1.0 Espaços de Banach de seções de um fibrado vetorial.

Definiremos nesta seção vários espaços vetoriais de seções de um fibrado vetorial sobre uma variedade compacta (possivelmente com bordo). Definiremos normas nestes espaços mediante as quais eles se tornarão espaços de Banach. Observamos que embora a definição de variedade de Banach da seção 0.2 não faça hipóteses topológicas sobre a variedade, nesta seção todas as variedades de dimensão finita serão Hausdorff com base enumerável.

Os espaços considerados serão os espaços de seções C^{k} (k ∈ ℕ) e os espaços de seções H_{p}^{k} (k ∈ ℕ, p ∈ [1, +∞]), onde C^{k} tem o significado usual e H_{p}^{k} significa essencialmente seções com k-ésima derivada em L^{p} (i.e., mensurável com p-ésima potência da norma Lebesgue integrável). Muitas das idéias desta seção e da próxima são baseadas em [Pa], mas fazemos mais detalhes nos aspectos que nos interessam e evitamos generalidade excessiva no que não será usado. Introduzimos o conceito de espaços mistos, para o qual o autor não conhece nenhuma referência.

Os espaços H_{p}^{k} são os chamados espaços de Sobolev. Para k ≥ 1 os espaços H_{p}^{k} serão considerados apenas quando a variedade base do fibrado é um intervalo fechado [a, b], já que a definição dos espaços de Sobolev neste caso é muito mais simples e é tudo que precisaremos na seção 2.0.

O espaço de seções C^{∞} de um fibrado vetorial não tem uma estrutura natural de espaço de Banach (a dificuldade ficará clara quando definirmos a norma no espaço C^{k}). O espaço de seções C^{∞} é de modo natural um espaço de Fréchet. Também, se a variedade base não é compacta os espaços de seções considerados aqui são de modo natural espaços de Fréchet. Ao contrário do cálculo em espaços de Banach que é bastante análogo ao cálculo no ℝ^{n}, o cálculo em espaços de Fréchet é bastante mais complicado. O leitor interessado pode consultar, por exemplo, [Ha].

Como precisaremos considerar espaços de seções C^{k} de um fibrado cuja base é uma variedade com bordo, precisamos explicar exatamente o que significa C^{k} nesse caso (o significado de C^{k} só é canônico se o domínio é uma variedade sem bordo). Mostraremos no lema abaixo que as definições mais naturais para classe C^{k} numa variedade com bordo coincidem desde que k < +∞. A demonstração apresentada aqui foi tirada de [Fr] e é aparentemente muito difícil encontrar um texto onde ela seja feita. Se k = +∞ ou se as variedades usadas tiverem canto (além de bordo) o autor não sabe se as diferentes definições de classe C^{k} coincidem.

No teorema abaixo, H^{n} significa o subconjunto de ℝ^{n} formado pelos pontos x tais que x_{n} ≥ 0.

Teorema 1. Seja U ⊂ H^{n} um aberto e seja f: U → ℝ^{m} uma função. Então dado k ∈ ℕ as seguintes condições são equivalentes:

(a) A função f admite uma extensão f̃ de classe C^{k} a um aberto Ũ ⊂ ℝ^{n} contendo U.

(b) Para cada x ∈ U existe uma função f̃ de classe C^{k} definida num aberto Ũ de ℝ^{n} contendo x que coincide com f em Ũ ∩ U.

(c) A função f é C^{k} no interior de U e suas derivadas parciais de ordem menor ou igual a k (ou equivalentemente, suas primeiras k diferenciais) se estendem continuamente a U.

(d) A função f admite derivadas parciais de ordem menor ou igual a k contínuas em todos os pontos de U, onde nos pontos da fronteira de U as derivadas em x_{n} são tomadas pela direita, x_{n} → 0^{+} (quanto às outras derivadas parciais não há problema na fronteira de U).

Demonstração. É óbvio que (a) implica todas as outras alternativas, e (d) implica (c). A equivalência entre (a) e (b) é um bem conhecido exemplo de aplicação de partições da unidade e pode ser encontrado em [Lm2] (as extensões locais de f em (b) podem ser coladas usando uma partição da unidade para se obter a extensão global em (a)). A equivalência entre (c) e (d) também é simples e decorre dos lemas de cálculo que recordaremos após esta demonstração.

A dificuldade é mostrar que (d) implica (b). Como precisamos apenas construir uma extensão local de f podemos reduzir o domínio U, por exemplo, para uma meia-bola (a interseção com U de uma bola aberta em ℝ^{n} com centro na fronteira de U). O domínio da extensão f̃ será a bola aberta cuja interseção com U deu origem à meia-bola. A fórmula explícita para f̃(x) quando x_{n} < 0 é:

∑_{j=1}^{k+1} c_{j}f(x_{1}, …, x_{n−1}, −x_{n}/j),

onde c_{0}, …, c_{k} são as únicas soluções do sistema:

∑_{j=1}^{k+1} c_{j}(−1/j)^{i} = 1 (0 ≤ i ≤ k).

O leitor pode verificar facilmente que f̃ definida desse modo tem derivadas parciais contínuas até ordem k.

Recordamos dois lemas de cálculo no ℝ^{n} cujas demonstrações podem ser encontradas em [Lm] ou [Lm2]. O objetivo é mostrar que (c) implica (d).

Lema. (da singularidade removível) Se uma função f: [a, b) → ℝ é diferenciável em (a, b) e contínua em [a, b) e se f′(x) tem limite L quando x → a então f é diferenciável (à direita) em a com derivada L.

O lema acima pode ser usado para concluir que a função f que satisfaz (c) tem derivada à direita em x_{n} nos pontos da fronteira de U e que essa derivada em x_{n} é contínua em U.

Lema. (da derivação termo a termo) Se uma seqüência de funções (f_{n})_{n∈ℕ} diferenciáveis num aberto de ℝ^{n} converge num ponto de seu domínio e se a seqüência das diferenciais (df_{n})_{n∈ℕ} converge local-uniformemente a uma função h então (f_{n})_{n∈ℕ} converge localuniformemente a uma função diferenciável g e dg = h.

O lema acima pode ser generalizado facilmente a uma família (ao invés de seqüência) de funções (f_{λ})_{λ∈X} indexada num espaço topológico X. Daí ao invés de fazer f_{n} → f quando n → +∞ fazemos f_{λ} → f quando λ → λ_{0}, onde λ_{0} é um ponto fixado em X.

Dada então uma função f como no item (c) consideramos f como sendo uma família de funções das variáveis x_{1}, …, x_{n−1} indexada em x_{n} e aplicamos o lema (ou melhor, sua generalização) quando x_{n} → 0. Isso implica que f tem derivadas parciais contínuas em U nas variáveis x_{1}, …, x_{n−1}.

Para nós então uma variedade com bordo de dimensão n é um conjunto munido de uma família maximal de cartas a valores em abertos de H_{n} (ou de ℝ^{n}), cujas funções de transição são C^{∞} no sentido (a). Assim, todas as nossas variedades com bordo serão C^{∞}, apesar de considerarmos funções C^{k}, k < +∞ nessas variedades (obviamente, caso houvesse interesse, poderíamos considerar apenas variedades com bordo C^{k} quando falamos do espaço de seções C^{k}).

Funções C^{k} em variedades com bordo serão funções cujas representações locais em coordenadas são C^{k}. No caso k = +∞ é fácil ver que os itens (a) e (b) do teorema 1 assim como os itens (c) e (d) são equivalentes. Também é fácil ver que (a) (ou (b)) implica (c) (ou (d)). Como já foi dito, o autor não sabe se (d) implica (b) no caso k = +∞, mas em todo caso funções C^{∞} serão sempre consideradas no sentido (a), que é o mais forte. O termo difeomorfismo C^{k} para variedades com bordo significa apenas uma função C^{k} com inversa C^{k} (e não se exige coisas como existência de uma extensão global a um difeomorfismo C^{k} entre abertos, por exemplo).

A importância desta discussão detalhada sobre a definição de funções C^{k} em variedades com bordo é que embora o sentido (a) seja o mais usual em textos de cálculo em variedades, apenas o sentido (c) (ou (d)) serve para demonstrar que o espaço de funções C^{k} (com a norma que será definida posteriormente) é completo! Isso significa, por exemplo, que se quiséssemos considerar espaços de funções C^{∞} (como espaços de Fréchet) precisaríamos utilizar funções C^{∞} no sentido (c).

Nesta seção, M denota sempre uma variedade compacta com bordo (de classe C^{∞}) e ξ denota sempre um fibrado vetorial sobre M onde π é a projeção e ξ_{0} é a fibra típica (ξ_{0} tem dimensão finita). A fibra de ξ sobre m será denotada por ξ_{m}. Observamos que um fibrado vetorial (e, na seção, seguinte um fibrado geral) sobre uma variedade com bordo M é novamente uma variedade com bordo, já que as fibras são sem bordo (a definição de fibrados vetoriais cuja base tem bordo é totalmente análoga ao caso em que a base é sem bordo). O bordo do espaço total é ∂ξ = π^{−1}(∂M).

Note que se as fibras tivessem bordo então o espaço total seria uma variedade com canto (já que o produto de uma variedade com bordo por uma variedade sem bordo é novamente uma variedade com bordo, enquanto o produto de variedades com bordo é uma variedade com canto). Os fibrados tratados na seção seguinte terão sempre fibras sem bordo já que o conjunto das seções C^{k} de um fibrado cujas fibras tem bordo não é uma variedade de Banach (nem mesmo uma variedade de Banach com bordo ou com canto).

Dizemos que um subconjunto D ⊂ M é um domínio com bordo quando D for uma subvariedade com bordo de M de codimensão zero, i.e., D admite um atlas formado por cartas da forma (U ∩ D, φ) onde (U, φ) é uma carta de M. A menos de menção explícita em contrário o interior de D significa o interior do subconjunto D do espaço topológico M e não o conjunto dos pontos interiores da variedade com bordo D. Assim, por exemplo, se D = M o interior de D é M.

Observamos que se deve tomar cuidado com o teorema da função inversa em variedades com bordo. Por exemplo, se f: M → N é uma função C^{k} (k ≥ 1) bijetora cuja diferencial em cada ponto é um isomorfismo então pode ocorrer que f^{−1} não seja sequer contínua. Temos exemplos triviais, como f: [0, 2π) → S^{1}, f(t) = (cos t, sen t).

Temos os seguintes resultados. Se f: M → N é uma função C^{k} (k ≥ 1) entre variedades com bordo cuja diferencial em cada ponto é um isomorfismo então f é localmente injetora. Se f for também aberta como função a valores em f(M) concluímos que f(M) é um domínio com bordo em N (de classe C^{k}) e, caso f seja injetora globalmente, a função f^{−1} definida em f(M) é C^{k} (não estamos interessados em variedades C^{k} para k < +∞, mas obviamente se f é C^{k} só podemos concluir que f(M) é um domínio com bordo C^{k}. Porém, na prática, teremos em muitos casos f(M) = N ou f(M) aberto em N e logo f(M) será um domínio com bordo C^{∞}).

Por exemplo, se f: M → N for C^{k} (k ≥ 1) com diferencial em cada ponto um isomorfismo e se f: M → f(M) for um homeomorfismo então f(M) é um domínio com bordo (de classe C^{k}) e f: M → f(M) é um difeomorfismo C^{k}.

Um critério mais aplicável para concluir que f é aberta é o seguinte. Suponha que f: M → N é C^{k} (k ≥ 1) com diferencial em cada ponto um isomorfismo. Suponha também que f(∂M) ⊂ ∂N. Então f é aberta como função a valores em N (e em particular como função a valores em f(M)). Daí segue também que dado m ∈ M existem abertos U ⊂ M contendo m e V ⊂ N contendo f(m) de modo que f é um difeomorfismo C^{k} de U em V. A demonstração não é tão imediata e demonstramos um lema logo a seguir de modo a tornar mais simples os detalhes a serem completados pelo leitor. Um caso particular (que será usado nessa e na outra seção sem mais comentários) é o seguinte. Considere uma função C^{k} (k ≥ 1) f: E_{1} → E_{2} entre fibrados com base M. Suponha que f preserva as fibras e induz a identidade na base. Então f leva o bordo de E_{1} no bordo de E_{2}, já que em qualquer caso o bordo do espaço total é a união das fibras sobre o bordo de M.

No lema abaixo π_{n} denota a n-ésima projeção de ℝ^{n}, ∂H^{n} denota o núcleo de π_{n} e H_{+}^{n} denota o conjunto dos pontos onde π_{n} é positiva.

Lema. Sejam U, V ⊂ ℝ^{n} abertos. Seja f: U → V um difeomorfismo C^{1} tal que f(U ∩ H^{n}) ⊂ V ∩ H^{n} e f(U ∩ ∂H^{n}) ⊂ V ∩ ∂H^{n}. Então f_{|U∩H^{n}} é uma aplicação aberta com contra-domínio em V ∩ H^{n}.

Demonstração. Como qualquer restrição de f é um homeomorfismo sobre sua imagem, basta mostrar que f(U ∩ H^{n}) é aberto em V ∩ ∂H^{n}. Seja então m ∈ U ∩ H^{n}. Devemos mostrar que f(m) tem uma vizinhança em V ∩ H^{n} contida em f(U ∩ H^{n}). Como f(U ∩ H_{+}^{n}) ⊂ V ∩ H_{+}^{n}, basta considerar o caso m ∈ U ∩ ∂H^{n}.

Seja y ∈ U ∩ ∂H^{n}. É fácil ver que para v ∈ ℝ^{n}, π_{n}(v) ≥ 0 implica π_{n}(df_{y}(v)) ≥ 0. Como df_{y} se restringe a um isomorfismo de ∂H^{n} em si mesmo, vemos que π_{n}(v) > 0 implica π_{n}(df_{y}(v)) > 0 e π_{n}(v) < 0 implica π_{n}(df_{y}(v)) < 0.

Temos, para y ∈ U ∩ ∂H^{n} e v suficientemente pequeno (de modo que o segmento [y, y + v] esteja contido em U) que f(y + v) = f(y) + df_{y}(v) + r(y, v) onde ∥r(y, v)∥ ≤ ∥v∥ sup_{t∈[0,1]} ∥df(y + tv) − df(y)∥, aplicando a desigualdade do valor médio para a função f − df(y) no segmento [y, y + v]. Dado x ∈ U, x = (x_{1}, …, x_{n}) com x_{n} < 0 e |x_{n}| suficientemente pequeno tomamos y = (x_{1}, …, x_{n−1}, 0), v = (0, …, 0, x_{n}) e concluímos que f(x) = f(y) + df_{y}(v) + r(y, v), com a mesma majoração para ∥r(y, v)∥. Aplicando π_{n} dos dois lados obtemos π_{n}(f(x)) = π_{n} ∘ df_{y}(v) + π_{n}(r(y, v)), com |π_{n}(r(y, v))| ≤ ∥r(y, v)∥. Como π_{n} ∘ df_{y}(v) < 0 é fácil ver que para y ∈ K onde K é uma vizinhança compacta de m em U ∩ ∂H^{n} e x_{n} suficientemente pequeno temos π_{n}(f(x)) < 0.

Supondo por absurdo que f(m) não tenha uma vizinhança em V ∩ H^{n} contida em f(U ∩ H^{n}) obtemos uma seqüência (x_{k})_{k∈ℕ} em U com π_{n}(x_{k}) < 0, π_{n}(f(x_{k})) ≥ 0 para todo k ∈ ℕ e x_{k} → m. Mas para k suficientemente grande devemos ter π_{n}(f(x_{k})) < 0, contradição.

O lema a seguir é puramente técnico e seria trivial se admitíssemos variedades com canto.

Lema 1. Seja M uma variedade com bordo. Então todo ponto m ∈ M admite um sistema fundamental de vizinhanças formado por domínios com bordo compactos.

Demonstração. Se m não está no bordo então o resultado é trivial, basta tomar uma carta (U, φ) em torno de m e considerar as imagens inversas por φ das bolas fechadas de centro φ(m) contidas na imagem de φ.

A dificuldade quando m está no bordo surge do fato de uma meia-bola fechada não ser um domínio com bordo. Tomando uma carta em torno de m, vemos que tudo que precisamos fazer é construir uma vizinhança da origem em H_{n} que seja um domínio com bordo compacto (construindo uma tal vizinhança, um sistema fundamental de vizinhanças pode ser obtido por homotetia). O caso n = 1 é trivial e se construirmos o domínio com bordo no caso n = 2 simétrico em relação ao eixo y então o caso geral pode ser obtido por rotação em torno do eixo x_{n} (inclua o plano Oxy em ℝ^{n} colocando o eixo x sobre o eixo x_{1} e o eixo y sobre o eixo x_{n}). No caso n = 2 não é difícil explicitar o domínio com bordo simétrico em relação ao eixo y, basta (no semi-plano x < 0) tomar como bordo uma curva C^{∞} que tem coordenada y crescente, sendo constante no início e no fim do intervalo de definição (a coordenada x decresce e depois cresce).

Uma estrutura ortogonal de classe C^{k} num fibrado vetorial ξ é uma seção g de classe C^{k} de ξ^{∗} ⊗ ξ^{∗}, tal que g(m) é simétrica e definida positiva para todo m ∈ M, i.e., g é uma escolha C^{k} de produto interno nas fibras de ξ. A menos de menção explícita em contrário toda estrutura ortogonal será C^{∞}. Um fibrado vetorial com uma estrutura ortogonal é chamado um fibrado ortogonal.

Uma conexão em ξ é um operador ℝ-linear ∇ definido no espaço das seções C^{∞} de ξ a valores no espaço das seções C^{∞} de T M^{∗}⊗ξ, que satisfaz a condição ∇(fs) = df ⊗s+f∇s, para toda função escalar f de classe C^{∞} em M em toda seção s de ξ de classe C^{∞}. A seção ∇s será chamada a derivada covariante de s. Usando a fórmula em coordenadas usual para a derivada covariante (com símbolos de Christoffel) é fácil ver que ∇ admite uma extensão natural para seções C^{k}, de modo que a derivada covariante de uma seção C^{k} é uma seção C^{k−1} (o que dá a unicidade da extensão de ∇ é a exigência de que ela satisfaça as propriedades que definem uma conexão também para seções C^{k} e funções escalares C^{k}).

O leitor pode verificar facilmente, usando partições da unidade, que todo fibrado vetorial ξ admite estruturas ortogonais e conexões. Apenas observe que uma combinação linear convexa de estruturas ortogonais (definidas em abertos de M) é novamente uma estrutura ortogonal, valendo o resultado análogo para conexões.

Introduzimos as notações C^{k}(ξ) e H_{p}^{k}(ξ) para os correspondentes espaços de seções de ξ. O espaço C^{k}(ξ) já está definido, faltando apenas introduzir uma norma. O espaço H_{p}^{k}(ξ) será introduzido mais adiante. Introduzimos agora a norma em C^{0}(ξ).

Sejam g_{1}, g_{2} duas estruturas ortogonais C^{0} em ξ. Então existe uma constante c > 0 tal que g_{1}(v, v)^{1/2} ≤ cg_{2}(v, v)^{1/2}, para todo v ∈ ξ. De fato, o fibrado g_{2}-unitário:

{ v ∈ ξ : g_{2}(v, v) = 1 }

é compacto e v ↦ g_{1}(v, v)^{1/2} é uma função contínua e basta tomar c como sendo o máximo de g_{1}(v, v)^{1/2} para v um vetor g_{2}-unitário.

Seja então g uma estrutura ortogonal C^{0} em ξ. Para v ∈ ξ escrevemos ∥v∥ = g(v, v)^{1/2} (observe que temos uma norma em cada fibra de ξ). Definimos a norma de uma seção s ∈ C^{0}(ξ) fazendo ∥s∥ = sup_{m∈M} ∥s(m)∥. O supremo é finito pois ∥s(m)∥ é função contínua de m e M é compacta. O leitor pode verificar facilmente que temos de fato uma norma em C^{0}(ξ). Da observação no parágrafo acima segue diretamente que dadas duas estruturas ortogonais C^{0} em ξ as normas associadas são equivalentes. Note que ainda não mostramos que C^{0}(ξ) é um espaço de Banach. Não há dificuldade nenhuma em fazer isso agora, mas tiraremos esse fato como corolário logo adiante e não queremos repetir os mesmo argumentos várias vezes.

Temos uma topologia bem definida em C^{0}(ξ). Caracterizaremos agora essa topologia sem o uso de estruturas ortogonais em ξ. Recordamos que se X, Y são espaços topológicos então a topologia compacto-aberta no conjunto ℭ(X; Y) das funções contínuas de X em Y é a topologia que tem como sub-base os conjuntos V(K; U) dados por:

V(K; U) = { f ∈ ℭ(X; Y) : f(K) ⊂ U },

onde K ⊂ X é compacto e U ⊂ Y é aberto. Em qualquer subconjunto de ℭ(X; Y) chamaremos a topologia induzida da topologia compacto-aberta também de topologia compactoaberta (e denotaremos por V(K; U) as funções desse subconjunto que levam K em U).

Teorema 2. Se K ⊂ M é compacto e U ⊂ ξ é aberto então o conjunto V(K; U) é aberto em C^{0}(ξ). Além do mais, os conjuntos da forma V(M; U) com U ⊂ ξ aberto formam uma base para a topologia de C^{0}(ξ). Em particular, C^{0}(ξ) tem a topologia compacto-aberta (visto como subconjunto de ℭ(M; ξ)).

Demonstração. Seja K ⊂ M um compacto que está contido num aberto V ⊂ M sobre o qual ξ é trivial, i.e., temos uma trivialização α: π^{−1}(V) → V × ξ_{0}. Suponha além do mais que V é domínio de uma carta. Escolha um produto interno em ξ_{0}. Juntamente com a trivialização α isto define uma estrutura ortogonal g_{0} sobre ξ_{|V}. É possível escolher uma estrutura ortogonal g em ξ que coincide com g_{0} sobre K (se λ_{1} + λ_{2} = 1 é uma partição da unidade em M subordinada à cobertura aberta V ∪ (M − K) então se g é qualquer estrutura ortogonal em ξ, λ_{1}g_{0} + λ_{2}g é uma estrutura ortogonal em ξ que coincide com g_{0} em K).

Seja U ⊂ ξ um aberto. Mostremos que V(K; U) é aberto em C^{0}(ξ). Seja s ∈ V(K; U). Temos que α(U ∩ π^{−1}(V)) é aberto em V × ξ_{0} e α ∘ s_{|V} é uma função contínua a valores em V × ξ_{0}. Defina:

ϵ = inf_{m∈K} d(α ∘ s(m), V × ξ_{0} − α(U ∩ π^{−1}(V))),

onde d é a métrica produto em V ×ξ_{0}, onde a métrica em V é induzida do espaço Euclideano por uma carta e a métrica em ξ_{0} é associada ao produto interno escolhido. É fácil ver que a bola de centro s e raio ϵ > 0 está contida em V(K; U) (usando a norma em C^{0}(ξ) associada à estrutura ortogonal g).

Em geral, se K ⊂ M é compacto e U ⊂ ξ é aberto então podemos escrever K = K_{1} ∪ … ∪ K_{r} onde cada K_{i} é compacto contido num aberto que é domínio de carta e sobre o qual ξ é trivial. Daí, pelo que já foi visto, cada V(K_{i}; U) é aberto e é claro que V(K; U) = V(K_{1}; U) ∩ … ∩ V(K_{r}; U).

Resta mostrar que os conjuntos V(M; U) com U ⊂ ξ aberto formam uma base de abertos de C^{0}(ξ) (como M é compacta, já está mostrado que esses conjuntos são abertos). Sejam então g uma estrutura ortogonal em ξ, s ∈ C^{0}(ξ) e ϵ > 0. É fácil verificar usando trivializações locais de ξ que o conjunto:

U = { v ∈ ξ : ∥v − s(π(v))∥ < ϵ }

é aberto em ξ e daí s ∈ V(M; U) ⊂ B(s; ϵ) (B(s; ϵ) é a bola aberta de centro s e raio ϵ).

Observamos que C^{0}(ξ) é separável, já que a topologia compacto-aberta tem base enumerável quando o domínio é localmente compacto, Hausdorff, com base enumerável e o contra-domínio tem base enumerável (escolha uma base enumerável em X, (V_{n})_{n∈ℕ} formada por abertos com fecho compacto e escolha uma base enumerável (U_{n})_{n∈ℕ} em Y. Daí as interseções finitas dos conjuntos V(V̄_{n}; U_{m}) formam uma base enumerável de ℭ(X; Y)).

Introduzimos agora o espaço H_{p}^{0}(ξ) ou simplesmente L^{p}(ξ). Para isso recordamos que se δ é uma densidade contínua em M então temos canonicamente associada a ela uma única medida regular e completa μ em M definida numa σ-álgebra que contém os Boreleanos. Vide [BG], [Ru], [Co].

Recordamos que um espaço mensurável é um conjunto munido de uma σ-álgebra cujos elementos são chamados conjuntos mensuráveis. Uma função mensurável é uma função entre espaços mensuráveis tal que a imagem inversa de um conjunto mensurável é um conjunto mensurável. Um espaço topológico tem canonicamente uma estrutura de espaço mensurável, através da σ-álgebra dos Boreleanos, i.e., a σ-álgebra gerada pela topologia.

Assim, se δ é uma densidade contínua em M, μ é a medida associada e g é uma estrutura ortogonal C^{0} em ξ, definimos o conjunto L^{p}(ξ) (1 ≤ p < +∞) como sendo o conjunto das seções s de ξ que são mensuráveis (como funções de M em ξ) e tal que ∥s(m)∥^{p} é dμ-integrável. Definimos L^{∞}(ξ) como sendo o conjunto das seções mensuráveis de ξ que são essencialmente limitadas, i.e., existe A ⊂ M com μ(A) = 0 e tal que ∥s(m)∥ é limitada em M − A.

Definimos a norma de uma seção s ∈ L^{p}(ξ) como sendo (∫_{M} ∥s(m)∥^{p}dμ)^{1/p}, se p < +∞ e para p = +∞ a norma de s é o ínfimo das cota superiores essenciais de ∥s(m)∥, i.e., o ínfimo (na realidade o mínimo) dos números c ≥ 0 tais que existe A ⊂ M com μ(A) = 0 e ∥s(m)∥ ≤ c para m ∈ M − A. Denotaremos a norma de s por ∥s∥, a menos que exista necessidade de distinguir entre as normas em L^{p}(ξ) e a norma em C^{0}(ξ).

Como é usual, ∥s∥ é apenas uma semi-norma e para obtermos realmente uma norma precisamos tomar o quociente pelo subespaço das seções quase-nulas, de modo a obter o espaço que denotaremos de agora em diante por L^{p}(ξ), que é então um conjunto de classes de seções iguais quase sempre. A única dificuldade em verificar que temos de fato uma norma em L^{p}(ξ) é a desigualdade triangular. Sejam então s_{1}, s_{2} ∈ L^{p}(ξ).

O caso p = +∞ é simples e deixamos a cargo do leitor. Se p < +∞, usaremos a desigualdade de Minkowsky, i.e., a desigualdade triangular para a norma do espaço L^{p} de funções escalares em M (a demonstração dessa desigualdade para funções escalares em espaços de medida pode ser encontrada, por exemplo, em [Fe]). Temos:

\begin{aligned}∥s_{1} + s_{2}∥ & = (∫_{M} ∥s_{1}(m) + s_{2}(m)∥^{p}dμ)^{1/p} ≤ (∫_{M}(∥s_{1}(m)∥ + ∥s_{2}(m)∥)^{p}dμ)^{1/p} \\ & ≤ (∫_{M} ∥s_{1}(m)∥^{p}dμ)^{1/p} + (∫_{M} ∥s_{2}(m)∥^{p}dμ)^{1/p} = ∥s_{1}∥ + ∥s_{2}∥. \end{aligned}

Decorre em particular da desigualdade acima que L^{p}(ξ) é de fato um espaço vetorial (observe que não é tão simples mostrar que L^{p}(ξ) é fechado por soma. Para mostrar que a soma de seções mensuráveis é também mensurável, note que como M tem base enumerável a mensurabilidade é uma propriedade local. Mas localmente temos trivializações de ξ e seções de ξ tornam-se apenas funções a valores em ξ_{0}, e daí a demonstração é fácil. A desigualdade com normas feita acima mostra que L^{p}(ξ) é fechado por soma).

O conjunto L^{p}(ξ) e sua topologia não dependem da densidade contínua δ escolhida nem da estrutura ortogonal contínua g escolhida. A demonstração é simples e será deixada a cargo do leitor, mas recordamos alguns fatos simples. Se δ_{1}, δ_{2} são densidades contínuas em M então existe uma função contínua positiva g: M → ℝ tal que δ_{2} = gδ_{1}. Além do mais, se μ_{1}, μ_{2} são as medidas associadas às densidades δ_{1}, δ_{2} respectivamente então para f: M → ℝ mensurável temos que f é dμ_{2}-integrável se e somente se fg é dμ_{1}-integrável e quando ambas são integráveis as integrais coincidem. Observe que em variedades o conceito de medida nula é canônico, não dependendo da densidade escolhida. Note também que g sendo contínua e positiva na variedade compacta M, assume um mínimo positivo e um máximo finito. Recorde também a desigualdade existente entre duas estruturas ortogonais contínuas mostrada durante a introdução do espaço C^{0}(ξ).

Escolhida uma densidade contínua δ em M e uma estrutura ortogonal contínua g em ξ, observamos que a norma definida em L^{2}(ξ) faz dele um espaço pré-hilbertiano. De fato, temos um produto interno dado por:

⟨s_{1}, s_{2}⟩ = ∫_{M} g(s_{1}(m), s_{2}(m))dμ,

que está bem definido devido à desigualdade de Cauchy-Schwartz para integral (ou devido à desigualdade de Hölder que enunciaremos no teorema 9. Vide [Fe]) e que obviamente induz a norma de L^{2}(ξ). Observação: A definição dos espaços C^{0}(ξ) e L^{p}(ξ) não usa o fato de M ser uma variedade. No caso de C^{0}(ξ) bastaria que M fosse um espaço topológico compacto e ξ um fibrado vetorial topológico sobre M. No caso de L^{p}(ξ) basta que se tenha também uma medida em M e que M tenha base enumerável. Note, por outro lado, que C^{k}(ξ) (e H_{p}^{k}(ξ), k ≥ 1) só fazem sentido se M for uma variedade.

Vamos, para exemplificar, estudar o que ocorre quando o fibrado ξ é trivial. Daí, mediante a escolha de uma trivialização identificamos ξ com M × ξ_{0} e as seções de ξ com as funções de M em ξ_{0}. Escolhendo então um produto interno em ξ_{0} obtemos uma estrutura ortogonal em ξ e daí o espaço C^{0}(ξ) corresponde ao espaço das funções contínuas de M em ξ_{0} com a norma da convergência uniforme (e portanto com a topologia compactoaberta) e L^{p}(ξ) corresponde ao espaço L^{p}(M; ξ_{0}), com a norma usual. Esses espaços são conhecidamente de Banach (no caso C^{0} vide [Lm3] e no caso L^{p} vide [Fe]). O que faremos logo a seguir é reduzir o caso geral ao caso em que ξ é trivial.

Seja f: N → M uma função C^{∞} entre variedades com bordo. Se ξ é um fibrado vetorial sobre M então temos o fibrado vetorial f^{∗}ξ sobre N chamado o pull-back de ξ por f. A fibra de f^{∗}ξ no ponto n ∈ N é ξ_{f(n)}. Daí para cada seção s de ξ temos também uma seção f^{∗}s de f^{∗}ξ definida por f^{∗}s(n) = s(f(n)), para n ∈ N. Temos o seguinte teorema.

Teorema 3. Se f: N → M é uma função C^{∞} entre variedades com bordo compactas então o operador f^{∗} definido em C^{0}(ξ) toma valores em C^{0}(f^{∗}ξ) e é linear contínuo. Além do mais, se f é tal que existe uma constante c > 0 tal que μ(f^{−1}(A)) ≤ cμ(A) para todo Boreleano A ⊂ M (e certas densidades fixadas em N, M) então o mesmo resultado vale substituindo C^{0} por L^{p}.

Demonstração. Considere primeiro o caso C^{0}. Se s é uma seção contínua de ξ então é claro que f^{∗}s é uma seção contínua de f^{∗}ξ. A linearidade de f^{∗} é óbvia e escolhida uma estrutura ortogonal em ξ ela induz de modo natural uma estrutura ortogonal em f^{∗}ξ e daí é fácil ver que ∥f^{∗}s∥ ≤ ∥s∥, donde sai a continuidade de f^{∗}.

Se f tem a propriedade mencionada no enunciado então observe primeiramente que a desigualdade também vale se A ⊂ M é mensurável (um conjunto mensurável é a união de um Boreleano com um subconjunto de um Boreleano de medida nula, i.e., as medidas que consideramos são o completamento das medidas nos Boreleanos). Em particular, a imagem inversa por f de conjuntos de medida nula também tem medida nula.

É fácil verificar agora que se s é mensurável então f^{∗}s é mensurável e que se s_{1} coincide com s_{2} quase sempre então f^{∗}s_{1} coincide com f^{∗}s_{2} quase sempre. Para verificar a mensurabilidade de f^{∗}s note que mensurabilidade é uma propriedade local e que mediante trivializações locais f^{∗}s é essencialmente s ∘ f (verifique os detalhes envolvidos! A mensurabilidade de s significa que a imagem inversa por s de Boreleanos é mensurável, e não necessariamente Boreleano. Logo precisamos saber que a imagem inversa por f de conjuntos mensuráveis é mensurável. Sem a propriedade mencionada no enunciado isso em geral é falso).

A linearidade de f^{∗} é óbvia em qualquer caso e o fato que s ∈ L^{p}(ξ) implica f^{∗}s ∈ L^{p}(f^{∗}ξ) decorrerá da majoração para ∥f^{∗}s∥ que faremos para demonstrar a continuidade de f^{∗}. Fixe uma estrutura ortogonal em ξ e considere a estrutura ortogonal induzida por f em f^{∗}ξ. Para p = +∞ é fácil ver que ∥f^{∗}s∥ ≤ ∥s∥. Para p < +∞, note que ∥(f^{∗}s)(n)∥ = ∥s(f(n))∥ para n ∈ N e daí ∥f^{∗}s∥ ≤ c^{1/p}∥s∥, o que decorre do seguinte lema de teoria da medida.

Sejam (Ω, A, μ), (Ω′, A′, μ′) espaços de medida (i.e., Ω, Ω′ são conjuntos, A, A′ são σ-álgebras e μ, μ′ são medidas). Se f: Ω′ → Ω é uma função mensurável tal que existe c ≥ 0 tal que μ′(f^{−1}(A)) ≤ μ(A) para todo A ∈ A então dada g: Ω → ℝ não negativa e integrável temos que g ∘ f é também integrável e ∫ g ∘ f dμ′ ≤ c ∫ f dμ.

O lema pode ser provado por técnicas usuais de teoria de medida. Basta prová-lo primeiro no caso em que g é simples e no caso geral escrever g como limite crescente de funções simples (uma boa referência para tais técnicas é [Fe]).

Corolário 1. Se D ⊂ M é um domínio com bordo compacto então a função restrição s ↦ s_{|D} é um operador linear contínuo de 𝔐(ξ) em 𝔐(ξ_{|D}), onde 𝔐 = C^{0} ou 𝔐 = L^{p}.

Demonstração. Basta aplicar o teorema para f igual à inclusão de D em M (escolha uma densidade δ em M e escolha δ_{|D} em D. Daí a condição do enunciado vale para c = 1).

Corolário 2. Se f: N → M é um difeomorfismo C^{∞} então f^{∗}: 𝔐(ξ) → 𝔐(f^{∗}ξ) é um isomorfismo topológico, onde 𝔐 = C^{0} ou 𝔐 = L^{p}.

Demonstração. Um difeomorfismo satisfaz as condições do enunciado (escolha uma densidade δ em M e escolha f^{∗}δ em N. Daí tome c = 1). É claro que nesse caso f^{∗} é bijetor.

Para o leitor que não estiver familiarizado com os detalhes de teoria de medida na demonstração do teorema 3 avisamos que não usaremos o teorema com tanta generalidade. Os seus corolários são o mais importante. Mas um exemplo interessante de função que satisfaz as condições do enunciado do teorema 3 é aquele em que M, N são compactas sem bordo e orientadas e f é um difeomorfismo local. Daí a constante c é o grau de f.

Finalmente, o teorema abaixo contém a principal técnica de trabalho com espaços de seções de um fibrado, i.e., a técnica de partir a base em pedaços.

Teorema 4. Sejam D_{1}, …, D_{r} ⊂ M domínios com bordo compactos tais que M = D_{1} ∪ … ∪ D_{r}. Se 𝔐 denota C^{0} ou L^{p} então o operador P de 𝔐(ξ) em ⨁_{i=1}^{r} 𝔐(ξ_{|D_{i}}) definido por P(s) = (s_{|D_{1}}, …, s_{|D_{r}}) é um isomorfismo topológico sobre sua imagem que é fechada no contra-domínio. Além do mais a imagem de P é conjunto das r-uplas (s_{1}, …, s_{r}) tais que s_{i} coincide com s_{j} em D_{i} ∩ D_{j} para todos i, j = 1, …, r.

Demonstração. A continuidade de P decorre do corolário do teorema 3 e P é obviamente linear injetora. A imagem de P também é claramente o conjunto das r-uplas (s_{1}, …, s_{r}) tais que s_{i}_{|D_{i}∩D_{j}} = s_{j}_{|D_{i}∩D_{j}} para todos i, j = 1, …, r (onde a igualdade deve valer apenas quase sempre no caso 𝔐 = L^{p}).

Escolha em M uma densidade δ, escolha em cada D_{i} a densidade δ_{|D_{i}} (daí também a medida em D_{i} é a restrição da medida em M). Escolha uma estrutura ortogonal g em ξ e escolha a restrição de g em cada ξ_{|D_{i}}. Escolha a norma do máximo na soma direta.

A continuidade da inversa de P decorre do fato que se (s_{1}, …, s_{r}) está na imagem de P então ∥P^{−1}(s_{1}, …, s_{r})∥ ≤ c∥(s_{1}, …, s_{r})∥, onde c = 1 no caso 𝔐 = C^{0} ou no caso 𝔐 = L^{p} com p = +∞ e c = r^{1/p} para 𝔐 = L^{p} com p < +∞, como pode ser verificado facilmente (no caso 𝔐 = L^{p}, p < +∞ use ∫_{M} ∥s(m)∥^{p}dμ ≤ ∑_{i=1}^{r} ∫_{D_{i}} ∥s(m)∥^{p}dμ).

Resta mostrar que a imagem de P é fechada. Defina para cada i, j = 1, …, r uma função T_{ij}: ⨁_{k=1}^{r} 𝔐(ξ_{|D_{k}}) → ℝ fazendo T_{ij}(s_{1}, …, s_{r}) = sup_{m∈D_{i}∩D_{j}} ∥s_{i}(m) − s_{j}(m)∥ no caso 𝔐 = C^{0} ou

T_{ij}(s_{1}, …, s_{r}) = (∫_{D_{i}∩D_{j}} ∥s_{i}(m) − s_{j}(m)∥^{p}dμ)^{1/p} ,

no caso 𝔐 = L^{p}, p < +∞ e no caso 𝔐 = L^{∞} tome a menor cota superior essencial de ∥s_{i}(m) − s_{j}(m)∥ em D_{i} ∩ D_{j}.

Então T_{ij} é contínua pois é Lipschitziana de constante 2 (vide observação abaixo) e a imagem de P é a interseção dos fechados T_{ij}^{−1}(0), i, j = 1, …, r.

Observação: Temos que T_{ij}(s_{1}, …, s_{r}) é simplesmente ∥s_{i}_{|D_{i}∩D_{j}} −s_{j}_{|D_{i}∩D_{j}}∥ para qualquer 𝔐, mas s_{i}_{|D_{i}∩D_{j}} seria um elemento de 𝔐(ξ_{|D_{i}∩D_{j}}), sendo que D_{i} ∩D_{j} não é em geral uma variedade com bordo enquanto nossa teoria exige que a base do fibrado seja uma variedade com bordo. Mas D_{i} ∩ D_{j} é um espaço topológico compacto com base enumerável (e com uma medida) e segundo observação feita anteriormente isso já basta para definir C^{0} e L^{p}. Nesse caso poderíamos também definir T_{ij}(s_{1}, …, s_{r}) = s_{i}_{|D_{i}∩D_{j}} − s_{j}_{|D_{i}∩D_{j}} o que, como se vê facilmente, seria uma transformação linear contínua.

Corolário. Os espaços C^{0}(ξ) e L^{p}(ξ) são de Banach e o operador P é injetor fraco. Além do mais L^{2}(ξ) é um espaço de Hilbert.

Demonstração. Usando o lema 1, é possível escolher os domínios com bordo compactos D_{i} tais que ξ_{|D_{i}} seja um fibrado trivial. Daí sabemos que cada 𝔐(ξ_{|D_{i}}) é um espaço de Banach donde segue o resultado (observe que conceitos como injetor fraco ou forte só foram definidos para espaços de Banach então só agora podemos dizer que P é injetor fraco).

Decorre também do teorema 4 que L^{p}(ξ) é separável para p < +∞. De fato, o teorema 4 nos faz recair no caso ξ = D × ℝ^{n}, onde D ⊂ ℝ^{m} é um domínio com bordo compacto. É fácil ver que L^{p}(D × ℝ^{n}) ≅ ⨁_{n} L^{p}(D × ℝ) (isso também será um corolário logo adiante). Daí basta mostrar que L^{p}(D × ℝ) é separável para p < +∞. É verdade que para p < +∞ (vide [Fe]) as funções simples f = ∑_{i=1}^{k} a_{i}χ_{A_{i}}, onde cada A_{i} ⊂ D é mensurável de medida finita, formam um subconjunto denso em L^{p}(D × ℝ). É fácil mostrar então que se considerarmos apenas as funções simples tais que cada a_{i} é racional e cada A_{i} é (a interseção com D de) uma união finita de blocos retangulares em ℝ^{m} com vértices racionais então ainda temos um subconjunto denso. Este último é enumerável.

Observamos que L^{∞}(ξ) em geral não é separável. De fato, se M = [0, 1], ξ = [0, 1]×ℝ temos um subconjunto discreto não enumerável de L^{∞}([0, 1] × ℝ) construído da seguinte forma: Seja K ⊂ [0, 1] o conjunto de Cantor. Escreva [0, 1] − K como união enumerável de intervalos abertos dois a dois disjuntos I_{n}, n ∈ ℕ. Para cada S ⊂ ℕ defina f_{S} ∈ L^{∞}([0, 1] × ℝ) como sendo a função característica do conjunto ⋃_{n∈S} I_{n}. Daí para S ≠ S′ temos ∥f_{S} − f_{S′}∥ = 1, donde (f_{S})_{S∈P(ℕ)} é um conjunto discreto não enumerável.

Definimos agora a norma em C^{k}(ξ). Para isso precisamos introduzir a linguagem de jatos. Seja C^{∞}(ξ) o espaço das seções C^{∞} de ξ. Fixado k ∈ ℕ e dado m ∈ M consideramos o subespaço C_{k,m}^{∞}(ξ) de C^{∞}(ξ) das seções cujo valor no ponto m é zero, junto com as diferenciais de ordem menor ou igual a k no ponto m (tais diferenciais podem ser calculadas em coordenadas locais de M e trivializações locais de ξ. O subespaço C_{k,m}^{∞}(ξ) não depende da carta ou da trivialização escolhida).

Definimos um fibrado vetorial J_{k}(ξ) sobre M, o qual chamaremos o fibrado de k-jatos de ξ, cuja fibra sobre o ponto m ∈ M é o quociente C^{∞}(ξ)/C_{k,m}^{∞}(ξ) e cuja fibra típica é ⨁_{i=0}^{k} L_{i}^{sim}(ℝ^{n}; ξ_{0}), onde L_{i}^{sim}(ℝ^{n}; ξ_{0}) é o espaço das transformações i-lineares simétricas de ℝ^{n} em ξ_{0} e n é a dimensão de M (e L_{0}^{sim}(ℝ^{n}; ξ_{0}) = ξ_{0}). Fixada uma carta em M e uma trivialização em ξ temos um isomorfismo entre as fibras de J_{k}(ξ) e a fibra típica dado por [s]_{k,m} ↦ (s(m), ds(m), …, d^{k}s(m)), onde identificamos a seção s com sua representação local em coordenadas e [s]_{k,m} é a classe da seção s módulo C_{k,m}^{∞}(ξ). Isso fornece uma trivialização de J_{k}(ξ) e o leitor pode verificar facilmente que duas dessas trivilizações são compatíveis.

Temos um operador linear canônico J_{k}: C^{∞}(ξ) → C^{∞}(J_{k}(ξ)) dado por J_{k}(s)(m) = [s]_{k,m}. Em coordenadas locais o operador J_{k} produz para cada seção s suas diferenciais de ordem menor ou igual a k. Mantendo a mesma fórmula em coordenadas locais estendemos J_{k} para C^{l}(ξ) (l ≥ k) obtendo valores em C^{l−k}(J_{k}(ξ)).

Dizemos que uma função T: ξ → η entre fibrados vetoriais de mesma base M é um morfismo de fibrados vetoriais de classe C^{k} quando T for de classe C^{k}, π_{η} ∘ T = π_{ξ} (onde π_{ξ}, π_{η} são as projeções de ξ, η respectivamente) e T é linear nas fibras. Um isomorfismo de fibrados vetoriais é um morfismo bijetor (o inverso é automaticamente um morfismo C^{k}).

Dizemos que T: ξ → η preserva as fibras quando dados v, w ∈ ξ com π_{ξ}(v) = π_{ξ}(w) então π_{η}(T (v)) = π_{η}(T (w)). A função induzida na base é a única função f: M → M tal que π_{η} ∘ T = f ∘ π_{ξ}. Recordamos que T é linear nas fibras quando dado m ∈ M então a restrição de T a ξ_{m} é linear a valores em η_{f(m)}. Temos então que um morfismo de fibrados vetoriais de classe C^{k} é uma função de classe C^{k} que preserva as fibras, é linear nas fibras e induz a identidade na base.

É claro que a composta de morfismos de fibrados vetoriais de classe C^{k} também é um morfismo de fibrados vetoriais de classe C^{k} e que a identidade de um fibrado vetorial é um morfismo de fibrados vetoriais de classe C^{∞}.

Dados k, l ∈ ℕ com l ≤ k temos um morfismo canônico J′_{kl} entre os fibrados J_{k}(ξ) e J_{l}(ξ) definido por J′_{kl}([s]_{k,m}) = [s]_{l,m}. Denotamos J′_{k0} apenas por J′_{k} (observamos que em coordenadas locais J′_{kl} é apenas uma projeção). Observe que J_{0}(ξ) é canonicamente isomorfo a ξ através de [s]_{0,m} ↦ s(m). Assim, J′_{k} pode ser considerado um morfismo a valores em ξ. Observamos que J′_{k} ∘ J_{k}(s) = s e J′_{kl} ∘ J_{k}(s) = J_{l}(s), onde s é uma seção C^{k} de ξ.

O teorema seguinte nos permite introduzir uma estrutura de espaço de Banach em C^{k}(ξ).

Teorema 5. O operador J_{k}: C^{k}(ξ) → C^{0}(J_{k}(ξ)) é linear injetor e sua imagem é fechada no contra-domínio.

Demonstração. A linearidade já foi observada e a injetividade decorre do fato do operador s ∈ C^{0}(J_{k}(ξ)) ↦ J′_{k} ∘ s de composição à esquerda com J′_{k} ser um inverso à esquerda de J_{k}.

Resta mostrar que a imagem de J_{k} é fechada. Seja (J_{k}(s_{n}))_{n∈ℕ} uma seqüência de elementos da imagem de J_{k} que converge para um ponto s̄ ∈ C^{0}(J_{k}(ξ)). Devemos achar s ∈ C^{k}(ξ) tal que s̄ = J_{k}(s). Tome então s = J′_{k}(s̄) ∈ C^{0}(ξ).

Seja m ∈ M. Escolha um domínio com bordo compacto D que contém m no seu interior e tal que D está contido no domínio de uma carta de M e de uma trivialização de ξ (use o lema 1). Temos então uma trivialização de J_{k}(ξ) num aberto contendo D.

Pelo corolário do teorema 3 a convergência J_{k}(s_{n}) → s̄ na topologia de C^{0} implica que J_{k}(s_{n}) converge uniformemente a s̄ sobre D, escrevendo tudo numa trivialização de ξ sobre D. Isso implica (usando o lema da derivação termo a termo enunciado no início da seção) que s_{|D} é C^{k} e s̄ = (s, ds, …, d^{k}s) sobre D (em coordenadas). Note que quando concluímos que s_{|D} é C^{k} não conseguimos construir uma extensão local de s a um aberto de ℝ^{n} (precisamos portanto nos referir ao teorema 1, pois usamos a definição (c) de função de classe C^{k}). Como m é arbitrário, isso completa a demonstração.

Definimos então a estrutura de espaço de Banach no espaço C^{k}(ξ) declarando que a topologia de C^{k}(ξ) é induzida de C^{0}(J_{k}(ξ)) por J_{k}. O teorema 5 garante que temos mesmo um espaço de Banach. O operador J_{k} é então injetor fraco. Uma possível norma em C^{k}(ξ) é então obtida escolhendo uma estrutura ortogonal contínua em J_{k}(ξ) e definindo para s ∈ C^{k}(ξ), ∥s∥ = sup_{m∈M} ∥J_{k}(s)(m)∥.

Observamos que C^{k}(ξ) é separável pois é topologicamente isomorfo a um subespaço de C^{0}(J_{k}(ξ)), que é separável.

A técnica principal para mostrar que um operador linear definido em (ou a valores em) C^{k}(ξ) é contínuo é usar J_{k} para transferir o operador em questão para um operador num subespaço de C^{0}(J_{k}(ξ)). Muitas vezes é possível estender o operador obtido a todo o espaço C^{0}(J_{k}(ξ)).

Por exemplo, se o fibrado ξ é trivial então escolhendo uma trivialização identificamos ξ com M × ξ_{0}. Se, além do mais, M é (difeomorfa a) um domínio com bordo em ℝ^{n} então temos uma identificação de J_{k}(ξ) com M × ⨁_{i=0}^{k} L_{i}^{sim}(ℝ^{n}; ξ_{0}).

A escolha de um produto interno em ξ_{0} e de um produto interno em ℝ^{n} induz então um produto interno em cada espaço de operadores multi-lineares e portanto uma estrutura ortogonal em J_{k}(ξ).

De fato, definimos em (⨂_{i} ℝ^{n}^{∗}) ⊗ ξ_{0} um produto interno fazendo

⟨α_{1} ⊗ ⋯ ⊗ α_{i} ⊗ v, β_{1} ⊗ ⋯ ⊗ β_{i} ⊗ w⟩ = (∏_{r=1}^{i}⟨α_{r}, β_{r}⟩) · ⟨v, w⟩,

onde cada α_{r} ∈ ℝ^{n}^{∗}, β_{r} ∈ ℝ^{n}^{∗} e v, w ∈ ξ_{0}. Estendemos então o produto interno por bilinearidade. Daí resta notar que L_{i}^{sim}(ℝ^{n}; ξ_{0}) é um subespaço de L_{i}(ℝ^{n}; ξ_{0}) ≅ (⨂_{i} ℝ^{n}^{∗})⊗ ξ.

Assim o operador J_{k} é dado por

J_{k}(s) = (s, ds, …, d^{k}s) e ∥s∥ = sup_{m∈M}(∑_{i=0}^{k} ∥d^{i}s(m)∥^{2})^{1/2}.

Para obter uma norma mais simples em C^{k}(ξ) observe que C^{0}(M ×⨁_{i=0}^{k} L_{i}^{sim}(ℝ^{n}; ξ_{0})) é topologicamente isomorfo a ⨁_{i=0}^{k} C^{0}(M × L_{i}^{sim}(ℝ^{n}; ξ_{0})) (isso aparecerá como um corolário logo adiante mas é bem fácil provar diretamente). Daí, escolhendo por exemplo a norma da soma na soma direta de espaços de Banach obtemos uma norma em C^{k}(ξ) dada por ∥s∥ = ∑_{i=0}^{k} sup_{m∈M} ∥d^{i}s(m)∥.

O teorema a seguir nos fornece uma maneira mais simples de entender J_{k}(ξ) e também uma norma mais conveninente em C^{k}(ξ). Denotamos por L_{i}(T M; ξ) o fibrado sobre M cuja fibra sobre o ponto m ∈ M é L_{i}(T_{m}M; ξ_{m}).

Teorema 6. Uma conexão em ξ e uma conexão em T M induzem um morfismo injetor de J_{k}(ξ) em ⨁_{i=0}^{k} L_{i}(T M; ξ) (onde esta soma direta é uma soma de Whitney de fibrados vetoriais e L_{0}(T M; ξ) = ξ).

Demonstração. Notamos que uma conexão em T M e uma conexão em ξ induzem conexões em todos os produtos tensoriais de T M e ξ (o que define essas conexões é o fato de elas comutarem com contrações e satisfazerem a regra do produto usual em relação ao produto tensorial). Assim, temos uma conexão em L_{i}(T M; ξ) ≅ (⨂_{i} T M^{∗}) ⊗ ξ. Denotemos todas as conexões envolvidas nesta demonstração por ∇.

Defina o morfismo fazendo [s]_{k,m} ↦ (s(m), ∇s(m), …, ∇^{i}s(m)), onde ∇^{j} significa a aplicação iterada de ∇ j vezes. Para mostrar que realmente essa aplicação está bem definida e que ela é um morfismo injetor entre fibrados vetoriais usamos trivializações locais de ξ e coordenadas locais em M. Daí [s]_{k,m} = J_{k}(s)(m) é representado por (s(m), ds(m), …, d^{k}s(m)) e as derivadas covariantes ∇^{j}s(m) são representadas por combinações lineares das derivadas parciais de s de ordem menor ou igual a j usando os símbolos de Christoffel e suas derivadas como coeficientes. Abaixo fazemos alguns cálculos nos casos k = 1, 2 e é fácil completar os cálculos (fazendo indução em k) no caso geral.

Seja n a dimensão de M e m a dimensão das fibras de ξ. Seja φ = (x^{1}, …, x^{n}) uma carta em M e seja (s_{1}, …, s_{m}) um referencial local de ξ, i.e., uma trivialização. Daí (\frac{∂}{∂x^{1}} , …, \frac{∂}{∂x^{n}}) é um referencial local de T M e (dx_{1}, …, dx_{n}) é um referencial local de T M^{∗}. Temos símbolos de Christoffel γ para a conexão em T M e símbolos de Christoffel Γ para a conexão em ξ. Daí:

∇_{∂/∂x^{i}} \frac{∂}{∂x^{j}} = ∑_{k=1}^{n} γ_{ij}^{k} \frac{∂}{∂x^{k}} , ∇_{∂/∂x^{i}}s_{j} = ∑_{k=1}^{m} Γ_{ij}^{k}s_{k}.

Temos então que dx^{i}⊗s_{j}, i = 1, …, n, j = 1, …, m é um referencial local em T M^{∗}⊗ξ. Temos:

∇_{∂/∂x^{j}}dx^{i} = ∑_{k=1}^{n} −γ_{jk}^{i}dx^{k},

e

∇_{∂/∂x^{r}}dx^{i} ⊗ s_{j} = ∑_{k=1}^{n} −γ_{rk}^{i}dx^{k} ⊗ s_{j} + ∑_{k=1}^{m} Γ_{rj}^{k}dx^{i} ⊗ s_{k}.

Escrevendo s ∈ C^{∞}(ξ) como s = ∑_{j=1}^{m} c^{j}s_{j} então as coordenadas de J_{k}(s) são as derivadas parciais dos c_{j} de ordem menor ou igual a k e:

∇s = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} (\frac{∂c^{j}}{∂x^{i}} + ∑_{r=1}^{m} c^{r}Γ_{ir}^{j}) dx^{i} ⊗ s_{j},

e também:

\begin{aligned}∇^{2}s & = ∑_{k,i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} (\frac{∂^{2}c^{j}}{∂x^{k}∂x^{i}} + ∑_{r=1}^{m} \frac{∂c^{r}}{∂x^{k}} Γ_{ir}^{j} + c^{r} \frac{∂Γ_{ir}^{j}}{∂x^{k}} ) dx^{k} ⊗ dx^{i} ⊗ s_{j} \\ & + (\frac{∂c^{j}}{∂x^{i}} + ∑_{r=1}^{m} c^{r}Γ_{ir}^{j}) (∑_{r=1}^{n} −γ_{kr}^{i}dx^{k} ⊗ dx^{r} ⊗ s_{j} + ∑_{r=1}^{m} Γ_{kj}^{r}dx^{k} ⊗ dx^{i} ⊗ s_{r}) . \end{aligned}

Observamos que cada derivada covariante de s é uma combinação linear dos c^{j} e suas derivadas parciais o que mostra que a aplicação definida é C^{∞} e linear nas fibras. Quanto à injetividade, observamos que é sempre possível reconstruir as derivadas parciais dos c^{j} a partir das derivadas covariantes, já que (fazendo por indução em k) sempre temos na i-ésima derivada covariante uma única ocorrência das derivadas parciais de ordem i em cada coordenada do tensor, donde concluímos que é possível reconstruir as derivadas de ordem i a partir da i-ésima derivada covariante e das derivadas parciais de ordem menor que i.

Corolário. Escolha conexões em T M e em ξ. Escolha também uma métrica Riemanniana em M e uma estrutura ortogonal em ξ. Considere as estruturas ortogonais canonicamente induzidas nos fibrados L_{i}(T M; ξ); i = 1, …, k. Então uma norma em C^{k}(ξ) é dada por ∥s∥ = sup_{m∈M}(∑_{i=0}^{k} ∥∇^{i}s(m)∥^{2})^{1/2}, para s ∈ C^{k}(ξ).

Demonstração. Temos uma estrutura ortogonal em cada fibrado L_{i}(T M; ξ) e portanto uma estrutura ortogonal induzida em ⨁_{i=0}^{k} L_{i}(T M; ξ). O morfismo injetor mostrado no teorema 6 induz então uma estrutura ortogonal em J_{k}(ξ). Utilizando em C^{0}(J_{k}(ξ)) a norma associada a essa estrutura ortogonal e considerando a norma induzida em C^{k}(ξ) por J_{k} obtemos o resultado.

O corolário acima nos permite utilizar uma norma em C^{k}(ξ) análoga ao caso em que ξ é trivial e M é um domínio com bordo em ℝ^{n}. Nas observações que precedem o teorema 6 fomos capazes de simplificar ainda mais a norma em C^{k}(ξ). No caso geral é de se esperar então que uma norma em C^{k}(ξ) possa ser dada pela fórmula ∥s∥ = ∑_{i=0}^{k} sup_{m∈M} ∥∇^{i}s(m)∥. Isso de fato é verdade e obteremos como corolário logo adiante (mas não é difícil provar diretamente).

Se k = 1 o morfismo do teorema 6 é também sobrejetor (ou seja, ele é um isomorfismo). Para k > 1 o morfismo nunca é sobrejetor já que a dimensão do contra-domínio é maior que a do domínio (exceto se M ou ξ_{0} tem dimensão zero). Não é verdade em geral que ∇^{j}s(m) é um operador j-linear simétrico, mas ele possui algum tipo de simetria (é possível escrever uma condição explícita para que um elemento esteja na imagem do morfismo através das curvaturas das conexões e da torsão da conexão em T M. Por exemplo, se k = 2 para que (v, L, B) ∈ ξ_{m} ⊕ L(T_{m}M; ξ_{m}) ⊕ L_{2}(T_{m}M; ξ_{m}) esteja na imagem do morfismo é necessário e suficiente que B(w_{1}, w_{2}) − B(w_{2}, w_{1}) = R(w_{1}, w_{2})v − L(T (w_{1}, w_{2})), para quaisquer w_{1}, w_{2} ∈ T_{m}M, onde T é a torsão da conexão em T M e R é a curvatura da conexão em ξ).

Introduzimos agora o espaço H_{p}^{k}(ξ). Para k = 0 este espaço é simplesmente L^{p}(ξ). Para k ≥ 1 convencionaremos que a base M será sempre um intervalo fechado. A teoria dos espaços H_{p}^{k}(ξ) no caso geral é bem mais complicada e não nos interessa aqui. Precisaremos do conceito de função absolutamente contínua.

Dizemos que uma função f: [a, b] → ℝ^{n} é absolutamente contínua quando dado ϵ > 0 existe δ > 0 tal que dados intervalos (a_{1}, b_{1}), …, (a_{k}, b_{k}) dois a dois disjuntos contidos em [a, b] com ∑_{i=1}^{k}(b_{i} − a_{i}) < δ então ∑_{i=1}^{k} ∥f(b_{i}) − f(a_{i})∥ < ϵ.

É fácil ver que toda função absolutamente contínua é contínua e de variação limitada (ou seja, é uma curva retificável em ℝ^{n}). Também é fácil ver que se φ: X ⊂ ℝ^{n} → ℝ^{m} é Lipschitziana então dada f: [a, b] → ℝ^{n} absolutamente contínua com imagem contida em X então φ ∘ f é absolutamente contínua. Também, se f é absolutamente contínua em [a, b] então f é absolutamente contínua em qualquer intervalo [c, d] ⊂ [a, b] e dada uma partição de [a, b] em intervalos temos que f é absolutamente contínua em [a, b] se e somente se for absolutamente contínua em cada intervalo da partição (daí decorre que no resultado anterior podemos supor φ apenas localmente Lipschitziana).

É verdade também que uma função é absolutamente contínua se e somente se for absolutamente contínua coordenada por coordenada. O conjunto das funções absolutamente contínuas de [a, b] em ℝ^{n} é um espaço vetorial. Toda função C^{1} é absolutamente contínua.

Enunciamos então alguns teoremas fundamentais sobre funções absolutamente contínuas (as demonstrações podem ser encontradas em [Fe]). Se f: [a, b] → ℝ^{n} é absolutamente contínua então f é diferenciável em quase todo ponto de [a, b] e além do mais a derivada f′ (definida quase sempre em [a, b]) é Lebesgue integrável. Temos ∫_{a}^{b} f′ = f(b) − f(a).

Note bem que não é verdade em geral que uma função contínua, diferenciável quase sempre com derivada Lebesgue integrável é absolutamente contínua. Temos, por exemplo, a função de Cantor-Lebesgue que é crescente, contínua, diferenciável quase sempre com derivada zero quase sempre, mas não é absolutamente contínua (vide [Fe]). Mas é verdade em geral que dada f: [a, b] → ℝ Lebesgue integrável então F (x) = ∫_{a}^{x} f é absolutamente contínua com F′ = f quase sempre.

Começamos com o caso em que M = [a, b] e ξ = [a, b]×ℝ^{n}. Definimos o espaço H_{p}^{k}(ξ) (para k ≥ 1) como sendo o conjunto das seções de ξ (ou funções de [a, b] em ℝ^{n}) que são de classe C^{k−1}, cuja (k − 1)-ésima derivada é absolutamente contínua e cuja k-ésima derivada (definida quase sempre) está em L^{p}(ξ).

Trataremos sempre seções de [a, b] × ℝ^{n} como funções de [a, b] em ℝ^{n}. Temos um isomorfismo linear de H_{p}^{k}(ξ) em ℝ^{nk} ⊕ L^{p}(ξ) dado por:

f ∈ H_{p}^{k}(ξ) ↦ (f(a), f′(a), …, f^{(k−1)}(a), f^{(k)}) ∈ ℝ^{nk} ⊕ L^{p}(ξ),

onde f^{(i)} denota a i-ésima derivada de f (o inverso desse isomorfismo é obtido fazendo k integrações do elemento de L^{p}(ξ), somando em cada passo um dos k vetores de ℝ^{n} dados. Note que funções em L^{p}(ξ) são integráveis, i.e., L^{p}(ξ) ⊂ L^{1}(ξ). Isso é fácil de mostrar diretamente, mas será mostrado no teorema 9).

Introduzimos a estrutura de espaço de Banach em H_{p}^{k}(ξ) declarando que esse isomorfismo de espaços vetoriais seja uma isometria. Escolhendo, por exemplo, a norma da soma na soma direta ℝ^{nk} ⊕ L^{p}(ξ) vemos que uma possível norma para H_{p}^{k}(ξ) é ∥f∥ = ∑_{i=0}^{k−1} ∥f^{(i)}(a)∥ + (∫_{a}^{b} ∥f^{(k)}∥^{p})^{1/p} para f ∈ H_{p}^{k}(ξ), p < +∞ (para p = +∞ simplesmente troque a integral pela menor cota superior essencial de ∥f^{(k)}∥ em [a, b]).

Vemos claramente que H_{p}^{k}(ξ) é um espaço de Banach, já que ele é isométrico a um espaço de Banach, por definição. Do mesmo modo vemos que H_{2}^{k}(ξ) é um espaço de Hilbert. Para p < +∞ vemos também que H_{p}^{k}(ξ) é separável pois é isométrico a um espaço separável (e para p = +∞ ele não é separável em geral, como L^{∞}(ξ)).

A norma introduzida em H_{p}^{k}(ξ) é a norma cuja noção de convergência correspondente é a convergência no ponto a das k − 1 primeiras derivadas, junto com a convergência em L^{p}(ξ) (chamada também convergência na p-média) da k-ésima derivada.

Definimos outras normas em H_{p}^{k}(ξ) que são de interesse. Temos um isomorfismo topológico de H_{p}^{k}(ξ) em ℝ^{nk} ⊕ L^{p}(ξ). Podemos trocar quaisquer dos fatores ℝ^{n} que aparece em ℝ^{nk} (alguns ou todos) por C^{0}(ξ) e na definição do isomorfismo trocamos a correspondente coordenada f^{(i)}(a) por f^{(i)} simplesmente (que é uma função contínua em [a, b]). Afirmo que continuamos tendo um isomorfismo topológico sobre a imagem (que é portanto um subespaço fechado do contra-domínio).

Tudo que devemos mostrar é que se uma seqüência (f_{n})_{n∈ℕ} de elementos de H_{p}^{k}(ξ) converge a uma função f ∈ H_{p}^{k}(ξ) na topologia de H_{p}^{k}(ξ) (i.e., f_{n}^{(i)}(a) → f^{(i)}(a) para i = 0, …, k − 1 e f_{n}^{(k)} → f^{(k)} em L^{p}(ξ)) então f_{n}^{(i)} converge uniformemente a f^{(i)} para i = 0, …, k − 1.

Basta considerar o caso k = 1, pois daí f_{n}^{(k)} → f^{(k)} em L^{p}(ξ) junto com f_{n}^{(k−1)}(a) → f^{(k−1)}(a) implica f_{n}^{(k−1)} → f^{(k−1)} uniformemente. Assim, em particular, f_{n}^{(k−1)} → f^{(k−1)} em L^{1}(ξ), por exemplo, e junto com f_{n}^{(k−2)}(a) → f^{(k−2)}(a) isso implica f_{n}^{(k−2)} → f^{(k−2)} uniformemente, e assim por diante.

Assim, sejam (f_{n})_{n∈ℕ} uma seqüência em H_{p}^{1}(ξ), f ∈ H_{p}^{1}(ξ) uma função e suponha que f_{n}(a) → f(a) e f′_{n} → f′ em L^{p}(ξ). Devemos mostrar que f_{n} → f uniformemente. Isso decorre da desigualdade abaixo e do fato que (como [a, b] é compacto) convergência em L^{p}(ξ) implica convergência em L^{1}(ξ), como será mostrado logo adiante no teorema 9 (isso é um resultado usual, basta utilizar a desigualdade de Hölder).

\begin{aligned}∥f_{n}(x) − f(x)∥ & = ∥f_{n}(a) + ∫_{a}^{x} f′_{n} − f(a) − ∫_{a}^{x} f′∥ \\ & ≤ ∥f_{n}(a) − f(a)∥ + ∫_{a}^{b} ∥f′_{n} − f′∥, ∀x ∈ [a, b]. \end{aligned}

Por exemplo, temos que em H_{p}^{k}(ξ) podemos usar a norma

∥f∥ = ∑_{i=0}^{k−1} sup_{t∈[a,b]} ∥f^{(i)}(t)∥ + (∫_{a}^{b} ∥f^{(k)}∥^{p})^{1/p} ,

para f ∈ H_{p}^{k}(ξ), p < +∞ (para p = +∞ simplesmente troque a integral pela menor cota superior essencial de ∥f^{(k)}(t)∥ em [a, b]).

Decorre do que foi mostrado acima que convergência em H_{p}^{k}(ξ) implica convergência em qualquer ponto t ∈ [a, b] das k − 1 primeiras derivadas. Em particular, podemos no morfismo que define a topologia de H_{p}^{k}(ξ) trocar qualquer uma das coordenadas f^{(i)}(a) por f^{(i)}(t), para qualquer ponto t ∈ [a, b] fixado. Isso torna a topologia de H_{p}^{k}(ξ) mais canônica.

Observamos que todo fibrado vetorial sobre um intervalo é trivial. De fato, tomando uma conexão no fibrado podemos construir um referencial global de seções usando o transporte paralelo (na realidade um argumento similar mostra que todo fibrado vetorial sobre um espaço contrátil é trivial. Basta tomar uma conexão e usar as curvas associadas à homotopia para fazer o transporte paralelo). Dado então um fibrado vetorial ξ sobre M = [a, b] temos um isomorfismo de fibrados vetoriais entre ξ e [a, b] × ℝ^{n}. O teorema abaixo garante que é possível usar esse isomorfismo para definir o espaço H_{p}^{k}(ξ) no caso geral.

Teorema 7. Seja T: [a, b]×ℝ^{n} → [a, b]×ℝ^{n} um morfismo C^{k} (k ≥ 1) de fibrados vetoriais. Então o operador (T ∘) de composição à esquerda com T leva H_{p}^{k}([a, b] × ℝ^{n}) em si mesmo e é linear contínuo.

Demonstração. Temos que T é uma função C^{k} tal que para cada t ∈ [a, b] a função T_{t}: ℝ^{n} → ℝ^{n} dada por T_{t}(x) = T (t, x) é linear. Também a função t ∈ [a, b] ↦ T_{t} ∈ L(ℝ^{n}) é C^{k}.

Seja f: [a, b] → ℝ^{n} um elemento de H_{p}^{k}([a, b]×ℝ^{n}). Devemos mostrar que g: [a, b] → ℝ^{n} dada por g(t) = T (t, f(t)) também está em H_{p}^{k}([a, b] × ℝ^{n}). É claro que g é C^{k−1}.

Defina para cada j = 1, …, k, A_{j}: [a, b] × ℝ^{n(j+1)} → [a, b] × ℝ^{n(j+1)} fazendo

A_{j}(t, x_{0}, …, x_{j}) = ∑_{r=0}^{j} \binom{j}{r}\frac{∂^{j−r}T}{∂t^{j−r}} (t, x_{r}),

onde cada x_{r} ∈ ℝ^{n}.

Então A_{j} é um morfismo de fibrados vetoriais de classe C^{k−j} (observe que as derivadas parciais de T em t também são lineares na segunda variável) e é fácil provar por indução em j que g^{(j)}(t) = A_{j}(t, f(t), f′(t), …, f^{(j)}(t)). Em particular A_{k−1} é um morfismo C^{1} de fibrados vetoriais e daí decorre que A_{k−1} é localmente Lipschitziana. Usando os comentários feitos na introdução do conceito de função absolutamente contínua segue que g^{(k−1)} é absolutamente contínua. Daí g^{(k)} está bem definida (quase sempre) e é (mensurável e) Lebesgue integrável.

Para mostrar que g ∈ H_{p}^{k}([a, b]×ℝ^{n}) resta mostrar que g^{(k)} tem a p-ésima potência da norma integrável no caso p < +∞ (ou então é essencialmente limitada no caso p = +∞). Mas g^{(k)}(t) = A_{k}(t, f(t), …, f^{(k)}(t)) e A_{k} é um morfismo C^{0} de fibrados vetoriais donde existe uma cota superior c > 0 para a norma de A_{k}(t, ·) como operador linear. Temos então ∥g^{(k)}(t)∥ ≤ c ∑_{r=0}^{k} ∥f^{(r)}(t)∥, donde segue o resultado.

Das considerações acima decorre também que ∥g∥ ≤ C∥f∥ para alguma constante C > 0 que depende somente de T (utilize em H_{p}^{k}([a, b] × ℝ^{n}) a norma em que se toma a norma do sup das k − 1 primeiras derivadas). Isso mostra que T é linear contínua (a linearidade é óbvia).

Corolário. Nas condições do enunciado se T é um isomorfismo de fibrados vetoriais então (T ∘) é um isomorfismo topológico.

Demonstração. Basta ver que (T^{−1}∘) é um inverso linear contínuo para (T ∘).

Podemos então definir o espaço H_{p}^{k}(ξ) e introduzir nele a estrutura de espaço de Banach se ξ é um fibrado vetorial qualquer sobre M = [a, b]. Basta escolher um isomorfismo T: ξ → [a, b] × ℝ^{n} de fibrados vetoriais e declarar que s ∈ H_{p}^{k}(ξ) se e somente se T ∘ s ∈ H_{p}^{k}([a, b]×ℝ^{n}). Declaramos (T ∘) um isomorfismo topológico de H_{p}^{k}(ξ) em H_{p}^{k}([a, b]×ℝ^{n}), o que define a topologia de H_{p}^{k}(ξ). O corolário do teorema 7 garante que o conjunto H_{p}^{k}(ξ) e sua topologia não dependem da escolha de T.

Agora que definimos todos os espaços de seções de fibrados vetoriais que serão considerados, definimos topologias e provamos serem eles espaços de Banach, começaremos a estudar os operadores fundamentais existentes entre esses espaços. Os teoremas seguintes mostram as propriedades desses operadores. Com muita freqüência será usado o símbolo 𝔐(ξ) onde 𝔐 denota C^{k} ou H_{p}^{k} (ou L^{p} = H_{p}^{0}).

Observamos alguns fatos que ainda não foram mencionados sobre morfismos de fibrados vetoriais e sobre jatos. Eles serão usados nos teoremas a seguir. Um morfismo C^{k} entre fibrados vetoriais ξ, η sobre M é o mesmo que uma seção C^{k} do fibrado vetorial L(ξ; η) sobre M cuja fibra no ponto m é L(ξ_{m}; η_{m}).

Se V, W são espaços vetoriais (reais, de dimensão finita) com produto interno então L(V; W) tem um produto interno canônico já que L(V; W) ≅ V^{∗}⊗W. Denotamos a norma de um operador linear T nesse produto interno por ∥T ∥_{2}. Essa norma corresponde à raiz quadrada da soma dos quadrados das entradas de uma matriz de T em bases ortonormais. Temos também a norma mais usual ∥T ∥, do supremo na bola unitária. Essa última não é Hilbertiana em geral e portanto dadas estruturas ortogonais em fibrados ξ, η não temos uma estrutura ortogonal em L(ξ; η) cuja norma em cada fibra seja a norma do supremo na bola unitária. Mas temos as desigualdades ∥T ∥_{2} ≤ \sqrt{n} ∥T ∥, ∥T ∥ ≤ nm∥T ∥_{2}, onde n = dim V, m = dim W.

Se T: ξ → η é um morfismo C^{k} então T é injetor se e somente se existe um morfismo S: η → ξ de classe C^{k} com S ∘ T = Id. Analogamente, T é sobrejetor se e somente se existe um morfismo S de classe C^{k} com T ∘ S = Id. Para mostrar isso, no caso injetor precisamos escolher um complementar de T (ξ_{m}) em η_{m} para cada m ∈ M, “de modo C^{k}”. Tome então uma estrutura ortogonal em η e use como subespaço complementar de T (ξ_{m}) o complemento ortogonal. O caso sobrejetor é análogo, bastando escolher uma estrutura ortogonal em ξ e tomar complementares do núcleo de T_{|ξ_{m}} em cada ξ_{m}.

Novamente, se T: ξ → η é um morfismo C^{k} então T induz um morfismo de modo natural J_{j}(T) entre J_{j}(ξ) e J_{j}(η) para 0 ≤ j ≤ k. A definição é J_{j}(T)([s]_{j,m}) = J_{j}(T ∘ s). O leitor pode verificar facilmente usando trivializações locais e indução em j que J_{j}(T) está bem definido e é um morfismo de classe C^{k−j} de fibrados vetoriais (um caso particular disto foi analizado com mais detalhes na demonstração do teorema 7. Na notação daquela demonstração temos A_{j} = J_{j}(T)).

Para j = 0 observe que J_{0}(ξ) ≅ ξ, J_{0}(η) ≅ η e mediante essas identificações temos J_{0}(T) = T. É fácil ver que se S: η → σ é outro morfismo C^{k} então J_{j}(S∘T) = J_{j}(S)∘J_{j}(T). Também se T é a identidade de ξ então J_{j}(T) é a identidade de J_{j}(ξ) (temos que J_{j} é um functor). Disso e da observação anterior decorre que se T é injetor então J_{j}(T) é injetor e se T é sobrejetor então J_{j}(T) é sobrejetor. Em particular, por exemplo, se η é um subfibrado vetorial de ξ então J_{j}(η) pode ser canonicamente identificado com um subfibrado vetorial de J_{j}(ξ). Basta ver que se inc: η → ξ é a inclusão então J_{j}(inc) também é injetor.

Relacionando pull-backs e jatos temos o seguinte. Se f: N → M é C^{∞} então existe um morfismo canônico entre os fibrados f^{∗}J_{k}(ξ) e J_{k}(f^{∗}ξ). A definição é [s]_{k,f(n)} ↦ [f^{∗}s]_{k,n}, onde n ∈ N e s ∈ C^{∞}(ξ) (observe que a fibra de f^{∗}J_{k}(ξ) sobre n é a fibra de J_{k}(ξ) sobre f(n)). É fácil verificar em coordenadas locais que temos um morfismo C^{∞} de fibrados vetoriais. Para k = 0 esse morfismo é sempre um isomorfismo. Para k ≥ 1 isso não é verdade, por exemplo, se f é constante o morfismo é nulo. Mas, por exemplo, se f é um difeomorfismo então temos realmente que esse morfismo canônico é um isomorfismo. Um outro caso em que temos um isomorfismo é quando f é a inclusão de um domínio com bordo D ⊂ M. Daí J_{k}(ξ)_{|D} ≅ J_{k}(ξ_{|D}).

Teorema 8. Seja T: ξ → η um morfismo de fibrados vetoriais, onde ξ, η são fibrados vetoriais sobre M. Então (T ∘) (composição à esquerda com T) é um operador linear contínuo de 𝔐(ξ) em 𝔐(η), onde supomos T de classe C^{k} caso 𝔐 = C^{k} ou 𝔐 = H_{p}^{k}.

Demonstração. O caso 𝔐 = H_{p}^{k}, k ≥ 1, decorre diretamente do teorema 7. A linearidade de (T ∘) (caso esteja bem definido) é óbvia em qualquer caso. Escolha estruturas ortogonais em ξ, η e uma densidade em M.

Para 𝔐 = C^{0} supomos apenas T contínuo. É óbvio que para s ∈ C^{0}(ξ) temos T ∘ s ∈ C^{0}(η). Como nas observações que precedem esse teorema, identificamos T com uma seção contínua de L(ξ; η) e escrevemos ∥ ∥ e ∥ ∥_{2} para as duas possíveis normas no espaço de transformarções lineares entre dois espaços vetoriais. Para m ∈ M temos ∥T ∘ s(m)∥ ≤ ∥T (m)∥∥s(m)∥ ≤ (dim ξ_{0})(dim η_{0})∥T (m)∥_{2}∥s(m)∥. Como ∥T (m)∥_{2} é função contínua de m temos uma cota superior c > 0 para essa norma em M. Daí ∥(T ∘)∥ ≤ (dim ξ_{0})(dim η_{0})c, o que mostra que (T ∘) é contínuo.

Para 𝔐 = L^{p} também supomos apenas T contínuo. Ao contrário do caso de composição à direita (teorema 3) a situação aqui é bem simples. É fácil ver que se s_{1}, s_{2} são iguais quase sempre então T ∘ s_{1}, T ∘ s_{2} são iguais quase sempre e que para s mensurável T ∘ s é mensurável. Para mostrar que (T ∘) preserva L^{p}(ξ) e é contínuo basta usar as majorações obtidas no caso 𝔐 = C^{0} para ∥T ∘ s(m)∥. Temos ∥(T ∘)∥ ≤ (dim ξ_{0})(dim η_{0})c.

Para 𝔐 = C^{k} supomos T de classe C^{k} e usamos jatos. Em primeiro lugar é claro que para s ∈ C^{k}(ξ) temos T ∘ s ∈ C^{k}(η). Recorde que C^{k}(ξ) é topologicamente isomorfo a um subespaço fechado de C^{0}(J_{k}(ξ)) através de J_{k}. Transferimos então o operador (T ∘) para um operador de C^{0}(J_{k}(ξ)) em C^{0}(J_{k}(η)). É fácil ver que o operador obtido é (J_{k}(T)∘), i.e., (J_{k}(T)∘)∘J_{k} = J_{k} ∘(T ∘). Como J_{k}(T) é um morfismo C^{0} a parte já feita da demonstração nos diz que (J_{k}(T)∘) é linear contínuo como operador de C^{0}(J_{k}(ξ)) em C^{0}(J_{k}(η)).

Corolário 1. Nas condições do teorema, se T é injetor então (T ∘) é injetor forte e se T é sobrejetor então (T ∘) é sobrejetor forte. Se T é um isomorfismo de fibrados vetoriais então (T ∘) é um isomorfismo topológico.

Demonstração. De fato, se T é injetor existe um morfismo S (com a mesma classe de diferenciabilidade de T) com S ∘ T = Id. Daí (S∘) é um inverso à esquerda linear contínuo de (T ∘) e do teorema 2 da seção 0.1 decorre o resultado. Os casos T sobrejetor e T bijetor são análogos.

Corolário 2. Para 𝔐 = C^{k} ou 𝔐 = H_{p}^{k}, se f: M → ℝ é uma função C^{k} então o operador s ↦ fs de 𝔐(ξ) em 𝔐(ξ) é linear contínuo.

Demonstração. De fato, basta notar que T: ξ → ξ definido por T (v) = f(π(v))v é um morfismo C^{k}.

Corolário 3. Se ξ_{1}, …, ξ_{r} são fibrados vetoriais sobre M e se ξ = ⨁_{i=1}^{r} ξ_{i} é sua soma de Whitney então 𝔐(ξ) é topologicamente isomorfo a ⨁_{i=1}^{r} 𝔐(ξ_{i}).

Demonstração. Para cada i = 1, …, r considere o morfismo de projeção π_{i}: ξ → ξ_{i} e o morfismo de inclusão inc_{i}: ξ_{i} → ξ. Temos um isomorfismo topológico ((π_{1}∘), …, (π_{r}∘)) cujo inverso é (inc_{1}∘) + ⋯ + (inc_{r}∘).

Teorema 9. As seguintes inclusões são lineares contínuas: de C^{k+1}(ξ) em H_{∞}^{k+1}(ξ), de H_{1}^{k+1}(ξ) em C^{k}(ξ), de C^{k+1}(ξ) em C^{k}(ξ) e de H_{p}^{k}(ξ) em H_{q}^{k}(ξ) para +∞ ≥ p ≥ q ≥ 1. Assim, as seguintes inclusões são contínuas:

\begin{aligned}… C^{2}(ξ) & → H_{∞}^{2}(ξ) → ⋯ → H_{p}^{2}(ξ) → ⋯ → H_{1}^{2}(ξ) → C^{1}(ξ) → H_{∞}^{1}(ξ) → ⋯ \\ & → H_{p}^{1}(ξ) → ⋯ → H_{1}^{1}(ξ) → C^{0}(ξ) → L^{∞}(ξ) → ⋯ → L^{p}(ξ) → ⋯ → L^{1}(ξ). \end{aligned}

Demonstração. Observe que enunciamos separadamente que a inclusão de C^{k+1}(ξ) em C^{k}(ξ) é contínua (embora essa inclusão seja a composta de outras inclusões do enunciado) pois as inclusões que envolvem H_{p}^{k}(ξ), k ≥ 1 só serão mostradas para M = [a, b].

Mostremos primeiramente que a inclusão de C^{k+1}(ξ) em C^{k}(ξ) é contínua. Como sempre, temos que C^{k+1}(ξ) é topologicamente isomorfo via J_{k+1} a um subespaço de C^{0}(J_{k+1}(ξ)) e C^{k}(ξ) é topologicamente isomorfo via J_{k} a um subespaço de C^{0}(J_{k}(ξ)). Procuramos transferir o operador inclusão de C^{k+1}(ξ) em C^{k}(ξ) a um operador definido em C^{0}(J_{k+1}(ξ)) a valores em C^{0}(J_{k}(ξ)). É fácil ver que o operador obtido é (J′_{k+1,k}∘), o qual, pelo teorema 8, é linear contínuo.

Mostramos agora que a inclusão de L^{p}(ξ) em L^{q}(ξ) é contínua para +∞ ≥ p ≥ q ≥ 1 (precisamos mostrar também que L^{p}(ξ) está contido em L^{q}(ξ)). Fixe uma estrutura ortogonal em ξ e uma densidade em M. Denotamos por ∥ ∥_{p} a norma em L^{p}(ξ) e por ∥ ∥_{q} a norma em L^{q}(ξ). Para p = q o teorema é óbvio. Para +∞ = p > q ≥ 1 temos ∥s∥_{q} ≤ μ(M)^{1/q}∥s∥_{∞}, como é fácil ver. Resta então apenas o caso +∞ > p > q ≥ 1.

Recordamos a desigualdade de Hölder (vide [Fe]). Se f, g: Ω → ℝ são funções mensuráveis num espaço de medida Ω e p, q > 1 são tais que \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 então

∫_{Ω} |fg|dμ ≤ (∫_{Ω} |f|^{p}dμ)^{1/p} (∫_{Ω} |g|^{q}dμ)^{1/q} .

No nosso caso aplicamos a desigualdade de Hölder para o espaço de medida M, para as funções escalares ∥s(m)∥^{q} e 1, e para os números p/q e p/(p − q). Obtemos:

∫_{M} ∥s(m)∥^{q}dμ ≤ (∫_{M} ∥s(m)∥^{p}dμ)^{q/p} (∫_{M} 1 dμ)^{(p−q)/p} ⇒ ∥s∥_{q} ≤ ∥s∥_{p} μ(M)^{(p−q)/pq},

donde segue o resultado.

Denotando por ∥ ∥_{sup} a norma em C^{0}(ξ) é fácil ver que ∥s∥_{∞} ≤ ∥s∥_{sup}, donde a inclusão de C^{0}(ξ) em L^{∞}(ξ) é contínua.

Resta apenas mostrar as inclusões que envolvem H_{p}^{k}(ξ), k ≥ 1, donde supomos a partir de agora que M = [a, b]. Obviamente podemos supor também que ξ = [a, b] × ℝ^{n}. Temos que H_{p}^{k}(ξ) é topologicamente isomorfo a um subespaço de (⨁_{k} C^{0}(ξ)) ⊕ L^{p}(ξ). É fácil ver também que C^{k}(ξ) é topologicamente isomorfo a um subespaço de ⨁_{k+1} C^{0}(ξ) (vide observações após o teorema 5, sobre a estrutura de C^{k}(ξ) quando ξ é trivial e M é um domínio com bordo no espaço Euclideano).

Utilizando esses isomorfismos topológicos a inclusão de C^{k}(ξ) em H_{p}^{k}(ξ) corresponde à inclusão de (⨁_{k} C^{0}(ξ)) ⊕ L^{p}(ξ) em ⨁_{k+1} C^{0}(ξ) a qual é contínua pois pelo que já foi mostrado a inclusão de C^{0}(ξ) em L^{p}(ξ) é contínua. Resta mostrar que a inclusão de H_{p}^{k}(ξ) em C^{k−1}(ξ) é contínua (k ≥ 1). Usando novamente os mesmos isomorfismos vemos que essa inclusão corresponde à projeção sobre os k primeiros fatores de (⨁_{k} C^{0}(ξ)) ⊕ L^{p}(ξ) em ⨁_{k} C^{0}(ξ), a qual é linear contínua.

Corolário. A topologia de C^{k}(ξ) (k ≥ 0) e de H_{p}^{k}(ξ) (k ≥ 1) é mais fina que a topologia compacto-aberta.

Demonstração. Vide teorema 2.

Observe que as inclusões que aparecem no teorema 9 são todas injetoras hiper-fracas, mas em geral não são injetoras fracas. Esse é o exemplo típico de transformações lineares injetoras hiper-fracas que não são injetoras fracas: temos um subespaço não-fechado que se torna de Banach com uma topologia mais fina do que a topologia induzida.

O teorema seguinte generaliza o teorema 3 para C^{k}(ξ) e H_{p}^{k}(ξ).

Teorema 10. Seja f: N → M de classe C^{∞}. Então o operador f^{∗}: C^{k}(ξ) → C^{k}(f^{∗}ξ) é linear contínuo. Se N = [c, d], M = [a, b] e f: [c, d] → [a, b] é crescente (ou decrescente) e satisfaz μ(f^{−1}(A)) ≤ cμ(A) para alguma constante fixada c > 0 e todo Boreleano A ⊂ [a, b] (onde μ é a medida de Lebesgue na reta) então f^{∗}: H_{p}^{k}(ξ) → H_{p}^{k}(f^{∗}ξ) também é linear contínuo.

Demonstração. Para k = 0 ambos os casos são cobertos pelo teorema 3. Para o caso C^{k}, devemos utilizar o isomorfismo topológico J_{k} de C^{k}(ξ) sobre sua imagem em C^{0}(J_{k}(ξ)) para transferir o operador f^{∗} para um operador (num subespaço de) C^{0}(J_{k}(ξ)) a valores em C^{0}(J_{k}(f^{∗}ξ)).

Seja T: f^{∗}J_{k}(ξ) → J_{k}(f^{∗}ξ) o morfismo C^{∞} canônico de fibrados vetoriais definido logo antes do teorema 8. Temos, pelo teorema 8, que o operador linear (T ∘) de C^{0}(f^{∗}J_{k}(ξ)) em C^{0}(J_{k}(f^{∗}ξ)) é contínuo. Também, pelo teorema 3, o operador f^{∗} de C^{0}(J_{k}(ξ)) em C^{0}(f^{∗}J_{k}(ξ)) é linear contínuo. Daí (T ∘) ∘ f^{∗} é um operador linear contínuo e é fácil ver que ele corresponde via J_{k} ao operador f^{∗}: C^{k}(ξ) → C^{k}(f^{∗}ξ). Isto completa o caso C^{k}.

Para o caso H_{p}^{k}(ξ) podemos supor ξ = [a, b] × ℝ^{n}, f^{∗}ξ = [c, d] × ℝ^{n}, J_{k}(ξ) = [a, b] × ℝ^{n(k+1)}, f^{∗}J_{k}(ξ) = J_{k}(f^{∗}ξ) = [c, d] × ℝ^{n(k+1)}. Temos o morfismo canônico T: f^{∗}J_{k}(ξ) → J_{k}(f^{∗}ξ) (note bem, T não é a identidade em geral). Temos para s ∈ C^{k}(ξ) que J_{k}(s) = (s, s′, …, s^{(k)}) e mesmo para s ∈ H_{p}^{k}(ξ) definimos J_{k}(s) = (s, s′, …, s^{(k)}) (definida quase sempre).

Temos f^{∗}s = s ∘ f, e

J_{k}(f^{∗}s) = (s ∘ f, (s ∘ f)′, …, (s ∘ f)^{(k)}) = T ∘ f^{∗}J_{k}(s) = T ∘ (s ∘ f, s′ ∘ f, …, s^{(k)} ∘ f).

De fato, isto significa simplesmente que a k-ésima derivada de s ∘ f no ponto t ∈ [c, d] se escreve como uma combinação linear das derivadas de s no ponto f(t) usando produtos das derivadas de f no ponto t como coeficientes.

Note que existe uma dificuldade envolvida aqui que não aparece quando supomos s de classe C^{k}. Temos uma certa fórmula para (s ∘ f)^{(k−1)}(t) como combinação linear das derivadas de s no ponto f(t) de ordem até k − 1. Precisamos saber que (s^{(k−1)} ∘ f)′ = (s^{(k)} ∘ f)f′ quase sempre para poder deduzir a fórmula para (s ∘ f)^{(k)}(t).

Isto segue do seguinte fato não trivial. Se g: [a, b] → ℝ^{n} é absolutamente contínua e f: [c, d] → [a, b] é absolutamente contínua e crescente (ou decrescente) então g ∘ f é absolutamente contínua e (g ∘ f)′ = (g′ ∘ f)f′ quase sempre (vide [Fe], exercícios do último capítulo).

Temos que H_{p}^{k}(ξ) é topologicamente isomorfo a um subespaço de (⨁_{k} C^{0}(ξ))⊕L^{p}(ξ). Utilizando esse isomorfismo vemos que basta mostrar que o operador

\begin{matrix}(T ∘) ∘ f^{∗}: (⨁_{k} C^{0}(ξ)) ⊕ L^{p}(ξ) & → (⨁_{k} C^{0}(f^{∗}ξ)) ⊕ L^{p}(f^{∗}ξ) \\ (s_{0}, s_{1}, …, s_{k}) & ↦ T ∘ (s_{0} ∘ f, s_{1} ∘ f, …, s_{k} ∘ f), \end{matrix}

é linear contínuo (e bem definido), onde f^{∗} é dado por f^{∗}(s_{0}, …, s_{k}) = (s_{0} ∘ f, …, s_{k} ∘ f).

Podemos mostrar separadamente que f^{∗} e (T ∘) são (bem definidos e) lineares contínuos. Quanto a f^{∗}, mostre a continuidade coordenada por coordenada usando o teorema 3. Quanto a (T ∘), escreva T = (T_{0}, …, T_{k−1}, T_{k}), onde cada T_{j}: [c, d]×ℝ^{n(k+1)} → ℝ^{n} é linear na segunda variável. Escrevamos T_{j}(t, s_{0}, …, s_{k}). Temos que T_{j} é a última coordenada do morfismo canônico de f^{∗}J_{j}(ξ) em J_{j}(f^{∗}ξ), donde T_{j} depende só de s_{0}, …, s_{j}. Para mostrar que (T ∘) é linear contínuo basta mostrar que ele é contínuo coordenada por coordenada, donde basta mostrar que cada (T_{j}∘) é contínuo. Para j = 0, …, k − 1 isso decorre do teorema 8 e para j = k isso decorre do teorema 8 e do fato que a inclusão de C^{0}([a, b]×ℝ^{n}) em L^{p}([a, b] × ℝ^{n}) é contínua (teorema 9).

Corolário 1. Se D ⊂ M é um domínio com bordo compacto então a função restrição s ↦ s_{|D} é um operador linear contínuo de 𝔐(ξ) em 𝔐(ξ_{|D}), onde 𝔐 = C^{k} ou 𝔐 = H_{p}^{k}.

Demonstração. Basta aplicar o teorema para f igual a inclusão de D em M (f satisfaz as condições do enunciado. Tome c = 1).

Corolário 2. Se f: N → M é um difeomorfismo C^{∞} então f^{∗}: 𝔐(ξ) → 𝔐(f^{∗}ξ) é um isomorfismo topológico, onde 𝔐 = C^{k} ou 𝔐 = H_{p}^{k}.

Demonstração. Um difeomorfismo satisfaz as condições do enunciado. De fato, nesse caso μ(f^{−1}(A)) = ∫_{A} |(f^{−1})′|dμ, e basta tomar c > 0 como sendo um majorante de |(f^{−1})′|. É claro que nesse caso f^{∗} é bijetor.

Assim como no teorema 3 não precisaremos tanta generalidade para f no teorema 10, sendo que os corolários são o mais importante. Assim, o leitor que não estiver familiarizado com os detalhes mais sofisticados de funções absolutamente contínuas e teoria da medida usados na demonstração do teorema 10 pode ignorá-los.

Observamos que no corolário do teorema 10 se 𝔐 = H_{p}^{k} com k ≥ 1 então D é um intervalo fechado (não perdemos muito supondo D um intervalo fechado, já que a única outra possibilidade de domínio com bordo compacto dentro de um intervalo fechado M é a união finita disjunta de intervalos fechados). O mesmo comentário vale sempre que considerarmos o espaço H_{p}^{k}, k ≥ 1 e um domínio com bordo compacto em M.

Provamos agora o análogo do teorema 4. Note que as hipóteses são um pouco diferentes, supomos também que os interiores dos domínios com bordo formem uma cobertura de M.

Teorema 11. Sejam D_{1}, …, D_{r} ⊂ M domínios com bordo compactos cujos interiores cobrem M. Se 𝔐 denota C^{k} ou H_{p}^{k} então o operador P de 𝔐(ξ) em ⨁_{i=1}^{r} 𝔐(ξ_{|D_{i}}) definido por P(s) = (s_{|D_{1}}, …, s_{|D_{r}}) é injetor forte. Além do mais, a imagem de P é o conjunto das r-uplas (s_{1}, …, s_{r}) tais que s_{i} coincide com s_{j} em D_{i} ∩ D_{j}, para todos i, j = 1, …, r.

Demonstração. Decorre do corolário do teorema 10 que P é linear contínuo. Para mostrar que P é injetor forte usamos o teorema 2 da seção 0.1 e construímos um inverso à esquerda de P linear contínuo.

Escolha uma partição da unidade ∑_{i=1}^{r} λ_{i} = 1 de M de classe C^{∞} subordinada à cobertura aberta formada pelos interiores dos D_{i}, i.e., cada λ_{i} tem suporte contido no interior de D_{i}. Daí um inverso à esquerda de P é o operador Q definido por:

Q: (s_{1}, …, s_{r}) ∈ ⨁_{i=1}^{r} 𝔐(ξ_{|D_{i}}) ↦ ∑_{i=1}^{r} λ_{i}s_{i} ∈ 𝔐(ξ).

Para ver que esse operador é linear contínuo use o corolário 2 do teorema 8. Na realidade, temos uma dificuldade, já que λ_{i}s_{i} é um elemento de 𝔐(ξ_{|D_{i}}) e não de 𝔐(ξ). É fácil mostrar que o operador definido em 𝔐_{0}(ξ_{|D_{i}}) (subespaço de 𝔐(ξ_{|D_{i}}) formado pelas seções que tem suporte contido no interior de D_{i}) a valores em 𝔐(ξ) que estende a seção colocando valor zero em M − D_{i} é linear contínuo (no caso 𝔐 = C^{k} use que J_{k}(ξ_{|D_{i}}) ≅ J_{k}(ξ)_{|D_{i}} - vide observação que precede o teorema 8).

É fácil ver que a imagem de P é o conjunto das r-uplas (s_{1}, …, s_{r}) tais que s_{i}_{|D_{i}∩D_{j}} = s_{j}_{|D_{i}∩D_{j}} para todos i, j = 1, …, r pois dada uma r-upla como essa então:

P(Q(s_{1}, …, s_{r})) = (s_{1}, …, s_{r}).

Por exemplo, se M = [a, b] podemos tomar uma partição de [a, b], a = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{r} = b e considerar os domínios com bordo [t_{i}, t_{i+2}]; i = 0, …, r − 2. É bem mais fácil mostrar o teorema 11 supondo que os interiores dos domínios com bordo cobrem M, mas em casos particulares não é difícil eliminar essa hipótese. Por exemplo, se M = [a, b] então podemos simplesmente considerar os domínios com bordo [t_{i}, t_{i+1}]; i = 0, …, r − 1. De fato, em qualquer caso P é linear contínuo e resta mostrar que a imagem de P é fechada com complementar fechado (mas note que a caracterização dada para a imagem de P no enunciado do teorema é diferente).

Observe que se M = [a, b] então o fibrado ξ é trivial, donde podemos supor ξ = [a, b] × ℝ^{n}.

Para 𝔐 = C^{k} a imagem de P é o conjunto das r-uplas (s_{1}, …, s_{r}) tais que para i = 1, …, r − 1 a função s_{i} tem as mesmas derivadas de ordem menor ou igual a k que s_{i+1} no ponto t_{i}. Note que o operador a valores em ℝ^{(k+1)(r−1)} cujas coordenadas são s_{i+1}^{(j)}(t_{i}) − s_{i}^{(j)}(t_{i}); i = 1, …, r − 1; j = 0, …, k, é linear contínuo (verifique!) sobrejetor com contra-domínio de dimensão finita, donde ele é sobrejetor forte. Note também que o núcleo desse operador é a imagem de P. Para 𝔐 = H_{p}^{k} basta alterar o operador trocando o contra-domínio por ℝ^{k(r−1)} e fazendo j = 0, …, k − 1 (pois nesse caso a imagem de P é o conjunto das r-uplas (s_{1}, …, s_{r}) tais que s_{i} tem as mesmas derivadas de ordem menor ou igual a k − 1 que s_{i+1} no ponto t_{i}; i = 1, …, r − 1).

Utilizando o teorema 11 podemos facilmente mostrar que C^{∞}(ξ) é denso em qualquer um dos espaços 𝔐(ξ), exceto em H_{∞}^{k}(ξ). Temos o seguinte teorema.

Teorema 12. Se 𝔐 denota C^{k} ou H_{p}^{k}, p < +∞, então o subespaço C^{∞}(ξ) de 𝔐(ξ) das seções de classe C^{∞} de ξ é denso.

Demonstração. Em primeiro lugar segue do teorema 9 que C^{∞}(ξ) é de fato um subespaço de qualquer 𝔐(ξ). Suponhamos o teorema demonstrado no caso que M é um domínio com bordo em ℝ^{n} e ξ = M × ξ_{0}.

Seja M uma variedade compacta com bordo qualquer e seja ξ um fibrado vetorial qualquer sobre M. Usando o lema 1 vemos que é possível encontrar domínios com bordo compactos D_{1}, …, D_{r} em M cujos interiores cobrem M e de modo que cada D_{i} está contido no domínio de uma carta de M e de uma trivialização de ξ.

Seja P o operador definido no enunciado do teorema 11. Seja Q o inverso à esquerda de P exibido na demonstração daquele teorema. É claro que Q leva r-uplas de seções de classe C^{∞} em seções de classe C^{∞}. Sabemos que em geral uma função contínua sobrejetora entre espaços topológicos leva subconjuntos densos em subconjuntos densos. Daí Q leva ⨁_{i=1}^{r} C^{∞}(ξ_{|D_{i}}) (que é denso em ⨁_{i=1}^{r} 𝔐(ξ_{|D_{i}}), pois cada D_{i} é difeomorfo a um domínio com bordo em ℝ^{n} e cada ξ_{|D_{i}} é trivial) dentro de C^{∞}(ξ), que é portanto denso em 𝔐(ξ).

Resta mostrar então que se D ⊂ ℝ^{n} é um domínio com bordo compacto e ξ = D × ξ_{0} então C^{∞}(ξ) é denso em 𝔐(ξ). Podemos supor ξ_{0} = ℝ^{m} e daí

𝔐(D × ℝ^{m}) ≅ ⨁_{m} 𝔐(D × ℝ),

sendo que essa identificação faz corresponder m-uplas de seções de classe C^{∞} a seções de classe C^{∞}. Daí basta considerar o caso ξ = D × ℝ.

Se 𝔐 = H_{p}^{k} (p < +∞) então como sempre supomos M = [a, b] e daí

H_{p}^{k}([a, b] × ℝ) ≅ ℝ^{k} ⊕ L^{p}([a, b] × ℝ).

Esse isomorfismo topológico faz corresponder C^{∞}([a, b] × ℝ) a ℝ^{k} ⊕ C^{∞}([a, b] × ℝ). Isso mostra que basta demonstrar o teorema no caso 𝔐 = L^{p} e no caso 𝔐 = C^{k}.

Seja então D ⊂ ℝ^{n} um domínio com bordo compacto. Mostremos primeiro que C^{∞}(D × ℝ) é denso em L^{p}(D × ℝ), p < +∞. É verdade que para p < +∞ (vide [Fe]) as funções simples f = ∑_{i=1}^{k} a_{i}χ_{A_{i}}, onde cada A_{i} ⊂ D é mensurável de medida finita, formam um subconjunto denso em L^{p}(D × ℝ).

Basta mostrar então que dado A ⊂ D mensurável então a função característica χ_{A} de A pode ser arbitrariamente bem aproximada por funções de classe C^{∞} em L^{p}(D × ℝ). Seja dado ϵ > 0. Como a medida de Lebesgue μ em ℝ^{n} é regular vemos que existe K ⊂ A compacto e U ⊂ ℝ^{n} aberto com K ⊂ D ⊂ U, μ(U − A) < ϵ e μ(A − K) < ϵ. Podemos supor que U ⊂ D é um aberto relativo a D substituindo U por U ∩ D.

É fácil ver que existe uma função f: D → [0, 1] de classe C^{∞} com f_{|K} igual a 1 e supp f ⊂ U (use uma partição de unidade em D subordinada à cobertura aberta U, D − K). Daí ∥χ_{A} − f∥ ≤ μ(U − K)^{1/p} < (2ϵ)^{1/p}.

Passemos então ao caso 𝔐 = C^{k}. Como D é compacto existe sempre um paralelepípedo C = [a_{1}, b_{1}] × ⋯ × [a_{n}, b_{n}] com D ⊂ C. Uma função f: D → ℝ de classe C^{k} sempre admite uma extensão f̃ de classe C^{k} a todo o espaço Euclideano ℝ^{n} (de fato, por definição f admite uma extensão C^{k} a um aberto U ⊂ ℝ^{n} contendo D. Daí usando uma partição da unidade subordinada à cobertura aberta ℝ^{n} − D, U em ℝ^{n} obtemos uma função α: ℝ^{n} → ℝ de classe C^{∞} com α_{|D} = 1 e supp α ⊂ U. Basta considerar então fα). O teorema de Weierstrass diz então que f̃_{|C} pode ser uniformemente aproximada por polinômios em n variáveis nas k primeiras derivadas (vide [Lm3]).

Observamos que em geral C^{∞}(ξ) não é denso em H_{∞}^{k}(ξ). Vejamos um exemplo. Seja D ⊂ ℝ^{n} um domínio com bordo compacto e seja ξ = D ×ℝ. É fácil ver que a convergência em L^{∞}(ξ) é a convergência uniforme em quase todo ponto, i.e., f_{n} → f em L^{∞}(ξ) quando existe A ⊂ D de medida de Lebesgue μ(A) nula tal que f_{n} converge uniformemente para f em D − A. Em particular o fecho de C^{0}(ξ) em L^{∞}(ξ) é formado somente por funções f tais que existe A ⊂ D com μ(A) = 0 e f_{|D−A} contínua.

Nem todo elemento de L^{∞}(ξ) é desse tipo. Se X ⊂ D é um conjunto mensurável com μ(X) > 0 e tal que para todo aberto não vazio U ⊂ D em D temos μ(U − X) > 0 então é fácil ver que a função característica de X em D, χ_{X} ∈ L^{∞}(ξ) não se torna contínua quando retiramos um subconjunto de medida nula de D.

Um conjunto X como esse realmente existe. De fato, se (U_{n})_{n∈ℕ} é uma base de abertos enumerável para D (com U_{n} ≠ ϕ para todo n) então para cada n ∈ ℕ escolhemos um subconjunto mensurável Y_{n} ⊂ U_{n} com μ(Y_{n}) > 0 e μ(Y_{n}) < 1/2^{n}. Daí X = D − ⋃_{n∈ℕ} Y_{n} tem a propriedade desejada. Segue que em geral nem mesmo C^{0}(ξ) é denso em L^{∞}(ξ).

Observamos que os espaços H_{∞}^{k}(ξ) são realmente anômolos, já que não são nem separáveis, nem tem C^{∞}(ξ) como subespaço denso. Outro fenômeno interessante é que o dual de L^{p}(ξ) é L^{q}(ξ) (se \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1) para 1 ≤ p < +∞. O dual de L^{∞}(ξ) em geral é maior que L^{1}(ξ) (este é o conteúdo do teorema de representação de Riesz, vide [Fe]).

Introduzimos alguma terminologia para simplificar a notação. Dado 𝔐 = C^{k} ou 𝔐 = H_{p}^{k} diremos que k é a classe de 𝔐. Dados 𝔐_{1}, 𝔐_{2} escreveremos 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} quando 𝔐_{2} precede 𝔐_{1} na seqüência de inclusões explicada no enunciado do teorema 9, i.e., a classe de 𝔐_{2} é maior que a classe de 𝔐_{1} ou então ambos têm classe k mas 𝔐_{2} = C^{k} ou 𝔐_{2} = H_{p}^{k} e 𝔐_{1} = H_{q}^{k} com p ≥ q. Decorre então do teorema 9 que para 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} a inclusão de 𝔐_{2}(ξ) em 𝔐_{1}(ξ) é linear contínua. Escrevemos 𝔐_{2} < 𝔐_{1} quando 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} e 𝔐_{2} ≠ 𝔐_{1}.

Temos mais alguns exemplos de operadores lineares contínuos (algumas das demonstrações não serão feitas por serem realmente muito simples).

O operador λ_{m} de evaluação no ponto m ∈ M dado por λ_{m}: s ∈ C^{0}(ξ) ↦ s(m) ∈ ξ_{m} é linear contínuo. O mesmo vale trocando C^{0}(ξ) por 𝔐(ξ) com 𝔐 ≤ C^{0} (use o teorema 9). Observe que para 𝔐 = L^{p} este operador sequer está bem definido.

Se ξ = M × ξ_{0} é um fibrado trivial então podemos definir um operador κ: ξ_{0} → 𝔐(ξ) que a cada v ∈ ξ_{0} associa a função κ(v): M → ξ constante igual a v. Temos que κ é (linear contínuo e) injetor forte. Para a continuidade de κ observe que pelo teorema 9 basta considerar o caso 𝔐 = C^{k}. Se M é (difeomorfa a) um domínio com bordo em ℝ^{n} então temos uma norma explícita bem simples em C^{k}(ξ) que mostra facilmente que κ é contínuo.

No caso geral, usamos o teorema 11. Pelo lema 1 podemos encontrar domínios com bordo compactos D_{1}, …, D_{r} em M cujos interiores cobrem M e de modo que cada D_{i} está contido no domínio de uma carta de M. Pelo teorema 11 o operador P é um isomorfismo topológico sobre sua imagem e daí basta mostrar que P ∘ κ é contínuo. Daí recaímos no caso que a base é um domínio com bordo em ℝ^{n}.

Para ver que κ é injetor forte observe que fixada uma densidade em M (e uma medida regular μ associada) então o operador:

s ∈ 𝔐(ξ) ↦ \frac{1}{μ(M)} ∫_{M} s(m)dμ ∈ ξ_{0}

é um inverso à esquerda linear contínuo de κ (a continuidade será mostrada logo abaixo). Use então o teorema 2 da seção 0.1.

O operador J_{k} de C^{k}(ξ) em C^{0}(J_{k}(ξ)) é linear contínuo. O operador J_{k} de C^{l}(ξ) em C^{l−k}(J_{k}(ξ)) também é linear contínuo para l ≥ k (utilize J_{l} e J_{l−k} para transferir J_{k} para um operador de C^{0}(J_{l}(ξ)) em C^{0}(J_{l−k}(J_{k}(ξ))). O operador obtido é (T ∘) onde T: J_{l}(ξ) → J_{l−k}(J_{k}(ξ)) é o morfismo C^{∞} dado por T ([s]_{l,m}) = [J_{k}(s)]_{l−k,m}. Use o teorema 8).

Se ξ = M × ξ_{0} então temos o operador diferenciação definido em C^{k}(M × ξ_{0}) (k ≥ 1) a valores em C^{k−1}(L(T M, ξ_{0})) dado por s ↦ ds onde s é pensada como função de M em ξ_{0}. Esse operador é linear contínuo pois ξ_{0} ⊕ L(T M, ξ_{0}) identifica-se com J_{1}(M × ξ_{0}) e o operador diferenciação corresponde à segunda coordenada do operador J_{1}.

Se M é um domínio com bordo em ℝ^{n} e ξ = M × ξ_{0} então temos o operador “diferenciação j-ésima” definido em C^{k}(M × ξ_{0}) (k ≥ j) a valores em C^{k−j}(M × L_{j}(ℝ^{n}, ξ_{0})) dado por s ↦ d^{j}s, onde s é pensado como função de M em ξ_{0}. Este operador é linear contínuo pois ele é dado pela composição de uma projeção com o operador linear contínuo J_{j}.

Como caso particular bem simples vemos que o operador “derivação j-ésima” de C^{k}([a, b] × ξ_{0}) (k ≥ j) em C^{k−j}([a, b] × ξ_{0}) é linear contínuo (e em particular também o operador derivação). O mesmo vale se trocarmos C^{k} por H_{p}^{k} e C^{k−j} por H_{p}^{k−j}.

Temos que para qualquer 𝔐 o operador integração definido em 𝔐(M × ξ_{0}) a valores em ξ_{0} dado por s ↦ ∫_{A} s é linear contínuo (para uma densidade em M fixada), onde A ⊂ M é um subconjunto mensurável fixado. De fato, pelo teorema 9 basta considerar o caso 𝔐 = L^{1} e daí temos a desigualdade ∥ ∫_{A} s(m)dμ∥ ≤ ∫_{A} ∥s(m)∥dμ ≤ ∥s∥.

Para finalizar esta seqüência de exemplos, consideramos o operador “primitivação” definido em 𝔐([a, b] × ξ_{0}) dado por f ↦ F, com F (t) = ∫_{t_{0}}^{t} f(s)ds onde t_{0} ∈ [a, b] está fixado. Se 𝔐 = H_{p}^{k} (incluindo H_{p}^{0} = L^{p}) temos que esse operador toma valores em H_{p}^{k+1}([a, b] × ξ_{0}) e é linear contínuo. Para 𝔐 = C^{k} esse operador toma valores em C^{k+1}([a, b] × ξ_{0}) e é linear contínuo. A verificação é imediata tomando normas explícitas nos espaços considerados.

Motivamos agora a introdução dos espaços mistos. Seja ξ um fibrado vetorial sobre M = [a, b]. Temos o espaço H_{p}^{k}(ξ). Ele é formado por seções de classe C^{k−1}, donde podemos considerar o operador J_{k−1}: H_{p}^{k}(ξ) → C^{0}(J_{k−1}(ξ)). É fácil ver (fazendo ξ = [a, b] × ℝ^{n}) que J_{k−1} é linear contínuo. Mas, na realidade, se s ∈ H_{p}^{k}(ξ) então J_{k−1}(s) é diferenciável em quase todo ponto.

Em geral, se ξ é um fibrado vetorial sobre uma variedade com bordo qualquer M então se s é uma seção de ξ, para que possamos definir J_{k}(s)(m) basta que s seja k vezes diferenciável no ponto m ∈ M (i.e., usando coordenadas locais em M e trivializações locais em ξ temos uma função k − 1 vezes diferenciável numa vizinhança aberta de m com diferencial de k − 1-ésima ordem diferenciável no ponto m. Supomos aqui m no interior de M).

Voltando ao caso M = [a, b], vemos que para s ∈ H_{p}^{k}(ξ) temos uma seção J_{k}(s) de J_{k}(ξ) definida em quase todo ponto. Assim como J_{k} é usado para induzir a topologia em C^{k}(ξ) a partir de C^{0}(J_{k}(ξ)) seria razoável que pudéssemos colocar uma estrutura de espaço de Banach num certo espaço de seções conveniente de J_{k}(ξ) de modo que J_{k} definido em H_{p}^{k}(ξ) seja um isomorfismo topológico sobre sua imagem.

Quando trivializamos ξ fazendo ξ ≅ [a, b]×ℝ^{n} vemos que J_{k}(ξ) se torna [a, b]×ℝ^{n(k+1)}. Daí uma seção de J_{k}(ξ) é o mesmo que k+1 seções de ξ e as seções de J_{k}(ξ) que procuramos são aquelas cujas k primeiras coordenadas são contínuas e a última está em L^{p}(ξ). A topologia é introduzida de modo a deixar esse espaço de seções de J_{k}(ξ) topologicamente isomorfo a (⨁_{k} C^{0}(ξ)) ⊕ L^{p}(ξ).

O problema quando queremos definir esse espaço de seções intrinsecamente (i.e., sem escolher trivializações) é que J_{k}(ξ) não se decompõe canonicamente como um produto de fatores do tipo ⨁_{k} C^{0}(ξ) e L^{p}(ξ). Porém, o subfibrado L^{p}(ξ) de J_{k}(ξ) que aparece quando trivializamos ξ pode realmente ser definido intrinsecamente. Ele é o núcleo de J′_{k,k−1}. O que não é canônico é um complementar desse núcleo.

Essas considerações nos levam à seguinte definição. Sejam ξ um fibrado vetorial sobre uma variedade compacta com bordo qualquer M e η um subfibrado vetorial de ξ. Dados 𝔐_{1} e 𝔐_{2} com 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} então definiremos o espaço misto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) de seções de ξ da seguinte forma: escolha um complementar σ de η em ξ. Daí ξ = η ⊕ σ e uma seção s de ξ se escreve de modo único na forma s_{1} + s_{2}, onde s_{1} é uma seção de η e s_{2} é uma seção de σ. O espaço (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) é o conjunto das seções s_{1} + s_{2} onde s_{1} ∈ 𝔐_{1}(η) e s_{2} ∈ 𝔐_{2}(σ).

Mostraremos logo a seguir que esse espaço não depende da escolha do complementar σ. Primeiramente observamos que os espaços L^{p} são espaços de classes de equivalência de seções do fibrado. Daí, se C^{0} < 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1} o espaço misto será também um espaço de classes de equivalência de seções de ξ, onde s = s_{1} + s_{2} é equivalente a s′ = s′_{1} + s′_{2} se e somente se s_{1} = s′_{1} quase sempre e s_{2} = s′_{2} quase sempre. Se 𝔐_{2} ≤ C^{0} < 𝔐_{1} então s é equivalente a s′ quando s_{2} = s′_{2} (sempre) e s_{1} = s′_{1} quase sempre.

De outro modo, se C^{0} < 𝔐_{2} < 𝔐_{1} então s é equivalente a s′ se e somente se s = s′ quase sempre, e se 𝔐_{2} ≤ C^{0} < 𝔐_{1} então s é equivalente a s′ se e somente se s = s′ quase sempre e para todo m ∈ M temos s(m) − s′(m) ∈ η_{m}, i.e., s(m) e s′(m) estão no mesmo subespaço afim paralelo a η_{m}.

Definimos a estrutura de espaço de Banach no espaço misto. Temos uma bijeção canônica de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) em 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{2}(σ) dada por:

s = s_{1} + s_{2} ∈ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) ↦ (s_{1}, s_{2}) ∈ 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{2}(σ).

Declarando essa bijeção uma isometria obtemos a estrutura de espaço de Banach no espaço misto. Quando 𝔐_{1} = 𝔐_{2} = 𝔐 vemos que (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) = 𝔐(ξ), pelo corolário 3 do teorema 8.

Resta mostrar que o espaço misto e sua topologia não dependem da escolha de σ (observamos que todo subfibrado tem um complementar. Basta escolher uma estrutura ortogonal e tomar o complemento ortogonal do subfibrado). Sejam σ, σ′ dois complementares de η em ξ. Cada seção s de ξ se escreve como s = s_{1} + s_{2} e s = s′_{1} + s′_{2}, onde s_{1}, s′_{1} são seções de η, s_{2} é seção de σ e s′_{2} é seção de σ′.

Temos morfismos T_{1}: ξ → η, T_{2}: σ → σ′ de classe C^{∞}, tais que (s′_{1}, s′_{2}) = (T_{1} ∘ (s_{1} + s_{2}), T_{2} ∘ s_{2}) (para cada m ∈ M, T_{1} é a projeção de ξ_{m} em η_{m}, em relação à decomposição ξ_{m} = η_{m}⊕σ′_{m} e T_{2} é a restrição a σ_{m} da projeção sobre σ′_{m} de ξ_{m} em relação à decomposição ξ_{m} = η_{m} ⊕ σ′_{m}).

Basta mostrar que o operador

(s_{1}, s_{2}) ∈ 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{2}(σ) ↦ (T_{1} ∘ (s_{1} + s_{2}), T_{2} ∘ s_{2}) ∈ 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{2}(σ′)

é linear contínuo. Basta então mostrar que cada coordenada é contínua. A primeira é obtida fazendo a inclusão de 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{2}(σ) em 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{1}(σ) (que é linear contínua) depois a identificação de 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{1}(σ) com 𝔐_{1}(ξ) (um isomorfismo topológico. Vide corolário 3 do teorema 8) e finalmente aplicando o operador (T_{1}∘), o qual é linear contínuo pelo teorema 8. A segunda coordenada é obtida fazendo (T_{2}∘) na segunda variável, sendo esta uma operação linear contínua, pelo teorema 8.

Voltemos então à questão que motivou a introdução do espaço misto. Temos que J′_{k,k−1} é um morfismo sobrejetor de J_{k}(ξ) sobre J_{k−1}(ξ), donde seu núcleo é um subfibrado de J_{k}(ξ). Consideramos então o espaço misto (L^{p}, C^{0})(Ker J′_{k,k−1}, J_{k}(ξ)) (note que C^{0} ≤ L^{p}). É fácil verificar (fazendo ξ ≅ [a, b]×ℝ^{n}) que o operador J_{k} definido em H_{p}^{k}(ξ) a valores nesse espaço misto é um isomorfismo topológico sobre sua imagem (i.e., J_{k} é injetor fraco).

O exemplo mais trivial de espaço misto é aquele que envolve uma soma de Whitney de fibrados vetoriais. Por exemplo, se ξ, η são fibrados vetoriais sobre M então podemos considerar um espaço misto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ ⊕ η), o qual é topologicamente isomorfo a 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{2}(ξ) (escolha ξ como complementar de η em ξ ⊕ η).

Sejam ξ, ξ′ fibrados vetoriais sobre M. Dizemos que T: U ⊂ ξ → ξ′ definido num aberto U em ξ é um morfismo de fibrados gerais (ou simplesmente, um morfismo geral) de classe C^{k} quando T é de classe C^{k} e preserva as fibras, induzindo a identidade na base, i.e., π′ ∘ T = π_{|U} (onde π, π′ são as projeções de ξ e ξ′ respectivamente). Assim, num morfismo de fibrados gerais não supomos linearidade nas fibras.

É claro que a composição de morfismos gerais de classe C^{k} é um morfismo geral de classe C^{k} e que a identidade de um fibrado vetorial é um morfismo geral de classe C^{∞}.

Se T é um morfismo de fibrados vetoriais então o teorema 8 nos diz que (T ∘) é linear contínuo de 𝔐(ξ) em 𝔐(ξ′) para qualquer 𝔐. Se T é um morfismo geral C^{∞} então mostraremos logo adiante que (T ∘) é obviamente em geral não linear, mas é de classe C^{∞} como função entre os espaços de Banach 𝔐(ξ) e 𝔐(ξ′), mas somente no caso 𝔐 ≤ C^{0}. Quando temos um espaço misto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) com apenas 𝔐_{2} ≤ C^{0}, por exemplo (L^{p}, C^{0})(η, ξ), então em que casos devemos esperar que (T ∘) seja C^{∞}? A resposta é essencialmente quando T é um morfismo geral linear em η. Passemos agora às considerações precisas.

Um morfismo geral T de ξ em ξ′ será sempre considerado com domínio num aberto U ⊂ ξ. O operador (T ∘) fica definido então no subconjunto de 𝔐(ξ) formado pelas seções cuja imagem está contida em U. Escrevemos então

𝔐(ξ; U) = { s ∈ 𝔐(ξ) : s(M) ⊂ U }.

Pelo corolário do teorema 9 temos que 𝔐(ξ; U) é aberto em 𝔐(ξ) para 𝔐 ≤ C^{0}. Para 𝔐 = C^{0} o teorema 2 nos diz que os conjuntos 𝔐(ξ; U) com U ⊂ ξ aberto formam uma base de C^{0}(ξ) (naquele teorema denotávamos ℭ^{0}(ξ; U) por V(M; U)).

Observe que para 𝔐 = L^{p} sequer é possível definir 𝔐(ξ; U). De fato, se s = s′ quase sempre e se s(M) ⊂ U então é possível que s′(M) ⊄ U. O que faz sentido é considerar o conjunto das (classes de) seções s tais que s(m) ∈ U para quase todo m ∈ M. Esse conjunto, mesmo bem definido, em geral não é aberto em L^{p}(ξ), como é fácil ver. Se T: ξ → ξ′ é um morfismo geral C^{∞} então (T ∘) sequer leva L^{p}(ξ) em L^{p}(ξ′), em geral. Temos exemplos muito simples, como M = [0, 1], ξ = ξ′ = [0, 1] × ℝ e T (t, x) = (t, x^{2}). Daí s(t) = 1/\sqrt{t} está em L^{1}(ξ) mas T ∘ s(t) = 1/t não.

O próximo passo é definir um “morfismo misto”, parte geral, parte linear nas fibras. Assim como o domínio natural para um morfismo de fibrados vetoriais é todo o fibrado ξ e o domínio natural para um morfismo geral é um aberto U ⊂ ξ, os “morfismos mistos” precisam de um domínio adequado.

Se η é um subfibrado vetorial de ξ então definimos uma η-faixa aberta em ξ como sendo um conjunto da forma π^{−1}(U), onde π: ξ → ξ/η é a projeção sobre o fibrado quociente e U ⊂ ξ/η é um aberto. Observe que uma η-faixa aberta é um subconjunto aberto de ξ, já que π é contínua.

Seja σ um complemantar de η em ξ. Então se π_{1}, π_{2} são as projeções de ξ em η e em σ respectivamente temos que uma η-faixa aberta em ξ é exatamente um conjunto da forma π_{2}^{−1}(V), com V ⊂ σ aberto (observe que π_{|σ} é um isomorfismo de fibrados vetoriais sobre ξ/η. Daí uma η-faixa aberta π^{−1}(U) com U ⊂ ξ/η aberto é igual a π_{2}^{−1}(V) onde V ⊂ σ é V = (π_{|σ})^{−1}(U)). Observamos que se π^{−1}(U) é uma η-faixa aberta em ξ então para cada m ∈ M o aberto π^{−1}(U) ∩ ξ_{m} em ξ_{m} é a união de alguns subespaços afins de ξ_{m} paralelos a η_{m}. Reciprocamente, se um aberto W em ξ for (em cada fibra) a união de subespaços afins paralelos a η então W é uma η-faixa aberta (W = π^{−1}(π(W)). Note que π é aberta pois é uma submersão).

Note que se U ⊂ ξ é uma η-faixa aberta então o conjunto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ; U) das seções s ∈ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) tais que s(M) ⊂ U é (bem definido e) aberto, desde que 𝔐_{2} ≤ C^{0}. De fato, escolhendo um complementar σ de η em ξ então U = π_{2}^{−1}(V) para algum aberto V ⊂ σ. Daí utilizando o isomorfismo do espaço misto com 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{2}(σ) vemos que s = s_{1} +s_{2} tem imagem em U se e somente se s_{2} tem imagem em V. Daí (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ; U) corresponde a 𝔐_{1}(η) × 𝔐_{2}(σ; V), que é aberto em 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{2}(σ).

Sejam ξ, ξ′ fibrados vetoriais sobre M e η, η′ subfibrados vetoriais de ξ e ξ′ respectivamente. Seja U ⊂ ξ uma η-faixa aberta. Dizemos que T: U → ξ′ é um morfismo geral de classe C^{k} adaptado a η (ou adaptado ao par (η, η′), havendo possibilidade de confusão) quando T for de classe C^{k} e para todo m ∈ M e todo v ∈ U ∩ ξ_{m} temos T (v + η_{m}) ⊂ T (v) + η′_{m} e a restrição de T a v + η_{m} é afim.

Se ξ, ξ′, ξ′′ são fibrados vetoriais sobre M e se η, η′ e η′′ são subfibrados vetoriais de ξ, ξ′ e ξ′′ respectivamente então dado um morfismo T de classe C^{k} de ξ em ξ′ adaptado a η e dado um morfismo S de classe C^{k} de ξ′ em ξ′′ adaptado a η′ então S ∘ T é um morfismo de classe C^{k} de ξ em ξ′′ adaptado a η (supomos que a imagem de T está contida no domínio de S). É claro que a identidade de ξ é um morfismo C^{∞} adaptado a qualquer subfibrado vetorial.

Escolha complementares σ, σ′ de η e η′ respectivamente. Temos que a η-faixa aberta U ⊂ ξ é da forma π_{2}^{−1}(V) para um certo aberto V ⊂ σ. É fácil ver que T é um morfismo geral de classe C^{k} adaptado a η se e somente se T se escreve na forma

T (x_{1}, x_{2}) = (A(x_{2})x_{1} + B(x_{2}), T_{2}(x_{2})),

onde A, B, T_{2} são morfismos gerais de classe C^{k} definidos em V ⊂ σ, sendo A a valores em L(η, η′), B a valores em η′ e T_{2} a valores em σ′.

O objetivo agora é mostrar que se T: ξ → ξ′ é um morfismo geral de classe C^{∞} adaptado a η então (T ∘) é C^{∞} como função de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η′, ξ′), desde que 𝔐_{2} ≤ C^{0}. Teremos antes algumas observações e alguns lemas preparatórios.

Observamos que muito do que foi feito para os espaços 𝔐(ξ) generaliza-se facilmente para os espaços mistos. A técnica básica de demonstração em relação a um espaço misto (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) é escolher um complementar σ de η em ξ e utilizar o isomorfismo do espaço misto com 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{2}(σ), recaindo no caso não misto.

Por exemplo, considere o teorema 8. Se T: ξ → ξ′ é um morfismo de fibrados vetoriais com T (η) ⊂ η′ então (T ∘) é linear contínuo de (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η′, ξ′). Como hipótese, a classe de diferenciabilidade de T deve ser a classe de 𝔐_{2}. De fato, sejam σ, σ′ complementares de η e η′ respectivamente. Sejam π′_{1}, π′_{2} as projeções da soma de Whitney ξ′ = η′ ⊕ σ′. Então (T ∘) corresponde ao operador

(s_{1}, s_{2}) ∈ 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{2}(σ) ↦ (T ∘ s_{1} + π′_{1} ∘ T ∘ s_{2}, π′_{2} ∘ T ∘ s_{2}) ∈ 𝔐_{1}(η′) ⊕ 𝔐_{2}(σ′),

o qual vemos facilmente pelos teoremas 8 e 9 ser linear contínuo.

Nos interessa particularmente o corolário 3 do teorema 8. Temos

(𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η ⊕ η′, ξ ⊕ ξ′) ≅ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) ⊕ (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η′, ξ′).

Deixamos os detalhes a cargo do leitor.

Observe que espaços mistos englobam os espaços não mistos. Por exemplo, dado (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ) recaímos no caso não misto se 𝔐_{1} = 𝔐_{2}, se η = 0 ou se η = ξ. Assim, a partir de agora só enunciaremos teoremas para espaços mistos, sendo que o caso não misto segue como corolário.

Lema 2. Sejam ξ, ξ′ fibrados vetoriais sobre M. Se T: U ⊂ ξ → ξ′ é um morfismo geral contínuo definido num aberto U ⊂ ξ então (T ∘): C^{0}(ξ; U) → C^{0}(ξ′) é (bem definido e) contínuo.

Demonstração. É claro que (T ∘) é bem definido, pois leva seções contínuas em seções contínuas. A continuidade de (T ∘) decorre de considerações gerais sobre topologia.

Pelo teorema 2, C^{0}(ξ) e C^{0}(ξ′) tem a topologia compacto-aberta, pensados como subconjuntos de ℭ(M; ξ) e de ℭ(M; ξ′) respectivamente. É fácil ver que C^{0}(ξ; U) tem a topologia compacto-aberta pensado como subconjunto de ℭ(M; U).

Observe agora que se X, Y, Z são espaços topológicos e se f: Y → Z é contínua então (f∘): ℭ(X; Y) → ℭ(X; Z) é contínua se ℭ(X; Y) e ℭ(X; Z) tem a topologia compactoaberta. De fato, basta mostrar que a imagem inversa por (f∘) de um aberto sub-básico V(K; W) (onde K ⊂ X é compacto e W ⊂ Z é aberto) em (X; Z) é aberto em ℭ(X; Y). Mas (f∘)^{−1}(V(K; W)) = V(K; f^{−1}(W)).

Lema 3. Sejam ξ, η e σ fibrados vetoriais sobre M. Se A: U ⊂ σ → L(ξ; η) é um morfismo geral contínuo definido num aberto U ⊂ σ então a função

(s_{1}, s_{2}) ∈ 𝔐_{1}(ξ) × 𝔐_{2}(σ; U) ⊂ 𝔐_{1}(ξ) ⊕ 𝔐_{2}(σ) ↦ (A ∘ s_{2}) ∘ s_{1} ∈ 𝔐_{1}(η)

é (bem definida e) contínua, onde 𝔐_{2} ≤ C^{0} < 𝔐_{1}. Aqui A ∘ s_{2} é uma seção contínua de L(ξ; η) e identificamos tais seções com morfismos de fibrados vetoriais contínuos de ξ em η. Daí faz sentido escrever (A ∘ s_{2}) ∘ s_{1}.

Demonstração. Observe que podemos supor 𝔐_{2} = C^{0} pois a inclusão de 𝔐_{2} em C^{0} é contínua e 𝔐_{2} só aparece no domínio da função em questão. Observe que nossa função está bem definida pois A ∘ s_{2} corresponde a um morfismo de fibrados vetoriais contínuo de ξ em η e C^{0} < 𝔐_{1}, donde pelo teorema 8 se s_{1} ∈ 𝔐_{1}(ξ) então (A ∘ s_{2}) ∘ s_{1} ∈ 𝔐_{1}(η). Escrevemos então 𝔐_{2} = C^{0} e 𝔐_{1} = L^{p}.

Seja (s_{1}, s_{2}) ∈ L^{p}(ξ) × C^{0}(σ; U). Mostremos que a função em questão é contínua no ponto (s_{1}, s_{2}). Considere então (s_{1} + h_{1}, s_{2} + h_{2}) com h_{1} ∈ L^{p}(ξ) e h_{2} ∈ C^{0}(σ) suficientemente pequenos (de modo que (s_{1} + h_{1}, s_{2} + h_{2}) também esteja em L^{p}(ξ) × C^{0}(σ; U)).

Escolha estruturas ortogonais em ξ, η e uma densidade em M. Temos uma estrutura ortogonal canonicamente induzida em L(ξ; η) ≅ ξ^{∗} ⊗ η. Denotamos a norma em C^{0} por ∥ ∥_{sup} e a norma em L^{p} por ∥ ∥_{p}. Se T: ξ → η é um morfismo de fibrados vetoriais contínuo então ∥T ∘ s∥_{p} ≤ (dim ξ_{0})(dim η_{0})∥T ∥_{sup}∥s∥_{p}, para qualquer s ∈ L^{p}(ξ) onde ∥T ∥_{sup} é a norma de T pensado como elemento de C^{0}(L(ξ; η)) (vide demonstração do teorema 8).

Temos então:

∥(A ∘ (s_{2} + h_{2})) ∘ (s_{1} + h_{1}) − (A ∘ s_{2}) ∘ s_{1}∥_{p}
= ∥(A ∘ (s_{2} + h_{2}) − A ∘ s_{2}) ∘ (s_{1} + h_{1}) + (A ∘ s_{2}) ∘ h_{1}∥_{p}
≤ (dim ξ_{0})(dim η_{0})(∥A ∘ (s_{2} + h_{2}) − A ∘ s_{2}∥_{sup}∥s_{1} + h_{1}∥_{p}
+ ∥A ∘ s_{2}∥_{sup}∥h_{1}∥_{p}),

e do lema 2 temos ∥A ∘ (s_{2} + h_{2}) − A ∘ s_{2}∥_{sup} → 0 quando ∥h_{2}∥_{sup} → 0.

Se ξ, ξ′ são fibrados vetoriais sobre M e se T: U ⊂ ξ → ξ′ é um morfismo geral de classe C^{k} definido num aberto U ⊂ ξ então definimos um morfismo geral J_{j}(T) (0 ≤ j ≤ k) de classe C^{k−j} do fibrado vetorial J_{j}(ξ) em J_{j}(ξ′) fazendo J_{j}(T)([s]_{j,m}) = J_{j}(T ∘ s)(m). O domínio de J_{j}(T) é o aberto J′_{j}^{−1}(U) em J_{j}(ξ), i.e., o conjunto das classes [s]_{j,m} com s(m) ∈ U. Daí T ∘ s está bem definido numa vizinhança aberta de m e isso é tudo que precisamos para definir J_{j}(T ∘ s)(m). Se j = 0 então J_{0}(ξ) ≅ ξ, J_{0}(ξ′) ≅ ξ′ e mediante essas identificações temos J_{0}(T) = T.

Se T: U ⊂ ξ → ξ′ e S: V ⊂ ξ′ → ξ′′ são morfismos gerais de classe C^{k} com T (U) ⊂ V então J_{k}(S ∘ T) = J_{k}(S) ∘ J_{k}(T). Se T: ξ → ξ′ é um morfismo de fibrados vetoriais de classe C^{k} então J_{k}(T) que acabamos de definir coincide com J_{k}(T) definido anteriormente (temos que J_{k} é um functor da categoria cujos objetos são os abertos de fibrados vetoriais sobre M e cujos morfismos são os morfismos gerais, em si mesma).

Se k ≥ 1 e se T: U ⊂ ξ → ξ′ é um morfismo geral de classe C^{k} então J_{k}(T) é adaptado ao par (Ker J′_{k,k−1}(ξ), Ker J′_{k,k−1}(ξ′)) onde J′_{k,k−1}(ξ) e J′_{k,k−1}(ξ′) são os morfismos J′_{k,k−1} correspondentes aos fibrados ξ e ξ′ respectivamente. Note também que o domínio J′_{k}^{−1}(U) de J_{k}(T) é uma Ker J′_{k,k−1}(ξ)-faixa aberta. É fácil verificar isso por indução em k usando trivializações locais de ξ, ξ′ e coordenadas locais em M. O que ocorre é que a k-ésima diferencial de T ∘ s em coordenadas locais depende de modo afim da k-ésima diferencial de s em coordenadas locais.

Lema 4. Sejam ξ, ξ′ fibrados vetoriais sobre M. Sejam η, η′ subfibrados vetoriais de ξ e ξ′ respectivamente. Se T: U ⊂ ξ → ξ′ é um morfismo geral contínuo adaptado a η definido numa η-faixa aberta U ⊂ ξ então (T ∘) definido em (L^{p}, C^{0})(η, ξ; U) toma valores em (L^{p}, C^{0})(η′, ξ′) e é contínuo.

Demonstração. Escolha complementares σ, σ′ de η e η′ respectivamente. Temos que a ηfaixa aberta U ⊂ ξ é da forma π_{2}^{−1}(V) para um certo aberto V ⊂ σ. Como já foi observado T se escreve na forma

T (x_{1}, x_{2}) = (A(x_{2})x_{1} + B(x_{2}), T_{2}(x_{2})),

onde A, B, T_{2} são morfismos gerais contínuos definidos em V ⊂ σ, sendo A a valores em L(η, η′), B a valores em η′ e T_{2} a valores em σ′.

Utilizando os isomorfismos usuais dos espaços mistos com somas diretas de espaços não mistos vemos que tudo que devemos mostrar é que o operador

(s_{1}, s_{2}) ∈ L^{p}(η) × C^{0}(σ; V) ↦ ((A ∘ s_{2}) ∘ s_{1} + B ∘ s_{2}, T_{2} ∘ s_{2}) ∈ L^{p}(η′) ⊕ C^{0}(σ′)

é (bem definido e) contínuo. Isso decorre diretamente dos lemas 2 e 3.

Corolário 1. Sejam ξ, ξ′ fibrados vetoriais sobre M. Se T: U ⊂ ξ → ξ′ é um morfismo geral de classe C^{k} definido num aberto U ⊂ ξ então (T ∘): 𝔐(ξ; U) → 𝔐(ξ′) é (bem definido e) contínuo, onde 𝔐 ≤ C^{0} e k é a classe de 𝔐.

Demonstração. Suponha primeiro que 𝔐 = C^{k}. Como sempre transferimos o operador (T ∘) para um operador em C^{0}(J_{k}(ξ)) usando J_{k}. O operador obtido é (J_{k}(T)∘), o qual sabemos ser contínuo pelo lema 2.

Suponha agora 𝔐 = H_{p}^{k}, k ≥ 1. Agora que temos espaços mistos, H_{p}^{k} pode ser tratado de modo análogo a C^{k}. Temos que J_{k}: H_{p}^{k}(ξ) → (L^{p}, C^{0})(Ker J′_{k,k−1}, J_{k}(ξ)) é um isomorfismo topológico sobre sua imagem, valendo o resultado análogo para ξ′. Daí transferimos (T ∘) para um operador nesse espaço misto e obtemos (J_{k}(T)∘), o qual é contínuo pelo lema 4.

Corolário 2. Nas condições do lema 4 se T é de classe C^{k} então (T ∘) definido em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ; U) toma valores em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η′, ξ′) e é contínuo, onde k é a classe de 𝔐_{2} e 𝔐_{2} ≤ C^{0}.

Demonstração. Proceda exatamente como na demonstração do lema 4, obtendo A, B e T_{2}. Nesse caso eles são de classe C^{k}. O corolário 1 resolve tudo menos a continuidade de

(s_{1}, s_{2}) ∈ 𝔐_{1}(η) × 𝔐_{2}(σ; V) ↦ (A ∘ s_{2}) ∘ s_{1} ∈ 𝔐_{1}(η′).

Se C^{0} < 𝔐_{1} isso decorre do lema 3. Se 𝔐_{1} ≤ C^{0} usando o fato que a inclusão de 𝔐_{2}(σ; V) em 𝔐_{1}(σ; V) é contínua vemos que basta mostrar que

(s_{1}, s_{2}) ∈ 𝔐_{1}(η) × 𝔐_{1}(σ; V) ≅ 𝔐_{1}(ξ; U) ↦ (A ∘ s_{2}) ∘ s_{1} ∈ 𝔐_{1}(η′)

é contínuo. Se considerarmos o morfismo geral de classe C^{k} definido por (x_{1}, x_{2}) ∈ U ⊂ ξ ↦ A(x_{2})x_{1} ∈ η′ o resultado decorre do corolário 1.

Recordamos da seção 0.0 que se E, F, G são espaços de Banach então L_{2}(E, F; G) é naturalmente isométrico a L(E; L(F; G)). Em particular, dada B: E × F → G bilinear temos que B é contínua se e somente se para cada x ∈ E a aplicação linear B(x, ·) é contínua e x ∈ E ↦ B(x, ·) ∈ L(F; G) é linear contínua.

Corolário 3. Sejam ξ, ξ′ fibrados vetoriais sobre M. Então a aplicação

O: 𝔐(L(ξ; ξ′)) → L(𝔐(ξ); 𝔐(ξ′)),

dada por O(T) = (T ∘) é (bem definida e) linear contínua se 𝔐 ≤ C^{0}. Aqui identificamos seções de L(ξ; ξ′) com morfismos de fibrados vetoriais de ξ em ξ′.

Demonstração. Temos um morfismo geral de classe C^{∞} de L(ξ; ξ′) ⊕ ξ em ξ′ dado por (L, v) ↦ L(v). Pelo corolário 1 temos que a função

(T, s) ∈ 𝔐(L(ξ; ξ′) ⊕ ξ) ≅ 𝔐(L(ξ; ξ′)) ⊕ 𝔐(ξ) ↦ T ∘ s ∈ 𝔐(ξ′)

é (bem definida e) contínua. Como ela é obviamente bilinear o resultado segue da observação que precede o corolário.

Sejam ξ, ξ′ fibrados vetoriais sobre M. Se T: U ⊂ ξ → ξ′ é um morfismo geral de classe C^{k} (k ≥ 1) definido num aberto U ⊂ ξ então para cada x ∈ U definimos a derivada fibrativa 𝔽T (x) de T no ponto x ∈ U ∩ ξ_{m} da seguinte forma: restringimos T a uma função de U ∩ ξ_{m} em ξ′_{m} e diferenciamos essa restrição no ponto x, obtendo 𝔽T (x) ∈ L(ξ_{m}; ξ′_{m}). Temos que 𝔽T: U ⊂ ξ → L(ξ; ξ′) é um morfismo geral de classe C^{k−1}.

Lema 5. Sejam ξ, ξ′ fibrados vetoriais sobre M. Se T: U ⊂ ξ → ξ′ é um morfismo geral de classe C^{k+j} definido num aberto U ⊂ ξ então (T ∘): 𝔐(ξ; U) → 𝔐(ξ′) é de classe C^{j}, onde 𝔐 ≤ C^{0} e k é a classe de 𝔐 (para j = +∞ escrevemos k + j = +∞). Além do mais, se j ≥ 1 temos d(T ∘) = O ∘ (𝔽T ∘).

Demonstração. Para j = 0 recaímos no corolário 1 do lema 4. Para j ≥ 1 mostremos que d(T ∘) = O ∘ (𝔽T ∘). Usamos o lema 1 da seção 0.0. Na notação daquele lema colocamos f = (T ∘) e g = O ∘ (𝔽T ∘).

Para cada m ∈ M defina λ_{m}: 𝔐(ξ′) → ξ′_{m} fazendo λ_{m}(s) = s(m), i.e., λ_{m} é a função evaluação no ponto m. Já observamos que λ_{m} é linear contínua e é claro que Λ = { λ_{m} : m ∈ M } separa pontos em 𝔐(ξ′).

Pelo corolário 1 do lema 4 sabemos que (𝔽T ∘) é contínua e pelo corolário 3 do lema 4 sabemos que O é linear contínua. Daí g é contínua e podemos aplicar o lema 1 da seção 0.0.

Fixe s ∈ 𝔐(ξ; U), h ∈ 𝔐(ξ) e m ∈ M. Tudo que devemos mostrar é que a curva em ξ_{m} definida num intervalo aberto contendo a origem dada por

t ↦ λ_{m} ∘ f(s + th) = T (s(m) + th(m))

é diferenciável em t = 0 com derivada λ_{m} ∘ g(s)h = 𝔽T (s(m))h(m). Mas isso é imediato.

Mostramos então que para j ≥ 1 a função (T ∘) é C^{1} com d(T ∘) = O ∘ (𝔽T ∘). O resultado segue agora por indução em j. De fato, admitindo o teorema verdadeiro para um certo j ≥ 1 então se T é de classe C^{k+j+1} então 𝔽T é de classe C^{k+j} e pela hipótese de indução d(T ∘) = O ∘ (𝔽T ∘) é de classe C^{j} (note que O é linear contínua e portanto C^{∞}), donde (T ∘) é de classe C^{j+1}.

Finalmente, provamos o teorema principal dessa seção. Sejam ξ, ξ′ fibrados vetoriais sobre M. Sejam η, η′ subfibrados vetoriais de ξ e ξ′ respectivamente. Seja T: U ⊂ ξ → ξ′ um morfismo geral de classe C^{k} (k ≥ 1) adaptado a η definido numa η-faixa aberta U ⊂ ξ.

Sabemos que 𝔽T é um morfismo geral de classe C^{k−1}. Que implicações sobre 𝔽T tem o fato de T ser adaptado a η? Escolha complementares σ, σ′ de η e η′ respectivamente. Como na demonstração do lema 4 escreva T na forma

T (x_{1}, x_{2}) = (A(x_{2})x_{1} + B(x_{2}), T_{2}(x_{2})),

sendo aqui A, B, T_{2} de classe C^{k}. Temos então a seguinte fórmula para 𝔽T:

𝔽T (x_{1}, x_{2})(v_{1}, v_{2}) = (A(x_{2})v_{1} + (𝔽A(x_{2})v_{2})x_{1} + 𝔽B(x_{2})v_{2}, 𝔽T_{2}(x_{2})v_{2}).

Segue daí que 𝔽T (x_{1}, x_{2}) ∈ L(ξ_{m}, ξ′_{m}) (onde (x_{1}, x_{2}) ∈ U ∩ ξ_{m}) leva o subespaço η_{m} em η′_{m}.

Dados espaços vetoriais E, F e subespaços E_{1}, F_{1} de E e F respectivamente denotamos por L(E_{1}, E; F_{1}, F) o subespaço de L(E; F) das transformações lineares que levam E_{1} em F_{1}. Denotamos então por L(η, ξ; η′, ξ′) o subfibrado vetorial de L(ξ; ξ′) formado pelas transformações lineares que (em cada fibra) levam η em η′. Daí L(η, ξ; 0, η′) é o subfibrado vetorial de L(ξ; ξ′) formado pelas transformações lineares que (em cada fibra) tem imagem em η′ e se anulam em η.

Pela fórmula explícita que escrevemos acima é fácil ver que se T é adaptado ao par (η, η′) então 𝔽T toma valores em L(η, ξ; η′, ξ′) e é adaptado ao par (η, L(η, ξ; 0, η′)).

Exatamente como no corolário 3 do lema 4 definimos

O: (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(L(η, ξ; 0, η′), L(η, ξ; η′, ξ′)) → L((𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ); (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η′, ξ′))

fazendo O(T) = (T ∘). Temos que O é (bem definida e) linear contínua para 𝔐_{2} ≤ C^{0}. A demonstração é exatamente a mesma do corolário 3 do lema 4, sendo que a passagem que lá é justificada com o corolário 1 deve ser justificada com o corolário 2 (vide também observação que precede o lema 2 sobre a generalização do corolário 3 do teorema 8 para espaços mistos). Esta é a aplicação O que aparece no teorema abaixo.

Teorema 13. Sejam ξ, ξ′ fibrados vetoriais sobre M. Sejam η, η′ subfibrados vetoriais de ξ e ξ′ respectivamente. Se T: U ⊂ ξ → ξ′ é um morfismo geral de classe C^{k+j} adaptado a η, onde k é a classe de 𝔐_{2}, 𝔐_{2} ≤ C^{0} e U ⊂ ξ é uma η-faixa aberta, então (T ∘) definido em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ; U) toma valores em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η′, ξ′) e é de classe C^{j} (para j = +∞ escrevemos k + j = +∞). Além do mais, se j ≥ 1 temos d(T ∘) = O ∘ (𝔽T ∘).

Demonstração. O caso j = 0 é o corolário 2 do lema 4. Para o caso geral, proceda exatamente como na demonstração do lema 4, sendo que nesse caso A, B e T_{2} são de classe C^{k+j}. Para mostrar que (T ∘) é de classe C^{j} o lema 5 resolve tudo menos o fato que a função

(s_{1}, s_{2}) ∈ 𝔐_{1}(η) × 𝔐_{2}(σ; V) ↦ (A ∘ s_{2}) ∘ s_{1} ∈ 𝔐_{1}(η′)

é de classe C^{j}.

Temos um morfismo geral de classe C^{∞} de L(η; η′) ⊕ η em η′ dado por (L, v) ↦ L(v). Ele é adaptado ao par (0 ⊕ η, η′). Temos então pelo corolário 2 do lema 4 uma função contínua

B: (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(0 ⊕ η, L(η; η′) ⊕ η) ≅ 𝔐_{1}(η) ⊕ 𝔐_{2}(L(η; η′)) → (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η′, η′) ≅ 𝔐_{1}(η′)

dada por B(s, T) = T ∘ s. Como é claro que B é bilinear, temos que B é bilinear contínua e logo C^{∞}.

Podemos então escrever (s_{1}, s_{2}) ↦ (A∘s_{2})∘s_{1} como a composta de (s_{1}, s_{2}) ↦ (s_{1}, A∘ s_{2}) com B. Vemos então usando o lema 5 que essa função é C^{j}. Para calcular a diferencial de (T ∘) simplesmente observe que todos os componentes de (T ∘) foram provados de classe C^{j} usando o lema 5 e esse lema dá uma expressão explícita para a diferencial. Calcule então d(T ∘) usando a regra da cadeia e compare o resultado obtido com a fórmula explícita para 𝔽T em termos de A, B e T_{2} mostrada logo antes deste teorema.

Na seção seguinte precisaremos de um resultado um pouco mais refinado que o teorema 13, quando estudarmos exemplos de fibrados vetoriais de Banach. Temos então um corolário.

Corolário. (da demonstração) Se σ, η e η′ são fibrados vetoriais sobre M e se A: V ⊂ σ → L(η; η′) é um morfismo geral de classe C^{k+j} definido num aberto V ⊂ σ então dado 𝔐_{2} ≤ C^{0} de classe k temos que a função definida no aberto 𝔐_{2}(σ; V) em 𝔐_{2}(σ) a valores em L(𝔐_{1}(η); 𝔐_{1}(η′)) dada por s ↦ ((A ∘ s)∘) é (bem definida e) de classe C^{j}. Aqui a seção A ∘ s de L(η; η′) é identificada com um morfismo de fibrados vetoriais de η em η′, donde faz sentido considerar ((A ∘ s)∘).

Demonstração. Apenas note que a função definida no enunciado é a composta da transformação linear contínua T ↦ B(·, T) com a função (A∘), de classe C^{j}. Temos que B foi definida na demonstração do teorema 13 (e lá provamos ser ela bilinear contínua).

Resumindo tudo, podemos concluir que para que (T ∘) seja C^{∞} é suficiente que T seja C^{∞} nas “partes menores ou iguais a C^{0}” do espaço e linear (ou ao menos afim) nas “partes L^{p}” do espaço. Infelizmente essa condição é forte demais para nossos propósitos. Observe que uma função afim entre espaços vetoriais é um polinômio de grau 1 (no sentido preciso da definição que veremos abaixo). O que mostraremos até o final da seção diz essencialmente que se T é um polinômio de grau n então (T ∘) é de classe C^{∞} como função de L^{np} em L^{p}.

Começamos definindo o que é um polinômio num espaço vetorial V. Seja então V um espaço vetorial sobre um corpo K. Seja 𝔉(V; K) o conjunto das funções de V em K. Temos que 𝔉(V; K) é uma álgebra comutativa com unidade sobre K (as operações são definidas da maneira óbvia, (f + g)(x) = f(x) + g(x), (fg)(x) = f(x)g(x), etc). Seja V^{∗} o dual de V. Temos que V^{∗} é um subespaço vetorial de 𝔉(V; K), mas em geral não é uma subálgebra.

Definimos a álgebra dos polinômios de V como sendo a subálgebra gerada por V^{∗} dentro de 𝔉(V; K), i.e., a interseção das subálgebras de 𝔉(V; K) que contém V^{∗}. Ela será denotada por 𝔓(V).

Observamos que uma álgebra comutativa com unidade sobre um corpo K é o mesmo que um anel comutativo com unidade que contém K como subanel (se A é uma álgebra comutativa com unidade sobre K então construímos uma inclusão de K em A fazendo k ↦ k · 1, onde 1 ∈ A é a unidade multiplicativa).

Suponha agora que V tem dimensão finita igual a n. Seja K[X_{1}, …, X_{n}] o anel de polinômios em n variáveis sobre K. Como 𝔉(V; K) é um anel comutativo com unidade que contém K como subanel segue que polinômios com coeficientes em K podem ser evaluados em elementos de 𝔉(V; K).

Seja (λ_{1}, …, λ_{n}) uma base de V^{∗}. Temos então o homomorfismo de evaluação do anel K[X_{1}, …, X_{n}] no anel 𝔉(V; K) que leva p(X_{1}, …, X_{n}) em p(λ_{1}, …, λ_{n}). A imagem desse homomorfismo é um subanel de 𝔉(V; K) que contém K e é portanto uma subálgebra de 𝔉(V; K). Usando os polinômios p(X_{1}, …, X_{n}) = c_{1}X_{1} + ⋯ + c_{n}X_{n} vemos que essa subálgebra de 𝔉(V; K) contém V^{∗} e portanto contém 𝔓(V). É fácil ver que na realidade essa subálgebra coincide com 𝔓(V).

Suponha agora que K seja um corpo infinito. Então o homomorfismo de evaluação definido acima é também injetor. De fato, seja (e_{1}, …, e_{n}) a base dual de (λ_{1}, …, λ_{n}). Dado v ∈ V escrevemos v = (v_{1}, …, v_{n}) na base (e_{1}, …, e_{n}) e daí se p(X_{1}, …, X_{n}) é um polinômio em n variáveis vemos que p(λ_{1}, …, λ_{n})v = p(v_{1}, …, v_{n}). Daí se p(λ_{1}, …, λ_{n}) é zero então p(v_{1}, …, v_{n}) é zero para qualquer n-upla de elementos de K. Num corpo infinito isso implica que o polinômio p é nulo (esse fato é bem conhecido para polinômios em uma variável com coeficientes num domínio de integridade infinito. Para polinômios em n variáveis note que K[X_{1}, …, X_{n}] = K[X_{1}, …, X_{n−1}][X_{n}], i.e., um polinômio em n variáveis pode ser visto como um polinômio em uma variável X_{n} com coeficientes no domínio K[X_{1}, …, X_{n−1}]. Mostre então o resultado por indução em n).

Temos então que para um corpo infinito K a álgebra 𝔓(V) é isomorfa a K[X_{1}, …, X_{n}] (daí o nome álgebra de polinômios em V). Mas note bem: esse isomorfismo não é canônico, ele está associado a uma escolha de base em V^{∗} (ou em V).

Para trabalhar com polinômios em várias variáveis é conveniente usar notação de multi-índice. Um multi-índice de dimensão n é uma n-upla α = (α_{1}, …, α_{n}) de inteiros não negativos. O grau de α é |α| = α_{1} + ⋯ + α_{n}.

Podemos escrever então um elemento de K[X_{1}, …, X_{n}] na forma p(X_{1}, …, X_{n}) = ∑_{α} a_{α}X^{α}, onde os a_{α} são elementos de K (todos nulos exceto por um número finito) e X^{α} denota X_{1}^{α_{1}} ⋯ X_{n}^{α_{n}}. O grau total (ou simplesmente grau) de um elemento de K[X_{1}, …, X_{n}] é o maior grau de α para o qual a_{α} ≠ 0.

Escolhendo uma base (λ_{1}, …, λ_{n}) em V^{∗} e para v ∈ V escrevendo λ_{i}(v) = v_{i} vemos que os elementos de 𝔓(V) podem ser escritos na forma p(v) = ∑_{α} a_{α}v^{α}, onde v^{α} significa v_{1}^{α_{1}} ⋯ v_{n}^{α_{n}} (aqui convencionamos 0^{0} = 1). Podemos definir o grau de um elemento de 𝔓(V) como sendo o grau do correspondente elemento de K[X_{1}, …, X_{n}]. É fácil verificar que o grau de um elemento de 𝔓(V) não depende da base escolhida (use que o grau de um produto de polinômios é a soma dos graus dos fatores. Note também que as coordenadas de v na base nova se escrevem como polinômios de grau um nas coordenadas de v na base antiga. Mostre que com a mudança de base o grau não aumenta. Daí, como a mudança de base no sentido oposto também não aumenta o grau segue que ele permanece o mesmo).

Podemos então definir o subespaço vetorial 𝔓_{n}(V) de 𝔓(V) formado pelos polinômios de grau menor ou igual a n. É fácil ver que a n-ésima potência simétrica de V^{∗} é canonicamente isomorfa a um subespaço de 𝔓_{n}(V) formado pelos polinômios homogêneos de grau n (i.e., polinômios tais que a_{α} ≠ 0 implica |α| = n). Os elementos de 𝔓_{n}(V) serão escritos na forma p(v) = ∑_{|α|≤n} a_{α}v^{α}, desde que tenha sido escolhida uma base em V.

Seja agora W um outro espaço vetorial sobre K. Diremos que uma função p: V → W é um polinômio de V em W quando para todo λ ∈ W^{∗} tivermos λ ∘ p ∈ 𝔓(V). Denotaremos o espaço vetorial dos polinômios de V em W por 𝔓(V; W). Note bem, 𝔓(V; W) não é uma álgebra. Temos 𝔓(V) = 𝔓(V; K). Definimos o grau de um elemento p ∈ 𝔓(V; W) como sendo o maior dos graus dos polinômios λ ∘ p com λ ∈ W^{∗}. Denotamos então por 𝔓_{n}(V; W) o subespaço vetorial de 𝔓(V; W) formado pelos polinômios de grau menor ou igual a n.

Suponha agora que W tem dimensão finita igual a m. Então escolhida uma base em W vemos que uma função de V em W é o mesmo que m funções de V em K. Escrevamos p = (p_{1}, …, p_{m}). É fácil ver que p é um polinômio se e somente se cada p_{i} é um polinômio e que o grau de p é o maior dos graus das coordenadas p_{i}.

Escolhidas bases em V e em W vemos que todo polinômio p ∈ 𝔓(V; W) pode ser escrito de modo único na forma p(v) = ∑_{α} a_{α}v^{α}, onde agora cada a_{α} pertence a K^{m}. Se p ∈ 𝔓_{n}(V; W) escrevemos p(v) = ∑_{|α|≤n} a_{α}v^{α}.

Seja p ∈ 𝔓(V; W) um polinômio. A composição à esquerda e à direita de p com uma translação ainda é um polinômio. Além do mais tais composições não alteram o grau de p (desde que convencionemos que o polinômio nulo tem grau zero, o que não é muito usual, mas funciona bem aqui. Mostre que as translações não aumentam o grau. Daí, como as translações no sentido oposto também não aumentam o grau segue que ele permanece o mesmo).

Isso significa que se V, W são apenas espaços afins podemos também definir 𝔓(V; W) e 𝔓_{n}(V; W) apenas escolhendo origens O_{V} e O_{W} em V e W e recaindo no caso de espaços vetoriais (a observação sobre composição com translações implica que 𝔓(V; W) e 𝔓_{n}(V; W) não dependem das origens escolhidas). Se V, W são afins então 𝔓(V; W) e 𝔓_{n}(V; W) também são afins. A escolha de uma origem O_{W} em W implica numa escolha canônica de origem em 𝔓(V; W) e em 𝔓_{n}(V; W), o polinômio constante igual a O_{W}. Note que um polinômio p: V → W de grau menor ou igual a um é simplesmente uma transformação afim.

Precisaremos usar uma vez o método de interpolação de Lagrange (para polinômios de várias variáveis). Fazemos uma rápida exposição.

Seja A um anel comutativo com unidade. Seja K um corpo que é também um subanel de A (sendo a unidade multiplicativa de K igual a de A). Sejam x_{1}, …, x_{n} ∈ K elementos distintos e sejam y_{1}, …, y_{n} elementos de A (não necessariamente distintos). Considere o seguinte polinômio p(X) ∈ A[X]:

p(X) = ∑_{i=1}^{n} y_{i} \frac{(X − x_{1}) ⋯ { \atop (X − x_{i})} ⋯ (X − x_{n})}{(x_{i} − x_{1}) ⋯ { \atop (x_{i} − x_{i})} ⋯ (x_{i} − x_{n})},

onde o chapéu significa que aquele fator foi excluído. Então p(X) satisfaz p(x_{i}) = y_{i}; i = 1, …, n. Se A é um domínio de integridade então p é o único polinômio de grau menor ou igual a n − 1 com essa propriedade.

Seja K um corpo. Seja p(X_{1}, …, X_{n}) ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] um polinômio de grau menor ou igual a g. O que precisamos é de uma fórmula para os coeficientes de p em função dos valores que p assume em um número suficientemente grande (mas finito) de n-uplas de elementos de K.

Observe que p(X_{1}, …, X_{n−1})(X_{n}) ∈ K[X_{1}, …, X_{n−1}][X_{n}] é um polinômio em X_{n} de grau menor ou igual a g com coeficientes no domínio de integridade A = K[X_{1}, …, X_{n−1}]. Temos que K é um subanel de A. Suponha que K é um corpo infinito.

Pelo método de interpolação de Lagrange, se forem escolhidos g + 1 pontos distintos x_{0}, …, x_{g} ∈ K e se forem dados os polinômios p(X_{1}, …, X_{n−1}, x_{i}) ∈ A então podemos obter de volta p(X_{1}, …, X_{n}).

O que queremos concluir é que dado um corpo infinito K e dados n, g então existe um subconjunto finito F = {x_{1}, …, x_{k}} ⊂ K^{n} e uma família finita de funções racionais com coeficientes em K em k variáveis tais que prescritos os valores y_{1}, …, y_{k} de um polinômio p ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] de grau menor ou igual a g nos pontos de F, i.e., impondose a condição p(x_{i}) = y_{i}; i = 1, …, k então podemos obter de volta os coeficientes de p aplicando essas funções racionais nos elementos y_{1}, …, y_{k} (os coeficientes dessas funções racionais só dependem de n, g e dos x_{i}). O que fizemos acima foi indicar que isso pode ser mostrado por indução em n.

Terminada a introdução algébrica, voltamos a supor K = ℝ.

Sejam agora ξ, ξ′ fibrados vetoriais sobre a variedade compacta com bordo M e sejam η, η′ subfibrados vetoriais de ξ e ξ′ respectivamente. Seja U ⊂ ξ uma η-faixa aberta. Dizemos que T: U → ξ′ é um morfismo geral de classe C^{k} polinomial em η (ou polinomial no par (η, η′), havendo possibilidade de confusão) quando T for de classe C^{k} e existe g ∈ ℕ tal que para todo m ∈ M e todo v ∈ U ∩ ξ_{m} temos T (v + η_{m}) ⊂ T (v) + η′_{m} e a restrição de T a v + η_{m} é um polinômio de grau menor ou igual a g.

Se o morfismo geral T é polinomial em η definimos o grau de T como sendo o máximo dos graus das restrições de T a polinômios de v + η_{m} em T (v) + η′_{m}, m ∈ M, v ∈ U ∩ ξ_{m}. Observe que o grau de T é sempre um número natural (finito), por definição. Note que um morfismo geral T é polinomial em η de grau menor ou igual a um se e somente se T é adaptado a η. O objetivo agora é generalizar o teorema 13 para morfismos polinomiais ao invés de adaptados. Precisamos de alguns lemas preparatórios.

Em tudo que segue convencionamos que 1/ + ∞ = 0 e +∞ · c = +∞ para c > 0.

Lema 6. Sejam p, q, r ∈ [1, +∞] tais que \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}. Então a função 𝔪 definida em L^{p}(M × ℝ) ⊕ L^{q}(M × ℝ) a valores em L^{r}(M × ℝ) dada por 𝔪(f, g) = fg é (bem definida e) bilinear contínua.

Demonstração. Suponha p, q, r < +∞. Simplesmente aplicamos a desigualdade de Hölder (vide demonstração do teorema 9 e [Fe]). Temos os números p/r e q/r cujos inversos somam 1. A desigualdade de Hölder aplicada às funções mensuráveis |f|^{r} e |g|^{r} diz então que ∥fg∥_{r}^{r} ≤ ∥f∥_{p}^{r}∥g∥_{q}^{r} e daí ∥fg∥_{r} ≤ ∥f∥_{p}∥g∥_{q} o que mostra que 𝔪 é bem definida e (como a bilinearidade é óbvia) bilinear contínua.

Se dentre p, q, r algum deles for +∞ então as únicas possibilidades são p = +∞, q = r < +∞, ou q = +∞, p = r < +∞ ou p = q = r = +∞. Esses casos são simples e serão deixados a cargo do leitor. Em qualquer caso temos ∥fg∥_{r} ≤ ∥f∥_{p}∥g∥_{q}.

Corolário. Seja α = (α_{1}, …, α_{n}) um multi-índice de dimensão n. Seja p ∈ [1, +∞]. Seja α̂: L^{|α|p}(M × ℝ^{n}) ↦ L^{p}(M × ℝ) a função dada por α̂(f) = f^{α}, onde f^{α}(m) = f(m)^{α}, para m ∈ M. Então α̂ é (bem definida e) de classe C^{∞} (se α = 0 então |α|p = 0 e L^{0} não existe, mas daí α̂ é uma função constante e podemos obviamente trocar |α|p por qualquer q ∈ [1, +∞]). Além do mais dα̂_{f}(h) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}f^{α−e_{i}}h_{i}, onde e_{i} é o multi-índice que possui 1 na i-ésima posição e zero nas outras (na somatória só são somados os termos com α_{i} ≥ 1).

Demonstração. Se |α| = 1 então α̂ é simplesmente uma projeção e o resultado é imediato. Suponha o resultado válido para certos multi-índices α e β (e para todo p ∈ [1, +∞]). Temos que o operador α̂ definido em L^{(|α|+|β|)p}(M ×ℝ^{n}) a valores em L^{(|α|+|β|)p/|α|}(M ×ℝ) é C^{∞} por hipótese. O mesmo vale para o operador β̂ definido em L^{(|α|+|β|)p}(M × ℝ^{n}) a valores em L^{(|α|+|β|)p/|β|}(M × ℝ) (e suas diferenciais são dadas pela fórmula mencionada no enunciado).

Note que os números (|α| + |β|)p/|α|, (|α| + |β|)p/|β| e p satisfazem a condição do lema 6 donde concluímos que a função 𝔪 correspondente é bilinear contínua. Mas { \atop α + β} = 𝔪 ∘ (α̂, β̂), donde concluímos que { \atop α + β} é C^{∞}. Como 𝔪 é bilinear é fácil também calcular a diferencial de { \atop α + β}. Assim, o resultado vale também para α + β. Basta então fazer indução em |α|.

Sejam η, σ e η′ fibrados vetoriais sobre M. Suponha que η = M × ℝ^{c} e η′ = M × ℝ^{d}. Seja V ⊂ σ um aberto. Seja T: η × V → η′ um morfismo polinomial no par (η, η′), onde η × V é uma η-faixa aberta em η ⊕ σ. Suponha que o grau de T é menor ou igual a g.

Podemos escrever T na forma T (x, y) = ∑_{|α|≤g} a_{α}(y)x^{α}, x ∈ ℝ^{c}, y ∈ V ⊂ σ, onde a_{α}: V ⊂ σ → ℝ^{d}, |α| ≤ g são funções.

Suponha que T é de classe C^{j}. Podemos concluir que as funções a_{α} são de classe C^{j}? A resposta é sim. É aqui que usamos os comentários feitos acima sobre o método de interpolação de Lagrange. A partir dos números g e c podemos escolher um subconjunto finito F = {x_{1}, …, x_{k}} ⊂ ℝ^{c} suficientemente grande e uma família finita de funções racionais com coeficientes em ℝ de modo que prescritos os valores de um polinômio em ℝ^{c} nos pontos de F podemos obter de volta os coeficientes desse polinômio através dessas funções racionais.

Isso significa que as coordenadas dos a_{j}(y) são funções racionais com coeficientes em ℝ aplicadas nas coordenadas de T (x_{1}, y), …, T (x_{k}, y).

No lema seguinte usamos o teorema 11 para cair no caso em que os fibrados são triviais. Essa técnica funciona sempre que o operador em questão comuta com restrições da base (no teorema 24 da seção seguinte estudaremos essa técnica que será chamada o método do “esquartejamento da base”).

Lema 7. Sejam η, σ e η′ fibrados vetoriais sobre M. Escreva ξ = η⊕σ. Seja T: U ⊂ ξ → η′ um morfismo polinomial no par (η, η′) de grau menor ou igual a g > 0 definido numa ηfaixa aberta U ⊂ ξ. Então dado p ∈ [1, +∞] temos que se T é de classe C^{j} então (T ∘): (L^{gp}, 𝔐)(η, ξ; U) → L^{p}(η′) é (bem definido e) de classe C^{j} para 𝔐 ≤ C^{0}. Além do mais, se j ≥ 1 então d(T ∘)_{s}(h) = (𝔽T ∘ s) ∘ h (onde 𝔽T ∘ s é uma seção de L(ξ; η′) que identificamos com um morfismo de ξ em η′).

Demonstração. Observamos que como 𝔐 aparece somente no domínio de (T ∘) podemos trocar 𝔐 por C^{0}. Suponha primeiramente que o resultado já foi mostrado quando os fibrados η e η′ são triviais.

Pelo lema 1 podemos encontrar domínios com bordo compactos D_{1}, …, D_{r} cujos interiores cobrem M e sobre os quais os fibrados vetoriais η e η′ são triviais. Sejam P_{η}, P_{σ} e P_{η′} as funções definidas no teorema 11 correspondentes aos fibrados η, σ e η′.

Recorde que (L^{gp}, C^{0})(η, ξ; U) ≅ L^{gp}(η) × C^{0}(σ; V) para algum aberto V ⊂ σ. Seja T o operador dado por:

\begin{aligned}T & : ⨁_{i=1}^{r} L^{gp}(η_{|D_{i}}) ⊕ ⨁_{i=1}^{r} C^{0}(σ_{|D_{i}}; V) → ⨁_{i=1}^{r} L^{p}(η′_{|D_{i}}), \\ & (s_{1}, …, s_{r}, s′_{1}, …, s′_{r}) ↦ (T ∘ (s_{1}, s′_{1}), …, T ∘ (s_{r}, s′_{r})). \end{aligned}

Daí T é (bem definido e) de classe C^{j} pois estamos supondo o resultado verdadeiro quando η e η′ são triviais. Temos P_{η′} ∘ (T ∘) = T ∘ (P_{η} × P_{σ}). Como P_{η}, P_{σ} são lineares contínuos e P_{η′} é injetor forte segue que (T ∘) é de classe C^{j} (para ver que (T ∘) é bem definido use a caracterização para a imagem de P_{η′} dada no teorema 11).

Se j ≥ 1, diferenciando a igualdade P_{η′} ∘ (T ∘) = T ∘ (P_{η} × P_{σ}) num ponto s ∈ (L^{gp}, C^{0})(η, ξ; U) obtemos também que d(T ∘)_{s}(h) = (𝔽T ∘ s) ∘ h. Resta agora mostrar o resultado quando os fibrados η e η′ são triviais.

Suponha então que η = M × ℝ^{c} e η′ = M × ℝ^{d}. Para cada multi-índice α, |α| ≤ g temos uma função a_{α}: V ⊂ σ → ℝ^{d} de classe C^{j} de modo que T (x, y) = ∑_{|α|≤g} a_{α}(y)x^{α}, com x ∈ ℝ^{c} e y ∈ V ⊂ σ.

Dados então s ∈ L^{gp}(η), s′ ∈ C^{0}(σ; V) vemos que

T ∘ (s, s′) = ∑_{|α|≤g}(a_{α} ∘ s′)s^{α} = ∑_{|α|≤g} 𝔪(a_{α} ∘ s′, α̂(s)).

Do lema 5 sabemos que (a_{α}∘) é uma função de classe C^{j} de C^{0}(σ; V) em C^{0}(η′). Do corolário do lema 6 sabemos que α̂: L^{gp}(η) → L^{p}(M × ℝ) é uma função C^{∞} (note que |α| ≤ g).

Quanto a 𝔪: C^{0}(η′) ⊕ L^{p}(M × ℝ) → L^{p}(η′) observamos que podemos trocar C^{0} por L^{∞} e daí o lema 6 nos diz que ela é bilinear contínua (a rigor o lema 6 é para funções a valores em ℝ e não para funções a valores em ℝ^{d}, mas a adaptação é trivial). Também é fácil calcular a diferencial de (T ∘) calculando a diferencial de cada um de seus componentes e usando a regra da cadeia.

Teorema 14. Sejam ξ, ξ′ fibrados vetoriais sobre M. Sejam η e η′ subfibrados vetoriais de ξ e ξ′ respectivamente. Se T: U ⊂ ξ → ξ′ é um morfismo de classe C^{k+j} polinomial em η de grau menor ou igual a g > 0, definido numa η-faixa aberta U ⊂ ξ então (T ∘) definido em (L^{gp}, 𝔐)(η, ξ; U) toma valores em (L^{p}, 𝔐)(η′, ξ′) e é de classe C^{j}, para 𝔐 ≤ C^{0} de classe k. Além do mais, se j ≥ 1 então d(T ∘)_{s}(h) = (𝔽T ∘ s) ∘ h (onde 𝔽T ∘ s é uma seção de L(ξ; ξ′) que identificamos com um morfismo de ξ em ξ′).

Demonstração. Escolha complementares σ, σ′ de η e η′ respectivamente. Daí existe um aberto V ⊂ σ tal que (L^{gp}, 𝔐)(η, ξ; U) ≅ L^{gp}(η) × 𝔐(σ; V). Analogamente, temos que (L^{p}, 𝔐)(η′, ξ′) ≅ L^{p}(η′) ⊕ 𝔐(σ′).

Temos que T se escreve na forma T (x, y) = (T_{1}(x, y), T_{2}(y)), onde T_{1} é um morfismo geral de classe C^{k+j} definido em U ⊂ ξ a valores em η′, polinomial no par (η, η′) de grau menor ou igual a g > 0 e T_{2} é um morfismo geral de classe C^{k+j} definido em V ⊂ σ a valores em σ′. Pelo lema 5 temos que (T_{2}∘) é de classe C^{j} e pelo lema 7 temos que (T_{1}∘) é de classe C^{k+j}.

Daí (T ∘)(s, s′) = ((T_{1}∘)(s, s′), (T_{2}∘)(s′)) é de classe C^{j} e a partir da diferencial de (T_{1}∘) e de (T_{2}∘) calculamos sua diferencial.

Finalizamos a seção resumindo em linguagem de categorias os resultados obtidos. Fixe uma variedade compacta com bordo M. Fixe números inteiros j, k com 0 ≤ j, k ≤ +∞. Seja F V a categoria cujos objetos são os fibrados vetoriais sobre M e cujos morfismos são os morfismos de fibrados vetoriais de classe C^{k}. Seja \overline{F V} a categoria cujos objetos são os pares (ξ; U) onde ξ é um fibrado vetorial sobre M e U ⊂ ξ é aberto, e cujos morfismos de (ξ; U) em (ξ′; U′) são os morfismos de fibrados gerais T de classe C^{k+j} definidos em U a valores em ξ′ com imagem contida em U′ (entendemos que k + j = +∞ se k ou j for +∞).

Seja F V − \overline{F V} a categoria cujos objetos são as trincas (η, ξ; U) onde ξ é um fibrado vetorial sobre M, η é um subfibrado vetorial de ξ e U é uma η-faixa aberta, e cujos morfismos de (η, ξ; U) em (η′, ξ′; U′) são os morfismos gerais T: U → ξ′ de classe C^{k+j} adaptados a η com T (U) ⊂ U′.

Seja Bn a categoria cujos objetos são os espaços de Banach e cujos morfismos são as transformações lineares contínuas. Seja \overline{Bn} a categoria cujos objetos são os pares (E; U) onde E é um espaço de Banach e U ⊂ E é aberto, e cujos morfismos de (E; U) em (E′; U′) são as funções de classe C^{j} de U em E′ com imagem contida em U′.

Fixado 𝔐 de classe menor ou igual a k temos um functor de F V em Bn que leva ξ em 𝔐(ξ) e T em (T ∘). Se 𝔐 ≤ C^{0} temos também um functor de \overline{F V} em \overline{Bn} que leva (ξ; U) em 𝔐(ξ; U) e T em (T ∘).

Finalmente, fixados 𝔐_{1}, 𝔐_{2} com 𝔐_{2} ≤ 𝔐_{1}, 𝔐_{2} ≤ C^{0} e com a classe de 𝔐_{2} menor ou igual a k temos um functor de F V −\overline{F V} em \overline{Bn} que leva (η, ξ; U) em (𝔐_{1}, 𝔐_{2})(η, ξ; U) e que leva T em (T ∘).