1.1 Variedades de Banach de seções de um fibrado geral.

Nesta seção teremos sempre um fibrado (geral) E sobre uma variedade compacta com bordo M. Em alguns resultados não é necessário supor M compacta e isso será comentado, mas exceto em caso de menção explícita em contrário M será sempre compacta. A projeção de E em M será sempre denotada por π e a fibra típica por E_{0}. A fibra sobre um ponto m ∈ M será denotada por π^{−1}(m) = E_{m}. As variedades de dimensão finita consideradas serão sempre de Hausdorff com base enumerável e de classe C^{∞}, como na seção anterior. Como também já foi observado na seção anterior, se E_{0} é uma variedade sem bordo então E é uma variedade com bordo, com ∂E = π^{−1}(∂M). A variedade E_{0} será sempre sem bordo. Vide comentários a respeito na seção anterior, um pouco depois da demonstração do teorema 1.

Definiremos os conjuntos C^{k}(E) (0 ≤ k < +∞) e H_{p}^{k}(E) (1 ≤ k < +∞, p ∈ [1, +∞]) de seções de E e introduziremos neles uma estrutura de variedade de Banach. Note bem, não existe o conjunto L^{p}(E). Não é possível definir L^{p}(E) usando trivializações locais, por exemplo, pois a propriedade de pertencer a L^{p} não é invariante por composição à esquerda com difeomorfismos C^{∞} (vide exemplos na seção anterior, durante a introdução dos espaços mistos).

A idéia básica para definir as cartas em C^{k}(E) e H_{p}^{k}(E) é a construção das vizinhanças do tipo fibrado vetorial (VBN na sigla em inglês, vector bundle neighborhood. Vide [Pa]). As cartas tomarão valores nos espaços de seções correspondentes estudados na seção anterior.

Observamos que em geral um fibrado E pode não admitir nenhuma seção contínua. Por exemplo, na teoria de fibrados principais isso é o mais comum, já que a existência de uma seção (global) contínua implica que o fibrado é trivial. Isso faz com que os conjuntos C^{k}(E) e H_{p}^{k}(E) sejam vazios, o que não é inconsistente com nossa teoria, apenas torna ela vazia. Existem porém muitos exemplos de fibrados que admitem seções globais e para eles a teoria é bastante rica (mesmo o caso de fibrados triviais é bem interessante. Ele corresponde à teoria de espaços de funções definidas numa variedade compacta com bordo, como veremos adiante).

Começamos com um teorema de aproximação que será usado na construção dos VBN’s. Temos antes um lema preparatório. O leitor pode encontrar algumas das idéias usadas aqui em [Hr].

Lema 8. Seja U ⊂ ℝ^{m} um aberto em ℝ^{m} ou um aberto no semi-espaço H^{m}. Seja f: U → ℝ^{n} uma função contínua. Dada uma função contínua positiva ϵ: U → ℝ então existe g: U → ℝ^{n} de classe C^{∞} com ∥f(x) − g(x)∥ < ϵ(x) para todo x ∈ U.

Demonstração. Para cada x ∈ U temos um aberto U_{x} ⊂ U em U tal que ∥f(y) − f(x)∥ < ϵ(y) para todo y ∈ U_{x}, pela continuidade de f e de ϵ. Os abertos U_{x} formam uma cobertura aberta de U à qual subordinamos uma partição da unidade ∑_{x∈U} α_{x} = 1 de classe C^{∞}. Daí supp α_{x} ⊂ U_{x} para cada x ∈ U e portanto podemos definir g = ∑_{x∈U} α_{x}f(x). É fácil ver que g satisfaz as propriedades desejadas.

Corolário. Sejam U ⊂ ℝ^{m} um aberto em ℝ^{m} ou em H^{m} e V ⊂ ℝ^{n} um aberto em ℝ^{n}. Sejam F, W ⊂ U com F fechado em U e W aberto em U. Dada f: U → V contínua, de classe C^{∞} numa vizinhança aberta em U de F − W e dada ϵ: U → ℝ contínua positiva então existe h: U → V contínua, de classe C^{∞} numa vizinhança aberta de F em U de modo que ∥f(x) − h(x)∥ < ϵ(x) para todo x ∈ U e de modo que h coincida com f em U − W.

Demonstração. Primeiramente vamos construir h sem se preocupar em manter a imagem em V. Nesta demonstração os conceitos de aberto, fechado, fecho, etc, sempre se referirão ao espaço topológico U. Assim, por exemplo, diremos simplesmente que F é fechado.

Pelo lema, existe g: U → ℝ^{n} de classe C^{∞} com ∥f(x) − g(x)∥ < ϵ(x), para todo x ∈ U. Seja A ⊂ U aberto tal que F − W ⊂ A e f_{|A} é C^{∞}. Temos F ⊂ A ∪ W. Como U é um espaço topológico normal existe B ⊂ U aberto com F ⊂ B ⊂ B̄ ⊂ A ∪ W. Assim, (U − B̄) ∪ A e W formam uma cobertura aberta de U à qual subordinamos uma partição da unidade α_{1} + α_{2} = 1 de classe C^{∞} com 0 ≤ α_{1}(x), α_{2}(x) ≤ 1 para todo x ∈ U, supp α_{1} ⊂ (U − B̄) ∪ A e supp α_{2} ⊂ W.

Defina h = α_{1}f + α_{2}g. Temos que h é C^{∞} em B pois h é C^{∞} em U − supp α_{1} (que contém B̄ − A) e em A. É fácil ver que h coincide com f em U − W e além do mais h(x) está no segmento [f(x), g(x)] e portanto ∥f(x) − h(x)∥ ≤ ∥f(x) − g(x)∥ < ϵ(x), para todo x ∈ U.

Finalmente, vamos alterar a construção de modo a garantir que h(U) ⊂ V. Basta tomar ϵ′(x) = min{ϵ(x), d(f(x), ℝ^{n} − V)} e repetir a construção com ϵ′ no lugar de ϵ (recorde que a função “distância a um conjunto fixado” é contínua num espaço métrico).

Mostramos agora o teorema fundamental de aproximação que será usado nesta seção. Não suporemos M compacta pois isso não muda muito a demonstração. Dada uma cobertura aberta M = ⋃_{λ∈L} U_{λ} diremos que uma família de abertos (V_{λ})_{λ∈L} é um encolhimento da família (U_{λ})_{λ∈L} quando M = ⋃_{λ∈L} V_{λ} e \overline{V_{λ}} ⊂ U_{λ} para todo λ ∈ L.

Observamos que toda cobertura aberta (U_{λ})_{λ∈L} de M admite um encolhimento. De fato, basta escolher uma partição da unidade ∑_{λ∈L} α_{λ} = 1 subordinada a (U_{λ})_{λ∈L} e definir V_{λ} = { x ∈ M : α_{λ}(x) ≠ 0 }.

Teorema 15. Seja E um fibrado sobre uma variedade com bordo M. Seja s uma seção contínua de E e seja V ⊂ E aberto com s(M) ⊂ V. Então existe uma seção r de E de classe C^{∞} com r(M) ⊂ V.

Demonstração. Considere uma cobertura de M formada por abertos U ⊂ M que são domínio de um sistema de coordenadas em M e sobre os quais existe uma trivialização σ = (π, σ^{2}): π^{−1}(U) → U × E_{0} de E na qual a representação local s̃ = σ^{2} ∘ s_{|U} de s, s̃: U → E_{0} tem imagem num subconjunto de E_{0} contido no domínio de um sistema de coordenadas em E_{0}. Como M é paracompacta, existe um refinamento localmente finito dessa cobertura aberta. Como M tem base enumerável, toda família localmente finita em M é enumerável (a menos de repetições do conjunto vazio). Escrevemos então M = ⋃_{n∈ℕ} U_{n} com cada U_{n} ⊂ M aberto e (U_{n})_{n∈ℕ} localmente finita.

Temos para cada n ∈ ℕ um sistema de coordenadas φ_{n}: U_{n} → Ũ_{n} em M, um sistema de coordenadas ψ_{n}: Z_{n} → Z̃_{n} em E_{0}, com Z_{n} ⊂ E_{0} aberto, Z̃_{n} aberto no espaço Euclideano e Ũ_{n} aberto no espaço Euclideano ou num semi-espaço. Temos também uma trivialização local σ_{n}: π^{−1}(U_{n}) → U_{n} × E_{0} de E de modo que a representação local de s nessa trivialização toma valores em Z_{n}, i.e., s(U_{n}) ⊂ (σ_{n}^{2})^{−1}(Z_{n}).

Considere um encolhimento (U′_{n})_{n∈ℕ} da família (U_{n})_{n∈ℕ} e um encolhimento (U′′_{n})_{n∈ℕ} da família (U′_{n})_{n∈ℕ}. Defina F_{n} = \overline{U′′_{n}}. Assim, temos uma cobertura de M por fechados F_{n} com F_{n} ⊂ U′_{n} para todo n ∈ ℕ. Como M é um espaço topológico normal existe para cada n ∈ ℕ um aberto W_{n} em M com F_{n} ⊂ W_{n} ⊂ \overline{W_{n}} ⊂ U′_{n}.

Devemos primeiro construir um aberto V′ ⊂ E tal que s(M) ⊂ V′ ⊂ V e tal que para toda seção r de E, r(M) ⊂ V′ implique r(U′_{n}) ⊂ (σ_{n}^{2})^{−1}(Z_{n}) para todo n ∈ ℕ. Fixe x ∈ M. Seja A_{x} ⊂ M uma vizinhança aberta de x tal que U_{n} ∩ A_{x} ≠ ϕ apenas para um número finito de índices n. Para cada índice n com U_{n} ∩ A_{x} ≠ ϕ temos duas possibilidades: se x ∈ U_{n} defina B_{n}^{x} = (σ_{n}^{2})^{−1}(Z_{n}). Se x ∉ U_{n} defina B_{n}^{x} = (σ_{n}^{2})^{−1}(Z_{n}) ∪ π^{−1}(M − \overline{U′_{n}}). Seja Ã_{x} a interseção de π^{−1}(A_{x}) com a interseção dos conjuntos B_{n}^{x} (n percorre os índices tais que U_{n} ∩A_{x} ≠ ϕ). Tome então V′ = V ∩⋃_{x∈M} Ã_{x}. É fácil ver que V′ tem as propriedades desejadas (por exemplo, s(x) ∈ Ã_{x}, ∀x ∈ M).

Vamos construir indutivamente uma seqüência (r_{n})_{n∈ℕ} de seções contínuas de E de modo que para cada n ∈ ℕ, r_{n}(M) ⊂ V′, r_{n} é C^{∞} numa vizinhança aberta da união F_{0} ∪ … ∪ F_{n−1} (que convencionamos vazia para n = 0) e r_{n+1} coincide com r_{n} fora de W_{n}. Uma vez construída tal seqüência é fácil ver que r = lim_{n→+∞} r_{n} é a seção desejada (note que como (W_{n})_{n∈ℕ} é localmente finita, todo ponto m ∈ M tem uma vizinhança sobre a qual a seqüência r_{n} é constante para n suficientemente grande).

Vamos então construir a seqüência prometida. Tome r_{0} = s. Supondo r_{0}, …, r_{n} construídas para um certo n ∈ ℕ, construímos r_{n+1}. Considere a representação local de r_{n} nas cartas (U′_{n}, φ_{n}), (Z_{n}, ψ_{n}) e na trivialização (U′_{n}, σ_{n}) (note que isso existe pois r_{n}(M) ⊂ V′ implica r_{n}(U′_{n}) ⊂ (σ_{n}^{2})^{−1}(Z_{n})).

Vamos aplicar então o corolário do lema 8. Temos uma função contínua f: φ_{n}(U′_{n}) → Z̃_{n} (a representação local de r_{n}), um fechado φ_{n}(U′_{n} ∩(F_{0} ∪…∪F_{n})) e um aberto φ_{n}(W_{n}) dentro de φ_{n}(U′_{n}). Defina a função ϵ fazendo ϵ(x) igual à distância de (x, f(x)) a φ_{n}(U′_{n})× Z̃_{n} −τ_{n}(V′), onde τ_{n}: (σ_{n}^{2})^{−1}(Z_{n})∩π^{−1}(U′_{n}) → φ_{n}(U′_{n})×Z̃_{n} é a carta induzida em E pelas cartas (U′_{n}, φ_{n}), (Z_{n}, ψ_{n}) e pela trivialização (U′_{n}, σ_{n}). O corolário do lema 8 nos dá então a aproximação h de f. Obtemos então r_{n+1} modificando r_{n} apenas em U′_{n} fazendo com que h seja a representação local de r_{n+1} nas cartas (U′_{n}, φ_{n}), (Z_{n}, ψ_{n}) e na trivialização (U′_{n}, σ_{n}).

Se E é um fibrado vetorial sobre M dizemos que um subconjunto ξ ⊂ E é um VBN (vector bundle neighborhood) em E se ξ é um subfibrado de E de codimensão zero junto com uma estrutura de fibrado vetorial. Mais precisamente, um VBN em E é um aberto ξ ⊂ E junto com uma escolha de estrutura de espaço vetorial em cada ξ ∩ E_{m}, de modo que ξ (com a estrutura de subvariedade aberta de E) seja um fibrado vetorial sobre M com projeção π_{|ξ}: ξ → M e uma certa fibra típica ξ_{0}. Note que a fibra de ξ no ponto m é simplesmente ξ_{m} = E_{m} ∩ ξ.

Mostraremos logo adiante que se s é uma seção contínua de E então existe um VBN ξ em E com s(M) ⊂ ξ. Antes disso, adiantamos algumas definições.

Se ξ e η são dois VBN’s em E com ξ ∩ η ≠ ϕ então definimos o morfismo geral de transição (ou simplesmente morfismo de transição) entre ξ e η como sendo o morfismo geral T: ξ ∩ η ⊂ ξ → η de classe C^{∞} definido no aberto ξ ∩ η do fibrado vetorial ξ a valores no fibrado vetorial η dado por T (x) = x. Observe que as afirmações de que T é C^{∞} ou de que ξ ∩ η é aberto em ξ são triviais pois ξ, η tem a topologia induzida de E e como variedades são simplesmente subvariedades abertas de E.

Note bem, T em geral não é linear nas fibras. Temos sempre para um VBN ξ em E que ξ_{m} é um aberto em E_{m} e ξ_{m} tem uma estrutura de espaço vetorial de dimensão finita, de modo que a estrutura de variedade em ξ_{m} proveniente da estrutura de espaço vetorial coincide com a estrutura de subvariedade aberta de E_{m}. Porém, se acidentalmente para dois VBN’s ξ, η em E tivermos ξ_{m} = η_{m} para algum m ∈ M então o morfismo de transição T restrito à fibra ξ_{m} é simplesmente a identidade, mas mesmo assim não é linear em geral. Simplesmente, ξ_{m} e η_{m} são iguais como conjuntos (e como variedades), mas suas estruturas de espaço vetorial são diferentes. Obviamente o morfismo de transição de um VBN ξ em si mesmo é a identidade (e nesse caso ela é linear nas fibras).

Se M = [a, b] é um intervalo fechado então dados k inteiro, 1 ≤ k < +∞ e p ∈ [1, +∞] dizemos que uma seção s de E é do tipo H_{p}^{k} quando existe um VBN ξ em E contendo a imagem de s tal que s ∈ H_{p}^{k}(ξ) (no sentido da seção anterior). Definimos então H_{p}^{k}(E) como sendo o conjunto das seções de E do tipo H_{p}^{k}.

Como todo elemento de H_{p}^{k}(ξ) é de classe C^{k−1} e k vezes diferenciável em quase todo ponto é claro que os elementos de H_{p}^{k}(E) também o são.

Dada s ∈ H_{p}^{k}(E) temos um VBN ξ em E com s ∈ H_{p}^{k}(ξ), por definição. Dado qualquer outro VBN η em E com s(M) ⊂ η então também s ∈ H_{p}^{k}(η). De fato, se T é o morfismo de transição de ξ para η então (T ∘) preserva H_{p}^{k}, pelo corolário 1 do lema 4.

Se M é qualquer variedade compacta com bordo, definimos C^{k}(E) como sendo o conjunto das seções de E de classe C^{k} (consideraremos o conjunto C^{∞}(E) às vezes, mas este não será uma variedade de Banach). É claro que se s ∈ C^{k}(E) e se ξ é um VBN em E com s(M) ⊂ ξ então s ∈ C^{k}(ξ). Também se s é uma seção de E e existe um VBN ξ em E com s ∈ C^{k}(ξ) então s ∈ C^{k}(E).

Como na seção anterior usaremos o símbolo 𝔐 quando quisermos nos referir a C^{k} ou H_{p}^{k}, sendo que nessa seção, até a introdução dos espaços mistos, suporemos sempre 𝔐 ≤ C^{0} (i.e., 𝔐 ≠ L^{p}) a menos de menção explícita em contrário.

Se U ⊂ E é um aberto denotamos por 𝔐(E; U) o conjunto das seções s ∈ 𝔐(E) tais que s(M) ⊂ U. Note que se ξ é um VBN em E então em particular ξ ⊂ E é um subconjunto aberto, donde escrevemos 𝔐(E; ξ).

Se ξ é um VBN em E então a trinca (𝔐(E; ξ), (Id ∘), 𝔐(ξ)) é uma carta no conjunto 𝔐(E) (seguindo exatamente as notações e definições da seção 0.2). Aqui (Id ∘) é simplesmente a função que leva a seção s ∈ 𝔐(E) com s(M) ⊂ ξ na própria seção s ∈ 𝔐(ξ). Note que a imagem de (Id ∘) é todo o espaço 𝔐(ξ).

Se ξ, η são VBN’s em E então as cartas associadas a ξ e a η são C^{∞}-compatíveis. De fato, ou 𝔐(E; ξ) ∩ 𝔐(E; η) = ϕ (e daí as cartas são automaticamente C^{∞}-compatíveis) ou então tomamos o morfismo de transição T: ξ ∩ η ⊂ ξ → η de ξ para η e vemos que a função de transição entre as duas cartas é (T ∘): 𝔐(ξ; ξ ∩ η) → 𝔐(η; ξ ∩ η), a qual é um difeomorfismo C^{∞} entre abertos, pelo lema 5 (note que a inversa de (T ∘) é (T^{−1}∘)).

É claro que se 𝔐(E; ξ)∩𝔐(E; η) ≠ ϕ então ξ∩η ≠ ϕ, mas é bem possível que ξ∩η ≠ ϕ e ainda assim 𝔐(E; ξ) ∩ 𝔐(E; η) = ϕ. Basta, por exemplo, que ξ ∩ η não intersecte todas as fibras de ξ.

Observe que se E é um fibrado vetorial então 𝔐(E) já tem uma estrutura de variedade de Banach canônica, pois 𝔐(E) é um espaço de Banach (temos o atlas maximal que contém a identidade). Vemos que ξ = E é um VBN em E e portanto o atlas que estamos introduzindo é compatível com a estrutura de variedade que 𝔐(E) já tem por ser um espaço de Banach.

Recorde que na seção 0.2 permitimos que o espaço de Banach que aparece como contradomínio das cartas fosse variável. Vemos agora que isso é realmente interessante. A única coisa que falta para sabermos que as cartas descritas para 𝔐(E) formam um atlas C^{∞} é mostrar que para toda seção contínua s de E existe um VBN ξ de E com s(M) ⊂ ξ (é claro que C^{0}(E) é o maior conjunto de seções que possuímos). Passamos agora aos preparativos desta demonstração. Usaremos muitas vezes o teorema da função inversa em variedades com bordo, donde recomenda-se que o leitor recorde as observações feitas a respeito na seção 1.0 (vide logo após a definição de domínio com bordo).

Se ξ ⊂ E é um VBN então a seção nula do fibrado vetorial ξ é obviamente uma seção C^{∞} de E. Se s é a seção nula de ξ diremos que ξ é um VBN centrado em s. A idéia da demonstração de existência de VBN’s é a seguinte: se s é uma seção C^{∞} de E usamos uma exponencial Riemanniana para construir um VBN centrado em s. Se s é só contínua usamos o teorema 15 para recair no caso de seções C^{∞}.

Se E é um fibrado geral sobre M então o fibrado tangente T E de E é um fibrado vetorial sobre E. O fibrado vetorial T E admite um subfibrado vetorial canônico, o fibrado vertical, definido como Ver E = Ker dπ. É fácil ver que a fibra de Ver E no ponto e ∈ E é o espaço tangente à fibra E_{m} no ponto e, onde m = π(e).

Observamos que o fibrado vetorial Ver E (como qualquer outro fibrado vetorial) admite estruturas ortogonais. Observe que uma estrutura ortogonal em Ver E é uma escolha de métrica Riemanniana em cada fibra E_{m}, com “dependência lisa do ponto m ∈ M”. Podemos também pensar numa “família de variedades Riemannianas a um parâmetro”. Recordamos agora algumas definições de geometria Riemanniana básica (para fixar a terminologia). No que segue, N é uma variedade (não necessariamente compacta) sem bordo. Na prática, tomaremos depois N como sendo uma fibra de E.

Seja N uma variedade Riemanniana. Dados x, y ∈ N definimos a distância de x a y como sendo o ínfimo d(x, y) dos comprimentos das curvas C^{∞} por partes conectando x e y. Observação: A classe mais geral de curvas γ: [a, b] → N para as quais faz sentido definir o comprimento de arco através da fórmula ∫_{a}^{b} ∥γ̇∥ é a classe das curvas absolutamente contínuas. Se definirmos d(x, y) usando curvas absolutamente contínuas (ao invés de C^{∞} por partes) obtemos o mesmo resultado, pois não é difícil ver que dada uma curva absolutamente contínua γ conectando x e y existe uma geodésica por partes conectando x e y de comprimento menor ou igual ao de γ (vide [Ca]. Note que essa geodésica por partes é até real-analítica por partes se a métrica Riemanniana for real-analítica). Também é possível definir d(x, y) usando só curvas C^{∞} (não C^{∞} por partes). O resultado também é o mesmo pois uma curva C^{∞} por partes admite sempre uma reparametrização crescente (com o mesmo comprimento, portanto) de classe C^{∞}, introduzindo derivadas zero numa vizinhança dos “ângulos”.

É fácil mostrar que (N, d) é um espaço métrico (vide [Ca]). Dado um ponto x ∈ N dizemos que um número real r > 0 é um raio normal no ponto x quando a exponencial geodésica exp_{x} no ponto x contiver no seu domínio a bola aberta B(0; r) ⊂ T_{x}N de centro na origem e raio r no espaço tangente, e além do mais exp_{x} for um difeomorfismo de B(0; r) sobre sua imagem exp_{x}(B(0; r)) ⊂ N que deve ser aberta em N.

É possível mostrar (vide [Ca]) que se r > 0 é um raio normal em x ∈ N então dado v ∈ B(0; r), a geodésica t ∈ [0, 1] ↦ exp_{x}(tv) ∈ N é a única curva minimizante que conecta x e exp_{x}(v) (a menos de reparametrização crescente). Segue daí que d(x, exp_{x}(v)) = ∥v∥, onde ∥v∥ é a norma de v na métrica Riemanniana de N. Segue daí também que a bola aberta B(x; r) em N na métrica d coincide com exp_{x}(B(0; r)) (de fato, exp_{x}(B(0; r)) ⊂ B(x; r) é óbvio e reciprocamente, dado y ∈ N com d(x, y) = r′ < r, suponha por absurdo que y ∉ exp_{x}(B(0; r)). Então temos uma curva γ: [a, b] → N conectando x e y de comprimento r′ +ϵ < r. Mas a imagem de γ é conexa e corta o interior e o exterior de exp_{x}(B(0; r′ +ϵ)), donde existe t ∈ [a, b] com γ(t) ∈ exp_{x}(S(0; r′ + ϵ)) = ∂ exp_{x}(B(0; r′ + ϵ)). Isso implica que γ tem comprimento r′ + ϵ em [a, t] e logo deve ser constante em [t, b], donde γ(t) = γ(b) ∈ exp_{x}(B(0; r)), contradição). Segue também que a topologia induzida por d em N coincide com a topologia de N como variedade, já que segue do teorema da função inversa que todo ponto admite um raio normal (note que d exp_{x}(0) = Id).

Dizemos que um número real r > 0 é um raio totalmente normal no ponto x ∈ N quando r for normal (em x e) em todo ponto y ∈ exp_{x}(B(0; r)).

Observe que se r > 0 é um raio totalmente normal em x ∈ N então para todo y ∈ exp_{x}(B(0; r)) = B(x; r) temos x ∈ exp_{y}(B(0; r)) = B(y; r) (pois y ∈ B(x; r) e x ∈ B(y; r) ambos dizem que d(x, y) < r).

Observe que dado U ⊂ N aberto e dado r > 0 então o conjunto B(U; r) dos vetores v ∈ T N com ∥v∥ < r que se projetam sobre pontos de U é um aberto em T N (note que a função norma de T N em ℝ é contínua). Na realidade, dado x ∈ T N então os abertos B(U; r) com r > 0 e U ∋ x aberto em N formam um sistema fundamental de vizinhanças do vetor 0 ∈ T_{x}N em T N. Para ver isso, tome coordenadas locais, denote por g a métrica Riemanniana, por g_{e} a métrica Euclideana (proveniente da carta) e note que existem constantes positivas c_{1}, c_{2} com c_{1}g(v, v) ≤ g_{e}(v, v) ≤ c_{2}g(v, v), para todo vetor v tangente num ponto de uma vizinhança compacta de x. Daí segue o resultado.

Mostra-se que todo ponto x ∈ N admite um raio totalmente normal aplicando o teorema da função inversa da seguinte forma: considere a função definida num aberto de T N a valores em N ×N dada por v ↦ (π(v), exp(v)), onde π: T N → N á projeção de T N. É fácil ver em coordenadas locais que essa função tem como diferencial um isomorfismo no ponto 0 ∈ T_{x}N e daí temos um difeomorfismo de um aberto em T N contendo 0 ∈ T_{x}N, que podemos supor da forma B(U; r), sobre um aberto em N × N. Daí para todo y ∈ U o raio r > 0 é normal e daí diminuindo r > 0 de modo que B(x; r) ⊂ U obtemos um raio totalmente normal de x. Generalizaremos esse argumento num lema logo adiante.

Recorde que se N é uma variedade Riemanniana então temos um único campo vetorial na variedade T N (o spray geodésico) cujas curvas integrais são as curvas γ̇ onde γ é uma geodésica em N. Temos então o fluxo (de classe C^{∞}) desse campo vetorial, f: U ⊂ ℝ × T N → T N definido num aberto U ⊂ ℝ × T N. Definimos então um aberto V ⊂ T N fazendo V = { v ∈ T N : (1, v) ∈ U } e fazemos para v ∈ V, exp(v) = π ∘ f(1, v). Vamos generalizar essa idéia para “famílias de variedades Riemannianas a um parâmetro”.

Seja E um fibrado sobre uma variedade compacta com bordo M. Tome uma estrutura ortogonal em Ver E. Temos um único campo vetorial na variedade Ver E cujas curvas integrais são da forma γ̇, onde γ é uma geodésica em alguma fibra E_{m}. Temos então um fluxo (de classe C^{∞}) desse campo vetorial, f: U ⊂ ℝ × Ver E → Ver E definido num aberto U ⊂ ℝ × Ver E (observe que o teorema do fluxo não se comporta bem em variedades com bordo, mas no caso o campo vetorial é sempre tangente ao bordo nos pontos do bordo e daí o teorema do fluxo vale. A demonstração é essencialmente a mesma do caso sem bordo). Definimos então um aberto V ⊂ Ver E fazendo V = { v ∈ Ver E : (1, v) ∈ U } e fazemos para v ∈ V, exp(v) = π ∘ f(1, v), onde π: Ver E → E á projeção de Ver E. Obtemos então uma aplicação exponencial fibrada (ou, simplesmente, aplicação exponencial) exp definida num aberto em Ver E tomando valores em E. Observe que se v ∈ Ver_{e} E e se e ∈ E_{m} então exp leva v num ponto de E_{m} (as curvas t ↦ exp(tv) são geodésicas das fibras de E).

Dada uma seção contínua s de E dizemos que r > 0 é um raio normal para s se para cada m ∈ M, r for um raio normal para s(m) na variedade Riemanniana E_{m}. Do mesmo modo, dizemos que r > 0 é um raio totalmente normal para s se r for um raio totalmente normal para s(m) na variedade Riemanniana E_{m}, para cada m ∈ M.

O objetivo aqui é provar a existência de um VBN em E contendo uma seção contínua qualquer dada. Temos alguns lemas preparatórios. No que segue, d_{m} denota a métrica na variedade Riemanniana E_{m}.

Lema 9. Fixe uma estrutura ortogonal em Ver E. Dada uma seção contínua s de E e dado r > 0 então o conjunto { e ∈ E : d_{m}(e, s(m)) < r, m = π(e) } é aberto em E (não é necessário supor M compacta).

Demonstração. Seja e ∈ E com π(e) = m e d_{m}(e, s(m)) < r. Seja U ⊂ M um aberto contendo m sobre o qual trivializamos E. Podemos então fazer a demonstração no fibrado trivial U × E_{0}, onde temos uma métrica Riemanniana em E_{0} que depende do ponto em U, i.e., uma função g: U × E_{0} → T E_{0}^{∗} ⊗ T E_{0}^{∗} de classe C^{∞}, de modo que para cada x ∈ U e para cada f ∈ E_{0} temos que g(x, f) é um produto interno em T_{f}E_{0}. Denotamos por g_{x} a métrica Riemanniana em {x} × E_{0}, para x ∈ U. Identificamos a seção s_{|U} com uma função de U em E_{0} (sua representação local na trivialização). Denotamos por exp_{f}(g_{x}; v) a exponencial de v ∈ T_{f}E_{0} na métrica g_{x}.

Como d_{m}(e, s(m)) < r, existe uma curva γ: [a, b] → E_{0} de classe C^{∞} por partes de modo que γ(a) = s(m), γ(b) = e e de modo que o comprimento de γ na métrica g_{m} é menor do que r. Seja K ⊂ E_{0} um compacto que contém os pontos e, s(m) no seu interior.

Se L é uma vizinhança compacta de m em U é fácil ver que existe uma constante c > 0 com g_{x}(v, v)^{1/2} ≤ cg_{m}(v, v)^{1/2}, sempre que x ∈ L e v é tangente a E_{0} num ponto de K. Temos que a função ∫_{a}^{b} g_{x}(γ̇(t), γ̇(t))^{1/2}dt de x ∈ U é contínua e portanto existe uma vizinhança aberta V ⊂ U de m tal que para x ∈ V o comprimento de γ em g_{x} é menor que r − ϵ, para algum ϵ > 0. Podemos supor V ⊂ L.

Seja r_{1} > 0 um raio normal para s(m) e para e na métrica g_{m} tal que r_{1} < ϵ/2c. É possível supor também que exp_{s(m)}(g_{m}; B(0; r_{1})) e exp_{e}(g_{m}; B(0; r_{1})) estão contidas em K. Pela continuidade de s podemos diminuir a vizinhança aberta V de m de modo que para todo x ∈ V tenhamos s(x) ∈ exp_{s(m)}(g_{m}; B(0; r_{1})). Afirmação: o aberto V × exp_{e}(g_{m}; B(0; r_{1})) em U × E_{0} é formado somente por pontos (x, f) ∈ U × E_{0} tais que a distância de f a s(x) na métrica d_{x} é menor que r.

De fato, seja (x, f) ∈ V × exp_{e}(g_{m}; B(0; r_{1})). Como s(x) ∈ exp_{s(m)}(g_{m}; B(0; r_{1})) temos uma geodésica de g_{m} conectando s(x) a s(m) cujo comprimento em g_{m} é menor que r_{1}. Daí o comprimento em g_{x} é menor que cr_{1}. Analogamente, temos uma geodésica de g_{m} conectando e a f cujo comprimento em g_{x} é menor que cr_{1}. Também a curva γ em E_{0} conecta s(m) e e, sendo seu comprimento em g_{x} menor que r − ϵ. Concatenando as três curvas conectamos s(x) e f em E_{0} por uma curva C^{∞} por partes cujo comprimento em g_{x} é menor que r.

Comentamos que existem dois argumentos alternativos naturais para demonstrar o teorema 7 que não funcionam: não é possível simplesmente argumentar que d sendo uma métrica é contínua pois d não é uma métrica em E, temos apenas uma métrica em cada fibra (em geral uma métrica Riemanniana em E que estende a estrutura ortogonal em Ver E não induz a métrica de espaço métrico original nas fibras). Outra idéia seria usar o teorema da função inversa. Isso funcionaria se s fosse pelo menos de classe C^{1} (e se r fosse um raio normal).

Observamos que se Ver E tem uma estrutura ortogonal então dado U ⊂ E aberto e dado r > 0 o conjunto B(U; r) dos vetores v ∈ Ver E tais que ∥v∥ < r e que se projetam sobre U é um aberto em Ver E (note que a função norma de Ver E em ℝ é contínua). Além do mais, dado e ∈ E o conjunto dos abertos B(U; r) com r > 0 e U ∋ e aberto em E é um sistema fundamental de vizinhanças para 0 em Ver_{e} E. De fato, use trivializações e coordenadas locais em torno de e e note que existem constantes c_{1}, c_{2} > 0 tais que c_{1}g(v, v) ≤ g_{e}(v, v) ≤ c_{2}g(v, v) para todo vetor v ∈ Ver E tangente a um ponto numa vizinhança compacta de e (g é a estrutura ortogonal de Ver E e g_{e} é a métrica Euclideana induzida da carta). Daí segue o resultado.

Se E, F são fibrados sobre M (com fibras típicas E_{0}, F_{0}) então denotamos por E ∗ F o fibrado sobre M com fibra típica E_{0} × F_{0} e cuja fibra no ponto m ∈ M é E_{m} × F_{m}. As trivializações são dadas da maneira óbvia (escrevemos E ∗ F para distinguir do produto cartesiano das variedades E × F).

Lema 10. Fixe uma estrutura ortogonal em Ver E. Então dados uma seção contínua s de E e um aberto U ⊂ E com s(M) ⊂ U existe um raio totalmente normal r > 0 para s tal que para todo m ∈ M a bola B(s(m); r) em E_{m} na métrica d_{m} está contida em U.

Demonstração. Mostramos primeiro que dado e ∈ E existe um aberto W ⊂ E contendo e e um número r > 0 tal que para todo f ∈ W temos que r é um raio totalmente normal para f em E_{x}, onde x = π(f). Mostramos também que se e ∈ U então é possível escolher W e r de modo que além do mais a bola B(f; r) em E_{x} (na métrica d_{x}) esteja contida em U, para todo f ∈ W, x = π(f).

Seja e ∈ E. Definimos uma função λ no domínio de exp (um aberto em Ver E) a valores em E ∗E fazendo λ(v) = (π̂(v), exp(v)), onde π̂ é a projeção do fibrado Ver E sobre E (note que π̂(v) e exp(v) estão na mesma fibra de E, donde realmente (π̂(v), exp(v)) ∈ E ∗ E). É fácil ver (usando coordenadas e trivializações locais) que a diferencial de λ em 0 ∈ Ver_{e} E é um isomorfismo. Daí λ é um difeomorfismo de uma vizinhança aberta de 0 ∈ Ver_{e} E em Ver E sobre uma vizinhança aberta de (e, e) em E ∗ E. Podemos diminuir essa vizinhança aberta em Ver E até um aberto do tipo B(V; r′) com V ∋ e aberto em E e r′ > 0 (vide observações que precedem o lema). É fácil ver que r′ > 0 é um raio normal em todo ponto de V.

Pela continuidade de exp, como a exponencial do vetor 0 ∈ Ver_{e} E é e ∈ V podemos encontrar uma vizinhança aberta de 0 ∈ Ver_{e} E em Ver E que é mandada por exp dentro de V. Podemos supor essa vizinhança aberta do tipo B(W; r) com W ∋ e aberto em E e r > 0 (que podemos supor menor ou igual a r′), donde se vê que r é um raio totalmente normal em todo ponto de W. Do mesmo modo, se e ∈ U podemos diminuir W e r de modo que exp_{f}(B(0; r)) = B(f; r) ⊂ U para todo f ∈ W.

Para cada m ∈ M temos s(m) ∈ U. Daí existe um aberto W_{m} em E contendo s(m) e um número r_{m} > 0 tal que r_{m} é um raio totalmente normal em todo ponto de W_{m} e além do mais as bolas abertas de centro em pontos de W_{m} e raio r_{m} estão contidas em U. Os conjuntos W_{m} formam uma cobertura aberta do compacto s(M), donde tomamos uma subcobertura finita s(M) ⊂ W_{m_{1}} ∪ … ∪ W_{m_{k}}. É fácil ver que r = min{r_{m_{1}}, …, r_{m_{k}}} > 0 é o número procurado.

Observe que em particular (tomando U = E) vemos que toda seção contínua de E admite um raio totalmente normal. Vamos agora construir VBN’s centrados em seções C^{∞}. Recordamos que se V é um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno (ou um espaço de Hilbert) então f: V → B(0; 1) dado por f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+∥x∥^{2}}} é um difeomorfismo

C^{∞} sobre a bola unitária B(0; 1). Em particular uma bola aberta em V também admite uma estrutura de espaço vetorial compatível com sua estrutura de variedade (declarando f um isomorfismo linear).

Lema 11. Fixe uma estrutura ortogonal em Ver E. Então se s é uma seção C^{∞} de E e r > 0 é um raio normal para s temos que o conjunto ξ = { e ∈ E : d_{m}(e, s(m)) < r, m = π(e) } tem uma estrutura de VBN centrado em s.

Demonstração. Como s é C^{∞} podemos considerar o fibrado vetorial (de classe C^{∞}) s^{∗} Ver E sobre M cuja fibra no ponto m ∈ M é Ver_{s(m)} E. Temos uma aplicação natural φ: s^{∗} Ver E → Ver E dada por φ(v) = v.

A estrutura ortogonal em Ver E induz da maneira óbvia uma estrutura ortogonal em s^{∗} Ver E. O conjunto V ⊂ s^{∗} Ver E dos vetores de norma menor que r é um aberto em s^{∗} Ver E. A hipótese de que r é normal em s implica em particular que φ(V) ⊂ Ver E está contido no domínio da exponencial. É fácil ver que exp ∘φ_{|V} é uma bijeção sobre ξ e que sua diferencial em qualquer ponto é um isomorfismo (temos uma aplicação entre fibrados que preserva as fibras e induz a identidade na base, sendo um difeomorfismo fibra por fibra. Para ver que a imagem é ξ recorde que exp_{s(m)}(B(0; r)) = B(s(m); r) pois r é normal em s(m)).

Daí exp ∘φ_{|V} é um difeomorfismo C^{∞} sobre o aberto ξ ⊂ E. Temos um difeomorfismo C^{∞} de s^{∗} Ver E sobre V dado por p(v) = \frac{rv}{\sqrt{1+∥v∥^{2}}} . Daí exp ∘φ ∘ p é um difeomorfismo

C^{∞} do fibrado vetorial s^{∗} Ver E sobre o aberto ξ ⊂ E (que preserva as fibras e induz a identidade na base). Declarando-o um isomorfismo de fibrados vetoriais obtemos em ξ a estrutura de VBN desejada.

Como, pelo lema 10, sabemos que raios normais realmente existem, vemos que para toda seção s de E de classe C^{∞} existe um VBN ξ em E centrado em s. Finalmente, provamos o teorema fundamental.

Teorema 16. Seja s uma seção contínua de E e seja U ⊂ E um aberto com s(M) ⊂ U. Então existe um VBN ξ em E com s(M) ⊂ ξ ⊂ U.

Demonstração. Escolha uma estrutura ortogonal em Ver E. Pelo lema 10 existe um raio totalmente normal r > 0 para s tal que B(s(m); r) ⊂ U para todo m ∈ M. Seja V = ⋃_{m∈M} B(s(m); r/2). Pelo lema 9, temos que V ⊂ E é aberto. Pelo teorema 15 existe uma seção s′ de E de classe C^{∞} com s′(M) ⊂ V. Daí (r e portanto) r/2 é um raio normal para s′ e o lema 11 implica que ξ = ⋃_{m∈M} B(s′(m); r/2) admite uma estrutura de VBN centrado em s′. Para cada m ∈ M temos s′(m) ∈ B(s(m); r/2) donde s(m) ∈ B(s′(m); r/2) o que implica s(M) ⊂ ξ. Além do mais, s′(m) ∈ B(s(m); r/2) implica ξ_{m} = B(s′(m); r/2) ⊂ B(s(m); r) ⊂ U, donde ξ ⊂ U.

Em particular, tomando U = E no teorema vemos que toda seção contínua de E está contida num VBN. Segue que temos de fato um atlas de classe C^{∞} em 𝔐(E) e que uma seção contínua s de E está em 𝔐(E) se e somente se existe um VBN ξ em E com s ∈ 𝔐(ξ), se e somente se para todo VBN ξ em E com s(M) ∈ ξ temos s ∈ 𝔐(ξ). Temos agora de fato uma estrutura de variedade de Banach bem definida em 𝔐(E). Para 𝔐 = H_{2}^{k} temos também uma variedade de Hilbert.

O atlas de 𝔐(E) induz então uma topologia em 𝔐(E) (vide seção 0.2). Para o leitor familiarizado com [Hr], por exemplo, não é difícil mostrar que para 𝔐 = C^{k} essa é a topologia de classe C^{k} fraca de Whitney (que coincide com a forte, pois M é compacta). Não precisaremos disso, mas é importante olhar mais de perto pelo menos a topologia de C^{0}(E). No que segue utilizamos a notação do teorema 2 da seção 1.0.

Teorema 17. Temos que C^{0}(E) tem a topologia compacto-aberta (visto como subconjunto de ℭ(M; E)). Além do mais, os conjuntos V(M; U) = C^{0}(E; U) com U ⊂ E aberto formam uma base para a topologia de C^{0}(E).

Demonstração. Fixado um atlas em C^{0}(E), devemos verificar que na topologia compactoaberta os domínios das cartas são abertos e as cartas são homeomorfismos sobre sua imagem. Considere o atlas natural associado aos VBN. Seja ξ ⊂ E um VBN. Temos uma carta associada a ξ com imagem C^{0}(ξ). Como ξ ⊂ E é aberto é claro que o domínio C^{0}(E; ξ) = V(M; ξ) da carta é aberto na topologia compacto-aberta. A carta é simplesmente a identidade de C^{0}(E; ξ) = C^{0}(ξ) em C^{0}(ξ). Ocorre que o domínio tem a topologia induzida de C^{0}(E) enquanto o contra-domínio tem a topologia descrita na seção anterior. Mas a topologia que estamos “testando” em C^{0}(E) é a topologia compacto-aberta e é fácil ver que a topologia induzida em C^{0}(E; ξ) é a topologia compacto-aberta de C^{0}(E; ξ) (pensado como subconjunto de ℭ(M; ξ)). O resultado segue do teorema 2.

Resta ver que os conjuntos V(M; U) com U ⊂ E aberto formam uma base da topologia compacto-aberta. Isso é uma situação geral em topologia, para o conjunto das seções contínuas de um fibrado topológico com base compacta de Hausdorff. Simplesmente observe que para K ⊂ M compacto e U ⊂ E aberto temos V(K; U) = V(M; U ∪π^{−1}(M −K)). Além do mais se U, V ⊂ E são abertos então V(M; U) ∩ V(M; V) = V(M; U ∩ V). Isso mostra que os abertos básicos da topologia compacto-aberta são da forma V(M; U) com U ⊂ E aberto.

Na linguagem que possuímos agora vemos que o teorema 15 (no caso M compacta) diz que C^{∞}(E) é denso em C^{0}(E) (quando M não é compacta o teorema 15 diz que C^{∞}(E) é denso na topologia C^{0} forte de Whitney. Vide [Hr]. Nesse caso a topologia C^{0} forte de Whitney não coincide com a topologia compacto-aberta. Quem coincide com a topologia compacto-aberta é a topologia C^{0} fraca de Whitney. Quando M não é necessariamente compacta é possível introduzir nos espaços C^{k} (inclusive para k = ∞) uma estrutura de variedade de Fréchet. Vide [Ha]. A topologia associdada é então a topologia fraca de Whitney. No caso da topologia forte é possível no máximo ter variedades modeladas em espaços vetoriais topológicos não-metrizáveis).

Segue diretamente dos teoremas 12 e 16 que para todo 𝔐, exceto 𝔐 = H_{∞}^{k}, o conjunto C^{∞}(E) é denso em 𝔐(E). De fato, seja U ⊂ 𝔐(E) um aberto não vazio. Seja s ∈ U. Pelo teorema 16 existe um VBN ξ em E com s(M) ⊂ ξ. Daí U ∩ 𝔐(E; ξ) é um aberto não vazio (pois contém s) em 𝔐(ξ). Do teorema 12 segue que existe s′ ∈ C^{∞}(ξ) com s′ ∈ U. Daí s′ ∈ C^{∞}(E) e s′ ∈ U. Observe que em geral C^{∞}(E) não é denso em H_{∞}^{k}(E) (vide exemplo após a demonstração do teorema 12).

Muitos teoremas da seção 1.0 se generalizam instantaneamente para 𝔐(E), apenas tomando um VBN em E (i.e., uma carta em 𝔐(E)) e recaindo no caso de fibrados vetoriais. Enunciamos como observações os resultados e deixamos as demonstrações a cargo do leitor.

Antes de tudo, definimos que uma função T: U ⊂ E → F definida num aberto U ⊂ E de um fibrado E sobre M a valores num fibrado F sobre M é um morfismo de fibrados gerais (ou, simplesmente, um morfismo geral) de classe C^{k} quando T é de classe C^{k} e preserva as fibras, induzindo a identidade na base, i.e., π_{F} ∘ T = π_{E}_{|U} (onde π_{E} e π_{F} são as projeções de E e F respectivamente). Em geral, dizemos apenas que T é um morfismo, já que não há perigo de confusão com morfismos de fibrados vetoriais.

É claro que a composta de morfismos gerais de classe C^{k} é novamente um morfismo geral de classe C^{k} e que a identidade de um fibrado é um morfismo geral de classe C^{∞}. Observação 1. Se 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} ≤ C^{0} então 𝔐_{2}(E) está contido em 𝔐_{1}(E) com uma topologia mais fina. A inclusão é uma imersão hiper-fraca de classe C^{∞} que em geral não é uma imersão fraca. Segue daí que todos os espaços 𝔐(E) tem topologia mais fina que a compacto-aberta e portanto 𝔐(E; U) ⊂ 𝔐(E) é sempre aberto quando U ⊂ E for aberto. Vide teorema 9. Observação 2. Se T: U ⊂ E → F é um morfismo de classe C^{k+j} definido num aberto U ⊂ E então (T ∘): 𝔐(E; U) → 𝔐(F) é de classe C^{j}, onde k é classe de 𝔐 (para j = +∞ escrevemos k + j = +∞). Consideramos em 𝔐(E; U) a estrutura de subvariedade aberta de 𝔐(E). Vide lema 5 (sugestão: fixada s ∈ 𝔐(E; U) e escolhidos VBN’s ξ e η em E e F contendo s e T ∘s respectivamente considere a representação local de (T ∘) em coordenadas locais definida em 𝔐(ξ; ξ ∩ T^{−1}(η) ∩ U)). Observação 3. Se T: U ⊂ E → F é um morfismo C^{k+j} e é também um difeomorfismo sobre um aberto V ⊂ F então (T ∘) é um difeomorfismo C^{j} de 𝔐(E; U) em 𝔐(F; V) cujo inverso é (T^{−1}∘). Em particular, se F é um subfibrado aberto de E (i.e., F ⊂ E é aberto e com a estrutura de subvariedade aberta é o espaço total de um fibrado sobre M com projeção π_{|F}) então tomamos T como sendo a inclusão de F em E e concluímos que 𝔐(F) é uma subvariedade aberta de 𝔐(E) (identificamos 𝔐(F) com 𝔐(E; F) ⊂ 𝔐(E)). Também se T: E → F é um (morfismo e) um difeomorfismo C^{k+j} então 𝔐(E) e 𝔐(F) são C^{j} difeomorfos através de (T ∘).

Se ξ é um fibrado vetorial e se T: U ⊂ E → ξ é um morfismo C^{∞} e é também um difeomorfismo sobre um aberto V ⊂ ξ então da observação anterior segue que (T ∘) é um difeomorfismo C^{∞} do aberto 𝔐(E; U) em 𝔐(E) sobre o aberto 𝔐(ξ; V) no espaço de Banach 𝔐(ξ). Isso significa que (T ∘) é um sistema de coordenadas em 𝔐(E). Isso é uma pequena generalização das cartas associadas a VBN’s (se V = ξ então U ⊂ E é um VBN em E isomorfo ao fibrado vetorial ξ, donde reobtemos as cartas associadas aos VBN’s).

Seja T: U ⊂ E → F um morfismo C^{k} (k ≥ 1) definido num aberto U ⊂ E. Então dizemos que T é uma imersão de fibrados (respectivamente, uma submersão de fibrados) se para cada m ∈ M a restrição de T à fibra U ∩ E_{m} é uma imersão (respectivamente, submersão) em F_{m}. Isso é equivalente a dizer que T é uma imersão (respectivamente submersão) da variedade U ⊂ E em F. Dizemos também que T é um mergulho de fibrados quando T for uma imersão de fibrados e T: U → T (U) for um homeomorfismo. Isso é o mesmo que dizer que T (é um morfismo e) é um mergulho da variedade U ⊂ E em F (não é suficiente supor que T é um mergulho fibra por fibra). Se E, F são fibrados sobre M com F ⊂ E então dizemos que F é um subfibrado de E se a inclusão de F em E é um mergulho de fibrados de classe C^{∞}, i.e., F é uma subvariedade mergulhada de E e a projeção de F é a restrição da projeção de E. Observação 4. Se T: U ⊂ E → F é uma imersão C^{k+j} (j ≥ 1) de fibrados então (T ∘) é uma imersão forte de classe C^{j}. Analogamente, se T é uma submersão de fibrados então (T ∘) é uma submersão forte de classe C^{j}. Para mostrar isso, escolha VBN’s, tome uma representação local de (T ∘) em coordenadas e use o lema 5 para calcular a diferencial dessa representação local de (T ∘). Use então o corolário 1 do teorema 8. Se T é um mergulho de fibrados então para k + j ≥ 2 o teorema 19 que será mostrado logo adiante diz que (T ∘) é um mergulho forte de classe C^{j}. Em particular, se F é um subfibrado de E então 𝔐(F) é uma subvariedade forte de classe C^{∞} de 𝔐(E). Observação 5. Se N, M são variedades compactas com bordo e se E é um fibrado sobre M, dada f: N → M de classe C^{∞} podemos definir o pull-back de E por f que é um fibrado f^{∗}E sobre N, de modo análogo ao caso de fibrados vetoriais (a fibra de f^{∗}E em n ∈ N é E_{f(n)}). Se s é uma seção de E temos uma seção f^{∗}s de f^{∗}E dada por f^{∗}s(n) = s(f(n)). Temos que f^{∗}: 𝔐(E) → 𝔐(f^{∗}E) é de classe C^{∞} para 𝔐 = C^{k}. Se 𝔐 = H_{p}^{k} precisamos também as hipóteses sobre f que aparecem no enunciado do teorema 10. Em particular, se D ⊂ M é um domínio com bordo compacto então a função restrição

s ∈ 𝔐(E) → s_{|D} ∈ 𝔐(E_{|D})

é C^{∞} e se f: N → M é um difeomorfismo C^{∞} então f^{∗} é um difeomorfismo C^{∞} de 𝔐(E) em 𝔐(f^{∗}E), cujo inverso (identificando (f^{−1})^{∗}f^{∗}E com E) é (f^{−1})^{∗}. Vide teorema 10 e corolários (sugestão: verifique que se ξ ⊂ E é um VBN então f^{∗}ξ ⊂ f^{∗}E é um VBN). Observação 6. Se D_{1}, …, D_{r} são domínios com bordo compactos em M tais que M = ⋃_{i=1}^{r} D_{i} então a função

P: 𝔐(E) → 𝔐(E_{|D_{1}}) × ⋯ × 𝔐(E_{|D_{r}})

dada por P(s) = (s_{|D_{1}}, …, s_{|D_{r}}) é um mergulho fraco de classe C^{∞} para 𝔐 = C^{0}. Se os interiores dos domínios D_{i} também cobrem M então P é um mergulho forte de classe C^{∞} para qualquer 𝔐. Em qualquer caso a imagem de P é o conjunto das r-uplas (s_{1}, …, s_{r}) tais que s_{i} coincide com s_{j} em D_{i} ∩ D_{j} para todos i, j = 1, …, r. Vide teoremas 4 e 11 (para mostrar que uma função é um mergulho fraco ou forte, encontre cartas adaptadas, na linguagem da seção 0.4). Seguindo as idéias das observações que seguem o teorema 11, vemos que para M = [a, b], se P : a = t_{0} < … < t_{r} = b é uma partição de [a, b] então podemos considerar os domínios com bordo D_{i} = [t_{i}, t_{i+1}]; i = 0, …, r − 1 e daí para qualquer 𝔐 o operador P é um mergulho forte (mas a caracterização de sua imagem é diferente. Vide observações que seguem o teorema 11). Observação 7. Dado m ∈ M a função evaluação no ponto m dada por λ_{m}: 𝔐(E) → E_{m}, λ_{m}(s) = s(m) é C^{∞}. Vide exemplos de operadores lineares contínuos após o teorema 12 (observe que se ξ ⊂ E é um VBN então ξ_{m} ⊂ E_{m} é um aberto que possui uma estrutura de espaço vetorial compatível com a estrutura de subvariedade aberta. Isso significa que a função identidade definida no aberto ξ_{m} ⊂ E_{m} a valores no espaço vetorial ξ_{m} é um sistema de coordenadas em E_{m}). Observação 8. Se E, F são fibrados sobre M então definimos o fibrado E ∗ F sobre M (vide definição que precede o lema 10). Temos dois morfismos canônicos π_{1}: E ∗ F → E, π_{2}: E ∗ F → F de classe C^{∞}, as projeções do produto E ∗ F, dadas por π_{1}(e, f) = e, π_{2}(e, f) = f para (e, f) ∈ E_{m} × F_{m}, m ∈ M. Pela observação 2, as funções (π_{1}∘) e (π_{2}∘) de 𝔐(E ∗ F) em 𝔐(E) e 𝔐(F) respectivamente são C^{∞}. É fácil ver que ((π_{1}∘), (π_{2}∘)) define um difeomorfismo C^{∞} de 𝔐(E ∗ F) em 𝔐(E) × 𝔐(F) (sugestão: se ξ, η são VBN’s em E e F respectivamente então ξ ∗ η ≅ ξ ⊕ η é um VBN em E ∗ F). É imediata a generalização dessas idéias para um produto mais geral E_{1} ∗ ⋯ ∗ E_{n}. Vide corolário 3 do teorema 8.

Da observação 7 segue que 𝔐(E) é Hausdorff. De fato, dadas s, s′ ∈ 𝔐(E) distintas então existe m ∈ M tal que s(m) ≠ s′(m) donde existem abertos disjuntos U, V ⊂ E_{m} na fibra E_{m} contendo os pontos s(m) e s′(m) respectivamente. Daí λ_{m}^{−1}(U) e λ_{m}^{−1}(V) são abertos disjuntos em 𝔐(E) contendo as seções s e s′ respectivamente.

Segue também da observação 7 que se F ⊂ E é um subconjunto fechado então 𝔐(E; F) = { s ∈ 𝔐(E) : s(M) ⊂ F } é fechado em 𝔐(E). De fato, 𝔐(E; F) = ⋂_{m∈M} λ_{m}^{−1}(F ∩ E_{m}). Segue daí que 𝔐(E) é um espaço topológico regular. De fato, dado um ponto s ∈ 𝔐(E) tomamos um VBN ξ em E com s(M) ⊂ ξ. Temos que s(M) é fechado (pois é compacto), ξ é aberto donde (como E é um espaço topológico normal) existe um aberto W ⊂ E com s(M) ⊂ W ⊂ W̄ ⊂ ξ. Daí (𝔐(E; ξ), (Id ∘), 𝔐(ξ)) é uma carta em 𝔐(E), (𝔐(E; W), (Id ∘), 𝔐(ξ)) é uma restrição dessa carta e s ∈ 𝔐(E; W) ⊂ 𝔐(E; W̄) ⊂ 𝔐(E; ξ), com 𝔐(E; W̄) fechado em 𝔐(E). Segue daí que (𝔐(E; W), (Id ∘), 𝔐(ξ)) é uma carta regular em 𝔐(E) e a existência de um atlas formado por cartas regulares implica 𝔐(E) regular (vide seção 0.3).

Observamos que C^{0}(E) tem base enumerável, já que a topologia compacto-aberta tem base enumerável quando o domínio é localmente compacto, Hausdorff, com base enumerável e o contra-domínio tem base enumerável (vide comentário na seção 1.0, logo após a demonstração do teorema 2). Segue que C^{0}(E) é metrizável (vide seção 0.3).

Na realidade é fácil exibir explicitamente uma métrica em C^{0}(E) compatível com sua topologia. Escolha uma estrutura ortogonal em Ver E e defina para s, s′ ∈ C^{0}(E) a distância de s a s′ como sendo sup_{m∈M} d_{m}(s(m), s′(m)), onde d_{m} é a métrica da variedade Riemanniana E_{m}. É fácil verificar que temos realmente uma métrica em C^{0}(E) (só não é totalmente trivial que esse supremo é finito. Note que não é claro que d_{m}(s(m), s′(m)) seja uma função contínua de m, mas como M é compacta basta mostrar que essa função de m é localmente limitada. Utilize as técnicas vistas na demonstração do lema 9). Segue facilmente dos lemas 9, 10 e do teorema 17 que essa métrica é compatível com a topologia de C^{0}(E).

Do fato que C^{0}(E) tem base enumerável segue que qualquer 𝔐(E) tem base enumerável, exceto para 𝔐 = H_{∞}^{k}. De fato, os conjuntos da forma C^{0}(E; ξ) com ξ ⊂ E um VBN formam uma cobertura aberta de C^{0}(E), da qual podemos extrair uma subcobertura enumerável C^{0}(E) = ⋃_{n∈ℕ} C^{0}(E; ξ_{n}). Daí é claro que os abertos 𝔐(E; ξ_{n}) em 𝔐(E) formam uma cobertura aberta enumerável de 𝔐(E). Como cada 𝔐(E; ξ_{n}) é homeomorfo a 𝔐(ξ_{n}), vemos que cada 𝔐(E; ξ_{n}) tem base enumerável (se 𝔐 ≠ H_{∞}^{k}) pois os espaços de Banach 𝔐(ξ_{n}) são separáveis, exceto H_{∞}^{k}(ξ_{n}) (vide observações após os teoremas 2, 4, 5 e antes do teorema 7). Em geral H_{∞}^{k}(E) não tem base enumerável nem localmente, pois se ξ é um fibrado vetorial então H_{∞}^{k}(ξ) é um espaço de Banach não separável em geral (vide exemplo após o teorema 4).

Segue que 𝔐(E) é metrizável para 𝔐 ≠ H_{∞}^{k} (vide seção 0.3). Porém não é tão simples exibir uma métrica em 𝔐(E) compatível com a topologia.

Até o momento tivemos vários exemplos de operadores C^{∞} entre os espaços 𝔐(E), inclusive algumas imersões, submersões, etc. Note bem que não calculamos a diferencial de nenhum dos operadores considerados, sendo que para verificar que temos uma imersão ou submersão consideramos apenas a diferencial da representação local do operador em coordenadas. O problema é que embora existe uma construção abstrata para o espaço tangente à 𝔐(E) num ponto s (vide seção 0.2), precisamos entender T_{s}𝔐(E) de modo mais concreto. Passamos agora à descrição do espaço tangente.

Seja s ∈ 𝔐(E). Um campo vetorial ao longo de s é uma função v: M → Ver E tal que π̂ ∘ v = s, onde π̂: Ver E → E é a projeção de Ver E. Se s é C^{∞} então temos um fibrado s^{∗} Ver E sobre M cujas seções identificamos com os campos vetoriais ao longo de s. Note que não estamos considerando fibrados de classe C^{k} para k < +∞, de modo que se s não é C^{∞} nunca escreveremos s^{∗} Ver E (mas note que mesmo que s seja só contínua temos que s^{∗} Ver E é um fibrado vetorial topológico). Denotamos temporariamente por Γ(s) o espaço vetorial dos campos vetoriais (quaisquer) ao longo de s (não consideramos nenhum tipo de estrutura topológica em Γ(s)).

Para cada m ∈ M temos a função λ_{m}: 𝔐(E) → E_{m} de evaluação no ponto m, dada por λ_{m}(s) = s(m). Na observação 7 comentamos que λ_{m} é C^{∞}. Temos então que a diferencial de λ_{m} no ponto s ∈ 𝔐(E) é uma transformação linear contínua de T_{s}𝔐(E) em T_{s(m)}E_{m} = Ver_{s(m)} E. Definimos então uma transformação linear λ: T_{s}𝔐(E) → Γ(s) fazendo λ(v)(m) = dλ_{m}(s)(v) para v ∈ T_{s}𝔐(E) e m ∈ M.

Seja ξ um VBN em E com s(M) ⊂ ξ. Temos então uma carta em 𝔐(E) em torno de s que nos permite identificar T_{s}𝔐(E) com 𝔐(ξ) (através de um isomorfismo topológico, mais precisamente a diferencial da carta). Temos que ξ_{m} ⊂ E_{m} é uma carta em E_{m} em torno de s(m) (vide observação 7) donde o espaço tangente a E_{m} no ponto s(m) fica identificado com ξ_{m}. Mediante essas identificações vemos que a diferencial de λ_{m} no ponto s é simplesmente a função evaluação no ponto m de 𝔐(ξ) em ξ_{m}. A identificação de Ver_{s(m)} E = T_{s(m)}E_{m} com ξ_{m} nos fornece uma identificação de Γ(s) com o conjunto de todas as seções de ξ. Daí λ corresponde à inclusão de 𝔐(ξ) no conjunto das seções de ξ.

Podemos concluir então que λ (que está bem definido independentemente de escolha de VBN’s) é injetora e daí declarando-a um isomorfismo topológico sobre sua imagem em Γ(s) podemos identificar o espaço tangente T_{s}𝔐(E) com um certo subconjunto de Γ(s). Escolhendo um VBN ξ em E com s(M) ⊂ ξ vemos que esse subconjunto de Γ(s) corresponde à elementos de 𝔐(ξ) quando identificamos Γ(s) com o conjunto das seções de ξ, da maneira explicada acima.

Baseado nessas idéias, o teorema seguinte nos dá uma realização concreta interessante para o fibrado tangente de 𝔐(E). Ele também ilustra uma situação que será estudada de maneira mais geral no final desta seção quando definirmos os fibrados mistos. O que ocorre é que o espaço de seções de um fibrado misto é (além de uma variedade de Banach) um fibrado vetorial de Banach.

Começamos com algumas definições.

Se E, F são fibrados sobre M e se T: U ⊂ E → F é um morfismo de classe C^{k} (k ≥ 1) então definimos a derivada fibrativa de T como sendo a função de classe C^{k−1} dada por:

\begin{matrix}𝔽T: & π̂^{−1}(U) ⊂ Ver E → Ver F \\ v ↦ d(T_{|U∩E_{m}})(e)(v), \end{matrix}

onde π̂: Ver E → E, e = π̂(v), m = π(e) e π: E → M. Em outras palavras, para cada e ∈ U ∩E_{m} restringimos T a uma função de U ∩E_{m} em F_{m}, a qual diferenciamos no ponto e obtendo uma transformação linear de Ver_{e} E em Ver_{T (e)} F, a qual podemos aplicar num vetor v ∈ Ver_{e} E para produzir 𝔽T (v) ∈ Ver_{T (e)} F. Note bem: a derivada fibrativa definida aqui não coincide exatamente com a derivada fibrativa definida na seção anterior para fibrados vetoriais. Se ξ é um fibrado vetorial sobre M então Ver ξ é um fibrado vetorial sobre ξ canonicamente isomorfo a π^{∗}ξ, onde π: ξ → M é a projeção.

Se E é um fibrado (geral) sobre M então Ver E é um fibrado (vetorial) sobre E. Se π denota a projeção de E em M e π̂ denota a projeção de Ver E em E então Ver E é um fibrado (geral) sobre M com projeção π ∘ π̂ e fibra típica T E_{0}. De fato, se (U, α), α = (π, α^{2}): π^{−1}(U) → U × E_{0} é uma trivialização de E então (U, 𝔽α) dada por

𝔽α: π̂^{−1}(π^{−1}(U)) → U × T E_{0}

é uma trivialização de Ver E sobre M. Note na definição acima que α é um morfismo entre os fibrados π^{−1}(U) e U × E_{0} sobre U. Note também que Ver π^{−1}(U) = Ver(E_{|U}) = Ver E_{|π^{−1}(U)} = π̂^{−1}(π^{−1}(U)) e Ver U ×E_{0} = U ×T E_{0}. Escrevemos Ver E | M para denotar o fibrado Ver E sobre M (mas note que como variedades temos Ver E | M = Ver E). Observe que a fibra Ver_{m} E | M de Ver E | M no ponto m ∈ M é o fibrado tangente T E_{m} da fibra E_{m} de E.

Observe que considerando a definição acima, se T: U ⊂ E → F é um morfismo de classe C^{k} (k ≥ 1) então 𝔽T: π̂^{−1}(U) ⊂ Ver E → Ver F é um morfismo de classe C^{k−1} de Ver E | M em Ver F | M.

Observe que sendo Ver E | M um fibrado sobre M podemos considerar a variedade de Banach 𝔐(Ver E | M). Se ξ ⊂ E é um VBN em E então π̂^{−1}(ξ) ⊂ Ver E é um aberto que possui uma estrutura natural de VBN em Ver E | M. De fato, π̂^{−1}(ξ) é a restrição de Ver E ao aberto ξ ⊂ E que coincide com Ver ξ. Mas ξ sendo um fibrado vetorial sobre M temos uma identificação canônica de Ver ξ/M (o fibrado Ver ξ sobre M) com a soma de Whitney ξ ⊕ ξ. Se v ∈ ξ_{m} e w ∈ Ver_{v} ξ então w é um vetor tangente ao espaço vetorial ξ_{m} no ponto v, donde podemos identificar w com um elemento de ξ_{m}. Daí fazemos corresponder w ∈ Ver_{v} ξ ao par (v, w) ∈ ξ_{m} ⊕ ξ_{m}.

Teorema 18. Se E é um fibrado sobre M então o fibrado tangente T 𝔐(E) da variedade de Banach 𝔐(E) é canonicamente C^{∞} difeomorfo à variedade de Banach 𝔐(Ver E | M).

Demonstração. Defina λ: T 𝔐(E) → 𝔐(Ver E | M) da seguinte forma: dada s ∈ 𝔐(E) e dado v ∈ T_{s}𝔐(E) definimos uma seção λ(v) de Ver E | M fazendo λ(v)(m) = dλ_{m}(s)(v), para todo m ∈ M, onde λ_{m}: 𝔐(E) → E_{m} é a função evaluação no ponto m (fixada s, essa é exatamente a função λ definida nas observações que precedem o teorema). Devemos mostrar que λ(v) realmente pertence a 𝔐(Ver E | M).

Seja s ∈ 𝔐(E). Escolha um VBN ξ em E com s(M) ⊂ ξ. Nas observações que precedem o teorema vimos que π̂^{−1}(ξ) ⊂ Ver E tem uma estrutura natural de VBN em Ver E | M.

Esses VBN’s produzem então uma carta em 𝔐(E) com domínio em 𝔐(E; ξ) a valores em 𝔐(ξ) e uma carta em 𝔐(Ver E | M) com domínio em 𝔐(Ver E | M; π̂^{−1}(ξ)) a valores em 𝔐(π̂^{−1}(ξ)) ≅ 𝔐(ξ ⊕ ξ) (recorde que π̂^{−1}(ξ) é isomorfo como fibrado vetorial a ξ ⊕ ξ). A carta em 𝔐(E) induz uma carta em T 𝔐(E) definida em T 𝔐(E; ξ) a valores em 𝔐(ξ)⊕ 𝔐(ξ) ≅ 𝔐(ξ ⊕ ξ).

É fácil ver que a representação de λ nessas cartas é a identidade de 𝔐(ξ ⊕ ξ). Daí segue que λ é (bem definida e) um difeomorfismo local de classe C^{∞}. Resta ver que λ é bijetora.

Considere a função (de classe C^{∞}) (π̂∘) de 𝔐(Ver E | M) em 𝔐(E) (note que π̂ é um morfismo entre os fibrados Ver E | M e E). Se s ∈ 𝔐(E) então (π̂∘)^{−1}(s) é o conjunto dos elementos de 𝔐(Ver E | M) que são campos vetoriais ao longo de s. É claro que para cada s ∈ 𝔐(E) a função λ leva T_{s}𝔐(E) em (π̂∘)^{−1}(s). O que mostramos acima implica que fixada s ∈ 𝔐(E) então λ se restringe a uma bijeção de T_{s}𝔐(E) em (π̂∘)^{−1}(s). Daí segue que λ é bijetora.

Corolário. (da demonstração) A variedade de Banach 𝔐(Ver E | M) admite uma estrutura canônica de fibrado vetorial de Banach sobre 𝔐(E) com projeção (π̂∘).

Demonstração. Basta declarar λ um isomorfismo de fibrados vetoriais.

Note que a fibra de 𝔐(Ver E | M) sobre s ∈ 𝔐(E) é um subespaço de Γ(s), donde ela já possui uma estrutura de espaço vetorial. Ao declarar λ um isomorfismo de fibrados vetoriais estamos introduzindo uma nova estrutura de espaço vetorial nessa fibra, mas é fácil ver que ela coincide com a estrutura induzida de Γ(s) (basta ver que fixada s ∈ 𝔐(E) então λ leva T_{s}𝔐(E) linearmente em Γ(s)).

A partir de agora não distinguiremos o fibrado tangente de 𝔐(E) do fibrado vetorial 𝔐(Ver E | M). Vemos que o espaço tangente a 𝔐(E) no ponto s é o conjunto dos campos vetoriais v ao longo de s tais que v ∈ 𝔐(Ver E | M). Para 𝔐 = C^{k} este é simplesmente o conjunto dos campos vetoriais de classe C^{k} ao longo de s (vistos como funções de M em Ver E). Para 𝔐 = H_{p}^{k} não dispomos de nenhuma definição independente para o conceito “v é um campo do tipo H_{p}^{k}”.

Fixado um VBN ξ em E então temos uma carta em 𝔐(E) definida em 𝔐(E; ξ) a valores em 𝔐(ξ). Dada s ∈ 𝔐(E; ξ) essa carta produz um isomorfismo topológico entre o espaço tangente a 𝔐(E) no ponto s e o contra-domínio 𝔐(ξ) da carta. Esse isomorfismo é dado da seguinte maneira: se v ∈ T_{s}𝔐(E) então v é (identificado com) um campo vetorial ao longo de s. Para cada m ∈ M temos que v(m) é tangente a E_{m} no ponto s(m). Mas na realidade s(m) ∈ ξ_{m}, donde v(m) ∈ T_{s(m)}ξ_{m} ≅ ξ_{m}. Daí fazemos v(m) corresponder a um vetor de ξ_{m} que denotamos por ṽ(m). Isso produz uma seção ṽ de ξ, ṽ ∈ 𝔐(ξ). Temos que ṽ corresponde a v através dessa carta em 𝔐(E).

Podemos agora calcular a diferencial dos operadores mencionados nas observações de 1 a 7. Deixamos os detalhes a cargo do leitor, pois para calcular tais diferenciais basta seguir com cuidado as identificações que fizemos, usar cartas associadas a VBN’s e recair no caso de fibrados vetoriais (tratado na seção anterior).

Em relação à observação 1, vemos que dados 𝔐_{2}, 𝔐_{1} com 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} então a diferencial da inclusão de 𝔐_{2}(E) em 𝔐_{1}(E) é simplesmente a inclusão de 𝔐_{2}(Ver E | M) em 𝔐_{1}(Ver E | M).

Em relação à observação 2, vemos que se T: U ⊂ E → F é um morfismo de classe C^{k+j} (j ≥ 1) então a diferencial de (T ∘): 𝔐(E; U) → 𝔐(F) é o operador (𝔽T ∘) de T 𝔐(E; U) ≅ 𝔐(Ver E | M; π̂^{−1}(U)) em 𝔐(Ver F | M), se k é a classe de 𝔐 (note que 𝔽T é um morfismo pelo menos de classe C^{k} de Ver E | M em Ver F | M).

Em relação à observação 5, vemos que se f: N → M é uma função C^{∞} entre variedades com bordo compactas e se E é um fibrado sobre M então em primeiro lugar f^{∗}(Ver E | M) ≅ Ver f^{∗}E | N (note, por exemplo, que a fibra de ambos no ponto n ∈ N é o fibrado tangente de E_{f(n)}). Daí a diferencial do operador f^{∗} de 𝔐(E) em 𝔐(f^{∗}E) é o próprio operador f^{∗} de 𝔐(Ver E | M) em 𝔐(Ver f^{∗}E | N) ≅ 𝔐(f^{∗}(Ver E | M)).

Em relação à observação 7, vemos que se λ_{m} é o operador evaluação no ponto m de 𝔐(E) em E_{m} então a diferencial de λ_{m} é simplesmente o operador evaluação no ponto m de 𝔐(Ver E | M) em Ver_{m} E | M = T E_{m}.

Observamos agora para uso num exemplo futuro que se ξ é um VBN em E e se s ∈ C^{∞}(E) é tal que s(M) ⊂ ξ então ξ é naturalmente isomorfo como fibrado vetorial a s^{∗} Ver E (observe, por exemplo, que a fibra de s^{∗} Ver E no ponto m ∈ M é Ver_{s(m)} E = T_{s(m)}E_{m} que coincide com T_{s(m)}ξ_{m} que identificamos com ξ_{m}).

Mostramos agora o teorema que foi prometido na observação 4. Precisamos de dois lemas preparatórios. O lema seguinte é baseado numa demonstração de [La] sobre existência de vizinhanças tubulares. Ele é de ordem puramente topológica e é possível no seu enunciado trocar M, N, ξ por espaços topológicos Hausdorff, localmente compactos com base enumerável (e ξ um fibrado vetorial topológico sobre M).

Lema 12. Sejam M, N variedades com bordo e seja ξ um fibrado vetorial sobre M. Seja M_{0} ⊂ ξ a seção nula de ξ. Para cada m ∈ M denote por 0_{m} ∈ M_{0} o vetor nulo de ξ_{m}. Seja f: Z ⊂ ξ → N uma função contínua definida num aberto Z ⊂ ξ que contém M_{0}. Suponha que f_{|M_{0}} é um homeomorfismo sobre f(M_{0}) ⊂ N e suponha que para cada m ∈ M existe um aberto Z_{m} ⊂ Z com 0_{m} ∈ Z_{m} tal que f(Z_{m}) ⊂ N é aberto e tal que f_{|Z_{m}} é um homeomorfismo sobre f(Z_{m}) ⊂ N. Então existe um aberto W ⊂ Z contendo M_{0} tal que f_{|W} é um homeomorfismo sobre f(W) ⊂ N que é aberto em N.

Demonstração. Seja m ∈ M. Seja Z′_{m} ⊂ Z um aberto com 0_{m} ∈ Z′_{m} tal que f(Z′_{m}) = U′_{m} ⊂ N é aberto e tal que f leva Z′_{m} homeomorficamente sobre U′_{m}. Como f leva M_{0} homeomorficamente sobre f(M_{0}), segue que f(Z′_{m} ∩ M_{0}) é aberto em f(M_{0}), donde diminuindo Z′_{m} e U′_{m} podemos supor também que f(M_{0}) ∩ U′_{m} = f(Z′_{m} ∩ M_{0}).

Seja U = ⋃_{m∈M} U′_{m} ⊂ N. Temos que U ⊂ N é aberto e contém f(M_{0}). Como U é uma variedade paracompacta podemos encontrar um refinamento aberto localmente finito (em U) da cobertura aberta ⋃_{m∈M} U′_{m} (de U). Como U tem base enumerável esse refinamento é enumerável (a menos de repetições do conjunto vazio). Seja U = ⋃_{n∈ℕ} U_{n} esse refinamento.

Para cada n ∈ ℕ escolha x ∈ M com U_{n} ⊂ U′_{x}. Defina então Z_{n} = (f_{|Z′_{x}})^{−1}(U_{n}). Temos então uma família de abertos (Z_{n})_{n∈ℕ} em Z sendo que para cada n ∈ ℕ, f leva Z_{n} homeomorficamente sobre U_{n}, f(M_{0}) ∩ U_{n} = f(Z_{n} ∩ M_{0}) e os conjuntos Z_{n} cobrem M_{0} (para ver isso note que a propriedade f(M_{0}) ∩ U_{n} = f(Z_{n} ∩ M_{0}), ∀n ∈ ℕ implica que se x ∈ M, n ∈ ℕ são tais que f(0_{x}) ∈ U_{n} então 0_{x} ∈ Z_{n}).

Seja (V_{n})_{n∈ℕ} um encolhimento de (U_{n})_{n∈ℕ} em U, i.e., cada V_{n} ⊂ U é aberto, U = ⋃_{n∈ℕ} V_{n} e para cada n temos \overline{V_{n}} ⊂ U_{n}. Escreva f_{n} = f_{|Z_{n}} e g_{n} = f_{n}^{−1} (definida em U_{n}).

Fixe m ∈ M. Temos que f(0_{m}) ∈ U possui uma vizinhança aberta G_{m} ⊂ U que intersecta \overline{V_{n}} apenas para um número finito de índices n. Sejam n_{1}, …, n_{r} esses índices. Como cada \overline{V_{n_{i}}} é fechado podemos supor (diminuindo G_{m}) que f(0_{m}) pertence a todos os \overline{V_{n_{i}}} (eliminando os n_{i} tais que a diminuição de G_{m} não intersecta mais \overline{V_{n_{i}}}). Daí f(0_{m}) também pertence a todos os U_{n_{i}}, donde podemos diminuir G_{m} de modo que G_{m} esteja contido em todos os U_{n_{i}}. Isso implica que 0_{m} pertence a todos os Z_{n_{i}}. Podemos então diminuir mais ainda G_{m} de modo que G_{m} esteja contido em f(⋂_{i=1}^{r} Z_{n_{i}}).

Para cada m ∈ M então construímos acima um aberto G_{m} ⊂ N contendo f(0_{m}). Escrevendo G = ⋃_{m∈M} G_{m} então G ⊂ U é um aberto contendo f(M_{0}) tal que dados i, j ∈ ℕ temos que g_{i} e g_{j} coincidem sobre G ∩ V_{i} ∩ V_{j}. Daí obtemos uma função contínua g em G que coincide sobre G ∩ V_{i} com g_{i}.

Defina W = f^{−1}(G) ∩ ⋃_{n∈ℕ} g_{n}(V_{n}). Temos então que f leva o aberto W em Z (contendo M_{0}) homeomorficamente sobre o aberto G ⊂ N (note que g é uma inversa à esquerda contínua para f restrita a W).

Lema 13. Seja M uma variedade com bordo. Sejam E, F fibrados sobre M e seja T: U ⊂ E → F um mergulho de fibrados de classe C^{k+1} (k ≥ 1) definido num aberto U ⊂ E. Então existe um morfismo r: V ⊂ F → E de classe C^{k} definido num aberto V ⊂ F tal que T (U) ⊂ V, r(V) ⊂ U e r(T (e)) = e para todo e ∈ U.

Demonstração. Escolha uma estrutura ortogonal em Ver F. Temos que 𝔽T é uma função de classe C^{k} definida no fibrado vetorial Ver E_{|U} (sobre U) a valores no fibrado vetorial Ver F (sobre F). Temos que 𝔽T preserva as fibras e induz T na base, i.e., se v ∈ Ver_{e} E com e ∈ U então 𝔽T (v) ∈ Ver_{T (e)} F. É claro que 𝔽T é injetor fibra por fibra.

Como T é um mergulho temos que a imagem de 𝔽T é um subfibrado vetorial de classe C^{k} de Ver F_{|T (U)} (note que T (U) é uma subvariedade mergulhada de classe C^{k+1} de F). Seja ξ o complemento ortogonal em Ver F_{|T (U)} da imagem de 𝔽T. Então ξ também é um subfibrado vetorial de classe C^{k} de Ver F_{|T (U)}.

Seja Z ⊂ ξ o aberto obtido fazendo a interseção do domínio da exponencial fibrada de F com ξ (vide comentário antes do lema 9). Aplicamos então o lema 12 para a função exponencial de Z ⊂ ξ em F (aqui ξ é um fibrado vetorial sobre a variedade com bordo T (U). Note que não exigimos compacidade no lema 12. Se k < +∞ então ξ não é um fibrado de classe C^{∞}, mas assim mesmo o lema 12 funciona. Vide comentário que precede o lema 12).

É fácil ver em coordenadas (e trivializações) locais que a diferencial dessa exponencial é um isomorfismo nos pontos da seção nula de ξ, donde podemos diminuir Z de modo que exp seja um difeomorfismo local de classe C^{k} de Z num aberto em F contendo T (U) (substitua Z pelo aberto formado pelo conjunto dos pontos de Z onde a diferencial da exponencial é um isomorfismo).

A exponencial satisfaz então as hipóteses do lema 12. Temos então um aberto W ⊂ Z contendo a seção nula de ξ tal que exp é um homeomorfismo (e portanto um difeomorfismo C^{k}) de W num aberto V ⊂ F contendo T (U). Defina então r = T^{−1} ∘π_{ξ} ∘(exp_{|W})^{−1}, onde π_{ξ} é a projeção do fibrado vetorial ξ sobre T (U). É fácil ver que r é a função procurada.

Teorema 19. Seja M uma variedade compacta com bordo. Sejam E, F fibrados sobre M e seja T: U ⊂ E → F um mergulho de fibrados de classe C^{k+j} (k + j ≥ 2, j ≥ 1) definido num aberto U ⊂ E. Daí se k é a classe de 𝔐 então (T ∘) é um mergulho forte de classe C^{j} de 𝔐(E; U) em 𝔐(F). Além do mais a imagem de (T ∘) é o subconjunto de 𝔐(F) formado pelas seções cuja imagem está contida em T (U).

Demonstração. Da observação 4 já sabemos que (T ∘) é uma imersão forte de classe C^{j}, já que em particular T é uma imersão de fibrados de classe C^{k+j}. Resta mostrar que (T ∘) é um homeomorfismo sobre sua imagem.

Pelo lema 13, como k + j ≥ 2, existe um morfismo r: V ⊂ F → E de classe C^{k+j−1} definido num aberto V ⊂ F com T (U) ⊂ V, r(V) ⊂ U e r(T (e)) = e para todo e ∈ U. Como k + j − 1 ≥ k, segue que (r∘) é uma função contínua de 𝔐(F; V) em 𝔐(E; U). É claro que (r∘) é uma inversa à esquerda de (T ∘), o que completa a demonstração.

Resta achar a imagem de (T ∘). É claro que se s ∈ 𝔐(F) está na imagem de (T ∘) então s(M) ⊂ T (U). Por outro lado, dada s ∈ 𝔐(F) com s(M) ⊂ T (U) não é tão claro que s esteja na imagem de (T ∘). Temos s = (T ∘)(T^{−1} ∘ s), desde que consigamos mostrar que T^{−1} ∘ s ∈ 𝔐(E; U). Mas isso é imediato, já que T^{−1} ∘ s = r ∘ s.

Corolário. Se F é um subfibrado de E então 𝔐(F) é uma subvariedade forte de 𝔐(E). Além do mais temos que uma seção s de E com s(M) ⊂ F está em 𝔐(E) se e somente se está em 𝔐(F).

Demonstração. Basta tomar T igual à inclusão de F em E.

Olhemos um pouco mais de perto agora o que acontece quando o fibrado E é trivial. Sejam então M uma variedade compacta com bordo e N uma variedade (não necessariamente compacta) sem bordo. Seja E = M × N. Identificamos o conjunto das seções de E com o conjunto das funções de M em N. Para cada 𝔐 temos que 𝔐(M × N) é uma variedade de Banach de funções de M em N. Para 𝔐 = C^{k} temos simplesmente que C^{k}(M × N) é o conjunto das funções de classe C^{k} de M em N. Para 𝔐 = H_{p}^{k} não temos nenhuma definição independente para o conceito “f: M → N é uma função do tipo H_{p}^{k}”.

Em primeiro lugar, se E = M × N então Ver E = M × T N. A projeção π de E em M é a projeção na primeira coordenada, a projeção π̂ de Ver E em E é (m, v) ↦ (m, n) para v ∈ T_{n}N. A projeção π ∘π̂ de Ver E | M em M é a primeira projeção do produto M ×T N.

Temos então que o fibrado tangente de 𝔐(M × N) se identifica com 𝔐(M × T N), onde M × T N é um fibrado (trivial) sobre M.

O espaço tangente a 𝔐(M ×N) num ponto s: M → N é um certo conjunto de campos vetoriais ao longo de s, i.e., funções v: M → T N tais que v(m) ∈ T_{s(m)}N para todo m ∈ M. Para 𝔐 = C^{k} esses são simplesmente os campos vetoriais ao longo de s de classe C^{k}. Para 𝔐 = H_{p}^{k} eles são os campos ao longo de s que são do tipo H_{p}^{k} quando vistos como funções de M em T N (ou como seções do fibrado trivial M × T N).

Se P é outra variedade (não necessariamente compacta) sem bordo então um morfismo de M × N em M × P é uma função T: U ⊂ M × N → P definida num aberto U ⊂ M × N (identificamos T com o morfismo (m, n) ↦ (m, T (m, n)) ).

Um caso particular interessante é aquele em que T simplesmente não depende de m, i.e., T: U ⊂ N → P está definido num aberto U ⊂ N (identificamos aí T com o morfismo definido no aberto M × U em M × N dado por (m, n) ↦ (m, T (n)) ). Segue então da observação 2 que se T é de classe C^{k+j} e 𝔐 é de classe k então (T ∘) é um operador C^{j} de 𝔐(M × N; M × U) em 𝔐(M × P).

Se T: U ⊂ N → P é um difeomorfismo de classe C^{k+j} sobre um aberto V ⊂ P e se 𝔐 é de classe k então (T ∘) é um difeomorfismo C^{j} de 𝔐(M ×N; M ×U) em 𝔐(M ×P; M ×V), pela observação 3.

Observe que se U ⊂ N é um aberto então o subconjunto de 𝔐(M × N) formado pelas funções cuja imagem está contida em U é exatamente 𝔐(M × N; M × U), donde é aberto em 𝔐(M ×N) (pois M ×U é um aberto no espaço total M ×N). As mesmas considerações valem para fechado no lugar de aberto.

Novamente, se U ⊂ N é um aberto então o subconjunto de 𝔐(M × N) formado pelas seções cuja imagem está contida em U pode ser visto de duas formas: ele é o aberto 𝔐(M ×N; M ×U) em 𝔐(M ×N) (com a estrutura de subvariedade aberta) e é também a variedade de Banach 𝔐(M ×U) (note que U também é uma variedade). As duas estruturas de variedade coincidem pois M × U é um subfibrado aberto de M × N (vide observação 3).

Se φ: U → Ũ é uma carta em N, com U ⊂ N aberto e Ũ ⊂ ℝ^{n} aberto então decorre do que foi dito acima que (φ∘) é um difeomorfismo de classe C^{∞} do aberto 𝔐(M ×N; M ×U) em 𝔐(M × N) sobre o aberto 𝔐(M × ℝ^{n}; M × Ũ) no espaço de Banach 𝔐(M × ℝ^{n}) (note que M × ℝ^{n} é um fibrado vetorial sobre M). Isso significa que (φ∘) é um sistema de coordenadas em 𝔐(M × N). Para cada s ∈ 𝔐(M × N; M × U) temos associado a essa carta um isomorfismo do espaço tangente T_{s}𝔐(M × N) no contra-domínio da carta 𝔐(M × ℝ^{n}). Ele é dado por v ↦ ṽ com ṽ(m) = dφ_{s(m)}(v(m)).

Se T: U ⊂ N → P é uma imersão de variedades então o morfismo associado de M ×N em M × P é uma imersão de fibrados. O mesmo comentário vale substituindo imersão por submersão ou mergulho (observe que em geral para que um morfismo seja um mergulho de fibrados não é suficiente que ele seja um mergulho fibra por fibra, mas note que aqui a situação é bem simplificada). Pela observação 4, temos que se T é uma imersão então (T ∘) é uma imersão forte de 𝔐(M × U) em 𝔐(M × P), o mesmo valendo para submersão e mergulho no lugar de imersão. Em particular se P é uma subvariedade mergulhada de N então 𝔐(M × P) é uma subvariedade forte de 𝔐(M × N) (sendo que uma função s: M → P está em 𝔐(M × P) se e somente se s: M → N vista com contra-domínio em N está em 𝔐(M × N). Vide teorema 19).

Seja L uma outra variedade compacta com bordo. Seja f: L → M uma função C^{∞}. O pull-back f^{∗}(M × N) do fibrado trivial M × N é simplesmente o fibrado trivial L × N sobre L. O operador f^{∗} de 𝔐(M × N) em 𝔐(L × N) é simplesmente o operador (∘f) de composição à direita com f. Supondo para f as hipóteses que aparecem no enunciado do teorema 10 vemos que (∘f) é uma função C^{∞} de 𝔐(M ×N) em 𝔐(L×N), pela observação 5.

Seguindo agora as idéias da observação 8, vemos que dadas variedades sem bordo N, P então (M × N) ∗ (M × P) = M × (N × P). A observação 8 implica então que 𝔐(M × (N × P)) é C^{∞} difeomorfa ao produto 𝔐(M × N) × 𝔐(M × P) de variedades de Banach. O difeomorfismo associa a cada função de M em N × P o par formado por suas duas funções coordenadas. Podemos generalizar essas idéias da maneira óbvia para um produto M × (N_{1} × ⋯ × N_{n}).

Podemos definir uma função κ: N → 𝔐(M ×N) fazendo para cada n ∈ N, κ(n): M → N igual à função constante igual a n. Temos que κ é um mergulho forte de classe C^{∞}. Simplemente note que se φ: U → Ũ é uma carta em N então (φ∘) é uma carta em 𝔐(M × N), de modo que recaímos no caso que N é um espaço vetorial (vide seção 1.0, exemplos de operadores lineares contínuos após o teorema 12). Temos também que a diferencial de κ é novamente a função κ definida em T N a valores em 𝔐(M × T N).

Podemos visualizar um VBN ξ em M × N como sendo uma “uma família (ξ_{m})_{m∈M} a um parâmetro de cartas em N com dependência lisa do ponto m ∈ M”. Por exemplo, se φ: U → ℝ^{n} é uma carta em N definida num aberto U ⊂ N cuja imagem é todo o espaço Euclideano ℝ^{n} então o aberto M × U em M × N tem uma estrutura natural de VBN em M × N. Simplesmente observe que φ induz um difeomorfismo do subfibrado aberto M × U ⊂ M × N no fibrado vetorial M × ℝ^{n} (obtemos mais uma vez então que (φ∘) é uma carta em 𝔐(M × N)).

Observamos agora para uso num exemplo futuro que se ξ é um VBN em M × N e se s: M → N é uma seção C^{∞} de M × N com s(M) ⊂ ξ então ξ é isomorfo como fibrado vetorial a s^{∗}T N (vide observação logo antes de começarmos a estudar os fibrados triviais).

Uma pergunta natural que surge agora é a seguinte. Não poderíamos ter definido somente a variedade de Banach de funções entre duas variedades M, N e obter o espaço de seções de um fibrado qualquer E sobre M como uma subvariedade da variedade de Banach de funções de M em E? A resposta é não, se o bordo de M for não vazio. O conjunto das funções (de um certo tipo 𝔐) entre duas variedades M e N só é uma variedade de Banach se N for sem bordo. Mostraremos um exemplo logo a seguir explicando o porque disso. Note que se o bordo ∂M de M é não vazio então o bordo ∂E de E é sempre não vazio (igual a π^{−1}(∂M)). Daí o conjunto das funções (de um certo tipo 𝔐) de M em E não é uma variedade de Banach.

De qualquer modo, é razoável perguntar se quando M é compacta sem bordo se 𝔐(E) é uma subvariedade forte de 𝔐(M × E). Isso é de fato verdade. Temos os fibrados E e M × E sobre M (note que aqui E também é uma variedade sem bordo). Temos um morfismo i: E → M × E de classe C^{∞} dado por i(e) = (π(e), e). É fácil ver que i é um mergulho de fibrados e daí (i∘) (que é simplesmente a inclusão de 𝔐(E) em 𝔐(M × E)) é um mergulho forte de classe C^{∞}. Daí 𝔐(E) é uma subvariedade forte de classe C^{∞} de 𝔐(M × E).

Vamos finalmente explicar porque as fibras de E não podem ter bordo. Se E é um espaço de Banach definimos um semi-espaço em E como sendo o conjunto dos pontos nos quais um funcional linear contínuo não nulo λ ∈ E^{∗} é maior ou igual a zero. Em geral, se λ ∈ L(E; ℝ^{p}) é sobrejetor então dizemos que o conjunto dos pontos de E nos quais todas as p coordenadas de λ são maiores ou iguais a zero é um p-canto em E.

Podemos fazer então uma teoria de variedades de Banach com bordo e com canto simplesmente considerando cartas a valores num aberto de um semi-espaço ou de um pcanto de um espaço de Banach.

Por exemplo, considere o espaço de Banach C^{0}([a, b] × ℝ) das funções reais contínuas no intervalo [a, b]. Escolhido t_{0} ∈ [a, b] então o funcional λ que leva f: [a, b] → ℝ em f(t_{0}) é linear contínuo. Daí o conjunto das funções reais contínuas f no intervalo [a, b] tais que f(t_{0}) ≥ 0 é um semi-espaço em C^{0}([a, b] × ℝ). Mais geralmente, escolhidos p pontos distintos t_{1}, …, t_{p} em [a, b] então definimos λ fazendo λ(f) = (f(t_{1}), …, f(t_{p})). É fácil ver que λ é linear contínuo e sobrejetor. Daí o conjunto das funções reais contínuas no intervalo [a, b] que assumem valores não negativos nos pontos t_{1}, …, t_{p} é um p-canto em C^{0}([a, b] × ℝ).

O caso mais simples possível de um espaço de funções a valores numa variedade com bordo é o conjunto das funções contínuas f: [a, b] → ℝ cuja imagem está contida no semiespaço [0, +∞) em ℝ, i.e., o conjunto das funções reais contínuas não negativas no intervalo [a, b]. Considerando a observação acima vemos que não é natural esperar que esse seja um p-canto em C^{0}([a, b] × ℝ) para algum p. Precisaríamos de uma teoria que englobasse o caso p infinito, i.e., é natural esperar que esse conjunto seja uma espécie de “2^{ℵ_{0}}-canto”. O autor não conhece nenhuma teoria desse tipo.

Voltamos agora a considerar fibrados não triviais E sobre M. Se N é uma variedade (não necessariamente compacta) sem bordo então podemos pensar numa família (s_{n})_{n∈N} de seções de E “indexada por um parâmetro em N” de duas formas: Podemos pensar numa função H: M × N → E com H(·, n) = s_{n} uma seção de E para cada n ∈ N ou então podemos pensar numa função H̃: N → 𝔐(E) tal que H(n) = s_{n} para cada n ∈ N. Queremos agora relacionar as propriedades de continuidade e diferenciabilidade de H com as de H̃.

Seja H: M × N → E uma função tal que para cada n ∈ N temos que H(·, n) é uma seção de E, i.e., π ∘ H = π_{1}, onde π_{1} é a primeira projeção do produto cartesiano M × N. Como C^{0}(E) tem a topologia compacto-aberta e M é localmente compacta de Hausdorff sabemos por generalidades de topologia (vide [Lm4]) que H é contínua se e somente se para cada n ∈ N a função H(·, n) é contínua e além do mais a função H̃: N → C^{0}(E) dada por H̃(n) = H(·, n) é contínua.

O teorema a seguir relaciona as propriedades de diferenciabilidade de H com as de H̃.

Teorema 20. Sejam N uma variedade sem bordo, M uma variedade compacta com bordo e E um fibrado sobre M. Se H: M ×N → E é uma função de classe C^{k+j} tal que π∘H = π_{1} então se k é a classe de 𝔐 o operador H̃: N → 𝔐(E) definido por H̃(n) = H(·, n) é de classe C^{j}. Além do mais, se j ≥ 1 então dH̃_{n}(v) = ∂_{2}H(·, n)(v).

Demonstração. Considere o fibrado trivial M × N sobre M. A hipótese π ∘ H = π_{1} nos diz que H é um morfismo de classe C^{k+j} entre os fibrados M × N e E sobre M. Daí pela observação 2 segue que (H∘) é um operador de classe C^{j} de 𝔐(M × N) em 𝔐(E).

Considere o operador κ: N → 𝔐(M ×N) que a cada n ∈ N associa a função constante igual a n. Já vimos que κ é C^{∞} (vide observações durante o estudo dos fibrados triviais). O operador H̃ é simplesmente então a composta de (H∘) com κ.

Segue também então que dH̃_{n}(v) = d(H∘)_{κ(n)} ∘ dκ_{n}(v) = ∂_{2}H(·, n)(v).

Como já observamos, se k = j = 0 a recíproca do teorema vale, i.e., se H̃ é contínuo a valores em C^{0}(E) então H é contínuo. Em geral essa recíproca não vale. Estudemos um caso particular. Ponha N = (c, d), M = [a, b] e E = [a, b] × ℝ^{n}.

Temos que H(t, s) ∈ ℝ^{n} é função de t ∈ [a, b] e s ∈ (c, d). Estudemos a diferenciabilidade de H̃: (c, d) → C^{0}([a, b] × ℝ^{n}). Supomos então em primeiro lugar que para cada s ∈ (c, d) fixado H seja contínua em t, de modo que H̃ esteja bem definida. É fácil ver que H̃ é de classe C^{1} se e somente se ∂H/∂s existe e é contínua em [a, b] × (c, d), sendo em caso afirmativo H̃′(s) = ∂H(·, s)/∂s. (use o lema 1 da seção 0.0 com o conjunto Λ = { λ_{t} : t ∈ [a, b] } formado pelas funções evaluação no ponto t. Não é difícil também usar a definição de diferenciabilidade diretamente).

Segue por indução que H̃ é de classe C^{j} se e somente se H admite derivadas parciais em s de ordem menor ou igual a j contínuas em [a, b] × (c, d). Vejamos o que ocorre para H̃ tomando valores em C^{k}([a, b] × ℝ^{n}). Supomos então que para cada s ∈ (c, d) fixado H seja de classe C^{k} em t, de modo que H̃ esteja bem definida.

Defina

J_{k}: C^{k}([a, b] × ℝ^{n}) → C^{0}([a, b] × ℝ^{n(k+1)})

fazendo J_{k}(f) = (f, f′, …, f^{(k)}), onde f^{(k)} denota a k-ésima derivada de f. Então J_{k} é linear injetor fraco, donde pelo teorema 1 da seção 0.0 vemos que H̃ (a valores em C^{k}([a, b] × ℝ^{n})) é de classe C^{j} se e somente se J_{k} ∘ H̃ (a valores em C^{0}([a, b] × ℝ^{n(k+1)})) é de classe C^{j}.

Pelo que vimos acima então H̃ é de classe C^{j} se e somente se as derivadas parciais

\frac{∂^{i+r}H}{∂s^{i}∂t^{r}} , i = 0, 1, …, j, r = 0, 1, …, k

existem e são contínuas em [a, b] × (c, d). Esta é a condição exata, necessaria e suficiente para que H̃ a valores em C^{k}([a, b] × ℝ^{n}) seja de classe C^{j}. Note que ela é realmente mais fraca do que a condição de classe C^{k+j}. Note que no enunciado da condição não podemos sequer trocar a ordem das derivadas parciais, já que para aplicar o teorema de Schwartz precisamos supor que H seja k + j vezes diferenciável, o que não decorre da condição enunciada. Vemos que em geral a condição necessária e suficiente para que H̃ seja C^{j} é muito desagradável para trabalhar.

Vamos agora estudar um pouco a questão da conexidade do espaço 𝔐(E). Sejam s_{1}, s_{2} duas seções contínuas de E. Uma homotopia fibrada entre s_{1} e s_{2} em E é uma função contínua H: [0, 1] × M → E tal que H(0, ·) = s_{1}, H(1, ·) = s_{2} e para cada t ∈ [0, 1] temos que H(t, ·) é uma seção de E, i.e., π ∘ H = π_{2}. Dizemos que s_{1} e s_{2} são fibradamente homotópicas em E se existe uma homotopia fibrada entre s_{1} e s_{2} em E. A relação “s_{1} é fibradamente homotópica a s_{2}” é uma relação de equivalência, como é fácil ver.

Afirmamos que dados s_{1}, s_{2} ∈ 𝔐(E) então existe uma curva contínua em 𝔐(E) ligando s_{1} a s_{2} se e somente se s_{1} e s_{2} são fibradamente homotópicas em E. Em primeiro lugar, se existe uma curva contínua H̃: [0, 1] → 𝔐(E) ligando s_{1} a s_{2} então H̃ também é contínua com contra-domínio em C^{0}(E), donde pela observação que precede o teorema 20 temos que H: [0, 1] × M → E dada por H(t, m) = H̃(t)(m) é uma homotopia fibrada entre s_{1} e s_{2} em E.

Reciprocamente, sejam s_{1}, s_{2} ∈ 𝔐(E) e seja H uma homotopia fibrada entre s_{1} e s_{2} em E. Podemos estender H a uma função contínua de ℝ × M → E simplesmente declarando que H(t, m) não depende de t em (−∞, 0] × M e em [1, +∞) × M.

Considere a projeção π_{2}: ℝ × M → M do produto ℝ × M. Temos que π_{2}^{∗}E é um fibrado sobre ℝ × M cuja fibra sobre (t, m) ∈ ℝ × M é E_{m}. Temos então que (a extensão de) H é uma seção contínua de π_{2}^{∗}E. Temos uma função canônica σ: π_{2}^{∗}E → E que leva e ∈ (π_{2}^{∗}E)_{(t,m)} no próprio e ∈ E_{m}. O fibrado vertical Ver π_{2}^{∗}E de π_{2}^{∗}E é isomorfo então a σ^{∗} Ver E.

Escolha uma estrutura ortogonal em Ver E. Ela induz através de σ uma estrutura ortogonal em Ver π_{2}^{∗}E, de modo que para cada (t, m) ∈ ℝ × M, σ leva (π_{2}^{∗}E)_{(t,m)} isometricamente sobre E_{m}. Pelo lema 10 existe um raio totalmente normal r > 0 para s_{1} e s_{2} em E. Seja U a união das bolas B(H(t, m); r) onde (t, m) varia em ℝ × M (B(H(t, m); r) é a bola aberta de centro H(t, m) e raio r no espaço métrico (π_{2}^{∗}E)_{(t,m)} = E_{m}, onde a estrutura de espaço métrico é proveniente da métrica Riemanniana). Pelo lema 9 temos que U ⊂ π_{2}^{∗}E é aberto. Como H(ℝ×M) ⊂ U temos pelo teorema 15 que existe uma seção H′ de classe C^{∞} de π_{2}^{∗}E com H′(ℝ × M) ⊂ U. Daí H′_{|[0,1]×M} é uma homotopia fibrada em E entre certas seções s′_{1}, s′_{2} de classe C^{∞} de E.

Seja ξ = ⋃_{m∈M} B(s′_{1}(m); r) e seja η = ⋃_{m∈M} B(s′_{2}(m); r). Temos pelo lema 11 que ξ e η são VBN’s em E centrados em s′_{1} e s′_{2} respectivamente (note que r > 0 é um raio normal para s′_{1} e s′_{2}). Temos para cada m ∈ M que s_{1}(m) e s′_{1}(m), assim como s_{2}(m) e s′_{2}(m) distam menos que r, donde s_{1}(M) ⊂ ξ e s_{2}(M) ⊂ η. O teorema 20 diz que H′ induz uma curva H̃′: ℝ → 𝔐(E) de classe C^{∞}. Essa curva passa por s′_{1} no instante 0 e por s′_{2} no instante 1. Como s_{1} e s′_{1} estão ambas no espaço vetorial 𝔐(ξ) vemos que podem ser ligadas por uma curva contínua (um segmento de reta) em 𝔐(ξ), que também será contínua em 𝔐(E). Do mesmo modo temos uma curva contínua em 𝔐(E) ligando s_{2} a s′_{2}. Concatenando as três curvas obtemos o resultado desejado.

Observe agora que 𝔐(E) sendo uma variedade de Banach é localmente conexa por caminhos, donde um aberto U ⊂ 𝔐(E) é conexo se e somente se for conexo por caminhos. Também as componentes conexas de 𝔐(E) são abertas. Segue então que as componentes conexas de 𝔐(E) são as classes de equivalência de homotopia fibrada em E. Segue que a conexidade de 𝔐(E) não depende de 𝔐 (note que se quaisquer seções C^{∞} de E são fibradamente homotópicas então quaisquer seções contínuas de E são fibradamente homotópicas. Isso é uma conseqüência simples da existência de VBN’s).

Por exemplo, se E = M ×N é um fibrado trivial então uma homotopia fibrada em E é simplesmente uma homotopia comum entre funções de M em N. Segue que as componentes conexas de 𝔐(M ×N) são as classes de homotopia de funções de M em N. Em particular, se N é conexa e M é contrátil, ou se N for contrátil então 𝔐(M × N) é conexa. Uma variedade de curvas 𝔐([a, b] × N) é conexa se e somente se N for conexa.

Por exemplo, seja M = S^{1} a circunferência unitária e seja N a faixa de Möbius. Seja γ: M → N a curva fechada de classe C^{∞} que “dá a volta na faixa” (mais precisamente, uma curva fechada cujo levantamento para o recobrimento duplo não é fechado). Seja μ: M → N uma curva “pequena” (i.e., bordo de um disco compacto contido na faixa) de classe C^{∞}. Temos que γ e μ não são homotópicas elas pertencem a componentes conexas distintas de 𝔐(M × N).

Já observamos que qualquer VBN em M ×N contendo a imagem de γ é isomorfo como fibrado vetorial a γ^{∗}T N. Do mesmo modo, um VBN em M ×N contendo a imagem de μ é isomorfo como fibrado vetorial a μ^{∗}T N. Uma escolha de orientação num plano em ℝ^{3} é o mesmo que um escolha de uma normal unitária a esse plano, donde uma escolha contínua de orientação nas fibras de γ^{∗}T N corresponde a uma escolha de um campo normal (à faixa de Möbius) unitário contínuo ao longo de γ, sendo que o resultado análogo vale para μ.

É claro que no caso de μ tal campo existe enquanto no caso de γ é fácil ver que esse campo não existe. Segue que um VBN ξ em M × N contendo a imagem de γ é sempre não orientável enquanto um VBN η em M × N contendo a imagem de μ é sempre orientável, donde os dois VBN’s nunca são isomorfos como fibrados vetoriais. A rigor isso não implica que 𝔐(ξ) e 𝔐(η) não sejam topologicamente isomorfos, mas isso ao menos indica que é mesmo importante permitir que as cartas numa variedade de Banach tenham contra-domínios diferentes.

Na seção seguinte quando estudarmos algumas aplicações da teoria de variedades de Banach ao cálculo variacional precisaremos considerar, por exemplo, o conjunto das curvas que conectam dois pontos dados de uma variedade. Se x = (x_{1}, …, x_{k}) é uma seqüência de pontos de M e se e = (e_{1}, …, e_{k}) é uma seqüência de pontos de E então denotamos por 𝔐(E; x, e) o subconjunto de 𝔐(E) formado pelas seções s de E tais que s(x_{i}) = e_{i}; i = 1, …, k. Suporemos sempre que π(e_{i}) = x_{i}; i = 1, …, k pois caso contrário 𝔐(E; x, e) será sempre vazio (mas note que mesmo se π(e_{i}) = x_{i}; i = 1, …, k o conjunto 𝔐(E; x, e) pode ser vazio).

Teorema 21. Seja E um fibrado sobre M. Sejam x = (x_{1}, …, x_{k}) uma seqüência de pontos de M e e = (e_{1}, …, e_{k}) uma seqüência de pontos de E. Então 𝔐(E; x, e) é uma subvariedade forte de 𝔐(E). Além do mais, para s ∈ 𝔐(E; x, e) temos que T_{s}𝔐(E; x, e) é formado pelos campos vetoriais v ∈ T_{s}𝔐(E) que se anulam nos pontos x_{1}, …, x_{k}.

Demonstração. Seja s ∈ 𝔐(E; x, e). Seja ξ um VBN em E com s(M) ⊂ ξ. Então 𝔐(E; x, e) ∩ 𝔐(E; ξ) é o subconjunto de 𝔐(ξ) formado pelas seções s tais que s(x_{i}) = e_{i} para todo i = 1, …, k. Mas esse subconjunto de 𝔐(ξ) é obviamente um subespaço afim de 𝔐(ξ) paralelo ao subespaço vetorial de 𝔐(ξ) formado pelas seções que se anulam nos pontos x_{1}, …, x_{k}.

Compondo a carta em 𝔐(E) associada a ξ com uma translação obtemos uma carta em 𝔐(E) na qual 𝔐(E; x, e) corresponde ao subespaço de 𝔐(ξ) formado pelas seções que se anulam nos pontos x_{1}, …, x_{k}. Resta mostrar então que esse é um subespaço fechado com complementar fechado.

Seja λ: 𝔐(ξ) → ⨁_{i=1}^{k} ξ_{x_{i}} a transformação linear contínua dada por

λ(s) = (s(x_{1}), …, s(x_{k})).

Daí o subespaço das seções que se anulam nos pontos x_{1}, …, x_{k} é o núcleo de λ, a qual é uma submersão forte (não é difícil mostrar usando partição da unidade que λ é sobrejetora, mas na realidade isso não importa. Temos que λ é linear contínua e é sobrejetora se considerarmos como contra-domínio sua imagem, que tem dimensão finita. Segue daí que seu núcleo é fechado com complementar fechado).

A partir da carta que construímos é fácil ver que o espaço tangente a 𝔐(E; x, e) no ponto s é o subespaço de T_{s}𝔐(E) formado pelos campos vetoriais que se anulam nos pontos x_{1}, …, x_{k}.

Passemos agora ao estudo dos fibrados mistos. Já encontramos exemplos de fibrados mistos anteriormente nesta seção, quando mostramos o teorema 18. O fibrado Ver E | M é misto no sentido que é parte geral e parte vetorial, i.e., suas fibras são elas mesmas fibrados vetoriais. Uma propriedade interessante que encontramos é que um espaço de seções de Ver E | M é não somente uma variedade de Banach mas também um fibrado vetorial de Banach.

Mais importante do que isso é o seguinte problema: considere, por exemplo, uma variedade de curvas 𝔐([a, b] × N). Se 𝔐 < C^{0} podemos definir um operador derivada que associa a cada curva γ em N a curva γ̇ em T N (ele será estudado na seção seguinte). Se 𝔐 ≤ C^{1} tudo funciona bem, mas se 𝔐 = H_{p}^{1} então γ̇ é apenas uma curva em L^{p}. Mas o espaço L^{p}([a, b] × T N) de curvas L^{p} em T N não existe, pois [a, b] × T N não é um fibrado vetorial sobre [a, b]!

Realmente, L^{p}([a, b] × T N) não existe, mas ocorre que se γ ∈ H_{p}^{1}([a, b] × N) então γ̇ é uma curva cuja “parte vetorial” está em L^{p} e cuja projeção em N está em H_{p}^{1}. Isso motiva a definição de um espaço misto (L^{p}, H_{p}^{1})([a, b] × T N).

Passemos às considerações precisas. Seja M uma variedade com bordo. Um fibrado misto sobre M é uma quíntupla Ẽ | M = (Ẽ, π̃, M, A, Ẽ_{0}) onde Ẽ é um fibrado (geral) sobre M com projeção π̃ e fibra típica Ẽ_{0}, onde Ẽ_{0} é um fibrado vetorial sobre uma variedade sem bordo E_{0}, com projeção π̂_{0} e fibra típica ξ̂_{0}. Além do mais A é um atlas de trivializações de Ẽ tal que se (U, α̃), (V, β̃) ∈ A então ou U ∩ V = ϕ ou U ∩ V ≠ ϕ e para cada m ∈ U ∩ V temos que o difeomorfismo de Ẽ_{0} em Ẽ_{0} dado por

e ∈ Ẽ_{0} ↦ β̃^{2} ∘ α̃^{−1}(m, e) ∈ Ẽ_{0}

preserva as fibras e é linear nas fibras (como sempre supomos também que A é maximal em relação a essa condição). Dizemos que A é o conjunto das trivializações admissíveis. Observação: recordamos que quando dizemos que (U, α̃) é uma trivialização de Ẽ isso significa que U ⊂ M é um aberto e que α̃: π̃^{−1}(U) → U ×Ẽ_{0} é um difeomorfismo cuja primeira coordenada é a restrição de π̃ e cuja segunda coordenada denotamos por α̃^{2}: π̃^{−1}(U) → Ẽ_{0}. Recordamos também que uma função entre fibrados preserva as fibras quando a imagem de qualquer fibra do domínio está contida numa fibra do contra-domínio. Recordamos também que uma função entre fibrados vetoriais que preserva as fibras é dita linear nas fibras quando for linear restrita a cada fibra (um morfismo de fibrados vetoriais é então uma função que preserva as fibras, é linear nas fibras e induz a identidade na base).

Seja Ẽ | M um fibrado misto sobre M. Identificamos a base E_{0} de Ẽ_{0} com a seção nula de Ẽ_{0}. Assim escrevemos E_{0} ⊂ Ẽ_{0}. Fixe m ∈ M. Escolha uma trivialização (U, α̃) ∈ A de Ẽ com m ∈ U. Temos que α̃^{2} se restringe a um difeomorfismo T de Ẽ_{m} em Ẽ_{0}. Defina E_{m} = T^{−1}(E_{0}) ⊂ Ẽ_{m}. Seja π̂_{m}: Ẽ_{m} → E_{m} a única função tal que π̂_{0} ∘ T = T_{|E_{m}} ∘ π̂_{m}.

Existe então em Ẽ_{m} uma única estrutura de fibrado vetorial com base E_{m}, com projeção π̂_{m} e fibra típica ξ̂_{0} tal que T é linear nas fibras. É claro que essa estrutura não depende da escolha da trivialização em A.

Seja E = ⋃_{m∈M} E_{m} ⊂ Ẽ. Então se (U, α̃) ∈ A é uma trivialização de Ẽ temos que α(E ∩ π̃^{−1}(U)) = U × E_{0}, donde E é um subfibrado de Ẽ com fibra típica E_{0} e projeção π = π̃_{|E}. Dizemos que E é o fibrado das bases de Ẽ | M. Os elementos de A se restringem à trivializações de E.

Temos uma projeção natural π̂: Ẽ → E cuja restrição a cada fibra Ẽ_{m} é a projeção π̂_{m} sobre a base E_{m} do fibrado vetorial Ẽ_{m}. É fácil verificar então que Ẽ é um fibrado vetorial sobre E com projeção π̂ e fibra típica ξ̂_{0}. De fato, seja (U, α̃) ∈ A e seja (V, α) uma trivialização de Ẽ_{0}, onde U ⊂ M e V ⊂ E_{0} são abertos. Daí W = α̃^{−1}(U ×V) é aberto em E e (W, α̂) é uma trivialização de Ẽ sobre E, onde α̂ é dada por α̂(v) = (π̂(v), α^{2}(α̃^{2}(v))).

Escrevemos Ẽ | E para denotar o fibrado vetorial Ẽ sobre E e, como já dissemos, Ẽ | M para denotar o fibrado misto Ẽ sobre M. Temos que Ẽ | E e Ẽ | M ambos coincidem com Ẽ como variedades, eles apenas diferem na estrutura de fibrado. É claro que π̃ = π ∘ π̂. Isso significa que π̂ é um morfismo (geral) do fibrado Ẽ | M no fibrado E.

O exemplo principal de fibrado misto é aquele que usamos para motivar sua introdução: se E é um fibrado (geral) sobre M então Ver E | M é um fibrado misto sobre M com projeção π̃ = π ∘ π̂. O fibrado das bases coincide com E e Ver E | E é um fibrado vetorial com projeção π̂. Se E = M × N é um fibrado trivial então vemos que Ver E | M = M × T N é um fibrado misto (trivial) sobre M, cujo fibrado das bases é M ×N. A projeção π̂ de M ×T N em M ×N é (m, v) ∈ M ×T N ↦ (m, n), para v ∈ T_{n}N.

Se ξ é um fibrado vetorial sobre uma variedade sem bordo N então M × ξ é um fibrado misto trivial sobre M cujo fibrado das bases é M × N. Temos uma projeção π̂: M × ξ → M × N que leva (m, v) em (m, n) se v ∈ ξ_{n}.

Temos um exemplo trivial de fibrado misto mas que também é útil. Seja E um fibrado geral sobre M. Definimos o fibrado misto nulo de E como sendo o fibrado misto Ẽ | M, tal que Ẽ | M = E e tal que o fibrado vetorial Ẽ | E é nulo, i.e., tem como fibra típica um espaço vetorial de dimensão zero. Daí π̂ é a identidade de E e π̃ = π.

Seja Ẽ | M um fibrado misto sobre M. Dizemos que um subconjunto de Ẽ é uma faixa aberta quando ele é imagem inversa de um aberto de E por π̂. Temos que U ⊂ Ẽ é uma faixa aberta se e somente se U é aberto em Ẽ e U = π̂^{−1}(π̂(U)) (note que π̂: Ẽ → E é uma aplicação aberta). A condição U = π̂^{−1}(π̂(U)) diz que U é saturado em relação à aplicação π̂, i.e., se U intersecta uma fibra de Ẽ | E então U contém essa fibra (ou então, U é uma reunião de fibras de Ẽ | E).

Uma faixa aberta no fibrado misto nulo de E é simplesmente um aberto em E.

Sejam Ẽ | M e F̃ | M fibrados mistos sobre M. Dizemos que uma função T̂: U ⊂ Ẽ → F̃ definida numa faixa aberta U ⊂ Ẽ é um morfismo adaptado de classe C^{k} se T̂ é de classe C^{k} e se para todo e ∈ π̂(U) existe f ∈ F com π(e) = π(f) e tal que T̂ leva π̂^{−1}(e) em π̂^{−1}(f) sendo que a restrição de T̂ a uma função de π̂^{−1}(e) em π̂^{−1}(f) é afim (note que π̂^{−1}(e) e π̂^{−1}(f) são espaços vetoriais).

Note que se T̂ é um morfismo adaptado de classe C^{k} então T̂ é também um morfismo geral de classe C^{k} de Ẽ | M em F̃ | M. Também, se T̂ é um morfismo adaptado de classe C^{k} então existe um único morfismo geral T: π̂(U) ⊂ E → F definido no aberto π̂(U) em E tal que π̂ ∘ T̂(v) = T ∘ π̂(v), para todo v ∈ π̂^{−1}(U). Temos que T também é de classe C^{k}. Dizemos que T é o morfismo associado a T̂.

Resumindo, um morfismo adaptado T̂ de classe C^{k} é uma função C^{k} de Ẽ | E em F̃ | F que preserva as fibras, induz T na base e é afim em cada fibra.

Dizemos que uma função T̂: U ⊂ Ẽ → F̃ definida numa faixa aberta U ⊂ Ẽ é um morfismo linearmente adaptado quando T for um morfismo adaptado e também for linear nas fibras de Ẽ | E, i.e., para todo e ∈ π̂(U) temos que T̂ se restringe a uma transformação linear de π̂^{−1}(e) em π̂^{−1}(T (e)), onde T é o morfismo associado a T̂.

É claro que a composição de morfismos adaptados (respectivamente, linearmente adaptados) de classe C^{k} é um morfismo adaptado (respectivamente, linearmente adaptado) de classe C^{k} e que a identidade de um fibrado misto é sempre um morfismo linearmente adaptado de classe C^{∞}.

Note que todo morfismo linearmente adaptado é em particular adaptado, donde tudo que dissermos sobre morfismos adaptados se aplica para morfismo linearmente adaptados.

Por exemplo, se E, F são fibrados gerais sobre M então Ver E | M, Ver F | M são fibrados mistos sobre M. Daí se T: U ⊂ E → F é um morfismo geral de classe C^{k} (k ≥ 1) definido num aberto U ⊂ E então a derivada fibrativa 𝔽T está definida na faixa aberta π̂^{−1}(U) em Ẽ | M e é um morfismo linearmente adaptado de classe C^{k−1}. O morfismo associado a 𝔽T é novamente T.

Se Ẽ | M é o fibrado misto nulo de E então qualquer morfismo geral definido em Ẽ | M é adaptado. Ele só será linearmente adaptado se for nulo em todas as fibras de Ẽ | E. Por outro lado, se F̃ | M é o fibrado misto nulo de F então um morfismo geral a valores em F̃ | M é adaptado (ou linearmente adaptado) se e somente se for constante nas fibras de Ẽ | E.

A partir de agora teremos sempre dois tipos 𝔐_{1}, 𝔐_{2} de espaços de funções com 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} e 𝔐_{2} ≤ C^{0} mas não necessariamente 𝔐_{1} ≤ C^{0}. O objetivo agora é definir um espaço de seções (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) de um fibrado misto Ẽ | M sobre M formado pelas seções cuja “parte vetorial” está em 𝔐_{1} e cuja projeção π̂ em E está em 𝔐_{2}(E). As definições sobre fibrados mistos feitas até agora não pressupõem M compacta, mas obviamente agora que trataremos de espaços de seções suporemos sempre M compacta.

Seja ξ ⊂ Ẽ | M um VBN (note que Ẽ | M além de fibrado misto também é um fibrado geral sobre M). Dizemos que ξ é um VBN adaptado quando ξ for uma faixa aberta em Ẽ | M e para todo m ∈ M as fibras de Ẽ_{m} (que é um fibrado vetorial sobre E_{m}) que estiverem contidas em ξ_{m} forem subespaços afins dois a dois paralelos do espaço vetorial ξ_{m}.

Dizemos que ξ é um VBN linearmente adaptado quando ξ for adaptado e além do mais para cada m ∈ M tivermos que π̂(ξ_{m}) = π̂_{m}(ξ_{m}) é um subespaço vetorial de ξ_{m} (recorde que π̂(ξ_{m}) ⊂ E_{m}, enquanto que ξ_{m} ⊂ Ẽ_{m}, mas identificamos E_{m} com a seção nula de Ẽ_{m}, de modo que E_{m} ⊂ Ẽ_{m}). Note bem, dado m ∈ M não é verdade que as fibras de Ẽ_{m} que estão contidas em ξ_{m} são subespaços vetoriais de ξ_{m}. Note que essas fibras são duas a duas disjuntas, enquanto subespaços vetoriais sempre contém o vetor nulo.

Note que todo VBN linearmente adaptado é em particular adaptado, donde tudo que dissermos sobre VBN’s adaptados vale também para VBN’s linearmente adaptados.

Se ξ é um VBN adaptado em Ẽ | M então para cada m ∈ M temos um vetor nulo 0_{m} ∈ ξ_{m}. Mas 0_{m} também é um ponto do fibrado vetorial Ẽ_{m} sobre E_{m}, donde podemos definir π̂(0_{m}) ∈ π̂(ξ_{m}) ⊂ E_{m}. Temos que a fibra π̂^{−1}(π̂(0_{m})) de Ẽ_{m} é um subespaço afim de ξ_{m} que contém 0_{m}, donde é um subespaço vetorial de ξ_{m}. Temos então para cada m ∈ M um subespaço vetorial η_{m} ⊂ ξ_{m}. É fácil ver que η = ⋃_{m∈M} η_{m} é um subfibrado vetorial de ξ. Chamaremos η o subfibrado canônico de ξ (se s é a seção nula de ξ então s é uma seção de Ẽ | M de classe C^{∞}. Daí η = (π̂ ∘ s)^{∗}(Ẽ | E)).

Se ξ é um VBN adaptado em Ẽ | M e se η é seu subfibrado canônico então para todo m ∈ M e para todo v ∈ ξ_{m}, e = π̂(v), temos que a fibra π̂^{−1}(e) de Ẽ_{m} coincide com v + η_{m}, onde a soma é feita no espaço vetorial ξ_{m} (é isso que significa dizer que π̂^{−1}(e) é um subespaço afim paralelo a η_{m}).

Por exemplo, se Ẽ | M = Ver E | M então os VBN’s que construímos em Ver E | M antes da demonstração do teorema 18 são VBN’s linearmente adaptados (para cada VBN ξ em E temos um VBN linearmente adaptado π̂^{−1}(ξ) em Ver E | M).

Um VBN adaptado (ou linearmente adaptado) ao fibrado misto nulo de E é simplesmente um VBN qualquer em E.

Sejam ξ e ξ′ VBN’s adaptados em Ẽ | M. Como sempre temos o morfismo geral de transição T̂: ξ ∩ ξ′ ⊂ ξ → ξ′ (que é simplesmente a inclusão de ξ ∩ ξ′ em ξ′). Sejam η, η′ os subfibrados canônicos de ξ e ξ′ respectivamente. Então o domínio de T é uma η-faixa aberta em ξ e T é um morfismo adaptado a η de ξ em ξ′ (vide definição na seção anterior).

Sejam 𝔐_{1}, 𝔐_{2} com 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} e 𝔐_{2} ≤ C^{0}. Definimos o conjunto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) de seções de Ẽ | M da seguinte forma: dizemos que s ∈ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) quando existe um VBN adaptado ξ em Ẽ | M tal que s(M) ⊂ ξ e s ∈ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ), onde η é o subfibrado canônico de ξ.

Mais precisamente, (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) é um conjunto de classes de equivalência de seções de Ẽ | M caso C^{0} < 𝔐_{1}. Dizemos que duas seções s, s′ são equivalentes quando para todo VBN adaptado ξ em Ẽ | M contendo a imagem de s e de s′ vale que s, s′ estão na mesma classe de equivalência em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) (note que (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) também é um espaço de classes de equivalência de seções). Para mostrar que essa relação é transitiva use que se s, s′ são equivalentes então π̂ ∘ s = π̂ ∘ s′ (isso será visto a seguir).

Seja ξ um VBN adaptado em Ẽ | M e seja η o seu subfibrado canônico. Na seção anterior a técnica básica de trabalho com um espaço misto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) era a de escolher um complementar σ de η em ξ. Vamos entender como σ se coloca dentro de Ẽ | M. Fixe m ∈ M. Temos que Ẽ_{m} é um fibrado vetorial sobre E_{m} com projeção π̂_{m} = π̂_{|Ẽ_{m}}. Temos que π̂(ξ_{m}) = π̂_{m}(ξ_{m}) é um aberto em E_{m}. Daí ξ_{m} é exatamente a restrição do fibrado vetorial Ẽ_{m} a π̂(ξ_{m}). As fibras de Ẽ_{m} sobre π̂(ξ_{m}) são subespaços afins de ξ_{m} paralelos a η_{m} (uma delas contém 0_{m} e daí coincide com η_{m}).

Se ξ = η ⊕ σ então ξ_{m} = η_{m} ⊕ σ_{m}. Um complementar σ_{m} de η_{m} em ξ_{m} consiste na escolha de um ponto em cada subespaço afim paralelo a η_{m} (de modo que o conjunto desses pontos seja um subespaço vetorial de ξ_{m}). Assim, σ_{m} consiste na escolha de um ponto em cada fibra de Ẽ_{m} sobre π̂(ξ_{m}) ⊂ E_{m}. Daí σ_{m} corresponde a uma seção C^{∞} da restrição de Ẽ_{m} a π̂(ξ_{m}) (esta é uma seção C^{∞} especial, cuja imagem é um subespaço de ξ_{m}).

É importante entender exatamente o que ocorre aqui. Do ponto de vista do fibrado vetorial Ẽ_{m} (restrito a π̂(ξ_{m})) temos que π̂(ξ_{m}) ⊂ E_{m} é a seção nula e σ_{m} é uma seção C^{∞} cuja imagem (que é o próprio σ_{m}) é uma variedade “curva” em Ẽ_{m} transversal às fibras. Do ponto de vista do espaço vetorial ξ_{m} temos que as fibras de Ẽ_{m} (sobre π̂(ξ_{m})) são os subespaços afins paralelos a η_{m}, σ_{m} é um espaço vetorial e agora π̂(ξ_{m}) ⊂ E_{m} é uma variedade “curva” transversal aos subespaços afins paralelos a η_{m}.

Temos que o VBN ξ é linearmente adaptado precisamente quando π̂(ξ_{m}) ⊂ E_{m} for um subespaço vetorial de ξ_{m}.

É fácil ver (tomando trivializações de ξ que trivializam η simultaneamente) que a projeção π̂ se restringe a um difeomorfismo de σ em π̂(ξ). Isso mostra que π̂(ξ) é um fibrado sobre M, na realidade um subfibrado aberto de E. Temos até uma estrutura de VBN em π̂(ξ) se declararmos π̂_{|σ} um isomorfismo de fibrados vetoriais sobre π̂(ξ). Em geral π̂(ξ) é um subfibrado (geral) de ξ, sendo ele um subfibrado vetorial precisamente quando ξ for um VBN linearmente adaptado.

Note que quando ξ é linearmente adaptado então o subfibrado canônico η de ξ tem também um complementar canônico σ = π̂(ξ).

Observamos que é sempre possível modificar a estrutura de fibrado vetorial de um VBN adaptado ξ de modo a torná-lo linearmente adaptado. De fato, escreva ξ = η ⊕ σ e sejam π_{1}, π_{2} as projeções dessa soma de Whitney. Definimos um morfismo de fibrados gerais de ξ em η ⊕ π̂(ξ) como sendo (π_{1}, π̂_{|ξ}) (use a estrutura de fibrado vetorial em π̂(ξ) explicada acima para definir a soma de Whitney η ⊕ π̂(ξ)). Note que temos um difeomorfismo de ξ em η ⊕ π̂(ξ) que preserva as fibras. Declarando este um isomorfismo de fibrados vetoriais obtemos uma estrutura de fibrado vetorial modificada em ξ de modo que agora ξ é linearmente adaptado. Segue daí que ξ é um fibrado misto sobre M. De fato, basta declarar admissíveis as trivializações de ξ que trivializam η e π̂(ξ) simultaneamente. O fibrado das bases de ξ é π̂(ξ).

Com as idéias fornecidas acima o leitor pode verificar facilmente que se s, s′ são seções de Ẽ | M com imagens contidas em ξ tais que s, s′ ∈ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) então se s, s′ são equivalentes (i.e., suas projeções num complementar σ de η são iguais e suas projeções em η são iguais quase sempre) então π̂ ∘ s = π̂ ∘ s′. Na realidade temos que s é equivalente a s′ se e somente se s = s′ quase sempre e π̂ ∘ s = π̂ ∘ s′ (sempre). Temos também que para toda s ∈ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) a projeção π̂ ∘ s em E está em 𝔐_{2}(E) e portanto é contínua.

Pelo comentário feito acima sobre o morfismo de transição entre VBN’s adaptados e pelo teorema 13 vemos que se existe um VBN adaptado ξ em Ẽ | M tal que s ∈ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) então para qualquer VBN adaptado ξ′ em Ẽ | M com s(M) ⊂ ξ′ temos s ∈ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η′, ξ′).

Se U ⊂ Ẽ | M é uma faixa aberta então denotamos por (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M; U) o subconjunto de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) formado pelas seções cuja imagem está contida em U (como, na realidade, temos um conjunto de classes de equivalência de seções, vemos que a condição de ter imagem contida em U não está bem definida se U não satisfaz U = π̂^{−1}(π̂(U)) ).

Se ξ é um VBN adaptado em Ẽ | M e se η é o subfibrado canônico então obtemos uma carta ((𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M; ξ), (Id ∘), (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ)) no conjunto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) cuja imagem é o espaço de Banach (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ). A observação feita sobre os morfismos de transição de VBN’s adaptados e o teorema 13 mostram que quaisquer duas cartas desse tipo são C^{∞}-compatíveis.

A rigor, já está mostrado então que (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) é uma variedade de Banach. Não precisamos mostrar a existência de nenhum VBN adaptado pois por definição os elementos de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) sempre tem imagem contida num VBN adaptado. Mas para mostrar que nossa teoria não é vazia (e também para garantir trivialidades como (𝔐, 𝔐)(Ẽ | M) = 𝔐(Ẽ | M)) vamos mostrar que VBN’s adaptados existem em grande quantidade.

Precisamos de um lema preparatório. Esse lema segue facilmente da teoria usual de equações diferenciais ordinárias (EDO) sobre dependência C^{∞} da solução em relação a parâmetros e condições inicias. Porém, damos aqui uma demonstração mais intrínseca (que também é mais simples para quem gosta de construções globais).

Observe que se N, M são variedades com bordo (não necessariamente compactas), f: N → M é uma função C^{∞} e se ξ é um fibrado vetorial sobre M então dada uma conexão em ξ ela induz de modo natural uma conexão em f^{∗}ξ. Seja σ: f^{∗}ξ → ξ a função que a cada v ∈ (f^{∗}ξ)_{n} = ξ_{f(n)} associa o próprio v ∈ ξ_{f(n)}. Recorde que uma conexão num fibrado vetorial ξ está associada a um complementar Hor ξ de Ver ξ em T ξ, chamado o fibrado horizontal da conexão. Para cada v ∈ f^{∗}ξ definimos Hor_{v}(f^{∗}ξ) = dσ_{v}^{−1}(Hor_{σ(v)} ξ). Não é difícil verificar que temos de fato uma conexão em f^{∗}ξ.

O teorema do fluxo não se comporta muito bem em variedades com bordo, mas certamente vale o seguinte: se M é uma variedade com bordo e se X é um campo vetorial de classe C^{∞} em M então dado t ∈ ℝ denote por X_{t} a função X_{t}(x) = γ(t), onde γ(0) = x e γ é uma curva intergral de X. Temos que X_{t} está definido num certo subconjunto de M (que em geral não é aberto em M se ∂M ≠ ϕ) e se S ⊂ M é uma subvariedade com bordo de M contida no domínio de X_{t} então X_{t} é de classe C^{∞} como função de S em M (para uma demonstração rápida disso, use o teorema de Whitney, escolha um mergulho M ⊂ ℝ^{n}, tome uma extensão X̃ de X a um aberto em ℝ^{n} e note que X_{t} e X̃_{t} coincidem sobre S. Recaímos no caso sem bordo).

Lema 14. Seja M uma variedade com bordo e seja ξ um fibrado vetorial sobre M com conexão. Seja H uma função C^{∞} definida num aberto U ⊂ ℝ × M a valores em M. Seja [a, b] ⊂ ℝ um intervalo fechado e seja V ⊂ M um aberto tal que [a, b] × V ⊂ U. Suponha que H(a, m) = m para todo m ∈ V. Defina uma função T: ξ_{|V} → ξ que a cada v ∈ ξ_{m}, m ∈ V associa o vetor T (v) ∈ ξ na fibra sobre o ponto H(b, m) obtido fazendo o transporte paralelo de v ao longo da curva t ∈ [a, b] ↦ H(t, m). Então T é de classe C^{∞}.

Demonstração. Considere o fibrado vetorial H^{∗}ξ sobre U ⊂ ℝ × M. Considere a conexão induzida em H^{∗}ξ. Seja π a projeção de ξ e seja π′ a projeção de H^{∗}ξ. Para cada v ∈ H^{∗}ξ a função dπ′(v) se restringe a um isomorfismo de Hor_{v}(H^{∗}ξ) em T_{(t,m)}U, onde (t, m) = π′(v). Temos T_{(t,m)}U = ℝ ⊕ T_{m}M. Temos para cada v ∈ H^{∗}ξ um único vetor X(v) ∈ Hor_{v}(H^{∗}ξ) tal que dπ′_{v}(X(v)) = (1, 0). Temos que X é um campo vetorial de classe C^{∞} em H^{∗}ξ.

Seja σ: H^{∗}ξ → ξ a função canônica definida nos comentários que precedem o lema. Fixe m ∈ M. Se v é uma curva em ξ com derivada covariante zero e cuja projeção π ∘ v é a curva t ↦ H(t, m) em M então existe uma única curva w em H^{∗}ξ com σ ∘ w = v tal que a projeção π′ ∘ w de w é a curva t ↦ (t, m) em U. Também w é uma curva integral de X.

Como [a, b]×V ⊂ U (e como transporte paralelo ao longo de uma curva sempre existe, já que a EDO associada é linear) vemos que π′^{−1}({a} × V) ⊂ X_{b−a} e que X_{b−a} é de classe C^{∞} em π′^{−1}({a} × V) (vide comentário que precede o lema). A condição H(a, m) = m para todo m ∈ V implica que o fibrado H^{∗}ξ restrito a {a} × V é isomorfo a ξ_{|V}. Temos então que T (v) = σ ∘ X_{b−a}(v) para todo v ∈ (H^{∗}ξ)_{|{a}×V} ≅ ξ_{|V}.

O leitor interessado apenas no teorema 22 pode pular a observação e o corolário abaixo e ir diretamente para o teorema 22. Mas o corolário abaixo será usado logo adiante nesta seção. Observação: no corolário a seguir precisaremos usar o lema 14 com o enunciado ligeiramente generalizado. O novo enunciado é o seguinte. Seja M′ uma variedade com bordo e seja M um domínio com bordo em M′. Seja ξ um fibrado vetorial sobre M com conexão. Seja H uma função C^{∞} definida num aberto U ⊂ ℝ × M a valores em M′. Seja [a, b] ⊂ ℝ um intervalo fechado e seja V ⊂ M um aberto tal que [a, b] × V ⊂ U. Suponha que H(a, m) = m para todo m ∈ V e que H([a, b] × V) ⊂ M. Defina uma função T: ξ_{|V} → ξ que a cada v ∈ ξ_{m}, m ∈ V associa o vetor T (v) ∈ ξ na fibra sobre o ponto H(b, m) obtido fazendo o transporte paralelo de v ao longo da curva t ∈ [a, b] ↦ H(t, m) ∈ M. Então T é de classe C^{∞}. Explicamos abaixo como fazer para recair no enunciado original.

Seja λ: ℝ → [a, b] uma função crescente de classe C^{∞} que é constante igual a a num intervalo (−∞, a + ϵ) e é constante igual a b num intervalo (b − ϵ, +∞). Defina H′: ℝ × V → M por H′(s, m) = H(λ(s), m). Usando H′ ao invés de H recaímos no enunciado original do lema 14, pois o domínio de H′ é um aberto em ℝ × M (que contém [a, b] × V, com V ⊂ M aberto). Temos que para cada m ∈ V a curva H′(·, m) é uma reparametrização crescente (via λ) de H(·, m) (com as mesmas extremidades). Como a reparametrização de um campo paralelo ainda é paralelo segue que a função T obtida com H′ é a mesma.

Enunciamos agora um corolário do lema 14 que fornece um critério muito simples para reconhecer fibrados mistos (sem o uso de trivializações admissíveis).

Corolário. Seja M uma variedade com bordo. Seja E um fibrado geral sobre M com projeção π e seja Ẽ um fibrado vetorial sobre E com projeção π̂. Seja π̃ = π ∘ π̂. Escreva Ẽ_{m} = π̃^{−1}(m). Então Ẽ_{m} é um fibrado vetorial sobre E_{m} para todo m ∈ M. Suponha que para todos m, n ∈ M existe um difeomorfismo entre Ẽ_{m} e Ẽ_{n} que preserva as fibras e é linear nas fibras. Então Ẽ admite uma única estrutura de fibrado misto sobre M com projeção π̃, tal que E é o fibrado das bases e tal que a estrutura de fibrado vetorial em Ẽ | E coincide com a estrutura de fibrado vetorial que Ẽ tem sobre E.

Demonstração. Para cada m ∈ M a fibra E_{m} é uma subvariedade mergulhada de E. Como Ẽ é um fibrado vetorial sobre E segue que a restrição de Ẽ a E_{m} é um fibrado vetorial Ẽ_{m} sobre E_{m}. Escolha m ∈ M e defina Ẽ_{0} = Ẽ_{m}. Daí colocando E_{0} = E_{m} temos que Ẽ_{0} é um fibrado vetorial sobre E_{0}.

Uma estrutura de fibrado misto em Ẽ corresponde a uma escolha de trivializações admissíveis. A única possibilidade é declarar admissíveis as trivilizações (U, α̃) de Ẽ tais que α̃ preserva as fibras e é linear nas fibras (note que o domínio de α̃ é π̃^{−1}(U), o qual é um fibrado vetorial sobre π̂^{−1}(U) e o contra-domínio de α̃ é U × Ẽ_{0}, o qual é um fibrado vetorial sobre U × E_{0}).

Tudo que precisamos é construir trivializações admissíveis em quantidade suficiente para cobrir M. Seja p ∈ M. Seja (W, α) uma trivialização de E com p ∈ W. Diminuindo W podemos encontrar uma carta φ: W → W̃ em M com φ(p) = 0 e tal que W̃ é uma bola aberta B(0; r) em ℝ^{n} de centro na origem (se p estiver no interior de M) ou uma meia bola aberta B(0; r) ∩ H^{n} de centro na origem (se p estiver no bordo de M).

Temos que Ẽ se restringe a um fibrado vetorial sobre π^{−1}(W). Usando α: π^{−1}(W) → W × E_{0} e φ podemos transferir Ẽ para um fibrado vetorial F̃ sobre W̃ × E_{0}. Escolha uma conexão em F̃. Aplicaremos o lema 14 com o enunciado generalizado pela observação que o segue, para a variedade com bordo W̃ × E_{0} que é um domínio com bordo na variedade (sem bordo) B(0; r) × E_{0}, e para o fibrado vetorial F̃.

Seja U ⊂ ℝ × (W̃ × E_{0}) o aberto formado pelas trincas (t, m, e) tais que tm está em B(0; r). Sejam V = W̃ × E_{0}, a = 0, b = 1. Temos que [a, b] × V ⊂ U. Defina H: U → B(0; r) × E_{0} por H(t, m, e) = (tm, e). Temos que H([a, b] × V) ⊂ W̃ × E_{0}. Também H(b, m, e) = (m, e) para todo (m, e) ∈ V (vamos fazer o transporte paralelo de b para a, o oposto do feito no lema).

Daí a observação que segue o lema 14 nos dá uma função T: F̃ → F̃ de classe C^{∞}. Usando α e φ podemos identificar F̃ com π̃^{−1}(W) ⊂ Ẽ e daí identificamos T com T: π̃^{−1}(W) → π̃^{−1}(W). Temos que para cada m ∈ W, T se restringe a um difeomorfismo de Ẽ_{m} em Ẽ_{p} que preserva as fibras e é linear nas fibras. Identificamos Ẽ_{p} com Ẽ_{0} escolhendo um difeomorfismo que preserva as fibras e é linear nas fibras. Daí (W, (π̃, T)) define uma trivialização admissível de Ẽ | M, (π̃, T): π̃^{−1}(W) → W × Ẽ_{p} ≅ W × Ẽ_{0}.

É claro que a hipótese de que as fibras Ẽ_{m} de Ẽ | M sejam duas a duas difeomorfas (por um difeomorfismo que preserva as fibras e é linear nas fibras) é fundamental para que possamos ter uma fibra típica em Ẽ | M. Ela pode ser substituída pela hipótese de que M é conexa. Por exemplo, se M = M_{0} ∪ M_{1} tem duas componentes conexas M_{0}, M_{1} então é possível que E seja um fibrado de círculos sobre M (com fibra típica S^{1}) e Ẽ seja um fibrado de linhas sobre E (com fibra típica ℝ). É possível então que Ẽ | M_{0} tenha como fibra típica um cilindro mas Ẽ | M_{1} tenha como fibra típica uma faixa de Möbius.

Observamos que as idéias usadas na demonstração do corolário acima (e do teorema abaixo) podem ser usadas para mostrar que um fibrado vetorial ξ sobre uma variedade com bordo M contrátil é trivial (esse fato já foi usado na seção anterior para M = [a, b], mas aí a demonstração é bem mais simples). De fato, se M é contrátil então existe uma homotopia contínua H: [0, 1]×M → M com H(0, m) = m, H(1, m) = p, para todo m ∈ M para um certo p ∈ M fixado. Seja λ: ℝ → [0, 1] uma função crescente e contínua tal que λ(t) = 0 para t num certo intervalo (−∞, ϵ) e λ(t) = 1 para t em (1 − ϵ, +∞). Trocando H(t, m) por H(λ(t), m) podemos supor que H: ℝ × M → M é contínua e satisfaz para cada m ∈ M, H(t, m) = m para t < ϵ e H(t, m) = p para t > 1 − ϵ.

Como H é de classe C^{∞} numa vizinhança aberta do fechado (−∞, 0]×M ∪[1, +∞)×M em ℝ×M é possível modificar H em (0, 1)×M de modo a torná-la de classe C^{∞} em ℝ×M (esse é um teorema de aproximação bem conhecido. Vide [Hr]. Também é fácil adaptar a demonstração do nosso teorema 15). Se ξ é um fibrado vetorial sobre M então escolhemos uma conexão em ξ. Daí o lema 14 nos dá uma função T: ξ → ξ de classe C^{∞} tal que para cada v ∈ ξ_{m}, m ∈ M, T (v) é o vetor em ξ_{p} obtido fazendo o transporte paralelo de v ao longo de t ∈ [0, 1] ↦ H(t, m). Daí T toma valores em ξ_{p} e (π, T): ξ → M × ξ_{p} é um isomorfismo de fibrados vetoriais, onde π é a projeção de ξ.

O resultado mostrado acima não será usado em parte alguma do nosso texto. Ele apenas explora mais as conseqüências do lema 14 (e facilita o entendimento das demonstrações do seu corolário e do teorema 22).

Teorema 22. Seja Ẽ | M um fibrado misto sobre M. Se σ ⊂ E é um VBN em E então existe um VBN linearmente adaptado ξ ⊂ Ẽ | M em Ẽ | M tal que π̂(ξ) = σ.

Demonstração. Aplicamos o lema 14. Considere a variedade com bordo E. Temos um fibrado vetorial Ẽ | E sobre E, no qual escolhemos uma conexão qualquer. Temos um aberto σ ⊂ E.

Defina H: ℝ×σ → σ ⊂ E fazendo H(t, x) = tx, onde a multiplicação tx é feita na fibra de σ (que tem uma estrutura de espaço vetorial). Considere o intervalo fechado [0, 1] ⊂ ℝ. Temos que [0, 1] × σ está contido no domínio de H e que H(1, x) = x, para todo x ∈ σ (vamos fazer o transporte paralelo de 1 para 0, o oposto do feito no lema).

Escreva ξ = π̂^{−1}(σ). Então ξ ⊂ Ẽ é um aberto. O lema 14 nos dá uma função T: ξ → Ẽ de classe C^{∞} tal que se v ∈ ξ, π̂(v) = x ∈ σ ⊂ E, π(x) = m, então T (v) é o vetor na fibra de Ẽ | E sobre 0x = 0_{m} obtido fazendo transporte paralelo de v ao longo da curva t ∈ [0, 1] ↦ tx em E. Como 0_{m} ∈ σ temos que π̂^{−1}(0_{m}) ⊂ ξ e daí T toma valores em ξ, mais precisamente nas fibras de Ẽ | E sobre os vetores zero de σ.

Seja s a seção nula de σ e escreva η = s^{∗}(Ẽ | E). Então η é um fibrado vetorial sobre M e T: ξ ⊂ Ẽ | M → η é um morfismo de fibrados gerais. Defina S: ξ → η ⊕ σ fazendo S = (T, π̂_{|ξ}). Então S é um morfismo de fibrados gerais definido no aberto ξ ⊂ Ẽ | M a valores em η ⊕ σ.

Para cada m ∈ M temos que ξ_{m} é um fibrado vetorial sobre σ_{m} (a restrição de Ẽ_{m} a σ_{m}). Temos que a restrição de S a ξ_{m} é um morfismo de fibrados vetoriais de ξ_{m} sobre η_{m} ⊕ σ_{m} (vendo η_{m} ⊕ σ_{m} como fibrado vetorial trivial sobre σ_{m}). Mas na realidade essa restrição de S é um isomorfismo de fibrados vetoriais, pois transporte paralelo é um isomorfismo linear entre as fibras de um fibrado vetorial (cujo inverso é o transporte paralelo no sentido oposto).

Daí S é um difeomorfismo fibra por fibra (pois em cada fibra S é um isomorfismo de fibrados vetoriais), donde S é um difeomorfismo de ξ sobre η ⊕ σ. Declarando S um isomorfismo de fibrados vetoriais obtemos a estrutura de VBN desejada em ξ.

Note que o fibrado vetorial η construído na demonstração do teorema anterior é exatamente o subfibrado canônico de ξ.

Como já observamos antes, dado uma VBN adaptado ξ em Ẽ | M então sempre podemos modificar a estrutura de fibrado vetorial de ξ de modo a torná-lo linearmente adaptado (mas de qualquer forma o teorema 22 já fornece os VBN’s linearmente adaptados).

Note também que na demonstração do teorema 22 não usamos a conexão em Ẽ | E com toda sua força, já que fizemos transporte paralelo apenas ao longo de curvas contidas em fibras de σ. Bastaria na realidade uma “família lisa de conexões em cada fibrado vetorial ξ_{m}, indexada por um parâmetro m ∈ M”. Quando Ẽ = Ver E essa família é canônica, já que cada σ_{m} é um espaço vetorial, ξ_{m} é o fibrado tangente de σ_{m} e o fibrado tangente de um espaço vetorial tem uma conexão canônica. Por isso é tão fácil construir o VBN adaptado no caso Ẽ = Ver E.

Segue, por exemplo, do teorema 22 que 𝔐_{2}(Ẽ | M) está contido em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) (sendo a inclusão uma imersão hiper-fraca de classe C^{∞}). Também se 𝔐 ≤ C^{0} então (𝔐, 𝔐)(Ẽ | M) = 𝔐(Ẽ | M). Simplesmente tome VBN’s adaptados e use as definições (observe que o teorema 22 só se torna interessante pelo fato de existirem VBN’s em E contendo a imagem de quaisquer seções contínuas de E).

Se 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} ≤ C^{0} então o espaço misto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) está contido em 𝔐_{1}(Ẽ | M) e a inclusão é uma imersão hiper-fraca de classe C^{∞}. Em particular, para 𝔐_{1} ≤ C^{0} a topologia de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) é mais fina que a topologia compacto-aberta.

Se Ẽ | M é o fibrado misto nulo de E então (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) é simplesmente 𝔐_{2}(E) (não precisamos do teorema 22 para ver isso).

Temos agora uma topologia em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) proveniente do atlas definido. É fácil ver que se U ⊂ Ẽ é uma faixa aberta então (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M; U) é aberto em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M). Basta ver que, para qualquer carta associada a um VBN adaptado, a imagem desse conjunto é um aberto no contra-domínio da carta (recorde que o conjunto das seções em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) cuja imagem está contida numa η-faixa aberta fixada é aberto).

Observamos que segue diretamente do teorema 13 que se T̂: U ⊂ Ẽ → F̃ é um morfismo adaptado de classe C^{k+j} definido numa faixa aberta U em Ẽ então (T̂∘) definido em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M; U) toma valores em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(F̃ | M) e é de classe C^{j}, onde k é a classe de 𝔐_{2} (use sugestão dada na observação 2. Use também o morfismo associado T para mostrar que (T̂∘) leva seções com projeção contínua em E em seções com projeção contínua em F).

Por exemplo, π̂ é um morfismo (linearmente) adaptado de Ẽ | M no fibrado misto nulo de E. Daí (π̂∘) é uma função C^{∞} de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) em 𝔐_{2}(E).

Não estudaremos o fibrado tangente de um espaço misto já que isso não será necessário e exigiria construções excessivamente complicadas.

Como já dissemos outras vezes, um espaço de seções de um fibrado misto é não somente uma variedade de Banach mas também um fibrado vetorial de Banach. Esse é o conteúdo do teorema seguinte.

Teorema 23. Seja Ẽ | M um fibrado misto sobre M. Então (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) é um fibrado vetorial de Banach de classe C^{∞} sobre 𝔐_{2}(E) com projeção (π̂∘).

Demonstração. Seja ξ um VBN linearmente adaptado em Ẽ | M. Construiremos então uma trivialização de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) associada a ξ. Seja η o subfibrado canônico de ξ. Como ξ é linearmente adaptado, temos que σ = π̂(ξ) é um subfibrado vetorial de ξ, o qual é um complementar de η. Também σ é um VBN em E.

Temos uma carta definida no aberto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M; ξ) em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) cuja imagem é o espaço de Banach (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ). Como ξ = η ⊕ σ temos que esse espaço de Banach é canonicamente isomorfo à soma direta 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{2}(σ).

Por outro lado, σ é um VBN em E. Temos que 𝔐_{2}(E; σ) é um aberto em 𝔐_{2}(E) cuja imagem inversa por (π̂∘) é precisamente (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M; ξ). Temos uma carta em 𝔐_{2}(E; σ) cuja imagem é o espaço de Banach 𝔐_{2}(σ). Isso tudo mostra que temos uma trivialização local de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) sobre o aberto 𝔐_{2}(E; σ) na base (note que de fato a primeira coordenada dessa trivialização é a restrição de (π̂∘)).

Resta olhar as funções de transição entre duas trivializações. Note que as trivializações definidas acima são difeomorfismos definidos em abertos do espaço total, donde as funções de transição são C^{∞}. Em dimensão finita a demonstração estaria completa, mas em fibrados vetoriais de Banach temos mais um detalhe a verificar (vide seção 0.2).

Sejam ξ, ξ′ dois VBN’s linearmente adaptados em Ẽ | M. Sejam η, η′ seus subfibrados canônicos e sejam σ, σ′ suas projeções em E via π̂. Seja T: ξ ∩ ξ′ ⊂ ξ → ξ′ o morfismo de transição (i.e., a inclusão de ξ ∩ ξ′ em ξ′).

Temos que ξ = η ⊕ σ, sendo que o aberto ξ ∩ ξ′ em ξ é a η-faixa aberta η × (σ ∩ σ′) em ξ. O morfismo de transição T é adaptado a η e de classe C^{∞}, mas como os VBN’s ξ, ξ′ são linearmente adaptados, vemos que T é linear nas fibras (não apenas afim). Temos que existe um morfismo geral A de classe C^{∞} definido no aberto σ ∩ σ′ em σ a valores em L(η; η′) tal que T é dado por T (v_{1}, v_{2}) = (A(v_{2})v_{1}, v_{2}), onde v_{2} ∈ σ ∩ σ′ ⊂ σ, v_{1} ∈ η e (v_{1}, v_{2}) = v_{1} + v_{2} ∈ ξ.

Daí a função de transição entre as trivializações é uma função definida no aberto 𝔐_{2}(σ) ∩ 𝔐_{2}(σ′) = 𝔐_{2}(σ; σ ∩ σ′) em 𝔐_{2}(σ) a valores em L(𝔐_{1}(η); 𝔐_{1}(η′)) dada por s ↦ ((A ∘ s)∘). O corolário do teorema 13 diz exatamente que essa função é C^{∞}.

Observe que dada s ∈ 𝔐_{2}(E) então a fibra de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) sobre s é um conjunto de seções de Ẽ | M que se projetam via π̂ sobre s. Isto são seções do fibrado vetorial Ẽ | E ao longo de s. Temos então operações naturais de soma e multiplicação por escalar nessa fibra (somando seções do fibrado vetorial ao longo de s ponto a ponto). Essas operações coincidem com a estrutura de espaço vetorial introduzida no teorema anterior via trivializações (basta checar que as trivializações utilizadas preservam essas operações naturais. Entra fortemente aí o fato dos VBN’s usados serem linearmente adaptados).

Por exemplo, seja E um fibrado geral sobre M e seja ξ_{0} um espaço vetorial (de dimensão finita, sobre ℝ). Então Ẽ = E × ξ_{0} é um fibrado misto sobre M com fibrado das bases E. Temos, pelo teorema 23, que (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) é um fibrado vetorial de Banach sobre 𝔐_{2}(E). Esse fibrado é trivial. De fato, (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) é canonicamente isomorfo (como fibrado vetorial de Banach) ao produto 𝔐_{2}(E) × 𝔐_{1}(M × ξ_{0}) (em primeiro lugar, observe que temos uma bijeção óbvia entre as seções de Ẽ | M e os pares formados por uma seção de E e uma função de M em ξ_{0}. Em segundo lugar, se σ é um VBN em E então σ × ξ_{0} é um VBN linearmente adaptado em Ẽ | M. Use então a trivialização de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) construída no teorema 23 e verifique que temos mesmo um isomorfismo de fibrados vetoriais de Banach).

Já vimos que se T̂: U ⊂ Ẽ → F̃ é um morfismo adaptado definido numa faixa aberta U ⊂ Ẽ então se T̂ é de classe C^{k+j} e se k é a classe de 𝔐_{2} temos que (T̂∘) definido em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M; U) toma valores em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(F̃ | M) e é de classe C^{j}. Em que situações (T̂∘) é um morfismo de fibrados vetoriais de Banach?

Temos o seguinte. Sejam Ẽ^{1} | M, Ẽ^{2} | M fibrados mistos sobre M, ambos com o mesmo fibrado de bases E. Seja T̂: Ẽ^{1} → Ẽ^{2} um morfismo linearmente adaptado de classe C^{k+j} cujo morfismo associado T: E → E é a identidade. Então se k é a classe de 𝔐_{2} temos que (T̂∘) é um morfismo de fibrados vetoriais de Banach de classe C^{j} de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ^{1} | M) em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ^{2} | M).

Na realidade, basta que o domínio de T̂ seja uma faixa aberta π̂^{−1}(U) em Ẽ^{1} (onde U ⊂ E é um aberto). Daí supomos que o morfismo associado T seja a inclusão de U em E. Temos então que (T̂∘) é um morfismo de fibrados vetoriais de Banach de classe C^{j}, a única diferença é que o domínio de (T̂∘) passa a ser o fibrado vetorial de Banach (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ^{1} | M) restrito à variedade de Banach 𝔐_{2}(E; U) ⊂ 𝔐_{2}(E), e o seu contradomínio passa a ser o fibrado vetorial de Banach (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ^{2} | M) restrito à variedade de Banach 𝔐_{2}(E; U) ⊂ 𝔐_{2}(E).

A demonstração dos dois fatos acima é muito parecida com a demonstração feita no teorema 23 de que as funções de transição das trivializações são de classe C^{∞} e portanto será deixada a cargo do leitor. Basta tomar VBN’s linearmente adaptados e aplicar o corolário do teorema 13.

Sejam Ẽ^{1} | M, Ẽ^{2} | M fibrados mistos sobre M, ambos com o mesmo fibrado de bases E. Temos que Ẽ^{1} | E e Ẽ^{2} | E são fibrados vetoriais com a mesma base, donde podemos considerar a soma de Whitney (Ẽ^{1} | E) ⊕ (Ẽ^{2} | E). Denotamos essa soma de Whitney apenas por Ẽ^{1} ⊕ Ẽ^{2}, por simplicidade. Temos que Ẽ^{1} ⊕ Ẽ^{2} é um fibrado vetorial sobre E, e E é um fibrado geral sobre M. Pelo corolário do lema 14 temos que Ẽ^{1} ⊕ Ẽ^{2} é um fibrado misto sobre M (temos que se Ẽ_{0}^{1} é a fibra típica de Ẽ^{1} e se Ẽ_{0}^{2} é a fibra típica de Ẽ^{2} então Ẽ_{0}^{1} ⊕Ẽ_{0}^{2} é uma fibra típica para Ẽ^{1} ⊕Ẽ^{2}). Observe que é bastante difícil verificar que Ẽ^{1} ⊕ Ẽ^{2} é um fibrado misto sobre M diretamente (sem o corolário do teorema 14)!

Dizemos que o fibrado misto (Ẽ^{1} ⊕ Ẽ^{2}) | M definido no parágrafo acima é uma soma de Whitney de fibrados mistos. Seja σ um VBN em E. Pelo teorema 22 temos VBN’s linearmente adaptados ξ, ξ′ em Ẽ^{1} | M e em Ẽ^{2} | M respectivamente, que se projetam sobre σ. Sejam η, η′ os subfibrados canônicos de ξ e ξ′ respectivamente. Temos ξ = η ⊕ σ, ξ′ = η′ ⊕ σ. É fácil ver que a parte de (Ẽ^{1} ⊕ Ẽ^{2}) | E que se projeta sobre σ é um VBN linearmente adaptado em (Ẽ^{1} ⊕ Ẽ^{2}) | M isomorfo como fibrado vetorial a (η ⊕ η′) ⊕ σ.

Na demonstração do teorema 23 construímos trivializações de um espaço misto a partir de VBN’s linearmente adaptados. Usando então os VBN’s linearmente adaptados ξ, ξ′ e (η ⊕ η′) ⊕ σ e as trivializações associadas a eles vemos facilmente que o fibrado vetorial de Banach (𝔐_{1}, 𝔐_{2})((Ẽ^{1}⊕Ẽ^{2}) | M) é canonicamente isomorfo à soma de Whitney (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ^{1} | M) ⊕ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ^{2} | M) de fibrados vetoriais de Banach. Se π_{1}, π_{2} são as projeções de Ẽ^{1} ⊕ Ẽ^{2} em Ẽ^{1} e em Ẽ^{2} respectivamente então esse isomorfismo C^{∞} de fibrados vetoriais de Banach é ((π_{1}∘), (π_{2}∘)).

Observamos que o teorema 14 tem uma generalização imediata para fibrados mistos. Sejam Ẽ | M e F̃ | M fibrados mistos sobre M. Dizemos que uma função T̂: U ⊂ Ẽ → F̃ definida numa faixa aberta U ⊂ Ẽ é um morfismo polinomial de classe C^{k} se T̂ é de classe C^{k} e se existe g ∈ ℕ tal que para todo e ∈ π̂(U) existe f ∈ F com π(e) = π(f) e tal que T̂ leva π̂^{−1}(e) em π̂^{−1}(f) sendo que a restrição de T̂ a uma função de π̂^{−1}(e) em π̂^{−1}(f) é um polinômio de grau menor ou igual a g.

Assim como para morfismos adaptados temos que um morfismo polinomial T de classe C^{k} é sempre um morfismo geral de classe C^{k} de Ẽ | M em F̃ | M. Temos também um morfismo associado T: π̂(U) ⊂ E → F definido por π̂ ∘ T̂(v) = T ∘ π̂(v), para todo v ∈ π̂^{−1}(U). Temos que T também é de classe C^{k}.

Se T̂ é um morfismo polinomial então definimos o grau de T̂ como sendo o máximo dos graus das restrições de T̂ a polinômios de π̂^{−1}(e) em π̂^{−1}(f), com f = T (e), e ∈ π̂(U) onde T é o morfismo associado (note que o grau é sempre finito). Observe que um morfismo polinomial de grau menor ou igual a 1 é simplesmente um morfismo adaptado.

Decorre então diretamente do teorema 14 que se T̂: U ⊂ Ẽ → F̃ é um morfismo polinomial de classe C^{k+j} e de grau menor ou igual g > 0 definido numa faixa aberta U ⊂ Ẽ então (T̂∘) definido em (L^{gp}, 𝔐)(Ẽ | M; U) toma valores em (L^{p}, 𝔐)(F̃ | M) e é de classe C^{j}, onde k é a classe de 𝔐 (use sugestão dada na observação 2. Use também o morfismo associado T para mostrar que (T̂∘) leva seções com projeção contínua em E em seções com projeção contínua em F).

Como já observamos, se N é uma variedade sem bordo e se ξ é um fibrado vetorial sobre N então M × ξ é um fibrado misto sobre M cujo fibrado das bases é M × N. Seja P uma outra variedade sem bordo e seja η um fibrado vetorial sobre P. Denotamos por π̂ a projeção de M × ξ em M × N e também a projeção de M × η em M × P. Assim um morfismo adaptado de M × ξ em M × η é uma função T̂: π̂^{−1}(U) ⊂ M × ξ → M × η, onde U ⊂ M × N é aberto e T̂ é dada por T̂(m, v) = (m, T̂_{2}(m, v)), onde para cada m ∈ M fixado temos que T̂_{2}(m, ·) é uma função definida (num aberto) em ξ a valores em η que preserva as fibras e é afim nas fibras. Temos que T̂ é linearmente adaptado precisamente quando também T̂_{2}(m, ·) é linear nas fibras.

Vejamos um caso particular interessante. Se S: ξ → η é um morfismo de fibrados vetoriais (e N = P) então T̂(m, v) = (m, S(v)) é um morfismo linearmente adaptado de M × ξ em M × η, cujo morfismo associado T de M × N em si mesmo é a identidade. Em particular se S é de classe C^{k+j} então (T̂∘) é um morfismo C^{j} de fibrados vetoriais de Banach.

Muitos dos resultados obtidos nesta seção para espaços de seções 𝔐(E) podem ser generalizados para espaços de seções (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M). Já fizemos a generalização da observação 2 (e uma generalização da observação 8). Nos interessamos especialmente em generalizar as observações 3, 5 e 6. Para outras generalizações observamos que todas as técnicas relevantes estão presentes no texto e não é necessária essencialmente nenhuma idéia nova para fazer tais generalizações.

As demonstrações das afirmações abaixo são muito diretas e são deixadas a cargo do leitor.

Se Ẽ | M, F̃ | M são fibrados mistos sobre M e se T̂: U ⊂ Ẽ → F̃ é um morfismo adaptado de classe C^{k+j} definido numa faixa aberta U ⊂ Ẽ e se T̂ é também um difeomorfismo sobre um aberto V ⊂ F̃ então V também é uma faixa aberta em F̃, T̂^{−1}: V → Ẽ também é um morfismo adaptado de classe C^{k+j} e (T̂∘) é um difeomorfismo de classe C^{j} de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M; U) sobre (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(F̃ | M; V) cujo inverso é (T̂^{−1}∘).

Se Ẽ | M é um fibrado misto sobre M e se f: N → M é uma função C^{∞}, onde N é outra variedade com bordo compacta então f^{∗}(Ẽ | M) é um fibrado misto sobre N, cujo fibrado das bases é f^{∗}E. Temos um operador f^{∗} de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(f^{∗}(Ẽ | M)) que é (bem definido e) C^{∞} nas seguintes condições: se nem 𝔐_{1} nem 𝔐_{2} é do tipo H_{p}^{k} então não é necessária nenhuma hipótese adicional. Se algum deles for H_{p}^{k}, k ≥ 1 então são necessárias as hipóteses que aparecem no enunciado do teorema 10. Se nenhum deles é do tipo H_{p}^{k}, k ≥ 1 mas 𝔐_{1} é L^{p} então são necessárias as hipóteses que aparecem no teorema 3 (sugestão: se ξ ⊂ Ẽ | M é um VBN (linearmente) adaptado então f^{∗}ξ é um VBN (linearmente) adaptado em f^{∗}(Ẽ | M)).

Em qualquer caso, temos como corolário que o operador restrição entre espaços mistos é C^{∞} e que se f é um difeomorfismo de N em M então f^{∗} é um difeomorfismo C^{∞} entre os espaços mistos, cujo inverso (mediante certas identificações) é (f^{−1})^{∗}. Se Ẽ | M é um fibrado misto sobre M e se D ⊂ M é um domínio com bordo então denotamos a restrição de Ẽ | M a D por Ẽ | D (a qual é um fibrado misto sobre D com fibrado das bases E_{|D}).

Sejam D_{1}, …, D_{r} domínios com bordo compactos que cobrem M. Então para C^{0} = 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} temos que o operador P definido em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) a valores em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | D_{1}) × ⋯ × (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | D_{r}) dado por P(s) = (s_{|D_{1}}, …, s_{|D_{r}}) é um mergulho fraco de classe C^{∞}. Se também os interiores dos domínios D_{i} cobrem M então para quaisquer 𝔐_{1}, 𝔐_{2} (com 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} e 𝔐_{2} ≤ C^{0}) temos que P é um mergulho forte. Em qualquer caso a imagem de P é o conjunto das r-uplas de seções (s_{1}, …, s_{r}) tais que s_{i} coincide com s_{j} em D_{i} ∩ D_{j}, para i, j = 1, …, r. Se M = [a, b] e se P : a = t_{0} < … < t_{r} = b é uma partição de [a, b] então podemos considerar os domínios com bordo D_{i} = [t_{i}, t_{i+1}]; i = 0, …, r − 1 e daí para quaisquer 𝔐_{1}, 𝔐_{2} (com 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} e 𝔐_{2} ≤ C^{0}) o operador P é um mergulho forte (mas a caracterização de sua imagem é diferente. Vide observações que seguem o teorema 11). Vide observação 6.

Vamos dar uma olhada na topologia dos espaços (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M). Como eles são fibrados vetoriais de Banach, vamos recordar alguns fatos simples sobre a topologia dos fibrados.

Seja Y um fibrado topológico sobre X com projeção π (isso significa que X, Y são espaços topológicos, π: Y → X é contínua e temos trivializações locais (U, α, Y_{0}) que são homeomorfismos α: π^{−1}(U) → U × Y_{0} cuja primeira coordenada é a restrição de π, de modo que os conjuntos U que aparecem nas trivializações locais cobrem X). Assim, como no caso de fibrados vetoriais de Banach, não temos uma fibra típica comum a todas as trivializações).

Se X e as fibras de Y são Hausdorff então Y é Hausdorff. Se X e as fibras de Y são regulares então Y é regular. Se as fibras de Y são conexas por caminhos então Y é conexo por caminhos se e somente se X é conexo por caminhos. Se X e as fibras de Y tem base enumerável então Y tem base enumerável. Se D′ ⊂ Y é tal que π(D′) ⊂ X contém um subconjunto D denso em X tal que para todo x ∈ D o conjunto D′ ∩ π^{−1}(x) é denso na fibra π^{−1}(x) então D′ é denso em Y.

Segue daí que qualquer espaço misto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) é Hausdorff e regular. Se nenhum dos tipos 𝔐_{1}, 𝔐_{2} é H_{∞}^{k} então (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) tem base enumerável e além do mais C^{∞}(Ẽ | M) é denso. Temos que (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) é conexo se e somente se 𝔐_{2}(E) é conexo e em qualquer caso as componentes conexas de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) são as imagens inversas por (π̂∘) das componentes conexas de 𝔐_{2}(E).

Quanto à questão da densidade de D′ = C^{∞}(Ẽ | M) comentamos o seguinte. Temos que (π̂∘)(D′) = D = C^{∞}(E). Fixada s ∈ C^{∞}(E) é fácil ver que o conjunto dos campos v: M → Ẽ de classe C^{∞} com π̂ ∘v = s é denso na fibra (π̂∘)^{−1}(s) (tome um VBN adaptado ξ com subfibrado canônico η e note que C^{∞}(η) é denso em 𝔐_{1}(η)). Se s ∈ 𝔐_{2}(E) não está em C^{∞}(E) então a interseção de D′ com a fibra (π̂∘)^{−1}(s) é vazia. Assim D′ é denso nas fibras sobre D que por sua vez é denso na base. Segue que D′ é denso no espaço total.

Precisaremos nas seções seguintes demonstrar a diferenciabilidade de alguns operadores que ainda não foram considerados. Abaixo mostramos um critério muito útil para diferenciabilidade, o qual chamamos método do “esquartejamento da base”. Ele já foi usado algumas vezes neste texto, por exemplo na demonstração do lema 7. A sua demonstração é uma aplicação direta (das conseqüências) do teorema 11.

O método funciona da seguinte forma: temos um operador φ definido num certo espaço de seções e tomando valores num outro espaço de seções. Suponha que φ comuta com restrições da base. Para mostrar então que φ é de classe C^{k} basta fazê-lo em regiões “pequenas” do fibrado. O enunciado formal é um pouco complicado pois, por exemplo, se D é um domínio com bordo compacto em M então um operador definido em 𝔐(E) não pode ser aplicado em elementos de 𝔐(E_{|D}), donde precisamos falar numa família de operadores, um para cada domínio com bordo compacto em M.

Dizemos que um conjunto 𝔇 de domínios com bordo em M é uma base de domínios com bordo em M quando para todo m ∈ M e para todo aberto U ⊂ M contendo m existe um domínio com bordo D ∈ 𝔇 contendo m no seu interior tal que D ⊂ U (𝔇 é essencialmente uma base de abertos de M, a diferença é que os elementos de 𝔇 não são abertos). Diremos que 𝔇 é uma base de domínios com bordo compactos em M quando além do mais os elementos D ∈ 𝔇 forem domínios com bordo compactos.

Seja U um conjunto de abertos em E. Denotaremos por 𝔐(E; U) o conjunto das seções s ∈ 𝔐(E) tais que s(M) ⊂ U para algum U ∈ U. É claro que 𝔐(E; U) é aberto em 𝔐(E) pois é igual à união de abertos ⋃_{U∈U} 𝔐(E; U). Se D ⊂ M é um domínio com bordo compacto então denotaremos por 𝔐(E_{|D}; U) o conjunto das seções s ∈ 𝔐(E_{|D}) tais que s(D) ⊂ U para algum U ∈ U (note que temos um pequeno abuso de notação aqui, já que deveríamos escrever 𝔐(E_{|D}; U′), onde U′ = { U ∩ E_{|D} : U ∈ U }). Também se U ⊂ E é aberto escreveremos 𝔐(E_{|D}; U) ao invés de 𝔐(E_{|D}; U ∩ E_{|D}).

Os comentários acima podem ser feitos de modo análogo substituindo E por um fibrado misto Ẽ | M, U por uma faixa aberta em Ẽ | M e U por um conjunto de faixas abertas em Ẽ | M.

O teorema abaixo é enunciado somente para fibrados mistos pois eles incluem o caso de fibrados gerais (não mistos). De fato, todo fibrado geral E admite um fibrado misto nulo Ẽ | M e daí uma faixa aberta em Ẽ | M é o mesmo que um aberto em E, (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) coincide com 𝔐_{2}(E), etc.

Teorema 24. (do esquartejamento da base) Sejam Ẽ | M, F̃ | M fibrados mistos sobre M. Seja U uma cobertura de Ẽ por faixas abertas e seja 𝔇 uma base de domínios com bordo compactos em M. Considere uma função φ definida num aberto V ⊂ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) tomando valores no espaço vetorial de todas as seções de F̃ | M. Seja (φ_{D})_{D∈𝔇} uma família de funções definidas em abertos V_{D} ⊂ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | D) tomando valores no espaço vetorial de todas as seções de F̃ | D. Suponha que para toda seção s ∈ V e para todo D ∈ 𝔇 tenhamos s_{|D} ∈ V_{D} e φ_{D}(s_{|D}) = φ(s)_{|D}. Suponha também que cada φ_{D} toma valores em (𝔐_{3}, 𝔐_{4})(F̃ | D) e é de classe C^{k} quando restrita ao aberto V_{D} ∩ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | D; U). Então φ toma valores em (𝔐_{3}, 𝔐_{4})(F̃ | M) e é de classe C^{k}.

Demonstração. Seja s ∈ V. Basta mostrar que φ toma valores em (𝔐_{3}, 𝔐_{4})(F̃ | M) e é de classe C^{k} numa vizinhança aberta de s. Os conjuntos s^{−1}(U) com U ∈ U formam uma cobertura aberta de M (s em geral não é contínua mas s^{−1}(U) coincide com (π̂∘s)^{−1}(π̂(U)). Daí segue que s^{−1}(U) é aberto). Cada ponto m ∈ M pertence a s^{−1}(U) para algum U ∈ U. Como 𝔇 é uma base de domínios com bordo segue que existe um domínio com bordo compacto D_{m} ∈ 𝔇 contendo m no seu interior e contido em s^{−1}(U). Os interiores dos D_{m} formam uma cobertura aberta de M da qual extraímos uma subcobertura finita.

Temos então domínios com bordo compactos D_{1}, …, D_{r} em M cujos interiores cobrem M, tais que cada D_{i} pertence a 𝔇 e tal que cada D_{i} está contido em s^{−1}(U) para algum U ∈ U. Pelos comentários acima generalizando a observação 6 para espaços mistos temos então mergulhos fortes P, P′ de classe C^{∞} dados por:

P: (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) → ∏_{i=1}^{r}(𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | D_{i}),

s ↦ (s_{|D_{1}}, …, s_{|D_{r}}),

e

P′: (𝔐_{3}, 𝔐_{4})(F̃ | M) → ∏_{i=1}^{r}(𝔐_{3}, 𝔐_{4})(F̃ | D_{i}),

s ↦ (s_{|D_{1}}, …, s_{|D_{r}}).

Considere a função ψ de classe C^{k} definida por:

ψ: ∏_{i=1}^{r} V_{D_{i}} ∩ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | D_{i}; U) ⊂ ∏_{i=1}^{r}(𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | D_{i}) → ∏_{i=1}^{r}(𝔐_{3}, 𝔐_{4})(F̃ | D_{i}),

(s_{1}, …, s_{r}) ↦ (φ_{D_{1}}(s_{1}), …, φ_{D_{r}}(s_{r})).

Como o domínio de ψ é aberto e como P é contínua existe uma vizinhança aberta de s na qual a composta ψ∘P está bem definida. Temos que ψ∘P(s′) = (φ(s′)_{|D_{1}}, …, φ(s′)_{|D_{r}}). Segue daí que ψ ∘ P(s′) pertence à imagem de P′, que φ(s′) está em (𝔐_{3}, 𝔐_{4})(F̃ | M) e que ψ ∘ P = P′ ∘ φ (numa vizinhança aberta de s). Como P′ é um mergulho forte segue que φ é de classe C^{k}.

Observamos que é possível enfraquecer um pouco as hipóteses do enunciado do teorema 24 da seguinte forma. Se 𝔐_{3} < C^{0} então para todo D ∈ 𝔇 e todo s ∈ V supomos s_{|D} ∈ V_{D}, π̂ ∘ φ_{D}(s_{|D}) = π̂ ∘ φ(s)_{|D} e φ_{D}(s_{|D}) = φ(s)_{|D} quase sempre. Apenas recorde que para 𝔐_{3} < C^{0} os elementos de (𝔐_{3}, 𝔐_{4})(F̃ | M) são classes de equivalência de seções de F̃ | M.

Como exemplo aplicaremos o teorema acima para demonstrar novamente uma parte do lema 7 (sugerimos então que o leitor interessado neste exemplo recorde o contexto do lema 7). Na seção seguinte teremos mais um exemplo de aplicação do teorema.

Sejam η, σ, η′ fibrados vetoriais sobre M e escreva ξ = η ⊕ σ. Seja U ⊂ ξ uma η-faixa aberta e seja T: U → η′ um morfismo polinomial no par (η, η′) de classe C^{j} e de grau menor ou igual a g > 0. O objetivo do lema 7 é mostrar que (T ∘) definido em (L^{gp}, 𝔐)(η, ξ; U) toma valores em L^{p}(η′) e é de classe C^{j}. Mostraremos esse resultado supondo-o verdadeiro no caso que os fibrados η e η′ são triviais, como no lema 7. Identificaremos os elementos que aparecem no enunciado do teorema 24 neste caso particular.

Temos que Ẽ | M = ξ é um fibrado misto sobre M cujo fibrado das bases é E = σ (declare admissíveis as trivializações de ξ que trivializam η e σ simultaneamente). A projeção π̂ é a segunda projeção da soma de Whitney ξ = η ⊕ σ. Temos que F̃ | M = η′ é um fibrado misto sobre M cujo fibrado das bases é um fibrado sobre M cujas fibras tem um único ponto. A projeção π̂ é simplesmente a projeção de η′ em M (note bem, este não é o fibrado misto nulo de η′, aqui η′ corresponde à “parte vetorial” do fibrado misto e a “parte geral” é nula, isto é o contrário do que ocorre no fibrado misto nulo).

Defina 𝔐_{1} = L^{gp}, 𝔐_{2} = 𝔐, 𝔐_{3} = L^{p} e 𝔐_{4} = 𝔐 (ou qualquer coisa ≤ C^{0}). Daí (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) = (L^{gp}, 𝔐)(η, ξ) e (𝔐_{3}, 𝔐_{4})(F̃ | M) = L^{p}(η′) (note que ξ é um VBN linearmente adaptado em Ẽ | M cujo subfibrado canônico é η e η′ é um VBN linearmente adaptado em F̃ | M cujo subfibrado canônico é η′).

Temos que U ⊂ ξ é uma faixa aberta em Ẽ | M. O aberto V que aparece no teorema 24 é (L^{gp}, 𝔐)(η, ξ; U). O operador φ é (T ∘). Nesta aplicação o conjunto U não é importante e podemos tomar U = {Ẽ}. Defina 𝔇 como sendo o conjunto dos domínios compactos com bordo D ⊂ M sobre os quais os fibrados η e η′ são triviais (use o lema 1 para mostrar que 𝔇 é uma base de domínios com bordo). Para cada D ∈ 𝔇 definimos V_{D} = (L^{gp}, 𝔐)(Ẽ | D; U) e definimos o operador φ_{D} simplesmente como sendo (T ∘), onde restringimos T ao fibrado Ẽ | D.

O leitor pode agora verificar as hipóteses do teorema 24 e observar que concluímos que (T ∘) é de classe C^{j} desde que o resultado já tenha sido mostrado no caso que os fibrados η e η′ são triviais.

Finalizamos a seção resumindo em linguagem de categorias alguns dos resultados obtidos. Fixe uma variedade compacta com bordo M. Fixe números inteiros j, k com 0 ≤ j, k ≤ +∞. Seja F G a categoria cujos objetos são os abertos dos fibrados gerais sobre M e cujos morfismos entre os objetos U ⊂ E e V ⊂ F são os morfismos de fibrados gerais de classe C^{k+j} definidos em U a valores em V. Seja F M a categoria cujos objetos são as faixas abertas dos fibrados mistos sobre M e cujos morfismos entre os objetos U ⊂ Ẽ e V ⊂ F̃ são os morfismos adaptados de classe C^{k+j} definidos em U a valores em V.

Seja F M2 a categoria cujos objetos são os fibrados mistos sobre M e cujos morfismos são os morfismos linearmente adaptados de classe C^{k+j} cujo morfismo associado é a identidade (se dois fibrados mistos tem fibrado de bases diferente então o conjunto dos morfismos entre os dois é vazio).

Seja V B a categoria cujos objetos são as variedades de Banach e cujos morfismos são as funções de classe C^{j}. Seja F V B a categoria cujos objetos são os fibrados vetoriais de Banach e cujos morfismos são os morfismos de fibrados vetoriais de Banach de classe C^{j}.

Escolhido 𝔐 ≤ C^{0} de classe menor ou igual a k então temos um functor de F G em V B que leva o objeto U ⊂ E em 𝔐(E; U) e leva o morfismo T em (T ∘). Escolhidos 𝔐_{2}, 𝔐_{1}, com 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1}, 𝔐_{2} ≤ C^{0} e com a classe de 𝔐_{2} menor ou igual a k então temos um functor de F M em V B que leva o objeto U ⊂ Ẽ em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M; U) e leva o morfismo T em (T ∘). Temos também um functor de F M2 em F V B que leva o objeto Ẽ | M no objeto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(Ẽ | M) e leva o morfismo T no morfismo (T ∘).