aquilo que no nosso texto chamamos de imersão e mergulho forte). Mostraremos (baseados no teorema 1 da seção 0.0) que é possível estudar uma parte da teoria de imersões e mergulhos usando definições “mais fracas” que as usuais.

Na seção 1.0 introduzimos alguns espaços de Banach de seções de um fibrado vetorial com base compacta. Na seção 1.1 introduzimos uma estrutura de variedade de Banach em alguns espaços de seções de um fibrado geral com base compacta. Em particular, quando o fibrado em questão é trivial obtemos uma estrutura de variedade de Banach num espaço de funções (com domínio compacto).

A generalidade em relação aos tipos de espaços de funções considerados é bem pequena. Consideramos apenas o espaço de funções de classe C^{k} (0 ≤ k < +∞) e os espaços de Sobolev H_{p}^{k} (essencialmente falando, funções com p-ésima potência da norma da k-ésima derivada Lebesgue integrável. Outros textos usam também a notação W_{k,p}). Em relação aos espaços de Sobolev restringimo-nos ao caso particular em que a base do fibrado é um intervalo fechado (i.e., restringimo-nos ao caso de curvas).

A exposição feita nas seções 1.0 e 1.1 é auto-contida, exceto por técnicas básicas do cálculo em variedades de dimensão finita e por resultados introdutórios sobre funções absolutamente contínuas (e pelos resultados desenvolvidos nas seções anteriores). O método usado para introduzir a estrutura de variedade de Banach num espaço de seções de um fibrado geral com base compacta é o mesmo de [Pa] (i.e., utilizamos vector bundle neighborhoods).

Destacamos nas seções 1.0 e 1.1 a introdução dos espaços mistos (e dos fibrados mistos) e também do método do “esquartejamento da base” (teorema 24 da seção 1.1). O problema básico envolvido é que os espaços L^{p} (funções mensuráveis com p-ésima potência da norma Lebesgue integrável) funcionam bem no caso de fibrados vetoriais mas deixam de existir no caso de fibrados gerais. Assim, por exemplo, não podemos falar em “curvas de tipo L^{p}” numa variedade.

A partir daí surge uma dificuldade quando queremos considerar, por exemplo, o operador derivação num espaço de curvas. Se γ: [a, b] → M é uma curva absolutamente contínua numa variedade M então sua derivada γ̇ é uma curva no fibrado tangente T M. É natural esperar que γ̇ seja uma curva “de tipo L^{1}” em T M, mas infelizmente isso não existe. Daí entra a necessidade dos espaços mistos (a curva γ̇ tem projeção absolutamente contínua em M, apenas sua “parte vetorial” é de tipo L^{1}).

O método do esquartejamento da base é um método de globalização muito eficiente, que permite demonstrar no caso geral teoremas que se tornariam simples se pudéssemos supor que a variedade em questão admite um sistema de coordenadas único (i.e., definido em toda a variedade).

Na seção 1.2 nos concentramos no caso de espaços de curvas (i.e., funções definidas num intervalo). Utilizamos então as técnicas desenvolvidas nas seções anteriores. A exposição é novamente auto-contida.

Fazemos um estudo cuidadoso do cálculo variacional, deduzindo as equações de Euler-Lagrange. Introduzimos de forma cuidadosa as cartas de Bismut que são fundamentais no estudo da geometria sub-Riemanniana (a idéia é usar as coordenadas de γ̇ num referencial local como coordenadas para uma curva γ). Ficará automaticamente claro que as cartas de Bismut são C^{∞}-compatíveis com o atlas introduzido na seção 1.1 (i.e., o atlas que envolve vector bundle neighborhoods).

Para construir as cartas de Bismut, faremos um estudo de equações diferenciais ordinárias (EDO) em espaços de Sobolev (utilizando as condições de Carathéodory). Introduzimos o conceito de EDO linear global, que limpa bastante as demonstrações que serão feitas na seção 2.0. Mostraremos também como introduzir uma estrutura de variedade no conjunto das curvas integrais de um dado campo vetorial (utilizaremos o teorema da função implícita em espaços de Banach).

Na seção 2.0 introduzimos a geometria sub-Riemanniana. Aplicaremos todas as técnicas desenvolvidas nas seções anteriores para o estudo das curvas que minimizam o comprimento de arco sub-Riemanniano. A seção começa com um estudo completo sobre o problema de mostrar que toda curva é reparametrização de uma curva parametrizada por comprimento de arco (resultado este que só é verdadeiro se trabalhamos no universo das curvas absolutamente contínuas). Utilizaremos sem demonstração alguns resultados técnicos sobre funções absolutamente contínuas que podem ser encontrados em [Fe].

Estudamos os chamados extremais normais e extremais anormais (na terminologia de [LS]). O teorema de [LS] pelo qual toda curva que minimiza comprimento de arco é um extremal será demonstrado sem o uso do princípio do máximo de Pontryagin. Mostraremos que os extremais anormais de [LS] coincidem com as curvas singulares de [Mg]. Mostraremos também que os extremais normais coincidem com os pontos críticos da energia. A exposição é auto-contida e cuidadosa.

Daniel Victor Tausk Fevereiro de 1997

Indice

Seção 0.0............................................................................................................................1 Teorema 1 ......................................................................................................................5 Lema 1 .........................................................................................................................10

Seção 0.1..........................................................................................................................11 Teorema 2 ....................................................................................................................11 Teorema 3 ....................................................................................................................12 Teorema 4 ....................................................................................................................13 Teorema 5 ....................................................................................................................13

Seção 0.2..........................................................................................................................15 Seção 0.3..........................................................................................................................21 Seção 0.4..........................................................................................................................23

Teorema 6 ....................................................................................................................26 Teorema 7 ....................................................................................................................26

Seção 1.0..........................................................................................................................28 Teorema 1 ....................................................................................................................28 Lema 1 .........................................................................................................................32 Teorema 2 ....................................................................................................................33 Teorema 3 ....................................................................................................................36 Teorema 4 ....................................................................................................................37 Teorema 5 ....................................................................................................................39 Teorema 6 ....................................................................................................................40 Teorema 7 ....................................................................................................................45 Teorema 8 ....................................................................................................................47 Teorema 9 ....................................................................................................................48 Teorema 10...................................................................................................................49 Teorema 11...................................................................................................................51 Teorema 12...................................................................................................................52 Lema 2 .........................................................................................................................58 Lema 3 .........................................................................................................................59 Lema 4 .........................................................................................................................60 Lema 5 .........................................................................................................................61 Teorema 13...................................................................................................................63 Lema 6 .........................................................................................................................67 Lema 7 .........................................................................................................................68 Teorema 14...................................................................................................................69

Seção 1.1..........................................................................................................................70 Lema 8 .........................................................................................................................70 Teorema 15...................................................................................................................71 Lema 9 .........................................................................................................................76 Lema 10 .......................................................................................................................77 Lema 11 .......................................................................................................................78 Teorema 16...................................................................................................................78 Teorema 17...................................................................................................................79 Observação 1 ................................................................................................................80 Observação 2 ................................................................................................................80 Observação 3 ................................................................................................................80 Observação 4 ................................................................................................................81 Observação 5 ................................................................................................................81 Observação 6 ................................................................................................................81 Observação 7 ................................................................................................................82 Observação 8 ................................................................................................................82 Teorema 18...................................................................................................................85 Lema 12 .......................................................................................................................86 Lema 13 .......................................................................................................................87 Teorema 19...................................................................................................................88 Teorema 20...................................................................................................................91 Teorema 21...................................................................................................................94 Lema 14 ..................................................................................................................... 100 Teorema 22................................................................................................................. 103 Teorema 23................................................................................................................. 104 Teorema 24................................................................................................................. 109

Seção 1.2........................................................................................................................ 112 Lema 15 ..................................................................................................................... 121 Teorema 25................................................................................................................. 129 Teorema 26................................................................................................................. 132 Teorema 27................................................................................................................. 132 Teorema 28................................................................................................................. 139 Lema 16 ..................................................................................................................... 140 Lema 17 ..................................................................................................................... 142 Teorema 29................................................................................................................. 155 Teorema 30................................................................................................................. 155 Teorema 31................................................................................................................. 156 Lema 18 ..................................................................................................................... 159 Lema 19 ..................................................................................................................... 160 Lema 20 ..................................................................................................................... 161 Teorema 32................................................................................................................. 164 Teorema 33................................................................................................................. 165 Lema 21 ..................................................................................................................... 166 Teorema 34................................................................................................................. 169 Teorema 35................................................................................................................. 171

Seção 2.0........................................................................................................................ 177 Lema 1 ....................................................................................................................... 178 Lema 2 ....................................................................................................................... 180 Lema 3 ....................................................................................................................... 181 Lema 4 ....................................................................................................................... 181 Lema 5 ....................................................................................................................... 183 Lema 6 ....................................................................................................................... 184 Teorema 1 .................................................................................................................. 185 Lema 7 ....................................................................................................................... 187 Lema 8 ....................................................................................................................... 188 Lema 9 ....................................................................................................................... 193 Teorema 2 .................................................................................................................. 195 Lema 10 ..................................................................................................................... 198 Teorema 3 .................................................................................................................. 200 Teorema 4 .................................................................................................................. 202 Teorema 5 .................................................................................................................. 203

Bibliografia .................................................................................................................... 209