1.2 Variedades de curvas.

O objetivo desta seção é em primeiro lugar o de especializar alguns resultados das seções 1.0 e 1.1 para o caso que mais nos interessa que é o de variedades de curvas. Mostraremos alguns teoremas específicos sobre tais variedades (muitos deles admitem generalizações para espaços de seções de um fibrado geral, mas o objetivo desta seção é justamente o de tornar os resultados mais específicos). O teorema fundamental da seção é a construção das cartas de Bismut, que serão amplamente utilizadas na seção 2.0. O nome “carta de Bismut” é motivado por [Bs].

Nesta seção a notação é um pouco diferente das duas seções anteriores. Aqui teremos sempre uma variedade de curvas em M (M não é o domínio das funções, agora M é o contra-domínio). Assim M denota sempre uma variedade (não necessariamente compacta) sem bordo e I denota sempre um intervalo fechado, tipicamente escreveremos I = [a, b] ⊂ ℝ.

Note bem então: A variedade compacta com bordo M da seção anterior é agora o intervalo fechado I, enquanto que a variedade (não necessariamente compacta) sem bordo que na seção anterior normalmente era denotada por N agora passa a ser chamada de M.

Teremos sempre um tipo 𝔐 de espaço de seções que a menos de menção explícita em contrário satisfaz 𝔐 ≤ C^{0}. Uma variedade de curvas em M (de tipo 𝔐, definidas num intervalo fechado I) é uma variedade de Banach 𝔐(I × M) de seções do fibrado trivial I × M.

Consideraremos também o fibrado tangente T M de M e a variedade de curvas 𝔐(I × T M) em T M. Denotamos sempre por π: T M → M a projeção do fibrado tangente de M. O teorema 18 da seção anterior nos diz que o fibrado tangente da variedade de Banach 𝔐(I × M) é 𝔐(I × T M), com projeção (π∘).

Ocasionalmente precisaremos falar em fibrados vetoriais ξ sobre M e daí considerar a variedade de curvas 𝔐(I × ξ) em ξ. Na seção anterior ξ denotava sempre um VBN, mas nesta seção raramente precisaremos recorrer a VBN’s (exceto aquele tipo particular de VBN obtido usando cartas de M), donde não deve haver confusão. A projeção de ξ também será sempre denotada por π assim como a projeção de T M.

Já observamos na seção anterior que I ×ξ é um fibrado misto sobre I (cujo fibrado das bases é I × M). Teremos então dois tipos 𝔐_{1}, 𝔐_{2} de espaços de funções com 𝔐_{2} ≤ C^{0} e 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1}. Daí o espaço misto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ) não é somente uma variedade de Banach mas é também um fibrado vetorial de Banach sobre 𝔐_{2}(I × M).

Começamos recordando quais são os tipos mais simples de cartas que temos em variedades de curvas. Se φ: U → Ũ é uma carta em M com Ũ = ℝ^{n} então I × U é um VBN no fibrado I × M. De fato, declarando φ um isomorfismo linear obtemos uma estrutura de espaço vetorial em U e daí uma estrutura de fibrado vetorial em I × U. Temos então uma carta em 𝔐(I × M) associada a φ tomando valores em 𝔐(I × U) ≅ 𝔐(I × ℝ^{n}). Ao identificar 𝔐(I × U) com 𝔐(I × ℝ^{n}) vemos que a carta em 𝔐(I × M) é dada por (φ∘).

A condição Ũ = ℝ^{n} é fundamental para que tenhamos um VBN mas não é importante para que tenhamos uma carta em 𝔐(I ×M). De fato, pela observação 3 da seção anterior, o fato de φ ser um difeomorfismo implica que (φ∘) é um difeomorfismo (de classe C^{∞}) definido no aberto 𝔐(I × M; I × U) em 𝔐(I × M) a valores no aberto 𝔐(I × ℝ^{n}; I × Ũ) no espaço de Banach 𝔐(I ×ℝ^{n}). Mas um difeomorfismo sobre um aberto de um espaço de Banach é exatamente uma carta, donde em qualquer caso (φ∘) é uma carta em 𝔐(I ×M).

A carta (φ∘) em 𝔐(I ×M) induz um isomorfismo topológico entre o espaço tangente a 𝔐(I ×M) no ponto γ e o espaço de Banach 𝔐(I ×ℝ^{n}), para γ(I) ⊂ U. Se v ∈ T_{γ}𝔐(I ×M) então v é um campo vetorial ao longo de γ e daí v corresponde por esse isomorfismo topológico ao elemento ṽ ∈ 𝔐(I × ℝ^{n}) dado por ṽ(t) = dφ_{γ(t)}v(t) (vide comentário sobre a observação 2 após o teorema 18).

Destacamos que as cartas explicadas acima em 𝔐(I × M) são muito úteis mas em geral não formam um atlas. Elas só cobrem as curvas cuja imagem está contida no domínio de uma carta de M. Para obter cartas em 𝔐(I × M) cujos domínios incluam curvas cuja imagem não está contida no domínio de uma carta de M é realmente necessário usar VBN’s mais gerais. Felizmente isso em geral não é necessário devido à técnica do “esquartejamento da base”, i.e., o teorema 24.

Se ξ é um fibrado vetorial sobre M vamos construir algumas cartas no espaço misto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ). Usamos a generalização da observação 3 para espaços mistos (vide comentários antes do teorema 24). Seja U ⊂ M um aberto no qual está definida uma carta φ: U → Ũ de M e uma trivialização α = (π, α^{2}): π^{−1}(U) → U × ξ_{0} de ξ. Daí temos uma carta em ξ definida no aberto π^{−1}(U) dada por (φ ∘ π, α^{2}) cuja imagem é o aberto Ũ ×ξ_{0} em ℝ^{n} ⊕ξ_{0}. Denotamos essa carta por \overline{(φ, α)} ou simplesmente φ̄ quando não houver confusão sobre qual seja a trivialização α.

Se Ũ = ℝ^{n} então declarando φ̄ um isomorfismo linear obtemos uma estrutura de espaço vetorial em π^{−1}(U) e portanto uma estrutura de VBN em I × π^{−1}(U) ⊂ I × ξ, na realidade uma estrutura de VBN linearmente adaptado. Isso produz uma carta em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ).

Assim como nas cartas em 𝔐(I × M), a condição Ũ = ℝ^{n} é importante para que tenhamos um VBN mas não é importante para que tenhamos uma carta em 𝔐(I × ξ). De fato, φ̄ é um morfismo linearmente adaptado de classe C^{∞} definido na faixa aberta I × π^{−1}(U) em I × ξ tomando valores no fibrado misto I × (ℝ^{n} ⊕ ξ_{0}) (cujo fibrado das bases é I × ℝ^{n}). Também φ̄ é um difeomorfismo sobre a faixa aberta I × Ũ × ξ_{0} donde (φ̄∘) é um difeomorfismo de classe C^{∞} definido no aberto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ; I × π^{−1}(U)) na variedade de Banach (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ) sobre o aberto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × (ℝ^{n} ⊕ ξ_{0}); I × Ũ × ξ_{0}) no espaço de Banach (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × (ℝ^{n} ⊕ ξ_{0})) ≅ 𝔐_{1}(I × ξ_{0}) ⊕ 𝔐_{2}(I × ℝ^{n}).

Isso significa que (φ̄∘) é uma carta na variedade de Banach (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ) definida no aberto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ; I × π^{−1}(U)) com imagem igual ao aberto 𝔐_{1}(I × ξ_{0}) × 𝔐_{2}(I × ℝ^{n}; I × Ũ) no espaço de Banach 𝔐_{1}(I × ξ_{0}) ⊕ 𝔐_{2}(I × ℝ^{n}).

Note bem, em geral uma carta qualquer na variedade ξ não induz uma carta no espaço misto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ). As cartas φ̄ que construímos acima são bastante especiais, elas preservam a estrutura de fibrado vetorial de ξ.

O problema agora é como reconhecer de modo simples os elementos de 𝔐(I × M) e de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ). A definição dada na seção anterior usando VBN’s não é muito aplicável na prática. Usamos as observações 5 e 6 (e suas generalizações para espaços mistos explicadas nos comentários que precedem o teorema 24).

Em primeiro lugar, já sabemos que C^{k}(I × M) é simplesmente o conjunto das curvas de classe C^{k} em M. Em geral, sabemos que se γ ∈ 𝔐(I × M) então para todo intervalo fechado J ⊂ I então γ_{|J} ∈ 𝔐(J × M). Do mesmo modo, se γ ∈ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ) então para todo intervalo fechado J ⊂ I temos γ_{|J} ∈ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(J × ξ).

Seja P : a = t_{0} < … < t_{r} = b uma partição de I = [a, b]. Seja γ: I → M. Se γ_{|[t_{i},t_{i+2}]} está em 𝔐([t_{i}, t_{i+2}] × M) para i = 0, …, r − 2 então γ está em 𝔐(I × M). Se 𝔐 < C^{1} então podemos usar os intervalos [t_{i}, t_{i+1}] ao invés de [t_{i}, t_{i+2}]. Analogamente, se γ_{|[t_{i},t_{i+2}]} está em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})([t_{i}, t_{i+2}] × ξ) para i = 0, …, r − 2 então γ está em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ). Se 𝔐_{2} < C^{1} então podemos usar os intervalos [t_{i}, t_{i+1}] ao invés de [t_{i}, t_{i+2}].

Seja γ: I → M uma curva cuja imagem está contida no domínio de uma carta φ: U → Ũ. Então (φ∘) é uma carta em 𝔐(I × M) donde γ está em 𝔐(I × M) se e somente se φ ∘ γ está em 𝔐(I × ℝ^{n}). Do mesmo modo, se γ: I → ξ é uma curva cuja imagem está contida no domínio de uma carta φ̄: π^{−1}(U) → Ũ × ξ_{0} (associada a uma carta φ em M e a uma trivialização α de ξ) então (φ̄∘) é uma carta em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ), donde γ está em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ) se e somente se φ̄ ∘ γ tem primeira coordenada em 𝔐_{2}(I × ℝ^{n}) e segunda coordenada em 𝔐_{1}(I × ξ_{0}).

Resumindo, para saber se uma determinada curva γ em M está em 𝔐(I × M) precisamos escolher uma partição P : a = t_{0} < … < t_{r} = b de I = [a, b] tal que cada pedaço γ([t_{i}, t_{i+2}]) de γ esteja contido no domínio de uma carta de M. Daí escrevemos cada pedaço γ_{|[t_{i},t_{i+2}]} de γ em coordenadas e procuramos saber se ele pertence a 𝔐([t_{i}, t_{i+2}] × ℝ^{n}), o que em geral é simples (temos que H_{p}^{k}(J × ℝ^{n}) é o conjunto das funções definidas no intervalo J a valores em ℝ^{n} que são de classe C^{k−1}, cuja k − 1-ésima derivada é absolutamente contínua e cuja k-ésima derivada tem p-ésima potência da norma integrável). Para 𝔐 < C^{1} podemos usar as restrições de γ aos subintervalos [t_{i}, t_{i+1}] ao invés de [t_{i}, t_{i+2}].

No caso de uma curva γ em ξ, para saber se γ pertence a (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I ×ξ) procedemos da mesma forma, sendo que cada pedaço de γ deve ser escrito num sistema de coordenadas do tipo φ̄ e daí as curvas em ℝ^{n}⊕ξ_{0} obtidas devem ter primeira coordenada em 𝔐_{2}(I ×ℝ^{n}) e segunda coordenada em 𝔐_{1}(I × ξ_{0}).

Definimos então que uma curva γ em M é absolutamente contínua quando ela pertence a H_{1}^{1}(I × M), i.e., qualquer restrição de γ a um intervalo fechado J ⊂ I tem representação em coordenadas absolutamente contínua. É fácil verificar que escolhida uma métrica Riemanniana em M então H_{p}^{1}(I × M) é o conjunto das curvas γ que são absolutamente contínuas e tais que t ∈ I ↦ ∥γ̇(t)∥ ∈ ℝ está em L^{p}(I × ℝ) (apenas divida a curva em pedaços e use constantes positivas c_{1}, c_{2} tais que c_{1}g(v, v) ≤ g_{e}(v, v) ≤ c_{2}g(v, v) em alguma região compacta do domínio de uma carta. Aqui g é a métrica Riemanniana de M e g_{e} é a métrica Euclideana na imagem da carta).

Precisamos agora estudar o operador derivação que associa a cada curva γ em M a curva γ̇ em T M. Para isso é conveniente usar a seguinte terminologia. Se 𝔐 < C^{0} denotamos por 𝔐′ o seguinte tipo de espaço de seções: para 𝔐 = C^{k}, k ≥ 1 escrevemos 𝔐′ = C^{k−1} e para 𝔐 = H_{p}^{k}, k ≥ 1 escrevemos 𝔐′ = H_{p}^{k−1}.

Queremos então para 𝔐 < C^{0} mostrar que o operador derivação definido em 𝔐(I×M) toma valores em (𝔐′, 𝔐)(I × T M) e é de classe C^{∞}. Note que aqui para C^{1} < 𝔐 é realmente importante usar espaços mistos pois se 𝔐 = H_{p}^{1} então 𝔐′ = H_{p}^{0} = L^{p} e daí 𝔐′(I × T M) não existe! Se 𝔐 ≤ C^{1} os espaços mistos são dispensáveis pois daí 𝔐′ ≤ C^{0} donde faz sentido escrever 𝔐′(I × T M) e é fácil ver que a inclusão de (𝔐′, 𝔐)(I × T M) em 𝔐′(I × T M) é uma imersão C^{∞}.

O leitor pode verificar que não é muito fácil mostrar que o operador derivação é C^{∞} usandos cartas associadas a VBN’s. A dificuldade é a seguinte. As cartas associadas a VBN’s foram feitas para um espaço de seções de um fibrado geral, o que em particular inclui espaços de funções entre duas variedades. Mas alguns operadores não fazem sentido num espaço de seções de um fibrado geral, só fazendo sentido em casos particulares. Por exemplo, o operador derivação só faz sentido para fibrados triviais (em fibrados gerais temos os jatos, mas é um pouco diferente). Assim, para operadores que não se adaptam bem a espaços de seções de um fibrado geral, adaptando-se apenas a casos particulares, como variedades de curvas, a melhor maneira de trabalhar é usar o método do “esquartejamento da base”.

É bem fácil mostrar que o operador derivação é C^{∞} nas regiões de 𝔐(I × M) nas quais temos cartas do tipo (φ∘), onde φ é uma carta de M.

De fato, seja φ: U → Ũ uma carta em M. Então φ induz de modo canônico uma trivialização em T M sobre U e portanto temos uma carta φ̄ em T M definida em π^{−1}(U) com imagem igual a Ũ × ℝ^{n}. As cartas φ e φ̄ induzem então cartas (φ∘) e (φ̄∘) em 𝔐(I × M) e em (𝔐′, 𝔐)(I × T M). A representação local do operador derivação nestas cartas é uma restrição do operador linear

f ∈ 𝔐(I × ℝ^{n}) ↦ (f, f′) ∈ 𝔐(I × ℝ^{n}) ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{n}).

Foi visto na seção 1.0 que esse operador é linear contínuo (vide exemplos de operadores lineares contínuos que seguem o teorema 12).

Usamos então o método do “esquartejamento da base”. Vimos um exemplo de aplicação do teorema 24 logo após sua demonstração. Novamente identificaremos todos os elementos que aparecem nas hipóteses do teorema 24. No primeiro exemplo de aplicação do teorema 24 precisávamos diminuir a base (i.e., usar o conjunto 𝔇) enquanto aqui o que precisamos é diminuir o espaço total (i.e., usar o conjunto U).

Seja Ẽ | I o fibrado misto nulo de I × M. Seja F̃ | I o fibrado misto I × T M. Seja U o conjunto dos abertos em I × M da forma I × U onde U ⊂ M é o domínio de um sistema de coordenadas. Seja 𝔇 o conjunto de todos os intervalos fechados contidos em I (nesta aplicação o conjunto 𝔇 não é importante). O operador φ que aparece no teorema 24 será o operador derivação e o aberto V será todo o espaço 𝔐(I × M). Para cada intervalo fechado D ⊂ I temos que o aberto V_{D} é todo o espaço 𝔐(D × M) e o operador φ_{D} é o operador derivação também (definido em 𝔐(D × M)). Ponha 𝔐_{1} = 𝔐 (ou qualquer coisa ≤ 𝔐), 𝔐_{2} = 𝔐, 𝔐_{3} = 𝔐′ e 𝔐_{4} = 𝔐.

O leitor pode verificar facilmente as hipóteses do teorema 24 e daí conclui-se que o operador derivação definido em 𝔐(I × M), 𝔐 < C^{0}, toma valores em (𝔐′, 𝔐)(I × T M) e é de classe C^{∞} (veja também a observação que segue a demonstração do teorema 24, enfraquecendo um pouco suas hipóteses).

Assim, para 𝔐 < C^{0} denotamos por 𝔡: 𝔐(I × M) → (𝔐′, 𝔐)(I × T M) o operador derivação 𝔡(γ) = γ̇. Temos que 𝔡 é C^{∞}.

Nas próximas vezes em que precisarmos aplicar o método do “esquartejamento da base” simplesmente diremos que o resultado segue do teorema 24, sem explicar os detalhes (consideramos que o teorema está agora suficientemente exemplificado e que sua aplicação tornou-se um procedimento rotineiro).

Como aplicação das técnicas de variedades de curvas estudaremos um pouco de cálculo de variações. Este exemplo é muito importate pois ele ilustra a técnica geral de trabalho com operadores em variedades de curvas.

Definimos um Lagrangeano de classe C^{k} numa variedade M como sendo uma função L: U ⊂ ℝ × T M → ℝ de classe C^{k} definida num aberto U ⊂ ℝ × T M.

Se L é um Lagrangeano de classe C^{k} em M então definimos o funcional associado a L como sendo o operador 𝔏 dado por 𝔏(γ) = ∫_{a}^{b} L(t, γ(t), γ̇(t))dt. Temos que 𝔏 toma valores em ℝ. O domínio de 𝔏 será discutido a seguir.

Obviamente o domínio natural para 𝔏 é uma variedade de curvas 𝔐(I × M), com I = [a, b]. A primeira coisa que devemos observar é que 𝔏 só está bem definido sobre as curvas γ tais que (t, γ(t), γ̇(t)) ∈ U ⊂ ℝ × T M para todo t ∈ I (estamos denotando um vetor v ∈ T_{m}M por (m, v), para tornar mais clara a exposição).

Consideramos primeiro o caso 𝔐 ≤ C^{1}. Daí o domínio de 𝔏 é a imagem inversa por 𝔡 de (𝔐′, 𝔐)(I × T M; U ∩ (I × T M)) que é obviamente aberto em 𝔐(I × M), já que 𝔐′ ≤ C^{0} e daí (𝔐′, 𝔐)(I × T M) tem a topologia mais fina que a compacto-aberta.

Identificamos L com o morfismo geral (t, m, v) ↦ (t, L(t, m, v)) definido no aberto U ∩(I ×T M) em I ×T M a valores em I ×ℝ. Temos que 𝔏 é dado por 𝔏 = (∫_{a}^{b} dt)∘(L∘)∘𝔡, onde (∫_{a}^{b} dt) é o operador integração que a cada função escalar no intervalo [a, b] associa a sua integral. Recordamos da seção anterior que o operador integração é linear contínuo em L^{1}(I × ℝ) (e portanto é linear contínuo em qualquer espaço de funções de I em ℝ. Vide exemplos de operadores lineares contínuos após o teorema 12).

Vemos então que se L é de classe C^{k} e se 𝔐 ≤ C^{1} então 𝔏 é (bem definido e) de classe C^{k} (como 𝔐′ ≤ C^{0} podemos compor 𝔡 com a inclusão de (𝔐′, 𝔐)(I × T M) em C^{0}(I × T M), a qual é uma imersão C^{∞}. Temos também, pela observação 2, que (L∘) é de classe C^{k} em C^{0}(I × T M)).

Para 𝔐 = C^{0} obviamente não faz sentido considerar 𝔏 pois não faz sentido a derivada γ̇. Se 𝔐 = H_{p}^{1} então γ̇ está bem definida (em quase todo ponto) mas em geral a integral que define 𝔏 diverge. Precisamos de uma hipótese adicional sobre L.

Diremos que L: U ⊂ ℝ × T M → ℝ é um Lagrangeano polinomial quando existe g ∈ ℕ tal que para todo t ∈ ℝ e para todo m ∈ M temos que ou {t} × T_{m}M é disjunto de U ou {t} × T_{m}M está contido em U e L restrito a {t} × T_{m}M é um polinômio (a valores em ℝ) de grau menor ou igual a g. Definimos o grau de L como sendo o máximo dos graus das restrições de L a polinômios de {t} × T_{m}M em ℝ, t ∈ ℝ, m ∈ M, {t} × T_{m}M ⊂ U (note que o grau é sempre (finito e) um número natural).

Em primeiro lugar, se L é polinomial então U ∩ (I × T M) é uma faixa aberta no fibrado misto I × T M donde (𝔐′, 𝔐)(I × T M; U ∩ (I × T M)) é aberto e o domínio de 𝔏 é novamente aberto em 𝔐(I × M).

Observe que I ×ℝ pode ser visto como um fibrado misto sobre I cujo fibrado das bases é I × {0}. Daí (𝔐′, 𝔐)(I × ℝ) ≅ 𝔐′(I × ℝ) e L identifica-se com o morfismo polinomial (t, m, v) ↦ (t, L(t, m, v)).

Decorre então diretamente dos comentários feitos após o teorema 23 (sobre as conseqüências do teorema 14) que se L é de classe C^{k} e é polinomial de grau menor ou igual a p então 𝔏 é (bem definido e) de classe C^{k} para 𝔐 = H_{p}^{1} (note que podemos compor 𝔡 com a inclusão de (L^{p}, H_{p}^{1})(I × T M) em (C^{0}, L^{p})(I × T M), a qual é uma imersão C^{∞}. Temos também que (L∘) é de classe C^{k} quando definido em (L^{p}, C^{0})(I × T M) e tomando valores em L^{1}(I × ℝ)). Lembramos que p pode não ser inteiro e também pode ser igual a +∞, mas daí a possibilidade de o grau de L ser igual a p está excluída.

A partir de agora suporemos sempre que 𝔐 < C^{0}, que L é pelo menos de classe C^{1} e que quando 𝔐 = H_{p}^{1} então L é polinomial de grau menor ou igual a p. Daí 𝔏 é sempre definido num aberto em 𝔐(I × M) e é de classe C^{1}.

O objetivo agora é calcular a diferencial de 𝔏. Teoricamente é possível calcular a diferencial de um operador numa variedade de curvas simplesmente calculando a diferencial de cada um de seus componentes e então aplicando a regra da cadeia. O primeiro problema com essa técnica é que não estudamos o fibrado tangente de um espaço misto. Isso não é uma dificuldade grande, é claro que não é difícil generalizar o teorema 18 para espaços mistos e daí chegaríamos à conclusão que T (𝔐′, 𝔐)(I × T M) = (𝔐′, 𝔐)(I × T T M), onde T T M é o fibrado tangente de T M.

Temos que I × T T M é um fibrado misto sobre I cujo fibrado das bases é I × T M e cuja projeção π̂ sobre I × T M é (t, z) ↦ (t, dπ(z)).

O segundo problema é que a diferencial de 𝔡 não é muito simples. Seja φ: U → Ũ uma carta em M. Temos então associadas a φ uma carta em T M e uma carta em T T M. Usando essas cartas definimos uma função σ de T T M em si mesmo fazendo σ(m, v, w, z) = (m, w, v, z). Um cáculo direto mostra que σ está bem definido independentemente de coordenadas. Temos então que d𝔡_{γ}(v) = σ ∘ v̇ (para ver isso note que o método do “esquartejamento da base” serve não somente para mostrar que um operador é C^{∞} mas também para achar sua diferencial).

No nosso caso específico é razoável calcular a diferencial de 𝔏 usando a regra da cadeia pois 𝔏 é um operador muito simples. Por exemplo, ele só usa derivadas de primeira ordem de γ. Para operadores mais complexos esse método “global” (sem o uso de coordenadas) para o cálculo da diferencial torna-se quase inviável. Além do mais, classicamente faz-se cálculo variacional sem a formalização da teoria de variedades de Banach e daí a diferencial de um operador é definida usando variações de curvas. Esse método de calcular diferenciais de operadores usando variações realmente funciona no nosso caso e ele é muito prático em muitas situações.

Por exemplo, quando calculamos a primeira variação da energia numa variedade Riemanniana, se usarmos variações (vide [Ca]) e derivadas covariantes então a equação geodésica é obtida diretamente.

Tratamos agora então de justificar o método clássico de calcular diferenciais usando variações. No final explicamos uma outra possibilidade para calcular a diferencial de 𝔏, baseada no método do “esquartejamento da base”.

Seja γ: I → M uma curva de classe C^{∞}. Definimos uma variação de γ como sendo uma função H: (−ϵ, ϵ) × I → M de classe C^{∞} tal que H(0, t) = γ(t), para todo t ∈ I. Tipicamente escreveremos H(s, t) e teremos então derivadas parciais de H, \frac{∂H}{∂t} e \frac{∂H}{∂s}.

Definimos o campo variacional de uma variação H como sendo o campo vetorial v: I → T M de classe C^{∞} ao longo de γ (i.e., π ∘ v = γ) definido por v(t) = \frac{∂H}{∂s} (0, t).

É fácil ver que dada γ: I → M de classe C^{∞} e dado v: I → T M, π ∘ v = γ, de classe C^{∞} então existem variações de γ com campo variacional v. Escolha, por exemplo, uma métrica Riemanniana em M e defina H(s, t) = exp(s · v(t)). Devemos verificar que H(s, t) está bem definida para t ∈ I e para s próximo de zero. De fato, o domínio de exp é um aberto em T M e daí o conjunto dos pares (s, t) ∈ ℝ × I tais que exp(s · v(t)) está bem definido é um aberto em ℝ × I contendo {0} × I e como I é compacto esse aberto contém (−ϵ, ϵ) × I para ϵ > 0 suficientemente pequeno.

Se H é uma variação de γ então temos associada a H uma curva H̃: (−ϵ, ϵ) → 𝔐(I×M) dada por H̃(s) = H(s, ·). O teorema 20 nos diz que H̃ é uma curva de classe C^{∞} em 𝔐(I × M) cujo vetor tangente em s = 0 é o campo variacional v de H (mas note bem que H̃ pode ser de classe C^{∞} sem que H o seja. Vide exemplo que segue o teorema 20).

Seja γ uma curva no domínio de 𝔏, i.e., γ ∈ 𝔐(I × M) e (t, γ(t), γ̇(t)) ∈ U, ∀t ∈ I. Suponha que γ é de classe C^{∞}. Seja v ∈ T_{γ}𝔐(I × M). Daí v é um campo vetorial ao longo de γ. Suponha que também v é de classe C^{∞}.

Vamos calcular d𝔏_{γ}(v). Seja H uma variação de γ com campo variacional v. Temos que H̃ é uma curva C^{∞} em 𝔐(I × M) com vetor tangente v em s = 0, donde pela regra da cadeia temos que d𝔏_{γ}(v) coincide com a derivada em s = 0 de 𝔏 ∘ H̃.

Para facilitar a notação escrevemos H(s, t) = γ_{s}(t). É muito fácil calcular a derivada em s = 0 de 𝔏 ∘ H̃ já que como H é C^{∞} podemos usar todas as regras usuais de troca de ordem de derivadas parciais, passagem da derivada para dentro do sinal de integral, etc (note que se tomássemos uma curva qualquer em 𝔐(I × M) com 𝔐 = H_{p}^{1}, por exemplo, seria mais difícil justificar esse tipo de operação).

Temos:

\frac{d}{ds} ∫_{a}^{b} L(t, γ_{s}(t), γ̇_{s}(t))dt|_{s=0} = ∫_{a}^{b} \frac{d}{ds}L(t, γ_{s}(t), γ̇_{s}(t))|_{s=0} dt.

Para calcular a derivada em s que aparece no integrando precisamos usar coordenadas locais. Note que não precisamos de uma carta cujo domínio englobe toda a curva.

Em coordenadas locais escrevemos L(t, q, q̇), usando a notação clássica (q̇ é apenas o nome de uma variável e não uma derivada). Daí o integrando é dado em coordenadas locais por:

\frac{d}{ds}L(t, γ_{s}(t), γ̇_{s}(t))|_{s=0} = \frac{∂L}{∂q}(t, γ(t), γ̇(t))v(t) + \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t))v̇(t).

A função de t que aparece do lado direito da igualdade acima é uma função escalar num subintervalo de I. A fórmula dada acima do lado direito da igualdade só faz sentido em coordenadas locais.

Um cálculo direto (analisando o que ocorre quando mudamos de carta) mostra que a fórmula acima define na realidade uma função escalar no intervalo I que não depende das cartas escolhidas. Denotamos essa função por (\frac{∂L}{∂q} ∘ γ̇)v + (\frac{∂L}{∂q̇} ∘ γ̇)v̇ (note bem, isso é apenas uma notação, não estamos supondo que tenha sido escolhida uma carta).

Daí se γ e v são de classe C^{∞} então d𝔏_{γ}(v) = ∫_{a}^{b}(\frac{∂L}{∂q} ∘ γ̇)v + (\frac{∂L}{∂q̇} ∘ γ̇)v̇ dt. O lado direito dessa igualdade faz sentido para qualquer v num aberto de 𝔐(I ×T M) (e γ = π∘v). Além do mais ele define um operador contínuo num aberto de 𝔐(I × T M) a valores em ℝ. Indicamos abaixo como isso pode ser demonstrado.

Para mostrar que o lado direito da igualdade faz sentido para qualquer v ∈ 𝔐(I×T M) use a caracterização dos elementos de 𝔐(I × T M) em coordenadas, i.e., v ∈ 𝔐(I × T M) significa que quando escrevemos (uma restrição de) v em coordenadas locais obtemos um elemento de 𝔐(J ×ℝ^{n})⊕𝔐(J ×ℝ^{n}) (com J um subintervalo fechado de I). Para mostrar que o operador definido é contínuo use o método do “esquartejamento da base” (teorema 24). Note que em coordenadas locais temos que \frac{∂L}{∂q}(t, q, q̇)v é uma função contínua de t, q, q̇ e v. Do mesmo modo, \frac{∂L}{∂q̇}(t, q, q̇)v̇ define uma função contínua de t, q, q̇ e v̇. No caso 𝔐 = H_{p}^{1} temos além do mais que \frac{∂L}{∂q}(t, q, q̇)v é polinomial em q̇ de grau menor ou igual a p e \frac{∂L}{∂q̇}(t, q, q̇)v̇ é polinomial em (q̇, v̇) de grau menor ou igual a p. Observação: o teorema 24 se aplica para operadores que comutam com restrições da base (i.e., restrições de I). Daí o operador no qual devemos aplicar o teorema 24 é

v ∈ 𝔐(I × T M) ↦ (\frac{∂L}{∂q} ∘ γ̇)v + (\frac{∂L}{∂q̇} ∘ γ̇)v̇ ∈ L^{1}(I × ℝ), γ = π ∘ v.

Para obter o operador desejado precisamos ainda fazer a composição com (∫_{a}^{b} dt), que é linear contínuo.

Baseado nas idéias acima e nos lemas 5 e 7 o leitor pode verificar facilmente que temos um operador contínuo num aberto de 𝔐(I × T M). Para 𝔐 ≠ H_{∞}^{k} temos que C^{∞}(I × T M) é denso em 𝔐(I × T M) de modo que temos um operador contínuo que coincide com d𝔏 (que também é contínuo) num subconjunto denso. Daí concluímos que d𝔏_{γ}(v) = ∫_{a}^{b}(\frac{∂L}{∂q} ∘ γ̇)v + (\frac{∂L}{∂q̇} ∘ γ̇)v̇ dt para todo v ∈ 𝔐(I × T M), γ = π ∘ v (com γ no domínio de 𝔏).

Suponha agora 𝔐 = H_{∞}^{k}. Seja p o grau de L (que é finito). Então 𝔏 é de classe C^{1} num aberto em H_{p}^{k}(I × M). Daí a diferencial de 𝔏 em H_{∞}^{k}(I × M) é a restrição da diferencial de 𝔏 em H_{p}^{k}(I × M) e é portanto dada pela mesma fórmula que obtivemos acima.

Resumimos então a técnica usada acima para manipulação de operadores em variedades de curvas. Em primeiro lugar devemos mostrar que o operador em questão é C^{∞}, ou ao menos C^{1}. Isso pode ser feito escrevendo o operador como uma composição de operadores que já mostramos serem C^{∞} (ou C^{1}) ou usando o método do “esquartejamento da base” (quando o operador ou alguma parte do operador comutar com restrições da base, i.e., do intervalo I).

Devemos então calcular a diferencial do operador em curvas de classe C^{∞} e na direção de campos vetoriais de classe C^{∞} usando variações. Obtemos então uma fórmula para a diferencial do operador nos pontos de (um aberto em) C^{∞}(I×T M). Temos aí um candidato para a diferencial do operador (que sabemos ser válido a princípio só em C^{∞}(I × T M)).

Essa fórmula normalmente define um operador num aberto de 𝔐(I ×M) que devemos mostrar ser (bem definido e) contínuo. Isso em geral é facilmente resolvido com o método do “esquartejamento da base” pois em coordenadas locais de M esses operadores podem ser escritos como composição de operadores como derivação, integração, (T ∘), etc.

Para 𝔐 ≠ H_{∞}^{k} temos que C^{∞}(I × T M) é denso em 𝔐(I × T M) (ou em qualquer aberto de 𝔐(I × T M)) donde concluímos que a diferencial do operador e o candidato a diferencial que obtivemos coincidem. Para 𝔐 = H_{∞}^{k} escrevemos o operador como restrição do seu análogo definido em 𝔐 = H_{p}^{k} para algum p suficientemente grande (mas finito).

Explicamos agora mais um método de manipulação de operadores em variedades de curvas. Ele é baseado no “esquartejamento da base” e não usa o fato de C^{∞}(I × M) ser denso em 𝔐(I × M) (para 𝔐 ≠ H_{∞}^{k}). Na realidade o método abaixo é na maioria das vezes muito mais eficiente que o método de variações. O objetivo do que foi feito acima era mais o de justificar formalmente dentro de nossa teoria o método clássico do cálculo das variações. Exemplificaremos o novo método no operador 𝔏.

Já sabemos que 𝔏 é C^{1} donde só precisamos calcular sua diferencial (já sabemos que ela existe). Seja J ⊂ I um subintervalo fechado. O operador 𝔏 pode ser definido tanto numa variedade de curvas definidas em I como numa variedade de curvas definidas em J (seguindo a notação do enunciado do teorema 24 deveríamos usar símbolos diferentes para 𝔏 em 𝔐(I × M) ou em 𝔐(J × M), mas acreditamos que não haverá confusão se usarmos sempre o símbolo 𝔏).

Seja R_{J} o operador dado por s ↦ s_{|J} (usaremos o símbolo R_{J} para esse operador restrição, qualquer que seja a variedade de curvas onde ele estiver sendo considerado). Sabemos (vide observação 5) que R_{J} é C^{∞}. Além do mais, (vide comentário sobre a observação 5 após o teorema 18) temos que dR_{J}(v) = v_{|J} (vamos omitir o ponto onde as diferenciais são calculadas, escrevendo apenas o vetor).

Seja σ = (L∘) ∘ 𝔡. Então σ comuta com restrições de I, i.e., R_{J} ∘ σ = σ ∘ R_{J}. Diferenciando os dois lados da igualdade e aplicando num vetor v ∈ T 𝔐(I × M) obtemos dσ(v)_{|J} = dσ(v_{|J}). Essa igualdade implica que basta calcular a diferencial de 𝔏 nas curvas cuja imagem está contida no domínio de uma carta de M. De fato, dada qualquer γ no domínio de 𝔏 então para cada t ∈ I encontramos um subintervalo fechado J ⊂ I com t ∈ J tal que γ(J) esteja contido no domínio de uma carta de M. Daí a igualdade acima nos diz que dσ(v)(t) e dσ(v_{|J})(t) coincidem para t ∈ J. Mas v_{|J} é um campo vetorial ao longo da curva γ_{|J}, a qual tem imagem dentro de uma carta de M.

Seja então φ: U → Ũ uma carta em M. Vamos calcular a diferencial de 𝔏 sobre as curvas cuja imagem está contida em U. Associada a φ temos uma carta em T M e portanto temos cartas associadas em 𝔐(I × M) e em 𝔐(I × T M).

Daí o operador σ tem como representação local nessas cartas o operador que a cada curva γ num aberto de 𝔐(I×ℝ^{n}) associa a curva t ↦ L(t, γ(t), γ̇(t)) em L^{1}(I×ℝ) (estamos identificando L com sua representação local em coordenadas L(t, q, q̇)).

Essa representação local de σ tem sua diferencial facilmente calculada usando a regra da cadeia. Temos que (a representação local de) L está definida num aberto do fibrado vetorial I ×(ℝ^{n}⊕ℝ^{n}) sobre I. Temos (pelo lema 5, se 𝔐 ≤ C^{1} ou pelo lema 7, se 𝔐 = H_{p}^{1}) que:

d(L∘)_{(γ,μ)}(v, w)(t) = \frac{∂L}{∂q}(t, γ(t), μ(t))v(t) + \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), μ(t))w(t), ∀t ∈ I,

onde γ, μ, v e w estão em 𝔐(I × ℝ^{n}).

Como γ ↦ (γ, γ̇) é simplesmente linear contínuo obtemos facilmente a diferencial de σ (em coordenadas) usando a regra da cadeia. Daí 𝔏 = (∫_{a}^{b} dt) ∘ σ e (∫_{a}^{b} dt) também é simplesmente linear contínuo e daí a fórmula para a diferencial de 𝔏 segue facilmente.

Realmente o método usado acima é muito melhor. Note, por exemplo, que não foi necessário verificar que \frac{∂L}{∂q}(t, γ(t), γ̇(t))v(t)+ \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t))v̇(t) define uma função escalar que não depende de escolha de coordenadas. Isso agora é uma conseqüência do que foi feito.

Queremos agora deduzir as equações de Euler-Lagrange. Fixe dois pontos p, q ∈ M. Devemos considerar o subconjunto de 𝔐(I × M) formado pelas curvas γ tais que γ(a) = p e γ(b) = q. Na notação do teorema 21 esse conjunto é 𝔐(I ×M; (a, b), ((a, p), (b, q))). Aqui denotaremos esse conjunto simplesmente por 𝔐_{pq}(I × M). O teorema 21 nos diz então que esse conjunto é uma subvariedade forte de 𝔐(I × M) e que se γ ∈ 𝔐_{pq}(I × M) então T_{γ}𝔐_{pq}(I × M) é o subconjunto de T_{γ}𝔐(I × M) formado pelos campos vetoriais v tais que v(a) = v(b) = 0.

A partir de agora diremos que γ é um ponto crítico de 𝔏 quando a diferencial da restrição de 𝔏 a (um aberto em) 𝔐_{pq}(I × M) no ponto γ for zero. Como é óbvio que a diferencial da restrição de 𝔏 é igual à restrição da diferencial de 𝔏 segue que γ ∈ 𝔐_{pq}(I×M) é um ponto crítico de 𝔏 se e somente se a diferencial de 𝔏 no ponto γ se anula nos campos vetoriais v ∈ T_{γ}(I × M) tais que v(a) = v(b) = 0.

Devemos encontrar uma condição necessária e suficiente para que γ ∈ 𝔐_{pq}(I × M) seja um ponto crítico de 𝔏. O procedimento clássico é usar integração por partes em \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t))v̇(t) derivando \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t)) e primitivando v̇(t) (recorde a fórmula para d𝔏). Isso não funciona em geral pois não sabemos se \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t)) é derivável em t (mesmo supondo L de classe C^{∞}, se 𝔐 = H_{p}^{1} então γ̇ não é nem contínua em geral).

Seja φ: U → Ũ uma carta em M. Dizemos que γ satisfaz as equações de Euler-Lagrange em φ se (U ∩ γ(I) = ϕ ou) a representação local de γ na carta φ satisfaz

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t)) = \frac{∂L}{∂q}(t, γ(t), γ̇(t)), t ∈ γ^{−1}(U) ⊂ I,

no seguinte sentido: Para 𝔐 ≤ C^{1} a equação significa que a derivada em t que aparece do lado esquerdo existe para todo t ∈ γ^{−1}(U) e que a igualdade vale para todo t ∈ γ^{−1}(U). Se 𝔐 = H_{p}^{1} então a equação significa que para todo intervalo fechado [c, d] ⊂ γ^{−1}(U) existe uma função absolutamente contínua u: [c, d] → ℝ^{n}^{∗} que é igual a \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t)) quase sempre e tal que:

\frac{du}{dt}(t) = \frac{∂L}{∂q}(t, γ(t), γ̇(t)),

quase sempre (observe que essa função u quando existe é única, pois duas funções contínuas iguais quase sempre são na realidade iguais sempre).

Mostraremos que se γ é ponto crítico de 𝔏 então γ satisfaz as equações de Euler-Lagrange em qualquer carta. Reciprocamente, mostraremos que se γ satisfaz as equações de Euler-Lagrange para um conjunto de cartas cujos domínios cobrem a imagem de γ então γ é ponto crítico de 𝔏. Precisamos de um lema preparatório.

Lema 15. Seja f: [a, b] → ℝ^{n}^{∗} uma função (Lebesgue) integrável. Se para toda função w: [a, b] → ℝ^{n} de classe C^{∞} com suporte contido em (a, b) tivermos ∫_{a}^{b} f(t)w(t)dt = 0 então f = 0 quase sempre.

Demonstração. Suponha que o caso n = 1 já tenha sido demonstrado. Seja f^{i}: [a, b] → ℝ a i-ésima coordenada de f. Daí para toda função w: [a, b] → ℝ de classe C^{∞} com suporte contido em (a, b) temos:

∫_{a}^{b} f(t)(w(t)e_{i})dt = ∫_{a}^{b} f^{i}(t)w(t)dt = 0,

onde e_{i} é o i-ésimo vetor da base canônica de ℝ^{n}. Usando então o resultado para n = 1 concluímos que f^{i} = 0 quase sempre e como i é arbitrário segue que f = 0 quase sempre.

Demonstramos então o caso n = 1. Seja A = { x ∈ (a, b) : f(x) > 0 }. Então A é um subconjunto mensurável de [a, b]. Como f é integrável então dado ϵ > 0 existe δ > 0 tal que para todo S ⊂ [a, b] mensurável se μ(S) < δ então ∫_{S} |f| < ϵ (μ é a medida de Lebesgue na reta. A propriedade que usamos diz que a medida definida pela integral de |f| é absolutamente contínua em relação a μ. Vide [Fe]).

Como A é mensurável (e como a medida de Lebesgue é regular) existem K ⊂ ℝ compacto e U ⊂ ℝ aberto com K ⊂ A ⊂ U, μ(A − K) < δ/2, μ(U − A) < δ/2. Trocando U por U ∩ (a, b) podemos supor U ⊂ (a, b). Seja w: [a, b] → [0, 1] uma função de classe C^{∞} com suporte contido em U e tal que w_{|K} = 1 (para ver que w existe use uma partição da unidade em ℝ subordinada à cobertura aberta ℝ − K, U). Temos:

\begin{aligned}∫_{a}^{b} f(t)w(t)dt & = ∫_{K} f(t)w(t)dt + ∫_{U−K} f(t)w(t)dt + ∫_{[a,b]−U} f(t)w(t)dt \\ & = ∫_{K} f(t)dt + ∫_{U−K} f(t)w(t)dt = 0. \end{aligned}

Mas |f(t)w(t)| ≤ |f(t)| e μ(U −K) < δ donde a integral de f(t)w(t) em U −K é menor que ϵ em módulo. Daí | ∫_{K} f(t)dt| < ϵ. Como μ(A − K) < δ segue que ∫_{A−K} |f(t)|dt < ϵ e portanto | ∫_{A} f(t)dt| < 2ϵ. Como A não depende de ϵ segue que ∫_{A} f(t)dt = 0. Como f é não negativa em A segue que f_{|A} = 0 quase sempre. Logo μ(A) = 0.

Também a função −f satisfaz as condições do enunciado e daí B = { x ∈ (a, b) : f(x) < 0 } também tem medida nula. Logo f = 0 quase sempre.

Corolário. Seja f: [a, b] → ℝ^{n}^{∗} integrável. Se para toda função w: [a, b] → ℝ^{n} de classe C^{∞}, com suporte contido em (a, b) e com ∫_{a}^{b} w(t)dt = 0 tivermos ∫_{a}^{b} f(t)w(t)dt = 0 então f é constante quase sempre, i.e., existe c ∈ ℝ^{n}^{∗} com f = c quase sempre.

Demonstração. Procedendo de modo análogo ao feito no lema vemos que basta mostrar o caso n = 1. Seja então w_{0}: [a, b] → ℝ uma função de classe C^{∞}, com suporte contido em (a, b) e com integral não nula. Multiplicando w_{0} por uma constante podemos supor que ∫_{a}^{b} w_{0}(t)dt = 1. Seja c = ∫_{a}^{b} f(t)w_{0}(t)dt. Defina g = f − c.

Temos que g: [a, b] → ℝ é integrável e que para toda função w: [a, b] → ℝ de classe C^{∞} com suporte contido em (a, b) vale ∫_{a}^{b} g(t)w(t)dt = 0 (escreva w = w_{1} + kw_{0} onde w_{1} tem integral nula e k é a integral de w). Segue do lema que g = 0 quase sempre.

Seja então γ um ponto crítico de 𝔏. Seja φ: U → Ũ uma carta em M com U ∩γ(I) ≠ ϕ. Seja t ∈ I com γ(t) ∈ U. Seja J = [c, d] um intervalo fechado tal que t ∈ J ⊂ I e tal que γ(J) ⊂ U.

Temos então no intervalo J as funções \frac{∂L}{∂q}(t, γ(t), γ̇(t)), \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t)), v(t) e v̇(t) bem definidas. Temos que \frac{∂L}{∂q}(t, γ(t), γ̇(t)) é ao menos integrável donde ela admite uma primitiva F: J → ℝ^{n}^{∗}, i.e., F é absolutamente contínua e F′(t) = \frac{∂L}{∂q}(t, γ(t), γ̇(t)) quase sempre.

Seja f: J → ℝ^{n}^{∗} dada por f(t) = \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t)) − F (t). Temos que f é integrável. Seja w: J → ℝ^{n} de classe C^{∞}, com integral nula e com suporte contido em (c, d). Mostraremos que ∫_{c}^{d} f(t)w(t) = 0. Daí pelo corolário do lema 15 concluiremos que f é constante quase sempre, donde seguirá o resultado.

Seja v: J → ℝ^{n} a primitiva de w com v(c) = 0. Daí v é de classe C^{∞} e tem suporte contido em (c, d). Podemos então estender v a um campo vetorial de classe C^{∞} (definido em I) ao longo de γ com suporte contido em (c, d) (e portanto v(a) = v(b) = 0). Daí d𝔏_{γ}(v) = 0. Temos:

\begin{aligned}d𝔏_{γ}(v) & = ∫_{c}^{d} \frac{∂L}{∂q}(t, γ(t), γ̇(t))v(t) + \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t))v̇(t)dt \\ & = ∫_{c}^{d} \frac{d}{dt}(F (t)v(t)) − F (t)w(t) + \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t))w(t)dt = 0. \end{aligned}

Daí segue o resultado.

Resta mostrar a recíproca. Suponha que tenhamos um conjunto de cartas nas quais γ satisfaz as equações de Euler-Lagrange e tais que seus domínios cubram a imagem de γ. Podemos então escolher uma partição P : a = t_{0} < … < t_{r} = b de [a, b] tal que cada γ([t_{i}, t_{i+1}]) está contido no domínio de uma carta na qual γ satisfaz as equações de Euler-Lagrange. Daí, para qualquer v ∈ T_{γ}𝔐_{pq}(I × M):

\begin{aligned}d𝔏_{γ}(v) & = ∑_{i=0}^{r−1} ∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} \frac{∂L}{∂q}(t, γ(t), γ̇(t))v(t) + \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t))v̇(t)dt \\ & = ∑_{i=0}^{r−1} ∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} [\frac{∂L}{∂q}(t, γ(t), γ̇(t)) − \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t))] v(t)dt = 0. \end{aligned}

No caso 𝔐 = H_{p}^{1} devemos, nos cálculos acima, trocar no i-ésimo termo da soma \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t)) por u_{i}(t), onde para cada i = 0, …, r − 1 temos que u_{i} é uma função absolutamente contínua no intervalo [t_{i}, t_{i+1}] que coincide com \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t)) quase sempre.

Na última igualdade fizemos integração por partes em \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t))v̇(t) derivando \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t)) e primitivando v̇(t). Usamos que

∑_{i=0}^{r−1} \frac{∂L}{∂q̇}(t_{i+1}, γ(t_{i+1}), γ̇(t_{i+1}))v(t_{i+1}) − \frac{∂L}{∂q̇}(t_{i}, γ(t_{i}), γ̇(t_{i}))v(t_{i}) = 0,

pois v(a) = v(b) = 0.

Isso completa a demonstração. É possível mostrar por um cálculo direto que a condição de ser solução das equações de Euler-Lagrange não depende de coordenadas, mas nos cálculos acima isso não foi necessário. Isso é uma conseqüência do que mostramos acima.

É interessante notar que 𝔏 pode efetivamente ter pontos críticos que são apenas de classe C^{1} (ou até apenas absolutamente contínuos), mesmo que L seja de classe C^{∞}. Esse tipo de ponto crítico “tende” a aparecer à medida que L se torna mais “degenerado” (no sentido que será explicado abaixo). Por exemplo, se L é constante então qualquer curva γ ∈ H_{1}^{1}(I × M) é ponto crítico de 𝔏 (pois 𝔏 é constante. Note que as equações de Euler-Lagrange funcionam nesse caso!).

Seja L um Lagrangeano de classe C^{k} definido num aberto U ⊂ ℝ × T M. Podemos identificar L com um morfismo geral definido no aberto U do fibrado vetorial ℝ×T M (sobre ℝ×M) a valores no fibrado vetorial (ℝ×M)×ℝ (identifique L com (t, v) ↦ (t, m, L(t, v)), m = π(v)). Temos então para k ≥ 1 que a derivada fibrativa de L é um morfismo geral 𝔽L de classe C^{k−1} definido no aberto U do fibrado vetorial ℝ × T M a valores no fibrado vetorial L(ℝ × T M; (ℝ × M) × ℝ) ≅ L(ℝ × T M^{∗}) (estamos usando a definição de derivada fibrativa da seção 1.0, que é um pouco diferente da definição da seção 1.1).

Em coordenadas locais, escrevendo L(t, q, q̇) obtemos 𝔽L(t, q, q̇) = (t, q, \frac{∂L}{∂q̇}(t, q, q̇)). Dizemos que o Lagrangeano L é regular se 𝔽L(U) for aberto em ℝ × T M^{∗} e se 𝔽L

for um difeomorfismo local (de classe C^{k−1}) definido no aberto U ⊂ ℝ × T M a valores no aberto 𝔽L(U) em ℝ × T M^{∗} (convencionamos que um difeomorfismo local de classe C^{0} é um homeomorfismo local). Quando L não é regular dizemos que L é degenerado.

Dizemos que L é hiper-regular quando L for regular e além do mais 𝔽L for injetor (isso equivale a dizer que 𝔽L é um difeomorfismo global de classe C^{k−1} sobre o aberto 𝔽L(U)).

Seja L um Lagrangeano de classe C^{k} (k ≥ 1) cujo domínio U é uma faixa aberta em ℝ × T M, i.e., (U é aberto e) para todo (t, m) ∈ ℝ × M ou {t} × T_{m}M é disjunto de U ou {t} × T_{m}M está contido em U. Dizemos que L é regular por faixas se L for regular e se todo ponto de U pertencer a uma faixa aberta V ⊂ U tal que 𝔽L é injetor em V (i.e., 𝔽L_{|V} é um difeomorfismo global de classe C^{k−1} sobre o aberto 𝔽L(V)).

É claro que se U ⊂ ℝ × T M é uma faixa aberta então todo Lagrangeano hiperregular definido em U é em particular regular por faixas. Recorde que o domínio de um Lagrangeano polinomial é sempre uma faixa aberta.

Seja L um Lagrangeano de classe C^{k} (k ≥ 1). Temos que se L é regular então todo ponto crítico de 𝔏 em 𝔐(I ×M), 𝔐 ≤ C^{1}, é de classe C^{k}. Além do mais, se L é polinomial de grau menor ou igual a p e se L é regular por faixas então todo ponto crítico de 𝔏 em 𝔐(I × M), 𝔐 ≤ H_{p}^{1}, é de classe C^{k}.

De fato, considere primeiro o caso 𝔐 ≤ C^{1}. Seja γ um ponto crítico de 𝔏. Temos que γ é pelo menos de classe C^{1}. Supondo que γ é de classe C^{j}, para algum 1 ≤ j < k mostraremos que γ é de classe C^{j+1}. Basta mostrar que γ é de classe C^{j+1} numa vizinhança de cada ponto de I. Tomamos então uma representação local (de uma restrição de) γ numa carta φ. Daí γ satisfaz as equações de Euler-Lagrange nessa carta.

Como γ é C^{j} (j ≥ 1) então γ̇ é C^{j−1} e como j − 1 < k − 1 temos que \frac{∂L}{∂q}(t, γ(t), γ̇(t)) é de classe C^{j−1}. Daí \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t)) é de classe C^{j−1} e portanto \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t)) é de classe C^{j}. Daí 𝔽L(t, γ(t), γ̇(t)) é de classe C^{j}. Mas 𝔽L admite inversas locais de classe C^{k−1} e como j ≤ k − 1 segue que (t, γ(t), γ̇(t)) é de classe C^{j} e portanto γ é de classe C^{j+1} (estamos usando que em torno de cada t a curva (t, γ(t), γ̇(t)) fica dentro de um aberto onde 𝔽L é injetor. Isso é verdade pois γ̇ é contínua).

Suponha agora C^{1} < 𝔐 ≤ H_{p}^{1}. Sabemos que γ é ao menos (absolutamente) contínua. Supondo então que γ é de classe C^{j}, para algum 0 ≤ j < k mostraremos que γ é de classe C^{j+1}. Novamente escrevemos γ em coordenadas locais e usamos as equações de Euler-Lagrange.

Seja [c, d] ⊂ [a, b] um intervalo fechado tal que γ([c, d]) esteja contido no domínio de uma carta. Seja u: [c, d] → ℝ^{n}^{∗} a função absolutamente contínua tal que \frac{∂L}{∂q̇}(t, γ(t), γ̇(t)) = u(t) quase sempre. Sabemos que \frac{du}{dt}(t) = \frac{∂L}{∂q}(t, γ(t), γ̇(t)) quase sempre. Como γ é C^{j} e como j − 1 < k − 1 segue que \frac{du}{dt} é (igual quase sempre a uma função) de classe C^{j−1}. Daí u é de classe C^{j}, pois u(t) = u(c) + ∫_{c}^{t} \frac{du}{ds}(s)ds (observe que para j = 0 não podemos dizer que \frac{du}{dt} é de classe C^{j−1}, mas de qualquer modo é verdade que u é de classe C^{j}).

Temos que 𝔽L(t, γ(t), γ̇(t)) = (t, γ(t), u(t)) quase sempre e como 𝔽L tem inversas locais de classe C^{k−1} (e como j ≤ k − 1) segue que γ̇(t) coincide quase sempre com uma função de classe C^{j}. Daí γ(t) = γ(c) + ∫_{c}^{t} γ̇(s)ds é de classe C^{j+1} (estamos usando que em torno de cada t a curva (t, γ(t), γ̇(t)) fica dentro de um aberto onde 𝔽L é injetor. Para j = 0 isso é verdade pois γ é contínua e L é regular por faixas).

Observamos que acima foi mostrado que sob determinadas hipóteses de regularidade para L, os pontos críticos de 𝔏 são de classe C^{k}. Observamos que na demonstração obtivemos que esses pontos críticos são de classe C^{k} nos sentidos (c) e (d) (vide enunciado do teorema 1). Para k < +∞ o teorema 1 nos diz que isso implica que eles são de classe C^{k} nos sentidos (a) e (b) também. Para k = +∞ não sabemos se isso é verdade. Assim, se L é um Lagrangeano de classe C^{∞} (com as hipóteses de regularidade adequadas) então os pontos críticos de 𝔏 são de classe C^{∞} nos sentidos (c) e (d). Felizmente o que mostraremos a seguir implica em particular que esses pontos críticos de 𝔏 são na verdade de classe C^{∞} também nos sentidos (a) e (b).

Seja L um Lagrangeano regular de classe C^{k} (k ≥ 2). Usando coordenadas locais vemos que a regularidade de L é equivalente à função (t, q, q̇) ↦ (t, q, \frac{∂L}{∂q̇}(t, q, q̇)) ser um difeomorfismo local. Isso é equivalente à sua diferencial em qualquer ponto ser um isomorfismo, o que por sua vez equivale a para todo (t, q, q̇), \frac{∂^{2}L}{∂q̇^{2}}(t, q, q̇) ser um isomorfismo de ℝ^{n} em ℝ^{n}^{∗}.

Seja 𝔐 < C^{0}. Suponha L polinomial de grau menor ou igual a p e regular por faixas se 𝔐 = H_{p}^{1}. Podemos reescrever as equações de Euler-Lagrange da seguinte forma (omitiremos o ponto onde as funções estão sendo calculadas, pois ele é sempre (t, γ(t), γ̇(t)):

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇} = \frac{∂L}{∂q} ⟺ \frac{∂^{2}L}{∂t∂q̇} + \frac{∂^{2}L}{∂q∂q̇} γ̇(t) + \frac{∂^{2}L}{∂q̇^{2}} γ̈(t) = \frac{∂L}{∂q}.

Note que se fizéssemos isso logo de início estaríamos desprezando as soluções γ que não são de classe C^{2}. Mas agora sabemos que, como L é regular, toda solução é de classe C^{2}. Como L é regular vemos que \frac{∂^{2}L}{∂q̇^{2}} é um isomorfismo linear, donde podemos na última equação isolar γ̈(t) do lado esquerdo da igualdade deixando apenas derivadas de γ de ordem menor que 2 do lado direito.

Em equações diferenciais ordinárias nas quais a derivada de ordem mais alta fica isolada de um lado da equação podemos aplicar o teorema de existência e unicidade. Isso significa que se k ≥ 3 então podemos concluir que existe um único ponto crítico de 𝔏 passando por um ponto dado de M com uma velocidade dada. Além do mais esse ponto crítico é de classe C^{k} (segue agora da teoria usual de equações diferenciais ordinárias que nessas condições todo ponto crítico definido em [a, b] admite uma extensão a um ponto crítico definido em [a − ϵ, b + ϵ]. Em particular se L é C^{∞} vemos que os pontos críticos são de classe C^{∞} nos sentidos (a) e (b) do teorema 1).

Vamos estudar um exemplo. Seja M uma variedade Riemanniana. Seja L: ℝ×T M → ℝ o Lagrangeano dado por L(t, v) = \frac{1}{2}⟨v, v⟩ = \frac{1}{2}∥v∥^{2}. Temos que L é de classe C^{∞} e é também polinomial de grau 2. Daí o funcional associado 𝔏 é de classe C^{∞} em 𝔐(I × M) para qualquer 𝔐 ≤ H_{2}^{1}. Dizemos que 𝔏(γ) é a energia de γ. Os pontos críticos de 𝔏 serão chamados pontos críticos da energia.

Temos que 𝔽L: ℝ × T M → ℝ × T M^{∗} é dada por 𝔽L(t, v) = (t, ⟨v, ·⟩), onde ⟨v, ·⟩ é o funcional linear canonicamente associado a v através do produto interno. Segue daí que L é hiper-regular (e em particular regular por faixas).

Daí todos os pontos críticos de 𝔏 são de classe C^{∞} e são soluções de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Afirmamos que os pontos críticos de 𝔏 são exatamente as geodésicas de M. De fato, uma maneira de ver isso é comparar as equações de Euler-Lagrange em coordenadas com a equação geodésica (usando a fórmula para os símbolos de Christoffel em termos das derivadas do tensor métrico).

Explicamos agora uma maneira mais elegante de fazer isso. Neste caso o método de calcular diferenciais de operadores usando variações é mais eficiente. Se v: I → T M é um campo vetorial (ao longo de uma curva γ = π ∘ v) então denotamos por \frac{Dv}{dt} a derivada covariante de v na direção γ̇ (que é novamente uma curva em T M que se projeta sobre γ).

Se 𝔐 < C^{0} então temos um operador \frac{D}{dt} de 𝔐(I × T M) em (𝔐′, 𝔐)(I × T M) dado por v ↦ \frac{Dv}{dt}. Segue do teorema 24 (e do teorema 13) que esse operador é (bem definido e) de classe C^{∞}.

Temos que I × (T M ⊕ T M) é um fibrado misto sobre I com fibrado das bases I × M. Temos que I × (T M ⊕ T M) é uma soma de Whitney de fibrados mistos de I × T M com si mesmo (vide definição nas observações que seguem o teorema 23). Daí o fibrado vetorial de Banach (𝔐′, 𝔐)(I × (T M ⊕ T M)) é canonicamente C^{∞}-isomorfo à soma de Whitney de fibrados vetoriais de Banach de (𝔐′, 𝔐)(I × T M) com si mesmo. Recorde da seção 0.2 que uma função a valores numa soma de Whitney de fibrados vetoriais de Banach é de classe C^{∞} se e somente se cada uma de suas coordenadas é de classe C^{∞}.

Temos que o produto interno ⟨ , ⟩ é (identificado com) o morfismo geral de classe C^{∞}, (t, (v, w)) ↦ (t, ⟨v, w⟩), definido no fibrado misto I × (T M ⊕ T M) a valores no fibrado misto I × ℝ (o fibrado das bases de I × ℝ é I × {0}). Também ⟨ , ⟩ é polinomial de grau 2. Daí para 𝔐 ≤ H_{2}^{1} temos que o operador (⟨ , ⟩∘) é de classe C^{∞} quando definido em (𝔐′, 𝔐)(I × (T M ⊕ T M)) e tomando valores em L^{1}(I × ℝ).

Seja então 𝔐 ≤ H_{2}^{1}. Vamos calcular a diferencial de 𝔏, onde L é a energia. Seja γ ∈ C^{∞}(I × M) e seja v um campo vetorial de classe C^{∞} ao longo de γ. Se H(s, t) = γ_{s}(t) é uma variação de γ com campo variacional v então:

d𝔏_{γ}(v) = \frac{d}{ds} ∫_{a}^{b} \frac{1}{2} ⟨\frac{dγ_{s}(t)}{dt}, \frac{dγ_{s}(t)}{dt}⟩ dt|_{s=0} = ∫_{a}^{b} ⟨ \frac{D}{ds} \frac{dγ_{s}(t)}{dt}|_{s=0} , \frac{dγ_{0}(t)}{dt}⟩ dt.

Como a conexão de Levi-Civita tem torsão nula temos \frac{D}{ds} \frac{d}{dt} = \frac{D}{dt} \frac{d}{ds} (vide [Ca]).

Concluímos que se v: I → T M é um campo vetorial de classe C^{∞} ao longo de uma curva γ = π ∘ v então d𝔏_{γ}(v) = ∫_{a}^{b}⟨\frac{Dv}{dt} (t), γ̇(t)⟩dt. Usando as observações acima sobre os operadores \frac{D}{dt} e (⟨ , ⟩∘) vemos que essa fórmula define um operador de classe C^{∞} em 𝔐(I × T M) que coincide com d𝔏 (que é C^{∞} também) sobre C^{∞}(I × T M).

Se 𝔐 ≠ H_{∞}^{k} então C^{∞}(I ×T M) é denso em 𝔐(I ×T M) donde a fórmula obtida acima para d𝔏 vale para qualquer v ∈ 𝔐(I × T M). Se 𝔐 = H_{∞}^{k} observamos que o operador 𝔏 em H_{∞}^{k} é a restrição do mesmo operador 𝔏 em H_{2}^{k} e daí a diferencial de 𝔏 em H_{∞}^{k} é dada pela restrição da diferencial de 𝔏 em H_{2}^{k}, donde ela é dada pela mesma fórmula.

Devemos agora achar as curvas γ ∈ 𝔐(I × M) tais que d𝔏_{γ}(v) = 0 para todo v ∈ T_{γ}𝔐(I × M) com v(a) = v(b) = 0. Sabemos que tais curvas são obrigatoriamente de classe C^{∞} donde podemos derivar γ quantas vezes quisermos. Daí, se v ∈ T_{γ}𝔐(I × M), v(a) = v(b) = 0 então:

d𝔏_{γ}(v) = ∫_{a}^{b} \frac{d}{dt}⟨v(t), γ̇(t)⟩ − ⟨v(t), \frac{D}{dt}γ̇(t)⟩ dt = − ∫_{a}^{b} ⟨\frac{D}{dt}γ̇(t), v(t)⟩ dt.

Temos que a última integral acima é zero para todo v ∈ T_{γ}𝔐(I × M) com v(a) = v(b) = 0 se e somente se \frac{D}{dt} γ̇ = 0. Não podemos usar o lema 15 para ver isso (a não ser que usemos coordenadas locais) mas como γ é C^{∞} é possível mostrar isso facilmente com técnicas bastante elementares.

Daí os pontos críticos da energia são as soluções de \frac{D}{dt} γ̇ = 0, i.e., as geodésicas de M. Vemos que aqui o método clássico de calcular diferenciais usando variações foi mais eficiente: ele evitou cálculos longos em coordenadas. Note também que deste modo nós descobrimos a equação geodésica (não foi necessário usar o fato que já sabíamos a priori que os pontos críticos da energia são geodésicas).

Passamos agora ao estudo das cartas de Bismut. Elas se adaptam perfeitamente ao estudo de variedades de curvas tangentes a uma distribuição (i.e., um subfibrado vetorial de T M) fixada (esse será o problema principal na seção seguinte). Seja X_{1}, …, X_{n} um referencial local de classe C^{∞} em M. Dada uma curva γ: I → M em M cuja imagem está contida no domínio desse referencial (e que seja ao menos absolutamente contínua) escrevemos γ̇ = ∑_{i=1}^{n} h_{i}X_{i}. Usamos então as funções h_{i} (e mais as coordenadas de γ(a) numa carta de M) como coordenadas para a curva γ. A demonstração de que temos de fato cartas em 𝔐(I × M) (C^{∞}-compatíveis com o atlas formado pelas cartas associadas aos VBN’s) é essencialmente um teorema sobre equações diferenciais ordinárias (EDO). No que segue, desenvolveremos a parte da teoria sobre EDO que precisamos.

Seja I ⊂ ℝ um intervalo qualquer (i.e., qualquer subconjunto conexo de ℝ com mais de um ponto). Seja U ⊂ ℝ^{n} um aberto. Seja f: I × U → ℝ^{m} uma função. Diremos que f satisfaz as condições de Carathéodory quando f é Borel-mensurável, para cada t ∈ I a função f(t, ·): U → ℝ^{m} é C^{1} e para todo intervalo fechado J ⊂ I e todo compacto K ⊂ U existe uma função g: J → ℝ (Lebesgue) integrável tal que ∥f(t, x)∥ ≤ g(t) e ∥\frac{∂f}{∂x}(t, x)∥ ≤ g(t) para todo t ∈ J e todo x ∈ K. Aqui \frac{∂f}{∂x}(t, x) é uma transformação linear de ℝ^{n} em ℝ^{m} e usamos a norma do sup na bola unitária (mas, obviamente, qualquer norma fixada serve).

Na definição acima, a última condição diz que f e \frac{∂f}{∂x} são majoradas nas partes compactas por uma função integrável que não depende de x. É claro que majorabilidade nas partes compactas é o mesmo que majorabilidade local, i.e., a última condição da definição pode ser trocada pela seguinte: para todo t_{0} ∈ I e para todo x_{0} ∈ U existe um intervalo fechado J ⊂ I contendo t_{0} no seu interior (relativo a I), existe um compacto K ⊂ U contendo x_{0} no seu interior e existe uma função integrável g: J → ℝ tal que ∥f(t, x)∥ ≤ g(t) e ∥\frac{∂f}{∂x}(t, x)∥ ≤ g(t) para todo t ∈ J e todo x ∈ K. Deixamos a cargo do leitor a verificação de que essa nova condição é equivalente à anterior.

Observação: recordamos que uma função f: S → ℝ^{m} definida num Boreleano S ⊂ ℝ^{n} é dita Borel-mensurável quando a imagem inversa por f de qualquer aberto (ou de qualquer Boreleano) de ℝ^{m} for um Boreleano em S (i.e., um Boreleano de ℝ^{n} contido em S). Dizemos que f é mensurável (ou Lebesgue-mensurável) quando a imagem inversa por f de qualquer aberto (ou de qualquer Boreleano) de ℝ^{m} for um subconjunto Lebesgue-mensurável de S (i.e., um subconjunto Lebesgue-mensurável de ℝ^{n} contido em S). Recordamos que para toda função mensurável f existe uma função Borel-mensurável g que coincide com f quase sempre. Assim, como os elementos de L^{p} são classes de equivalência de funções iguais quase sempre, podemos sempre supor que um elemento de L^{p} é Borel-mensurável (escolhendo um representante conveniente da classe de equivalência). Recordamos também que para concluir que g ∘ f é mensurável precisamos saber que f é mensurável e que g é Borel-mensurável.

Recorde que na seção 1.0 definimos o que é uma função absolutamente contínua definida num intervalo fechado (quando introduzimos os espaços H_{p}^{k}). Uma função γ: I → ℝ^{n} definida num intervalo qualquer é dita absolutamente contínua quando para todo intervalo fechado J ⊂ I tivermos que γ_{|J} é absolutamente contínua, no sentido da seção 1.0 (note bem, não se deve utilizar a mesma definição que se usa para intervalos fechados no caso de intervalos não fechados).

Seja f: I × U → ℝ^{n} (U ⊂ ℝ^{n} aberto) uma função que satisfaz as condições de Carathéodory. Dizemos que uma função γ: J → ℝ^{n}, definida num intervalo qualquer J, é uma solução da EDO ẋ(t) = f(t, x(t)) quando γ for absolutamente contínua, (t, γ(t)) ∈ I × U para todo t ∈ J e a igualdade γ̇(t) = f(t, γ(t)) for satisfeita quase sempre. Note que se γ é de classe C^{1} e f é contínua então na realidade a igualdade é satisfeita sempre (pois duas funções contínuas que coincidem quase sempre na realidade coincidem sempre).

Note que não é exigido que a igualdade γ̇(t) = f(t, γ(t)) seja satisfeita sempre que a derivada de γ existir. Por exemplo, a função f: ℝ × ℝ^{n} → ℝ dada por f(t, x) = 0 para t racional e f(t, x) = 1 para t irracional satisfaz as condições de Carathéodory. Temos que γ: ℝ → ℝ dada por γ(t) = t é uma solução de ẋ(t) = f(t, x(t)), embora para t ∈ ℚ a derivada de γ exista e seja diferente de f(t, γ(t)).

Além do mais é fundamental excluir as funções γ que não são absolutamente contínuas (mesmo que elas sejam deriváveis quase sempre e a igualdade γ̇(t) = f(t, γ(t)) seja satisfeita quase sempre). De fato, a função de Cantor-Lebesgue γ: [0, 1] → ℝ é contínua, crescente, derivável quase sempre e γ̇(t) = 0 quase sempre (vide [Fe]). Mas ela não é absolutamente contínua. Se f é a função nula, não consideraremos γ como solução de ẋ(t) = f(t, x(t)). De fato, queremos que seja verdade que duas soluções que coincidem num instante t sejam iguais e isso não é verdade se admitirmos soluções que não são absolutamente contínuas. Por exemplo, a função de Cantor-Lebesgue se anula em t = 0 e μ = 0 seria uma outra solução (para f = 0) que se anula em t = 0.

É claro que para que γ: J → ℝ^{n} seja uma solução de ẋ(t) = f(t, x(t)) (com f definida em I × U) é necessário que J ⊂ I e que a imagem de γ esteja contida em U. Se para um certo t_{0} ∈ J e um certo x_{0} ∈ U tivermos γ(t_{0}) = x_{0} então dizemos que (t_{0}, x_{0}) é uma condição inicial para γ. Provamos então o teorema de existência e unicidade de soluções com condições iniciais prescritas.

No teorema abaixo B(x; r) denota a bola aberta de centro x e raio r no espaço Euclideano e B[x; r] denota a bola fechada. Observação: recorde que se (Ω, A, μ) é um espaço de medida (onde Ω é um conjunto, A é uma σ-álgebra e μ é uma medida) e se f: Ω → ℝ é uma função integrável então dado ϵ > 0 existe δ > 0 tal que para todo A ∈ A com μ(A) < δ temos ∫_{A} |f| < ϵ (isso significa que ∫ |f| define uma medida absolutamente contínua em relação a μ. Vide [Fe]). Essa fato já foi usado no lema 15.

Teorema 25. Seja f: I × U → ℝ^{n} (U ⊂ ℝ^{n} aberto) uma função que satisfaz as condições de Carathéodory. Seja (t_{0}, x_{0}) ∈ I × U. Então existem ϵ > 0, r > 0 e λ > 0 tais que para todo t_{1} ∈ (t_{0} − ϵ, t_{0} + ϵ) ∩ I e para todo x_{1} ∈ B(x_{0}; r) existe uma solução γ de ẋ(t) = f(t, x(t)) definida no intervalo [t_{1} − λ, t_{1} + λ] ∩ I com condição inicial (t_{1}, x_{1}).

Demonstração. Sejam t_{0} ∈ I, x_{0} ∈ U. Seja r > 0 tal que B[x_{0}; 2r] ⊂ U. Seja ϵ > 0 tal que J = [t_{0} − 2ϵ, t_{0} + 2ϵ] ∩ I seja um intervalo fechado. Como B[x_{0}; 2r] ⊂ U é compacto e J ⊂ I é um intervalo fechado vemos que existe uma função g: J → ℝ integrável com ∥f(t, x)∥ ≤ g(t) e ∥\frac{∂f}{∂x}(t, x)∥ ≤ g(t) para todo t ∈ J e todo x ∈ B[x_{0}; 2r].

Tome λ = ϵ. Temos que para cada t_{1} ∈ (t_{0}−ϵ, t_{0}+ϵ)∩I o intervalo J_{1} = [t_{1}−λ, t_{1}+λ]∩I é fechado e J_{1} ⊂ J. Temos também que dado x_{1} ∈ B(x_{0}; r) então B[x_{1}; r] ⊂ B[x_{0}; 2r].

Seja X ⊂ H_{1}^{1}(J_{1} × ℝ^{n}) o conjunto das curvas absolutamente contínuas definidas em J_{1} com imagem em B[x_{1}; r] ⊂ ℝ^{n}. Pelos comentários que seguem a observação 8 na seção anterior temos que X é fechado em H_{1}^{1}(J_{1} × ℝ^{n}), o qual é um espaço de Banach. Daí X é um espaço métrico completo.

Defina φ: X → X fazendo

φ(γ)(t) = x_{1} + ∫_{t_{1}}^{t} f(s, γ(s))ds, t ∈ J_{1}.

Devemos mostrar que φ está bem definida. Em primeiro lugar, o integrando acima é mensurável. Em segundo lugar, ele é majorado em norma por g, que é integrável. Daí o integrando é de fato integrável e φ(γ) é absolutamente contínua. Devemos mostrar que φ(γ)(t) ∈ B[x_{1}; r] para t ∈ J_{1}. Temos, para cada t ∈ J_{1}:

∥φ(γ)(t) − x_{1}∥ ≤ ∫_{J_{1}} g(s)ds.

É possível diminuir λ de modo que a integral de g em conjuntos de medida menor ou igual a 2λ seja menor que r (vide observação que precede o lema). Daí, (diminuindo λ), concluímos que φ está bem definida (observe que λ não depende de t_{1}).

Vamos mostrar então que φ é uma contração, i.e., φ é Lipschitziana com constante menor que 1. Isso implicará que φ possui um único ponto fixo (vide [Lm3]). É claro que os pontos fixos de φ (i.e., os pontos γ ∈ X tais que φ(γ) = γ) são as soluções de ẋ(t) = f(t, x(t)) com condição inicial (t_{1}, x_{1}), definidas em J_{1} e que têm imagem contida em B[x_{1}; r].

Adotamos as seguintes convenções:

∥γ∥_{sup} = sup_{t∈J_{1}} ∥γ(t)∥, ∥γ∥_{1} = ∫_{J_{1}} ∥γ(t)∥dt, ∥γ∥ = max{∥γ∥_{sup}, ∥γ̇∥_{1}}.

A norma que usamos em H_{1}^{1}(J_{1} × ℝ^{n}) é ∥ ∥. Temos, para γ, μ ∈ X:

\begin{aligned}∥φ(γ) − φ(μ)∥_{sup} & ≤ ∫_{J_{1}} ∥f(s, γ(s)) − f(s, μ(s))∥ds \\ & ≤ ∫_{J_{1}} ∥γ(s) − μ(s)∥ sup_{z∈[γ(s),μ(s)]} ∥\frac{∂f}{∂x} (s, z)∥ds ≤ ∥γ − μ∥ ∫_{J_{1}} g(s)ds. \end{aligned}

Observamos nos cálculos acima que o segmento [γ(s), μ(s)] está contido na bola B[x_{1}; r]. De modo análogo, temos:

∥\frac{d}{dt}(φ(γ) − φ(μ))∥_{1} = ∫_{J_{1}} ∥f(s, γ(s)) − f(s, μ(s))∥ds ≤ ∥γ − μ∥ ∫_{J_{1}} g(s)ds.

Segue que φ é Lipschitziana com constante ∫_{J_{1}} g. Diminuindo mais ainda λ de modo que a integral de g em conjuntos de medida menor ou igual a 2λ seja menor que 1 vemos que φ é uma contração.

Corolário. (da demonstração) Seja f: I×U → ℝ^{n} uma função que satisfaz as condições de Carathéodory. Sejam γ, μ duas soluções de ẋ(t) = f(t, x(t)) definidas no mesmo intervalo J ⊂ I. Se γ e μ coincidem num instante t ∈ J então γ = μ.

Demonstração. Da unicidade do ponto fixo de uma contração segue (da demonstração do teorema 25) que se duas soluções γ, μ coincidem no instante t então elas coincidem numa vizinhança de t. Daí o conjunto { t ∈ J : γ(t) = μ(t) } é aberto em J. Como γ, μ são contínuas segue que ele é fechado em J. Como ele é por hipótese não vazio o resultado segue da conexidade de J.

Podemos agora generalizar da maneira óbvia essa teoria de EDO para variedades. Em primeiro lugar, observe que as condições de Carathéodory são locais, no seguinte

sentido. Seja f: I × U → ℝ^{m} uma função que satisfaz as condições de Carathéodory, com U ⊂ ℝ^{n} aberto. Então para todo intervalo J ⊂ I e todo aberto V ⊂ U temos que f_{|J×V} também satisfaz as condições de Carathéodory. Além do mais, se f: I × U → ℝ^{m} é uma função qualquer e se para todo t ∈ I e para todo x ∈ U existe um intervalo J ⊂ I contendo t no seu interior (relativo a I) e existe um aberto V ⊂ U contendo x tal que f_{|J×V} satisfaz as condições de Carathéodory, então f satisfaz as condições de Carathéodory.

Devemos mostrar também que as condições de Carathéodory são invariantes por difeomorfismos C^{∞}, no seguinte sentido. Se f: I×U → ℝ^{n} satisfaz as condições de Carathéodory (U ⊂ ℝ^{n} aberto) e se α: U → V é um difeomorfismo C^{∞} entre abertos de ℝ^{n} então f_{1}: I × V → ℝ^{n} dada por f_{1}(t, x) = dα(α^{−1}(x))f(t, α^{−1}(x)) também satisfaz as condições de Carathéodory. Deixamos os detalhes a cargo do leitor (escreva explicitamente \frac{∂f_{1}}{∂x} (t, x) em termos de f e \frac{∂f}{∂x}, e majore as funções contínuas por constantes nas partes compactas).

Generalizamos então as condições de Carathéodory para variedades.

Seja f: I × M → T M uma função tal que π ∘ f = π_{2} (π é a projeção de T M e π_{2} é a segunda projeção de I ×M). Dizemos que f satisfaz as condições de Carathéodory quando qualquer representação local de f em coordenadas satisfaz as condições de Carathéodory, i.e., para toda carta φ: U → Ũ de M temos que a função (t, x) ↦ dφ ∘ f(t, φ^{−1}(x)) definida em I × Ũ (onde Ũ ⊂ ℝ^{n}) tomando valores em ℝ^{n} ⊕ ℝ^{n} satisfaz as condições de Carathéodory (note que a primeira coordenada dessa função é (t, x) ↦ x. Dá no mesmo exigir que a segunda coordenada dessa função satisfaça as condições de Carathéodory).

Para verificar se uma função f: I × M → T M satisfaz as condições de Carathéodory é suficiente usar cartas pertencentes a um atlas de M (não é necessário usar o atlas maximal). De fato, isso segue das observações que fizemos antes da definição anterior.

Observe que uma função f: I ×M → T M que satisfaz as condições de Carathéodory é sempre Borel-mensurável, já que (como M tem base enumerável) Borel-mensurabilidade é uma propriedade local. Note também que para cada t ∈ I, f(t, ·): M → T M é um campo vetorial de classe C^{1} (f é um campo vetorial dependente do tempo).

Uma curva absolutamente contínua γ: I → M definida num intervalo qualquer I ⊂ ℝ é uma curva γ tal que γ_{|J} é absolutamente contínua para todo intervalo fechado J ⊂ I (recorde que γ_{|J} é absolutamente contínua quando γ_{|J} ∈ H_{1}^{1}(J × M)).

Uma solução da EDO ẋ(t) = f(t, x(t)) é uma curva absolutamente contínua γ: J → M tal que (t, γ(t)) ∈ I × M para todo t ∈ J e γ̇(t) = f(t, γ(t)) quase sempre. Se γ(t_{0}) = x_{0} dizemos que (t_{0}, x_{0}) é uma condição inicial para a solução γ. Dizemos também que γ é uma curva integral do campo vetorial dependente do tempo f.

O teorema 25 é local e portanto se generaliza diretamente para variedades (trocando a bola aberta B(x_{0}; r) que aparece no enunciado por uma vizinhança aberta de x_{0} em M). O seu corolário também se generaliza diretamente, já que o único argumento “global” usado é aquele pelo qual concluímos que { t ∈ J : γ(t) = μ(t) } é fechado em J (isso segue agora do fato que M é Hausdorff).

Precisamos recordar agora algumas definições de topologia geral. Sejam X, Y espaços topológicos. Seja f: S ⊂ X → Y uma função definida num subconjunto S ⊂ X. Seja x ∈ X um ponto de acumulação de S e seja y ∈ Y. Dizemos que y é um valor de aderência de f em x quando para todo aberto U ⊂ X contendo x e para todo aberto V ⊂ Y contendo y temos f(U ∩ S − {x}) ∩ V ≠ ϕ (se deixássemos que x não fosse ponto de acumulação de S então f nunca teria valores de aderência em x).

Se Y é Hausdorff e se existe o limite lim_{z→x} f(z) = L ∈ Y então L é o único valor de aderência de f em x. Uma função pode muito bem não ter valores de aderência num ponto x, mas se existe uma vizinhança W ⊂ X de x tal que f(W ∩ S) tem fecho compacto em Y então f necessariamente tem valores de aderência em x. De fato, caso contrário para todo y ∈ Y poderíamos achar U_{y} ⊂ X aberto contendo x e V_{y} ⊂ Y aberto contendo y tal que f(U_{y} ∩ S − {x}) ∩ V_{y} = ϕ. Os conjuntos V_{y} formam uma cobertura aberta do fecho de f(W ∩ S), da qual extraímos uma subcobertura finita \overline{f(W ∩ S)} ⊂ V_{y_{1}} ∪ … ∪ V_{y_{r}}. Daí W ∩ U_{y_{1}} ∩ … ∩ U_{y_{r}} é uma vizinhança de x que não intersecta S − {x}, contradizendo o fato que x é ponto de acumulação de S.

Voltemos ao estudo de EDO. Seja f: I×M → T M uma função que satisfaz as condições de Carathéodory. Definimos uma relação de ordem parcial no conjunto das soluções de ẋ(t) = f(t, x(t)) da seguinte forma: dadas soluções γ_{1}: J_{1} → M, γ_{2}: J_{2} → M escrevemos γ_{1} ≤ γ_{2} quando J_{1} ⊂ J_{2} e γ_{1}(t) = γ_{2}(t) para todo t ∈ J_{1}.

Sejam t_{0} ∈ I, x_{0} ∈ M. Considere o conjunto {γ_{λ}}_{λ∈L} de todas as soluções γ_{λ}: J_{λ} → M com condição inicial (t_{0}, x_{0}). Do corolário do teorema 25 segue que quaisquer duas dessas soluções coincidem sobre a interseção de seus domínios de definição. Podemos então definir uma curva γ: J → M fazendo γ(t) = γ_{λ}(t), se t ∈ J_{λ}, com J = ⋃_{λ∈L} J_{λ}. É fácil ver que γ é de fato uma solução com condição inicial (t_{0}, x_{0}) e que γ é o maior elemento do conjunto {γ_{λ}}_{λ∈L}. É fácil ver também que γ é um elemento maximal do conjunto de todas as soluções, e que γ é o único elemento maximal com condição inicial (t_{0}, x_{0}). Diremos que γ é uma solução maximal (com condição inicial (t_{0}, x_{0})).

Temos o seguinte teorema.

Teorema 26. Seja f: I×M → T M uma função que satisfaz as condições de Carathéodory. Seja γ: J → M (J ⊂ I) uma solução maximal de ẋ(t) = f(t, x(t)). Seja t ∈ ℝ uma extremidade de J (i.e., um ponto de fronteira de J). Se t estiver no interior de I ou se t ∈ I − J então γ não tem valor de aderência em t.

Demonstração. Suponha por absurdo que exista um valor de aderência x ∈ M para γ em t. Como t ∈ I, x ∈ M, existe um aberto U ⊂ M contendo x e números ϵ > 0, λ > 0 tais que para todo t_{0} ∈ (t − ϵ, t + ϵ) ∩ I e para todo x_{0} ∈ U existe uma solução de ẋ(t) = f(t, x(t)) definida no intervalo (t_{0} −λ, t_{0} +λ)∩I, com condição inicial (t_{0}, x_{0}). Podemos supor λ ≤ ϵ.

Como (t−λ, t+λ)∩I é aberto em I contendo t e como U ⊂ M é um aberto contendo x vemos que existe s ∈ (t−λ, t+λ)∩J, s ≠ t, com γ(s) ∈ U. Como λ ≤ ϵ então em particular s ∈ (t − ϵ, t + ϵ) ∩ I. Seja então μ uma solução definida no intervalo (s − λ, s + λ) ∩ I com condição inicial (s, γ(s)). Daí t está no domínio de μ. Também s é um ponto comum aos domínios de γ e μ, sendo γ(s) = μ(s).

Daí γ e μ coincidem na interseção de seus domínios, donde podemos (unindo as duas) produzir uma solução maior que γ, contradizendo a maximalidade (o fato de t estar no interior de I ou t ∈ I − J entra para garantir que a nova solução é mesmo estritamente maior que γ).

Corolário 1. Uma solução maximal γ: J → M é sempre definida num aberto J ⊂ I (que pode não ser um intervalo aberto, mas é um aberto relativo a I).

Demonstração. Seja t ∈ J. Se t não é uma extremidade de J então obviamente t está no interior de J. Se t é uma extremidade de J então t é também uma extremidade de I, pois caso contrário t estaria no interior de I e γ(t) seria um valor de aderência de γ em t, contradizendo o teorema. Segue que t está no interior (relativo a I) de J.

Corolário 2. Seja γ: J → M uma solução maximal. Se a extremidade direita b de J está no interior de I ou se b ∈ I − J então para todo ϵ > 0 o conjunto γ([b − ϵ, b)) está fora de qualquer compacto em M. Vale o resultado análogo para a extremidade esquerda.

Demonstração. Apenas observe que se γ([b − ϵ, b)) estivesse contido num compacto então γ teria valor de aderência em b.

O próximo teorema trata de EDO’s lineares.

Teorema 27. Sejam A: I → L(ℝ^{n}), B: I → ℝ^{n} funções Borel-mensuráveis definidas num intervalo I ⊂ ℝ. Suponha que A, B sejam integráveis em qualquer intervalo fechado contido em I. Daí a solução maximal da EDO ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) com condição inicial (t_{0}, x_{0}) ∈ I × ℝ^{n} é definida em todo o intervalo I.

Demonstração. Seja f: I×ℝ^{n} → ℝ^{n} a função dada por f(t, x) = A(t)x+B(t). É imediata a verificação de que f satisfaz as condições de Carathéodory, donde nossa teoria sobre EDO’s se aplica. Precisamos apenas mostrar que qualquer solução maximal de ẋ(t) = f(t, x(t)) está definida em I.

Seja γ: J → ℝ^{n} uma solução maximal de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t). Começamos estudando o lado direito de J. Seja t_{0} um ponto qualquer no interior de J. Seja b a extremidade direita de J. Se b ∉ I então não há o que mostrar. Suponha então b ∈ I. Mostraremos que γ([t_{0}, b)) é limitado em ℝ^{n} (e portanto tem fecho compacto). Daí o corolário 2 do teorema 26 nos diz que b é uma extremidade (direita, obviamente) de I e que b ∈ J.

Vamos definir indutivamente uma seqüência (K_{n})_{n∈ℕ} de funções escalares no intervalo [t_{0}, b]. Defina K_{0}(t) = 1. Supondo K_{n} definido defina K_{n+1}(t) = ∫_{t_{0}}^{t} ∥A(s)∥K_{n}(s)ds. Observe que K_{0} é (bem definido) crescente, absolutamente contínuo e não negativo. Supondo que K_{n} é bem definido, crescente, absolutamente contínuo e não negativo, vemos que o mesmo ocorre com K_{n+1} (note que ∥A(s)∥ é integrável e que K_{n}(s) é contínuo e portanto limitado, donde o produto ∥A(s)∥K_{n}(s) é ainda integrável).

Daí todos os K_{n} são bem definidos, crescentes, absolutamente contínuos e não negativos. Defina C = ∥γ(t_{0})∥ + ∫_{t_{0}}^{b} ∥B(s)∥ds < +∞. Mostramos por indução em n a seguinte desigualdade:

∥γ(t)∥ ≤ (C ∑_{i=0}^{n−1} K_{i}(t)) + K_{n−1}(t) ∫_{t_{0}}^{t} ∥A(s)∥ ∥γ(s)∥ds, n ≥ 1, t ∈ [t_{0}, b). (1)

Observe que, para todo t ∈ [t_{0}, b):

γ(t) = γ(t_{0}) + ∫_{t_{0}}^{t} A(s)γ(s) + B(s)ds ⇒ ∥γ(t)∥ ≤ ∥γ(t_{0})∥ + ∫_{t_{0}}^{t} ∥A(s)∥ ∥γ(s)∥ + ∥B(s)∥ds
⇒ ∥γ(t)∥ ≤ C + ∫_{t_{0}}^{t} ∥A(s)∥ ∥γ(s)∥ds.  (2)

O caso n = 1 é simplesmente (2). Suponha que (1) é satisfeito para um certo n ≥ 1. Majore o fator ∥γ(s)∥ que aparece no integrando em (2) usando (1) e observe que:

∫_{t_{0}}^{t} ∥A(s)∥K_{n−1}(s) [∫_{t_{0}}^{s} ∥A(u)∥ ∥γ(u)∥du] ds
≤ ∫_{t_{0}}^{t} ∥A(s)∥K_{n−1}(s) [∫_{t_{0}}^{t} ∥A(u)∥ ∥γ(u)∥du] ds
= K_{n}(t) ∫_{t_{0}}^{t} ∥A(u)∥ ∥γ(u)∥du, t ∈ [t_{0}, b),

donde segue o passo de indução.

Mostramos agora que

K_{n}(t) ≤ \frac{1}{n!} (∫_{t_{0}}^{t} ∥A(s)∥ds)^{n} ,  (3)

para t ∈ [t_{0}, b], n ≥ 0. Usamos novamente indução em n. O caso n = 0 é óbvio e supondo o resultado verdadeiro para um certo n ≥ 0 temos, para cada s ∈ [t_{0}, b]:

∥A(s)∥K_{n}(s) ≤ \frac{1}{n!}∥A(s)∥ (∫_{t_{0}}^{s} ∥A(u)∥du)^{n} = \frac{d}{ds} \frac{1}{(n + 1)!} (∫_{t_{0}}^{s} ∥A(u)∥du)^{n+1} ,

e integrando em s de t_{0} a t dos dois lados segue o resultado.

Em particular para t ∈ [t_{0}, b] fixado, lim_{n→+∞} K_{n}(t) = 0. Daí fazendo n → +∞ em (1) e usando a majoração (3) vem:

∥γ(t)∥ ≤ C exp ∫_{t_{0}}^{t} ∥A(s)∥ds,

onde exp(x) = e^{x}. Segue que γ é limitado em [t_{0}, b), donde pelo corolário 2 do teorema 26 temos que b é a extremidade direita de I e b ∈ J.

Quanto à parte esquerda de J simplesmente considere A′(t) = −A(−t), B′(t) = B(−t) definidos em −I e daí γ′(t) = −γ(−t) definida em −J é uma solução maximal da EDO ẋ(t) = A′(t)x(t) + B′(t).

Uma EDO do tipo ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t), com A: I → L(ℝ^{n}), B: I → ℝ^{n} Borelmensuráveis e integráveis em qualquer subintervalo fechado de I será chamada uma EDO linear. As funções A e B serão chamadas os coeficientes da EDO linear. Dizemos que ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) é uma EDO linear não-homogênea, e que ẋ(t) = A(t)x(t) é a sua componente homogênea.

Recordamos (do início da seção) que se I ⊂ ℝ é um intervalo fechado e se γ está em 𝔐(I × ℝ^{n}) então para todo intervalo fechado J ⊂ I temos que γ_{|J} ∈ 𝔐(J × ℝ^{n}). Reciprocamente, se para todo t ∈ I existe um intervalo fechado J ⊂ I contendo t no seu interior (relativo a I) tal que γ_{|J} ∈ 𝔐(J ×ℝ^{n}) então γ ∈ 𝔐(I ×ℝ^{n}). Os mesmos resultados valem trocando ℝ^{n} por uma variedade M qualquer, se supusermos 𝔐 ≤ C^{0}.

Dizemos então que uma curva γ: I → ℝ^{n} definida num intervalo qualquer I ⊂ ℝ é de tipo 𝔐 quando para todo intervalo fechado J ⊂ I temos que γ_{|J} ∈ 𝔐(J × ℝ^{n}). Temos uma definição análoga se trocarmos ℝ^{n} por uma variedade M qualquer e se supusermos 𝔐 ≤ C^{0}. Podemos também falar em curvas de tipo 𝔐 para 𝔐 = C^{∞} (embora em geral o símbolo 𝔐 exclua o caso C^{∞}).

Note que “ser de tipo 𝔐” é uma propriedade local, i.e., γ é de tipo 𝔐 se e somente se cada pedaço suficientemente pequeno de γ é de tipo 𝔐. Para 𝔐 = L^{p} o espaço 𝔐(I × ℝ^{n}) é normalmente chamado de L_{loc}^{p}. Para 𝔐 = C^{k} uma curva de tipo 𝔐 é simplesmente uma curva de classe C^{k}. Para 𝔐 = H_{1}^{1} as curvas de tipo 𝔐 são as curvas absolutamente contínuas definidas anteriormente.

Dizemos que uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) é de tipo 𝔐 quando as funções A: I → L(ℝ^{n}), B: I → ℝ^{n} forem de tipo 𝔐 (e Borel-mensuráveis. Essa hipótese só é necessária se 𝔐 = L^{p}, e mesmo nesse caso é sempre possível tornar A, B Borel-mensuráveis alterando-as num conjunto de medida nula).

Seja 𝔐 < C^{0}. Seja I ⊂ ℝ um intervalo qualquer. Considere uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) de tipo 𝔐′. Então as suas soluções são de tipo 𝔐. Em primeiro lugar, basta considerar o caso em que I é um intervalo fechado, e em segundo lugar basta mostrar que as soluções maximais γ: I → ℝ^{n} são de tipo 𝔐.

Se 𝔐 = C^{k}, k ≥ 1, então temos que γ é ao menos C^{0} e supondo γ de classe C^{j}, para algum 0 ≤ j < k então A(t)γ(t) + B(t) também é C^{j}, donde γ̇ é C^{j} e portanto γ é C^{j+1}, pois γ(t) = γ(t_{0}) + ∫_{t_{0}}^{t} γ̇(s)ds.

Suponha então 𝔐 = H_{p}^{k}, k ≥ 1. Daí A e B são ao menos de tipo L^{p} e γ é ao menos contínua, donde A(t)γ(t) + B(t) é de tipo L^{p} e portanto γ é de tipo H_{p}^{1}. Seja C: L(ℝ^{n}) × ℝ^{n} → ℝ^{n} o operador bilinear dado por C(T, x) = T (x). Daí se γ é de tipo H_{p}^{j}, para algum 1 ≤ j < k então como A e B também são de tipo H_{p}^{j} segue que A(t)γ(t)+B(t) é de tipo H_{p}^{j}, já que A(t)γ(t) = C ∘ (A, γ)(t) (vide corolário 1 do lema 4, seção 1.0). Daí γ̇ é de tipo H_{p}^{j} e portanto γ é de tipo H_{p}^{j+1}.

Observe que o que foi mostrado acima diz que as soluções de uma EDO são “mais lisas” que os seus coeficientes, i.e., se A e B são de tipo 𝔐′ então as suas soluções são de tipo 𝔐.

Vamos agora considerar um pouco o problema recíproco, i.e., como obter os coeficientes de uma EDO linear a partir das suas soluções.

Seja ẋ(t) = A(t)x(t) uma EDO linear homogênea, onde A: I → L(ℝ^{n}). É fácil ver que o conjunto das soluções maximais dessa EDO é um subespaço vetorial do espaço das curvas absolutamente contínuas de I em ℝ^{n}.

Escolha t_{0} ∈ I. Considere o operador v ↦ v(t_{0}) de evaluação no instante t_{0}. Ele é obviamente linear e o teorema 27 nos diz que ele fornece um isomorfismo linear entre o espaço das soluções maximais de ẋ(t) = A(t)x(t) e ℝ^{n}. Em particular, o espaço das soluções maximais tem dimensão n.

Seja ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) uma EDO linear não-homogênea. É fácil ver que o conjunto das soluções maximais dessa EDO é um subespaço afim do espaço vetorial das curvas absolutamente contínuas de I em ℝ^{n}, cujo subespaço vetorial paralelo é o conjunto das soluções maximais de ẋ(t) = A(t)x(t).

Temos que o conjunto das soluções maximais de uma EDO linear determina os seus coeficientes, no sentido que se ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) e ẋ(t) = A′(t)x(t) + B′(t) tem o mesmo conjunto de soluções maximais então A = A′ e B = B′ quase sempre (esse é o melhor resultado que podemos obter, já que alterando A e B num conjunto de medida nula as soluções da EDO linear não mudam).

Em primeiro lugar, observe que os espaços vetoriais de soluções maximais de ẋ(t) = A(t)x(t) e de ẋ(t) = A′(t)x(t) coincidem, já que ambos coincidem com o subespaço vetorial paralelo ao subespaço afim das soluções maximais de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) (que coincide com o subespaço afim das soluções maximais de ẋ(t) = A′(t)x(t)+B′(t)). Seja (v_{1}, …, v_{n}) uma base do espaço vetorial de soluções maximais de ẋ(t) = A(t)x(t).

Para cada i = 1, …, n temos que as igualdades v̇_{i}(t) = A(t)v_{i}(t) e v̇_{i}(t) = A′(t)v_{i}(t) valem para todo t ∈ I fora de um certo conjunto X_{i} ⊂ I de medida nula. Seja X = X_{1} ∪ … ∪ X_{n}. Daí X ⊂ I tem medida nula e A(t)v_{i}(t) = A′(t)v_{i}(t) para todo t ∈ I − X e para i = 1, …, n.

Como v ↦ v(t_{0}) fornece um isomorfismo linear entre o espaço de soluções maximais de ẋ(t) = A(t)x(t) e ℝ^{n}, segue que (v_{1}(t_{0}), …, v_{n}(t_{0})) é uma base de ℝ^{n} para todo t_{0} ∈ I. Então A(t_{0}) = A′(t_{0}) para todo t_{0} ∈ I − X. Resta ver que B = B′ quase sempre.

Simplesmente considere uma solução v: I → ℝ^{n} qualquer de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t). Daí v também é solução de ẋ(t) = A′(t)x(t) + B′(t). Como já sabemos que A = A′ quase sempre, segue o resultado.

Vamos agora mostrar que se todas as soluções maximais de uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t)+B(t) são de tipo 𝔐 (𝔐 < C^{0}) então A e B coincidem quase sempre com funções de tipo 𝔐′ (não é possível concluir que A e B sejam de tipo 𝔐′, já que alterando A e B num conjunto de medida nula as soluções permanecem as mesmas). Em primeiro lugar, como esse conjunto de soluções maximais é um subespaço afim do espaço vetorial das curvas de tipo 𝔐 de I em ℝ^{n}, segue que seu subespaço vetorial paralelo também é formado apenas por curvas de tipo 𝔐. Daí as soluções maximais de ẋ(t) = A(t)x(t) são todas de tipo 𝔐.

Seja (v_{1}, …, v_{n}) uma base do espaço das soluções maximais de ẋ(t) = A(t)x(t). Já observamos que então para todo t ∈ I temos que (v_{1}(t), …, v_{n}(t)) é uma base de ℝ^{n}. Já mostramos também que v̇_{i}(t) = A(t)v_{i}(t), para todo i = 1, …, n e para quase todo t ∈ I. Seja v: I → L(ℝ^{n}) tal que para cada t ∈ I, v(t) é uma matriz cujas colunas são os vetores v_{i}(t). Daí v é de tipo 𝔐 e v̇(t) = A(t)v(t) quase sempre.

Como para cada t ∈ I temos que (v_{1}(t), …, v_{n}(t)) é uma base de ℝ^{n}, segue que v(t) é sempre uma matriz inversível. Daí A(t) = v̇(t)v(t)^{−1} quase sempre. Considere o operador C: L(ℝ^{n}) × GL(ℝ^{n}) → L(ℝ^{n}) dado por C(T, S) = T S^{−1}. Então C é de classe C^{∞} e linear em T. Como v é de tipo 𝔐 e v̇ é de tipo 𝔐′, segue do corolário 2 do lema 4 da seção 1.0 que (C∘)(v̇, v) é de tipo 𝔐′. Daí, A coincide quase sempre com v̇(t)v(t)^{−1}, que é de tipo 𝔐′.

Seja v_{0} uma solução qualquer de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t). Daí B(t) = v̇_{0}(t) − A(t)v_{0}(t) quase sempre. Como foi visto acima, A coincide quase sempre com uma função Ã de tipo 𝔐′. Novamente, usando o corolário 2 do lema 4 da seção 1.0 concluímos que Ã(t)v_{0}(t) é de tipo 𝔐′ (usando o operador C(T, S) = T S). Daí B coincide quase sempre com v̇_{0}(t) − Ã(t)v_{0}(t), que é de tipo 𝔐′.

O fato visto acima que as soluções maximais de uma EDO linear determinam os seus coeficientes (em quase todo ponto) ajuda na motivação da definição a seguir. Queremos agora estudar EDO’s lineares “globalmente”, no sentido que ficará claro abaixo. A maneira mais eficiente de fazer isso (embora outras construções sejam possíveis) é a de “inverter” a situação, i.e., as EDO’s lineares que explicaremos abaixo serão definidas pelos seus conjuntos de soluções maximais.

Olhando pelo lado computacional, pode parecer estranho dizer que um conjunto de soluções é uma EDO, já que normalmente pensa-se numa EDO como sendo “o problema de achar as soluções”. Mas do ponto de vista puramente teórico, o que importa é que existe uma bijeção entre as possíveis EDO’s lineares (ao menos, agrupando-as em classes de equivalência quando os coeficientes coincidem quase sempre) e os possíveis conjuntos de soluções maximais. Temos que o conjunto das soluções maximais contém tanta informação quanto os coeficientes da EDO linear.

É claro que em geral não faz sentido considerar EDO’s lineares em variedades, já que uma variedade não é um espaço vetorial. É, no entanto, possível considerar um problema “global” de EDO’s lineares usando fibrados vetoriais. Seja então ξ um fibrado vetorial sobre M. Seja γ: I → M uma curva absolutamente contínua definida num intervalo qualquer I ⊂ ℝ. Queremos de algum modo definir uma EDO linear cujas soluções sejam curvas absolutamente contínuas v: I → ξ com π ∘ v = γ.

Para facilitar a linguagem definimos uma seção de ξ ao longo de γ como sendo uma função v: I → ξ com π ∘ v = γ. Note que faz sentido dizer que v é de tipo 𝔐 para 𝔐 ≤ C^{0} pois v é uma curva na variedade ξ. Note também que como π é C^{∞} então (π∘) leva curvas tipo 𝔐 em curvas tipo 𝔐 (vide observação 2 da seção anterior), donde para que uma seção v ao longo de γ seja de tipo 𝔐 é necessário que γ seja de tipo 𝔐. Assim, por exemplo, não existe uma seção de classe C^{2} ao longo de uma curva de classe C^{1}.

Por outro lado, se γ: I → M é uma curva de tipo 𝔐_{2} (𝔐_{2} ≤ C^{0}) e se 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} então podemos definir uma seção v: I → ξ ao longo de γ de tipo 𝔐_{1}, como sendo uma seção ao longo de γ tal que para todo intervalo fechado J ⊂ I temos v_{|J} ∈ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(J ×ξ) (recorde que J × ξ é um fibrado misto sobre J). Assim, podemos falar em seções de classe C^{1} ao longo de uma curva de classe C^{2} e até mesmo seções de tipo L^{p} ao longo de uma curva de classe C^{1}, por exemplo.

No que segue faremos muitas manipulações com intervalos e portanto convém ressaltar alguns detalhes. Antes de mais nada, recordamos que para nós um intervalo é um subconjunto conexo de ℝ com mais de um ponto (i.e., são admitidos intervalos abertos ou fechados, limitados ou ilimitados à esquerda ou à direita, mas o conjunto vazio e conjuntos unitários não são considerados intervalos. Nunca escreveremos [a, b] para a ≥ b, por exemplo). O interior (respectivamente, o exterior) de um intervalo I é simplesmente o interior (respectivamente, o exterior) topológico de I relativamente ao espaço topológico ℝ. As extremidades de I são simplesmente os pontos de fronteira de I (visto como subconjunto do espaço topológico ℝ).

Em muitos casos teremos um intervalo J contido num intervalo I e diremos que t está no interior de J relativo a I, ou que J contém t no seu interior relativo a I. Isso significa que t pertence ao interior topológico de J, visto como subconjunto do espaço topológico I. Mais explicitamente, isso significa que t está no interior de J (relativo a ℝ) ou que t ∈ J é uma extremidade de J e é também uma extremidade de I.

Seja ξ um fibrado vetorial sobre M. Seja γ: I → M uma curva absolutamente contínua definida num intervalo qualquer I ⊂ ℝ. Definimos uma EDO linear global ao longo de γ no fibrado vetorial ξ como sendo um conjunto 𝔳 de seções de ξ ao longo de γ satisfazendo as seguintes propriedades:

(P1) Seja v: I → ξ uma seção de ξ ao longo de γ. Suponha que para todo t ∈ I existem um intervalo J ⊂ I contendo t no seu interior (relativo a I) e um elemento w ∈ 𝔳 tais que v_{|J} = w_{|J}. Então v ∈ 𝔳.

(P2) Seja J ⊂ I um intervalo e seja (U, α), α = (π, α^{2}): π^{−1}(U) → U ×ℝ^{k} uma trivialização de ξ (aqui k é a dimensão das fibras de ξ. Podemos supor sem perda de generalidade que a fibra típica de ξ é ℝ^{k}). Suponha que γ(J) ⊂ U. Então existe uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t), A: J → L(ℝ^{k}), B: J → ℝ^{k}, tal que para toda seção w: J → ξ de ξ ao longo de γ_{|J}, temos que w é da forma v_{|J} para algum v ∈ 𝔳 se e somente se α^{2} ∘ w é solução da EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t).

Observamos que na condição (P2) acima, ou J é “grande demais” e não existe uma trivialização (U, α) com γ(J) ⊂ U (donde a condição fica vaziamente satisfeita), ou então tais trivializações de fato existem. Daí não é necessário verificar a condição para qualquer trivialização, basta usar uma. De fato, se (U, α), (V, β) são ambas trivializações de ξ com γ(J) ⊂ U, γ(J) ⊂ V então seja τ: U ∩ V → GL(ℝ^{k}) a função de transição entre as duas.

Suponha que existe uma EDO ẋ(t) = A(t)x(t)+B(t) tal que uma seção w de ξ ao longo de γ_{|J} é da forma v_{|J}, v ∈ 𝔳, se e somente se α^{2} ∘ w for solução de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t). Escreva w_{1} = α^{2} ∘ w e w_{2} = β^{2} ∘ w. Daí w_{2}(t) = τ(γ(t))w_{1}(t). Defina

A′(t) = [dτ(γ(t))γ̇(t) + τ(γ(t)) ∘ A(t)] ∘ τ(γ(t))^{−1}, B′(t) = τ(γ(t))B(t).

Então w_{1} é solução de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) se e somente se w_{2} for solução de ẋ(t) = A′(t)x(t) + B′(t).

Observamos que fixado J ⊂ I e fixada a trivialização (U, α) de ξ com γ(J) ⊂ U então a EDO linear que aparece na condição (P2) é única, a menos de alteração dos coeficientes num conjunto de medida nula. De fato, duas dessas EDO’s teriam as mesmas soluções maximais (vide observações que seguem o teorema 27).

Segue da condição (P2) que os elementos de 𝔳 são todos absolutamente contínuos. Seja 𝔳 uma EDO linear global ao longo γ no fibrado vetorial ξ. Então, para todo

intervalo J ⊂ I e todo v ∈ 𝔳 dizemos que v_{|J} é uma solução de 𝔳. Os elementos de 𝔳 serão chamados de soluções maximais de 𝔳. Se uma solução v: J → ξ de 𝔳 satisfaz v(t_{0}) = v_{0}, para algum t_{0} ∈ J e algum v_{0} ∈ ξ_{γ(t_{0})}, então dizemos que (t_{0}, v_{0}) é uma condição inicial para v.

Seja 𝔐 < C^{0}. Dizemos que uma EDO linear global 𝔳 é de tipo 𝔐′ quando todos os elementos de 𝔳 forem de tipo 𝔐. Isso implica que γ é de tipo 𝔐. É fácil ver que 𝔳 é de tipo 𝔐′ se e somente se γ é de tipo 𝔐 e a EDO linear que aparece na condição (P2) pode ser escolhida de tipo 𝔐′ (use as observações que seguem o teorema 27). Observe que como os elementos de 𝔳 são sempre ao menos absolutamente contínuos, segue que toda EDO linear global é ao menos de tipo L^{1}. Podemos também dizer que uma EDO linear global 𝔳 é de tipo C^{∞} quando todos os elementos de 𝔳 forem de classe C^{∞}.

Como exemplo, vamos ver como fica uma EDO linear global quando o fibrado vetorial ξ é trivial. Digamos ξ = M × ℝ^{k}. Seja γ: I → M uma curva absolutamente contínua. Temos que uma seção v de ξ ao longo de γ é simplesmente uma curva v: I → ℝ^{k}.

Afirmamos que uma EDO linear global 𝔳 é simplesmente o conjunto das soluções maximais de uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t), com A: I → L(ℝ^{k}), B: I → ℝ^{k}. De fato, é fácil ver que o conjunto das soluções maximais de uma EDO linear satisfaz as condições (P1) e (P2) (para verificar a condição (P2), use a observação que segue a definição dessa condição. Observe que basta usar a trivialização (M, Id), e não uma trivialização qualquer). Reciprocamente, se 𝔳 satisfaz as condições (P1) e (P2) então considerando a trivialização (M, Id) aplicamos a condição (P2) e concluímos que 𝔳 é o conjunto das soluções maximais de uma EDO linear.

Os coeficientes A, B da EDO linear cujas soluções maximais são os elementos de 𝔳 estão unicamente determinados, a menos de mudanças num conjunto de medida nula. Temos que 𝔳 é de tipo 𝔐′ se e somente se γ é de tipo 𝔐 e A, B coincidem em quase todo ponto com funções de tipo 𝔐′. A exigência que γ é de tipo 𝔐 é realmente importante (embora a curva γ, a princípio, pareça não ter nenhuma relação com a EDO). De fato, embora no caso ξ = M × ℝ^{k} a trivialização α = Id é canônica, temos outras trivializações que podem ser usadas e daí se γ não é de tipo 𝔐 a nova EDO linear obtida pode não ter seus coeficientes (coincidindo quase sempre com funções) de tipo 𝔐′ (vide fórmulas para A′ e B′ que seguem a definição da condição (P2)).

Mostramos agora o teorema de existência e unicidade de soluções com condições iniciais prescritas.

Teorema 28. Seja 𝔳 uma EDO linear global no fibrado vetorial ξ ao longo de uma curva γ: I → M. Então dados t_{0} ∈ I e v_{0} ∈ ξ_{γ(t_{0})} existe uma única solução maximal v de 𝔳 com condição inicial (t_{0}, v_{0}).

Demonstração. Temos que existe um intervalo J ⊂ I contendo t_{0} e uma trivialização (U, α) de ξ, de modo que γ(J) ⊂ U. Pela condição (P2), existe uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) tal que uma seção w de ξ ao longo de γ_{|J} é da forma v_{|J}, v ∈ 𝔳, se e somente se α^{2} ∘ w for solução de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t).

Pelo teorema 27 existe uma solução w̃: J → ℝ^{k} de ẋ(t) = A(t)x(t)+B(t) com condição inicial (t_{0}, α^{2}(v_{0})). Seja w a seção de ξ ao longo de γ_{|J} tal que α^{2} ∘ w = w̃, i.e., w(t) = α^{−1}(γ(t), w̃(t)), t ∈ J. Daí existe v ∈ 𝔳 com v_{|J} = w. Temos que v é uma solução maximal de 𝔳 com condição inicial (t_{0}, v_{0}).

Quanto à unicidade, sejam v, w ∈ 𝔳 suluções maximais que coincidem em algum instante. Seja X = { t ∈ I : v(t) = w(t) }. Daí X ⊂ I é fechado em I e não vazio. Como I é conexo, resta ver que X é aberto em I. Seja t ∈ X. Seja J ⊂ I um intervalo contendo t no seu interior (relativo a I) e seja (U, α) uma trivialização de ξ com γ(J) ⊂ U. Da condição (P2) segue que α^{2} ∘ v_{|J} e α^{2} ∘ w_{|J} são ambas soluções da mesma EDO linear. Como ambas coincidem no instante t, segue que v_{|J} = w_{|J} e daí J ⊂ X. Isto completa a demonstração.

Observe que segue também do teorema anterior que se v_{1}: J_{1} → ξ e v_{2}: J_{2} → ξ são soluções de 𝔳 que coincidem num ponto de J_{1} ∩ J_{2} então v_{1} e v_{2} coincidem em todos os pontos de J_{1} ∩ J_{2}. De fato, por definição existem soluções maximais v′_{1}, v′_{2} ∈ 𝔳 tais que v_{1} é a restrição de v′_{1} a J_{1} e v_{2} é a restrição de v′_{2} a J_{2}. Como v′_{1} e v′_{2} coincidem num ponto, a parte de unicidade do teorema 28 nos diz que v′_{1} = v′_{2}. Daí segue o resultado.

Seja 𝔳 uma EDO linear global ao longo de γ: I → M no fibrado vetorial ξ. Seja J ⊂ I um intervalo qualquer. Podemos definir a restrição de 𝔳 a J fazendo 𝔳_{|J} = { v_{|J} : v ∈ 𝔳 }. Devemos verificar que 𝔳_{|J} é uma EDO linear global ao longo de γ_{|J} no fibrado vetorial ξ. A condição (P2) é trivial. Vamos verificar a condição (P1).

Seja v: J → ξ uma seção de ξ ao longo de γ_{|J}. Suponha que todo t ∈ J possui uma vizinhança em J na qual v coincide com um elemento de 𝔳_{|J}. Devemos mostrar que v ∈ 𝔳_{|J}. Escolha qualquer t_{0} ∈ J e seja v_{0} = v(t_{0}). Pelo teorema 28 existe uma solução maximal w de 𝔳 com condição inicial (t_{0}, v_{0}). Afirmamos que w_{|J} = v (e portanto v ∈ 𝔳_{|J}). De fato, considere o conjunto X = { t ∈ J : v(t) = w(t) }. Temos que X é fechado em J e não vazio (observe que nossa hipótese sobre v implica sua continuidade). Também, para todo t ∈ X, temos que v coincide com uma solução de 𝔳 numa vizinhança de t em J, donde v e w coincidem numa vizinhança de t em J (já que w é uma solução de 𝔳). Daí X é aberto em J e como J é conexo segue que v = w_{|J}.

A nossa definição de EDO linear global tornou muito simples a demonstração do teorema 28, porém não é muito simples reconhecer quando um conjunto 𝔳 é uma EDO linear global. Os dois lemas seguintes resolvem esse problema. O lema 17 é o que mais se usa na prática, mas usaremos o lema 16 uma vez (e também o lema 16 é usado na demonstração do lema 17).

O leitor pode preferir consultar primeiro o exemplo que segue o lema 17, ao invés de estudar diretamente os detalhes das demonstrações abaixo (e passar diretamente ao estudo das cartas de Bismut, onde teremos outras aplicações do conceito de EDO linear global).

Lema 16. Seja 𝔐 < C^{0} e seja γ: I → M uma curva de tipo 𝔐. Seja ξ um fibrado vetorial sobre M e seja 𝔳 um conjunto de seções de ξ ao longo de γ. Considere as seguintes condições:

(A1) Para todo t_{0} ∈ I e para todo v_{0} ∈ ξ_{γ(t_{0})} existe um único v ∈ 𝔳 com v(t_{0}) = v_{0}. (A2) Para todo t ∈ I existem um intervalo J ⊂ I contendo t no seu interior (relativo a I),

uma trivialização (U, α) de ξ e uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t)+B(t), A: J → L(ℝ^{k}), B: J → ℝ^{k}, de tipo 𝔐′ tais que γ(J) ⊂ U e para toda seção w: J → ξ de ξ ao longo de γ_{|J} temos que w é da forma v_{|J}, para algum v ∈ 𝔳, se e somente se α^{2} ∘ w é solução de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t).

Temos que 𝔳 satisfaz (A1) e (A2) se e somente se 𝔳 é uma EDO linear global de tipo 𝔐′.

Demonstração. Se 𝔳 é uma EDO linear global de tipo 𝔐′ então (A1) segue do teorema 28 e (A2) segue diretamente de (P2). Suponha então que 𝔳 satisfaz (A1), (A2) e mostremos que 𝔳 é uma EDO linear global de tipo 𝔐′. Segue facilmente de (A2) e do fato que γ é de tipo 𝔐 que os elementos de 𝔳 são de tipo 𝔐 (daí, após mostrarmos que 𝔳 é uma EDO linear global, seguirá diretamente que 𝔳 é de tipo 𝔐′).

Mostremos (P1). Seja v: I → ξ uma seção de ξ ao longo de γ. Suponha que todo t ∈ I possui uma vizinhança em I na qual v coincide com um elemento de 𝔳. Escolha qualquer t_{0} ∈ I e seja v_{0} = v(t_{0}). Por (A1) existe w ∈ 𝔳 com w(t_{0}) = v_{0}. Afirmamos que w = v. De fato, seja X = { t ∈ I : v(t) = w(t) }. Temos que X é fechado em I e não vazio (já sabemos que os elementos de 𝔳 são contínuos e as nossas hipóteses sobre v implicam que v é contínuo).

Resta ver que X é aberto em I, e daí, como I é conexo, seguirá o resultado. Seja t ∈ X. Existem um intervalo J ⊂ I contendo t no seu interior (relativo a I) e um elemento u ∈ 𝔳 tais que u_{|J} = v_{|J}. Temos u(t) = v(t) = w(t), e de (A1) segue que u = w. Daí J ⊂ X, o que completa a demonstração de (P1).

Para mostrar (P2), adotamos a seguinte terminologia. Seja J ⊂ I um intervalo e seja (U, α) uma trivialização de ξ. Dizemos que a trinca (J, U, α) é admissível quando γ(J) ⊂ U e existe uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t), A: J → L(ℝ^{k}), B: J → ℝ^{k}, tal que uma seção w: J → ξ de ξ ao longo de γ_{|J} é da forma v_{|J}, para algum v ∈ 𝔳, se e somente se α^{2} ∘ w é solução de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) (essa terminologia será usada apenas durante essa demonstração).

Segue de (A2) que para todo t ∈ I existem um intervalo J ⊂ I contendo t no seu interior (relativo a I) e uma trivialização (U, α) de ξ tais que (J, U, α) é uma trinca admissível.

Seja (J, U, α) uma trinca admissível. Seja K ⊂ J um intervalo. É fácil verificar que (K, U, α) também é admissível (basta considerar A_{|K} e B_{|K}). Seja (V, β) uma outra trivialização de ξ com γ(J) ⊂ V. Então (J, V, β) também é admissível. De fato, apenas utilize as idéias que seguem a definição da condição (P2).

Devemos mostrar que para todo intervalo J ⊂ I e para toda trivialização (U, α) de ξ com γ(J) ⊂ U temos que a trinca (J, U, α) é admissível (esse é o conteúdo da condição (P2)). Pela condição (A2), temos que para todo t ∈ J existem um intervalo J_{t} ⊂ I contendo t no seu interior (relativo a I) e uma trivialização (U_{t}, α_{t}) de ξ tais que (J_{t}, U_{t}, α_{t}) é uma trinca admissível.

Podemos diminuir J_{t} de modo a tornar J_{t} aberto em I e t ∈ J_{t}. Podemos também intersectar J_{t} com J, de modo que t ∈ J_{t} e que J_{t} seja aberto em J. A trinca (J_{t}, U_{t}, α_{t}) continua admissível, pelo que observamos acima. Como γ(J_{t}) ⊂ U, temos que (J_{t}, U, α) também é admissível. Associada a essa trinca (J_{t}, U, α) temos uma EDO linear com coeficientes A_{t}: J_{t} → L(ℝ^{k}), B_{t}: J_{t} → ℝ^{k}.

Temos que (J_{t})_{t∈J} é uma cobertura aberta de J, da qual extraímos uma subcobertura enumerável (J_{t_{n}})_{n∈ℕ}. Sejam n, m ∈ ℕ tais que J_{t_{n}} ∩ J_{t_{m}} tem mais de um ponto. Então as EDO’s lineares ẋ(t) = A_{t_{n}}(t)x(t)+B_{t_{n}}(t), ẋ(t) = A_{t_{m}}(t)x(t)+B_{t_{m}}(t) restritas ao intervalo J_{t_{n}} ∩ J_{t_{m}} possuem as mesmas soluções maximais (a saber: as restrições a J_{t_{n}} ∩ J_{t_{m}} de α^{2} ∘ v, v ∈ 𝔳). Daí existe X_{nm} ⊂ J_{t_{n}} ∩ J_{t_{m}} de medida nula tal que A_{t_{n}}(t) = A_{t_{m}}(t), B_{t_{n}}(t) = B_{t_{m}}(t) para todo t ∈ (J_{t_{n}} ∩ J_{t_{m}}) − X_{nm}. Defina X_{nm} = J_{t_{n}} ∩ J_{t_{m}} quando J_{t_{n}} ∩ J_{t_{m}} tem um único ponto ou for vazio.

Seja X ⊂ J um Boreleano de medida nula que contém a união dos X_{nm}, n, m ∈ ℕ. Para todo t ∈ J −X defina A(t) = A_{t_{n}}(t), B(t) = B_{t_{n}}(t), para qualquer n tal que t ∈ J_{t_{n}} (é fácil ver que o valor de A(t) e B(t) não depende da escolha de n). Defina A(t) = B(t) = 0 para t ∈ X. É fácil verificar que A e B são Borel-mensuráveis e integráveis em todos os subintervalos fechados de J (basta verificar que A e B são localmente integráveis e Borelmensuráveis). É fácil verificar também que para todo v ∈ 𝔳 temos que α^{2} ∘ v_{|J} é solução de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t).

Seja w: J → ξ uma seção de ξ ao longo de γ_{|J} tal que α^{2} ∘ w seja solução de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t). Devemos mostrar que existe v ∈ 𝔳 com v_{|J} = w. Segue de (A1) que existe v ∈ 𝔳 tal que v(t) = w(t) para algum t ∈ J. Afirmamos que v_{|J} = w. De fato, seja Y = { t ∈ J : v(t) = w(t) }. Como sempre, temos que Y é fechado em J e não vazio, restando mostrar que Y é aberto em J. Seja t ∈ Y. Temos que t ∈ J_{t_{n}} para algum n ∈ ℕ. Daí a restrição de α^{2} ∘ w a J_{t_{n}} é solução de ẋ(t) = A_{t_{n}}(t)x(t) + B_{t_{n}}(t), pois A = A_{t_{n}} e B = B_{t_{n}} quase sempre em J_{t_{n}}. Segue que α^{2} ∘ w coincide com algum elemento de 𝔳 em J_{t_{n}}. Como v ∈ 𝔳 e v(t) = w(t) segue de (A1) que w coincide com v em J_{t_{n}} e J_{t_{n}} ⊂ Y.

Para o lema seguinte precisamos de uma definição. Como motivação o leitor pode recordar a definição de base de domínios com bordo dada antes do teorema 24 da seção anterior. A definição a seguir introduz uma condição mais forte.

Seja I ⊂ ℝ um intervalo qualquer. A partir de agora, para simplificar a linguagem, diremos que um intervalo contido em I é um subintervalo de I. Seja J um conjunto de subintervalos de I. Dizemos que J é uma estrutura de subintervalos em I quando valem as seguintes propriedades:

(1) I ∈ J.

(2) Se J, K ∈ J e J ∩ K ≠ ϕ então J ∪ K ∈ J.

(3) Seja J ∈ J. Seja t ∈ J e seja U ⊂ J um aberto relativo a J contendo t. Então existe K ∈ J tal que K ⊂ U e t está no interior de K relativo a J. Observe que a condição (3) diz que para todo J ∈ J temos que { K ∈ J : K ⊂ J } é

uma base de domínios com bordo em J.

Por exemplo, o conjunto de todos os subintervalos de I é uma estrutura de subintervalos em I. Também, se I é um intervalo fechado então o conjunto de todos os subintervalos fechados de I é uma estrutura de subintervalos em I.

Mais geralmente, se I ⊂ ℝ é um intervalo qualquer então o conjunto dos subintervalos de I que são fechados relativamente a I é uma estrutura de subintervalos em I. Também o conjunto dos subintervalos de I que são abertos relativamente a I é uma estrutura de subintervalos em I.

Os exemplos de estrutura de subintervalos dados acima são os únicos que precisaremos (na verdade, precisaremos apenas dos dois primeiros). Temos o seguinte lema.

Lema 17. Seja I ⊂ ℝ um intervalo e seja J uma estrutura de subintervalos em I. Seja ξ um fibrado vetorial sobre uma variedade M e seja U um conjunto de trivializações de ξ tal que { U : (U, α) ∈ U } é uma cobertura (aberta) de M. Seja 𝔐 < C^{0} e seja γ: I → M uma curva de tipo 𝔐. Considere uma família 𝔳 = (𝔳_{J})_{J∈J}, onde cada 𝔳_{J} é um conjunto de seções de ξ ao longo de γ_{|J}. Considere as seguintes condições: (B1) Dados J, K ∈ J com K ⊂ J então para todo v ∈ 𝔳_{J} temos que v_{|K} ∈ 𝔳_{K}. (B2) Seja J ∈ J e seja v: J → ξ uma seção de ξ ao longo de γ_{|J}. Suponha que para todo

t ∈ J existe K ∈ J, K ⊂ J, contendo t no seu interior (relativo a J) tal que v_{|K} ∈ 𝔳_{K}. Então v ∈ 𝔳_{J}.

(B3) Seja J ∈ J e seja (U, α) ∈ U tal que γ(J) ⊂ U. Então existe uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t), A: J → L(ℝ^{k}), B: J → ℝ^{k}, de tipo 𝔐′ tal que v ∈ 𝔳_{J} se e somente se α^{2} ∘ v é solução de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t). Temos que 𝔳 = (𝔳_{J})_{J∈J} satisfaz as condições (B1), (B2) e (B3) se e somente se 𝔳_{I} é

uma EDO linear global de tipo 𝔐′ e 𝔳_{J} = { v_{|J} : v ∈ 𝔳_{I} } para todo J ∈ J.

Demonstração. Suponha que 𝔳_{I} é uma EDO linear global de tipo 𝔐′ e que para todo J ∈ J temos 𝔳_{J} = { v_{|J} : v ∈ 𝔳_{I} }. Temos que (B1) é trivial e (B3) segue diretamente de (P2). Observe que 𝔳_{J} = (𝔳_{I})_{|J}, i.e., 𝔳_{J} é a restrição da EDO linear global 𝔳_{I} a J. A condição (B2) segue diretamente da condição (P1) aplicada a 𝔳_{J}.

Suponha agora que 𝔳 = (𝔳_{J})_{J∈J} satisfaz as condições (B1), (B2) e (B3). Mostremos que 𝔳_{I} é uma EDO linear global de tipo 𝔐′ e que 𝔳_{J} = { v_{|J} : v ∈ 𝔳_{I} }, para todo J ∈ J.

Temos que para todo J ∈ J os elementos de 𝔳_{J} são de tipo 𝔐. De fato, seja v ∈ 𝔳_{J}. Seja t ∈ J. Temos que existe (U, α) ∈ U com γ(t) ∈ U. Daí γ^{−1}(U) ∩ J é aberto em J e como J é uma estrutura de subintervalos em I existe K ∈ J, K ⊂ J, contendo t no seu interior (relativo a J) tal que K ⊂ γ^{−1}(U) ∩ J. Daí γ(K) ⊂ U e segue de (B3) que existe uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) de tipo 𝔐′ cujas soluções são as curvas α^{2} ∘ w, w ∈ 𝔳_{K}.

Como v ∈ 𝔳_{J} e K ⊂ J, segue de (B1) que v_{|K} ∈ 𝔳_{K}, donde α^{2} ∘ v_{|K} é solução de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t). Daí α^{2} ∘ v_{|K} é de tipo 𝔐. Como γ é de tipo 𝔐 segue que v_{|K} é de tipo 𝔐 e portanto (como t ∈ J é arbitrário) v é de tipo 𝔐.

Sejam J_{1}, J_{2} ∈ J e sejam v ∈ 𝔳_{J_{1}} e w ∈ 𝔳_{J_{2}}. Queremos mostrar que se existe t ∈ J_{1} ∩ J_{2} tal que v(t) = w(t) então v_{|J_{1}∩J_{2}} = w_{|J_{1}∩J_{2}}. Em primeiro lugar, se J_{1} ∩ J_{2} tem um único ponto, o resultado é trivial. Suponha então que J_{1} ∩ J_{2} tem mais de um ponto (e portanto é um intervalo).

Seja X = { t ∈ J_{1} ∩ J_{2} : v(t) = w(t) }. Como v, w são contínuas temos que X é fechado em J_{1} ∩ J_{2} e não vazio. Resta mostrar que X é aberto em J_{1} ∩ J_{2}. Seja t ∈ X. Temos que t é um ponto interior de J_{1} ∩ J_{2} relativo a J_{i}, para algum i = 1, 2. De fato, caso contrário t seria uma extremidade de J_{1} ∩ J_{2} e não seria nem uma extremidade de J_{1} nem uma extremidade de J_{2}, o que não é possível.

Seja (U, α) ∈ U tal que γ(t) ∈ U. Daí γ^{−1}(U) ∩ J_{1} ∩ J_{2} é uma vizinhança de t relativa a J_{i}, donde existe K ∈ J, K ⊂ J_{i}, contendo t no seu interior (relativo a J_{i}) tal que K ⊂ γ^{−1}(U) ∩ J_{1} ∩ J_{2}. Daí γ(K) ⊂ U e de (B3) segue que as curvas α^{2} ∘ u, u ∈ 𝔳_{K}, são as soluções de uma certa EDO linear. Por (B1) temos v_{|K}, w_{|K} ∈ 𝔳_{K}, donde α^{2} ∘ v_{|K} e α^{2} ∘ w_{|K} são soluções da mesma EDO e coincidem no instante t. Daí v_{|K} = w_{|K} e K ⊂ X. Mas K é uma vizinhança de t em J_{1} ∩ J_{2}, o que mostra que X é aberto em J_{1} ∩ J_{2} e portanto X = J_{1} ∩ J_{2}.

Sejam J_{1}, J_{2} ∈ J tais que J_{1} ∩ J_{2} tem mais de um ponto (e portanto é um intervalo). Sejam v ∈ 𝔳_{J_{1}}, w ∈ 𝔳_{J_{2}} tais que v(t) = w(t) para algum t ∈ J_{1} ∩ J_{2} (e portanto v_{|J_{1}∩J_{2}} = w_{|J_{1}∩J_{2}}). Temos então que J_{1} ∪ J_{2} é um subintervalo de I e podemos definir u: J_{1} ∪ J_{2} → ξ tal que u_{|J_{1}} = v e u_{|J_{2}} = w.

Temos J_{1} ∪ J_{2} ∈ J. Afirmamos que u ∈ 𝔳_{J_{1}∪J_{2}}. De fato, isso é uma conseqüência de (B2). Seja t ∈ J_{1} ∪ J_{2}. Temos que t está no interior de J_{i} relativo a J_{1} ∪ J_{2} para algum i = 1, 2, pois caso contrário t seria uma extremidade de J_{1} e de J_{2} e não seria uma extremidade de J_{1} ∪ J_{2}, o que não é possível. Daí J_{i} ∈ J, u_{|J_{i}} ∈ 𝔳_{J_{i}} e J_{i} contém t no seu interior (relativo a J_{1} ∪ J_{2}). Segue de (B2) que u ∈ 𝔳_{J_{1}∪J_{2}}.

Vamos mostrar agora que 𝔳_{I} é uma EDO linear global usando o lema 16. Começamos verificando a condição (A1). Seja então t_{0} ∈ I e seja v_{0} ∈ ξ_{γ(t_{0})}. Devemos encontrar v ∈ 𝔳_{I} tal que v(t_{0}) = v_{0} (a unicidade decorre diretamente do que mostramos acima).

Seja { v_{λ} : λ ∈ L } o conjunto de todas as curvas v_{λ} em ξ definidas num intervalo J_{λ} ∈ J tais que t_{0} ∈ J_{λ}, v_{λ} ∈ 𝔳_{J_{λ}} e v_{λ}(t_{0}) = v_{0}.

Temos que tais curvas realmente existem, i.e., L ≠ ϕ. De fato, seja (U, α) ∈ U com γ(t_{0}) ∈ U. Como γ^{−1}(U) é um aberto em I contendo t_{0} segue que existe K ∈ J contendo t_{0} no seu interior (relativo a I) tal que K ⊂ γ^{−1}(U). Daí γ(K) ⊂ U e segue de (B3) que existe uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) cujas soluções são as curvas α^{2} ∘ v com v ∈ 𝔳_{K}. Mas essa EDO linear possui uma solução com condição inicial (t_{0}, α^{2}(v_{0})), donde existe v ∈ 𝔳_{K} tal que v(t_{0}) = v_{0}.

Seja J = ⋃_{λ∈L} J_{λ}. Daí J é um subintervalo de I (que não sabemos se está em J). Para todos λ, μ ∈ L temos que v_{λ} e v_{μ} coincidem em J_{λ}∩J_{μ}. Daí podemos definir v: J → ξ fazendo v(t) = v_{λ}(t) sempre que t ∈ J_{λ}.

Afirmamos que J = I. De fato, caso contrário teríamos elementos em I maiores que todos os elementos de J (ou elementos em I menores que todos os elementos de J, mas vamos considerar só o primeiro caso e o outro é análogo). Seja b a extremidade direita de J. Temos então b ∈ I.

Seja (U, α) ∈ U tal que γ(b) ∈ U. Temos que γ^{−1}(U) é um aberto em I contendo b, donde existe K ∈ J contendo b no seu interior (relativo a I) tal que K ⊂ γ^{−1}(U). Como b é a extremidade direita de J existe c pertencente ao interior de K (relativo a I) com c ∈ J. Daí, como J = ⋃_{λ∈L} J_{λ}, existe λ ∈ L com c ∈ J_{λ}.

Como γ(K) ⊂ U, a condição (B3) nos dá uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) cujas soluções são as curvas α^{2} ∘ w, w ∈ 𝔳_{K}. Considere uma solução α^{2} ∘ w de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) com condição inicial (c, α^{2} ∘ v(c)). Daí w ∈ 𝔳_{K} e w(c) = v(c). Como J_{λ} ∩ K tem mais de um ponto segue do que foi feito anteriormente que existe u ∈ 𝔳_{J_{λ}∪K} com u_{|J_{λ}} = v_{λ} e u_{|K} = w. Em particular u(t_{0}) = v_{0} e u está definida num intervalo que não está contido em J, contradição.

Concluímos então que J = I. Resta mostrar que v ∈ 𝔳_{I}. Temos que os interiores (relativos a I) dos intervalos J_{λ}, λ ∈ L, cobrem I. De fato, seja t ∈ I. Se t é uma extremidade de I então como existe λ ∈ L com t ∈ J_{λ}, segue que t está no interior de J_{λ} (relativo a I). Suponha que t está no interior de I e que t ≠ t_{0}. Se t > t_{0} escolha s ∈ I com s > t e se t < t_{0} escolha s ∈ I com s < t. Daí existe λ ∈ L com s ∈ J_{λ} e (como t_{0} ∈ J_{λ}) temos que t está no interior de J_{λ} (relativo a I). Finalmente, se t = t_{0} então observe que quando mostramos acima que L ≠ ϕ, encontramos J_{λ} contendo t_{0} no seu interior (relativo a I).

Como para todo λ ∈ L temos v_{|J_{λ}} = v_{λ} ∈ 𝔳_{J_{λ}}, segue diretamente da condição (B2) que v ∈ 𝔳_{I}. Isto completa a demonstração da condição (A1).

Seja J ∈ J. Mostremos que 𝔳_{J} = { v_{|J} : v ∈ 𝔳_{I} }. Segue de (B1) que para v ∈ 𝔳_{I} temos v_{|J} ∈ 𝔳_{J}. Seja w ∈ 𝔳_{J}. Pela condição (A1) existe v ∈ 𝔳_{I} com v(t) = w(t) para algum t ∈ J. Segue do que foi feito anteriormente que w = v_{|J}. Resta agora demonstrar a condição (A2). Seja t ∈ I. Escolha (U, α) ∈ U com γ(t) ∈ U. Como γ^{−1}(U) é aberto em I segue que existe K ∈ J contendo t no seu interior (relativo a I) tal que K ⊂ γ^{−1}(U). Daí a condição (A2) segue diretamente da condição (B3).

Vamos ver agora um exemplo típico de aplicação do lema 17 (veremos uma aplicação do lema 16 no teorema 35, mas é uma situação atípica. Em geral usa-se o lema 17 para se reconhecer uma EDO linear global).

Seja ξ um fibrado vetorial sobre M. Suponha que ξ possui uma conexão. Seja γ: I → M uma curva absolutamente contínua (i.e., de tipo H_{1}^{1}) definida num intervalo qualquer I. Recorde que se v: I → ξ é uma seção de ξ ao longo de γ então \frac{Dv}{dt} denota a derivada covariante de v na direção γ̇ (suporemos que v é ao menos absolutamente contínua para escrever \frac{Dv}{dt}. Note que \frac{Dv}{dt} está bem definida exatamente nos pontos onde v é derivável).

Queremos mostrar que dados t_{0} ∈ I, v_{0} ∈ ξ_{γ(t_{0})} então existe uma única seção paralela v: I → ξ de ξ ao longo de γ tal que v(t_{0}) = v_{0} (dizemos que v é paralela quando v é absolutamente contínua e \frac{Dv}{dt} = 0 quase sempre).

Embora em coordenadas locais a condição \frac{Dv}{dt} = 0 seja descrita por uma EDO linear, a existência e unicidade de seções paralelas com condições inicias prescritas não segue diretamente do teorema 27. Para mostrar a existência e unicidade de v com \frac{Dv}{dt} = 0 e v(t_{0}) = v_{0}, normalmente cobre-se a imagem de γ com trivializações de ξ, constroe-se soluções parciais usando-se o teorema 27 e junta-se todas numa solução maximal. Esse trabalho está contido na demonstração do lema 17, só precisamos aplicá-lo da maneira correta.

Seja 𝔳 o conjunto das seções paralelas v: I → ξ de ξ ao longo de γ. Queremos mostrar que 𝔳 é uma EDO linear global. É fácil verificar a condição (P1), mas a verificação da condição (P2) inclui essencialmente a demonstração da existência e unicidade de seções paralelas com condições iniciais prescritas. Por isso usamos o lema 17.

Seja J o conjunto de todos os subintervalos de I. Seja U o conjunto das trivializações (U, α) de ξ tais que U ⊂ M é o domínio de uma carta de M. Para cada subintervalo J de I defina 𝔳_{J} como sendo o conjunto das seções paralelas v: J → ξ de ξ ao longo de γ_{|J}.

As condições (B1) e (B2) são de fácil verificação. A verificação de (B3) consiste apenas em notar que a condição \frac{Dv}{dt} = 0 é descrita em coordenadas de M e em trivializações de ξ por uma EDO linear (cujos coeficientes envolvem os símbolos de Christoffel). Note que para definirmos os símbolos de Christoffel precisamos de uma trivialização de T M e de uma trivialização de ξ. Assim, se U fosse o conjunto de todas as trivializações de ξ, teríamos problemas com a demonstração de (B3), pois não poderíamos supor T M trivial sobre U para (U, α) ∈ U (na realidade não é tão difícil verificar a condição (B3) se U é o conjunto de todas as trivializações de ξ, mas preferimos ilustrar as hipóteses do lema 17).

Daí 𝔳_{I} é uma EDO linear global de tipo L^{1}. Escreveremos apenas 𝔳 ao invés de 𝔳_{I}, por simplicidade. O teorema 28 nos diz então que dado t_{0} ∈ I e v_{0} ∈ ξ_{γ(t_{0})} existe uma única seção paralela v: I → ξ de ξ ao longo de γ, com v(t_{0}) = v_{0}.

Mais geralmente, se 𝔐 < C^{0}, γ: I → M é de tipo 𝔐 e z: I → ξ é uma seção de ξ ao longo de γ de tipo 𝔐′, podemos considerar o conjunto 𝔳 das seções absolutamente contínuas v de ξ ao longo de γ tais que \frac{Dv}{dt} = z quase sempre. Temos que 𝔳 é uma EDO linear global de tipo 𝔐′. De fato, para cada subintervalo J de I, seja 𝔳_{J} o conjunto das seções absolutamente contínuas v: J → ξ de ξ ao longo de γ_{|J} tais que \frac{Dv}{dt} = z_{|J} quase sempre. O resultado segue facilmente do lema 17.

A idéia geral é a seguinte: temos uma propriedade “intrínseca” sobre seções de ξ ao longo de γ (i.e., uma propriedade cuja descrição envolve conexões, jatos, etc) que nos define um conjunto 𝔳. Para mostrar que 𝔳 é uma EDO linear global precisamos que essa propriedade “intrínseca” faça sentido também para seções ao longo de γ_{|J}, para todo subintervalo J de I (ou ao menos para J ∈ J, onde J é uma estrutura de subintervalos em I). Daí definimos 𝔳_{J} e em geral é fácil verificar as condições (B1), (B2), (B3) do lema 17. As condições (B1) e (B2) exprimem essencialmente a localidade da propriedade em questão. A condição (B3) diz que usando trivializações de ξ a propriedade é descrita por uma EDO linear.

Podemos então, por exemplo, aplicar o teorema 28 para concluir a existência e unicidade de curvas v satisfazendo a propriedade desejada, com condições iniciais prescritas. Muitas vezes identificamos o conjunto 𝔳 com a propriedade que o define, i.e., dizemos às vezes que \frac{Dv}{dt} = z é uma EDO linear global, por exemplo.

Vamos agora estudar algumas propriedades e definir algumas construções envolvendo EDO’s lineares globais. Recorde que já definimos a restrição de uma EDO linear global a um subintervalo.

Seja 𝔳 uma EDO linear global ao longo de uma curva γ: I → M. Dizemos que 𝔳 é homogênea quando 0 ∈ 𝔳, i.e., a seção v: I → ξ dada por v(t) = 0, t ∈ I, é solução de (ou pertence a) 𝔳. Por exemplo, \frac{Dv}{dt} = z é uma EDO linear global homogênea se e somente se z = 0 quase sempre.

Denote por Γ o espaço vetorial de todas as seções de ξ ao longo de γ. Temos que se 𝔳 é uma EDO linear global homogênea ao longo de γ então 𝔳 é um subespaço vetorial de Γ. De fato, sejam v, w ∈ 𝔳. Mostremos que v + w ∈ 𝔳.

Seja t ∈ I. Sejam (U, α) uma trivialização de ξ e seja J ⊂ I um intervalo contendo t no seu interior (relativo a I) tal que γ(J) ⊂ U. A condição (P2) nos dá uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t)+B(t) cujas soluções são as curvas α^{2} ∘u_{|J}, com u ∈ 𝔳. Tomando u = 0 ∈ 𝔳 concluímos que B = 0 quase sempre. Podemos então supor B = 0.

Temos que α^{2} ∘ v_{|J} e α^{2} ∘ w_{|J} são soluções de ẋ(t) = A(t)x(t), donde α^{2} ∘ (v + w)_{|J} também é solução de ẋ(t) = A(t)x(t). Assim v + w coincide com um elemento de 𝔳 nos pontos de J. Como t ∈ I é arbitrário, segue de (P1) que v + w ∈ 𝔳. Se c ∈ ℝ, v ∈ 𝔳 então a demonstração de cv ∈ 𝔳 é análoga.

Seja agora 𝔳 uma EDO linear global qualquer ao longo de γ. Fixe v_{1} ∈ 𝔳. Seja 𝔳_{0} = { v − v_{1} : v ∈ 𝔳 }. Temos que 𝔳_{0} é uma EDO linear global. De fato, quanto a (P1), se v: I → ξ coincide com um elemento de 𝔳_{0} numa vizinhança de cada ponto de I então v +v_{1} coincide com um elemento de 𝔳 numa vizinhança de cada ponto de I, donde v + v_{1} ∈ 𝔳. Daí v ∈ 𝔳_{0}. Quanto a (P2), seja J ⊂ I um subintervalo de I e seja (U, α) uma trivialização de ξ com γ(J) ⊂ U. Se ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) é a EDO linear que funciona para 𝔳 então ẋ(t) = A(t)x(t) funciona para 𝔳_{0}. Deixamos os detalhes a cargo do leitor.

O que mostramos acima diz que se 𝔳 é uma EDO linear global ao longo de γ então 𝔳 é um subespaço afim de Γ e que seu subespaço vetorial paralelo é uma EDO linear global também (obviamente homogênea). Seja 𝔳_{0} o subespaço vetorial paralelo a 𝔳. Dizemos que 𝔳_{0} é a componente homogênea de 𝔳.

É fácil ver que se 𝔳 é de tipo 𝔐′ então sua componente homogênea 𝔳_{0} também é de tipo 𝔐′ (a recíproca não vale em geral, como é fácil ver). Por exemplo, suponha que ξ tem uma conexão e que z é uma seção de ξ ao longo de γ de tipo 𝔐′ (e que γ é de tipo 𝔐). Daí \frac{Dv}{dt} = z é uma EDO linear global de tipo 𝔐′. Sua componente homogênea é \frac{Dv}{dt} = 0.

Seja 𝔳 uma EDO linear global homogênea ao longo de γ: I → M. Fixe t_{0} ∈ I. Temos um operador v ∈ 𝔳 ↦ v(t_{0}) ∈ ξ_{γ(t_{0})} de evaluação no ponto t_{0}. Esse operador é obviamente linear e o teorema 28 nos diz que ele é um isomorfismo linear de 𝔳 sobre ξ_{γ(t_{0})}. Em particular, 𝔳 tem dimensão k (k é a dimensão das fibras de ξ).

Sejam v_{1}, …, v_{k} ∈ 𝔳. Se existe t ∈ I tal que (v_{1}(t), …, v_{k}(t)) é uma base de ξ_{γ(t)} então (v_{1}, …, v_{k}) é uma base de 𝔳. Reciprocamente, se (v_{1}, …, v_{k}) é uma base de 𝔳 então para todo t ∈ I temos que (v_{1}(t), …, v_{k}(t)) é uma base de ξ_{γ(t)}. Isso decorre da observação acima.

Suponha agora que 𝔳 é uma EDO linear global qualquer. Para todo t_{0} ∈ I temos que v ∈ 𝔳 ↦ v(t_{0}) ∈ ξ_{γ(t_{0})} é um isomorfismo afim entre o espaço afim 𝔳 e o espaço vetorial ξ_{γ(t_{0})}. Daí, dados t, s ∈ I temos um isomorfismo afim Φ_{ts}: ξ_{γ(t)} → ξ_{γ(s)} que a cada v_{1} ∈ ξ_{γ(t)} associa v(s) ∈ ξ_{γ(s)}, onde v ∈ 𝔳 é a única solução com condição inicial (t, v_{1}) (observe que Φ_{ts} é a composta do isomorfismo de evaluação em s com o inverso do isomorfismo de evaluação em t).

Dizemos que o operador Φ_{ts} definido acima é um operador de transporte. Quando 𝔳 é homogênea temos que Φ_{ts} é na realidade um isomorfismo linear. Pensamos intuitivamente nos operadores Φ como operadores que fazem um “transporte” de elementos de ξ ao longo de γ. É fácil ver que Φ_{tt} = Id, Φ_{ts} = Φ_{st}^{−1} e Φ_{sr} ∘ Φ_{ts} = Φ_{tr}, para t, s, r ∈ I.

Para t_{0} ∈ I fixado, denotamos Φ_{t_{0}t}, t ∈ I, apenas por Φ_{t}. Daí fixado v_{0} ∈ ξ_{γ(t_{0})} temos que v(t) = Φ_{t}(v_{0}), t ∈ I, é a única solução de 𝔳 com condição inicial (t_{0}, v_{0}) (pensamos intuitivamente que os operadores Φ_{t} fazem o “transporte” de v_{0} ao longo de γ, e daí obtemos a solução v fazendo um “espalhamento” de v_{0} ao longo de γ através de Φ_{t}). Por exemplo, se ξ tem uma conexão então o “transporte” associado à EDO linear global \frac{Dv}{dt} = 0 é o transporte paralelo dessa conexão.

Queremos mostrar que a curva Φ: t ↦ Φ_{t} é de tipo 𝔐 quando 𝔳 for de tipo 𝔐′. Precisamos primeiro construir um contra-domínio adequado para Φ.

Sejam V, W espaços vetoriais. Denote por Af(V; W) o conjunto das transformações afins de V em W (escrevemos apenas Af(V) quando V = W). Temos que Af(V; W) é um espaço vetorial isomorfo a L(V; W) ⊕ W, onde o isomorfismo é dado por (T, c) ↦ T + c, T ∈ L(V; W), c ∈ V. Diremos que T é a parte linear de T + c. Observação: O conjunto das bijeções afins de V em V é um grupo, que é isomorfo a um produto semi-direto de GL(V) por (V, +). Mas observe que não estamos interessados na operação de composição em Af(V). Como espaços vetoriais temos Af(V; W) = L(V; W)⊕ W, onde a soma é direta.

Sejam ξ, η fibrados vetoriais sobre M. Denotamos por Af(ξ; η) o fibrado vetorial cuja fibra no ponto m ∈ M é Af(ξ_{m}; η_{m}). É fácil introduzir em Af(ξ; η) uma estrutura de fibrado vetorial, de modo que ele seja isomorfo à soma de Whitney L(ξ; η) ⊕ η. Se ξ = M × ξ_{0} é um fibrado vetorial trivial então escreveremos apenas Af(ξ_{0}; η), em vez de Af(M × ξ_{0}; η). Considerações análogas valem no caso η = M × η_{0}. Também escreveremos L(ξ_{0}; η) em vez de L(M × ξ_{0}; η) (considerações análogas no caso η = M × η_{0}). Observe que L(ξ; η) é um subfibrado vetorial de Af(ξ; η).

Seja então 𝔳 uma EDO linear global ao longo de uma curva γ: I → M. Fixe t_{0} ∈ I. Para cada t ∈ I denote por Φ_{t} o operador de transporte Φ_{t_{0}t}. Temos que Φ(t) = Φ_{t} é uma curva em Af(ξ_{γ(t_{0})}; ξ). Na realidade, Φ é uma seção de Af(ξ_{γ(t_{0})}; ξ) ao longo de γ. Observe que se 𝔳 é homogênea então a imagem de Φ está contida em L(ξ_{γ(t_{0})}; ξ).

Suponha que 𝔳 é de tipo 𝔐′, 𝔐 < C^{0}. Vamos mostrar que Φ é de tipo 𝔐. Começamos com o caso que 𝔳 é homogênea. Seja (v_{1}, …, v_{k}) uma base de 𝔳. Seja v: I → L(ℝ^{k}; ξ) a curva tal que para todo t ∈ I o operador linear v(t) leva a base canônica de ℝ^{k} na base (v_{1}(t), …, v_{k}(t)) de ξ_{γ(t)}. Temos que v é uma seção de L(ℝ^{k}; ξ) ao longo de γ, tal que v(t) é sempre um isomorfismo de ℝ^{k} em ξ_{γ(t)} (na realidade então, v é uma seção do fibrado principal de referenciais de ξ ao longo de γ).

Como cada v_{i} é de tipo 𝔐 segue que v é de tipo 𝔐. Como cada v_{i} está em 𝔳 temos que v_{i}(t) = Φ_{t}(v_{i}(t_{0})), t ∈ I. Daí v(t) = Φ_{t} ∘ v(t_{0}) e Φ(t) = v(t)v(t_{0})^{−1}, para todo t ∈ I. Segue que Φ é de tipo 𝔐.

Suponha agora que 𝔳 é uma EDO linear global qualquer de tipo 𝔐′. Seja 𝔳_{0} a componente homogênea de 𝔳. Seja Φ^{0}: I → L(ξ_{γ(t_{0})}; ξ) o operador de transporte associado a 𝔳_{0}. Seja v_{1} ∈ 𝔳 com v_{1}(t_{0}) = 0. Sabemos que Φ^{0} e v_{1} são de tipo 𝔐. Mas Φ(t) = Φ^{0}(t) + v_{1}(t), donde Φ é de tipo 𝔐. Isto completa a demonstração.

O objetivo agora é associar a cada EDO linear global homogênea 𝔳 num fibrado vetorial ξ, uma EDO linear global homogênea 𝔳^{∗} no fibrado vetorial ξ^{∗}, dual de ξ. Começamos estudando EDO’s lineares homogêneas ẋ(t) = A(t)x(t). Se V, W são espaços vetoriais (de dimensão finita) então dada uma transformação linear T: V → W denotamos por T^{∗}: W^{∗} → V^{∗} a transposta de T, i.e., T^{∗}(λ) = λ ∘ T, para λ ∈ W^{∗}.

Seja ẋ(t) = A(t)x(t) uma EDO linear homogênea, onde A: I → L(ℝ^{k}). Considere a curva −A^{∗} em L(ℝ^{k}^{∗}) dada por (−A^{∗})(t) = −A(t)^{∗}. É fácil ver que −A^{∗} ainda é Borelmensurável e que se A é de um certo tipo 𝔐′ então −A^{∗} também é de tipo 𝔐′ (a operação transposição de L(ℝ^{k}) em L(ℝ^{k}^{∗}) é linear). Temos então uma EDO linear homogênea ẋ(t) = −A(t)^{∗}x(t), à qual chamaremos o sistema adjunto de ẋ(t) = A(t)x(t).

Seja v: I → ℝ^{k} uma solução de ẋ(t) = A(t)x(t) e seja λ: I → ℝ^{k}^{∗} uma solução do sistema adjunto ẋ(t) = −A(t)^{∗}x(t). Então a curva t ↦ λ(t)v(t) é constante. De fato, λ(t)v(t) é absolutamente contínua e calculando sua derivada vê-se imediatamente que ela é zero quase sempre.

Reciprocamente, seja λ: I → ℝ^{k}^{∗} uma curva tal que λ(t)v(t) é constante para toda solução maximal v de ẋ(t) = A(t)x(t). Afirmamos que λ é solução do sistema adjunto. Seja (v_{1}, …, v_{k}) uma base do espaço vetorial das soluções maximais de ẋ(t) = A(t)x(t).

Começamos supondo que λ é absolutamente contínua. Seja X ⊂ I um conjunto de medida nula fora do qual λ, v_{1}, …, v_{k} são todos deriváveis e tal que para t ∈ I − X tenhamos v̇_{i}(t) = A(t)v_{i}(t). Como λ(t)v_{i}(t) é constante segue que λ̇(t)v_{i}(t) + λ(t)v̇_{i}(t) = 0 para t ∈ I − X. Daí, para t ∈ I − X, temos:

λ̇(t)v_{i}(t) = −λ(t)A(t)v_{i}(t) = [−A(t)^{∗}λ(t)]v_{i}(t).

Como (v_{1}(t), …, v_{k}(t)) é uma base de ℝ^{k} segue que λ̇(t) = −A(t)^{∗}λ(t), para t ∈ I − X.

Vamos agora mostrar que λ é absolutamente contínua. Para cada i = 1, …, k temos λ(t)v_{i}(t) = c_{i}, para todo t ∈ I e para algum c_{i} ∈ ℝ. Seja v: I → GL(ℝ^{k}) tal que para todo t ∈ I, v(t) é a matriz cujas colunas são os vetores v_{1}(t), …, v_{k}(t). Seja c = (c_{1}, …, c_{k}) ∈ ℝ^{k}^{∗}. Daí λ(t)v(t) = c, e portanto λ(t) = cv(t)^{−1} para todo t ∈ I. Como v é absolutamente contínua, segue o resultado.

Seja agora 𝔳 uma EDO linear global homogênea num fibrado vetorial ξ sobre M, ao longo de uma curva γ: I → M. Seja 𝔳^{∗} o conjunto das seções λ: I → ξ^{∗} de ξ^{∗} ao longo de γ tais que t ∈ I ↦ λ(t)v(t) ∈ ℝ é constante para todo v ∈ 𝔳. Dizemos que 𝔳^{∗} é o sistema adjunto de 𝔳. Devemos mostrar que 𝔳^{∗} é uma EDO linear global.

Começamos com a condição (P1). Seja λ: I → ξ^{∗} uma seção de ξ^{∗} ao longo de γ. Suponha que para todo t ∈ I existem um intervalo J ⊂ I contendo t no seu interior (relativo a I) e um elemento μ ∈ 𝔳^{∗} tal que λ_{|J} = μ_{|J}.

Devemos mostrar que λ ∈ 𝔳^{∗}, i.e., que para todo v ∈ 𝔳 a curva λ(t)v(t) é constante. Seja então v ∈ 𝔳. Sabemos que λ(t)v(t) é constante numa vizinhança de cada t ∈ I. Daí segue facilmente que λ(t)v(t) é constante, já que I é conexo (seja c ∈ ℝ um valor assumido por λ(t)v(t) em algum instante t ∈ I. Mostre que o conjunto dos pontos t ∈ I tais que λ(t)v(t) = c é aberto, fechado e não vazio em I). Logo λ ∈ 𝔳^{∗}.

Passamos à condição (P2). Seja J ⊂ I um intervalo e seja (U, α) uma trivialização de ξ tal que γ(J) ⊂ U. Seja ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) uma EDO linear tal que uma seção w: J → ξ de ξ ao longo de γ_{|J} é da forma v_{|J}, v ∈ 𝔳, se e somente se α^{2} ∘ w é solução de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t).

Como 𝔳 é homogênea sabemos que 0 ∈ 𝔳, donde 0 é solução de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) e daí B = 0 quase sempre. Podemos supor então que B = 0. Considere a EDO linear ẋ(t) = −A(t)^{∗}x(t). Seja (U, α^{∗}) a trivialização de ξ^{∗} tal que para todo m ∈ M, o operador linear α^{∗}^{2} de ξ_{m}^{∗} em ℝ^{k}^{∗} seja o transposto inverso do operador linear α^{2} de ξ_{m} em ℝ^{k}.

Afirmamos que uma seção μ: J → ξ^{∗} de ξ^{∗} ao longo de γ_{|J} é da forma λ_{|J}, λ ∈ 𝔳^{∗}, se e somente se α^{∗}^{2} ∘ μ for solução de ẋ(t) = −A(t)^{∗}x(t).

Suponha primeiro que μ = λ_{|J}, λ ∈ 𝔳^{∗}. Temos que as soluções de ẋ(t) = A(t)x(t) são precisamente as curvas α^{2} ∘ v_{|J}, com v ∈ 𝔳. Mas para v ∈ 𝔳 temos que λ(t)v(t) é constante, donde [α^{∗}^{2} ∘ μ(t)][α^{2} ∘ v(t)] é constante para t ∈ J. Segue que α^{∗}^{2} ∘ μ é solução de ẋ(t) = −A(t)^{∗}x(t).

Suponha agora que α^{∗}^{2} ∘μ é solução de ẋ(t) = −A(t)^{∗}x(t). Devemos encontrar λ ∈ 𝔳^{∗} tal que μ = λ_{|J}. Seja (v_{1}, …, v_{k}) uma base de 𝔳. Para cada i = 1, …, k existe c_{i} ∈ ℝ tal que μ(t)v_{i}(t) = c_{i}, para todo t ∈ J. Para cada t ∈ I existe um único funcional linear λ(t) ∈ ξ_{γ(t)}^{∗} tal que λ(t)v_{i}(t) = c_{i} para i = 1, …, k, já que (v_{1}(t), …, v_{k}(t)) é uma base de ξ_{γ(t)}. Isso nos define uma seção λ de ξ^{∗} ao longo de γ e é fácil ver que λ ∈ 𝔳^{∗}, já que todo elemento de 𝔳 se escreve como combinação linear dos v_{i}. Mas μ = λ_{|J}, o que completa a demonstração.

É importante notar que o sistema adjunto 𝔳^{∗} só foi definido quando 𝔳 é uma EDO linear global homogênea. É claro que 𝔳^{∗} é novamente homogênea. Daí podemos considerar o sistema bi-adjunto 𝔳^{∗∗}, i.e., o sistema adjunto de 𝔳^{∗}. Temos que 𝔳^{∗∗} é um conjunto de seções de ξ^{∗∗} ao longo de γ. Identificando o bidual ξ^{∗∗} com ξ, temos que 𝔳^{∗∗} = 𝔳. De fato, é claro que 𝔳 ⊂ 𝔳^{∗∗}. O resultado segue se observarmos que 𝔳 e 𝔳^{∗∗} são ambos espaços vetoriais de dimensão k.

É fácil ver também que se 𝔳 é de tipo 𝔐′ então 𝔳^{∗} também o é. De fato, apenas observe que se ẋ(t) = A(t)x(t) é de tipo 𝔐′ então ẋ(t) = −A(t)^{∗}x(t) também o é.

Vamos ver um exemplo. Suponha que ξ tem uma conexão. Temos então a EDO linear global homogênea \frac{Dv}{dt} = 0, ao longo de uma certa curva absolutamente contínua γ: I → M fixada.

Observação: recorde que quando dizemos que \frac{Dv}{dt} = 0 é uma EDO linear global, estamos na realidade nos referindo ao conjunto 𝔳 das seções v de ξ ao longo de γ tais que \frac{Dv}{dt} = 0 (ou, mais precisamente, às seções v que são absolutamente contínuas e tais que \frac{Dv}{dt} = 0 quase sempre).

Recorde que a conexão em ξ induz canonicamente uma conexão em ξ^{∗} (se ∇ é a conexão em ξ e se X, v e λ são seções C^{∞} de T M, ξ e ξ^{∗} respectivamente então a conexão ∇^{∗} em ξ^{∗} é dada por (∇_{X}^{∗}λ)(v) = X(λ(v)) − λ(∇_{X}v)).

Afirmamos que o sistema adjunto a \frac{Dv}{dt} = 0 é \frac{Dλ}{dt} = 0 (onde \frac{Dλ}{dt} é a derivada covariante na conexão induzida em ξ^{∗}). De fato, denote por 𝔳 a EDO linear global \frac{Dv}{dt} = 0 e por 𝔩 a EDO linear global \frac{Dλ}{dt} = 0. Se λ ∈ 𝔩 e v ∈ 𝔳 então λ(t)v(t) é uma curva absolutamente contínua em ℝ cuja derivada covariante é \frac{Dλ}{dt}(t)v(t) + λ(t)\frac{Dv}{dt} (t) = 0 quase sempre. Daí λ(t)v(t) é constante e portanto λ ∈ 𝔳^{∗}.

Daí 𝔩 ⊂ 𝔳^{∗}. Mas 𝔩 é uma EDO linear global homogênea no fibrado vetorial ξ^{∗} (note que ξ^{∗} é simplesmente um fibrado vetorial com conexão e daí \frac{Dλ}{dt} = 0 recai no primeiro exemplo de EDO linear global que consideramos). Portanto 𝔩 e 𝔳^{∗} são ambos espaços vetoriais de dimensão k, donde segue que 𝔳^{∗} = 𝔩.

Seja 𝔳 uma EDO linear global homogênea ao longo de uma curva γ: I → M. Vamos relacionar o operador de transporte de 𝔳 com o de 𝔳^{∗}. Sejam t, s ∈ I. Seja Φ_{ts} o operador de transporte associado a 𝔳 e seja Φ̄_{ts} o operador de transporte associado a 𝔳^{∗}. Afirmamos que Φ̄_{ts} = Φ_{ts}^{∗}^{−1}, i.e., Φ̄_{ts} é o transposto inverso de Φ_{ts}.

De fato, fixe t_{0} ∈ I. Denote Φ_{t_{0}t} por Φ_{t} e Φ̄_{t_{0}t} por Φ̄_{t}. Escolha λ_{0} ∈ ξ_{γ(t_{0})}^{∗}. Basta mostrar que a curva λ dada por λ(t) = Φ_{t}^{∗}^{−1}(λ_{0}) é solução de 𝔳^{∗}. Isso significa que λ(t)v(t) é constante para todo v ∈ 𝔳. Seja então v ∈ 𝔳. Escreva v_{0} = v(t_{0}) e daí v(t) = Φ_{t}(v_{0}), donde para cada t ∈ I:

λ(t)v(t) = Φ_{t}^{∗}^{−1}(λ_{0})Φ_{t}(v_{0}) = λ_{0} ∘ Φ_{t}^{−1} ∘ Φ_{t}(v_{0}) = λ_{0}(v_{0}),

o que completa a demonstração.

Finalmente, vamos considerar agora o problema de “resolver” EDO’s lineares globais. Quando é dada uma EDO linear global 𝔳, temos que 𝔳 é o conjunto das soluções maximais de 𝔳, de modo que não há nada para “resolver”. Então, em termos teóricos, uma EDO linear global é dada pelo seu conjunto de soluções, mas na prática o conjunto 𝔳 é dado por uma propriedade que caracteriza os seus elementos e daí (como em qualquer teoria de EDO) existe o problema de calcular efetivamente as soluções.

Infelizmente não existe um método geral para se resolver uma EDO linear global. De fato, em geral não é possível resolver uma EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t). Considere uma EDO linear homogênea ẋ(t) = A(t)x(t). Em muitos casos existem métodos para achar as soluções de ẋ(t) = A(t)x(t) (por exemplo, se A é constante então é possível obter efetivamente uma fórmula para as soluções em termos dos coeficientes, usando exponenciais, funções trigonométricas e as quatro operações aritméticas). Não temos nenhum interesse aqui em desenvolver técnicas para resolver EDO’s lineares homogêneas.

Por outro lado, supondo as soluções de ẋ(t) = A(t)x(t) conhecidas então existe um algorítmo efetivo para calcular as soluções da EDO linear não-homogênea ẋ(t) = A(t)x(t)+ B(t) (“calcular” aqui significa escrever as soluções na forma de integrais que envolvem as soluções da homogênea e B. Também, “conhecer” as soluções da homogênea significa conhecer uma base de soluções). Esse algorítmo é o método da variação das constantes de Lagrange. Abaixo explicamos esse método generalizado para EDO’s lineares globais. Precisamos primeiro de uma definição.

Seja 𝔳 uma EDO linear global ao longo de uma curva γ: I → M. Seja 𝔳_{0} a sua componente homogênea. Seja v ∈ 𝔳. Para cada t ∈ I, seja v̂(t): I → ξ a única solução de 𝔳_{0} com condição inicial (t, v(t)). Daí v̂: I → 𝔳_{0} é uma curva no espaço vetorial de dimensão finita 𝔳_{0}. Logo a seguir mostraremos que essa curva é absolutamente contínua. Daí podemos considerar sua derivada ˙ v̂: I → 𝔳_{0} (definida em quase todo ponto de I). Seja B: I → ξ definida por B(t) = [˙v̂(t)](t) (observe que para quase todo t ∈ I temos que ˙ v̂(t) é um elemento bem definido de 𝔳_{0}, o qual podemos calcular num ponto de I). Temos que B é uma seção de ξ ao longo de γ, a qual chamaremos a componente não-homogênea de 𝔳 (verificaremos a seguir que B não depende da escolha de v ∈ 𝔳, i.e., B está associada apenas a 𝔳).

Seja v ∈ 𝔳. Qualquer outro elemento de 𝔳 é da forma v + v_{0}, para algum v_{0} ∈ 𝔳_{0}. Daí para cada t ∈ I temos que v̂(t) é uma solução de 𝔳_{0} com condição inicial (t, v(t)), donde v̂(t) + v_{0} é uma solução de 𝔳_{0} com condição inicial (t, v(t) + v_{0}(t)). Segue que { \atop v + v_{0}}(t) = v̂(t) + v_{0}, i.e., { \atop v + v_{0}} e v̂ diferem por uma constante e portanto suas derivadas coincidem.

Vamos mostrar agora que v̂ é absolutamente contínua. Observe que também obteremos uma descrição mais simples da componente não-homogênea B. Suponha que 𝔳 é de tipo 𝔐′, 𝔐 < C^{0}. Seja v ∈ 𝔳.

Seja (v_{1}, …, v_{k}) uma base de 𝔳_{0}. Para cada t ∈ I temos que (v_{1}(t), …, v_{k}(t)) é uma base de ξ_{γ(t)} e v(t) ∈ ξ_{γ(t)}, donde podemos escrever v(t) = ∑_{i=1}^{k} a_{i}(t)v_{i}(t). Como as seções v, v_{1}, …, v_{k} são todas de tipo 𝔐, é fácil ver que as funções escalares a_{1}, …, a_{k} são de tipo 𝔐 também.

Seja t ∈ I. Obviamente ∑_{i=1}^{k} a_{i}(t)v_{i} é uma solução de 𝔳_{0} com condição inicial (t, v(t)), donde v̂(t) = ∑_{i=1}^{k} a_{i}(t)v_{i}. Isso mostra que v̂ é de tipo 𝔐 < C^{0} (observe que nessa somatória os campos v_{i} são constantes, i.e., as funções a_{i} são as coordenadas de v̂ na base (v_{1}, …, v_{k})). Segue que B(t) = ∑_{i=1}^{k} ȧ_{i}(t)v_{i}(t), t ∈ I. Em particular a componente não-homogênea B é de tipo 𝔐′.

Por exemplo, se 𝔳 é homogênea então é fácil ver que B = 0. Suponha que ξ tem uma conexão, γ é de tipo 𝔐 e z é uma seção de ξ ao longo de γ de tipo 𝔐′. Considere a EDO linear global \frac{Dv}{dt} = z. Já vimos que sua componente homogênea é \frac{Dv}{dt} = 0. Seja (v_{1}, …, v_{k}) uma base de \frac{Dv}{dt} = 0, i.e., v_{1}, …, v_{k} são seções paralelas e linearmente independentes. Seja v uma solução de \frac{Dv}{dt} = z. Escreva v(t) = ∑_{i=1}^{k} a_{i}(t)v_{i}(t). Aplicando \frac{D}{dt} dos dois lados dessa igualdade obtemos que z(t) = ∑_{i=1}^{k} ȧ_{i}(t)v_{i}(t) quase sempre, donde B = z quase sempre.

Seja J ⊂ I um subintervalo de I e seja (U, α) uma trivialização de ξ com γ(J) ⊂ U. Pela condição (P2), existe um EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) cujas soluções são as curvas α^{2} ∘ v_{|J}, com v ∈ 𝔳 (recorde que A e B são univocamente determinadas, a menos de alterações num conjunto de medida nula).

Seja 𝔳_{0} a componente homogênea de 𝔳 e seja (v_{1}, …, v_{k}) uma base de 𝔳_{0}. Seja v ∈ 𝔳 e escreva v(t) = ∑_{i=1}^{k} a_{i}(t)v_{i}(t). Escreva ṽ = α^{2} ∘v_{|J}, ṽ_{i} = α^{2} ∘v_{i}_{|J}, i = 1, …, k. Temos que ṽ é solução de ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) e que ṽ_{i} é solução de ẋ(t) = A(t)x(t), i = 1, …, k. Também ṽ(t) = ∑_{i=1}^{k} a_{i}(t)ṽ_{i}(t), para t ∈ J. Derivando essa igualdade dos dois lados e substituindo os valores de ˙ ṽ(t) e ˙ ṽ_{i}(t) obtemos:

A(t)ṽ(t) + B(t) = ∑_{i=1}^{k} ȧ_{i}(t)ṽ_{i}(t) + a_{i}(t)A(t)ṽ_{i}(t),

quase sempre. Observando que ∑_{i=1}^{k} a_{i}(t)ṽ_{i}(t) = ṽ(t) segue que B(t) = ∑_{i=1}^{k} ȧ_{i}(t)ṽ_{i}(t) quase sempre.

O que mostramos acima diz que B = α^{2} ∘ B_{|J} quase sempre. Isso significa que usando trivializações locais a componente não-homogênea de 𝔳 é simplesmente o coeficiente B da EDO linear que aparece na condição (P2).

Podemos agora mostrar o método de variação das constantes de Lagrange. Seja 𝔳 uma EDO linear global ao longo de uma curva γ: I → M. Seja 𝔳_{0} sua componente homogênea e seja B sua componente não-homogênea. Fixe t_{0} ∈ I e considere o operador de transporte Φ_{t_{0}t}, associado a 𝔳_{0}. Escreva Φ_{t} = Φ_{t_{0}t} (recorde que Φ: t ↦ Φ_{t} é uma seção absolutamente contínua de L(ξ_{γ(t_{0})}; ξ) ao longo de γ). Seja v ∈ 𝔳.

Seja v̂: I → 𝔳_{0} tal que para cada t ∈ I, v̂(t) é a única solução de 𝔳_{0} com condição inicial (t, v(t)). Temos que B(t) = [˙v̂(t)](t). Fixe t ∈ I e considere o operador λ_{t}: 𝔳_{0} → ξ_{γ(t)} de evaluação no ponto t, i.e., λ_{t}(w) = w(t). Então λ_{t} é (um isomorfismo) linear. Temos que B(t) = λ_{t}( \frac{d}{ds} v̂(s)|_{s=t}). Como λ_{t} é linear segue que \frac{d}{ds} e λ_{t} comutam, i.e., B(t) = \frac{d}{ds}[v̂(s)](t)|_{s=t}.

Mas para s, t ∈ I temos que [v̂(s)](t) = Φ_{t} ∘Φ_{s}^{−1}v(s). Como Φ_{t} é linear (e não depende de s) segue que B(t) = Φ_{t}( \frac{d}{ds}Φ_{s}^{−1}v(s)|_{s=t}). Escrevemos apenas B(t) = Φ_{t} \frac{d}{dt}[Φ_{t}^{−1}v(t)] (na realidade, as últimas igualdades que escrevemos são satisfeitas apenas quase sempre). Podemos então escrever v em função de B e obter:

v(t) = Φ_{t} ∘ Φ_{t_{1}}^{−1}v(t_{1}) + Φ_{t} ∫_{t_{1}}^{t} Φ_{s}^{−1}B(s)ds, t ∈ I,

onde t_{1} ∈ I é um ponto qualquer fixado (que pode ser diferente de t_{0}). Observe que o integrando acima é uma curva no espaço vetorial ξ_{γ(t_{0})}. Observe também que Φ_{t} pode ser colocado do lado de dentro do sinal de integral, já que Φ_{t} é linear (e não depende de s).

Observe que na dedução da fórmula acima não fizemos nenhuma hipótese sobre v ∈ 𝔳. A partir dessa fórmula calculamos então a solução v ∈ 𝔳 com condição inicial (t_{1}, v_{1}) dada (observe que o primeiro termo da soma é simplesmente uma solução da componente homogênea 𝔳_{0}, de modo que a integral nos dá aquilo que normalmente é chamado uma solução particular da não-homogênea).

Para aplicar a fórmula precisamos conhecer a componente não-homogênea B e o operador de transporte Φ da componente homogênea 𝔳_{0}. Temos que B é sempre conhecido, já que usando trivializações locais vemos que B coincide com o coeficiente B da EDO linear que aparece na condição (P2). Quanto a Φ, seu conhecimento corresponde à resolução da componente homogênea 𝔳_{0}, e para isso não existe um algorítmo, como foi discutido anteriormente. De qualquer modo, em algumas aplicações teóricas, a fórmula é interessante mesmo que Φ seja desconhecido.

Isso completa o nosso estudo das EDO’s lineares globais. Estamos agora em condições de construir as cartas de Bismut. Começamos com algumas definições.

Seja ξ um fibrado vetorial sobre M. Um referencial local dependente do tempo em ξ é uma seqüência X = (X_{1}, …, X_{k}) de funções X_{i}: U → ξ de classe C^{∞} definidas num aberto U ⊂ ℝ × M, tais que π ∘ X_{i} = π_{2}_{|U} e tais que para cada (t, m) ∈ U temos que (X_{1}(t, m), …, X_{k}(t, m)) é uma base de ξ_{m} (π é a projeção do fibrado ξ e π_{2} é a segunda projeção do produto ℝ × M).

Um referencial local dependente do tempo na variedade M é simplesmente um referencial local dependente do tempo no fibrado tangente T M. Um co-referencial local dependente do tempo na variedade M é simplesmente um referencial local dependente do tempo no fibrado co-tangente T M^{∗}.

Sejam I ⊂ ℝ um intervalo fechado, t_{0} ∈ I, M uma variedade, X um referencial local dependente do tempo em M, definido num aberto U ⊂ ℝ × M, φ: V → Ṽ uma carta em M e 𝔐 < C^{0} (denotaremos a dimensão de M por n). Definimos a carta de Bismut associada a X, φ e t_{0} como sendo a função definida num aberto de 𝔐(I × M) (que será especificado abaixo) a valores em ℝ^{n} ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{n}) que a cada curva γ: I → M associa o par (φ(γ(t_{0})), h), onde h = (h_{1}, …, h_{n}): I → ℝ^{n} é tal que γ̇(t) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}(t)X_{i}(t, γ(t)), para quase todo t ∈ I (só precisamos dizer “quase todo” no caso 𝔐 = H_{p}^{1}).

Denotamos a carta de Bismut definida acima por 𝔅 ou 𝔅_{X} ou 𝔅_{X}(φ) ou 𝔅_{X}(φ, t_{0}), dependendo da necessidade de fazer distinção entre outras cartas de Bismut.

Temos que 𝔅 possui duas coordenadas, 𝔅^{1} e 𝔅^{2}. Temos que 𝔅^{1} é simplesmente a composta de φ com a função de evaluação no ponto t_{0} (vide observação 7 da seção anterior). O seu domínio é simplesmente o aberto em 𝔐(I × M) formado pelas curvas γ tais que γ(t_{0}) ∈ V. É claro que 𝔅^{1} é C^{∞}.

O domínio de 𝔅^{2} é o conjunto das curvas γ ∈ 𝔐(I × M) tais que (t, γ(t)) ∈ U para todo t ∈ I, i.e., as curvas que tem gráfico contido em U. Assim o domínio de 𝔅^{2} é 𝔐(I ×M; U ∩(I ×M)), que é aberto em 𝔐(I ×M). O domínio de 𝔅 é então simplesmente a interseção do domínio de 𝔅^{1} com o domínio de 𝔅^{2}.

É claro que no momento o nome “carta de Bismut” é inapropriado, já que ainda não sabemos que temos de fato uma carta em 𝔐(I × M). Isso será mostrado logo a seguir.

Já sabemos que o domínio de 𝔅 é aberto. É também bem simples verificar que 𝔅 é C^{∞}. Resta ver que 𝔅^{2} é C^{∞}. Seja θ a função definida no aberto

{(t, v) ∈ ℝ × T M : (t, π(v)) ∈ U }

em ℝ×T M tomando valores em ℝ^{n} que a cada par (t, v), π(v) = m, associa as coordenadas de v na base X_{1}(t, m), …, X_{n}(t, m). É claro que θ é C^{∞}.

Podemos também definir uma função de U × ℝ^{n} em T M associando a cada trinca (t, m, x) ∈ U × ℝ^{n} o vetor v ∈ T_{m}M cujas coordenadas na base X_{1}(t, m), …, X_{n}(t, m) são x = (x_{1}, …, x_{n}). Denotaremos essa função por θ^{−1}, embora ela não seja exatamente a inversa de θ. É claro que θ^{−1} também é C^{∞}.

Podemos identificar θ com um morfismo geral de classe C^{∞} dado por:

(t, v) ↦ (t, θ(t, v)),

definido (num aberto do) fibrado I × T M (sobre I) a valores no fibrado I × ℝ^{n} (sobre I). Observe que θ é na realidade um morfismo linearmente adaptado (onde I × ℝ^{n} é visto como um fibrado misto sobre I com fibrado das bases I × {0}). Segue que (θ∘) é C^{∞} e é claro que 𝔅^{2} = (θ∘) ∘ 𝔡, donde 𝔅^{2} também é C^{∞} (recorde que 𝔡(γ) = γ̇ é o operador derivação, discutido no início da seção).

Podemos então calcular a diferencial de 𝔅. Em primeiro lugar, a diferencial de 𝔅^{1} é simplesmente d𝔅^{1}(γ)v = dφ(γ(t_{0}))v(t_{0}) (vide comentários sobre a observação 7 após o teorema 18 na seção anterior). Vamos calcular a diferencial de 𝔅^{2}.

Quando fizemos o exemplo do cálculo de variações (anteriormente, nesta seção) mostramos duas técnicas para calcular a diferencial de 𝔏. Vamos agora usar a segunda técnica (a técnica baseada no método do esquartejamento da base) para calcular a diferencial de 𝔅^{2}. Em primeiro lugar, o operador 𝔅^{2} pode ser definido (num aberto de) 𝔐(J × M) para qualquer intervalo fechado J ⊂ I. Em segundo lugar, temos que 𝔅^{2} comuta com restrições do intervalo I (i.e., 𝔅^{2}(γ_{|J}) = 𝔅^{2}(γ)_{|J}), donde o mesmo ocorre com sua diferencial, i.e., d𝔅^{2}(γ_{|J})(v_{|J}) = (d𝔅^{2}(γ)v)_{|J}. Daí basta calcular a diferencial de 𝔅^{2} em curvas cuja imagem está dentro do domínio de uma carta de M (recorde que uma carta em M induz uma carta em T M e uma carta em 𝔐(J × M)).

Em coordenadas, temos que 𝔅^{2} associa a cada curva γ a curva t ↦ θ(t, γ(t), γ̇(t)) (onde identificamos θ com a sua representação local em coordenadas, θ(t, q, q̇)).

Daí a diferencial de 𝔅^{2} num ponto γ (se a imagem de γ estiver contida no domínio de uma carta de M) é dada em coordenadas por v ↦ ṽ, onde

ṽ(t) = \frac{∂θ}{∂q} (t, γ(t), γ̇(t))v(t) + \frac{∂θ}{∂q̇} (t, γ(t), γ̇(t))v̇(t).

A fórmula acima para d𝔅^{2}(γ) pode ser obtida simplesmente usando a regra da cadeia e o teorema 13 da seção 1.0.

Como θ(t, q, q̇) é linear em q̇, temos na realidade:

ṽ(t) = \frac{∂θ}{∂q} (t, γ(t), γ̇(t))v(t) + θ(t, γ(t), v̇(t)).

Assim, a diferencial de 𝔅^{2} numa curva γ qualquer (de seu domínio) aplicada num campo v ∈ T_{γ}𝔐(I × M) nos dá um campo ṽ: I → ℝ^{n} que é dado em coordenadas pela fórmula acima.

Fixado ṽ ∈ 𝔐′(I × ℝ^{n}) e fixada γ no domínio de 𝔅^{2} podemos considerar o conjunto 𝔳 dos campos v ∈ T_{γ}𝔐(I × M) tais que d𝔅^{2}(γ)v = ṽ. Queremos mostrar que 𝔳 é uma EDO linear global em T M ao longo de γ. Usamos o lema 17.

Seja J o conjunto dos subintervalos fechados de I e seja U o conjunto das trivializações de T M provenientes de cartas de M, i.e., trivializações da forma (W, (π, dψ)), onde ψ: W → W̃ é uma carta de M. Para cada intervalo fechado J ⊂ I, seja 𝔳_{J} o conjunto dos campos v ∈ T_{γ_{|J}} 𝔐(J × M) tais que d𝔅^{2}(γ_{|J})v = ṽ_{|J}. Deixamos a cargo do leitor a verificação das condições (B1) e (B2) do lema 17 (basta usar o fato que a diferencial de 𝔅^{2} comuta com restrições de I, não é importante a fórmula específica para d𝔅^{2}). Quanto a (B3), observe que se J ⊂ I é um intervalo fechado, e se γ(J) está contido no domínio de uma carta de M então a condição d𝔅^{2}(γ_{|J})v = ṽ_{|J} é dada em coordenadas por:

v̇(t) = −θ^{−1}(t, γ(t)) ∘ \frac{∂θ}{∂q} (t, γ(t), γ̇(t))v(t) + θ^{−1}(t, γ(t), ṽ(t)),

onde θ^{−1}(t, γ(t)) é a transformação linear θ^{−1}(t, γ(t), ·) (estamos também identificando θ^{−1} com sua representação local em coordenadas θ^{−1}(t, q, q̇)).

Segue então do lema 17 que 𝔳 = 𝔳_{I} é uma EDO linear global de tipo 𝔐′ (e que 𝔳_{J} = { v_{|J} : v ∈ 𝔳 } para todo subintervalo fechado J ⊂ I).

Seja h ∈ 𝔐′(I × ℝ^{n}). Considere a EDO:

ẋ(t) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}(t)X_{i}(t, x(t)).

É fácil verificar que f(t, x) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}(t)X_{i}(t, x) satisfaz as condições de Carathéodory. Deixamos a cargo do leitor a verificação de que as soluções dessa EDO são curvas em M de tipo 𝔐 (isso também seguirá do corolário 2 do lema 20, mas é mais fácil verificar diretamente). Temos que γ: I → M é solução dessa EDO se e somente se 𝔅^{2}(γ) = h.

Observação: O domínio de f é U ∩ (I × M). Isso é um aberto em I × M mas não é o produto cartesiano de um intervalo por uma variedade (que é o domínio que consideramos até agora para funções que satisfazem as condições de Carathéodory). Podemos definir que uma função f: U ⊂ I × M → T M definida num aberto U ⊂ I × M (relativo a I × M) satisfaz as condições de Carathéodory quando (π ∘ f = π_{2} e) para todo intervalo J ⊂ ℝ e todo aberto V ⊂ M tais que J × V ⊂ U tivermos que f_{|J×V} satisfaz as condições de Carathéodory (recorde que as condições de Carathéodory são locais). A teoria desenvolvida até o momento se generaliza diretamente para esse caso (mais precisamente, generalizamse as definições de solução e de solução maximal, e os teoremas 25 e 26. No teorema 25, a hipótese passa a ser (t_{0}, x_{0}) ∈ U. No teorema 26, o novo enunciado é o seguinte: se γ: J → M é uma solução maximal (note que J ⊂ I) então se t ∈ ℝ é uma extremidade de J que está no interior de I ou que está em I − J então s ∈ J ↦ (s, γ(s)) ∈ U não tem valor de aderência em t, considerada com contra-domínio em U. Isso equivale a dizer que γ: J → M não tem valor de aderência x ∈ M (em t) tal que (t, x) ∈ U).

Obtemos então que a imagem de 𝔅 é exatamente o conjunto dos pares (x_{0}, h) ∈ Ṽ × 𝔐′(I × ℝ^{n}) tais que a solução maximal da EDO ẋ(t) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}(t)X_{i}(t, x(t)) com condição inicial (t_{0}, φ^{−1}(x_{0})) está definida em todo o intervalo I.

É bem fácil verificar agora que 𝔅 é uma carta. Temos o seguinte teorema.

Teorema 29. Sejam X um referencial local dependente do tempo em M, φ uma carta em M e t_{0} ∈ I. Então o operador 𝔅 associado é um sistema de coordenadas em 𝔐(I × M), para 𝔐 < C^{0}.

Demonstração. Já sabemos que o domínio de 𝔅 é aberto e que 𝔅 é C^{∞}. Temos que a diferencial de 𝔅 em qualquer ponto γ é uma bijeção de T_{γ}𝔐(I × M) em ℝ^{n} ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{n}). De fato, isso segue diretamente dos comentários que precedem este teorema e do teorema 28.

Pelo teorema da função inversa segue que 𝔅 é um difeomorfismo local sobre um aberto em ℝ^{n}⊕𝔐′(I×ℝ^{n}). Resta ver que 𝔅 é injetora. Simplesmente observe que se 𝔅(γ) = 𝔅(μ) então γ e μ são soluções da mesma EDO com a mesma condição inicial, donde γ = μ.

Assim como um referencial local dependente do tempo induz uma carta numa variedade de Banach, ele também induz uma trivialização num fibrado vetorial de Banach. O motivo, no entanto, é muito mais simples e não envolve EDO’s. Temos o seguinte teorema.

Teorema 30. Seja ξ um fibrado vetorial sobre M e seja X = (X_{1}, …, X_{k}) um referencial local dependente do tempo em ξ. Então temos associada a X uma trivialização do fibrado vetorial de Banach (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ).

Demonstração. Recorde que I ×ξ é um fibrado misto sobre I com fibrado das bases I ×M, donde pelo teorema 23, (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I ×ξ) é um fibrado vetorial de Banach sobre 𝔐_{2}(I ×M) com projeção (π∘), onde π: ξ → M é a projeção de ξ.

Associado ao referencial local dependente do tempo X temos um difeomorfismo de classe C^{∞}

θ: Û ⊂ I × ξ → (U ∩ (I × M)) × ℝ^{k} ⊂ I × (M × ℝ^{k}),

onde Û = { (t, v) ∈ I × ξ : (t, π(v)) ∈ U }, U ⊂ ℝ × M é o domínio dos X_{i} e k é a dimensão das fibras de ξ. Definimos θ fazendo θ(t, v) = (t, π(v), ṽ) onde ṽ ∈ ℝ^{k} são as coordenadas de v na base (X_{1}(t, m), …, X_{k}(t, m)), m = π(v).

Temos que θ é um morfismo linearmente adaptado de classe C^{∞} definido na faixa aberta Û do fibrado misto I × ξ tomando valores no fibrado misto I × (M × ℝ^{k}) (cujo fibrado das bases é I × M). A imagem de θ é a faixa aberta (U ∩ (I × M)) × ℝ^{k} em I ×(M ×ℝ^{k}). Como o morfismo associado a θ é a inclusão de U ∩(I ×M) em I ×M, segue que (θ∘) é um morfismo de fibrados vetoriais de Banach de classe C^{∞} definido na restrição de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I×ξ) a 𝔐_{2}(I×M; U ∩(I×M)) e tomando valores em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I×(M ×ℝ^{k})) (vide observações que seguem o teorema 23 na seção anterior).

Do mesmo modo, vemos que (θ^{−1}∘) também é um morfismo de fibrados vetoriais de Banach de classe C^{∞}, donde (θ∘) é na realidade um isomorfismo de fibrados vetoriais de Banach de classe C^{∞}, sobre a restrição de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I×(M×ℝ^{k})) a 𝔐_{2}(I×M; U∩(I×M)).

Mas (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × (M × ℝ^{k})) ≅ 𝔐_{2}(I × M) × 𝔐_{1}(I × ℝ^{k}) é um fibrado vetorial de Banach trivial (vide observações que seguem o teorema 23 na seção anterior), donde (θ∘) é uma trivialização de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ).

Ressaltamos que a trivialização definida na demonstração acima é dada por v ↦ (γ, v̄), onde γ = π ∘ v e v̄(t) ∈ ℝ^{k} são as coordenadas de v(t) na base (X_{1}(t, γ(t)), …, X_{k}(t, γ(t))) de ξ_{γ(t)}. Ela é definida sobre os elementos v ∈ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(I × ξ) tais que γ = π ∘ v tem gráfico contido em U, i.e., (t, γ(t)) ∈ U para todo t ∈ I.

Observamos que existe uma situação relacionada aos teoremas 29 e 30 que pode causar confusão. Seja X um referencial local dependente do tempo em T M (onde os X_{i} estão definidos num aberto U ⊂ ℝ × M). Seja t_{0} ∈ I e seja φ uma carta em M. O teorema 29 nos dá então uma carta de Bismut 𝔅 em 𝔐(I × M). Temos que uma carta 𝔅 em 𝔐(I × M) induz uma trivialização no fibrado tangente T 𝔐(I × M) ≅ 𝔐(I × T M), a saber v ↦ (γ, d𝔅(γ)v), γ = π ∘ v. Por outro lado, o teorema 30 também nos fornece uma trivialização de 𝔐(I × T M) associada a X. Essas duas trivializações de 𝔐(I × T M) são bastante diferentes.

Devemos agora mostrar que referenciais locais dependentes do tempo existem em abundância. Isso será visto no teorema seguinte. Precisaremos do fato que um fibrado vetorial sobre um intervalo é trivial (vide observação que precede o teorema 7 na seção 1.0).

Teorema 31. Seja ξ um fibrado vetorial sobre M. Seja γ: I → M uma curva contínua definida num intervalo fechado I ⊂ ℝ. Então existe um referencial local dependente do tempo X = (X_{1}, …, X_{k}) em ξ onde os X_{i} estão definidos num aberto U ⊂ ℝ × M que contém o gráfico de γ, i.e., (t, γ(t)) ∈ U para todo t ∈ I.

Demonstração. Escreva I = [a, b]. Considere um intervalo fechado J = [a − 1, b + 1] que contém I no seu interior. Estenda γ continuamente para J (por exemplo, declarando-a constante em [a − 1, a] e em [b, b + 1]). Pelo teorema 16 da seção 1.1 existe um VBN σ em J × M contendo o gráfico de γ. Seja μ a seção nula de σ. Daí μ: J → M é uma curva de classe C^{∞} com gráfico contido em σ.

Pelo teorema 22 da seção 1.1 existe um VBN linearmente adaptado λ em J × ξ que se projeta sobre σ. Temos que o pull-back μ^{∗}ξ é um fibrado vetorial sobre J, que é portanto trivial. Temos então um referencial global (Y_{1}, …, Y_{k}) em μ^{∗}ξ, i.e., cada Y_{i} é uma seção de classe C^{∞} de ξ ao longo de μ e para cada t ∈ J temos que (Y_{1}(t), …, Y_{k}(t)) é uma base de ξ_{μ(t)}.

Seja η o subfibrado canônico de λ. Observe que η é exatamente μ^{∗}ξ, donde na realidade (Y_{1}, …, Y_{k}) é um referencial global em η.

Definimos então o referencial local dependente do tempo X em ξ sobre o aberto ((a − 1, b + 1) × M) ∩ σ em ℝ × M. Observe que λ é um aberto em J × ξ que possui uma estrutura de fibrado vetorial isomorfa à soma de Whitney σ ⊕ η. Para cada (t, m) ∈ σ temos que λ_{t} é um espaço vetorial isomorfo à soma direta σ_{t}⊕η_{t} e que ξ_{m} ⊂ λ_{t} corresponde (através desse isomorfismo) ao subespaço afim {m} × η_{t} (na realidade, seria mais preciso escrever {t} × ξ_{m} ⊂ λ_{t}). Defina então o vetor X_{i}(t, m) ∈ ξ_{m} fazendo X_{i}(t, m) = (m, Y_{i}(t)). É fácil ver que obtemos o referencial local dependente do tempo desejado em ξ (para ver que X_{i} é C^{∞} note que a função (t, m) ∈ σ ↦ (t, X_{i}(t, m)) ∈ J × ξ toma valores no aberto λ ⊂ J × ξ. Use o fato que λ ≅ σ ⊕ η).

Corolário. As cartas de Bismut na variedade 𝔐(I × M) formam um atlas.

Demonstração. Segue diretamente do teorema para ξ = T M.

Vamos agora generalizar as condições de Carathéodory. No caso de EDO’s lineares já definimos o que significa “ser de tipo 𝔐”, de modo que uma EDO linear de tipo 𝔐′ tem soluções de tipo 𝔐. Vamos agora fazer o mesmo para uma EDO mais geral ẋ(t) = f(t, x(t)).

Seja f: I × U → ℝ^{m} uma função, onde I ⊂ ℝ é um intervalo e U ⊂ ℝ^{n} é um aberto. Dizemos que f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo L^{p} quando f é Borelmensurável, para todo t ∈ I, f(t, ·): U → ℝ^{m} é uma função C^{1} e para todo intervalo fechado J ⊂ I e para todo compacto K ⊂ U existe uma função g: J → ℝ, g ∈ L^{p}(J × ℝ), com ∥f(t, x)∥ ≤ g(t) e ∥\frac{∂f}{∂x}(t, x)∥ ≤ g(t) para todo t ∈ J e todo x ∈ K.

Na definição acima, a última condição diz que f e \frac{∂f}{∂x} são majoradas nas partes compactas por uma função de tipo L^{p} que não depende de x. É claro que majorabilidade nas partes compactas é o mesmo que majorabilidade local, i.e., a última condição da definição pode ser trocada pela seguinte: para todo t_{0} ∈ I e para todo x_{0} ∈ U existe um intervalo fechado J ⊂ I contendo t_{0} no seu interior (relativo a I), existe um compacto K ⊂ U contendo x_{0} no seu interior e existe uma função g ∈ L^{p}(J × ℝ) tal que ∥f(t, x)∥ ≤ g(t) e ∥\frac{∂f}{∂x}(t, x)∥ ≤ g(t) para todo t ∈ J e todo x ∈ K. Deixamos a cargo do leitor a verificação de que essa nova condição é equivalente à anterior.

Observe que f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo L^{1} se e somente se f satisfaz as condições de Carathéodory (da nossa definição original).

Dizemos que f: I × U → ℝ^{m} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo C^{0} quando f é contínua, para todo t ∈ I, f(t, ·): U → ℝ^{m} é uma função C^{1} e \frac{∂f}{∂x}: I × U → ℝ^{m} é uma função localmente limitada.

A hipótese de que \frac{∂f}{∂x} é localmente limitada é obviamente equivalente à hipótese de que \frac{∂f}{∂x} é limitada nas partes compactas (ou nos conjuntos da forma J × K, onde J ⊂ I é um intervalo fechado e K ⊂ U é um compacto).

Dizemos que f: I × U → ℝ^{m} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo H_{p}^{1} quando para todo t ∈ I, f(t, ·) é C^{1}, para todo x ∈ U, f(·, x) é absolutamente contínua, existe um conjunto A ⊂ I de medida nula tal que f(·, x) é derivável em t para todo t ∈ I − A e todo x ∈ U, \frac{∂f}{∂t} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo L^{p} e \frac{∂f}{∂x} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo C^{0}.

A condição de f(·, x) ser derivável num certo t ∈ I para um certo x ∈ U significa que \frac{∂f}{∂t} (t, x) existe, i.e., existe o limite \frac{∂f}{∂t} (t, x) = lim_{h→0} \frac{1}{h}[f(t + h, x) − f(t, x)] (onde h tende a zero pela direita ou pela esquerda se t ∈ I for uma extremidade de I). Observação: na definição acima \frac{∂f}{∂t} não é bem definida em todo ponto de I × U, donde precisamos explicar melhor o que significa \frac{∂f}{∂t} satisfazer as condições de Carathéodory de tipo L^{p}. A condição de que \frac{∂f}{∂t} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo L^{p} significa que existe uma função u: I × U → ℝ^{m} que satisfaz as condições de Carathéodory de tipo L^{p} e existe um conjunto A ⊂ I de medida nula tal que \frac{∂f}{∂t} (t, x) (existe e) é igual a u(t, x) para todo t ∈ I − A e todo x ∈ U.

Observamos também que nas condições de Carathéodory de tipo C^{0} é possível trocar a hipótese de que f seja contínua pela hipótese de que f(·, x) seja contínua para todo x ∈ U. Em particular, as condições de Carathéodory de tipo H_{p}^{1} implicam a continuidade de f.

De fato, sejam t ∈ I e x ∈ U. Temos:

\begin{aligned}∥f(t + h, x + k) − f(t, x)∥ & ≤ ∥f(t + h, x + k) − f(t + h, x)∥ + ∥f(t + h, x) − f(t, x)∥ \\ & ≤ sup_{θ∈[0,1]} ∥\frac{∂f}{∂x} (t + h, x + θk)∥ ∥k∥ + ∥f(t + h, x) − f(t, x)∥, \end{aligned}

onde devemos acima escolher k > 0 suficientemente pequeno de modo que o segmento [x, x + k] esteja contido em U. Daí majoramos ∥\frac{∂f}{∂x}(t + h, x + θk)∥, θ ∈ [0, 1], por uma constante c > 0 e então segue o resultado. Observação: na definição das condições de Carathéodory de tipo H_{p}^{1}, o conjunto A de medida nula tal que \frac{∂f}{∂t} (t, x) existe para todo t ∈ I − A e todo x ∈ U pode ser suposto Boreleano (recorde que todo conjunto de medida nula está contido num Boreleano de medida nula). Daí definimos u(t, x) = \frac{∂f}{∂t} (t, x) para t ∈ I − A e u(t, x) = 0 para t ∈ A. Temos que u é automaticamente Borel-mensurável. De fato, sabemos que f é contínua e portanto Borel-mensurável. Temos que I × U se escreve como união dos Boreleanos A × U e (I − A) × U. A restrição de u a A × U é nula (e portanto Borel-mensurável) e a restrição de u a (I − A) × U é Borel-mensurável, pois se escreve como o limite pontual u(t, x) = lim_{n→+∞} n[f(t + \frac{1}{n}, x) − f(t, x)], t ∈ I − A, x ∈ U, de uma seqüência de funções Borel-mensuráveis (extenda f para ℝ × U definindo valor zero fora de I × U, de modo que f(t + \frac{1}{n}, x) sempre faz sentido. Essa extensão de f ainda é Borel-mensurável).

Observe que para 𝔐 = L^{p}, C^{0} ou H_{p}^{1}, uma função f = (f^{1}, …, f^{m}) satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 se e somente se cada uma de suas coordenadas as satisfaz.

Dizemos que uma função f: I ×U → ℝ^{m} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo C^{k} quando f é de classe C^{k} e suas derivadas parciais de ordem k (ou, equivalentemente, sua k-ésima diferencial) satisfazem as condições de Carathéodory de tipo C^{0}.

Dizemos que uma função f: I × U → ℝ^{m} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo H_{p}^{k} (k ≥ 1) quando f é de classe C^{k−1} e suas derivadas parciais de ordem k − 1 (ou, equivalentemente, sua (k − 1)-ésima diferencial) satisfazem as condições de Carathéodory de tipo H_{p}^{1}.

Observe agora então que dado qualquer 𝔐, uma função f = (f^{1}, …, f^{m}) satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 se e somente se cada uma de suas coordenadas as satisfaz.

Dados 𝔐_{1}, 𝔐_{2} com 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} então se f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐_{2} então f também satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐_{1}, como é fácil verificar (usando as observações que foram feitas à medida que as condições de Carathéodory foram introduzidas). Em particular, todas as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 implicam as condições de Carathéodory de tipo L^{1} (que são as condições de Carathéodory que aparecem nas hipóteses do teorema 25).

Observe que se f é de classe C^{k+1} então f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo C^{k}. Em particular, se f é de classe C^{∞} então f satisfaz todas as condições de Carathéodory de tipo 𝔐. Podemos então definir que f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo C^{∞} quando f for de classe C^{∞} (mas essa definição não será muito usada).

Dizemos que uma EDO ẋ(t) = f(t, x(t)) é de tipo 𝔐 quando f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐. Note que se A: I → L(ℝ^{n}), B: I → ℝ^{n} então a EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) é de tipo 𝔐 no sentido novo se e somente se for de tipo 𝔐 no sentido antigo (i.e., f(t, x) = A(t)x + B(t) satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 se e somente se A e B são de tipo 𝔐. Na realidade, podemos também considerar o caso A: I → L(ℝ^{n}; ℝ^{m}), B: I → ℝ^{m}, embora ele não esteja associado a uma EDO. Para demonstrar, considere as várias possibilidades para 𝔐 separadamente).

No lema abaixo ∥γ∥_{sup} denota sup_{t∈I} ∥γ(t)∥ e ∥γ∥_{p} denota (∫_{I} ∥γ∥^{p})^{1/p}, se p < +∞ (ou a menor cota superior essencial de ∥γ(t)∥, t ∈ I, se p = +∞).

Lema 18. Seja f: I ×U → ℝ^{m} (com U ⊂ ℝ^{n} aberto) uma função que satisfaz as condições de Carathéodory de tipo L^{p}, onde I ⊂ ℝ é um intervalo fechado. Então o operador (f∘) definido em C^{0}(I × ℝ^{n}; I × U) tomando valores em L^{p}(I × ℝ^{m}) dado por (f∘)(γ)(t) = f(t, γ(t)) é (bem definido e) contínuo.

Demonstração. Seja γ: I → ℝ^{n} uma curva contínua com γ(I) ⊂ U. Como γ(I) é compacto e como I é um intervalo fechado vemos que existe g ∈ L^{p}(I × ℝ) com ∥f(t, γ(t))∥ ≤ g(t), para todo t ∈ I. Como f é Borel-mensurável, segue que (f∘)(γ) é (Borel) mensurável e da majoração anterior obtemos (f∘)(γ) ∈ L^{p}(I × ℝ^{m}). Isso mostra que (f∘) está bem definido.

Mostremos agora que (f∘) é contínuo no ponto γ. Seja δ > 0 a distância do compacto γ(I) ao fechado ℝ^{n} − U. Daí se μ: I → ℝ^{n}, μ(I) ⊂ U, é outra curva contínua com ∥γ − μ∥_{sup} < δ então o segmento [γ(t), μ(t)] está contido em U para todo t ∈ I, donde podemos escrever:

∥f(t, γ(t)) − f(t, μ(t))∥ ≤ sup_{x∈[γ(t),μ(t)]} ∥\frac{∂f}{∂x} (t, x)∥ ∥γ − μ∥_{sup}, t ∈ I.

Seja K ⊂ ℝ^{n} o conjunto dos pontos com distância menor ou igual a δ/2 de γ(I). Daí K ⊂ U é compacto e como I é um intervalo fechado existe g ∈ L^{p}(I × ℝ) majorando a norma de f(t, x) e de \frac{∂f}{∂x}(t, x) para t ∈ I, x ∈ K. Supondo então ∥γ − μ∥_{sup} < δ/2 vem:

∥(f∘)(γ) − (f∘)(μ)∥_{p} ≤ ∥g∥_{p}∥γ − μ∥_{sup},

pois [γ(t), μ(t)] ⊂ K, para todo t ∈ I. Daí segue o resultado.

Corolário. Se f: I × U → ℝ^{m} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo L^{p} e se γ: I → ℝ^{n}, γ(I) ⊂ U, é uma curva contínua então t ↦ f(t, γ(t)) é uma curva de tipo L^{p} (onde I ⊂ ℝ é um intervalo qualquer).

Demonstração. Simplesmente aplique o lema para cada γ_{|J}, onde J ⊂ I é um intervalo fechado.

Lema 19. Seja f: I × U → ℝ^{m} uma função que satisfaz as condições de Carathéodory de tipo H_{1}^{1}. Seja t ∈ I um ponto interior de I e seja x ∈ U. Daí, se existe \frac{∂f}{∂t} (t, x) então temos que f é diferenciável no ponto (t, x). Além do mais, se γ: I → ℝ^{n}, γ(I) ⊂ U, for uma curva absolutamente contínua então t ∈ I ↦ f(t, γ(t)) também é absolutamente contínua e sua derivada em t é \frac{∂f}{∂t} (t, γ(t)) + \frac{∂f}{∂x}(t, γ(t))γ̇(t), para quase todo t ∈ I.

Demonstração. Seja t ∈ I um ponto interior de I e seja x ∈ U. Suponha que \frac{∂f}{∂t} (t, x) existe. O único candidato à diferencial de f no ponto (t, x) é T (h, k) = \frac{∂f}{∂t} (t, x)h+ \frac{∂f}{∂x}(t, x)k. Temos que T é (bem definida e) linear. Considere o resto r(h, k) = f(t+h, x+k)−f(t, x)−T (h, k). Temos:

r(h, k) = [f(t + h, x + k) − f(t + h, x) − T (0, k)] + [f(t + h, x) − f(t, x) − T (h, 0)].

Daí:

\begin{aligned}∥r(h, k)∥ & ≤ ∥f(t + h, x + k) − f(t + h, x) − \frac{∂f}{∂x} (t, x)k∥ \\ & + ∥f(t + h, x) − f(t, x) − \frac{∂f}{∂t} (t, x)h∥ . \end{aligned}

Aplique a desigualdade do valor médio para a função y ↦ f(t + h, y) − \frac{∂f}{∂x}(t, x)y no segmento [x, x + k]. Daí:

\begin{aligned}∥r(h, k)∥ & ≤ ∥k∥ sup_{θ∈[0,1]} ∥\frac{∂f}{∂x} (t + h, x + θk) − \frac{∂f}{∂x} (t, x)∥ \\ & + ∥f(t + h, x) − f(t, x) − \frac{∂f}{∂t} (t, x)h∥ . \end{aligned}

O primeiro termo do lado direito da desigualdade acima é o produto de uma função de (h, k) que tende a zero quando (h, k) → 0 (pois \frac{∂f}{∂x} é contínua) por ∥k∥ ≤ ∥(h, k)∥.

Quanto ao segundo termo, a derivabilidade de f(·, x) no ponto t implica que ele pode ser majorado por uma função de h que tende a zero quando h → 0, multiplicada por ∥h∥ ≤ ∥(h, k)∥. Daí lim_{(h,k)→0} r(h, k)/∥(h, k)∥ = 0, donde df(t, x) = T.

Seja agora γ: I → ℝ^{n}, γ(I) ⊂ U, uma curva absolutamente contínua. Devemos mostrar que t ↦ f(t, γ(t)) é absolutamente contínua. Como uma curva é absolutamente contínua se e somente se for absolutamente contínua em cada subintervalo fechado de I, basta considerar o caso que I é um intervalo fechado.

Temos, para [t, t + h] ⊂ I a seguinte desigualdade:

\begin{aligned}∥f(t + h, γ(t + h)) − f(t, γ(t))∥ & ≤ ∥f(t + h, γ(t + h)) − f(t + h, γ(t))∥ \\ & + ∥f(t + h, γ(t)) − f(t, γ(t))∥. \end{aligned}

No primeiro termo do lado direito da desigualdade acima, aplicamos a desigualdade do valor médio para a função f(t + h, ·).

Seja η > 0 a distância do compacto γ(I) ao fechado ℝ^{n} − U. Seja K ⊂ ℝ^{n} o conjunto dos pontos cuja distância a γ(I) é menor ou igual a η/2. Como γ é uniformemente contínua em I, existe δ > 0 tal que se |h| < δ então ∥γ(t+h)−γ(t)∥ < η/2. Como K ⊂ U é compacto vemos que ∥\frac{∂f}{∂x}(t, x)∥ é majorada para t ∈ I, x ∈ K por uma constante c > 0. Daí, se |h| < δ temos que o segmento [γ(t), γ(t + h)] está contido em K e portanto:

∥f(t + h, γ(t + h)) − f(t + h, γ(t))∥ ≤ c∥γ(t + h) − γ(t)∥.

Como \frac{∂f}{∂t} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo L^{1} e como γ(I) ⊂ U é compacto existe g: I → ℝ integrável com ∥\frac{∂f}{∂t} (t, x)∥ ≤ g(t) para t ∈ I, x ∈ γ(I). Daí, como f(·, γ(t)) é absolutamente contínua:

∥f(t + h, γ(t)) − f(t, γ(t))∥ ≤ ∫_{t}^{t+h} ∥\frac{∂f}{∂t} (s, γ(t))∥ ds ≤ ∫_{t}^{t+h} g(s)ds.

Como γ e t ↦ ∫_{t_{0}}^{t} g (para um t_{0} ∈ I fixado qualquer) são absolutamente contínuas, segue que dado ϵ > 0 podemos diminuir δ > 0 de modo que se (t_{1}, t_{1} +h_{1}), …, (t_{r}, t_{r} +h_{r}) são intervalos abertos dois a dois disjuntos contidos em I com ∑_{i=1}^{r} h_{i} < δ então

∑_{i=1}^{r} ∥γ(t_{i} + h_{i}) − γ(t_{i})∥ < ϵ/2c, ∑_{i=1}^{r} ∫_{t_{i}}^{t_{i}+h_{i}} g(s)ds < ϵ/2.

Segue então que

∑_{i=1}^{r} ∥f(t_{i} + h_{i}, γ(t_{i} + h_{i})) − f(t_{i}, γ(t_{i}))∥ < ϵ.

Isso mostra que t ↦ f(t, γ(t)) é absolutamente contínua.

Finalmente, quanto à derivada de t ↦ f(t, γ(t)), temos que existe um conjunto A ⊂ I de medida nula tal que para t ∈ I − A e para x ∈ U a derivada parcial \frac{∂f}{∂t} (t, x) existe. Acrescentando em A as extremidades de I e os pontos onde γ não é derivável, vemos que A ainda tem medida nula e pela regra da cadeia para t ∈ I − A, x ∈ U temos \frac{d}{dt}f(t, γ(t)) = \frac{∂f}{∂t} (t, γ(t)) + \frac{∂f}{∂x}(t, γ(t))γ̇(t) (note que usamos aqui a diferenciabilidade de f no ponto (t, γ(t)), para t ∈ I − A).

Para o lema seguinte, recorde que dado 𝔐 < C^{0} então o operador γ ↦ (γ, γ̇) definido em 𝔐(I × ℝ^{n}) tomando valores em C^{0}(I × ℝ^{n}) ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{n}) é um isomorfismo topológico sobre sua imagem (ou seja, é injetor fraco). Novamente, ∥γ∥_{sup} denota sup_{t∈I} ∥γ(t)∥.

Lema 20. Suponha que f: I × U → ℝ^{m} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐, onde I ⊂ ℝ é um intervalo fechado. Então, para 𝔐 ≤ C^{0}, o operador (f∘) definido em 𝔐(I × ℝ^{n}; I × U) tomando valores em 𝔐(I × ℝ^{m}) dado por (f∘)(γ)(t) = f(t, γ(t)) é (bem definido e) contínuo.

Demonstração. Em primeiro lugar observamos que o caso 𝔐 = C^{k} segue diretamente do corolário 1 do lema 4 da seção 1.0, já que f é de classe C^{k}.

Começamos com o caso 𝔐 = H_{p}^{1}. Do lema 19 segue que para γ ∈ H_{p}^{1}(I × ℝ^{n}; I × U) a curva (f∘)(γ) é absolutamente contínua. Os cálculos que faremos a seguir para mostrar que (f∘) é contínuo mostrarão também que (f∘)(γ) ∈ H_{p}^{1}(I × ℝ^{m}). Pela observação que precede o lema resta mostrar que o operador γ ↦ ((f∘)(γ), \frac{d}{dt}(f∘)(γ)) definido em H_{p}^{1}(I × ℝ^{n}; I × U) tomando valores em C^{0}(I × ℝ^{m}) ⊕ L^{p}(I × ℝ^{m}) é (bem definido e) contínuo.

A continuidade da primeira coordenada desse operador segue do caso 𝔐 = C^{0}. Definindo B: L(ℝ^{n}; ℝ^{m}) ⊕ ℝ^{n} → ℝ^{m} por B(T, x) = T (x) então o lema 4 da seção 1.0 nos diz que (B∘) é contínuo, quando definido em C^{0}(I × L(ℝ^{n}; ℝ^{m})) ⊕ L^{p}(I × ℝ^{n}) tomando valores em L^{p}(I × ℝ^{m}). Daí, pelo lema 19, o operador γ ↦ \frac{d}{dt}(f∘)(γ) é igual a (\frac{∂f}{∂t} ∘) + (B∘) ∘ ((\frac{∂f}{∂x}∘), 𝔡), onde 𝔡(γ) = γ̇.

Em relação a (\frac{∂f}{∂t} ∘) note que \frac{∂f}{∂t} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo L^{p} e daí é só usar o lema 18. Quanto a (\frac{∂f}{∂x}∘) note que \frac{∂f}{∂x} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo C^{0} e daí basta usar o caso 𝔐 = C^{0}, considerado inicialmente. Isto completa o caso 𝔐 = H_{p}^{1}.

O caso 𝔐 = H_{p}^{k} (k ≥ 1) será feito por indução. O que fizemos acima foi mostrar a base da indução. Mostremos então o passo de indução.

Vamos mostrar o lema para 𝔐 = H_{p}^{k+1} supondo-o verdadeiro para 𝔐 = H_{p}^{k} (k ≥ 1). Pela observação que precede o lema, basta mostrar que o operador γ ↦ ((f∘)(γ), \frac{d}{dt}(f∘)(γ)) definido em H_{p}^{k+1}(I × ℝ^{n}; I × U) tomando valores em C^{0}(I × ℝ^{m}) ⊕ H_{p}^{k}(I × ℝ^{m}) é (bem definido e) contínuo (estamos supondo que f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo H_{p}^{k+1}).

A continuidade da primeira coordenada desse operador segue do lema no caso C^{0}. Usando agora o corolário 1 do lema 4, vemos que o operador (B∘) definido acima é contínuo com domínio em H_{p}^{k}(I × L(ℝ^{n}; ℝ^{m})) ⊕ H_{p}^{k}(I × ℝ^{n}) e contra-domínio em H_{p}^{k}(I × ℝ^{m}). Daí novamente γ ↦ \frac{d}{dt}(f∘)(γ) é igual a (\frac{∂f}{∂t} ∘) + (B∘) ∘ ((\frac{∂f}{∂x}∘), 𝔡), onde 𝔡(γ) = γ̇. Usando a hipótese de indução segue o resultado, se observarmos que \frac{∂f}{∂t} e \frac{∂f}{∂x} satisfazem as condições de Carathéodory de tipo H_{p}^{k}.

Corolário 1. Se f: I×U → ℝ^{m} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐, 𝔐 ≤ C^{0}, e se γ: I → ℝ^{n}, γ(I) ⊂ U, é uma curva de tipo 𝔐 então t ↦ f(t, γ(t)) é uma curva de tipo 𝔐 também (onde I ⊂ ℝ é um intervalo qualquer).

Demonstração. Simplesmente aplique o lema para cada γ_{|J}, onde J ⊂ I é um intervalo fechado.

Corolário 2. Se ẋ(t) = f(t, x(t)) é uma EDO de tipo 𝔐′ então suas soluções são de tipo 𝔐.

Demonstração. Suponha 𝔐 = C^{k}. Sabemos que qualquer solução γ é contínua. Sabendo que γ é C^{j}, para algum 0 ≤ j < k, então o corolário 1 nos diz que o lado direito da EDO é C^{j} e portanto γ̇ é C^{j}. Daí γ(t) = γ(t_{0}) + ∫_{t_{0}}^{t} γ̇ é C^{j+1}.

Suponha 𝔐 = H_{p}^{k}. Como γ é contínua, o corolário do lema 18 nos diz que o lado direito da EDO é de tipo L^{p} e daí γ é de tipo H_{p}^{1}. Sabendo que γ é de tipo H_{p}^{j}, para algum 1 ≤ j < k, então o corolário 1 nos diz que o lado direito da EDO é de tipo H_{p}^{j} e portanto γ é de tipo H_{p}^{j+1}.

Seja f: I × U → ℝ^{m} uma função, onde I ⊂ ℝ é um intervalo qualquer e U ⊂ ℝ^{n} é um aberto em ℝ^{n}. Diremos que f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k quando para todo t ∈ I a função f(t, ·): U → ℝ^{m} é de classe C^{k} e para j = 0, 1, …, k temos que \frac{∂^{j}f}{∂x^{j}} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐. Aqui admitimos o caso k = +∞ (significando que para todo t ∈ I, f(t, ·) é C^{∞} e que \frac{∂^{j}f}{∂x^{j}} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐, para todo j ∈ ℕ).

Observe que as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem 0 são simplesmente as condições de Carathéodory de tipo 𝔐.

Temos que f = (f^{1}, …, f^{m}) satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k se e somente se cada uma de suas coordenadas as satisfaz. Note que na definição acima a função \frac{∂^{j}f}{∂x^{j}} está definida em I × U e toma valores em L_{j}^{sim}(ℝ^{n}; ℝ^{m}) (i.e., operadores j-lineares simétricos de (ℝ^{n})^{j} em ℝ^{m}). Podemos equivalentemente exigir que todas as derivadas parciais de f nas direções x_{1}, …, x_{n} (i.e., exceto t) de ordem menor ou igual a k satisfaçam as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 (note que tais derivadas parciais são as coordenadas de \frac{∂^{j}f}{∂x^{j}}; j = 0, …, k).

Se 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} então uma função que satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐_{2} de ordem k também satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐_{1} de ordem k. Temos que uma função f de classe C^{k+j+1} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo C^{k} de ordem j (e também as condições de Carathéodory de tipo C^{j} de ordem k). Em particular, se f é C^{∞} então f satisfaz quaisquer condições de Carathéodory de qualquer ordem.

O próximo passo é mostrar propriedades de diferenciabilidade do operador (f∘) sob hipóteses convenientes para f. Usaremos o lema 1 da seção 0.0. Sugerimos então que o leitor recorde a definição de um conjunto que separa pontos (vide definição que precede o lema 1 na seção 0.0).

Seja I ⊂ ℝ um intervalo fechado. Seja A ⊂ I um conjunto mensurável. Considere o operador I_{A} definido em L^{p}(I × ℝ^{m}) tomando valores em ℝ^{m} dado por I_{A}(γ) = ∫_{A} γ. Então I_{A} é linear contínuo (vide exemplos de operadores lineares contínuos que seguem o teorema 12). Temos que o conjunto I = { I_{A} : A ⊂ I mensurável } separa pontos em L^{p}(I ×ℝ^{m}). De fato, se uma função integrável γ: I → ℝ^{m} tiver integral nula sobre qualquer conjunto mensurável A ⊂ I então f = 0 quase sempre (vide [Fe]).

Recordamos uma regra de troca da derivada com o sinal de integral. Seja (Ω, A, μ) um espaço de medida, onde Ω é um conjunto, A é uma σ-álgebra e μ é uma medida (na realidade só precisaremos do caso que Ω é um subconjunto de ℝ). Seja U ⊂ ℝ^{n} um aberto. Seja f: Ω × U → ℝ^{m} uma função tal que para todo ω ∈ Ω temos que f(ω, ·) é diferenciável em U e para todo x ∈ U temos que f(·, x) é integrável em Ω. Queremos uma condição suficiente para que a diferencial de F (x) = ∫_{Ω} f(ω, x)dω num ponto x ∈ U seja igual a T (x) = ∫_{Ω} \frac{∂f}{∂x}(ω, x)dω.

Temos o seguinte. Suponha que existe g: Ω → ℝ integrável tal que ∥\frac{∂f}{∂x}(ω, x)∥ ≤ g(ω) para todo ω ∈ Ω e todo x ∈ U. Então x ↦ ∫_{Ω} f(ω, x)dω é diferenciável e sua diferencial é x ↦ ∫_{Ω} \frac{∂f}{∂x}(ω, x)dω.

De fato, em primeiro lugar \frac{∂f}{∂x}(·, x) é automaticamente mensurável, pois suas coordenadas \frac{∂f}{∂x^{i}} (·, x) se escrevem como limites pontuais de funções mensuráveis, a saber:

\frac{∂f}{∂x^{i}} (ω, x) = lim_{n→+∞} n[f(ω, x + \frac{1}{n}e_{i}) − f(ω, x)],

onde e_{i} é o i-ésimo vetor da base canônica de ℝ^{n}. Daí \frac{∂f}{∂x}(·, x) é sempre integrável. Fixe x ∈ U e considere o resto r(h) = F (x + h) − F (x) − T (x)h. Daí

r(h) = ∫_{Ω} f(ω, x + h) − f(ω, x) − \frac{∂f}{∂x} (ω, x)h dω.

Queremos mostrar que:

lim_{h→0} \frac{r(h)}{∥h∥} = lim_{h→0} ∫_{Ω} \frac{1}{∥h∥} [f(ω, x + h) − f(ω, x) − \frac{∂f}{∂x} (ω, x)h] dω = 0.

Temos que o integrando acima vai a zero quando h → 0 para cada ω ∈ Ω fixado, pela diferenciabilidade de f(ω, ·) no ponto x. Para concluir que o limite acima é zero usamos o teorema de convergência dominada de Lebesgue (faça h → 0 ao longo de uma seqüência arbitrária). Precisamos majorar a norma do integrando por uma função integrável de ω que não depende de x. Simplesmente aplique a desigualdade do valor médio para a função y ↦ f(ω, y) − \frac{∂f}{∂x}(ω, x)y no segmento [x, x + h].

Recordamos também da seção 0.0 que se E, F, G são espaços de Banach então L_{2}(E, F; G) é naturalmente isométrico a L(E; L(F; G)). Em particular, dada B: E × F → G bilinear temos que B é contínua se e somente se para cada x ∈ E a aplicação linear B(x, ·) é contínua e x ∈ E ↦ B(x, ·) ∈ L(F; G) é linear contínua.

Teorema 32. Seja f: I × U → ℝ^{m} uma função que satisfaz as condições de Carathéodory de tipo L^{p} de ordem k, onde I ⊂ ℝ é um intervalo fechado e U ⊂ ℝ^{n} é um aberto. Então o operador (f∘) definido em C^{0}(I × ℝ^{n}; I × U) tomando valores em L^{p}(I × ℝ^{m}) dado por (f∘)(γ)(t) = f(t, γ(t)) é de classe C^{k}. Além do mais, se k ≥ 1 então d(f∘)_{γ}(v)(t) = \frac{∂f}{∂x}(t, γ(t))v(t).

Demonstração. O caso k = 0 é o lema 18. Suponha então k ≥ 1.

Para mostrar que (f∘) é C^{1} e para calcular d(f∘) simplesmente usamos o lema 1 da seção 0.0 para o conjunto I definido nas observações que precedem o teorema. Defina

B: L(ℝ^{n}; ℝ^{m}) ⊕ ℝ^{n} → ℝ^{m},

fazendo B(T, x) = T (x). Daí, pelo lema 4 da seção 1.0 segue que

(B∘): L^{p}(I × L(ℝ^{n}; ℝ^{m})) ⊕ C^{0}(I × ℝ^{n}) → L^{p}(I × ℝ^{m}),

dado por (B∘)(T, γ)(t) = T (t)γ(t) é contínuo. Como (B∘) é obviamente bilinear segue da observação que precede o lema que o operador

O: L^{p}(I × L(ℝ^{n}; ℝ^{m})) → L(C^{0}(I × ℝ^{n}); L^{p}(I × ℝ^{m})),

dado por O(T) = (B∘)(T, ·) é linear contínuo.

Defina 𝔤 = O ∘ (\frac{∂f}{∂x}∘). Daí, como \frac{∂f}{∂x} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo L^{p} segue do lema 18 que 𝔤 é contínua. Já sabemos que I separa pontos. Abaixo verificamos a outra hipótese do lema 1 da seção 0.0.

Seja γ ∈ C^{0}(I × ℝ^{n}; I × U) e seja v ∈ C^{0}(I × ℝ^{n}). Seja A ⊂ I mensurável. Devemos mostrar que s ↦ ∫_{A} f(t, γ(t) + sv(t))dt é derivável em s = 0, com derivada igual a ∫_{A} \frac{∂f}{∂x}(t, γ(t))v(t)dt. Precisamos apenas verificar que a derivada \frac{d}{ds} pode ser trocada com o sinal de integral. Usamos as observações que precedem o teorema.

Devemos mostrar que a derivada do integrando em s, i.e., \frac{∂f}{∂x}(t, γ(t)+sv(t))v(t), pode ser majorada por uma função integrável que depende somente de t para s próximo de zero. Como o domínio de (f∘) é aberto, temos que a curva γ +sv tem imagem contida em U para s suficientemente pequeno, digamos s ∈ [−ϵ, ϵ]. Mas γ(t) + sv(t) é uma função contínua de (s, t), donde sua imagem para s ∈ [−ϵ, ϵ], t ∈ I fica dentro de um compacto K ⊂ U. Podemos então, como f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo L^{p}, encontrar uma função integrável g: I → ℝ tal que ∥\frac{∂f}{∂x}(t, x)∥ ≤ g(t) para t ∈ I, x ∈ K.

Isso mostra que (f∘) é C^{1} e que d(f∘) = 𝔤.

Para mostrar que (f∘) é C^{k} fazemos indução em k. Supondo o resultado verdadeiro no caso k − 1 obtemos que (\frac{∂f}{∂x}∘) é de classe C^{k−1} (pois \frac{∂f}{∂x} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo L^{p} de ordem k −1). Como O é linear contínuo e portanto C^{∞}, segue que d(f∘) é C^{k−1} e portanto f é C^{k}. Isto completa a demonstração.

O teorema acima generaliza o lema 18. Generalizamos agora o lema 20. Usaremos novamente o lema 1 da seção 0.0. Para 𝔐 ≤ C^{0} denote então por λ_{t}: 𝔐(I × ℝ^{m}) → ℝ^{m} o operador evaluação no instante t, i.e., λ_{t}(γ) = γ(t). Sabemos que λ_{t} é linear contínuo (vide exemplos de operadores lineares contínuos que seguem o teorema 12). Obviamente o conjunto Λ = { λ_{t} : t ∈ I } separa pontos em 𝔐(I × ℝ^{m}).

Teorema 33. Seja f: I × U → ℝ^{m} uma função que satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k, onde I ⊂ ℝ é um intervalo fechado, U ⊂ ℝ^{n} é um aberto e 𝔐 ≤ C^{0}. Então o operador (f∘) definido em 𝔐(I × ℝ^{n}; I × U) tomando valores em 𝔐(I × ℝ^{m}) dado por (f∘)(γ)(t) = f(t, γ(t)) é de classe C^{k}. Além do mais, se k ≥ 1 então d(f∘)_{γ}(v)(t) = \frac{∂f}{∂x}(t, γ(t))v(t).

Demonstração. O caso k = 0 é o lema 20. Suponha então k ≥ 1.

Para mostrar que (f∘) é C^{1} e para calcular d(f∘) simplesmente usamos o lema 1 da seção 0.0 para o conjunto Λ definido na observação que precede o teorema. Defina

B: L(ℝ^{n}; ℝ^{m}) ⊕ ℝ^{n} → ℝ^{m},

fazendo B(T, x) = T (x). Daí, pelo corolário 1 do lema 4 da seção 1.0 segue que

(B∘): 𝔐(I × L(ℝ^{n}; ℝ^{m})) ⊕ 𝔐(I × ℝ^{n}) → 𝔐(I × ℝ^{m}),

dado por (B∘)(T, γ)(t) = T (t)γ(t) é contínuo. Como (B∘) é obviamente bilinear segue que o operador

O: 𝔐(I × L(ℝ^{n}; ℝ^{m})) → L(𝔐(I × ℝ^{n}); 𝔐(I × ℝ^{m})),

dado por O(T) = (B∘)(T, ·) é linear contínuo.

Defina 𝔤 = O ∘ (\frac{∂f}{∂x}∘). Daí, como \frac{∂f}{∂x} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 segue do lema 20 que 𝔤 é contínua. Já sabemos que Λ separa pontos. A outra hipótese do lema 1 da seção 0.0 é de trivial verificação e daí temos que (f∘) é C^{1} e 𝔤 = d(f∘).

Para mostrar que (f∘) é C^{k} simplesmente use indução em k, de modo totalmente análogo ao feito no final da demonstração do teorema 32.

O objetivo agora é estudar a dependência das soluções de uma EDO ẋ(t) = f(t, x(t)) em relação às condições iniciais (t_{0}, x_{0}). Uma técnica muito eficiente para isso é usar o teorema da função implícita em espaços de Banach. O leitor pode encontrar outra demonstração seguindo essa linha de idéias em [La].

Lema 21. Seja f: I × U → ℝ^{n} uma função que satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐′ de ordem k, onde I ⊂ ℝ é um intervalo fechado, U ⊂ ℝ^{n} é aberto, 𝔐 < C^{0} e k ≥ 1. Fixe t_{0} ∈ I. Seja S o operador que a cada x_{0} ∈ U associa a única solução γ: I → ℝ^{n} da EDO ẋ(t) = f(t, x(t)) com condição inicial (t_{0}, x_{0}) (o domínio de S é o conjunto dos pontos x_{0} ∈ U para os quais essa solução de fato está definida em todo o intervalo I). Então o domínio de S é aberto e S é de classe C^{k}, considerado com contra-domínio em 𝔐(I × ℝ^{n}). Além do mais, dS(x_{0}) é a função que a cada v_{0} ∈ ℝ^{n} associa a única solução v da EDO linear ẋ(t) = \frac{∂f}{∂x}(t, γ(t))x(t) com condição inicial (t_{0}, v_{0}), onde γ = S(x_{0}).

Demonstração. Observe em primeiro lugar que como a EDO ẋ(t) = f(t, x(t)) é de tipo 𝔐′ então o corolário 2 do lema 20 nos diz que suas soluções são todas de tipo 𝔐. Em segundo lugar observe que para todo x_{0} ∈ U temos uma solução γ de ẋ(t) = f(t, x(t)) definida numa vizinhança de t_{0}, mas em geral não sabemos se a solução maximal com condição inicial (t_{0}, x_{0}) está definida em todo o intervalo I (os pontos x_{0} ∈ U para os quais a solução maximal com condição inicial (t_{0}, x_{0}) está mesmo definida em todo o intervalo I formam exatamente o domínio de S. Não está excluída a possibilidade desse domínio ser vazio, mas ainda assim ele seria aberto).

Considere o seguinte operador:

F: ℝ^{n} × 𝔐(I × ℝ^{n}; I × U) → ℝ^{n} ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{n}),

dado por F(x_{0}, γ) = (γ(t_{0}) − x_{0}, γ̇ − (f∘)(γ)). Temos que F está definido num aberto da soma direta de ℝ^{n} com 𝔐(I × ℝ^{n}) e toma valores num espaço de Banach. O único componente de F que não é obviamente C^{∞} é (f∘). Segue facilmente dos teoremas 32 e 33 que (f∘) é de classe C^{k} quando definido em 𝔐(I × ℝ^{n}; I × U) tomando valores em 𝔐′(I × ℝ^{n}) (use o teorema 32 para 𝔐 = H_{p}^{1} e o teorema 33 para 𝔐 ≤ C^{1}). Daí F é de classe C^{k} (k ≥ 1).

Queremos aplicar o teorema da função implícita de modo a obter γ em função de x_{0}, i.e., γ = S(x_{0}). Observe que γ é uma solução de ẋ(t) = f(t, x(t)) com condição inicial (t_{0}, x_{0}) se e somente se F(x_{0}, γ) = 0.

O teorema da função implícita não pode ser usado para concluir a existência “global” de S, i.e., que o conjunto solução de F(x_{0}, γ) = 0 é (globalmente) o gráfico de uma função S. Porém, nossa teoria de EDO (a parte de unicidade da solução, para ser mais preciso) nos diz exatamente que { (x_{0}, γ) : F(x_{0}, γ) = 0 } é o gráfico de uma função S, definida em algum subconjunto de U ⊂ ℝ^{n} (que pode ser vazio, mas daí a afirmação “S é de classe C^{k}” é vaziamente satisfeita e não há o que mostrar).

Seja então x_{0} um ponto no domínio de S e seja γ = S(x_{0}). Mostraremos que x_{0} possui uma vizinhança dentro do domínio de S e que nessa vizinhança de x_{0} o operador S é de classe C^{k}. Isto completará a demonstração.

Resta mostrar que a diferencial parcial ∂_{γ}F(x_{0}, γ) de F no ponto (x_{0}, γ) na segunda variável é uma bijeção de 𝔐(I × ℝ^{n}) em ℝ^{n} ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{n}) (para obter a fórmula de dS que aparece no enunciado do lema simplesmente observe que o teorema da função implícita também fornece a diferencial da função definida implicitamente).

Usando a regra da cadeia e a fórmula para d(f∘) dada nos teoremas 32 e 33 segue que:

∂_{γ}F(x_{0}, γ)v = (v(t_{0}), t ↦ v̇(t) − \frac{∂f}{∂x}(t, γ(t))v(t)),

para todo v ∈ 𝔐(I × ℝ^{n}). O fato que essa diferencial é bijetora segue diretamente do teorema 27, já que a inversa dessa diferencial corresponde exatamente à resolução de uma EDO linear (observe também que como γ é de tipo 𝔐 e como \frac{∂f}{∂x} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐′, segue do corolário do lema 18 e do corolário 1 do lema 20 que a EDO linear que obtivemos acima é de tipo 𝔐′, donde suas soluções são de tipo 𝔐).

Dada uma função f: I × U → ℝ^{n} que satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐′ de ordem k (𝔐 < C^{0}, k ≥ 1) podemos considerar também a função S que a cada par (x_{0}, t) (onde x_{0} está no domínio de S e t ∈ I) associa S(x_{0})(t) ∈ ℝ^{n}. O fato que S é de classe C^{k} tem diversas implicações sobre S, dependendo de 𝔐.

Em alguns textos, não há interesse em espaços de dimensão infinita, de modo que o operador S (e o teorema da função implítica em espaços de Banach) torna-se apenas uma ferramenta (de uso temporário) para tirar conclusões sobre S (que é uma função que não envolve nenhum espaço de dimensão infinita). Este não é o nosso caso, mas o leitor interessado em tirar conclusões sobre S a partir de S pode basear-se no exemplo que segue o teorema 20 na seção anterior.

Queremos agora generalizar as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k para variedades.

Em primeiro lugar, observe que as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k são locais, no seguinte sentido. Seja f: I ×U → ℝ^{m} uma função que satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k, com U ⊂ ℝ^{n} aberto. Então para todo intervalo J ⊂ I e todo aberto V ⊂ U temos que f_{|J×V} também satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k. Além do mais, se f: I ×U → ℝ^{m} é uma função qualquer e se para todo t ∈ I e para todo x ∈ U existe um intervalo J ⊂ I contendo t no seu interior (relativo a I) e existe um aberto V ⊂ U contendo x tal que f_{|J×V} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k, então f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k.

Devemos mostrar também que as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k são invariantes por difeomorfismos C^{∞}, no seguinte sentido. Se f: I × U → ℝ^{n} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k (U ⊂ ℝ^{n} aberto) e se α: U → V é um difeomorfismo C^{∞} entre abertos de ℝ^{n} então f_{1}: I × V → ℝ^{n} dada por f_{1}(t, x) = dα(α^{−1}(x))f(t, α^{−1}(x)) também satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k. Deixamos a verificação a cargo do leitor (vide observação abaixo). Observação: é mais simples demonstrar os dois seguintes resultados mais gerais. Sejam U ⊂ ℝ^{n} um aberto, f: I ×U → ℝ^{m} uma função qualquer. Seja α: V → U um difeomorfismo de classe C^{∞}, onde V ⊂ ℝ^{n} é aberto. Seja T: U → L(ℝ^{m}; ℝ^{p}) de classe C^{∞}. Defina f_{1}: I × V → ℝ^{m} e f_{2}: I × U → ℝ^{p} fazendo f_{1}(t, x) = f(t, α(x)) e f_{2}(t, x) = T (x)f(t, x). Mostre que se f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k então f_{1} e f_{2} também as satisfazem (sugestão: comece com o caso k = 0. Para 𝔐 = C^{j} e 𝔐 = H_{p}^{j} (j ≥ 1) faça indução em j. Os casos 𝔐 = L^{p}, C^{0}, H_{p}^{1} devem ser tratados separadamente, nesta ordem. Resolvido o caso k = 0, faça indução em k para obter o caso geral).

Seja f: I × M → T M uma função tal que π ∘ f = π_{2} (π é a projeção de T M e π_{2} é a segunda projeção de I × M). Dizemos que f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k quando qualquer representação local de f em coordenadas satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k, i.e., para toda carta φ: U → Ũ de M temos que a função (t, x) ↦ dφ ∘ f(t, φ^{−1}(x)) definida em I × Ũ (onde Ũ ⊂ ℝ^{n}) tomando valores em ℝ^{n} ⊕ ℝ^{n} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k (note que a primeira coordenada dessa função é (t, x) ↦ x. Dá no mesmo exigir que a segunda coordenada dessa função satisfaça as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k). Aqui admitimos as possibilidades 0 ≤ k ≤ +∞.

Para verificar se uma função f: I ×M → T M satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k é suficiente usar cartas pertencentes a um atlas de M (não é necessário usar o atlas maximal). De fato, isso segue dos comentários que fizemos antes da definição anterior.

Quando f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem 0 diremos simplesmente que f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐.

Enunciamos os seguintes fatos simples. Se 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} e se f: I × M → T M satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐_{2} de ordem k então f também satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐_{1} de ordem k. As condições de Carathéodory de tipo L^{1} são simplesmente as condições de Carathéodory (da nossa definição inicial). Se k ≥ l então as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k implicam as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem l.

Se f: I × M → T M satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k então f é um campo vetorial dependente do tempo, i.e., para cada t ∈ I, f(t, ·) é um campo vetorial em M.

Suponha que f satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐. Para qualquer 𝔐, temos que para cada t ∈ I, f(t, ·) é um campo vetorial de classe C^{1}, ao menos. Também temos que f é Borel-mensurável. Se 𝔐 = C^{k} (k ≥ 0) concluímos que f é de classe C^{k}. Se 𝔐 = H_{p}^{k} (k ≥ 1) concluímos que f é de classe C^{k−1}.

Se f: I × M → T M (com π ∘ f = π_{2}) é de classe C^{k+j+1} então f satisfaz as condições de Carathédory de tipo C^{k} de ordem j (e também as condições de Carathéodory de tipo C^{j} de ordem k). Em particular, se f é C^{∞} então f satisfaz as condições de Carathéodory de quaisquer tipos e de qualquer ordem.

Já que as funções f: I × M → T M consideradas acima são campos vetoriais dependentes do tempo, muitas vezes usaremos a letra X ao invés de f. Chamaremos também as soluções de ẋ(t) = X(t, x(t)) de curvas integrais do campo X (falamos também então em curvas integrais maximais de X e em curvas integrais de X satisfazendo uma condição inicial (t_{0}, x_{0}) ∈ I × M). Segue facilmente do corolário 2 do lema 20 que se X satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐′ então suas curvas integrais são de tipo 𝔐.

Precisamos também generalizar um pouco o domínio de f. Seja I ⊂ ℝ um intervalo qualquer e seja U ⊂ I × M um aberto (relativo a I × M). Diremos que f: U → T M satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k quando (π ∘ f = π_{2} e) para todo intervalo J ⊂ ℝ e para todo aberto V ⊂ M tais que J × V ⊂ U tivermos que f_{|J×V} satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐 de ordem k (vide também a observação que precede o teorema 29). Temos o seguinte teorema.

Teorema 34. Seja X: U ⊂ I × M → T M uma função que satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐′ de ordem k, onde I ⊂ ℝ é um intervalo fechado, U ⊂ I × M é aberto em I × M, 𝔐 < C^{0} e k ≥ 1. Fixe t_{0} ∈ I. Seja S o operador que a cada x_{0} ∈ M associa a única curva integral γ: I → M de X com condição inicial (t_{0}, x_{0}) (o domínio de S é o conjunto dos pontos x_{0} ∈ M tais que (t_{0}, x_{0}) ∈ U e tais que essa curva integral está de fato definida em todo o intervalo I). Então o domínio de S é aberto em M e S é um mergulho forte de classe C^{k}, considerado com contra-domínio em 𝔐(I × M).

Demonstração. Observe em primeiro lugar que como o campo X é de tipo 𝔐′ então suas curvas integrais são todas de tipo 𝔐. Em segundo lugar observe que para todo x_{0} ∈ M com (t_{0}, x_{0}) ∈ U, temos uma curva integral γ de X definida numa vizinhança de t_{0}, mas em geral não sabemos se a curva integral maximal com condição inicial (t_{0}, x_{0}) está definida em todo o intervalo I (os pontos x_{0} ∈ M para os quais a curva integral maximal com condição inicial (t_{0}, x_{0}) está mesmo definida em todo o intervalo I formam exatamente o domínio de S. Não está excluída a possibilidade desse domínio ser vazio, mas ainda assim ele seria aberto).

Vamos mostrar primeiro que o domínio de S é aberto e que S é de classe C^{k}. Seja x_{0} ∈ M um ponto no domínio de S. Basta mostrar que x_{0} possui uma vizinhança aberta em M contida no domínio de S restrita à qual S é de classe C^{k}.

Seja γ = S(x_{0}). Começamos com o caso particular em que existe uma carta φ: V → Ṽ em M tal que γ(I) ⊂ V e tal que I × V ⊂ U. Seja X̃: I × Ṽ → ℝ^{n} a representação local de X na carta φ, i.e., X̃(t, x) = dφ(φ^{−1}(x))X(t, φ^{−1}(x)). Temos que X̃ satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐′ de ordem k.

Como γ(I) ⊂ V então em particular γ(t_{0}) = x_{0} ∈ V e daí φ é uma carta em M em torno de x_{0}. Também (φ∘) é uma carta em 𝔐(I × M) em torno de γ (recorde que o domínio de (φ∘) é 𝔐(I × M; I × V) e a imagem de (φ∘) é 𝔐(I × ℝ^{n}; I × Ṽ)). Podemos então considerar a representação local de S em torno de x_{0} nas cartas φ e (φ∘). Segue facilmente do lema 21 que x_{0} possui uma vizinhança aberta em M contida no domínio de S e que S é de classe C^{k} nessa vizinhança (observe que μ: I → V é curva integral de X se e somente se φ ∘ μ é curva integral de X̃. A representação local de S nessas cartas é exatamente o operador que a cada x ∈ Ṽ associa (quando existe) a única solução μ̃: I → Ṽ de ẋ(t) = X̃(t, x(t)) com condição inicial (t_{0}, x)).

Passamos agora ao caso geral. Seja x_{0} ∈ M um ponto qualquer no domínio de S e seja γ = S(x_{0}). Como γ é contínua, temos que para todo t ∈ I existe um aberto J ⊂ I em I contendo t tal que γ(J) está contido no domínio de uma carta φ: V → Ṽ de M e tal que J × V ⊂ U. Segue que existe uma partição P : a = s_{0} < … < s_{r} = b, r ≥ 2, de I = [a, b] tal que para todo i = 0, …, r − 2 existe um aberto V_{i} ⊂ M contendo γ([s_{i}, s_{i+2}]) tal que V_{i} é o domínio de uma carta de M e tal que [s_{i}, s_{i+2}] × V_{i} ⊂ U. Escreva I_{i} = [s_{i}, s_{i+2}].

Considere o seguinte operador:

P: 𝔐(I × M) → ∏_{i=0}^{r−2} 𝔐(I_{i} × M),

definido por P(μ) = (μ_{|I_{0}}, …, μ_{|I_{r−2}}). Temos que P é um mergulho forte de classe C^{∞} (vide observação 6 na seção anterior). Basta mostrar então que x_{0} possui uma vizinhança aberta em M contida no domínio de S na qual P ∘ S é de classe C^{k}.

Para cada i = 0, …, r − 2 denote por X_{i} a restrição de X a U ∩ (I_{i} × M). Então X_{i} está definido num aberto de I_{i} × M e satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐′ de ordem k. Temos que I_{i} é um intervalo fechado e s_{i+1} é um ponto de I_{i}. Daí X_{i}, I_{i} e s_{i+1} satisfazem as hipóteses deste teorema, donde temos um operador S_{i} que a cada x ∈ M associa (quando existe) a única curva integral μ: I_{i} → M de X_{i} com condição inicial (s_{i+1}, x). É claro que γ_{|I_{i}} é uma curva integral de X_{i} com condição inicial (s_{i+1}, γ(s_{i+1})), donde γ(s_{i+1}) está no domínio de S_{i} e S_{i}(γ(s_{i+1})) = γ_{|I_{i}}.

Como γ(I_{i}) está contido num aberto V_{i} ⊂ M que é domínio de uma carta de M e tal que I_{i} × V_{i} ⊂ U ∩ (I_{i} × M), segue do caso particular do teorema (que foi mostrado inicialmente) que S_{i} é (bem definido e) de classe C^{k} numa vizinhança aberta de γ(s_{i+1}) em M.

Escolha j = 0, …, r − 2 tal que t_{0} ∈ I_{j}. De modo análogo ao que foi feito acima, consideramos o operador T_{0} que a cada x ∈ M associa (quando existe) a única curva integral μ: I_{j} → M de X_{j} com condição inicial (t_{0}, x). Temos que T_{0} é (bem definido e) de classe C^{k} numa vizinhança aberta de γ(t_{0}) = x_{0} em M.

Para i = j + 2, …, r − 1 defina λ_{i}: 𝔐(I_{i−2} × M) → M fazendo λ_{i}(μ) = μ(s_{i}). Para i = 1, …, j defina λ_{i}: 𝔐(I_{i} × M) → M fazendo λ_{i}(μ) = μ(s_{i}). Em qualquer caso temos que λ_{i} é o operador de evaluação em s_{i}. Recorde que λ_{i} é C^{∞} (vide observação 7 da seção anterior).

Vamos definir uma seqüência T_{i}; i = −j, …, 0, …, r − j − 2 de operadores definidos num subconjunto de M tomando valores em 𝔐(I_{j+i} × M). Temos que T_{0} já está definido. Supondo T_{i} definido para algum i = 0, …, r − j − 3, defina T_{i+1} = S_{j+i+1} ∘ λ_{j+i+2} ∘ T_{i}. Supondo T_{i+1} definido para algum i = −j, …, −1, defina T_{i} = S_{j+i} ∘ λ_{j+i+1} ∘ T_{i+1} (as composições envolvidas nessas definições são consideradas definidas nos pontos onde fazem sentido).

Seja T = (T_{−j}, …, T_{0}, …, T_{r−j−2}) definido sobre a interseção dos domínios dos T_{i}. Temos que T = P ∘ S. De fato, seja x ∈ M um ponto no domínio de S. É fácil ver que T_{i}(x) = S(x)_{|I_{j+i}} para i = −j, …, r−j−2 (faça indução em i, considerando separadamente os casos i ≥ 0 e i ≤ 0). Reciprocamente, seja x ∈ M um ponto no domínio de T . É fácil ver que as curvas T_{i}(x) e T_{i+1}(x) coincidem sobre I_{j+i} ∩ I_{j+i+1}, para i = −j, …, r − j − 3 (observe que T_{i}(x) é sempre uma curva integral de X). Podemos então definir μ: I → M fazendo μ_{|I_{j+i}} = T_{i}(x); i = −j, …, r−j −2. Daí μ é uma curva integral de X com condição inicial (t_{0}, x), donde S(x) = μ.

Como cada S_{i} é (bem definido e) de classe C^{k} numa vizinhança aberta em M de γ(s_{i+1}), é fácil ver que os operadores T_{i} são todos (bem definidos e) de classe C^{k} numa vizinhança aberta de x_{0} em M (observe primeiro que T_{i}(x_{0}) = γ_{|I_{j+i}} e depois faça indução em i). Segue que S é (bem definido e) de classe C^{k} numa vizinhança aberta de x_{0} em M.

Já mostramos então que o domínio de S é aberto em M e que S é de classe C^{k}. Resta mostrar que S é um mergulho forte. Isso segue do fato que S admite um inverso à esquerda de classe C^{∞} (vide seção 0.4), a saber:

γ ∈ 𝔐(I × M) ↦ γ(t_{0}) ∈ M,

o operador de evaluação no instante t_{0}.

Corolário. Seja X: U ⊂ I × M → T M uma função que satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐′ de ordem k, onde I ⊂ ℝ é um intervalo fechado, U ⊂ I × M é aberto em I × M, 𝔐 < C^{0} e k ≥ 1. Então o conjunto C das curvas integrais de X definidas no intervalo I é uma subvariedade forte de 𝔐(I × M) de classe C^{k} e de dimensão n (n é a dimensão de M).

Demonstração. Simplesmente escolha qualquer t_{0} ∈ I e observe que C é a imagem do mergulho forte S de classe C^{k} definido no teorema. Quanto à dimensão, observe que S é um difeomorfismo de classe C^{k} de um aberto de M sobre C.

Note que nas condições do corolário acima, podemos escolher t_{0}, t′_{0} ∈ I e obter a partir do teorema 34 dois mergulhos fortes de classe C^{k}, S e S′. Temos que a imagem de S e a imagem de S′ ambas coincidem com C. A estrutura de subvariedade em C não depende do mergulho escolhido, pois (como foi discutido na seção 0.4) a estrutura de subvariedade forte (e também a fraca) num subconjunto de uma variedade de Banach é única quando existe.

Observe também que o conjunto C que aparece no corolário do teorema 34 pode ser vazio. O leitor pode preferir acrescentar nas hipóteses do corolário que C ≠ ϕ, porém preferimos convencionar que o vazio é uma variedade de dimensão n, para qualquer n ∈ ℕ (isso não será realmente relevante).

No próximo teorema calculamos a diferencial do operador S definido no teorema 34.

Teorema 35. Seja X: U ⊂ I × M → T M uma função que satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐′ de ordem k, onde I ⊂ ℝ é um intervalo fechado, U ⊂ I × M é aberto em I × M, 𝔐 < C^{0} e k ≥ 1. Fixe t_{0} ∈ I. Seja S o operador definido no teorema 34 e seja C o conjunto das curvas integrais de X definidas no intervalo I (i.e., a imagem de S). Escolha um ponto x_{0} no domínio de S e defina γ = S(x_{0}). Daí T_{γ}C (i.e., a imagem de dS(x_{0})) é uma EDO linear global homogênea em T M ao longo de γ de tipo 𝔐′. Além do mais, para todo v_{0} ∈ T_{x_{0}}M temos que dS(x_{0})v_{0} é a única solução de T_{γ}C com condição inicial (t_{0}, v_{0}).

Demonstração. Seja 𝔳 = T_{γ}C. Vamos mostrar que 𝔳 é uma EDO linear global ao longo de γ usando o lema 16. Devemos então verificar as condições (A1) e (A2). Começamos com a condição (A1). Seja t′_{0} ∈ I e seja v′_{0} ∈ T_{γ(t′_{0})}M. Devemos mostrar que existe um único elemento v ∈ 𝔳 tal que v(t′_{0}) = v′_{0}.

Seja S′ o operador que a cada x ∈ M associa (quando existe) a única curva integral μ: I → M de X com condição inicial (t′_{0}, x). Seja x′_{0} = γ(t′_{0}). Segue do teorema 34 que S′ é um mergulho forte de classe C^{k}. Temos que C é a imagem de S′ e γ = S′(x′_{0}).

Seja λ: 𝔐(I ×M) → M o operador λ(μ) = μ(t′_{0}) de evaluação no ponto t′_{0}. Temos que λ ∘ S′ é a inclusão do domínio de S′ em M, donde dλ(γ) ∘ dS′(x′_{0}) é a identidade de T_{x′_{0}}M.

Mas dλ(γ) é dado simplesmente por v ↦ v(t′_{0}) (vide comentário que segue o teorema 18 da seção anterior a respeito da observação 7).

Como S′ é um difeomorfismo de classe C^{k} sobre C, segue que dS′(x′_{0}) e v ↦ v(t′_{0}) são isomorfismos topológicos mutuamente inversos entre T_{x′_{0}}M e T_{γ}C. Segue que existe um único elemento v ∈ 𝔳 = T_{γ}C tal que v(t′_{0}) = v′_{0}.

O que fizemos acima mostra a condição (A1) do lema 16 e também mostra que dado v_{0} ∈ T_{x_{0}}M então dS(x_{0})v_{0} é um campo vetorial v ao longo de γ que satisfaz v(t_{0}) = v_{0}. Daí, se mostrarmos que T_{γ}C é uma EDO linear global, seguirá que dS(x_{0})v_{0} é a única solução de T_{γ}C com condição inicial (t_{0}, v_{0}). Resta então mostrar a condição (A2).

Seja J ⊂ I um subintervalo fechado de I tal que existe uma carta φ: V → Ṽ de M contendo γ(J) em seu domínio e tal que J × V ⊂ U. Seja C_{J} o conjunto das curvas integrais de X definidas no intervalo J. Segue do corolário do teorema 34 que C_{J} é uma subvariedade forte de 𝔐(J × M) (restrinja X a U ∩ (J × M) para ficarmos exatamente dentro das hipóteses do corolário). Temos γ_{|J} ∈ C_{J}. Defina 𝔳_{J} = T_{γ_{|J}} C_{J}.

Assim como 𝔳, temos que 𝔳_{J} satisfaz a condição (A1), ou seja, dado t′_{0} ∈ J e dado v′_{0} ∈ T_{γ(t′_{0})}M existe um único v ∈ 𝔳_{J} tal que v(t′_{0}) = v′_{0}. Queremos mostrar que 𝔳_{J} = { v_{|J} : v ∈ 𝔳 }.

De fato, seja R_{J}: 𝔐(I × M) → 𝔐(J × M) o operador dado por R_{J}(μ) = μ_{|J}. Temos que a diferencial dR_{J}(μ) é dada por v ↦ v_{|J} (vide comentário sobre a observação 5 após o teorema 18 da seção anterior). Mas R_{J} se restringe a um operador de C em C_{J} donde sua diferencial v ↦ v_{|J} leva 𝔳 em 𝔳_{J}. Falta mostrar então que dado w ∈ 𝔳_{J} existe v ∈ 𝔳 tal que w = v_{|J}. Escolha qualquer t′_{0} ∈ J. Como 𝔳 satisfaz a condição (A1) temos que existe v ∈ 𝔳 com v(t′_{0}) = w(t′_{0}). Daí v_{|J} ∈ 𝔳_{J} coincide com w ∈ 𝔳_{J} no instante t′_{0}, e como 𝔳_{J} satisfaz a condição (A1) vemos que v_{|J} = w.

Seja (V, α) a trivialização de T M associada à carta φ: V → Ṽ de M, i.e., α = (π, dφ). Vamos caracterizar através de uma EDO linear as curvas α^{2} ∘ v_{|J} com v ∈ 𝔳. Pelo que mostramos acima, dá no mesmo caracterizar as curvas α^{2} ∘ v com v ∈ 𝔳_{J}.

Escolha t′_{0} ∈ J e escreva x′_{0} = γ(t′_{0}). Seja S′ o operador que a cada x ∈ M associa (quando existe) a única curva integral μ: J → M de X com condição inicial (t′_{0}, x). Daí S′ é um difeomorfismo de classe C^{k} sobre C_{J} e S′(x′_{0}) = γ_{|J}. Temos que 𝔳_{J} é a imagem de dS′(x′_{0}).

Seja X̃: J × Ṽ → ℝ^{n} a representação local de X na carta φ, i.e., X̃ é dado por X̃(t, x) = dφ(φ^{−1}(x))X(t, φ^{−1}(x)), t ∈ J, x ∈ Ṽ .

Temos que X̃ satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐′ de ordem k.

Como t′_{0} ∈ J e γ(J) ⊂ V, segue que γ(t′_{0}) = x′_{0} ∈ V. Daí φ é uma carta em M em torno de x′_{0} e (φ∘) é uma carta em 𝔐(J × M) em torno de γ_{|J}. Seguindo a mesma idéia da primeira parte da demonstração do teorema 34, vemos que a representação local de S′ nas cartas φ e (φ∘) é o operador S̃ que a cada x ∈ Ṽ associa (quando existe) a única curva integral μ̃: J → Ṽ de X̃ com condição inicial (t′_{0}, x). O lema 21 nos dá então a diferencial de S̃, donde podemos achar sua imagem (recorde que o isomorfismo topológico de T_{γ_{|J}} 𝔐(J × M) em 𝔐(J × ℝ^{n}) associado à carta (φ∘) é v ↦ α^{2} ∘ v).

Considere a seguinte EDO linear homogênea:

ẋ(t) = \frac{∂X̃}{∂x} (t, φ ∘ γ(t))x(t), t ∈ J.

É fácil ver que suas soluções maximais são exatamente as curvas α^{2} ∘ v com v ∈ 𝔳_{J}.

Isso completa a demonstração da condição (A2) (observe que para todo t ∈ I existe um intervalo fechado J ⊂ I contendo t no seu interior (relativo a I) tal que γ(J) está contido no domínio de uma carta φ: V → Ṽ de M e tal que J × V ⊂ U). Daí segue do lema 16 que 𝔳 é uma EDO linear global e já mostramos também a descrição de dS dada no enunciado. Obviamente 𝔳 é homogênea, pois 𝔳 é um espaço vetorial e daí contém a seção nula. Também 𝔳 ⊂ T 𝔐(I × M), donde os elementos de 𝔳 são de tipo 𝔐 e 𝔳 é de tipo 𝔐′. Isto completa a demonstração.

Seja X: U ⊂ I × M → T M uma função que satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐′ de ordem k, onde I ⊂ ℝ é um intervalo fechado, U ⊂ I × M é aberto em I × M, 𝔐 < C^{0} e k ≥ 1. Seja C o conjunto das curvas integrais de X definidas no intervalo I. Seja γ ∈ C. O teorema anterior nos diz que T_{γ}C é uma EDO linear global homogênea em T M ao longo de γ de tipo 𝔐′. Dizemos que T_{γ}C é a EDO linear global canônica associada a X ao longo de γ.

Podemos reconhecer as soluções v da EDO linear global canônica (i.e., os elementos v ∈ T_{γ}C) usando coordenadas locais. De fato, seja v uma seção de T M ao longo de γ. Temos que v ∈ T_{γ}C se e somente se para todo t ∈ I existem um intervalo fechado J ⊂ I contendo t no seu interior (relativo a I) e uma carta φ: V → Ṽ de M tais que γ(J) ⊂ V, J × V ⊂ U e t ∈ J ↦ dφ(γ(t))v(t) é solução da EDO linear:

ẋ(t) = \frac{∂X̃}{∂x} (t, φ ∘ γ(t))x(t),  (1)

onde X̃: J × Ṽ → ℝ^{n} é dado por:

X̃(t, x) = dφ(φ^{−1}(x))X(t, φ^{−1}(x)), t ∈ J, x ∈ Ṽ .

Na realidade, se v ∈ T_{γ}C então para toda carta φ: V → Ṽ de M e para todo intervalo fechado J ⊂ I com γ(J) ⊂ V e J × V ⊂ U temos que t ∈ J ↦ dφ(γ(t))v(t) é solução da EDO linear (1). Isso tudo segue diretamente da demonstração do teorema 35 e da condição (P1) da definição de EDO linear global.

Resumindo, dado um campo vetorial dependente do tempo X numa variedade M (satisfazendo certas hipóteses de regularidade) então ao longo de uma curva integral γ: I → M de X (definida num intervalo fechado I ⊂ ℝ) existe uma EDO linear global canonicamente associada a X (à qual denominamos a EDO linear global canônica associada a X ao longo de γ). Em textos mais elementares (onde não se fala em variedades de Banach) pode-se também definir a EDO linear global canônica, simplesmente através de sua fórmula em coordenadas (precisaria então ser demonstrado que a definição não depende da escolha da carta, o que é um cálculo simples). A fórmula que define a EDO linear global canônica poderia então ser motivada verificando que suas soluções são os campos variacionais das variações de γ ao longo de curvas integrais de X.

Estudamos agora dois exemplos. Seja (X_{1}, …, X_{n}) um referencial local dependente do tempo em M, onde os campos X_{i} estão definidos num aberto U ⊂ ℝ × M. Escolha um intervalo fechado I ⊂ ℝ e fixe t_{0} ∈ I. Escolha uma carta qualquer φ: V → Ṽ em M. Obtemos então uma carta de Bismut 𝔅 na variedade 𝔐(I ×M) (associada a (X_{1}, …, X_{n}), φ e t_{0}), para algum 𝔐 < C^{0} fixado.

Seja γ: I → M uma curva pertencente ao domínio de 𝔅 (i.e., uma curva de tipo 𝔐 cujo gráfico está contido em U e tal que γ(t_{0}) ∈ V). Seja h = 𝔅^{2}(γ) ∈ 𝔐′(I × ℝ^{n}). Defina um campo vetorial dependente do tempo X em M fazendo

X(t, x) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}(t)X_{i}(t, x), (t, x) ∈ U ∩ (I × M).

Então X está definido no aberto U ∩ (I × M) em I × M e satisfaz as condições de Carathéodory de tipo 𝔐′ de ordem +∞ (deixamos a verificação a cargo do leitor. Recorde que supomos sempre que os campos X_{i} são de classe C^{∞}).

Segue do corolário do teorema 34 que o conjunto C das curvas integrais de X definidas no intervalo I é uma subvariedade forte de 𝔐(I × M) de classe C^{∞} e de dimensão n. Observe que γ ∈ C.

Fixe ṽ ∈ 𝔐′(I × ℝ^{n}). Nos cálculos que precedem o teorema 29 verificamos que o conjunto 𝔳 dos campos v ∈ T_{γ}𝔐(I × M) tais que d𝔅^{2}(γ)v = ṽ é uma EDO linear global em T M ao longo de γ de tipo 𝔐′. Nos referiremos a 𝔳 simplesmente como “a EDO linear global d𝔅^{2}(γ)v = ṽ”.

Vamos calcular as componentes homogênea e não-homogênea de 𝔳. Quanto à componente não-homogênea, recorde que usando trivializações locais do fibrado vetorial em questão (i.e., T M) ela corresponde ao coeficiente B da EDO linear ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t) que aparece na condição (P2). Nos cálculos que precedem o teorema 29 verificamos a condição (B3) do lema 17 para 𝔳 e daí obtivemos uma EDO linear (a qual funciona para a condição (P2), como é fácil ver. Use o fato que 𝔳_{J} = { v_{|J} : v ∈ 𝔳 }, o qual segue do lema 17. O conjunto 𝔳_{J} foi definido nos cálculos que precedem o teorema 29).

Segue que a componente não-homogênea B: I → T M de 𝔳 é dada por:

B(t) = ∑_{i=1}^{n} ṽ_{i}(t)X_{i}(t, γ(t)), t ∈ I,

onde escrevemos ṽ = (ṽ_{1}, …, ṽ_{n}).

Quanto à componente homogênea, temos que ela é simplesmente d𝔅^{2}(γ)v = 0, ou seja, a componente homogênea 𝔳_{0} de 𝔳 é o núcleo do operador linear d𝔅^{2}(γ). De fato, como d𝔅^{2}(γ) é linear então a imagem inversa por d𝔅^{2}(γ) de um ponto ṽ de seu contradomínio é um subespaço afim paralelo ao seu núcleo (em geral a imagem inversa por uma transformação linear de um ponto do contra-domínio pode ser vazia, mas no nosso caso sabemos que 𝔳 é uma EDO linear global e portanto não é vazia).

Vamos identificar a EDO linear global canônica associada a X ao longo de γ. Em primeiro lugar, vamos achar o subconjunto de ℝ^{n} ⊕ 𝔐′(I × ℝ^{n}) correspondente a C pela carta de Bismut 𝔅. É claro que uma curva μ pertencente ao domínio de 𝔅 está em C se e somente se 𝔅^{2}(μ) = h. Daí 𝔅 faz corresponder um aberto de C a um aberto do subespaço afim ℝ^{n} ×{h} do contra-domínio de 𝔅 (i.e., essencialmente 𝔅 é uma carta de subvariedade para C. Na realidade, para obter uma carta de subvariedade precisamos ainda compor 𝔅 com uma translação que subtrai (0, h)).

Como γ está no domínio de 𝔅, segue que T_{γ}C corresponde através de d𝔅(γ) a ℝ^{n}×{0}, ou seja, T_{γ}C é o núcleo de d𝔅^{2}(γ). Segue que a componente homogênea da EDO linear global d𝔅^{2}(γ)v = ṽ é exatamente a EDO linear global canônica associada a X ao longo de γ.

Vamos estudar mais um exemplo. Seja M uma variedade Riemanniana. Temos que existe um único campo vetorial X: T M → T T M na variedade T M cujas curvas integrais são da forma γ̇, onde γ: I → M é uma geodésica (X é o spray geodésico). Temos que X é de classe C^{∞} e não depende do tempo, mas podemos identificar X com o campo (t, v) ∈ ℝ × T M ↦ X(v) (de modo a ficarmos dentro das hipóteses dos teoremas 34 e 35).

Como X é C^{∞}, segue que X satisfaz as condições de Carathéodory de quaisquer tipos e de ordem +∞. Seja 𝔐 ≤ C^{1} (essa hipótese será comentada numa observação abaixo) e seja I ⊂ ℝ um intervalo fechado. Denote por C o conjunto das curvas integrais de X definidas no intervalo I. O corolário do teorema 34 nos diz que C é uma subvariedade forte de 𝔐(I × T M) de classe C^{∞} e de dimensão 2n, onde n é a dimensão de M (restrinja X a I × T M, de modo a ficarmos exatamente dentro das hipóteses do corolário).

Queremos mostrar que C é uma subvariedade forte de (𝔐′, 𝔐)(I × T M). Escolha t_{0} ∈ I e considere o operador S que a cada v ∈ T M associa (quando existe) a única curva integral ν: I → T M de X com condição inicial (t_{0}, v). Pelo teorema 34 temos que S é um mergulho forte de classe C^{∞} definido num aberto em T M tomando valores em 𝔐(I ×T M). Como a inclusão de 𝔐(I × T M) em (𝔐′, 𝔐)(I × T M) é C^{∞}, segue que S é ao menos C^{∞} quando considerado com contra-domínio em (𝔐′, 𝔐)(I × T M).

Seja λ: 𝔐′(I × T M) → T M o operador λ(ν) = ν(t_{0}) de evaluação no ponto t_{0}. Temos que λ é C^{∞} (aqui usamos que 𝔐′ ≤ C^{0}). Como a inclusão de (𝔐′, 𝔐)(I × T M) em 𝔐′(I × T M) é C^{∞}, segue que λ ainda é C^{∞} quando restrito a (𝔐′, 𝔐)(I × T M). É claro que λ é uma inversa à esquerda de S, donde S é um mergulho forte de classe C^{∞} quando considerado com contra-domínio em (𝔐′, 𝔐)(I × T M) (vide seção 0.4).

Temos então que C (i.e., a imagem de S) é uma subvariedade forte de (𝔐′, 𝔐)(I×T M) de classe C^{∞} e de dimensão 2n. Recorde que (𝔐′, 𝔐)(I × T M) é um fibrado vetorial de Banach sobre 𝔐(I × M) com projeção (π∘), onde π: T M → M é a projeção de T M (vide teorema 23 na seção anterior).

Seja 𝔡: 𝔐(I×M) → (𝔐′, 𝔐)(I×T M) o operador derivação, i.e., 𝔡(γ) = γ̇. Mostramos no início da seção que 𝔡 é C^{∞}. Como 𝔡 é obviamente uma seção do fibrado vetorial de Banach (𝔐′, 𝔐)(I × T M), segue que 𝔡 é um mergulho forte de classe C^{∞} (vide seção 0.4. A projeção de um fibrado vetorial é uma inversa à esquerda de qualquer seção). Em particular a imagem de 𝔡 é uma subvariedade forte de (𝔐′, 𝔐)(I × T M) de classe C^{∞} e 𝔡 é um difeomorfismo de classe C^{∞} sobre sua imagem.

Como C está contido na imagem de 𝔡, segue que C é uma subvariedade forte de classe C^{∞} da imagem de 𝔡, donde G = 𝔡^{−1}(C) é uma subvariedade forte de 𝔐(I × M) de classe C^{∞} e de dimensão 2n (na realidade temos um detalhe a demonstrar aqui. Devemos mostrar que se 𝔤 e 𝔤∘𝔣 são mergulhos fortes entre variedades de Banach então 𝔣 é um mergulho forte também. A única parte não trivial é mostrar que d𝔣(x) é injetora forte a partir do fato que d𝔤(𝔣(x)) ∘ d𝔣(x) e d𝔤(𝔣(x)) são injetoras fortes. Use o comentário que segue o teorema 2 na seção 0.1).

Temos que G é exatamente o conjunto das geodésicas de M definidas no intervalo I. Escolhida uma geodésica γ ∈ G temos então um espaço tangente T_{γ}G, o qual é um subespaço de T_{γ}𝔐(I × M) de dimensão 2n (como 𝔐 ≤ C^{1} é arbitrário, segue que os elementos v ∈ T_{γ}G são campos vetoriais ao longo de γ de classe C^{∞}). Observação: mostramos acima que G é uma subvariedade forte de 𝔐(I ×M) para 𝔐 ≤ C^{1}. Como a inclusão de 𝔐_{2}(I × M) em 𝔐_{1}(I × M) é C^{∞} para 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} ≤ C^{0}, segue que a inclusão de G em 𝔐(I × M) é C^{∞} para qualquer 𝔐 ≤ C^{0}, mas não está claro se essa inclusão é um mergulho forte. Na verdade G é uma subvariedade forte de 𝔐(I × M) para todo 𝔐 ≤ C^{0}, mas a demonstração é bem diferente (e não estamos interessados nesse caso). A idéia é construir uma retração C^{1} de uma vizinhança em 𝔐(I × M) de um elemento γ ∈ G sobre G. Como não podemos considerar a derivada μ̇(t_{0}) para μ ∈ 𝔐(I × M), a situação é mais complicada (para 𝔐 = C^{0} não podemos em geral derivar μ em ponto algum, mas mesmo para 𝔐 = H_{p}^{1} não podemos fazer a evaluação da derivada μ̇ no instante t_{0}). A idéia da demonstração é associar a cada μ numa vizinhança de γ em 𝔐(I × M) a geodésica que coincide com μ nos instantes t_{0} e t_{1}, para algum t_{1} ∈ I “próximo” de t_{0} fixado.

Vamos identificar o espaço tangente T_{γ}G. Afirmamos que T_{γ}G é o conjunto dos campos de Jacobi ao longo da geodésica γ. Em primeiro lugar, os campos de Jacobi ao longo de γ formam um espaço vetorial de dimensão 2n (assim como T_{γ}G), donde basta mostrar que todo campo de Jacobi está em T_{γ}G. Seja v um campo de Jacobi ao longo de γ. Daí existe uma variação H: (−ϵ, ϵ) × I → M de γ com campo variacional v tal que H(s, ·) é uma geodésica para todo s ∈ (−ϵ, ϵ) (vide [Ca]).

Segue do teorema 20 da seção anterior que a curva H̃: (−ϵ, ϵ) → 𝔐(I × M) dada por H̃(s) = H(s, ·) é de classe C^{∞} e seu vetor tangente em s = 0 é o campo variacional v. Como a imagem de H̃ está contida na subvariedade forte G segue que (H̃ é C^{∞} com contra-domínio em G e) seus vetores tangentes estão em T G. Logo v ∈ T_{γ}G, o que completa a demonstração.

O exemplo anterior apenas ilustra as conseqüências do teorema 34 e não será usado em parte alguma do texto. Ele serve como uma motivação elegante para a definição dos campos de Jacobi.