0.4 Imersões e mergulhos. Subvariedades.

Podemos copiar as definições da seção 0.1 para variedades de Banach. Assim, falamos em imersões (hiper-fracas, fracas ou fortes) e submersões (fracas ou fortes) entre variedades de Banach, dependendo se a diferencial da função nos pontos do domínio for injetora (hiperfraca, fraca ou forte) ou sobrejetora (fraca ou forte), respectivamente.

O teorema da função inversa (e da função implícita), a forma local das imersões e das submersões funcionam em variedades de Banach. As demonstrações são todas imediatas, bastando usar cartas para recair no caso de espaços de Banach.

Assim, por exemplo, se M, N são variedades de Banach C^{k} e f: M → N é uma função C^{k} (k ≥ 1) então o conjunto dos pontos x ∈ M nos quais df(x) é injetora forte (ou sobrejetora forte, ou um isomorfismo) é aberto em M. Se df(x) for um isomorfismo para todo x ∈ M então f é aberta, localmente injetora e se U ⊂ M é um aberto tal que f_{|U} é injetora então f_{|U} é um difeomorfismo C^{k} sobre o aberto f(U) ⊂ N (f é um difeomorfismo local C^{k}).

A forma local das imersões diz essencialmente que se f é uma imersão forte então existem cartas nas quais a representação de f é a inclusão de um subespaço fechado com complementar fechado (mais precisamente, é possível conseguir isso para qualquer carta fixada no domínio, alterando apenas a carta no contra-domínio). Do mesmo modo, a forma local das submersões diz que se f é uma submersão forte então existem cartas nas quais f é representada pela projeção de uma soma direta (mais precisamente, é possível conseguir isso para qualquer carta fixada no contra-domínio, alterando apenas a carta no domínio).

Decorre das formas locais das imersões e das submersões que imersões fortes são localmente injetoras e submersões fortes são abertas.

Dizemos que f: M → N é um mergulho forte de classe C^{k} (k ≥ 1) se f for uma imersão forte de classe C^{k} e além do mais f: M → f(M) for um homeomorfismo (onde f(M) tem a topologia induzida de N). Se S é uma variedade de Banach C^{k} tal que S ⊂ M então dizemos que S é uma subvariedade forte de classe C^{k} de M se a inclusão de S em M for um mergulho forte de classe C^{k}.

Referindo-se à notação do teorema 4 da seção 0.1, observamos que a vizinhança aberta de x que y percorre pode não ser f^{−1}(V) (mesmo que V seja diminuido!). Se supusermos que f é um mergulho forte então é possível diminuir V de modo que φ ∘ f(y) = (y, 0) para todo y ∈ f^{−1}(V) (se U_{0} é a vizinhança aberta de x onde vale φ ∘ f(y) = (y, 0) então f(U_{0}) é aberto em f(U). Escolha então V_{0} ⊂ V aberto em F com f(U_{0}) = V_{0} ∩ f(U). Daí U_{0} = f^{−1}(V_{0})).

Da forma local das imersões e do comentário acima segue que se f: M → N é um mergulho forte C^{k} então para cada m ∈ M existem cartas (U, φ, E) em M e (V, ψ, F) em N com m ∈ U, E ⊂ F um subespaço fechado com complementar fechado, f(U) ⊂ V, f(M) ∩ V = f(U), ψ(f(U)) = E ∩ Ṽ e tal que a representação local de f nessas cartas é a inclusão de E em F. Um par de cartas como esse é dito adaptado ao mergulho forte f.

Em particular, se S ⊂ M é uma subvariedade forte então dado m ∈ S, um par de cartas adaptado à inclusão (U, φ, E), (V, ψ, F) é tal que m ∈ U, E ⊂ F é um subespaço fechado com complementar fechado, U ⊂ V, S ∩V = U, ψ(U) = E ∩Ṽ e tal que a inclusão de S é representada pela inclusão de E nessas cartas (essencialmente, a subvariedade forte S corresponde em coordenadas a um subespaço fechado com complementar fechado). A carta ψ é também chamada uma carta de subvariedade para S.

Utilizando cartas adaptadas a um mergulho forte f: M → N é fácil ver que f admite inversas locais à esquerda de classe C^{k} (considere a projeção em E nas cartas adaptadas). Em particular, uma subvariedade forte S de M é localmente um retrato de classe C^{k} de M.

Temos um critério simples e muito útil para verificar se f: M → N é um mergulho forte C^{k}. Suponha que f é de classe C^{k} (k ≥ 1) e suponha que existe g: U → M de classe C^{1} definida num aberto U ⊂ N contendo f(M), tal que g ∘ f = Id (i.e., g é uma inversa à esquerda de f). Então f é um mergulho forte C^{k}.

De fato, como f tem uma inversa à esquerda, segue que f é injetora. Diferenciando a igualdade g ∘ f = Id e aplicando o teorema 2 da seção 0.1, segue que f é uma imersão forte C^{k}. Finalmente, a inversa de f definida sobre f(M) é contínua, pois é simplesmente a restrição de g.

Como aplicação do critério acima, seja ξ um fibrado vetorial de Banach de classe C^{k} (k ≥ 1) sobre uma variedade M. Seja π: ξ → M a projeção do fibrado. Temos que toda seção s: M → ξ de ξ de classe C^{k} é um mergulho forte C^{k}. De fato, π é uma inversa à esquerda C^{k} de s.

A forma local das imersões fornece um recíproca parcial para o critério acima, i.e., mergulhos fortes C^{k} admitem inversas locais à esquerda de classe C^{k}. Na realidade, vale uma recíproca total, desde que sejam feitas algumas hipóteses sobre as variedades M e N (devemos supor k ≥ 2, N de classe C^{l} com l = max{k, 3}, N Hausdorff e paracompacta e também que N admite partições da unidade de classe C^{l}). Daí todo mergulho forte f: M → N de classe C^{k} admite uma inversa à esquerda g: U → M de classe C^{l−2}, onde l = max{k, 3} e U ⊂ N é um aberto contendo f(M). Não usaremos esse fato em parte alguma deste texto, mas ele segue do teorema de existência de vizinhanças tubulares (vide [La]).

Em dimensão finita o conceito que introduzimos de subvariedade forte é simplesmente o que normalmente se chama uma subvariedade mergulhada. Introduziremos a seguir o conceito de subvariedade fraca. Em dimensão finita não existe distinção entre subvariedade forte e fraca, já que todo subespaço tem complementar fechado (a distinção entre forte e fraca é infinitesimal). Em dimensão finita se fala também em subvariedades imersas, significando que a inclusão é uma imersão (a distinção entre imersão e mergulho é global). Não trataremos de subvariedades imersas no caso de dimensão infinita, pois não precisaremos desse conceito e de qualquer modo a distinção entre fraca e forte já é complicação suficiente. Mas obviamente é possível dar várias definições de subvariedade imersa (forte, fraca, etc).

Diremos que uma função f: M → N de classe C^{k} (k ≥ 1) é um mergulho fraco se f é injetora e para todo m ∈ M existem cartas (U, φ, E) de M, (V, ψ, F) de N com m ∈ U, E um subespaço fechado de F (que pode não ter complementar fechado), f(U) ⊂ V, f(M) ∩ V = f(U), ψ(f(U)) = E ∩ Ṽ e tal que a representação local de f nessas cartas é a inclusão de E em F. Um par de cartas como esse é dito adaptado ao mergulho fraco f.

Assim, a definição de mergulho fraco diz que a função é injetora e existem cartas adaptadas ao mergulho em torno de cada ponto, apenas sem exigir que E tenha complementar fechado em F. Uma subvariedade fraca S de M de classe C^{k} é uma variedade de Banach S de classe C^{k} tal que a inclusão de S em M é um mergulho fraco C^{k}. Se S ⊂ M é uma subvariedade fraca então dado m ∈ S, um par de cartas adaptado à inclusão (U, φ, E), (V, ψ, F) é tal que m ∈ U, E ⊂ F é um subespaço fechado (que pode não ter complementar fechado), U ⊂ V, S ∩ V = U, ψ(U) = E ∩ Ṽ e tal que a inclusão de S é representada pela inclusão de E nessas cartas (essencialmente, a subvariedade fraca S corresponde em coordenadas a um subespaço fechado que pode não ter complementar fechado). A carta ψ é também chamada uma carta de subvariedade para S.

Um mergulho fraco f: M → N é sempre uma imersão fraca e é sempre um homeomorfismo f: M → f(M) sobre sua imagem, mas a recíproca não vale, pois a forma local das imersões não vale para imersões fracas.

Por exemplo, se F é um espaço de Banach então um subespaço fechado E de F é sempre uma subvariedade fraca. A subvariedade E será forte se e somente se E tiver complementar fechado em F. Note que se não admitíssemos o caso fraco, um subespaço fechado sem complementar fechado não seria uma subvariedade (o que seria muito estranho).

Tanto para mergulhos fortes como fracos temos um teorema de mudança do contradomínio. Mais precisamente, se P, M, N são variedades de Banach C^{k}, f: M → N é um mergulho fraco C^{k}, g: P → M é uma função então g é C^{k} se e somente se f ∘ g é C^{k}. Isso é provado facilmente usando o teorema 1 da seção 0.0 e usando a representação local de f em cartas adaptadas.

Um teorema de restrição de domínio do tipo f de classe C^{k} implica f_{|S} de classe C^{k} é trivial, basta notar que f_{|S} é a composta de f com a inclusão de S.

Apenas com o teorema de mudança de contra-domínio podemos concluir (tanto para mergulhos fracos como para fortes) vários resultados. O mais importante é a unicidade da estrutura de subvariedade (tanto forte como fraca). De fato, se (S, A_{1}) e (S, A_{2}) são subvariedades (fracas ou fortes) de M então denotando as inclusões por i_{1} e i_{2} respectivamente, vemos que se abaixarmos o contra-domínio de i_{1} em relação a i_{2} e de i_{2} em relação a i_{1} concluímos que a identidade de (S, A_{1}) em (S, A_{2}) é um difeomorfismo, logo A_{1} = A_{2}.

Dado um subconjunto S ⊂ M então podemos perguntar se S admite uma estrutura de subvariedade (forte ou fraca). Caso a estrutura exista, ela é única. A estrutura existe se e somente se existe em torno de cada ponto de S uma carta de M na qual S corresponde a um subespaço fechado (com complementar fechado, no caso forte). Tais cartas de M induzem cartas em S simplesmente por restrição. Tal estrutura em S é de subvariedade (forte ou fraca, respectivamente).

Se f: M → N é um mergulho (forte ou fraco) então f(M) é uma subvariedade (forte ou fraca, respectivamente) de N e f: M → f(M) é um difeomorfismo. De fato, colocando em f(M) uma estrutura de variedade declarando f um difeomorfismo, vemos que a inclusão de f(M) em N é um mergulho (forte ou fraco, respectivamente).

Se S ⊂ M é uma subvariedade (forte ou fraca) então a diferencial da inclusão num ponto m ∈ S é linear injetora contínua (forte ou fraca, respectivamente). Usamos a diferencial da inclusão para identificar T_{m}S com um subespaço fechado de T_{m}M. Daí T S ⊂ T M. É fácil ver que T S é uma subvariedade de T M (forte ou fraca, respectivamente). Basta notar que se (U, φ, E) é uma carta de subvariedade em M para S então (π^{−1}(U), dφ, E⊕E) é uma carta de subvariedade em T M para T S.

Pela regra da cadeia e pela identificação feita acima, vemos que se restringimos uma função f a uma subvariedade S então a diferencial de f se restringe ao espaço tangente a S. Se f: M → N é uma função C^{k} (k ≥ 1) com imagem contida numa subvariedade fraca S de N então a diferencial de f toma valores em T S e a diferencial da função f: M → S difere da diferencial de f: M → N apenas pelo contra-domínio.

Uma subvariedade fraca S de M é forte se e somente se para todo m ∈ S, T_{m}S tem complementar fechado em T_{m}M.

Seja f: M → N uma função C^{k} (k ≥ 1). Dizemos que m ∈ M é um ponto regular (fraco ou forte) de f se df(m) é sobrejetora (fraca ou forte, respectivamente). Dizemos que c ∈ N é um valor regular (fraco ou forte) se f^{−1}(c) é formado só por pontos regulares de f (fracos ou fortes, respectivamente). Dizemos que m ∈ M é um ponto crítico de f se m não é um ponto regular fraco de f (i.e., se df(m) não é sobrejetora). Dizemos que c ∈ N é um valor crítico se f^{−1}(c) contém algum ponto crítico de f. Note que se M é uma variedade de Hilbert ou se N tem dimensão finita então não existe distinção entre pontos regulares fracos e fortes (vide comentário que precede o teorema 2 da seção 0.1).

Observe que se f: M → ℝ é uma função C^{k} (k ≥ 1) então m ∈ M é ponto crítico de f se e somente se df(m) = 0.

Teorema 6. (imagem inversa de um valor regular) Se f: M → N é uma função C^{k} (k ≥ 1) e se c ∈ N é um valor regular forte então f^{−1}(c) é uma subvariedade forte C^{k} de M. Além do mais, se f(m) = c então T_{m}f^{−1}(c) = Ker df(m).

Demonstração. Para cada m ∈ f^{−1}(c) tome cartas em torno de m e de c tais que f é representada por uma projeção (i.e., use a forma local das submersões). Por composição com uma translação é possível supor que as coordenadas de c são zero. Temos aí então uma carta de subvariedade em M para f^{−1}(c). Através de uma carta de subvariedade identifica-se facilmente o espaço tangente.

Na realidade, se c não é valor regular forte mas m ∈ f^{−1}(c) é um ponto regular forte então existe um aberto U ⊂ M contendo m tal que U ∩f^{−1}(c) é uma subvariedade forte de M. O espaço tangente a essa subvariedade ainda é o núcleo da diferencial de f no ponto m. A demonstração é idêntica à do teorema 6.

Seja f: M → ℝ uma função escalar definida numa variedade de Banach M. Dizemos que m ∈ M é um máximo local de f se existe U ⊂ M aberto com m ∈ U tal que f(m) ≥ f(x) para todo x ∈ U. Dizemos que m ∈ M é um mínimo local de f se existe U ⊂ M aberto com m ∈ U tal que f(m) ≤ f(x) para todo x ∈ U.

Se M é uma variedade de Banach C^{1} e se f: M → ℝ é uma função C^{1} então se m ∈ M é um máximo local de f temos que df(m) = 0 (i.e., m é um ponto crítico de f). De fato, dado v ∈ T_{m}M tomamos uma curva γ de classe C^{1} em M passando por m no instante zero com vetor tangente v. Daí f ∘ γ é uma função real de variável real, de classe C^{1}, e possui um máximo local no ponto 0. Daí (f ∘ γ)′(0) = df_{m}(v) = 0. O mesmo resultado vale trocando “máximo local” por “mínimo local”. Finalizamos essa seção mostrando o

Teorema 7. (método dos multiplicadores de Lagrange) Se M, N são variedades de Banach C^{1} e f: M → ℝ, g: M → N são funções C^{1} então dado c ∈ N, se m ∈ g^{−1}(c) é um máximo local (ou mínimo local) de f restrita a g^{−1}(c) e se m é um ponto regular forte de g então Ker dg(m) ⊂ Ker df(m). Se N = E é um espaço de Banach então existe λ ∈ E^{∗} tal que df(m) = λ ∘ dg(m). Além do mais, se E é um espaço de Hilbert, existe λ ∈ E tal que df_{m}(v) = ⟨λ, dg_{m}(v)⟩, ∀v ∈ T_{m}M.

Demonstração. Como m é ponto regular forte de g, existe um aberto U ⊂ M com m ∈ U tal que U ∩ g^{−1}(c) é uma subvariedade forte de M. A restrição de f a essa subvariedade tem um máximo (ou mínimo) local em m, donde a diferencial da restrição (que é a restrição da diferencial) é zero. Mas o espaço tangente à subvariedade no ponto m é Ker dg(m). Daí df(m) se anula em Ker dg(m).

Suponha que N = E é um espaço de Banach. Já sabemos que Ker dg(m) ⊂ Ker df(m). Seja Z um complementar fechado de Ker dg(m) em T_{m}M. Então dg(m)_{|Z} é um isomorfismo topológico sobre E, donde podemos definir λ = df(m) ∘ (dg(m)_{|Z})^{−1}. É fácil ver que df(m) = λ ∘ dg(m). No caso em que E é um espaço de Hilbert, apenas use o teorema de representação de Riesz.

No enunciado acima, no caso que N = E é um espaço de Banach, observe que df(m) = λ ∘ dg(m) é o mesmo que dizer que m é um ponto crítico de f − λ ∘ g (e no caso que E é um espaço de Hilbert, df_{m}(v) = ⟨λ, dg_{m}(v)⟩, para todo v ∈ T_{m}M, é o mesmo que dizer que m é ponto crítico de x ∈ M ↦ f(x) − ⟨λ, g(x)⟩ ∈ ℝ).