0.1 Imersões e submersões entre espaços de Banach.

Destacamos esta seção da 0.0 pois em relação à imersões e submersões o cálculo em espaços de Banach contém algumas diferenças essenciais em relação ao caso de dimensão finita. O ponto fundamental é que a parte infinitesimal da teoria (i.e., a diferencial das funções e na seção seguinte o espaço tangente às variedades) é não trivial, pois envolve análise funcional ao invés de simples álgebra linear em dimensão finita. A terminologia introduzida nesta seção não é usual.

Sejam E, F espaços de Banach. Seja T: E → F uma transformação linear contínua. Suponha inicialmente que T é injetora. Podemos nos perguntar se a imagem de T, T (E) é um subespaço fechado de F. Vimos na seção anterior (vide observação após o teorema 1) que T (E) é fechado em F se e somente se a topologia de E é induzida de F por T. Supondo T (E) fechado em F podemos nos perguntar se T (E) possui complementar fechado em F. Suponha agora T sobrejetora. Temos que Ker T é sempre um subespaço fechado de E. Resta então perguntar se Ker T possui complementar fechado em E.

Seja T: E → F uma transformação linear contínua. Diremos que T é injetora fraca quando T for injetora e T (E) for um subespaço fechado de F. Dizemos que T é injetora forte quando além do mais T (E) possui complementar fechado em F. Quando T é apenas injetora (e linear contínua) diremos que T é injetora hiper-fraca.

Se T: E → F é uma transformação linear contínua sobrejetora então diremos que T é sobrejetora fraca. Quando além do mais o núcleo Ker T de T possui complementar fechado em E diremos que T é sobrejetora forte.

Por exemplo, se S ⊂ E é um espaço de Banach não fechado em E (com uma topologia mais fina que a induzida de E) então a inclusão de S em E é injetora hiper-fraca, mas não é fraca. Se S é fechado mas não tem complementar fechado então a inclusão de S em E é injetora fraca, mas não é forte. Sob as mesmas hipóteses, a projeção de E em E/S é sobrejetora fraca, mas não é forte.

Encontraremos muitos exemplos de transformações linear injetoras hiper-fracas (que não são fracas) nas seções 1.0 e 1.1. Sabe-se que todo espaço de Banach não Hilbertisável admite um subespaço fechado que não tem complementar fechado. Na verdade, o que é mais comum nas situações práticas é que temos um subespaço fechado e é difícil encontrar um complementar fechado. Daí o interesse em considerar transformações linear injetoras e sobrejetoras fracas.

Observamos também que em alguns casos pode-se concluir automaticamente que uma injeção ou sobrejeção fraca é forte. De fato, se o domínio for um espaço de Hilbert então toda sobrejeção fraca é forte, e se o contra-domínio é de Hilbert então toda injeção fraca é forte, já que em espaços de Hilbert todo subespaço fechado admite um complemento ortogonal, que é fechado. Também, se o contra-domínio é de dimensão finita então toda sobrejeção fraca é forte. De fato, neste caso um complementar qualquer do núcleo tem dimensão finita e logo é fechado.

O próximo teorema dá uma caracterização dos operadores lineares injetores (e sobrejetores) fortes que facilita o entendimento do seu significado.

Teorema 2. Sejam E, F espaços de Banach. Então T ∈ L(E; F) é injetora forte se e somente se possui inversa à esquerda S ∈ L(F; E). Do mesmo modo, S ∈ L(F; E) é sobrejetora forte se e somente se possui inversa à direita T ∈ L(E; F).

Demonstração. Se T possui inversa à esquerda então obviamente T é injetora. Além do mais a inversa de T definida sobre T (E) é uma restrição de S, donde é contínua. Daí, pela observação seguinte ao teorema 1, T (E) é fechado em F. É fácil ver que Ker S é um complementar (fechado) de T (E). Reciprocamente, se T é injetora forte podemos escrever F = T (E) ⊕ Z, definir S em T (E) como sendo a inversa de T e em Z como sendo zero.

Seja agora S ∈ L(F; E). Se S possui inversa à direita então obviamente S é sobrejetora. Além do mais é fácil ver que T (E) é um complementar de Ker S. Pela primeira parte segue que T é injetora forte e logo T (E) é fechado. Reciprocamente, se S é sobrejetora forte então escrevemos F = Ker S ⊕Z então F_{|Z} é um isomorfismo topológico sobre E cujo inverso chamamos de T.

É um exercício verificar que a composta de transformações lineares injetoras contínuas (hiper-farcas, fracas ou fortes) é linear injetora contínua (hiper-fraca, fraca ou forte, respectivamente). O mesmo vale no caso sobrejetor (no caso forte o teorema 2 facilita o argumento). No caso injetor pode-se mostrar também um teorema de mudança de contradomínio, i.e., se S é linear injetora contínua (hiper-fraca, apenas) e se S ∘T é linear injetora contínua (hiper-fraca, fraca ou forte) então T é linear injetora contínua (hiper-fraca, fraca ou forte, respectivamente). Não é necessário fazer aqui nenhuma hipótese sobre T (para concluir que T é contínua use o teorema do gráfico fechado).

O próximo resultado é usual em dimensão finita e sua demonstração normalmente é feita com argumentos que envolvem matrizes dos operadores lineares em bases. Em espaços de Banach esse tipo de argumento não é possível. Na realidade a maioria dos teoremas em dimensão finita sobre operadores lineares injetores e sobrejetores (e também imersões e submersões que serão introduzidas logo adiante) só é válido no caso forte.

Teorema 3. Sejam E, F espaços de Banach. Então os conjuntos dos operados lineares injetores fortes e dos sobrejetores fortes são abertos em L(E; F) (qualquer um deles podendo ser vazio).

Demonstração. Seja T ∈ L(E; F) injetora forte. Pelo teorema 2, existe S ∈ L(F; E) com S ∘ T = Id. Como a composição de operadores lineares é contínua e GL(E) é aberto em L(E) vemos que existe uma vizinhança de T formada por operadores T′ tais que S ∘ T′ é um isomorfismo. É fácil ver usando o teorema 2 que tais T′ são injetoras fortes. A demonstração que o conjunto dos operadores sobrejetores fortes é aberto é análoga.

Seja f: U → F uma função de classe C^{k} (k ≥ 1) definida num aberto U ⊂ E. Diremos que f é uma imersão hiper-fraca (no ponto x ∈ U) se a diferencial de f for injetora hiperfraca nos pontos de U (respectivamente, no ponto x). Diremos que f é uma imersão fraca (no ponto x ∈ U) quando sua diferencial for injetora fraca nos pontos de U (respectivamente, no ponto x). Analogamente, diremos que f é uma imersão forte (no ponto x ∈ U) quando sua diferencial df(x) for injetora forte nos pontos de U (respectivamente, no ponto x).

Dizemos que uma função f: U → F de classe C^{k} (k ≥ 1) é uma submersão fraca (no ponto x ∈ U) quando sua diferencial for sobrejetora fraca nos pontos de U (respectivamente, no ponto x). Analogamente, diremos que f é sobrejetora forte (no ponto x ∈ U) quando sua diferencial for sobrejetora forte nos pontos de U (respectivamente, no ponto x).

Por exemplo, transformações lineares injetoras contínuas (hiper-fracas, fracas ou fortes) são imersões de classe C^{∞} (hiper-fracas, fracas ou fortes, respectivamente). Do mesmo modo transformações lineares sobrejetoras contínuas (fracas ou fortes) são submersões de classe C^{∞} (fracas ou fortes, respectivamente). Exemplos mais interessantes serão vistos na seção 1.0.

Decorre do resultado análogo para transformações lineares e da regra da cadeia que a composta de imersões (hiper-fracas, fracas ou fortes) é uma imersão (hiper-fraca, fraca ou forte, respectivamente). O mesmo vale para submersões. Em relação ao teorema de mudança do contra-domínio, temos o seguinte. Se g é uma imersão hiper-fraca de classe C^{k} e f é de classe C^{k} então se g ∘ f é uma imersão (hiper-fraca, fraca ou forte) então f é uma imersão (hiper-fraca, fraca ou forte, respectivamente). Isto decorre do teorema correspondente para o caso linear (vide comentário após o teorema 2). Ao contrário do caso linear não é possível concluir que f é C^{k} supondo apenas que g ∘ f é C^{k}, exceto em alguns casos. Por exemplo, se g é linear e é injetora fraca então use o teorema 1. Para g não linear o problema será discutido na seção 0.4.

Temos agora a forma local das imersões e das submersões. Elas só valem no caso forte.

Teorema 4. (forma local das imersões) Seja f: U → F uma função C^{k} (k ≥ 1) definida num aberto U ⊂ E. Suponha que f é uma imersão forte no ponto x ∈ U. Então existe um difeomorfismo φ: V → W de classe C^{k} tal que φ ∘ f(y) = (y, 0), onde aqui V é um aberto em F contendo f(x), W é um aberto em E ⊕ Z contendo (x, 0) (onde Z é um outro espaço de Banach) e y percorre uma vizinhança aberta de x contida em U.

Demonstração. Escreva F = df(x)(E) ⊕ Z. Defina g: U × Z → F por g(y, z) = f(y) + z, onde U ×Z é um aberto no espaço de Banach E⊕Z. Daí g é C^{k}, dg(x, 0)(h, k) = df(x)h+k e é fácil ver que dg(x) é um isomorfismo. Daí g é um difeomorfismo C^{k} de uma vizinhança aberta W de (x, 0) em E ⊕ Z em uma vizinhança aberta V de f(x) em F. Basta tomar φ como sendo o inverso de g_{|W}.

Teorema 5. (forma local das submersões) Seja f: U → F uma função C^{k} (k ≥ 1) definida num aberto U ⊂ E. Suponha que f é uma submersão forte no ponto x ∈ U. Então existe um difeomorfismo φ: V → W de classe C^{k} tal que f ∘φ(y, z) = y, onde aqui V é um aberto em F ⊕ Z contendo (f(x), 0) (onde Z é um outro espaço de Banach), W é um aberto em E contendo x (contido em U) e (y, z) percorre V.

Demonstração. Escreva E = Ker df(x) ⊕ X. Ponha Z = Ker df(x). Defina g: U → F ⊕ Z por g(y, z) = (f(y, z), y − x_{1}), onde o par ordenado (y, z) se refere à decomposição em soma direta Z ⊕ X de E e x = (x_{1}, x_{2}). Daí g é C^{k}, dg(x)(h, k) = (df(x)(h, k), h) e é fácil ver que dg(x) é um isomorfismo. Daí g é um difeomorfismo C^{k} de uma vizinhança aberta W de x (contida em U) em uma vizinhança aberta V de (f(x), 0) em F ⊕ Z. Basta tomar φ como sendo o inverso de g_{|W}.

Observamos que no teorema 4 se F é de Hilbert então basta supor que f é uma imersão fraca e daí o espaço Z encontrado também é de Hilbert (pois é um subespaço de F). Analogamente no teorema 5 se E é de Hilbert então basta supor que f é uma submersão fraca e daí o espaço Z encontrado também é de Hilbert (pois é um subespaço de E).

Decorre também dos teoremas 4 e 5 (ou do teorema 3) que o conjunto dos pontos x ∈ U tais que uma função f de classe C^{1} é uma imersão forte é aberto em U. O mesmo vale para os pontos onde f é uma submersão forte.