2.0 Aplicações à geometria sub-Riemanniana.

Nesta seção estudaremos as aplicações à geometria sub-Riemanniana da teoria desenvolvida nas seções anteriores. Mais precisamente, estamos interessados nos problemas que envolvem minimização do comprimento de arco. Começamos introduzindo a geometria sub-Riemanniana.

Seja M uma variedade (de dimensão finita, sem bordo, de classe C^{∞}, Hausdorff e com base enumerável). Uma distribuição D em M é um sub-fibrado vetorial do fibrado tangente T M (de classe C^{∞}). Tipicamente denotaremos a dimensão de M por n e a dimensão (das fibras de) D por k (obviamente k ≤ n). Diremos que n − k é a co-dimensão de D.

Assim, uma distribuição D em M é um subconjunto D ⊂ T M do fibrado tangente tal que para cada m ∈ M, D ∩ T_{m}M é um subespaço vetorial de T_{m}M de dimensão k (onde k não depende de m) e tal que para todo m ∈ M existem campos vetoriais X_{1}, …, X_{k} de classe C^{∞} definidos numa vizinhança aberta U de m em M tais que (X_{1}(x), …, X_{k}(x)) é uma base de D ∩ T_{x}M para todo x ∈ U. Como nas seções anteriores, a fibra do fibrado vetorial D no ponto m será denotada por D_{m} (i.e., D_{m} = D ∩ T_{m}M).

Uma métrica sub-Riemanniana na variedade M é um par (D, g), onde D é uma distribuição em M e g é uma estrutura ortogonal no fibrado vetorial D, i.e., uma seção C^{∞} de D^{∗} ⊗ D^{∗} tal que para todo m ∈ M, g(m) é simétrica e definida positiva. Muitas vezes escreveremos g_{m} ao invés de g(m).

Assim, D é uma escolha de um subespaço vetorial k-dimensional do espaço tangente em cada ponto (“de maneira C^{∞}”) e g é uma escolha de um produto interno na fibra de D em cada ponto (”de maneira C^{∞}”). Quando D = T M dizemos que (D, g) é uma métrica Riemanniana em M. Uma variedade sub-Riemanniana é uma trinca (M, D, g) onde M é uma variedade e (D, g) é uma métrica sub-Riemanniana em M. Quando D = T M dizemos que (M, D, g) é uma variedade Riemanniana.

Se v, w ∈ D_{m}, m ∈ M, então denotamos o produto interno de v e w por g_{m}(v, w), ou por g(v, w) ou por ⟨v, w⟩. Escrevemos também ∥v∥ significando g(v, v)^{1/2}.

O leitor pode encontrar uma discussão de alguns dos principais tópicos de interesse em geometria sub-Riemanniana em [Mg]. Vários exemplos e uma classificação de algumas classes de variedades sub-Riemannianas podem ser encontradas em [FG]. Para o estudo de tópicos ligados à minimização de comprimento de arco, vide [LS].

Por exemplo, seja G um grupo de Lie. Denote por 𝔤 sua álgebra de Lie. Escolhido um sub-espaço vetorial de 𝔤 e um produto interno nesse subespaço obtemos uma métrica sub-Riemanniana em G por translação à esquerda. Mais precisamente, seja e ∈ G o elemento neutro. Identifique 𝔤 com T_{e}G. Seja D_{e} um subespaço vetorial de 𝔤 e seja g_{e} um produto interno em D_{e}. Defina a distribuição D em G fazendo D_{x} = d𝔩_{x}(e)(D_{e}), onde 𝔩_{x}: G → G é dado por 𝔩_{x}(y) = xy. Defina o produto interno g_{x} em D_{x} declarando que d𝔩_{x}(e) seja uma isometria de (D_{e}, g_{e}) em (D_{x}, g_{x}). Daí (G, D, g) é uma variedade sub-Riemanniana. A estrutura sub-Riemanniana (D, g) é dita invariante à esquerda. Podemos definir uma estrutura sub-Riemanniana invariante à direita de maneira análoga.

Seja G o grupo de Lie formado pelas seguintes matrizes:

( \begin{matrix}1 & x & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , x, y, z ∈ ℝ.

Identificamos a matriz acima com o vetor p = (x, y, z) ∈ ℝ^{3}, de modo que G = ℝ^{3} como variedade. A multiplicação é dada por:

(x, y, z)(x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, z + z′ + xy′),

e o elemento neutro é e = (0, 0, 0). O grupo G é chamado o grupo de Heisenberg. Considere os seguintes campos vetoriais em G:

X(x, y, z) = (1, 0, 0), Y (x, y, z) = (0, 1, x), Z(x, y, z) = (0, 0, 1).

Temos que X, Y e Z são invariantes à esquerda e (X_{e}, Y_{e}, Z_{e}) é uma base da álgebra de Lie 𝔤 = T_{e}G = ℝ^{3}. Denote por (\frac{∂}{∂x}, \frac{∂}{∂y} , \frac{∂}{∂z}) a base canônica de ℝ^{3} e por (dx, dy, dz) a base canônica de ℝ^{3}^{∗}. Daí X = \frac{∂}{∂x}, Y = \frac{∂}{∂y} + x\frac{∂}{∂z} e Z = \frac{∂}{∂z}. O colchete de Lie em 𝔤 é dado por [X, Y] = Z, [X, Z] = 0 e [Y, Z] = 0.

Considere a distribuição (invariante à esquerda) D em G gerada pelos campos X e Y, i.e., D_{p} é o subespaço vetorial gerado por X_{p} e Y_{p} para cada p ∈ G. Daí D é o núcleo da 1-forma θ invariante à esquerda dada por θ(x, y, z) = dz − xdy (i.e., D_{p} é o núcleo de θ_{p} para cada p ∈ G). Observe que θ(Z) = 1.

Obtemos uma estrutura sub-Riemanniana invariante à esquerda (D, g) em G se declararmos X e Y ortonormais, i.e., g(X, X) = g(Y, Y) = 1 e g(X, Y) = 0. A variedade sub-Riemanniana (G, D, g) será também chamada apenas de grupo de Heisenberg (i.e., fica subentendida a métrica sub-Riemanniana considerada quando falarmos no grupo de Heisenberg. Ressaltamos porém que em outros textos algumas das convenções que fizemos sobre a estrutura sub-Riemanniana de G podem ser diferentes).

Seja (M, D, g) uma variedade sub-Riemanniana. Dizemos que uma curva γ: I → M (definida num intervalo qualquer I ⊂ ℝ) é horizontal quando γ for absolutamente contínua e γ̇(t) ∈ D_{γ(t)} para quase todo t ∈ I. Quando γ é de classe C^{1} segue facilmente da continuidade de γ̇ que γ̇(t) ∈ D_{γ(t)} para todo t ∈ I.

Em [Mg] está definido que γ é horizontal quando γ é absolutamente contínua e γ̇(t) ∈ D_{γ(t)} para todo instante t ∈ I no qual a derivada γ̇(t) existe. Consideramos nossa definição mais adequada (por exemplo, quando se estuda EDO’s ẋ(t) = f(t, x(t)), onde f satisfaz as condições de Carathéodory, define-se uma solução como sendo uma curva absolutamente contínua γ: I → M tal que γ̇(t) = f(t, γ(t)) para quase todo t, não importando se a igualdade γ̇(t) = f(t, γ(t)) deixa de valer em alguns instantes t (pertencentes a um conjunto de medida nula) nos quais γ̇(t) existe. Isso já foi discutido na seção anterior).

Na verdade, o autor não sabe se as duas possíveis definições de curva horizontal são ou não equivalentes. De qualquer modo, o lema a seguir esclarece a situação em muitos casos.

Lema 1. Seja θ: X → ℝ^{n}^{∗} uma 1-forma contínua definida num subconjunto X ⊂ ℝ^{n}. Seja γ: I → ℝ^{n} uma curva absolutamente contínua com γ(I) ⊂ X. Suponha que θ(γ(t))γ̇(t) = 0 para quase todo t ∈ I. Suponha também que ∥γ̇∥ é essencialmente limitada, i.e., existe c > 0 tal que ∥γ̇(t)∥ ≤ c para quase todo t ∈ I. Daí θ(γ(t))γ̇(t) = 0 sempre que γ for derivável em t ∈ I.

Demonstração. Seja t ∈ I um ponto no qual γ é derivável. Daí γ̇(t) = lim_{h→0} \frac{γ(t+h)−γ(t)}{h}. Como γ é absolutamente contínua segue que γ(t + h) − γ(t) = ∫_{t}^{t+h} γ̇(s)ds. Como θ(γ(t)) é um funcional linear temos:

θ(γ(t))γ̇(t) = lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{t}^{t+h} θ(γ(t))γ̇(s)ds.

Como θ(γ(s))γ̇(s) = 0 para quase todo s ∈ [t, t + h] (ou s ∈ [t + h, t], para h < 0) segue que:

θ(γ(t))γ̇(t) = lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{t}^{t+h}[θ(γ(t)) − θ(γ(s))]γ̇(s)ds.

Queremos mostrar que o limite acima é zero. Temos:

|\frac{1}{h} ∫_{t}^{t+h}[θ(γ(t)) − θ(γ(s))]γ̇(s)ds| ≤ \frac{1}{|h|} |∫_{t}^{t+h} ∥θ(γ(t)) − θ(γ(s))∥∥γ̇(s)∥ds| .

Majorando ∥γ̇(s)∥ no integrando acima por uma constante c > 0 e observando que lim_{s→t} θ(γ(s)) = θ(γ(t)) segue o resultado.

Corolário. Seja (M, D, g) uma variedade sub-Riemanniana. Seja γ: I → M uma curva absolutamente contínua tal que γ̇(t) ∈ D_{γ(t)} para quase todo t ∈ I. Suponha também que ∥γ̇∥ é essencialmente limitada, i.e., existe c > 0 tal que ∥γ̇(t)∥ ≤ c para quase todo t ∈ I. Então γ̇(t) ∈ D_{γ(t)} sempre que γ for derivável em t ∈ I.

Demonstração. Seja t ∈ I tal que γ é derivável em t. Simplesmente tome uma carta em M em torno de γ(t) e observe que D é localmente anulada por n − k 1-formas θ_{1}, …, θ_{n−k} linearmente independentes de classe C^{∞}. Basta então aplicar o lema para (a representação em coordenadas de) cada θ_{i} (para mostrar que a norma Euclideana da representação em coordenadas de γ̇ é essencialmente limitada, vide observação abaixo).

Seja (M, D, g) uma variedade sub-Riemanniana. Seja φ: U → Ũ uma carta em M. Obtemos uma métrica Riemanniana g_{e} em U se declararmos φ uma isometria, i.e., para v, w ∈ T_{m}M, m ∈ U, definimos g_{e}(v, w) = ⟨dφ_{m}(v), dφ_{m}(w)⟩, onde ⟨ , ⟩ é o produto interno canônico de ℝ^{n}. Observamos de uma vez por todas que para cada compacto K ⊂ U, existem constantes c_{1}, c_{2} > 0 tais que c_{1}g(v, v) ≤ g_{e}(v, v) ≤ c_{2}g(v, v), para todo v ∈ D_{m}, m ∈ K. Isso segue do fato que a função contínua v ↦ g(v, v) assume um máximo e um mínimo no compacto { v ∈ D_{m} : g_{e}(v, v) = 1, m ∈ K } (observe que D é sempre um subconjunto fechado de T M).

Seja I ⊂ ℝ um intervalo fechado. Segue do que foi dito acima que uma curva horizontal γ: I → M é de tipo H_{p}^{1} (no sentido da seção anterior) se e somente se ∫_{I} ∥γ̇(t)∥^{p}dt < +∞, se p < +∞ (para p = +∞, temos que γ é de tipo H_{p}^{1} se e somente se existe c > 0 tal que ∥γ̇(t)∥ ≤ c para quase todo t ∈ I). Observe que se o intervalo I não é fechado, dizer que γ é de tipo H_{p}^{1} não significa que ∫_{I} ∥γ̇(t)∥^{p}dt < +∞. De fato, definimos na seção anterior que γ é de tipo H_{p}^{1} se e somente se γ_{|J} é de tipo H_{p}^{1} para todo intervalo fechado J ⊂ I.

Seja γ: I → M uma curva horizontal. Definimos o comprimento (ou o comprimento de arco) de γ fazendo L(γ) = ∫_{I} ∥γ̇(t)∥dt. Temos que L(γ) é sempre não negativo. Se I é um intervalo fechado segue do que foi dito acima que L(γ) < +∞ (já que estamos supondo γ absolutamente contínua, i.e., γ de tipo H_{1}^{1}). Se I não é um intervalo fechado pode muito bem acontecer que L(γ) = +∞. É fácil ver que L(γ) = 0 se e somente se γ é constante.

Dizemos que uma curva horizontal γ: I → M é parametrizada por comprimento de arco quando L(γ_{|[t,s]}) = |t − s|, para todos t, s ∈ I (para facilitar a linguagem, para t > s escrevemos [t, s] significando [s, t]. Para s = t convencionamos L(γ_{|[t,s]}) = 0). Na realidade, para que γ seja parametrizada por comprimento de arco é suficiente que L(γ_{|[t,s]}) = |t − s| para todo s ∈ I e para algum t ∈ I fixado.

Temos que γ é parametrizada por comprimento de arco se e somente se ∥γ̇(t)∥ = 1 para quase todo t ∈ I. De fato, escolha t_{0} ∈ I e defina L: I → ℝ fazendo L(t) = ∫_{t_{0}}^{t} ∥γ̇(s)∥ds. Como ∥γ̇∥ é integrável, segue que L é absolutamente contínua e L̇ = ∥γ̇∥ quase sempre. Segue que L é dada por L(t) = t − t_{0} se e somente se ∥γ̇(s)∥ = 1 para quase todo s ∈ I.

Observe que o corolário do lema 1 nos diz, por exemplo, que se uma curva horizontal γ: I → M é parametrizada por comprimento de arco então γ̇(t) ∈ D_{γ(t)} sempre que γ for derivável em t ∈ I.

Seja γ: I → M uma curva horizontal. Definimos a energia de γ fazendo E(γ) = \frac{1}{2} ∫_{I} ∥γ̇(t)∥^{2}dt. Temos que E(γ) é sempre não negativa. Se o intervalo I é fechado então E(γ) < +∞ se e somente se γ é de tipo H_{2}^{1}. Se I não é fechado, pode muito bem acontecer que E(γ) = +∞, mesmo que γ seja de tipo H_{2}^{1}. É fácil ver que E(γ) = 0 se e somente se γ é constante.

Queremos agora mostrar que o comprimento de arco é invariante por reparametrizações e que toda curva horizontal é reparametrização de alguma outra curva horizontal parametrizada por comprimento de arco. Esses fatos não são de modo algum triviais. Enunciaremos agora (sem demonstração) três lemas técnicos sobre curvas absolutamente contínuas e sobre teoria da medida. As demonstrações podem ser encontradas em [Fe]. Faremos em seguida um estudo sobre comprimento de arco e reparametrizações.

No que segue, uma função f: I → ℝ definida num intervalo I é dita crescente quando s ≥ t ⇒ f(s) ≥ f(t), para todos t, s ∈ I (i.e., para nós o termo crescente não é considerado no sentido estrito). Observamos também que usaremos indistintamente as notações γ̇ e γ′ para a derivada de γ (dependendo do que for mais conveniente).

Lema 2. Sejam f: [a, b] → ℝ^{n} e g: [c, d] → [a, b] funções absolutamente contínuas. Suponha que g é crescente. Então f ∘ g: [c, d] → ℝ^{n} é absolutamente contínua e (f ∘ g)′(t) = f′(g(t))g′(t) para quase todo t ∈ [c, d] (aqui f′ denota qualquer função que coincide com a derivada de f em quase todo ponto).

Demonstração. Vide [Fe] (exercícios do último capítulo).

Observação: no lema acima, quando dizemos que (f ∘ g)′(t) = f′(g(t))g′(t) quase sempre, não estamos significando que f seja derivável no ponto g(t) para quase todo t ∈ [c, d]. De fato, poderia por exemplo ocorrer que g fosse constante igual a g_{0} ∈ [a, b], onde g_{0} é um ponto no qual f não é derivável. A função f′ que aparece no lema é uma função qualquer (definida em todo intervalo [a, b]) que coincide quase sempre com a derivada de f. Podemos inclusive escolher uma função f′ que não coincida com a derivada de f em alguns pontos (dentro de um conjunto de medida nula) nos quais a derivada de f existe.

Corolário. (mudança de variáveis na integral) Seja f: [a, b] → ℝ^{n} uma função integrável e seja g: [c, d] → [a, b] uma função absolutamente contínua e crescente. Então vale a fórmula:

∫_{c}^{d} f(g(s))g′(s)ds = ∫_{g(c)}^{g(d)} f(t)dt.

Demonstração. Seja F: [a, b] → ℝ^{n} dada por F (t) = ∫_{a}^{t} f(s)ds. Daí F é absolutamente contínua e F′ = f quase sempre. Segue do lema que F ∘ g é absolutamente contínua e (F ∘ g)′(t) = F′(g(t))g′(t) para quase todo t ∈ [c, d]. O resultado segue do fato que ∫_{c}^{d}(F ∘ g)′(t)dt = F (g(d)) − F (g(c)).

Para o lema seguinte precisamos de algumas definições. Se A ⊂ ℝ^{n} então denotamos por δ(A) o diâmetro de A, i.e., δ(A) = sup{ ∥x − y∥ : x, y ∈ A } (escrevemos δ(ϕ) = −∞).

Seja x ∈ ℝ^{n} e seja (A_{k})_{k∈ℕ} uma seqüência de subconjuntos A_{k} ⊂ ℝ^{n}. Dizemos que (A_{k})_{k∈ℕ} se contrai a x quando x ∈ A_{k} para todo k ∈ ℕ e lim_{k→+∞} δ(A_{k}) = 0.

No que segue denotamos por μ(A) a medida de Lebesgue de um subconjunto mensurável A ⊂ ℝ^{n}. Para qualquer A ⊂ ℝ^{n} denotamos por μ^{∗}(A) a medida exterior de Lebesgue de A.

Seja A ⊂ ℝ^{n}. Seja (Q_{k}(x))_{(x,k)∈A×ℕ} uma família tal que para todo x ∈ A, (Q_{k}(x))_{k∈ℕ} é uma seqüência de cubos fechados em ℝ^{n} (de lados paralelos aos eixos coordenados) que se contrai a x. Dizemos que (Q_{k}(x))_{(x,k)∈A×ℕ} é um recobrimento de Vitali de A.

Lema 3. (teorema de Vitali) Seja A ⊂ ℝ^{n} tal que μ^{∗}(A) < +∞. Seja (Q_{k}(x))_{(x,k)∈A×ℕ} um recobrimento de Vitali de A. Então existe uma seqüência (R_{j})_{j∈ℕ} de cubos fechados dois a dois disjuntos em ℝ^{n} tal que (R_{j})_{j∈ℕ} é uma subfamília de (Q_{k}(x))_{(x,k)∈A×ℕ} e tal que:

μ (A − ⋃_{j=0}^{+∞} R_{j}) = 0.

Demonstração. Vide [Fe].

Na verdade o lema acima só será usado no caso n = 1.

Lema 4. Seja f: [a, b] → ℝ uma função crescente. Então f é derivável em quase todo ponto, f′: [a, b] → ℝ é uma função integrável (definida quase sempre) e além do mais:

∫_{a}^{b} f′(t)dt ≤ f(b) − f(a).

Demonstração. Vide [Fe].

Seja M uma variedade e seja γ: [a, b] → M uma curva absolutamente contínua. Uma reparametrização de γ é uma curva γ ∘σ: [c, d] → M, onde σ: [c, d] → [a, b] é absolutamente contínua, crescente e sobrejetora. Segue do lema 2 que γ ∘ σ também é absolutamente contínua (use coordenadas locais em M). Além do mais, (γ ∘ σ)′(t) = γ′(σ(t))σ′(t), para quase todo t ∈ [c, d] (onde γ′ denota qualquer campo vetorial ao longo de γ que coincide com a derivada de γ quase sempre. Vide observação que segue o lema 2).

Seja (M, D, g) uma variedade sub-Riemanniana. Se γ: [a, b] → M é uma curva horizontal então todas as suas reparametrizações são horizontais. De fato, isso segue facilmente da fórmula acima para (γ ∘ σ)′ (podemos escolher γ′ de modo que γ′(t) seja a derivada de γ no instante t quando ela existe e pertence a D, e de modo que γ′(t) = 0 caso contrário). Além do mais, todas as reparametrizações de γ têm o mesmo comprimento. De fato:

L(γ ∘ σ) = ∫_{c}^{d} ∥(γ ∘ σ)′(s)∥ds = ∫_{c}^{d} ∥γ′(σ(s))∥σ′(s)ds = ∫_{a}^{b} ∥γ′(t)∥dt.

Usamos acima o corolário do lema 2. Usamos também o fato que (como σ é crescente) σ′(s) ≥ 0 para quase todo s ∈ [c, d].

O objetivo agora é mostrar que toda curva horizontal γ: [a, b] → M é uma reparametrização de alguma curva horizontal μ: [c, d] → M parametrizada por comprimento de arco. Observamos que se γ ∘ σ é uma reparametrização de γ então em geral γ não é uma reparametrização de γ ∘ σ. Por exemplo, dada uma curva horizontal γ qualquer, não podemos esperar em geral que ela possua uma reparametrização γ ∘ σ que seja parametrizada por comprimento de arco (por exemplo, se γ é constante em algum subintervalo de seu domínio então isso é obviamente impossível).

Precisamos estudar um pouco a teoria de curvas retificáveis em ℝ^{n}. Seja γ: [a, b] → ℝ^{n} uma função qualquer. Seja P : a = t_{0} < t_{1} < … < t_{r} = b uma partição de [a, b]. Denotamos por V (γ; P) a variação de γ em relação à partição P dada por:

V (γ; P) = ∑_{i=1}^{r} ∥γ(t_{i}) − γ(t_{i−1})∥.

A variação total de γ é dada por:

V (γ) = sup_{P} V (γ; P),

onde o supremo é tomado em relação ao conjunto de todas as partições P do intervalo [a, b].

Temos em geral que V (γ) ∈ [0, +∞]. Quando V (γ) < +∞ dizemos que γ é retificável. Uma curva retificável não precisa em geral ser sequer contínua, e também não é verdade que toda curva contínua é retificável. As curvas retificáveis são muitas vezes chamadas de curvas de variação limitada (principalmente no caso n = 1). Um estudo bastante completo das curvas retificáveis pode ser encontrado em [Lm2]. O nosso interesse é mostrar que toda curva absolutamente contínua é retificável e que nesse caso a variação total coincide com o comprimento de arco (dado pela integral da norma Euclideana do vetor tangente). Esse é o conteúdo do lema a seguir.

Observe que ∥γ(b) − γ(a)∥ ≤ V (γ). De fato, basta considerar a partição de [a, b] formada apenas pelas extremidades a e b. Se c ∈ [a, b] então V (γ) = V (γ_{|[a,c]}) + V (γ_{|[c,b]}). Deixamos a verificação a cargo do leitor (observe que a variação não diminui quando acrescentamos um ponto à partição. Daí o sup que define V pode ser tomado apenas em relação às partições P de [a, b] que incluem o ponto c).

Lema 5. Seja γ: [a, b] → ℝ^{n} uma curva absolutamente contínua. Então γ é retificável e a variação total V (γ) coincide com o comprimento de arco L(γ) = ∫_{a}^{b} ∥γ̇(t)∥dt.

Demonstração. Começamos mostrando que toda curva absolutamente contínua é retificável e que a variação total é menor ou igual ao comprimento de arco. Seja P : a = t_{0} < t_{1} < … < t_{r} = b uma partição de [a, b]. Como γ é absolutamente contínua temos que:

V (γ; P) = ∑_{i=1}^{r} ∥γ(t_{i}) − γ(t_{i−1})∥ = ∑_{i=1}^{r} ∥∫_{t_{i−1}}^{t_{i}} γ̇(s)ds∥ ≤ ∑_{i=1}^{r} ∫_{t_{i−1}}^{t_{i}} ∥γ̇(s)∥ds = ∫_{a}^{b} ∥γ̇(s)∥ds.

Como P é arbitrária, segue que γ é retificável e V (γ) ≤ L(γ).

Para cada t ∈ [a, b] escreva V (t) = V (γ_{|[a,t]}) e L(t) = ∫_{a}^{t} ∥γ̇(s)∥ds (convencionamos V (a) = 0). Segue do que foi mostrado acima que V (t) < +∞ para todo t ∈ [a, b], donde podemos considerar V: [a, b] → ℝ. Como γ é absolutamente contínua, segue que ∥γ̇∥ é integrável, donde L: [a, b] → ℝ é absolutamente contínua e L̇ = ∥γ̇∥ quase sempre. É fácil ver que V e L são crescentes.

Segue do lema 4 que V é derivável quase sempre. Queremos mostrar que V̇ (t) = ∥γ̇(t)∥ para quase todo t ∈ [a, b]. Seja t ∈ [a, b] tal que V, L e γ sejam todos deriváveis em t e tal que L̇(t) = ∥γ̇(t)∥ (isso tudo acontece para quase todo t ∈ [a, b]).

Observe que como as derivadas L̇(t), V̇ (t) e γ̇(t) existem, elas coincidem com as correspondentes derivadas à direita. Daí:

V̇ (t) = lim_{h→0^{+}} \frac{V (t + h) − V (t)}{h} = lim_{h→0^{+}} \frac{V (γ_{|[t,t+h]})}{h}.

Como γ_{|[t,t+h]} é absolutamente contínua, segue do que foi mostrado no início que:

V (γ_{|[t,t+h]}) ≤ L(γ_{|[t,t+h]}).

Dividindo essa desigualdade por h e fazendo h → 0^{+} concluímos que V̇ (t) ≤ L̇(t) = ∥γ̇(t)∥. Observe agora que:

∥γ̇(t)∥ = lim_{h→0^{+}} \frac{∥γ(t + h) − γ(t)∥}{h} ≤ lim_{h→0^{+}} \frac{V (γ_{|[t,t+h]})}{h} = V̇ (t).

Concluímos que V̇ (t) = ∥γ̇(t)∥, para quase todo t ∈ [a, b].

Segue então que ∫_{a}^{b} V̇ (t)dt = L(γ). Aplicamos então o lema 4 para a função crescente V e concluímos que L(γ) ≤ V (γ). Como já foi mostrado no início que V (γ) ≤ L(γ), segue o resultado.

Corolário. Seja γ: [a, b] → ℝ^{n} uma curva absolutamente contínua. Então ∥γ(b)−γ(a)∥ ≤ L(γ).

Demonstração. O resultado é trivial se trocarmos L(γ) por V (γ). Mas o lema nos diz exatamente que L(γ) = V (γ).

Precisamos de apenas mais um lema antes do teorema fundamental sobre reparametrizações. Já mostramos que uma reparametrização de uma curva horizontal é ainda horizontal. O lema a seguir fornece uma recíproca. Denotamos por μ a medida de Lebesgue na reta e por μ^{∗} a medida exterior de Lebesgue na reta.

Lema 6. Seja M uma variedade e seja D uma distribuição em M. Se γ: [a, b] → M é absolutamente contínua e se γ admite alguma reparametrização horizontal então γ é horizontal.

Demonstração. Seja σ: [c, d] → [a, b] uma função absolutamente contínua, crescente e sobrejetora. Suponha que γ ∘ σ é horizontal. Queremos mostrar que γ é horizontal. Já vimos que (γ ∘ σ)′(t) = γ′(σ(t))σ′(t) para quase todo t ∈ [c, d] (onde γ′ denota qualquer campo vetorial ao longo de γ que coincide com a derivada de γ quase sempre).

Seja X ⊂ [c, d] um conjunto de medida nula tal que para todo t ∈ [c, d] − X temos que σ e γ ∘ σ são deriváveis em t, (γ ∘ σ)′(t) ∈ D e (γ ∘ σ)′(t) = γ′(σ(t))σ′(t). Seja Y ⊂ [c, d] o conjunto dos pontos t ∈ [c, d] tais que σ′(t) (existe e) é igual a zero (note que Y em geral não precisa ter medida nula).

Seja s ∈ [a, b] − σ(X ∪ Y). Como σ é sobrejetora existe t ∈ [c, d] com σ(t) = s. Como s ∉ σ(X ∪ Y) temos que t ∉ X ∪ Y. Daí (γ ∘ σ)′(t) = γ′(s)σ′(t), onde (γ ∘ σ)′(t) ∈ D e σ′(t) ≠ 0. Segue que γ′(s) ∈ D.

Mostramos então que γ′(s) ∈ D para todo s ∈ [a, b] − σ(X ∪ Y). Resta mostrar então que σ(X ∪ Y) = σ(X) ∪ σ(Y) tem medida nula. Começamos mostrando que σ(X) tem medida nula. Como X tem medida nula, basta mostrar que σ leva conjuntos de medida nula em conjuntos de medida nula.

Seja A ⊂ [c, d] com μ(A) = 0. Queremos mostrar que μ(σ(A)) = 0. Como σ(A) ⊂ σ(A − {c, d}) ∪ {σ(c), σ(d)}, podemos trocar A por A − {c, d} e supor que A ⊂ (c, d).

Seja dado ϵ > 0. Como σ é absolutamente contínua, existe δ > 0 tal que se (x_{1}, y_{1}), …, (x_{r}, y_{r}) são intervalos abertos dois a dois disjuntos contidos em [c, d] com ∑_{i=1}^{r} y_{i} − x_{i} < δ então ∑_{i=1}^{r} σ(y_{i}) − σ(x_{i}) < ϵ. Observe que se ((x_{i}, y_{i}))_{i∈ℕ} é uma seqüência de intervalos abertos dois a dois disjuntos contidos em [c, d] com ∑_{i=0}^{+∞} y_{i} − x_{i} < δ então ∑_{i=0}^{+∞} σ(y_{i}) − σ(x_{i}) ≤ ϵ (de fato, para cada r ∈ ℕ, temos ∑_{i=0}^{r} y_{i} −x_{i} < δ, donde ∑_{i=0}^{r} σ(y_{i})−σ(x_{i}) < ϵ. Daí é só fazer r → +∞).

Seja U ⊂ ℝ um aberto tal que U ⊂ (c, d) e μ(U) < δ. Afirmamos que μ^{∗}(σ(U)) ≤ ϵ. De fato, podemos escrever U como reunião de suas componentes conexas U = ⋃_{i∈I}(x_{i}, y_{i}), as quais são intervalos abertos (x_{i}, y_{i}) dois a dois disjuntos contidos em (c, d). Como ℝ é separável, segue que I é enumerável. Daí μ(U) = ∑_{i∈I} y_{i} − x_{i} < δ. Note que como σ é crescente então σ(x_{i}, y_{i}) ⊂ [σ(x_{i}), σ(y_{i})], donde μ^{∗}(σ(U)) ≤ ∑_{i∈I} σ(y_{i}) − σ(x_{i}) ≤ ϵ (na verdade é fácil ver que σ(U) é mensurável, pois σ(U) é uma união enumerável de intervalos).

Como a medida de Lebesgue na reta é regular, segue que existe U ⊂ ℝ aberto contendo A tal que μ(U) < δ. Trocando U por U∩(c, d) podemos supor U ⊂ (c, d). Daí σ(A) ⊂ σ(U), donde μ^{∗}(σ(A)) ≤ ϵ. Como ϵ > 0 é arbitrário, segue que μ(σ(A)) = 0.

Em particular μ(σ(X)) = 0. Resta mostrar que μ(σ(Y)) = 0. Novamente podemos trocar Y por Y − {c, d} e supor Y ⊂ (c, d).

Seja dado ϵ > 0. Seja t ∈ Y. Como σ′(t) (existe e) é igual a zero, segue que lim_{h→0^{+}} \frac{σ(t+h)−σ(t)}{h} = 0. Daí σ(t + h) − σ(t) < ϵh para h > 0 suficientemente pequeno. Seja (Q_{n}(t))_{n∈ℕ} uma seqüência de intervalos fechados Q_{n}(t) = [t, t + h_{n}] contidos em (c, d) com h_{n} → 0 e σ(t + h_{n}) − σ(t) < ϵh_{n}.

Temos que (Q_{n}(t))_{(t,n)∈Y ×ℕ} é um recobrimento de Vitali para Y, donde pelo lema 3 existe uma seqüência ([t_{n}, t_{n}+h_{n}])_{n∈ℕ} de intervalos fechados dois a dois disjuntos, contidos em (c, d), tais que σ(t_{n} + h_{n}) − σ(t_{n}) < ϵh_{n} e tais que A = Y − ⋃_{n∈ℕ}[t_{n}, t_{n} + h_{n}] tem medida nula.

Temos então:

μ^{∗}(σ(Y)) ≤ μ(σ(A)) + ∑_{n=0}^{+∞} σ(t_{n} + h_{n}) − σ(t_{n}) < ϵ ∑_{n=0}^{+∞} h_{n}.

Como os intervalos [t_{n}, t_{n} + h_{n}] são dois a dois disjuntos, segue que ∑_{n=0}^{+∞} h_{n} ≤ d − c. Daí μ^{∗}(σ(Y)) < ϵ(d − c). Como ϵ > 0 é arbitrário, segue que μ(σ(Y)) = 0.

Vamos provar agora o teorema fundamental sobre reparametrizações. Recorde que uma curva Lipschitziana γ: [a, b] → ℝ^{n} é sempre absolutamente contínua. De fato, se c > 0 é uma constante de Lipschitz então dado ϵ > 0 escolha δ = ϵ/c. Daí, se (x_{1}, y_{1}), …, (x_{r}, y_{r}) são intervalos abertos dois a dois disjuntos contidos em [a, b] com ∑_{i=1}^{r} y_{i} − x_{i} < δ então ∑_{i=1}^{r} ∥γ(y_{i}) − γ(x_{i})∥ < ϵ.

Teorema 1. Seja (M, D, g) uma variedade sub-Riemanniana. Seja γ: [a, b] → M uma curva horizontal. Então existe uma curva horizontal μ: [c, d] → M parametrizada por comprimento de arco, tal que γ é uma reparametrização μ ∘ σ de μ. Se o valor de c for prefixado então μ e σ são univocamente determinadas.

Demonstração. Começamos com a unicidade. Suponha que existam uma curva horizontal μ: [c, d] → M parametrizada por comprimento de arco e σ: [a, b] → [c, d] absolutamente contínua, crescente e sobrejetora, tais que γ = μ ∘ σ. Como σ é crescente então obrigatoriamente σ(a) = c. Seja t ∈ (a, b].

Daí σ([a, t]) = [c, σ(t)], γ_{|[a,t]} e μ_{|[c,σ(t)]} são horizontais e γ_{|[a,t]} é uma reparametrização (através de σ_{|[a,t]}) de μ_{|[c,σ(t)]}. Segue que L(γ_{|[a,t]}) = L(μ_{|[c,σ(t)]}) = σ(t) − c.

Mostramos que σ é obrigatoriamente dada por σ(t) = c+L(γ_{|[a,t]}) para todo t ∈ [a, b]. Como σ é sobrejetora então d = σ(b) = c + L(γ). Novamente, como σ é sobrejetora então existe no máximo uma função μ: [c, d] → M tal que μ ∘ σ = γ.

Falta mostrar a existência. Seja γ: [a, b] → M uma curva horizontal. Escolha c ∈ ℝ e seja d = c + L(γ). Defina σ: [a, b] → [c, d] fazendo σ(t) = c + L(γ_{|[a,t]}), t ∈ [a, b]. Como σ(t) = c + ∫_{a}^{t} ∥γ̇(s)∥ds, segue que σ é absolutamente contínua, crescente e sobrejetora.

Precisamos mostrar que existe uma função μ: [c, d] → M tal que μ ∘ σ = γ. Basta mostrar que se t, s ∈ [a, b] são tais que σ(t) = σ(s) então γ(t) = γ(s). Podemos supor t < s. Daí σ(t) = σ(s) implica que L(γ_{|[t,s]}) = 0, donde γ_{|[t,s]} é constante.

Temos então uma função μ: [c, d] → M tal que μ ∘ σ = γ. Suponha que já tenhamos mostrado que μ é absolutamente contínua. Daí o lema 6 nos diz que μ é horizontal. Vamos ver que μ é parametrizada por comprimento de arco. Seja s ∈ [c, d]. Como σ é sobrejetora, existe t ∈ [a, b] com s = σ(t). Daí γ_{|[a,t]} é uma reparametrização (através de σ_{|[a,t]}) de μ_{|[c,s]}, donde:

L(μ_{|[c,s]}) = L(γ_{|[a,t]}) = σ(t) − c = s − c.

Resta ver então que μ é absolutamente contínua. Basta mostrar que cada pedaço suficientemente pequeno de μ é absolutamente contínuo. Seja s ∈ [c, d]. Queremos mostrar que s possui uma vizinhança em [c, d] cuja imagem por μ fica dentro do domínio de uma carta de M. Seja t ∈ [a, b] com σ(t) = s. Seja φ: U → Ũ uma carta de M com γ(t) ∈ U.

Como σ é crescente, segue que σ^{−1}(s) é um intervalo fechado [t_{1}, t_{2}] ⊂ [a, b] contendo t. Observe que como σ é constante em [t_{1}, t_{2}] então γ([t_{1}, t_{2}]) = {γ(t)}. Daí γ^{−1}(U) é um aberto em [a, b] contendo [t_{1}, t_{2}]. Podemos então encontrar um intervalo fechado [p, q] ⊂ [a, b] contendo [t_{1}, t_{2}] no seu interior (relativo a [a, b]) tal que γ([p, q]) ⊂ U. Como σ é crescente vemos que σ([p, q]) = [x, y] ⊂ [c, d] é um intervalo fechado (x = σ(p), y = σ(q)). É fácil ver que [x, y] contém s no seu interior (relativo a [c, d]). Também μ([x, y]) ⊂ U, já que μ([x, y]) = γ([p, q]).

Escreva então μ̃ = φ ∘ μ_{|[x,y]}, γ̃ = φ ∘ γ_{|[p,q]}. Temos γ̃ = μ̃ ∘ σ_{|[p,q]}. Como s ∈ [c, d] foi escolhido arbitrariamente, resta mostrar que μ̃ é absolutamente contínua. Vamos mostrar que μ̃ é Lipschitziana.

Se v ∈ D denote por ∥v∥ a norma associada à métrica sub-Riemanniana g. Para ṽ ∈ ℝ^{n} denote por ∥ṽ∥_{e} a norma Euclideana de ṽ. Se v ∈ T_{m}M, m ∈ U, denote por ∥v∥_{e} a norma Euclideana de dφ_{m}(v). Seja K = γ([p, q]). Como K ⊂ U é compacto, temos que existe uma constante k > 0 tal que ∥v∥_{e} ≤ k∥v∥, para todo v ∈ D_{m}, m ∈ K (vide observação que segue o corolário do lema 1).

Sejam t_{0}, s_{0} ∈ [x, y] com t_{0} < s_{0}. Sejam t′, s′ ∈ [p, q] com σ(t′) = t_{0} e σ(s′) = s_{0}. Daí t′ < s′. Temos:

\begin{aligned}∥μ̃(s_{0}) − μ̃(t_{0})∥_{e} & = ∥γ̃(s′) − γ̃(t′)∥_{e} ≤ ∫_{t′}^{s′} ∥ ˙γ̃(u)∥_{e} du ≤ k ∫_{t′}^{s′} ∥γ̇(u)∥du \\ & = k|σ(s′) − σ(t′)| = k|s_{0} − t_{0}|. \end{aligned}

Na primeira desigualdade acima usamos o corolário do lema 5. Segue que k é uma constante de Lipschitz para μ̃, o que completa a demonstração.

Observe que a função σ que aparece no teorema acima é dada por σ(t) = c + ∫_{a}^{t} ∥γ̇(s)∥ds. Daí, se γ é de tipo H_{p}^{1} então σ também é de tipo H_{p}^{1}. Também, se γ é C^{1} então σ é C^{1}. Porém, devemos tomar cuidado com o seguinte. Se γ é de tipo 𝔐 para algum 𝔐 < C^{1} então pode ser que σ não seja de tipo 𝔐 (pois uma norma não é diferenciável na origem). Para concluirmos que σ é de tipo 𝔐 a partir do fato que γ é de tipo 𝔐 (para 𝔐 < C^{1}) precisamos supor também que γ̇(t) ≠ 0 para todo t ∈ [a, b].

Observamos também que é bem possível que γ seja de classe C^{∞} mas μ não seja sequer de classe C^{1}. Intuitivamente falando, a função σ consegue “alisar” a curva μ (por exemplo, se μ deixa de ser derivável num ponto σ(t) e se σ é constante numa vizinhança de t então essa não-derivabilidade de μ “passa desapercebida” por γ). O teorema 1 é uma boa motivação para se estudar comprimento de arco usando curvas absolutamente contínuas (ao invés de C^{1}, por exemplo). De fato, esse teorema só é verdadeiro se permitirmos que μ seja absolutamente contínua.

Outra conseqüência interessante do teorema 1 é que toda curva absolutamente contínua (horizontal) é uma reparametrização de uma curva (horizontal) de tipo H_{∞}^{1} (de fato, uma curva parametrizada por comprimento de arco é obviamente de tipo H_{∞}^{1}). Segue que os espaços H_{p}^{1} nunca são fechados por reparametrização, exceto para p = 1 (i.e., existem curvas de tipo H_{p}^{1} com reparametrizações que não são de tipo H_{p}^{1}).

Seja (M, D, g) uma variedade sub-Riemanniana. Seja γ: [a, b] → M uma curva horizontal. Dizemos que γ minimiza o comprimento de arco quando para qualquer curva horizontal μ: [a, b] → M tal que μ(a) = γ(a) e μ(b) = γ(b) temos L(γ) ≤ L(μ). Analogamente, dizemos que γ minimiza a energia quando para qualquer curva horizontal μ: [a, b] → M tal que μ(a) = γ(a) e μ(b) = γ(b) temos E(γ) ≤ E(μ).

Observe que se γ: [a, b] → M minimiza o comprimento de arco então para toda curva horizontal μ: [c, d] → M tal que γ(a) = μ(c) e γ(b) = μ(d) temos L(γ) ≤ L(μ) (já que o comprimento de arco é invariante por reparametrizações). Por outro lado, aumentando o intervalo [a, b] e diminuindo a velocidade de γ podemos tornar E(γ) tão pequena quanto se queira.

O nosso objetivo agora é encontrar uma condição necessária para que uma curva horizontal γ minimize o comprimento de arco. A idéia é procurar os pontos críticos da energia no conjunto das curvas horizontais (como sempre, é muito mais fácil trabalhar com a energia do que com o comprimento de arco). O primeiro passo é relacionar a minimização da energia com a minimização do comprimento de arco.

Seja γ: [a, b] → M uma curva horizontal. Dizemos que γ é parametrizada proporcionalmente ao comprimento de arco quando existe c ≥ 0 tal que ∥γ̇(t)∥ = c quase sempre. Observe que se no teorema 1 permitirmos que μ seja apenas parametrizada proporcionalmente ao comprimento de arco então é possível supor que [c, d] = [a, b]. Temos o seguinte lema.

Lema 7. Seja (M, D, g) uma variedade sub-Riemanniana. Seja γ: [a, b] → M uma curva horizontal. Temos que γ minimiza a energia se e somente se γ minimiza o comprimento de arco e γ é parametrizada proporcionalmente ao comprimento de arco.

Demonstração. Seja γ: [a, b] → M uma curva horizontal. Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwartz às funções ∥γ̇∥ e 1, obtemos:

(∫_{a}^{b} ∥γ̇(t)∥dt)^{2} ≤ (b − a) ∫_{a}^{b} ∥γ̇(t)∥^{2}dt,

onde a igualdade vale se e somente se ∥γ̇(t)∥ = c quase sempre, para algum c ≥ 0.

Segue que para toda curva horizontal γ: [a, b] → M temos L(γ)^{2} ≤ 2(b−a)E(γ), sendo que a igualdade vale se e somente se γ é parametrizada proporcionalmente ao comprimento de arco.

Suponha então que γ minimiza o comprimento de arco e que γ é parametrizada proporcionalmente ao comprimento de arco. Seja μ: [a, b] → M uma outra curva horizontal com μ(a) = γ(a) e μ(b) = γ(b). Temos então:

2(b − a)E(γ) = L(γ)^{2} ≤ L(μ)^{2} ≤ 2(b − a)E(μ).

Segue que E(γ) ≤ E(μ), donde γ minimiza a energia.

Seja γ: [a, b] → M uma curva horizontal e seja γ_{0}: [a, b] → M uma curva parametrizada proporcionalmente ao comprimento de arco tal que γ é uma reparametrização de γ_{0} (vide comentário que precede o lema). Temos que E(γ_{0}) ≤ E(γ). De fato:

2(b − a)E(γ_{0}) = L(γ_{0})^{2} = L(γ)^{2} ≤ 2(b − a)E(γ).

Suponha agora que γ minimiza a energia. Daí também E(γ) ≤ E(γ_{0}), donde E(γ) = E(γ_{0}) e portanto L(γ)^{2} = 2(b − a)E(γ). Segue que γ é parametrizada proporcionalmente ao comprimento de arco.

Resta ver que γ minimiza o comprimento de arco. Seja μ: [a, b] → M uma outra curva horizontal com μ(a) = γ(a) e μ(b) = γ(b). Seja μ_{0}: [a, b] → M uma curva parametrizada proporcionalmente ao comprimento de arco tal que μ é uma reparametrização de μ_{0}. Temos:

L(γ)^{2} = 2(b − a)E(γ) ≤ 2(b − a)E(μ_{0}) = L(μ_{0})^{2} = L(μ)^{2}.

Logo γ minimiza o comprimento de arco.

Sejam M uma variedade, D uma distribuição em M, I = [a, b] um intervalo fechado e 𝔐 < C^{0}. Denotamos por 𝔐^{D}(I × M) o conjunto das curvas γ ∈ 𝔐(I × M) que são horizontais. Se p, q ∈ M denotamos por 𝔐_{pq}^{D}(I ×M) o conjunto das curvas γ ∈ 𝔐^{D}(I ×M) que ligam p a q, i.e., γ(a) = p e γ(b) = q. Denotamos por 𝔐_{p}^{D}(I × M) o conjunto das curvas γ ∈ 𝔐^{D}(I × M) que começam em p, i.e., γ(a) = p.

Precisamos investigar se os subconjuntos 𝔐^{D}(I × M), 𝔐_{p}^{D}(I × M) e 𝔐_{pq}^{D}(I × M) são subvariedades de 𝔐(I × M).

Seja (X_{1}, …, X_{n}) um referencial local dependente do tempo em M. Dizemos que (X_{1}, …, X_{n}) é adaptado a D quando X_{1}, …, X_{k} tomam valores em D (recorde que k é a dimensão das fibras de D). Daí (X_{1}, …, X_{k}) é um referencial local dependente do tempo no fibrado vetorial D. Se (M, D, g) é uma variedade sub-Riemanniana então dizemos que um referencial local dependente do tempo (X_{1}, …, X_{n}) é sub-ortonormal quando (for adaptado a D e) (X_{1}(m), …, X_{k}(m)) for uma base ortonormal de D_{m} para todo m ∈ M. Temos o seguinte lema.

Lema 8. Seja M uma variedade e seja D uma distribuição em M. Seja γ: I → M uma curva contínua definida num intervalo fechado I = [a, b]. Então existe um referencial local dependente do tempo (X_{1}, …, X_{n}) em M adaptado a D, de modo que os campos X_{i} estão definidos num aberto U ⊂ ℝ × M que contém o gráfico de γ (i.e., (t, γ(t)) ∈ U, para todo t ∈ I). Além do mais, se (M, D, g) é uma variedade sub-Riemanniana então podemos supor que (X_{1}, …, X_{n}) é sub-ortonormal.

Demonstração. Seja D′ um complementar qualquer de D em T M, i.e., T M = D ⊕ D′ (escolha qualquer métrica Riemanniana em M e tome D′ como sendo o complemento ortogonal de D).

O teorema 31 da seção anterior nos fornece referenciais locais dependentes do tempo (X_{1}, …, X_{k}) e (X_{k+1}, …, X_{n}) nos fibrados vetoriais D e D′ respectivamente, de modo que os campos X_{1}, …, X_{k} estão definidos num aberto U ⊂ ℝ × M contendo o gráfico de γ e os campos X_{k+1}, …, X_{n} estão definidos num outro aberto V ⊂ ℝ × M contendo o gráfico de γ.

Daí (X_{1}, …, X_{n}) é um referencial local dependente do tempo em M adaptado a D, e o domínio dos campos X_{i} é o aberto U ∩ V ⊂ ℝ × M (o qual contém o gráfico de γ).

Se temos também uma métrica g podemos aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schimidt sobre (X_{1}, …, X_{k}) (i.e., defina Y_{1} = \frac{X_{1}}{∥X_{1}∥}, Y_{2} = \frac{X_{2}−⟨X_{2},Y_{1}⟩Y_{1}}{∥X_{2}−⟨X_{2},Y_{1}⟩Y_{1}∥}, etc).

Corolário. Sejam M uma variedade, D uma distribuição em M, I = [a, b] um intervalo fechado e 𝔐 < C^{0}. Daí 𝔐^{D}(I × M) é uma subvariedade forte de 𝔐(I × M). Além do mais, fixado p ∈ M então 𝔐_{p}^{D}(I × M) também é uma subvariedade forte de 𝔐(I × M).

Demonstração. Seja γ ∈ 𝔐_{p}^{D}(I × M). Pelo lema existe um referencial local dependente do tempo (X_{1}, …, X_{n}) em M adaptado a D, de modo que os campos X_{i} contém o gráfico de γ em seus domínios. Seja φ uma carta em M contendo γ(a) em seu domínio, tal que φ(γ(a)) = 0. O teorema 29 da seção anterior nos dá então uma carta de Bismut 𝔅 associada a (X_{1}, …, X_{n}), φ e a ∈ I.

Temos que 𝔅 faz corresponder um aberto em 𝔐^{D}(I × M) a um aberto do subespaço fechado ℝ^{n} ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{k}) do espaço de Banach ℝ^{n} ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{n}) (onde ℝ^{n} = ℝ^{k} ⊕ ℝ^{n−k}). É claro que {0} ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{n−k}) é um complementar fechado de ℝ^{n} ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{k}).

Também 𝔅 faz corresponder um aberto em 𝔐_{p}^{D}(I × M) a um aberto do subespaço fechado {0} ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{k}) em ℝ^{n} ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{n}). É claro que ℝ^{n} ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{n−k}) é um complementar fechado de {0} ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{k}).

Assim, tanto para 𝔐^{D}(I × M) como para 𝔐_{p}^{D}(I × M) temos que 𝔅 é uma carta de subvariedade.

Observe que na demonstração acima foi muito fácil identificar as curvas γ que começam em p através das coordenadas 𝔅(γ) = (φ(γ(a)), h) de γ na carta 𝔅. Por outro lado, reconhecer as curvas γ que terminam em q através de φ(γ(a)) e h é bem difícil (na prática, o único modo seria resolver a EDO ẋ(t) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}(t)X_{i}(t, x(t)), obtendo de volta a curva γ e calculando γ(b)).

No estudo de curvas que minimizam o comprimento de arco (ou a energia), o conjunto de curvas mais importante é 𝔐_{pq}^{D}(I × M). Vem então a pergunta se 𝔐_{pq}^{D}(I × M) é uma subvariedade de 𝔐(I×M). A resposta em geral é não, como será visto abaixo. No entanto, muitas curvas γ ∈ 𝔐_{pq}^{D}(I × M) possuem uma vizinhança aberta U em 𝔐(I × M) tal que U ∩ 𝔐_{pq}^{D}(I × M) é uma subvariedade forte de 𝔐(I × M).

A seguinte analogia em dimensão finita ajuda a entender o que acontece. Sejam f, g funções de classe C^{1} definidas num aberto em ℝ^{n}, onde f toma valores em ℝ e g toma valores em ℝ^{m}. Fixe c ∈ ℝ^{m}. Suponha que queiramos encontrar os máximos e mínimos de f sob o vínculo g(x) = c (i.e., os máximos e mínimos de f_{|g^{−1}(c)}). Em geral não é verdade que g^{−1}(c) seja uma subvariedade de ℝ^{n}.

É verdade, no entanto, que g^{−1}(c) intersectado com uma vizinhança aberta de um ponto regular x de g é uma subvariedade de ℝ^{n} (dizemos que x é regular quando dg(x) é sobrejetora). Suponha que aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange para f. Se y é um máximo ou mínimo de f sob o vínculo g(x) = c então ou d(f_{|g^{−1}(c)})(y) = 0 ou y é um ponto crítico de g (i.e., y não é ponto regular de g).

Assim, se quisermos garantir que nenhum máximo ou mínimo de f foi “perdido”, precisamos incluir também os pontos críticos de g na lista de “candidatos” a máximo ou mínimo (é claro que nenhum método desse tipo pode produzir condições suficientes para minimalidade ou maximalidade, mas o objetivo é só o de obter condições necessárias).

Temos exatamente a mesma situação quando buscamos curvas que minimizam o comprimento de arco numa variedade sub-Riemanniana (M, D, g). Se γ: I → M (I = [a, b], γ(a) = p, γ(b) = q) minimiza a energia então temos duas possibilidades:

(i) A curva γ não tem uma vizinhança aberta U ⊂ 𝔐(I × M) tal que U ∩ 𝔐_{pq}^{D}(I × M) é uma subvariedade forte de 𝔐(I × M).

(ii) A curva γ tem uma vizinhança aberta U ⊂ 𝔐(I × M) tal que U ∩ 𝔐_{pq}^{D}(I × M) é uma subvariedade forte de 𝔐(I ×M). Além do mais, a diferencial da restrição do operador energia à U ∩ 𝔐_{pq}^{D}(I × M) no ponto γ é zero.

Começamos estudando as curvas do tipo (i).

Convenção: a partir de agora suporemos sempre que 𝔐 = H_{2}^{1}, i.e., abandonamos os outros espaços de curvas. Para simplificar a notação, escrevemos H em vez de H_{2}^{1}. Assim, H(I × M) denota H_{2}^{1}(I × M), H^{D}(I × M) denota H_{2}^{1}^{D}(I × M), e assim por diante. O termo curva horizontal passa a significar curva horizontal de tipo H_{2}^{1} (a menos de menção explícita em contrário). Na verdade, todas as demonstrações que faremos até o teorema 5 (exclusive) funcionam para qualquer 𝔐 ≤ H_{2}^{1} (e algumas delas funcionam até para 𝔐 ≤ H_{1}^{1}). Estamos abandonando os outros espaços de curvas porque o objetivo é apenas o de encontrar uma condição necessária para que uma curva minimize a energia, e o maior espaço de curvas onde a energia faz sentido é H_{2}^{1}.

Sejam M uma variedade, D uma distribuição em M e p ∈ M um ponto. Seja end: H_{p}^{D}(I × M) → M o operador dado por end(γ) = γ(b), onde I = [a, b]. O operador end é chamado o end-point map. Temos que end é de classe C^{∞} e sua diferencial é dada por d end_{γ}(v) = v(b), para todos γ ∈ H_{p}^{D}(I × M), v ∈ T_{γ}H_{p}^{D}(I × M). De fato, end é a restrição do operador γ ↦ γ(b) definido em H(I × M) (vide observação 7 da seção 1.1 e comentário a respeito da observação 7 após o teorema 18 da seção 1.1).

Obviamente o (domínio do) operador end depende do ponto p ∈ M e da distribuição D escolhidos, mas em geral não haverá confusão. Se for necessário explicitar o ponto e a distribuição considerados, escreveremos end_{p} ou end_{p}^{D}.

Escolhidos p, q ∈ M então H_{p}^{D}(I × M) é uma subvariedade forte de H(I × M). Além do mais, H_{pq}^{D}(I × M) é simplesmente end^{−1}(q).

Seja γ: [a, b] → M uma curva horizontal em M. Seja p = γ(a), q = γ(b). Dizemos que γ é uma curva singular da distribuição D quando a diferencial d end(γ) não for sobrejetora (considerada com contra-domínio em T_{q}M). Note bem, a definição de curvas singulares de uma distribuição não envolve nenhuma métrica sub-Riemanniana g.

Recorde a terminologia introduzida na seção 0.4 (vide teorema 6 da seção 0.4). As curvas singulares de D são exatamente os pontos críticos do operador end (ou, mais precisamente, as curvas singulares que começam em p são os pontos críticos do operador end definido em H_{p}^{D}(I × M)). Observe que os pontos regulares de end são automaticamente regulares fortes, já que o contra-domínio de end tem dimensão finita (ou então, por que H(I × M) é uma variedade de Hilbert). Segue do teorema 6 da seção 0.4 que se γ não é singular então γ admite uma vizinhança em H_{pq}^{D}(I × M) que é uma subvariedade forte de H(I × M).

Não podemos porém concluir a recíproca, i.e., poderia a princípio ocorrer que γ possuisse uma vizinhança em H_{pq}^{D}(I × M) que é uma subvariedade forte de H(I × M) e ainda assim γ fosse singular (mesmo em dimensão finita, pode ocorrer que a imagem inversa de um valor crítico seja uma subvariedade do domínio. Por exemplo, considere f: ℝ^{n} → ℝ dada por f(x_{1}, …, x_{n}) = (x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2} − 1)^{2}. Temos que f^{−1}(0) é a esfera unitária S^{n−1}, mas f não tem nenhum ponto regular sobre essa esfera). O autor não sabe se essa recíproca é ou não verdadeira nesse caso (mas isso não é importante se queremos apenas uma condição necessária para a minimização do comprimento de arco).

Vamos agora caracterizar as curvas singulares de uma distribuição. Precisamos de algumas definições.

Seja M uma variedade. Recorde que o fibrado co-tangente T M^{∗} possui uma forma simplética canônica. De fato, definimos primeiro uma 1-forma θ em T M^{∗}. Seja λ ∈ T_{m}M^{∗}. Seja z ∈ T_{λ}T M^{∗}. Defina θ_{λ}(z) = λ(dπ_{λ}(z)), onde π: T M^{∗} → M é a projeção de T M^{∗}. É fácil ver que θ é uma 1-forma de classe C^{∞} em T M^{∗}. Defina ω = −dθ. Daí ω é uma forma simplética em T M^{∗} (i.e., ω(λ) é não-degenerada para todo λ ∈ T M^{∗} e dω = 0). Diremos que ω é a forma simplética canônica de T M^{∗}.

Seja φ: U → Ũ uma carta em M. Temos associada a φ uma carta canônica:

φ̄: π^{−1}(U) → Ũ × ℝ^{n}

no fibrado co-tangente T M^{∗}. Definimos φ̄ fazendo φ̄(λ) = (φ(m), dφ_{m}^{∗}^{−1}(λ)), onde m = π(λ) (identificamos ℝ^{n} com ℝ^{n}^{∗}). Escrevemos:

φ = (q_{1}, …, q_{n}), φ̄ = (q_{1}, …, q_{n}, p_{1}, …, p_{n}).

Usando uma carta φ̄ em T M^{∗} obtemos:

θ = ∑_{i=1}^{n} p_{i}dq_{i}, ω = ∑_{i=1}^{n} dq_{i} ∧ dp_{i}.

Seja (X_{1}, …, X_{n}) um referencial local em M (quando dizemos apenas referencial local em M fica implícito que ele não depende do tempo, i.e., temos campos vetoriais X_{i}: U → T M, onde U ⊂ M é aberto e (X_{1}(m), …, X_{n}(m)) é uma base de T_{m}M para cada m ∈ U).

Temos uma carta φ̄_{X}: π^{−1}(U) → Ũ × ℝ^{n} em T M^{∗} dada por φ̄_{X}(λ) = (φ(m), λ̃), onde m = π(λ) e λ̃_{i} = λ(X_{i}(m)); i = 1, …, n. Normalmente escreveremos:

φ̄_{X} = (q_{1}, …, q_{n}, p′_{1}, …, p′_{n}).

A carta φ̄ é um caso particular de φ̄_{X}, quando X é o referencial (\frac{∂}{∂q_{1}} , …, \frac{∂}{∂q_{n}}). Note bem, em geral não é verdade que θ = ∑_{i=1}^{n} p′_{i}dq_{i} e ω = ∑_{i=1}^{n} dq_{i} ∧ dp′_{i}. Seja H: U ⊂ T M^{∗} → ℝ uma função de classe C^{∞} definida num aberto U ⊂ T M^{∗}.

Definimos um campo vetorial H⃗ sobre o aberto U ⊂ T M^{∗} fazendo dH(λ) = ω(H⃗(λ), ·), para todo λ ∈ U. Muitas vezes diremos que H é um Hamiltoniano e que H⃗ é o correspondente campo Hamiltoniano.

Seja φ: V → Ṽ uma carta em M e seja φ̄: π^{−1}(V) → Ṽ × ℝ^{n} a carta canonicamente associada em T M^{∗}. Temos que H⃗ é dado em coordenadas por:

H⃗(q, p) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂H}{∂p_{i}} \frac{∂}{∂q_{i}} − \frac{∂H}{∂q_{i}} \frac{∂}{∂p_{i}} .

Seja η: I → T M^{∗} uma curva definida num intervalo I ⊂ ℝ e seja γ = π ∘ η. Escreva φ̄(η(t)) = (q(t), p(t)), para t ∈ γ^{−1}(V). Suponha que η é derivável num certo instante t ∈ γ^{−1}(V) e que η(t) ∈ U. Daí η̇(t) = H⃗(η(t)) se e somente se:

\{ \begin{matrix}\frac{dq}{dt} & = \frac{∂H}{∂p} , \\ \frac{dp}{dt} & = −\frac{∂H}{∂q} . \end{matrix}

Essas são as chamadas equações de Hamilton.

Seja M uma variedade e seja D uma distribuição em M. Seja D^{0} ⊂ T M^{∗} o anulador de D (i.e., para cada m ∈ M, D^{0} ∩ T_{m}M^{∗} é o conjunto dos elementos λ ∈ T_{m}M^{∗} que se anulam sobre D_{m}). Temos que D^{0} é um subfibrado vetorial de T M^{∗}, e em particular uma subvariedade.

Podemos então restringir a forma simplética ω para a subvariedade D^{0} ⊂ T M^{∗} (note que temos duas restrições envolvidas. Em primeiro lugar, a restrição de ω só pode ser calculada em pontos λ ∈ D^{0}. Em segundo lugar, ω(λ) só pode ser calculada em vetores tangentes a D^{0}. Observe que a restrição de ω a D^{0} pode deixar de ser simplética, i.e., pode se tornar degenerada).

Seja η: [a, b] → T M^{∗} uma curva. Dizemos que η é uma curva característica de D quando η for absolutamente contínua, η([a, b]) ⊂ D^{0} e para quase todo t ∈ [a, b] tivermos que η̇(t) ∈ T_{η(t)}D^{0} pertence ao núcleo da restrição de ω a D^{0} (i.e., ω_{η(t)}(η̇(t), z) = 0 para todo z ∈ T_{η(t)}D^{0}).

Seja X um campo vetorial de classe C^{∞} em M. Definimos o Hamiltoniano associado a X fazendo H_{X}: T M^{∗} → ℝ, H_{X}(λ) = λ(X(m)), onde m = π(λ). Podemos considerar então o campo Hamiltoniano H⃗_{X} associado a H_{X}. Seja φ: U → Ũ uma carta em M e seja φ̄ a carta canonicamente associada em T M^{∗}. Usando coordenadas locais, obtemos:

H_{X}(q, p) = p(X(q)), H⃗_{X}(q, p) = ∑_{i=1}^{n} X_{i}(q)\frac{∂}{∂q_{i}} − p (\frac{∂X}{∂q_{i}} ) \frac{∂}{∂p_{i}} .

Para facilitar a linguagem diremos que um campo vetorial X em M é horizontal quando X(m) ∈ D_{m}, para todo m ∈ M.

Seja η: [a, b] → T M^{∗} uma curva. Dizemos que η é um biextremal anormal quando η for absolutamente contínua, η([a, b]) ⊂ D^{0} e para quase todo t ∈ [a, b] tivermos que existe um campo vetorial horizontal X de classe C^{∞} em M tal que η̇(t) = H⃗_{X}(η(t)) (note que X depende de t).

Observe que na definição acima poderíamos exigir apenas que X estivesse definido numa vizinhança de γ(t) = π ∘ η(t). De fato, H⃗_{X}(η(t)) só depende do valor de X numa vizinhança de γ(t) e se X estiver definido numa vizinhança de γ(t) podemos estendê-lo a M (basta multiplicar X por uma função escalar C^{∞} que vale 1 numa vizinhança de γ(t) e vale 0 fora de uma vizinhança de γ(t)).

Na verdade, temos que as curvas características simplesmente coincidem com os biextremais anormais. Os biextremais anormais (ou as curvas características) podem ser usados para caracterizar as curvas singulares, como veremos logo abaixo. As curvas singulares são também chamadas de extremais anormais (terminologia introduzida em [LS]). A definição de curva característica é dada em [Mg] e a definição de biextremal anormal é dada em [LS].

O leitor deve recordar o exemplo que segue o teorema 35 da seção anterior. Temos o seguinte lema.

Lema 9. Seja M uma variedade e seja D uma distribuição em M. Seja η: [a, b] → T M^{∗} uma curva. As seguintes condições são equivalentes:

(1) A curva η é uma característica.

(2) A curva η é um biextremal anormal.

Além do mais, seja (X_{1}, …, X_{n}) um referencial local dependente do tempo em M adaptado a D, de modo que o domínio dos campos X_{i} seja um aberto U ⊂ ℝ×M contendo o gráfico de γ = π ∘ η. Escreva γ̇(t) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}(t)X_{i}(t, γ(t)). Defina um campo vetorial dependente do tempo X: U → T M fazendo X(t, m) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}(t)X_{i}(t, m). Seja 𝔳 a EDO linear global canônica associada a X ao longo de γ e seja 𝔳^{∗} o seu sistema adjunto. Daí (1) e (2) são também equivalentes a

(3) A curva γ é horizontal (de tipo H_{1}^{1}) e a curva η é uma solução do sistema adjunto 𝔳^{∗} com η([a, b]) ⊂ D^{0}.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro a equivalência entre (1) e (2). Seja λ ∈ D^{0} ⊂ T M^{∗}. Seja σ: T_{λ}T M^{∗} → ℝ um funcional linear no espaço vetorial T_{λ}T M^{∗}. Queremos mostrar que σ é da forma dH_{X}(λ) para algum campo horizontal X em M (de classe C^{∞}) se e somente se λ se anula sobre T_{λ}D^{0}.

Em primeiro lugar, se σ = dH_{X}(λ) para algum campo horizontal X então σ se anula sobre T_{λ}D^{0}, pois H_{X} se anula sobre D^{0}. Suponha agora que σ se anula sobre T_{λ}D^{0}. Devemos construir um campo horizontal X em M tal que σ = dH_{X}(λ).

Escreva m = π(λ). Seja U ⊂ M um aberto contendo m no qual temos uma carta φ: U → Ũ e um referencial local (X_{1}, …, X_{n}) tal que os campos X_{1}, …, X_{k} são horizontais. Seja (θ_{1}, …, θ_{n}) o co-referencial dual de (X_{1}, …, X_{n}). Daí (θ_{k+1}, …, θ_{n}) é um referencial de D^{0}.

Temos então uma carta φ̄_{X}: π^{−1}(U) → Ũ×ℝ^{n} em T M^{∗} associada a φ e a (X_{1}, …, X_{n}). Temos que φ̄_{X} é uma carta de subvariedade para D^{0}, mais precisamente, a subvariedade D_{0} é descrita na carta φ̄_{X} = (q_{1}, …, q_{n}, p′_{1}, …, p′_{n}) por p′_{1} = ⋯ = p′_{k} = 0.

Usando essa carta temos σ = ∑_{i=1}^{k} c_{i}dp′_{i}. Seja X = ∑_{i=1}^{k} c_{i}X_{i}. Daí H_{X}(q, p′) = ∑_{i=1}^{k} c_{i}p′_{i} e portanto dH_{X}(λ) = σ.

A equivalência entre (1) e (2) segue facilmente do que foi mostrado acima (fixe t ∈ [a, b] e mostre que η̇(t) = H⃗_{X}(η(t)) para algum campo horizontal X em M se e somente se ω(η̇(t), ·) se anula sobre T_{η(t)}D^{0}. Tome σ = ω(η̇(t), ·) e aplique o que foi mostrado acima).

Seja agora (X_{1}, …, X_{n}) um referencial local dependente do tempo em M adaptado a D, de modo que os campos X_{i} estejam definidos num aberto U ⊂ ℝ × M que contém o gráfico de γ. Escreva γ̇(t) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}(t)X_{i}(t, γ(t)), X(t, m) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}(t)X_{i}(t, m).

Mostremos que (2) é equivalente a (3). Suponha que η̇(t) = H⃗_{Y} (η(t)) para algum campo horizontal Y em M e para algum t ∈ [a, b]. Se φ: V → Ṽ é uma carta em M com γ(t) ∈ V e se φ̄ = (q_{1}, …, q_{n}, p_{1}, …, p_{n}) é a carta canonicamente associada em T M^{∗} então a condição η̇(t) = H⃗_{Y} (η(t)) se escreve em coordenadas através das equações de Hamilton:

\{ \begin{matrix}\frac{dq}{dt} & = \frac{∂H_{Y}}{∂p} = Y (q(t)), \\ \frac{dp}{dt} & = −\frac{∂H_{Y}}{∂q} = −p(t) ∘ \frac{∂Y}{∂q} (q(t)), \end{matrix}

onde (q(t), p(t)) = φ̄(η(t)).

Suponha que η é um biextremal anormal. É claro que γ = π ∘ η é absolutamente contínua e segue das equações de Hamilton acima que γ é horizontal. Sejam J ⊂ I = [a, b] um intervalo fechado e φ: V → Ṽ uma carta de M com γ(J) ⊂ V e J × V ⊂ U. Seja φ̄ a carta em T M^{∗} canonicamente associada a φ. Escreva (q(t), p(t)) = φ̄(η(t)), para t ∈ J.

Seja t ∈ J tal que existe um campo horizontal Y em M com η̇(t) = H⃗_{Y} (η(t)). Escreva Y (m) = ∑_{i=1}^{k} a_{i}(m)X_{i}(t, m) para todo m ∈ V. A primeira equação de Hamilton acima nos diz que Y (γ(t)) = γ̇(t), i.e, a_{i}(γ(t)) = h_{i}(t); i = 1, …, k. Substituindo a expressão para Y na segunda equação de Hamilton obtemos:

\frac{dp}{dt} = −p(t) ∘ ∑_{i=1}^{k} a_{i}(q(t))\frac{∂X_{i}}{∂q} (t, q(t)) = −p(t) ∘ \frac{∂X}{∂q} (t, q(t)),

observando que o termo envolvendo derivadas de a_{i} cancela, já que η(t) anula D_{γ(t)} e os campos X_{1}, …, X_{k} são horizontais.

Segue que η é solução do sistema adjunto, o que mostra que (2) implica (3). Suponha agora que γ é horizontal, η é solução do sistema adjunto e η([a, b]) ⊂ D^{0}. Sejam J ⊂ I um intervalo fechado e φ: V → Ṽ uma carta de M com γ(J) ⊂ V e J × V ⊂ U. Escreva (q(t), p(t)) = φ̄(η(t)), t ∈ J. Daí:

\frac{dp}{dt} = −\frac{∂X}{∂q} (t, q(t))^{∗}p(t) = −p(t) ∘ \frac{∂X}{∂q} (t, q(t)),

para quase todo t ∈ J.

Seja t ∈ J tal que a igualdade acima vale. Simplesmente defina:

Y (m) = ∑_{i=1}^{k} h_{i}(t)X_{i}(t, m) = X(t, m),

para todo m ∈ V. É fácil ver que as equações de Hamilton são satisfeitas no instante t, i.e., η̇(t) = H⃗_{Y} (η(t)). Isto completa a demonstração.

Corolário 1. A projeção em M de uma curva característica (ou de um biextremal anormal) é sempre horizontal.

Demonstração. Segue diretamente do lema.

Corolário 2. Se uma característica (ou um biextremal anormal) η: [a, b] → T M^{∗} se anula para algum t ∈ [a, b] então η é identicamente nula.

Demonstração. Simplesmente observe que uma solução de uma EDO linear global homogênea que se anula em algum instante é identicamente nula.

Já estamos em condições de caracterizar as curvas singulares de uma distribuição. Seja γ: I → M uma curva. Um levantamento de γ é uma curva η: I → T M^{∗} tal que π ∘ η = γ. Um levantamento não nulo de γ é um levantamento η de γ tal que η(t) ≠ 0 para algum t ∈ I. Temos o seguinte teorema.

Teorema 2. Sejam M uma variedade e D uma distribuição em M. Então uma curva γ: [a, b] → M de tipo H_{2}^{1} é singular se e somente se γ admite um levantamento não nulo η: [a, b] → T M^{∗} que é uma característica (ou um biextremal anormal).

Demonstração. Seja (X_{1}, …, X_{n}) um referencial local dependente do tempo adaptado a D, tal que os campos X_{i} estão definidos num aberto U ⊂ ℝ × M que contém o gráfico de γ.

Suponha que γ admite um levantamento não nulo η: [a, b] → T M^{∗} que é uma característica. O corolário 1 do lema 9 nos diz que γ é horizontal. Escreva:

γ̇(t) = ∑_{i=1}^{k} h_{i}(t)X_{i}(t, γ(t)).

Seja X: U → T M o campo vetorial dependente do tempo dado por:

X(t, m) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}(t)X_{i}(t, m).

Escolha qualquer carta em M em torno de γ(a). Obtemos então uma carta de Bismut 𝔅 (associada ao ponto a ∈ I e ao referencial local dependente do tempo (X_{1}, …, X_{n})). Temos que 𝔅 é uma carta de subvariedade para H_{p}^{D}(I×M) (vide demonstração do corolário do lema 8).

O espaço tangente a H_{p}^{D}(I × M) no ponto γ (aqui p = γ(a)) é o conjunto dos campos v ∈ T_{γ}H(I × M) tais que v(a) = 0 e d𝔅^{2}(γ)v = ṽ para algum ṽ ∈ L^{2}(I × ℝ^{n}) tal que ṽ_{k+1} = ⋯ = ṽ_{n} = 0.

Seja 𝔳 a EDO linear global canônica associada a X ao longo de γ. Pelo exemplo que segue o teorema 35 da seção anterior e pelo método da variação das constantes de Lagrange segue que T_{γ}H_{p}^{D}(I × M) é o conjunto dos campos vetorias v ao longo de γ da forma v(t) = Φ_{t} ∫_{a}^{t} Φ_{s}^{−1}w(s)ds, onde w é um campo vetorial ao longo de γ de tipo L^{2}, tal que w(t) ∈ D_{γ(t)} para quase todo t ∈ [a, b] (onde Φ é o operador de transporte associado a 𝔳).

Pelo lema 9 vemos que as características (ou biextremais anormais) η: [a, b] → T M^{∗} com π ∘ η = γ são exatamente as soluções de 𝔳^{∗} cuja imagem fica dentro de D^{0}.

Suponha que existe uma solução não nula η de 𝔳^{∗} com η([a, b]) ⊂ D^{0}. Seja η_{0} = η(a). Daí η(t) = Φ_{t}^{∗}^{−1}η_{0}, para todo t ∈ [a, b]. Seja v ∈ T_{γ}H_{p}^{D}(I × M). Daí:

η(t)v(t) = ∫_{a}^{t} η_{0}Φ_{s}^{−1}w(s)ds = ∫_{a}^{t} Φ_{s}^{∗}^{−1}η_{0}w(s)ds = ∫_{a}^{t} η(s)w(s)ds = 0.

Segue diretamente que a imagem de d end(γ) está contida no núcleo de η(b), donde d end(γ) não é sobrejetora (recorde que d end(γ)v = v(b)).

Reciprocamente, suponha que d end(γ) não é sobrejetora. Seja η_{1} ∈ T_{γ(b)}M^{∗} um funcional linear não nulo que se anula sobre a imagem de d end(γ). Defina η_{0} = Φ_{b}^{∗}η_{1} e η(t) = Φ_{t}^{∗}^{−1}η_{0}, t ∈ [a, b]. Daí η é uma solução não nula de 𝔳^{∗} com η(b) = η_{1}. Resta ver que η toma valores em D^{0}.

O cálculo que fizemos acima nos leva a concluir novamente que:

η(t)v(t) = ∫_{a}^{t} η(s)w(s)ds, t ∈ [a, b],

onde w está associado a v da maneira já explicada. Daí ∫_{a}^{b} η(s)w(s)ds = 0 para todo campo vetorial w ao longo de γ de tipo L^{2} com imagem dentro de D. Queremos concluir que a imagem de η está em D^{0}.

Defina η̃: I → ℝ^{n}^{∗} fazendo η̃_{i}(t) = η(t)X_{i}(t, γ(t)), t ∈ I, i = 1, …, n. A cada campo vetorial w ao longo de γ associamos uma curva ṽ: I → ℝ^{n} fazendo:

w(t) = ∑_{i=1}^{n} ṽ_{i}(t)X_{i}(t, γ(t)).

Daí η̃(t)ṽ(t) = η(t)w(t) para todo t ∈ I.

Segue que ∫_{a}^{b} η̃(s)ṽ(s)ds = 0 para todo ṽ ∈ L^{2}(I × ℝ^{n}) com ṽ_{k+1} = ⋯ = ṽ_{n} = 0. Segue do lema 15 da seção anterior que η̃_{1} = ⋯ = η̃_{k} = 0, i.e., η toma valores em D^{0}.

Corolário 1. (da demonstração) Seja γ: [a, b] → M uma curva horizontal. Seja Car o conjunto das características η: [a, b] → T M^{∗} que se projetam sobre γ. Então Car é um espaço vetorial. Além do mais, o operador η ∈ Car ↦ η(b) é um isomorfismo linear sobre o anulador da imagem de d end(γ).

Demonstração. Segue do lema 9 que Car é o conjunto das soluções de 𝔳^{∗} com imagem em D^{0}, donde é obviamente um espaço vetorial. É claro que η ∈ Car ↦ η(b) é linear injetor. Segue da demonstração do teorema 2 que uma solução η de 𝔳^{∗} com condição inicial (b, η_{1}) satisfaz η([a, b]) ⊂ D^{0} se e somente se η_{1} anula a imagem de d end(γ).

Corolário 2. Se γ: [a, b] → M é uma curva horizontal então a imagem de d end(γ) sempre contém D_{q}, onde q = γ(b).

Demonstração. O corolário 1 nos mostra que o anulador da imagem de d end(γ) está contido em D_{q}^{0}. Daí segue o resultado.

Estudamos agora um exemplo bem simples de curva singular, tirado de [Mg]. Seja M = ℝ^{3} e seja θ = dz − y^{2}dx. Seja D a distribuição anulada por θ. Seja γ: [a, b] → ℝ^{3} dada por γ(t) = (t, 0, z_{0}), onde z_{0} ∈ ℝ é fixado. É claro que γ é horizontal. Vamos mostrar que γ é uma curva singular de D.

Sejam X_{1} = \frac{∂}{∂x} + y^{2} \frac{∂}{∂z}, X_{2} = \frac{∂}{∂y} e X_{3} = \frac{∂}{∂z}. Daí (X_{1}, X_{2}, X_{3}) é um referencial (global) em ℝ^{3} e X_{1}, X_{2} são horizontais. Temos γ̇(t) = h_{1}(t)X_{1}(γ(t)) + h_{2}(t)X_{2}(γ(t)), com h_{1}(t) = 1, h_{2}(t) = 0.

Seja X = h_{1}X_{1} + h_{2}X_{2} = X_{1}. O sistema adjunto canonicamente associado a X ao longo de γ é:

\{ \begin{matrix}ẋ & = 0, \\ ẏ & = −2yz, \\ ż & = 0. \end{matrix}

A solução geral desse sistema é η(t) = c_{1} \frac{∂}{∂x} + c_{2}e^{−2c_{3}t} \frac{∂}{∂y} + c_{3} \frac{∂}{∂z}, c_{1}, c_{2}, c_{3} ∈ ℝ. Temos que η toma valores em D^{0} se e somente se c_{1} = c_{2} = 0.

Daí as características (ou biextremais anormais) que se projetam sobre γ são dadas por η(t) = c\frac{∂}{∂z}, c ∈ ℝ. Logo γ é singular. O corolário 1 do teorema 2 nos permite calcular exatamente a imagem de d end(γ). Essa imagem é D_{γ(b)} (i.e., o plano gerado por \frac{∂}{∂x}, \frac{∂}{∂y}).

É possível mostrar usando técnicas elementares que γ minimiza o comprimento de arco (para b − a suficientemente pequeno). Vide [Mg] e [LS].

Observe que o método mais eficiente para saber se uma dada curva é singular é o de procurar soluções do sistema adjunto (não nulas, com imagem em D^{0}). Mas note bem: não existe uma EDO cujas soluções sejam as curvas singulares. O que ocorre é que é possível decidir se uma dada curva é ou não singular apenas resolvendo uma EDO linear (e depois procurando uma solução não nula com imagem em D^{0}, o que em geral é simples se a solução geral da EDO linear for conhecida).

Essa situação difere radicalmente do problema de encontrar geodésicas numa variedade Riemanniana (onde a dificuldade se resume a resolver uma EDO). Note que se D = T M então curvas singulares não existem (por exemplo, por que D^{0} = 0. Também é bastante óbvio que end é uma submersão nesse caso). Daí em geometria Riemanniana não temos curvas singulares. Vamos agora estudar os extremais normais em geometria sub-Riemanniana (os quais nos reproduzirão as geodésicas Riemannianas no caso D = T M).

Seja (M, D, g) uma variedade sub-Riemanniana (note que no estudo das curvas singulares só precisávamos de uma variedade com uma distribuição. Agora precisamos novamente da métrica). Definimos o operador energia fazendo E: H^{D}(I × M) → ℝ, E(γ) = \frac{1}{2} ∫_{I} ∥γ̇(t)∥^{2}dt.

Em primeiro lugar, observamos que E é de classe C^{∞}. Uma maneira eficiente de mostrar isso é a seguinte. Seja g̃ uma métrica Riemanniana em M que extende g (por exemplo, escolha um complementar qualquer D′ de D, como na demonstração do lema 8. Escolha uma estrutura ortogonal arbitrária em D′ e declare D, D′ ortogonais). Seja Ẽ: H(I × M) → ℝ o operador energia associado à métrica Riemanniana g̃. Daí E é simplesmente a restrição de Ẽ a H^{D}(I × M). É fácil ver que Ẽ é de classe C^{∞} (vide estudo do cálculo variacional feito na seção anterior).

Observação: no caso do operador E não é difícil também mostrar que ele é C^{∞} usando sua representação local em cartas de Bismust apropriadas (vide demonstração do teorema 3, abaixo). O método que usamos acima, porém, é mais propício à generalizações. Em geral não é muito difícil estender um operador definido em 𝔐^{D}(I × M) a um operador definido em 𝔐(I × M) (um fato que ajuda é o seguinte: seja D′ um complementar qualquer de D. Daí T M = D ⊕ D′. Seja π_{1}: T M → D a primeira projeção dessa soma de Whitney. Temos que π_{1} é uma retração de T M sobre D, a qual é um morfismo C^{∞} de fibrados vetoriais).

Sejam p, q ∈ M. Queremos encontrar os pontos críticos da restrição de E a H_{pq}^{D}(I×M) (ao menos numa vizinhança de uma curva que não é singular sabemos que H_{pq}^{D}(I × M) é uma subvariedade forte de H(I × M)).

Seja m ∈ M. Observe que o produto interno g_{m} em D_{m} induz canonicamente um produto interno g_{m}^{∗} em D_{m}^{∗} (defina para α, β ∈ D_{m}^{∗}, g_{m}^{∗}(α, β) = g_{m}(v, w), onde α = g_{m}(v, ·) e β = g_{m}(w, ·)). Note que a base dual de uma base ortonormal é novamente ortonormal.

O produto interno em D_{m}^{∗} induz canonicamente uma forma bilinear simétrica (degenerada se D_{m} ≠ T_{m}M) em T_{m}M^{∗} dada por (α, β) ↦ g_{m}^{∗}(α_{|D_{m}}, β_{|D_{m}}). Escrevemos apenas ⟨α, β⟩ = g_{m}^{∗}(α_{|D_{m}}, β_{|D_{m}}) e ∥α∥ = ⟨α, α⟩^{1/2} (observe que ⟨ , ⟩ não é um produto interno em T_{m}M^{∗}, mas ⟨α, α⟩ ≥ 0 para todo α ∈ T_{m}M^{∗}. Temos ∥α∥ = 0 se e somente se α ∈ D_{m}^{0}).

Defina H: T M^{∗} → ℝ fazendo H(α) = \frac{1}{2}∥α∥^{2}, para todo α ∈ T M^{∗}. É claro que H é C^{∞}. Dizemos que H é o Hamiltoniano associado à estrutura sub-Riemanniana (D, g). Temos associado a H um campo vetorial H⃗ em T M^{∗}.

Dizemos que η: [a, b] → T M^{∗} é um biextremal normal quando η for uma curva integral de H⃗. Dizemos que γ: [a, b] → M é um extremal normal quando existe um biextremal normal η: [a, b] → T M^{∗} tal que γ = π∘η. É claro que os biextremais normais e os extremais normais são sempre de classe C^{∞}. Temos o seguinte lema (o leitor deve recordar a definição de referencial sub-ortonormal, que precede o lema 8).

Lema 10. Seja (M, D, g) uma variedade sub-Riemanniana. Seja γ: [a, b] → M uma curva absolutamente contínua. Seja (X_{1}, …, X_{n}) um referencial sub-ortonormal onde os campos X_{i} estão definidos num aberto U ⊂ ℝ × M que contém o gráfico de γ. Escreva γ̇(t) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}(t)X_{i}(t, γ(t)), t ∈ I. Defina um campo vetorial dependente do tempo X: U → T M fazendo X(t, m) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}(t)X_{i}(t, m). Seja 𝔳 a EDO linear global canônica associada a X ao longo de γ e seja 𝔳^{∗} seu sistema adjunto. Temos que um levantamento η: [a, b] → T M^{∗} de γ é um biextremal normal se e somente se γ é horizontal, η é solução de 𝔳^{∗} e η(t)_{|D_{γ(t)}} = g(γ̇(t), ·) para quase todo t ∈ I.

Demonstração. Suponha que η é um biextremal normal. Sejam J ⊂ I um intervalo fechado e φ: V → Ṽ uma carta em M tais que γ(J) ⊂ V e J × V ⊂ U. Seja φ̄ = (q_{1}, …, q_{n}, p_{1}, …, p_{n}) a carta canonicamente associada a φ em T M^{∗}. Escreva (q(t), p(t)) = φ̄(η(t)), t ∈ J. Para t ∈ J fixado, podemos escrever H em coordenadas fazendo:

H(q, p) = \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{k} p(X_{i}(t, q))^{2}.

A condição η̇(t) = H⃗(η(t)) se escreve em coordenadas através das equações de Hamilton:

\{ \begin{matrix}\frac{dq}{dt} & = \frac{∂H}{∂p} = ∑_{i=1}^{k}[p(t)X_{i}(t, q(t))]X_{i}(t, q(t)), \\ \frac{dp}{dt} & = −\frac{∂H}{∂q} = − ∑_{i=1}^{k}[p(t)X_{i}(t, q(t))] p(t) ∘ \frac{∂X_{i}}{∂q} (t, q(t)). \end{matrix}

A primeira equação acima nos diz que γ_{|J} é horizontal e que η(t)_{|D_{γ(t)}} = g(γ̇(t), ·), para todo t ∈ J. Observe também que p(t)X_{i}(t, q(t)) = h_{i}(t) para t ∈ J, i = 1, …, k.

Substituindo p(t)X_{i}(t, q(t)) por h_{i}(t) na segunda equação de Hamilton vem:

\frac{dp}{dt} = − ∑_{i=1}^{k} h_{i}(t)p(t) ∘ \frac{∂X_{i}}{∂q} (t, q(t)) = −p(t) ∘ \frac{∂X}{∂q} (t, q(t)).

Concluímos que η é solução de 𝔳^{∗}, γ é horizontal e η(t)_{|D_{γ(t)}} = g(γ̇(t), ·), para todo t ∈ I.

Reciprocamente, suponha que γ é horizontal, η(t)_{|D_{γ(t)}} = g(γ̇(t), ·), para quase todo t ∈ I e que η é solução do sistema adjunto 𝔳^{∗}. Sejam J ⊂ I um intervalo fechado e φ: V → Ṽ uma carta em M tais que γ(J) ⊂ V e J × V ⊂ U. Considere a carta canonicamente associada φ̄ em T M^{∗}. Precisamos apenas verificar as equações de Hamilton acima.

O fato que η(t)_{|D_{γ(t)}} = g(γ̇(t), ·), para quase todo t ∈ I, implica a primeira equação de Hamilton e implica também que p(t)X_{i}(t, q(t)) = h_{i}(t) para quase todo t ∈ J; i = 1, …, k. Como η é solução de 𝔳^{∗} segue que:

\frac{dp}{dt} = −\frac{∂X}{∂q} (t, q(t))^{∗}p(t) = −p(t) ∘ \frac{∂X}{∂q} (t, q(t)),

para quase todo t ∈ J. Como γ é horizontal temos h_{k+1} = ⋯ = h_{n} = 0. Substitua X(t, q(t)) por ∑_{i=1}^{k} h_{i}(t)X_{i}(t, q(t)) na igualdade acima e use o fato que h_{i}(t) = p(t)X_{i}(t, q(t)). Daí segue diretamente a segunda equação de Hamilton.

Corolário 1. Se η: [a, b] → M é um biextremal normal então π ∘ η = γ é horizontal.

Demonstração. Segue diretamente do lema.

Corolário 2. Se η: [a, b] → M é um biextremal normal com η([a, b]) ⊂ D^{0} então γ = π ∘ η e η são constantes.

Demonstração. Pelo lema temos η(t)_{|D_{γ(t)}} = g(γ̇(t), ·) para todo t ∈ I. Daí γ̇(t) = 0 para todo t ∈ I donde γ é constante. O fato que η é constante segue da segunda equação de Hamilton (vide demonstração do lema).

Corolário 3. Todo extremal normal γ: [a, b] → M é parametrizado proporcionalmente ao comprimento de arco. Se η é um biextremal normal que se projeta sobre γ então ∥η(t)∥ = ∥γ̇(t)∥ para todo t ∈ [a, b].

Demonstração. Como η é uma curva integral de H⃗ segue que H é constante sobre η (derivando H(η(t)) obtemos dH(η(t))η̇(t) = ω(H⃗(η(t)), η̇(t)) = ω(η̇(t), η̇(t)) = 0). Seja c ≥ 0 tal que H(η(t)) = c para todo t ∈ I (observe que H é uma função não negativa).

Pelo lema temos η(t)_{|D_{γ(t)}} = g(γ̇(t), ·) para todo t ∈ I, donde ∥η(t)∥ = ∥γ̇(t)∥ = \sqrt{2c} para todo t ∈ I.

Segue do corolário 2 que se η é simultaneamente um biextremal normal e um biextremal anormal (i.e., uma característica) então η é constante. Por outro lado, é perfeitamente possível que γ seja simultaneamente um extremal normal e um extremal anormal (i.e., uma curva singular) sem ser constante. Temos então mais um corolário.

Corolário 4. Seja γ: [a, b] → M um extremal normal. Temos que o biextremal normal η que se projeta sobre γ é único se e somente se γ não é um extremal anormal (i.e., uma curva singular).

Demonstração. Seja X um campo vetorial definido como no enunciado do lema, seja 𝔳 sua EDO linear global canônica ao longo de γ e seja 𝔳^{∗} seu sistema adjunto. Se η_{1}, η_{2} são dois biextremais normais distintos que se projetam sobre γ então η_{1}, η_{2} são ambas soluções do sistema adjunto e η_{1}, η_{2} coincidem sobre D. Daí η = η_{1} − η_{2} é uma solução não-nula de 𝔳^{∗} cuja imagem está em D^{0}, donde γ é uma curva singular. Reciprocamente, se γ é singular então temos um biextremal normal η_{1} e um biextremal anormal η ≠ 0, ambos projetando-se sobre γ. Daí η_{2} = η_{1} + η é um biextremal normal que se projeta sobre γ e η_{2} ≠ η_{1}.

Mostramos agora que os pontos críticos da restrição do operador energia a H_{pq}^{D}(I ×M) são exatamente as curvas γ ∈ H_{pq}^{D}(I × M) que são extremais normais e que não são singulares (i.e., não são extremais anormais). Observação: nunca consideraremos a diferencial da restrição de E a H_{pq}^{D}(I × M) numa curva singular γ. De fato, só se define a diferencial de um operador numa variedade, e a princípio H_{pq}^{D}(I × M) não é uma subvariedade de H(I × M) em nenhuma vizinhança de γ.

Teorema 3. Seja (M, D, g) uma variedade sub-Riemanniana. Seja γ: I → M uma curva não singular, onde I = [a, b], γ(a) = p e γ(b) = q. Temos que γ é um ponto crítico da restrição do operador energia E a H_{pq}^{D}(I × M) se e somente se γ é um extremal normal.

Demonstração. Seja γ ∈ H_{pq}^{D}(I × M). Seja (X_{1}, …, X_{n}) um referencial sub-ortonormal em M, onde os campos X_{i} estão definidos num aberto U ⊂ ℝ × M que contém o gráfico de γ. Escolha uma carta qualquer em M em torno de γ(a). Seja 𝔅 a carta de Bismut associada (ao referencial (X_{1}, …, X_{n}) e ao ponto a ∈ I). Temos que 𝔅 se restringe a uma carta de H_{p}^{D}(I × M), tomando valores em L^{2}(I × ℝ^{k}).

A representação local do operador energia na carta 𝔅 é dada por:

h ∈ L^{2}(I × ℝ^{k}) ↦ \frac{1}{2} ∫_{a}^{b} ∑_{i=1}^{k} h_{i}(t)^{2}dt = \frac{1}{2}⟨h, h⟩ ∈ ℝ,

onde ⟨ , ⟩ é o produto interno no espaço de Hilbert L^{2}(I × ℝ^{k}). Escreva h = 𝔅^{2}(γ). A representação da diferencial da energia no ponto γ na carta 𝔅 é dada por:

ṽ ∈ L^{2}(I × ℝ^{k}) ↦ ∫_{a}^{b} ∑_{i=1}^{k} h_{i}(t)ṽ_{i}(t)dt = ⟨h, ṽ⟩ ∈ ℝ.

Seja X: U → T M o campo vetorial dependente do tempo dado por X(t, m) = ∑_{i=1}^{k} h_{i}(t)X_{i}(t, m). Seja 𝔳 a EDO linear global canônica associada a X ao longo de γ e seja 𝔳^{∗} seu sistema adjunto. Seja Φ o operador de transporte associado a 𝔳.

Temos um isomorfismo topológico que a cada v ∈ T_{γ}H_{p}^{D}(I ×M) associa ṽ = d𝔅^{2}(γ)v. Como já foi visto na demonstração do teorema 2, a correspondência é dada por:

v(t) = Φ_{t} ∫_{a}^{t} Φ_{s}^{−1}w(s)ds,

onde w é dado por w(t) = ∑_{i=1}^{k} ṽ_{i}(t)X_{i}(t, γ(t)).

Temos que γ é um ponto regular forte de end, donde H_{pq}^{D}(I × M) = end^{−1}(q) é uma subvariedade forte de H_{p}^{D}(I × M) numa vizinhança de γ, cujo espaço tangente no ponto γ é o núcleo de d end(γ), i.e., T_{γ}H_{pq}^{D}(I × M) é o conjunto dos campos v ∈ T_{γ}H_{p}^{D}(I × M) tais que v(b) = 0.

Temos então que γ é um ponto crítico da restrição de E a H_{pq}^{D}(I × M) se e somente se ∫_{a}^{b} ∑_{i=1}^{k} h_{i}(t)ṽ_{i}(t)dt = 0 para todo ṽ ∈ L^{2}(I × ℝ^{k}) tal que ∫_{a}^{b} Φ_{s}^{−1}w(s)ds = 0, onde w(s) = ∑_{i=1}^{k} ṽ_{i}(s)X_{i}(s, γ(s)) (note que Φ_{b} é um isomorfismo linear).

Suponha que γ é um extremal normal. Pelo lema 10 existe uma solução η de 𝔳^{∗} tal que η(t)_{|D_{γ(t)}} = g(γ̇(t), ·) para todo t ∈ I. Daí para todo t ∈ I temos ∑_{i=1}^{k} h_{i}(t)ṽ_{i}(t) =

η(t)w(t). Basta mostrar então que ∫_{a}^{b} η(t)w(t)dt = 0 sempre que w for uma seção de D ao longo de γ de tipo L^{2} tal que ∫_{a}^{b} Φ_{s}^{−1}w(s)ds = 0. Temos:

∫_{a}^{b} η(t)w(t)dt = ∫_{a}^{b} Φ_{t}^{∗}^{−1}η(a)w(t)dt = η(a) ∫_{a}^{b} Φ_{t}^{−1}w(t)dt = 0.

Reciprocamente, suponha que γ é um ponto crítico da restrição de E a H_{pq}^{D}(I × M). Devemos construir uma solução η de 𝔳^{∗} tal que η(t)_{|D_{γ(t)}} = g(γ̇(t), ·) para quase todo t ∈ I. Para cada t ∈ I defina η(t) ∈ T_{γ(t)}M^{∗} fazendo η(t)X_{i}(t, γ(t)) = h_{i}(t) para i = 1, …, k e η(t)X_{i}(t, γ(t)) = 0 para i = k + 1, …, n.

Daí η é uma seção de T M^{∗} ao longo de γ de tipo L^{2} tal que ∫_{a}^{b} η(t)w(t)dt = 0 sempre que w for uma seção de D ao longo de γ de tipo L^{2} tal que ∫_{a}^{b} Φ_{t}^{−1}w(t)dt = 0. Em geral η não é uma solução de 𝔳^{∗}, mas note que ainda temos a liberdade de adicionar a η uma seção qualquer de D^{0} ao longo de γ (com o objetivo de obter uma solução de 𝔳^{∗}).

Toda solução de 𝔳^{∗} é da forma t ↦ Φ_{t}^{∗}^{−1}η_{0}, para algum η_{0} ∈ T_{p}M^{∗} fixado. Precisamos apenas achar η_{0} ∈ T_{p}M^{∗} tal que t ↦ η(t) − Φ_{t}^{∗}^{−1}η_{0} tome valores em D^{0} (quase sempre).

Seja T o operador linear que a cada seção w de D ao longo de γ de tipo L^{2} associa o número real ∫_{a}^{b} η(t)w(t)dt. Seja S o operador linear que a cada seção w de D ao longo de γ de tipo L^{2} associa o vetor ∫_{a}^{b} Φ_{t}^{−1}w(t)dt em T_{p}M. Temos que o núcleo de S está contido no núcleo de T, donde existe um operador linear η_{0}: T_{p}M → ℝ tal que η_{0} ∘ S = T. Daí:

∫_{a}^{b} η(t)w(t)dt − η_{0} ∫_{a}^{b} Φ_{t}^{−1}w(t)dt = 0,

ou seja:

∫_{a}^{b}(η(t) − Φ_{t}^{∗}^{−1}η_{0})w(t)dt = 0,

para toda seção w de D ao longo de γ de tipo L^{2}.

Defina ζ(t) = η(t) − Φ_{t}^{∗}^{−1}η_{0}, t ∈ I. Resta mostrar que ζ toma valores em D^{0} (quase sempre). Escreva ζ̃_{i}(t) = ζ(X_{i}(t, γ(t))) para todo t ∈ I. Daí ∫_{a}^{b} ∑_{i=1}^{k} ζ̃_{i}(t)ṽ_{i}(t)dt = 0 para todo ṽ ∈ L^{2}(I × ℝ^{k}). Segue do lema 15 da seção anterior que ζ̃_{1} = ⋯ = ζ̃_{k} = 0 (quase sempre). Portanto ζ toma valores em D^{0} (quase sempre).

Calcularemos os extremais normais de uma variedade sub-Riemanniana específica num exemplo logo a seguir. Vamos primeiro finalizar alguns pontos da teoria.

Seja (M, D, g) uma variedade sub-Riemanniana. Seja γ: [a, b] → M. Dizemos que γ é um extremal quando γ for um extremal normal ou um extremal anormal (i.e., uma curva singular). Temos o seguinte teorema fundamental.

Teorema 4. Seja (M, D, g) uma variedade sub-Riemanniana. Seja γ: [a, b] → M uma curva que minimiza o comprimento de arco. Então γ é a reparametrização de um extremal.

Demonstração. Seja γ_{0}: [a, b] → M uma curva parametrizada proporcionalmente ao comprimento de arco tal que γ é uma reparametrização de γ_{0} (vide teorema 1). Daí L(γ) = L(γ_{0}) e portanto γ_{0} minimiza a energia (vide lema 7).

Se γ_{0} é uma curva singular então γ_{0} é um extremal anormal. Caso contrário, escreva I = [a, b], p = γ_{0}(a), q = γ_{0}(b). Temos que H_{pq}^{D}(I × M) é uma subvariedade forte de H(I × M) numa vizinhança de γ_{0}. Como γ_{0} é um mínimo do operador energia, segue que γ_{0} é um ponto crítico do operador energia e portanto é um extremal normal.

Observação: é fácil ver que uma reparametrização de um extremal anormal é novamente um extremal anormal (mostre que uma reparametrização de uma curva característica é novamente característica. Vide lema 2). Não é verdade porém que uma reparametrização de um extremal normal é novamente um extremal normal (vide corolário 3 do lema 10). Daí podemos enunciar o teorema 4 da seguinte maneira. Se γ minimiza comprimento de arco então γ é um extremal anormal ou γ é a reparametrização de uma extremal normal.

O nosso teorema 4 é também uma conseqüência direta do princípio do máximo de Pontryagin (vide apêndice B de [LS]). O princípio do máximo de Pontryagin é um teorema que fornece uma condição necessária para que um certo tipo de funcional seja minimizado (a condição necessária envolvida se refere exatamente ao que chamamos de sistema adjunto no nosso texto. Isso também explica o aparecimento do sistema adjunto tanto no caso de extremais normais como de extremais anormais).

O princípio do máximo é em geral mais poderoso que a técnica usada nesse texto (i.e., usar o fato que um operador numa variedade de Banach tem diferencial zero nos seus pontos de máximo e mínimo). A grande vantagem do princípio do máximo está no fato que ele permite encontrar condições necessárias para minimização também em “objetos com bordo” (o que é muito importante, por exemplo, em problemas de física. Muitas vezes num problema físico um vínculo para, digamos, a aceleração de um objeto é do tipo |a| ≤ 1 e muitas vezes o “caso ótimo” ocorre exatamente quando |a| = 1). Vide [LM] ou [Pg].

O caso da geometria sub-Riemanniana não envolve minimização de funcionais em objetos com bordo. De fato, como foi visto ao longo do texto, os conjuntos de curvas que consideramos são na maioria das vezes variedades de Banach (sem bordo, já que nunca sequer consideramos o caso com bordo). O conjunto H_{pq}^{D}(I × M) não é em geral uma variedade de Banach, mas o princípio do máximo também não é capaz de fornecer informação além do que conseguimos no nosso texto.

Ressaltamos porém que embora o teorema 4 siga facilmente do princípio do máximo, a demonstração do princípio do máximo é bastante longa. E mesmo usando o princípio do máximo a teoria que desenvolvemos sobre reparametrizações (i.e., o teorema 1) é necessária.

Vamos agora estudar uma outra maneira de obter as curvas singulares de uma distribuição. Seja M uma variedade e seja D uma distribuição em M. Suponha (para simplificar este exemplo) que D é globalmente anulada por uma 1-forma θ em M (onde θ(m) ≠ 0 para todo m ∈ M). Isso significa que D^{0} é um fibrado vetorial trivial com fibras unidimensionais.

Sejam p, q ∈ M. Considere o operador Z: H_{pq}(I × M) → L^{2}(I × ℝ) que a cada curva γ ∈ H_{pq}(I × M) associa a curva Z(γ) em ℝ dada por Z(γ)(t) = θ(γ(t))γ̇(t). É fácil ver que Z é de classe C^{∞} (vide teorema abaixo).

Temos que H_{pq}^{D}(I ×M) = Z^{−1}(0), onde 0 ∈ L^{2}(I ×ℝ) é a curva constante igual a zero. É natural perguntar então se os pontos críticos de Z coincidem com os pontos críticos de end: H_{p}^{D}(I × M) → M. A resposta afirmativa será demonstrada no teorema seguinte. Observação: destacamos um pequeno resultado de álgebra linear que será usado no teorema abaixo. Sejam V, W espaços vetoriais. Seja S ⊂ V um subespaço vetorial de V e seja T: V → W uma transformação linear sobrejetora. Temos que T_{|S} continua sobrejetora (i.e., T (S) = W) se e somente se S + Ker T = V (i.e., S ∪ Ker T gera V). Sejam V, W_{1}, W_{2} espaços vetoriais e sejam T_{1}: V → W_{1}, T_{2}: V → W_{2} transformações lineares sobrejetoras. Segue então que a restrição de T_{1} ao núcleo de T_{2} é sobrejetora se e somente se a restrição de T_{2} ao núcleo de T_{1} é sobrejetora (ambas as coisas acontecendo se e somente se Ker T_{1} + Ker T_{2} = V).

Teorema 5. Seja M uma variedade e seja D uma distribuição em M. Seja (θ_{k+1}, …, θ_{n}) um referencial local dependente do tempo no fibrado vetorial D^{0}, onde as 1-formas θ_{i} estão definidas num aberto U ⊂ ℝ × M. Defina um operador Z que a cada curva γ ∈ H(I × M) com gráfico contido em U associa a curva Z(γ) ∈ L^{2}(I × ℝ^{n−k}) dada por:

Z(γ)(t) = (θ_{k+1}(t, γ(t))γ̇(t), …, θ_{n}(t, γ(t))γ̇(t)), t ∈ I.

Temos que Z é de classe C^{∞}. Além do mais, sejam p, q ∈ M e seja γ ∈ H_{pq}^{D}(I × M) uma curva com gráfico contido em U. Temos que γ é um ponto regular forte de

end: H_{p}^{D}(I × M) → M

se e somente se γ é um ponto regular forte de

Z: H_{pq}(I × M; U ∩ (I × M)) → L^{2}(I × ℝ^{n−k}).

Demonstração. Seja (t, v) ∈ ℝ × T M com (t, m) ∈ U, onde m = π(v). Defina θ(t, v) fazendo:

θ(t, v) = (θ_{k+1}(t, m)v, …, θ_{n}(t, m)v).

Considere o operador (θ∘) que a cada v ∈ (L^{2}, H)(I × T M) associa a curva t ↦ θ(t, v(t)) pertencente a L^{2}(I × ℝ^{n−k}). Como θ é C^{∞} e linear nas fibras de T M segue que (θ∘) é C^{∞}.

Temos que Z = (θ∘) ∘ 𝔡, onde 𝔡 é o operador derivação. Segue que Z é C^{∞} (vide cálculos que precedem o teorema 29 da seção anterior, onde mostramos que as cartas de Bismut são C^{∞}. A situação é totalmente análoga).

Considere o operador end definido em H_{p}(I × M), tomando valores em M. Considere o operador Z definido num aberto de H_{p}(I × M), tomando valores em L^{2}(I × ℝ^{n−k}). É fácil ver que end é uma submersão forte. Mostremos que Z é uma submersão forte. Seja γ um ponto do domínio de Z.

Seja D^{1} um complementar qualquer de D^{0} em T M^{∗}, i.e., T M^{∗} = D^{0} ⊕ D^{1}. Pelo teorema 31 da seção anterior, existe um referencial local dependente do tempo (θ_{1}, …, θ_{k}) no fibrado vetorial D^{1}, onde os θ_{i} estão definidos num aberto em ℝ × M que contém o gráfico de γ. Daí (θ_{1}, …, θ_{n}) é um referencial local dependente do tempo em T M^{∗}, donde podemos considerar o seu referencial dual (X_{1}, …, X_{n}) em T M. Escolhendo uma carta qualquer em M em torno de γ(a) obtemos uma carta de Bismut 𝔅 em H(I ×M) (associada a a ∈ I e ao referencial (X_{1}, …, X_{n})).

Temos que 𝔅 se restringe a uma carta de H_{p}(I ×M), tomando valores em L^{2}(I ×ℝ^{n}). A representação local de Z na carta 𝔅 é simplesmente a projeção de L^{2}(I × ℝ^{n}) em L^{2}(I × ℝ^{n−k}) (onde ℝ^{n} = ℝ^{k} ⊕ ℝ^{n−k}). Segue que Z é uma submersão forte de classe C^{∞} (o argumento inicial que usamos para mostrar que Z é C^{∞} poderia ser dispensado).

Seja γ ∈ H_{pq}^{D}(I × M; U ∩ (I × M)). Observe que como estamos trabalhando com variedades de Hilbert, não existe distinção entre pontos regulares fortes e fracos. Queremos mostrar que γ é um ponto regular de end restrito a Z^{−1}(0) se e somente se γ é um ponto regular de Z restrito a end^{−1}(q) ∩ H(I × M; U ∩ (I × M)) (que é um aberto em end^{−1}(q)).

Precisamos mostrar então que a restrição de d end(γ) ao núcleo de dZ(γ) é sobrejetora se e somente se a restrição de dZ(γ) ao núcleo de d end(γ) é sobrejetora. Isso segue da observação que precede o teorema.

Baseando-se no teorema acima, podemos fazer uma demonstração alternativa do teorema 3, usando o método dos multiplicadores de Lagrange (vide teorema 7 da seção 0.4). Fazemos apenas um esboço da demonstração.

Considere um referencial local dependente do tempo (θ_{k+1}, …, θ_{n}) em D^{0} e defina Z como no teorema. Seja g̃ uma métrica Riemanniana qualquer que extende g. Seja Ẽ o operador energia associado a g̃.

Daí Ẽ: H_{pq}(I × M) → ℝ é um operador C^{∞}, Z é um operador C^{∞} num aberto de H_{pq}(I × M), tomando valores no espaço de Hilbert L^{2}(I × ℝ^{n−k}). Queremos minimizar Ẽ sob o vínculo Z(γ) = 0. Temos dois tipos de “candidatos” a mínimo de Ẽ. Temos os pontos críticos γ de Z que satisfazem Z(γ) = 0, os quais coincidem exatamente com as curvas singulares, pelo teorema 5. Para os pontos regulares de Z podemos aplicar o teorema 7 da seção 0.4.

Seja λ ∈ L^{2}(I × ℝ^{n−k}) (λ é o multiplicador de Lagrange). Seja L_{λ} o operador que associa a cada curva γ pertencente a um aberto de H_{pq}(I × M), o número real

L_{λ}(γ) = Ẽ(γ) − ⟨λ, Z(γ)⟩,

onde ⟨ , ⟩ é o produto interno no espaço de Hilbert L^{2}(I × ℝ^{n−k}).

Queremos encontrar os pontos críticos de L_{λ} em H_{pq}(I × M). Temos um problema clássico de cálculo variacional, então. Temos um Lagrangeano (dependente do tempo) L_{λ}(t, v) = \frac{1}{2} g̃(v, v) − ⟨λ(t), θ(t, v)⟩ definido num aberto de [a, b] × T M, onde ⟨ , ⟩ é o produto interno em ℝ^{n−k} e θ(t, v) = (θ_{k+1}(t, m)v, …, θ_{n}(t, m)v), m = π(v).

A teoria de cálculo variacional discutida na seção anterior não se aplica diretamente, pois lá supusemos L_{λ} ao menos de classe C^{1}. Aqui L_{λ}(t, ·) é C^{∞}, mas sua dependência em t é apenas de tipo L^{2}. A nossa dedução das equações de Euler-Lagrange na seção anterior contínua funcionando da mesma forma, exceto pela demonstração de que L_{λ} é C^{∞} e pelo cálculo da diferencial de L_{λ}.

Nesse caso específico a expressão L_{λ}(γ) = Ẽ(γ)−⟨λ, Z(γ)⟩ permite facilmente mostrar que L_{λ} é C^{∞} e calcular sua diferencial. Também não é difícil generalizar a teoria de cálculo variacional para Lagrangeanos com dependência “fraca” em t (utilize os teoremas 32, 33 da seção anterior, o método do esquartejamento da base, i.e., o teorema 24 da seção 1.1, e no caso de Lagrangeanos polinomiais utilize também as idéias da demonstração do lema 7 da seção 1.0).

Temos que L_{λ} é um Lagrangeano hiper-regular, associado através da transformada de Legendre ao Hamiltoniano H_{λ}(t, α) = \frac{1}{2}∥α + ⟨λ(t), θ(t, ·)⟩∥^{2}, para (t, α) num aberto de ℝ × T M^{∗}, onde ∥ ∥ é a norma associada ao produto interno induzido nos espaços co-tangentes a partir de g̃ e ⟨ , ⟩ é o produto interno em ℝ^{n−k} (recorde a definição da transformada de Legendre: defina A(t, v) = 𝔽L(t, v)v, E = A − L e H = E ∘ 𝔽L^{−1}).

Escreva as equações de Hamilton para H_{λ} em coordenadas (usando um referencial local adaptado a D e ortonormal na métrica g̃). Fixe γ ∈ H_{pq}^{D}(I × M). É fácil ver que um levantamento η de γ é curva integral de H⃗_{λ} para algum λ ∈ L^{2}(I×ℝ^{n−k}), se e somente se η é uma curva integral de H⃗, onde H é o Hamiltoniano associado à estrutura sub-Riemanniana (D, g). O multiplicador de Lagrange λ é caracterizado por η(t)v + ⟨λ(t), θ(t, v)⟩ = 0, para todo vetor v ∈ T_{γ(t)}M ortogonal a D_{γ(t)} (na métrica g̃) e para todo t ∈ I (na verdade, λ acaba se mostrando de classe C^{∞}).

Vamos agora calcular os extremais normais do grupo de Heisenberg (vide exemplo no início da seção). Denotamos a base canônica de ℝ^{3} por (\frac{∂}{∂q_{1}} , \frac{∂}{∂q_{2}} , \frac{∂}{∂q_{3}} ). Defina X = \frac{∂}{∂q_{1}} , Y = \frac{∂}{∂q_{2}} + q_{1} \frac{∂}{∂q_{3}} e Z = \frac{∂}{∂q_{3}} . Daí (X, Y, Z) é um referencial sub-ortonormal (global) no grupo de Heisenberg.

O Hamiltoniano sub-Riemanniano é dado por H(q, p) = \frac{1}{2}[p_{1}^{2} + (p_{2} + q_{1}p_{3})^{2}]. As equações de Hamilton ficam então:

\{ \begin{matrix}\frac{dq_{1}}{dt} & = p_{1}, \\ \frac{dq_{2}}{dt} & = p_{2} + q_{1}p_{3}, \\ \frac{dq_{3}}{dt} & = (p_{2} + q_{1}p_{3})q_{1}, \end{matrix}  \{ \begin{matrix}\frac{dp_{1}}{dt} & = −(p_{2} + q_{1}p_{3})p_{3}, \\ \frac{dp_{2}}{dt} & = 0, \\ \frac{dp_{3}}{dt} & = 0. \end{matrix}

Temos p_{2}(t) = k_{2}, p_{3}(t) = k_{3}. O sistema pode ser escrito na forma simplificada q̇_{1} = p_{1}, q̇_{2} = k_{2} + q_{1}k_{3}, q̇_{3} = q̇_{2}q_{1} e ṗ_{1} = −q̇_{2}k_{3}. Obtemos então q̈_{1} = −k_{2}k_{3} − q_{1}k_{3}^{2}, donde q_{1}(t) = c_{1} cos(k_{3}t + c_{2}) − \frac{k_{2}}{k_{3}} , para k_{3} ≠ 0 e q_{1}(t) = c_{1}t + c_{2} para k_{3} = 0. A partir de q̇_{2} = k_{2} + q_{1}k_{3} obtemos q_{2}(t) = c_{1} sen(k_{3}t + c_{2}) + c_{3}, para k_{3} ≠ 0 e q_{2}(t) = k_{2}t + c_{3} para k_{3} = 0. Não é difícil determinar q_{3}(t) através de q̇_{3} = q̇_{2}q_{1}. De q̇_{1} = p_{1} obtemos diretamente p_{1}(t), mas estamos interessados apenas nos extremais normais (e não nos biextremais).

No caso k_{3} ≠ 0 os extremais normais obtidos são hélices que se projetam sobre círculos no plano q_{1}, q_{2}. No caso k_{3} = 0 obtemos retas que se projetam no plano q_{1}, q_{2} sobre retas paralelas aos eixos q_{1}, q_{2}. Obtemos também parábolas que se projetam sobre retas no plano q_{1}, q_{2}.

Temos uma interpretação geométrica interessante para as curvas que minimizam comprimento de arco no grupo de Heisenberg. Observe em primeiro lugar que dada uma curva absolutamente contínua (q_{1}(t), q_{2}(t)) no plano q_{1}, q_{2} então podemos determinar todas as curvas horizontais no grupo de Heisenberg que se projetam sobre ela. De fato, a condição de horizontalidade é dada por q̇_{3} = q̇_{2}q_{1}, donde apenas definimos q_{3}(t) = c + ∫_{t_{0}}^{t} q̇_{2}(s)q_{1}(s)ds, para c, t_{0} ∈ ℝ fixados arbitrariamente.

Recorde que a área envolvida por uma curva fechada simples (q_{1}, q_{2}): [a, b] → ℝ^{2} é dada pela integral ∫_{a}^{b} q̇_{2}(t)q_{1}(t)dt (isso é uma conseqüência simples do teorema de Green). Daí, se q: [a, b] → ℝ^{3}, q = (q_{1}, q_{2}, q_{3}) é uma curva horizontal no grupo de Heisenberg tal que q_{1}(a) = q_{1}(b), q_{2}(a) = q_{2}(b) então q_{3}(b) − q_{3}(a) é exatamente a área envolvida por (q_{1}, q_{2}). Além do mais, observe que a norma sub-Riemanniana de q̇(t) é simplesmente a norma Euclideana usual (em ℝ^{2}) de (q̇_{1}(t), q̇_{2}(t)). Segue que o comprimento de arco (sub-Riemanniano) de q é exatamente o comprimento de arco (Euclideano em ℝ^{2}) de (q_{1}, q_{2}).

Vemos que o problema de encontrar uma curva horizontal no grupo de Heisenberg que minimiza comprimento de arco e conecta os pontos (q_{1}, q_{2}, q_{3}) e (q_{1}, q_{2}, q_{3} + h) é equivalente ao de encontrar uma curva fechada em ℝ^{2} que envolve uma área h (fixada) e tem comprimento mínimo. Esse é o chamado problema isoperimétrico (ele é equivalente ao problema de achar curvas de comprimento fixado envolvendo área máxima). Isso explica as hélices obtidas nos cálculos acima (recorde que as soluções do problema isoperimétrico são os círculos).

Temos que o grupo de Heisenberg não possui extremais anormais (i.e., curvas singulares), exceto pelas curvas constantes. Na realidade, o grupo de Heisenberg pertence a uma família mais geral de variedades sub-Riemannianas que não possuem extremais anormais (não constantes), a saber, as variedades sub-Riemannianas de contato.

Seja M uma variedade e seja θ uma 1-forma (de classe C^{∞}) em M. Dizemos que θ é uma forma de contato quando para todo m ∈ M temos θ(m) ≠ 0 e a restrição de dθ(m) ao núcleo de θ(m) é uma forma bilinear alternada não-degenerada (i.e., dθ(m)_{| Ker θ(m)} é uma forma simplética no espaço vetorial Ker θ(m)). Observe que M tem sempre dimensão ímpar, já que formas simpléticas só existem em dimensão par.

Seja D uma distribuição em M. Dizemos que D é uma distribuição de contato quando D é localmente anulada por uma forma de contato, i.e., para todo m ∈ M existem uma vizinhança aberta U ⊂ M de m e uma forma de contato θ na variedade U tal que D_{x} = Ker θ(x) para todo x ∈ U. Observe que D_{m} tem codimensão 1 em T_{m}M para todo m ∈ M.

Se θ anula D (no sentido acima) então qualquer outra 1-forma que anula D é da forma fθ para alguma função escalar f de classe C^{∞} que nunca se anula. Temos d(fθ) = df ∧ θ + fdθ, donde segue que fθ também é de contato.

Se D é integrável e θ anula D então dθ se anula sobre vetores de D (isso segue da fórmula dθ(X, Y) = X(θ(Y))−Y (θ(X))−θ([X, Y])). Nesse sentido, a condição de contato é “o extremo oposto” da condição de integrabilidade.

Se (M, D, g) é uma variedade sub-Riemanniana então dizemos que ela é uma variedade sub-Riemanniana de contato quando D é uma distribuição de contato. Por exemplo, a 1forma θ = dz − xdy em ℝ^{3} é de contato, donde o grupo de Heisenberg é uma variedade sub-Riemanniana de contato.

Seja M uma variedade e seja D uma distribuição de contato em M. Afirmamos que D não admite curvas singulares, exceto pelas curvas constantes. De fato, seja ω a forma simplética canônica em T M^{∗}. Basta mostrar que a restrição de ω a D^{0} é simplética fora da seção nula (vide corolário 2 do lema 9). Como essa condição é local, podemos supor que D é globalmente anulada por uma forma de contato θ.

Seja f: M × ℝ → D^{0} ⊂ T M^{∗} dada por f(m, c) = cθ(m). Daí f é um isomorfismo de fibrados vetoriais e em particular um difeomorfismo. Denote por λ a 1-forma canônica em T M^{∗}, de modo que ω = −dλ. Resta mostrar então que f^{∗}ω(m, c) é não degenerada para c ≠ 0. Temos f^{∗}ω = −df^{∗}λ. Temos:

f^{∗}λ_{(m,c)}(v, h) = λ_{cθ(m)}df_{(m,c)}(v, h) = cθ_{m}(v).

Daí f^{∗}λ = π_{2}π_{1}^{∗}θ, onde π_{1}, π_{2} são as projeções de M ×ℝ (observe que π_{2} é uma função escalar em M × ℝ). Queremos mostrar que df^{∗}λ = dπ_{2} ∧ π_{1}^{∗}θ + π_{2}π_{1}^{∗}dθ é não degenerada nos pontos (m, c) ∈ M × ℝ com c ≠ 0.

Sejam então m ∈ M, c ∈ ℝ com c ≠ 0. Seja (v_{1}, …, v_{n}) uma base de T_{m}M tal que (v_{1}, …, v_{n−1}) é uma base de D_{m} e tal que θ_{m}(v_{n}) = 1. Identifique v_{i} com (v_{i}, 0) ∈ T_{(m,c)}(M × ℝ). Seja v_{n+1} = (0, 1) ∈ T_{(m,c)}(M × ℝ). Simplesmente escrevemos a matriz de dπ_{2} ∧ π_{1}^{∗}θ + cπ_{1}^{∗}dθ na base (v_{1}, …, v_{n+1}) e verificamos que seu determinante é diferente de zero (usando o fato que a matriz de dθ(m)_{|D_{m}} na base (v_{1}, …, v_{n−1}) tem determinante diferente de zero).

Existem outras situações em que podemos concluir diretamente que D não admite extremais anormais (não constantes). Esse é o caso, por exemplo, se D é uma distribuição gorda (ou fortemente geradora por colchetes). Vide [Mg].

Vimos que o problema da minimização do comprimento de arco no grupo de Heisenberg equivale ao problema isoperimétrico no plano. Essa idéia pode ser generalizada, i.e., outros problemas de minimização podem ser codificados na forma de minimização do comprimento de arco sub-Riemanniano. Por exemplo, seja (M, ω) uma variedade simplética com forma simplética exata ω = dλ. Suponha que M possui também uma métrica Riemanniana.

Temos então uma estrutura sub-Riemanniana de contato natural na variedade M ×ℝ. De fato, defina θ = dπ_{2} − π_{1}^{∗}λ, onde π_{1}, π_{2} são as projeções de M × ℝ. É fácil ver que θ é uma forma de contato em M × ℝ, donde a distribuição D anulada por θ é de contato. Para cada (m, c) ∈ M × ℝ defina um produto interno em D_{(m,c)} declarando a restrição de dπ_{1}(m, c) a D_{(m,c)} uma isometria sobre T_{m}M.

Reobtemos então o grupo de Heisenberg se M = ℝ^{2} com suas estruturas Riemanniana e simplética canônicas (escolhendo λ = xdy).

Seja γ: [a, b] → M uma curva absolutamente contínua. Temos que as curvas horizontais em M × ℝ que se projetam sobre γ são da forma (γ, c), com c(t) = c_{0} + ∫_{a}^{t} λ(γ̇(s))ds, com c_{0} ∈ ℝ arbitrário. Temos que o comprimento sub-Riemanniano de (γ, c) coincide com o comprimento Riemanniano (em M) de γ.

Daí, procurar uma curva que minimiza comprimento de arco (sub-Riemanniano) em M × ℝ ligando os pontos (m_{1}, c_{1}) e (m_{2}, c_{1} + h) é o mesmo que procurar uma curva γ: [a, b] → M que minimiza o comprimento de arco (Riemanniano) em M ligando os pontos m_{1} e m_{2}, sob o vínculo ∫_{a}^{b} λ(γ̇(t))dt = h.

Por exemplo, observe que o fibrado co-tangente de uma variedade Riemanniana sempre possui uma estrutura Riemanniana e uma estrutura simplética canônica, com forma simplética exata (para obter uma estrutura Riemanniana em T M^{∗}, considere a conexão de Levi-Civita. Os espaços horizontais da conexão são isomorfos através de dπ a espaços tangentes a M, e os espaços verticais são isomorfos a espaços co-tangentes a M. Temos então produtos internos nos espaços horizontal e vertical. Basta então declarar os espaços horizontal e vertical ortogonais entre si).

Segue que se M é uma variedade Riemanniana então T M × ℝ sempre possui uma estrutura sub-Riemanniana de contato canônica.

Passemos aos comentários finais. Seja (M, D, g) uma variedade sub-Riemanniana. De uma maneira geral, o estudo de geometria sub-Riemanniana se torna mais fácil (e muitas vezes mais interessante) à medida que D se torna “menos integrável” (i.e., “menos involutiva”).

O caso de contato é o mais simples. A hipótese mais comum é que D seja geradora por colchetes. Denote por Γ(T M) o conjunto dos campos vetoriais em M de classe C^{∞}. Temos que Γ(T M) é uma álgebra de Lie sobre ℝ (munida do colchete de Lie de campos vetoriais usual). Seja Γ(D) ⊂ Γ(T M) o subespaço vetorial de Γ(T M) formado pelos campos horizontais. Podemos considerar a álgebra de Lie gerada por Γ(D) em Γ(T M). Dizemos que D é geradora por colchetes quando dados m ∈ M e um vetor v ∈ T_{m}M existe um campo X ∈ Γ(T M) pertencente à álgebra de Lie gerada por Γ(D), tal que X(m) = v.

Supondo M conexa e D geradora por colchetes, segue do teorema de Chow que quaisquer dois pontos de M podem ser conectados por uma curva horizontal de classe C^{∞} por partes. Vide [Ch]. Daí é possível definir a distância sub-Riemanniana d(p, q) entre dois pontos p, q ∈ M como sendo o ínfimo dos comprimentos das curvas horizontais (absolutamente contínuas) que ligam p a q. Não é difícil ver então que (M, d) é um espaço métrico (a única dificuldade é mostrar que d(p, q) = 0 implica p = q. Use o comentário que segue o lema 1).

A hipótese que D é geradora por colchetes é tão comum que eventualmente poderia ser incorporada à definição de variedade sub-Riemanniana. Essa hipótese não foi mencionada no nosso texto, já que ela é totalmente irrelevante para as demonstrações que fizemos.

A respeito de extremais, temos mais dois comentários a fazer. Já observamos (e é óbvio) que os extremais normais são sempre de classe C^{∞}. Isso não é verdade no caso de extremais anormais, já que uma reparametrização de um extremal anormal é sempre um extremal anormal. Porém, devemos perguntar se todo extremal anormal parametrizado por comprimento de arco é de classe C^{∞}. Isso é um problema ainda em aberto.

Finalmente, observamos que todo extremal normal é localmente minimizante. Isso pode ser demonstrado com técnicas elementares. Vide [LS], apêndice C.