0.2 Cálculo em variedades de Banach.

Começamos definindo o conceito de variedade de Banach. A definição é totalmente análoga ao caso de dimensão finita.

Seja M um conjunto. Uma carta em M é uma trinca (U, φ, E) onde U ⊂ M é um subconjunto, E é um espaço de Banach e φ: U → Ũ é uma bijeção sobre um aberto Ũ em E.

Se (U, φ, E) e (V, ψ, F) são cartas em M dizemos que elas são C^{k}-compatíveis (0 ≤ k ≤ +∞) quando U ∩ V é vazio ou quando φ(U ∩ V), ψ(U ∩ V) são abertos em E, F respectivamente e a função de transição ψ ∘φ^{−1}: φ(U ∩V) → ψ(U ∩V) é um difeomorfismo C^{k} (homeomorfismo, no caso k = 0).

Um atlas A de classe C^{k} em M é um conjunto de cartas em M duas a duas C^{k}- compatíveis tal que ⋃_{(U,φ,E)∈A} U = M. Dizemos que uma carta é compatível com um atlas (ou admissível em relação a esse atlas) se for compatível com todas as cartas desse atlas. Duas cartas compatíveis com um atlas são compatíveis entre si, donde o conjunto das cartas compatíveis com um dado atlas A é o único atlas maximal contendo A.

Uma variedade de Banach de classe C^{k} é um par (M, A), onde A é um atlas maximal em M. Um atlas maximal fica totalmente determinado por um atlas qualquer, como foi explicado acima. Se os espaços E que aparecem nas cartas (U, φ, E) ∈ A são todos espaços de Hilbert então dizemos que M é uma variedade de Hilbert. Observação: A rigor, o atlas maximal da maneira como foi definido acima não é um conjunto. Isso ocorre porque o espaço E que aparece em (U, φ, E) pode ser qualquer espaço de Banach, e portanto não temos um conjunto na teoria de Zermelo-Fraenkel. Esse detalhe técnico pode por exemplo ser corrigido se exigirmos que o conjunto E seja sempre um cardinal.

Um atlas A define uma única topologia em M tal que os domínios das cartas são abertos e as cartas são homeomorfismos. Não fazemos nenhuma exigência sobre a topologia de M (do tipo Hausdorff, ou base enumerável). Na seção seguinte faremos alguns comentários sobre as possíveis utilidades de exigências topológicas sobre M. A teoria que precisamos sobre variedades de Banach é muito elementar e portanto nenhuma hipótese topológica é realmente necessária (na verdade, as variedades de Banach que construiremos na seção 1.1 possuem todas as propriedades topológicas interessantes, com pequenas exceções). Observação: Se duas cartas (U, φ, E) e (V, ψ, F) são C^{k}-compatíveis (k ≥ 1), com U∩V ≠ ϕ então E e F são topologicamente isomorfos. De fato, a diferencial da função de transição em qualquer ponto fornece um isomorfismo topológico entre E e F. Se M é conexa concluímos que todos os espaços de Banach envolvidos num atlas de M são topologicamente isomorfos (fixe um espaço de Banach E e considere o conjunto dos pontos de M em torno dos quais existe uma carta a valores num espaço topologicamente isomorfo a E. Esse conjunto é aberto e fechado). Apesar disso, realmente quando construirmos atlas nos exemplos práticos será mais conveniente deixar o espaço de Banach E variar. Em dimensão finita é mais usual exigir que a variedade tenha uma dimensão fixa. De fato, nas seções seguintes onde consideraremos variedades de dimensão finita elas terão sempre uma dimensão fixa.

Se M é uma variedade C^{k} então M admite uma estrutura canônica de variedade C^{l} para 0 ≤ l ≤ k. Basta extender o atlas C^{k} de M a um atlas maximal C^{l}.

Um espaço de Banach E é uma variedade de Banach de classe C^{∞}. Basta tomar como atlas a carta Id: E → E.

Seja f: M → N uma função entre variedades de Banach C^{k}. Dizemos que f é de classe C^{k} quando para todo x ∈ M existem cartas (U, φ, E) em M com x ∈ U e (V, ψ, F) em N com f(x) ∈ V tais que f(U) ⊂ V e ψ ∘ f ∘ φ^{−1}: Ũ → F é C^{k}. Uma função C^{k} é sempre C^{l} para 0 ≤ l ≤ k.

Se U ⊂ M é um aberto então U tem uma estrutura canônica de variedade C^{k} declarando as cartas de U como sendo as cartas de M cujo domínio está contido em U. É claro que a restrição de uma função C^{k} a um aberto ainda é C^{k}, a mudança de contradomínio para um aberto (se possível) de uma função C^{k} ainda é C^{k} e se uma função f é C^{k} numa vizinhança aberta de cada ponto então f é C^{k}.

Um difeomorfismo de classe C^{k} é uma bijeção C^{k} entre variedades de Banach cuja inversa também é C^{k} (supondo a inversa apenas C^{1} é possível concluir que ela é C^{k}. Vide seção 0.0). Um difeomorfismo local C^{k} é uma função C^{k} tal que para cada ponto x no domínio existe um aberto U contendo x tal que f: U → f(U) é um difeomorfismo C^{k} sobre o aberto f(U).

Decorre da regra da cadeia para espaços de Banach que a composta de funções C^{k} é C^{k}. É fácil ver que uma carta admissível em M é simplesmente um difeomorfismo de um aberto de M sobre um aberto de um espaço de Banach E. Também a identidade de M e as funções constantes são C^{k}.

Se M, N são variedades de Banach podemos definir uma estrutura em M × N de variedade de Banach, fazendo com que se (U, φ, E) é uma carta de M e se (V, ψ, F) é uma carta de N então (U × V, φ × ψ, E ⊕ F) é uma carta de M × N, onde (φ × ψ)(m, n) = (φ(m), ψ(n)). Isto fornece um atlas em M × N. A topologia de M × N é a topologia produto. Podemos em geral definir um produto M_{1} × ⋯ × M_{n} de variedades de Banach. É fácil ver que uma função a valores num produto é C^{k} se e somente se for C^{k} coordenada por coordenada. Também as projeções são C^{k}.

Passemos à definição do espaço tangente. Seja m ∈ M. O espaço tangente a M no ponto m, T_{m}M será um espaço vetorial topológico “Banachsável”, i.e., tal que existe uma norma em T_{m}M compatível com a topologia na qual o espaço é completo. É importante notar que o espaço tangente não é de Banach, no sentido de que não existe uma norma canônica em T_{m}M. Apenas a topologia é canônica (se M é uma variedade de Hilbert então o espaço tangente é “Hilbertisável”).

A propriedade fundamental do espaço tangente T_{m}M é que dada uma carta (U, φ, E) em M com m ∈ U, deve ficar associado a ela um isomorfismo topológico de T_{m}M em E. Além do mais, dadas duas cartas φ, ψ, cujo domínio contém m, a diferença entre os isomorfismos associados deve ser a diferencial da função de transição no ponto φ(m). A maioria das construções usadas em dimensão finita para o espaço tangente funciona também aqui (exceto basicamente pela construção do espaço tangente como operadores de derivação das funções C^{∞}. Isso se deve entre outras coisas ao fato que o bidual E^{∗∗} pode não coincidir com E).

Adotamos a construção que consideramos mais simples. Seja M uma variedade de Banach C^{k} (k ≥ 1). Seja m ∈ M um ponto. Considere o conjunto das curvas C^{1} definidas numa vizinhança aberta de 0 em ℝ a valores em M, que assumem o valor m no ponto 0.

Dizemos que duas dessas curvas γ, μ são equivalentes quando para alguma carta (U, φ, E) com m ∈ U temos que φ ∘ γ e φ ∘ μ tem o mesmo vetor tangente no instante 0 (é fácil ver que se isso ocorre para uma carta então ocorre para qualquer carta. Use a regra da cadeia).

Um vetor tangente no ponto m é uma classe de equivalência dessas curvas. Dada uma carta (U, φ, E) com m ∈ U o isomorfismo entre o espaço tangente no ponto m, T_{m}M (conjunto dos vetores tangentes em m) e E é dado por [γ] ↦ (φ ∘ γ)′(0), onde [γ] é a classe de equivalência da curva γ (utilize essa bijeção para colocar em T_{m}M uma estrutura de espaço vetorial topológico. É fácil ver que essa estrutura não depende da carta φ, já que quando temos duas cartas φ, ψ, a diferença entre os isomorfismos associados é a diferencial da função de transição d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(m)) que é um isomorfismo topológico).

Se f: M → N é uma função C^{1} definimos a diferencial de f no ponto m ∈ M, df(m) (ou df_{m}) como sendo a transformação linear contínua de T_{m}M em T_{f(m)}N dada por [γ] ↦ [f ∘ γ] (tomando cartas φ, ψ em torno de m e f(m) respectivamente então compondo df(m) com os isomorfismos associados às cartas obtemos d(ψ ∘ f ∘ φ^{−1})(φ(m)). Isso mostra que df_{m} é linear contínua).

Se E é um espaço de Banach então para x ∈ E, T_{x}E pode ser canonicamente identificado com E. Basta fazer [γ] ↦ γ′(0). Se U ⊂ M é um aberto então para m ∈ U podemos identificar T_{m}U com T_{m}M, já que uma curva em U também é uma curva em M.

Mediante a observação acima, o isomorfismo associado no ponto m a uma carta (U, φ, E) é dφ(m): T_{m}M → E. É claro que a diferencial de uma função f não muda quando restringimos seu domínio ou seu contra-domínio (se possível) a um aberto.

É fácil mostrar a regra da cadeia em variedades de Banach, i.e., se f: M → N é C^{1} e g: N → P é C^{1} (M, N, P variedes de Banach C^{k}) então d(g ∘ f)(m) = dg(f(m)) ∘ df(m), para m ∈ M.

Podemos definir agora o fibrado tangente de M. Podemos em geral definir um fibrado vetorial ξ sobre M. Existe aqui uma diferença em relação ao caso de dimensão finita.

Se E, F, G são espaços de Banach e U ⊂ E é um aberto então podemos identificar as funções f: U × F → G lineares e contínuas na segunda variável com as funções f̂: U → L(F; G). Em dimensão finita vale que f é C^{k} se e somente se f̂ é C^{k}. Em espaços de Banach vale apenas que f̂ de classe C^{k} implica f de classe C^{k} (recorde que a função L(F; G) × F → G que leva (T, v) em T (v) é bilinear contínua e portanto C^{∞}). Isso resulta numa diferença fundamental em relação ao que exigimos sobre as funções de transição das trivializações de um fibrado vetorial. Passemos às definições precisas.

Sejam M uma variedade de Banach C^{k}, ξ um conjunto e π: ξ → M uma função. Uma trivialização da trinca (ξ, π, M) é uma trinca (U, α, ξ_{0}), onde U ⊂ M é um aberto, ξ_{0} é um espaço de Banach, α: π^{−1}(U) → U × ξ_{0} é uma bijeção e π_{1} ∘ α = π_{|π^{−1}(U)}, onde π_{1} é a primeira projeção do produto U × ξ_{0}. Dadas duas trivializações (U, α, ξ_{0}) e (V, β, η_{0}) com U ∩ V ≠ ϕ então podemos escrever:

\begin{matrix}β ∘ α^{−1}: & (U ∩ V) × ξ_{0} → (U ∩ V) × η_{0} \\ (m, v) ↦ (m, τ_{m}(v)). \end{matrix}

Dizemos que (U, α, ξ_{0}) e (V, β, η_{0}) são C^{k}-compatíveis quando U ∩ V = ϕ ou quando τ_{m}: ξ_{0} → η_{0} for linear contínua para cada m ∈ U ∩ V e a função τ: U ∩ V → L(ξ_{0}; η_{0}) dada por τ(m) = τ_{m} for C^{k} (observe que não basta exigir que β ∘ α^{−1} seja C^{k}!).

Um atlas C^{k} de trivializações é um conjunto A de trivializações duas a duas C^{k}- compatíveis tal que ⋃_{(U,α,ξ_{0})∈A} U = M. Um fibrado vetorial de Banach de classe C^{k} é uma quádrupla (ξ, π, M, A), onde A é um atlas maximal de trivializações C^{k}. Chamamos ξ o espaço total, M a base, π a projeção e A o conjunto das trivilizações admissíveis.

Deixamos a partir de agora a maioria dos detalhes a cargo do leitor, já que tudo é análogo ao caso de dimensão finita. O espaço total ξ do fibrado vetorial admite uma única estrutura de variedade C^{k} tal que as trivializações de um atlas são difeomorfismos C^{k} definidos em abertos de ξ. A projeção π é C^{k} e sobrejetora. Para m ∈ M denotamos π^{−1}(m) por ξ_{m} e chamamo-la a fibra sobre m. As trivializações induzem uma estrutura de espaço vetorial topológico (“Banachsáveis”) nas fibras.

Observe que as fibras de ξ podem não ser duas a duas topologicamente isomorfas. É usual em dimensão finita que um fibrado vetorial tenha uma fibra típica ξ_{0} que não depende da trivialização. De fato, nas seções seguintes quando considerarmos fibrados vetoriais de dimensão finita teremos sempre uma fibra típica. Mas para fibrados vetoriais de Banach essa hipótese não é razoável (com essa hipótese poderia acontecer que o fibrado tangente não fosse um fibrado vetorial, por exemplo).

Dados fibrados vetoriais de Banach ξ, η de classe C^{k} sobre uma variedade de Banach M de classe C^{k}, com projeções π, π′ respectivamente então dizemos que uma função T: ξ → η é um morfismo de fibrados vetoriais de classe C^{k} quando π′ ∘ T = π e para cada m ∈ M existem trivializações admissíveis (U, α, ξ_{0}) e (V, β, η_{0}) de ξ e η respectivamente tais que m ∈ U ∩ V e:

\begin{matrix}β ∘ T ∘ α^{−1}: & (U ∩ V) × ξ_{0} → (U ∩ V) × η_{0} \\ (x, v) ↦ (x, T_{x}(v)), \end{matrix}

com T_{x} linear contínua para cada x ∈ U ∩ V e a função T: U ∩ V → L(ξ_{0}; η_{0}) dada por T (x) = T_{x} de classe C^{k}.

Observe que se T é um morfismo de fibrados vetoriais de classe C^{k} então T é uma função de classe C^{k}, π′ ∘T = π e para cada m ∈ M temos T_{|ξ_{m}}: ξ_{m} → η_{m} linear (contínuo). Em dimensão finita vale a recíproca, mas em geral para fibrados vetoriais de Banach isso não é verdade!

É claro que a composição de morfismos de fibrados vetoriais de classe C^{k} é um morfismo de fibrados vetoriais de classe C^{k}. Também a identidade num fibrado vetorial de Banach de classe C^{k} é um morfismo de fibrados vetoriais de classe C^{k}.

Dizemos que T é um isomorfismo de fibrados vetoriais de classe C^{k} quando T for um morfismo de fibrados vetoriais de classe C^{k} bijetor. É fácil mostrar que daí o inverso de T é automaticamente um morfismo de fibrados vetoriais de classe C^{k} também (use que a função inversão de Iso(ξ_{0}; η_{0}) em Iso(η_{0}; ξ_{0}) é C^{∞}).

Seja ξ um fibrado vetorial de Banach de classe C^{k} sobre uma variedade M de classe C^{k}, com projeção π. Se U ⊂ M é um aberto então ξ_{|U} = π^{−1}(U) tem uma estrutura natural de fibrado vetorial de Banach de classe C^{k} sobre a subvariedade aberta U ⊂ M. Basta tomar como trivializações admissíveis de ξ_{|U} as trivializações admissíveis (V, β, E_{0}) de ξ com V ⊂ U. Temos então que ξ_{|U} tem a estrutura de subvariedade aberta de ξ.

Se M é uma variedade de Banach de classe C^{k} e se E_{0} é um espaço de Banach então ξ = M × E_{0} é um fibrado vetorial de Banach de classe C^{k} se declararmos admissível a trivialização (M, Id, E_{0}). Dizemos que M × E_{0} é um fibrado vetorial de Banach trivial sobre M.

Seja ξ um fibrado vetorial de Banach de classe C^{k} sobre uma variedade M de classe C^{k} com projeção π. Então uma trivialização admissível (U, α, ξ_{0}) de ξ é simplesmente um isomorfismo de fibrados vetoriais de Banach α de classe C^{k} definido em ξ_{|U} tomando valores no fibrado trivial U × E_{0}.

Dados fibrados vetoriais de Banach ξ, η de classe C^{k} sobre uma variedade de Banach M de classe C^{k}, com projeções π, π′ respectivamente então podemos definir a soma de Whitney ξ ⊕ η de ξ e η. A definição é análoga à definição em dimensão finita.

Definimos o conjunto ξ ⊕ η como sendo o subconjunto de ξ × η formado pelos pares (v, w) tais que v e w têm a mesma projeção em M, i.e., π(v) = π′(w).

Daí se (U, α, ξ_{0}) e (V, β, η_{0}) são trivializações de ξ e η respectivamente então definimos uma trivialização (U ∩ V, γ, ξ_{0} ⊕ η_{0}) de ξ ⊕ η fazendo γ(v, w) = (π(v), α^{2}(v), β^{2}(w)), onde α^{2} e β^{2} são a segunda coordenada de α e β respectivamente. Deixamos a cargo do leitor a verificação de que duas trivializações desse tipo são C^{k}-compatíveis. Apenas observe que se ξ_{0}, ξ′_{0}, η_{0}, η′_{0} são espaços de Banach então o operador:

j: L(ξ_{0}; ξ′_{0}) ⊕ L(η_{0}, η′_{0}) → L(ξ_{0} ⊕ η_{0}; ξ′_{0} ⊕ η′_{0}),

dado por j(L_{1}, L_{2})(v_{1}, v_{2}) = (L_{1}(v_{1}), L_{2}(v_{2})) é linear contínuo.

Temos projeções π_{1}: ξ ⊕ η → ξ e π_{2}: ξ ⊕ η → η que são morfismos de fibrados vetoriais de classe C^{k}. Temos que se N é outra variedade de Banach e se f: N → ξ ⊕η é uma função então f é de classe C^{k} se e somente se π_{1} ∘ f e π_{2} ∘ f são de classe C^{k}. Temos uma função soma +: ξ ⊕ ξ → ξ que associa a cada par (v, w) a soma v + w. Temos também uma função multiplicação ∗: ℝ × ξ → ξ que associa a cada par (t, v) o produto tv. Temos que essas funções são ambas de classe C^{k}.

Uma seção de ξ é uma função s: M → ξ tal que π ∘ s = Id. Temos que o conjunto das seções de ξ de classe C^{k} é um espaço vetorial sobre ℝ e é também um módulo sobre o anel das funções de classe C^{k} de M em ℝ.

Se M é uma variedade C^{k} (k ≥ 1) então denotando por T M a união disjunta dos espaços tangentes e definindo π: T M → M por π(v) = m se v ∈ T_{m}M então ξ = T M é um fibrado vetorial de Banach de classe C^{k−1} com base M e projeção π. Se (U, φ, E) é uma carta em M então obtemos uma trivialização de T M, (U, α, E), α(v) = (m, dφ(m)v), com m = π(v).

Se (U, φ, E) e (V, ψ, F) são cartas de M com U ∩ V ≠ ϕ então temos:

\begin{matrix}β ∘ α^{−1}: & (U ∩ V) × E → (U ∩ V) × F \\ (m, v) ↦ (m, d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(m))v), \end{matrix}

onde para cada m ∈ M, d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(m)) é linear contínua e d(ψ ∘ φ^{−1}) ∘ φ é de classe C^{k−1}.

Chamamos T M o fibrado tangente de M. Se f: M → N é uma função C^{k} (k ≥ 1) então definimos df: T M → T N por df(v) = df_{m}(v), se v ∈ T_{m}M. Temos que df é C^{k−1}.

O fibrado tangente de um aberto U ⊂ M é um aberto T U = π^{−1}(U) em T M. Se E é um espaço de Banach então T E é naturalmente identificado (através de um difeomorfismo C^{∞}) com E × E. Se (U, φ, E) é uma carta de M então temos uma carta associada em T M dada por (π^{−1}(U), dφ, E ⊕ E).

Se f: M → N, g: N → P são C^{1} (M, N, P variedades C^{k}) então d(g ∘ f) = dg ∘ df. É fácil mostrar que se M, N são variedades C^{k} então (dπ_{1}, dπ_{2}) fornece um difeomorfismo C^{k} de T (M ×N) em T M ×T N (vale o resultado análogo para um produto de n variedades M_{1}, …, M_{n}).