0.3 Topologia das variedades de Banach.

Esta seção consiste apenas em algumas observações sobre as possíveis utilidades de hipóteses topológicas sobre uma variedade de Banach. Os resultados desta seção não serão usados nas seções seguintes. O objetivo aqui é apenas o de fornecer mais intuição sobre as variedades de Banach.

Na seção anterior, quando definimos variedades de Banach, não fizemos nenhuma hipótese sobre sua topologia. Temos, de qualquer modo, sobre uma variedade de Banach M todas as propriedades topológicas locais dos espaços de Banach.

Por exemplo, uma variedade de Banach M é sempre localmente conexa e localmente conexa por caminhos. Também todo ponto de M tem um sistema fundamental de vizinhanças enumerável. Por outro lado, uma variedade de Banach nunca é localmente compacta, exceto se tiver dimensão finita (isso decorre do seguinte teorema sobre espaços vetoriais normados: a bola unitária é compacta se e somente se o espaço tem dimensão finita).

Uma variedade de Banach não é automaticamente Hausdorff (contra-exemplos são conhecidos até em dimensão finita). Na realidade a propriedade de Hausdorff não é tão indispensável, a menos que se queira fazer um estudo geométrico mais complexo das variedades de Banach. Por exemplo, quando se estuda a teoria de curvas integrais de um campo vetorial (o teorema do fluxo vale em variedades de Banach. Vide [La]) para se concluir a unicidade da curva integral passando por um ponto é necessário supor M Hausdorff.

É necessário cuidado com o fato de M não ser localmente compacta. Por exemplo, seja (U, φ, E) uma carta de M. Se f: Ũ → ℝ é uma função C^{k} (Ũ é a imagem de φ) cujo suporte em E está contido em Ũ então muitas vezes se quer definir uma função f̂: M → ℝ definida em U por f ∘ φ e definida zero fora de U.

Em dimensão finita em geral é possível supor que o suporte de f é compacto e daí conclui-se que f̂ é C^{k}. Se S ⊂ Ũ é o suporte de f em E então sabemos que φ^{−1}(S) é fechado em U, mas para concluir que f̂ é C^{k} precisamos saber que φ^{−1}(S) é fechado em M.

Em dimensão infinita não é razoável supor S compacto (pois isso implica que S tem interior vazio). Isso motiva a seguinte definição. Uma carta (U, φ, E) é dita regular quando para todo subconjunto S ⊂ Ũ fechado em E temos que φ^{−1}(S) é fechado em M. Para tais cartas é possível, por exemplo, concluir que f̂ é C^{k}.

A restrição de uma carta regular a um aberto também é regular. Se (U, φ, E) é uma carta qualquer em M e se V ⊂ U é aberto com V̄ ⊂ U então a carta φ_{|V} é regular. De fato, se S ⊂ Ṽ é fechado em E então φ^{−1}(S) é fechado em U e contido em V̄ ⊂ U, logo fechado em M.

Para que as cartas regulares formem um atlas em M é necessário e suficiente que M seja um espaço topológico regular (i.e., todo ponto tem um sistema fundamental de vizinhanças fechadas). De fato, dado m ∈ M se (U, φ, E) é uma carta regular com m ∈ U então os conjuntos φ^{−1}(S) onde S ⊂ Ũ é uma bola fechada em E formam um sistema fundamental de vizinhanças fechadas de m em M. Reciprocamente, se M é regular então dado m ∈ M tome uma carta qualquer (U, φ, E) com m ∈ U e escolha V ⊂ U aberto com m ∈ V ⊂ V̄ ⊂ U. Daí φ_{|V} é uma carta regular com m ∈ V.

Note que toda variedade de dimensão finita é regular pois é localmente compacta. Uma variedade de Banach M pode não ter base enumerável nem localmente. Na realidade M tem base enumerável localmente se e somente se os espaços de Banach que aparecem como contra-domínio de suas cartas são separáveis.

As hipóteses topológicas ideais para se trabalhar com uma variedade de Banach M são Hausdorff, regularidade e base enumerável (global). Dessas decorrem normalidade (i.e., fechados disjuntos tem vizinhanças disjuntas), paracompacidade e metrizabilidade (pelo teorema de metrização de Urisohn, vide [Lm4]). Decorre também a existência de partições da unidade C^{0} (vide [La]).

Para existência de partições da unidade C^{k} existe um problema que não é de ordem topológica. Se f: ℝ → ℝ é uma função C^{∞} tal que f_{|[−1,1]} = 1, 0 ≤ f ≤ 1, supp f ⊂ [−2, 2] então para definir um “bump” num espaço de Banach E a estratégia natural é fazer f̃: E → ℝ, f̃(x) = f(∥x∥).

O problema é que a norma de E pode não ser diferenciável, mesmo fora do zero. Se E admite uma norma (compatível com sua topologia) que é C^{k} em E − {0} então para M Hausdorff, regular com base enumerável existem partições da unidade C^{k} em M subordinadas a quaisquer coberturas abertas (a demonstração apresenta dificuldades adicionais ao caso de dimensão finita. Vide [La]). Por exemplo, se E é um espaço de Hilbert então ∥x∥ = ⟨x, x⟩^{1/2} é C^{∞} em E − {0}.