Variedades de Banach e Espaços de Funções com Aplicações à Geometria Sub-Riemanniana

0.0 Cálculo em espaços de Banach.

Começamos com uma pequena introdução ao cálculo em espaços de Banach. O leitor interessado em mais detalhes pode consultar por exemplo [La]. Na realidade os teoremas que precisamos sobre espaços de Banach são bem básicos, de modo que [Lm] já basta (esse texto não é sobre cálculo em espaços de Banach, e sim sobre cálculo no ℝ^{n}, mas como o prefácio do livro diz, quase tudo que está feito lá funciona ipsis literis para espaços de Banach). O objetivo desta seção é mais o de fixar notação e terminologia do que o de fazer uma exposição detalhada do assunto.

Utilizaremos também alguns resultados básicos sobre espaços de Banach e de Hilbert, como o teorema da aplicação aberta, o teorema de representação de Riesz, etc. O leitor pode consultar por exemplo [Hg] ou qualquer livro introdutório de análise funcional.

Sejam E, F espaços de Banach (sobre ℝ). Seja f: U → F uma função onde U ⊂ E é um aberto. Dizemos que f é diferenciável num ponto x ∈ U se existe uma transformação linear contínua T: E → F tal que a função r definida por r(h) = f(x + h) − f(x) − T (h) (para h numa vizinhança de zero em E) satisfaz lim_{h→0} \frac{r(h)}{∥h∥} = 0. É fácil mostrar que se f é diferenciável em x então f é contínua em x.

Se x ∈ U e v ∈ E então definimos a derivada direcional de f na direção v no ponto x como sendo o limite:

\frac{∂f}{∂v} (x) = lim_{t→0} \frac{f(x + tv) − f(x)}{t},

quando o limite existir. De modo análogo ao cálculo em ℝ^{n}, mostra-se que se f é diferenciável em x então \frac{∂f}{∂v} (x) existe para todo v ∈ E e coincide com T (v). Em particular T é única quando existe e logo podemos definir a diferencial de f no ponto x fazendo df(x) = T.

É fácil mostrar que a diferenciabilidade de f no ponto x (e a diferencial df(x)) permanece inalterada se trocarmos as normas de E e F por normas equivalentes.

Denotamos por L(E; F) o espaço de Banach das transformações lineares contínuas de E em F munido com a norma do sup na bola unitária. Denotamos também por L_{n}(E; F) o espaço de Banach das transformações n-lineares contínuas de E^{n} em F com a norma do sup na bola unitária, i.e., ∥B∥ = sup_{∥x_{i}∥=1} ∥B(x_{1}, …, x_{n})∥. Podemos também considerar L_{n}(E_{1}, …, E_{n}; F) (sendo L_{n}(E; F) o caso particular em que E_{1} = ⋯ = E_{n} = E). Recordamos que um operador multilinear é contínuo se e somente se é limitado na bola unitária. Observamos que a topologia de L(E_{1}, …, E_{n}; F) depende somente das topologias de cada E_{i} e da topologia de F.

Podemos identificar L(ℝ; E) com E através do isomorfismo (isometria de espaços de Banach) T ↦ T (1). Daí, se f: I → E está definida num aberto I ⊂ ℝ então dizemos também que f é uma curva em E. Se f é diferenciável no ponto t ∈ I então podemos identificar df(t) com o vetor df(t)1, o qual chamamos o vetor tangente a f no instante t e denotamos por f′(t). É fácil ver que f é diferenciável em t ∈ I se e somente se o limite:

lim_{h→0} \frac{f(t + h) − f(t)}{h}

existe, sendo em caso afirmativo o limite igual a f′(t).

É fácil ver também que f: U ⊂ E → F admite derivada direcional no ponto x ∈ U na direção v ∈ E se e somente se a curva t ∈ I ↦ f(x + tv) ∈ F definida num aberto I ⊂ ℝ é diferenciável em t = 0, sendo essa derivada direcional de f e o vetor tangente da curva em t = 0 iguais quando ambos existem.

Enunciamos a regra da cadeia em espaços de Banach.

Teorema. (regra da cadeia) Sejam E, F, G espaços de Banach, U ⊂ E, V ⊂ F abertos, f: U → F, g: V → G funções com f(U) ⊂ V, f diferenciável num ponto x ∈ U e g diferenciável em f(x). Então g∘f é diferenciável no ponto x e d(g∘f)(x) = dg(f(x))∘df(x).

Demonstração. Vide [Lm].

Por exemplo, uma transformação linear contínua T: E → F é sempre diferenciável em todo ponto x ∈ E com dT (x) = T. Um operador n-linear contínuo B: E_{1} × ⋯ × E_{n} → F também é diferenciável em todo ponto (x_{1}, …, x_{n}) ∈ E_{1} × ⋯ × E_{n} sendo sua diferencial dada pela fórmula usual:

dB(x_{1}, …, x_{n})(h_{1}, …, h_{n}) = ∑_{i=1}^{n} B(x_{1}, …, h_{i}, …, x_{n}).

Também uma função constante tem diferencial zero em todo ponto, a soma e o produto por escalar de funções diferenciáveis no ponto x é diferenciável no ponto x, sendo a diferenciação no ponto x uma operação linear.

Dizemos que f é diferenciável em U quando f for diferenciável em todos os pontos de U. Nesse caso podemos definir a função diferencial df: U → L(E; F).

Podemos então definir as diferenciais de ordem superior de f, iterando a operação de se tomar a função diferencial sobre f. Iterando essa operação n vezes obtemos (se existir) a n-ésima diferencial de f no ponto x que denotamos por:

d^{n}f(x): E → L(E; L(E; … L(E; F)) …).

O contra-domínio de d^{n}f(x) pode ser identificado da maneira usual com L_{n−1}(E; F). Essa identificação é uma isometria linear entre espaços de Banach.

Utilizando essa identificação temos d^{n}f(x): E → L_{n−1}(E; F). Segundo a mesma identificação temos d^{n}f(x) ∈ L_{n}(E; F). Temos a relação usual entre a diferencial de n-ésima ordem e as derivadas direcionais iteradas:

\frac{∂^{n}f}{∂v_{1} … ∂v_{n}} (x) = d^{n}f(x)(v_{1}, …, v_{n}),

onde v_{1}, …, v_{n} ∈ E e f é n vezes diferenciável no ponto x. O teorema de Schwartz vale em espaços de Banach e nos diz que d^{n}f(x) é um operador n-linear simétrico.

Dizemos que uma função f: U → F é de classe C^{k} se for k vezes diferenciável e sua k-ésima diferencial d^{k}f: U → L_{k}(E; F) for contínua. Dizemos que f é de classe C^{∞} se f for C^{k} para todo k ∈ ℕ. Uma função de classe C^{0} é simplesmente uma função contínua. Temos o seguinte critério de diferenciabilidade.

Teorema. Seja f: U → F uma função. Suponha que f admite derivadas direcionais em todos os pontos de U e em todas as direções de E. Se para cada x ∈ U a função T_{x}: E → F definida por T_{x}(v) = \frac{∂f}{∂v} (x) for linear contínua e se T: U → L(E; F) for contínua no ponto x então f é diferenciável no ponto x e df(x) = T (x). Em particular, se T é contínua então f é C^{1}.

Demonstração. Defina r(h) = f(x + h) − f(x) − T_{x}(h). Como T_{x} é linear contínua basta mostrar que lim_{h→0} \frac{r(h)}{∥h∥} = 0. Utilizamos a desigualdade do valor médio (veja logo abaixo).

Aplicando a desigualdade do valor médio para a função f − T_{x} vemos que se h é suficientemente pequeno de modo que o segmento [x, x + h] esteja contido em U então:

∥(f − T_{x})(x + h) − (f − T_{x})(x)∥ = ∥r(h)∥ ≤ sup_{t∈(0,1)} ∥T (x + th)h − T (x)h∥,

já que as hipóteses sobre f implicam que f admite derivada direcional na direção h nos pontos da forma x + th e essa derivada é T (x + th)h (observe que a restrição de f ao segmento [x, x + h] é contínua pois é diferenciável, ou mais precisamente t ↦ f(x + th) é diferenciável). Temos:

∥T (x + th)h − T (x)h∥ ≤ ∥T (x + th) − T (x)∥∥h∥,

e da continuidade de T no ponto x segue o resultado.

Teorema. (desigualdade do valor médio) Seja f: U → F uma função. Sejam a, b ∈ U tais que o segmento [a, b] esteja contido em U. Suponha que a restrição de f ao segmento [a, b] seja contínua e que f admita derivada direcional na direção b − a nos pontos do segmento aberto (a, b). Então vale a desigualdade:

∥f(b) − f(a)∥ ≤ sup_{t∈(0,1)} ∥\frac{∂f}{∂(b − a)}(a + t(b − a))∥ .

Demonstração. Vide [Lm] (ponha γ: [a, b] → F, γ(t) = f(a + t(b − a)), para recair no caso em que o domínio é unidimensional).

Observamos que operadores lineares contínuos, operadores multilineares contínuos e funções constantes são C^{∞}. Observamos que a soma e o produto por escalar de funções de classe C^{k} é de classe C^{k} (0 ≤ k ≤ +∞). Daí decorre também que funções afins contínuas são de classe C^{∞}. Listamos alguns operadores multilineares contínuos importantes (que são portanto C^{∞}).

Se E, F, G são espaços de Banach então o operador bilinear de L(E; F) × L(F; G) em L(E; G) dado pela composição é contínuo. Em particular também o são os operadores lineares (T ∘) e (∘T) (composição à esquerda e à direita com T), para T um operador linear contínuo fixo. Também o operador bilinear de composição definido em L(F; G) × L_{n}(E_{1}, …, E_{n}; F) a valores em L_{n}(E_{1}, …, E_{n}; G) é contínuo.

O operador bilinear de L(E; F) × E em F dado por (T, v) ↦ T (v) é contínuo. Em particular o operador linear “aplicar em v” é contínuo. O produto interno de um espaço de Hilbert E é contínuo (note que um espaço de Hilbert também é um espaço de Banach).

A norma de um espaço de Banach é contínua, mas não é linear, donde não segue que a norma é diferenciável. De fato, mesmo em R^{n}, temos normas que não são diferenciáveis (mesmo fora do zero). Tome por exemplo a norma ∥x∥ = ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|. Observe porém que se E é um espaço de Hilbert a norma obtida do produto interno é C^{∞} em E − {0}, pela regra da cadeia (vide abaixo).

É possível mostrar a partir da regra da cadeia (e das observações acima sobre a diferenciabilidade do operador composição de transformações lineares) que a composta de funções de classe C^{k} é de classe C^{k}.

Façamos os comentários relativos à derivação na direção de subespaços e em relação à derivação coordenada por coordenada. Se f: U → F é uma função e se S ⊂ E é um subespaço fechado, definimos (quando existir) a diferencial de f na direção de S no ponto x ∈ U e denotamos por ∂_{S}f(x): S → F a diferencial no ponto 0 da função y ∈ V ↦ f(x+y) definida no aberto V = (U − x) ∩ S em S. Pela regra da cadeia é fácil ver que se f é diferenciável no ponto x (respectivamente C^{k}) então y ∈ V ↦ f(x + y) é diferenciável no ponto 0 (respectivamente C^{k}) e ∂_{S}f(x) = df(x)_{|S}.

Note que se S é o subespaço gerado por um vetor v então é possível identificar ∂_{[v]}f(x) com \frac{∂f}{∂v} (x). Quando E se escreve como soma direta de subespaços fechados E = ⨁_{i=1}^{n} E_{i} podemos falar em derivadas parciais de f, significando as derivadas direcionais na direção dos subespaços E_{i}. O próximo teorema é então análogo ao caso de dimensão finita. Observação: Recordamos que se E é um espaço de Banach e se E_{1}, E_{2}, …, E_{n} são subespaços fechados com E = ⨁_{i=1}^{n} E_{i} então as projeções π_{i} são contínuas. De fato, o operador linear contínuo definido na soma direta externa ⨁_{i=1}^{n} E_{i} a valores em E dado pela soma dos elementos da n-upla tem inverso contínuo pelo teorema da aplicação aberta. Decorre da continuidade das projeções que um operador linear contínuo fica bem definido quando é dada sua restrição a cada E_{i}, i.e., L(E; F) = ⨁_{i=1}^{n} L(E_{i}; F).

Teorema. Seja f: U → F uma função. Se E = ⨁_{i=1}^{n} E_{i} e se as derivadas parciais ∂_{E_{i}}f existem em U e são contínuas num certo ponto x ∈ U então f é diferenciável nesse ponto x. Além do mais, se as derivadas parciais ∂_{E_{i}}f forem contínuas em U então f é C^{1}.

Demonstração. Fazemos o caso n = 2 e daí o caso geral é análogo e será deixado a cargo do leitor. Temos E = E_{1} ⊕ E_{2}. Seja x = (x_{1}, x_{2}) ∈ U. Defina T: E → F por T (h_{1}, h_{2}) = ∂_{E_{1}}f(x)h_{1} + ∂_{E_{2}}f(x)h_{2}. Temos que T é linear contínua.

Resta então ver que r(h) = f(x + h) − f(x) − T (h) satisfaz lim_{h→0} \frac{r(h)}{∥h∥} = 0. Temos:

r(h) = f(x_{1}+h_{1}, x_{2}+h_{2})−f(x_{1}+h_{1}, x_{2})+f(x_{1}+h_{1}, x_{2})−f(x_{1}, x_{2})−∂_{E_{1}}f(x)h_{1}−∂_{E_{2}}f(x)h_{2}.

Aplicando a desigualdade do valor médio para as funções y ↦ f(x_{1} + h_{1}, y) − ∂_{E_{2}}f(x)y e y ↦ f(y, x_{2}) − ∂_{E_{1}}f(x)y obtemos a desigualdade:

\begin{aligned}∥r(h)∥ & ≤ sup_{t∈(0,1)} ∥∂_{E_{2}}f(x_{1} + h_{1}, x_{2} + th_{2})h_{2} − ∂_{E_{2}}f(x)h_{2}∥ \\ & + sup_{t∈(0,1)} ∥∂_{E_{1}}f(x_{1} + th_{1}, x_{2})h_{1} − ∂_{E_{1}}f(x)h_{1}∥, \end{aligned}

para h suficientemente pequeno, o que junto com a continuidade das derivadas parciais completa a demonstração (use, por exemplo, a norma ∥(h_{1}, h_{2})∥ = ∥h_{1}∥ + ∥h_{2}∥ na soma direta). Note que as hipóteses do teorema implicam que f admite derivadas direcionais em qualquer direção v ∈ E_{1} ou v ∈ E_{2} e também que a restrição de f a qualquer segmento cujo vetor de direção v esteja em E_{1} ou em E_{2} é contínua (pois t ↦ f(x+tv) é diferenciável nesse caso).

Supondo as derivadas parciais continuas em U vemos que f é de classe C^{1} pois df = (∘π_{1}) ∘ ∂_{E_{1}}f + (∘π_{2}) ∘ ∂_{E_{2}}f, onde π_{1} e π_{2} são as projeções da soma direta E_{1} ⊕ E_{2} e os operadores (∘π_{1}) e (∘π_{2}) de composição à direita com π_{1} e π_{2} são lineares contínuos.

Temos que se o contra-domínio F está decomposto em soma direta de subespaços fechados F = ⨁_{i=1}^{n} F_{i} então f é diferenciável no ponto x (respectivamente C^{k}) se e somente se for diferenciável no ponto x (respectivamente C^{k}) coordenada por coordenada, sendo a i-ésima coordenada da diferencial igual à diferencial da i-ésima coordenada. A demonstração pode ser feita somente com a regra da cadeia: as coordenadas de f (f_{i}) podem ser obtidas de f por composição à esquerda com as projeções π_{i} (que são lineares contínuas). A função f pode ser obtida das coordenadas f_{i} fazendo f = ∑_{i=1}^{n} Inc_{i} ∘ f_{i}, onde Inc_{i} é a inclusão do subespaço F_{i} em F (que é linear contínua).

As observações acima foram feitas com cuidado para destacar uma dificuldade que aparece em dimensão infinita. Suponha que S é um subespaço fechado de F e que a imagem de f está contida em S. Queremos mostrar que f é C^{k} com contra-domínio em S se e somente se for C^{k} com o contra-domínio em F. O “aumento” do contra-domínio de S para F pode ser feito simplesmente através da composição à esquerda com a inclusão de S. O problema está na “diminuição” do contra-domínio. Em dimensão finita, sempre existe uma projeção linear contínua de F em S, e basta usar a regra da cadeia. Em espaços de Banach isso só é verdade se S admite um complementar fechado em F. O teorema abaixo diz que é possível fazer a “diminuição” do contra-domínio mesmo quando a projeção não existe. O teorema é demonstrado aqui pois o autor não conhece nenhum texto que o demonstre.

Teorema 1. Sejam E, S, F espaços de Banach, seja U ⊂ E um aberto e seja f: U → S uma função. Se i: S → F é uma transformação linear injetora tal que a topologia de S é induzida por i da topologia de F então i ∘ f é diferenciável num ponto x ∈ U (respectivamente C^{k}) se e somente se f é diferenciável no ponto x ∈ U (respectivamente C^{k}). Em caso afirmativo, d(i ∘ f)(x) = i ∘ df(x).

Demonstração. Se f é diferenciável num ponto x ∈ U (respectivamente C^{k}) então i ∘ f também o é, pela regra da cadeia. Além do mais, também pela regra da cadeia, temos d(i ∘ f)(x) = i ∘ df(x). Resta mostrar que i ∘ f diferenciável no ponto x (respectivamente C^{k}) implica f diferenciável no ponto x (respectivamente C^{k}).

Suponha então i ∘ f diferenciável no ponto x ∈ U. Observe em primeiro lugar que a imagem de d(i∘f)(x) está contida em S. De fato, basta notar que d(i∘f)(x)v = \frac{∂(i∘f)}{∂v}(x) e que o limite que define a derivada direcional comuta com a “diminuição de contra-domínio” de F para S, já que a topologia de S é induzida de F por i (note também que i(S) é fechado em F, vide observação após a demonstração).

Podemos definir então T: E → S tal que i ∘ T = d(i ∘ f)(x), a qual vemos facilmente ser linear contínua e também o limite que define df(x) fica satisfeito pondo df(x) = T (utilize que a topologia de S é induzida de F por i). Daí f é diferenciável no ponto x e df(x) = T.

Assim, se i ∘ f é diferenciável em U então f também o é, e d(i ∘ f) = i_{1} ∘ df, onde i_{1}: L(E; S) → L(E; F) é dada por i_{1}(T) = i ∘ T. É fácil ver que a topologia de L(E; S) é induzida de L(E; F) por i_{1} (e i_{1} é linear injetora. Na realidade i_{1} é uma imersão isométrica se considerarmos em S a norma induzida por i de F). Assim se i ∘ f é C^{1} segue que f é C^{1}.

Mostremos que i ∘ f de classe C^{k} implica f de classe C^{k}. Fazemos indução em k. A base de indução já foi provada acima. Suponha agora o resultado válido para um certo k e mostremos que o mesmo vale para k + 1. Suponha então i ∘ f de classe C^{k+1}.

A hipótese de indução nos diz que f é C^{k}. É fácil ver aplicando a regra da cadeia (k vezes) que d^{k}(i ∘ f) = i_{k} ∘ d^{k}f, onde i_{k}: L_{k}(E; S) → L_{k}(E; F) é dada por i_{k}(T) = i ∘ T. Novamente, i_{k} é linear injetora e a topologia de L_{k}(E; S) é induzida de L_{k}(E; F) por i_{k} (i_{k} é uma imersão isométrica se considerarmos em S a norma induzida por i de F).

Como d^{k}(i ∘ f) é C^{1} segue do que já foi provado que d^{k}f é C^{1} e logo f é C^{k+1}. Mostramos que o teorema vale para todo k ∈ ℕ. Isso implica que ele vale também para k = +∞. Observação: Uma transformação linear injetora i: S → F tem a propriedade que a topologia de S é induzida de F por i se e somente se i é contínua com imagem i(S) fechada em F. De fato, se a topologia de S é induzida de F por i então i é contínua e além do mais i: S → i(S) é um isomorfismo topológico, i.e., linear contínuo com inverso contínuo. Isso implica que i(S) é completo e logo fechado em F. Suponha agora i contínua e i(S) fechado em F. O resultado segue do teorema da aplicação aberta.

Enunciaremos agora o teorema da função inversa. A demonstração pode ser encontrada em [Lm]. Faremos antes alguns comentários sobre as diferenças em relação ao caso de dimensão finita.

Seja E um espaço de Banach. Decorre do teorema da aplicação aberta que um isomorfismo linear contínuo de E em E tem inverso contínuo. O conjunto dos isomorfismos lineares contínuos (ou isomorfismos topológicos) de E será denotado por GL(E) ⊂ L(E). Este é um subconjunto aberto do espaço de Banach L(E). O argumento normalmente usado em dimensão finita feito com o determinante não se aplica para demonstrar esse fato.

Considere a série ∑_{n=0}^{+∞} T^{n}. Sua n-ésima soma parcial satisfaz:

(∑_{i=0}^{n−1} T^{i})(I − T) = (I − T)(∑_{i=0}^{n−1} T^{i}) = I − T^{n}.

Se ∥T ∥ < 1, a série é normalmente convergente, logo convergente. Também, T^{n} → 0, donde I − T é inversível e:

(I − T)^{−1} = ∑_{n=0}^{+∞} T^{n}.

O que mostramos acima implica que a bola B(I; 1) está contida em GL(E), donde I é ponto interior de GL(E). O operador inversão Inv: GL(E) → L(E) é diferenciável em I sendo dInv(I)H = −H. De fato, o resto r(H) é dado por r(H) = (I + H)^{−1} − I + H = H^{2}(I + H)^{−1}. Usando a continuidade de Inv em I segue facilmente que lim_{H→0} \frac{r(H)}{∥H∥} = 0.

A continuidade de Inv em B(I; 1) decorre da convergência uniforme da série ∑_{n=0}^{+∞} T^{n} em B(0; 1) (use o teste M de Weierstrass). Para mostrar que um ponto qualquer T ∈ GL(E) é interior e que Inv é diferenciável em T note apenas que Inv = 𝔯_{T^{−1}} ∘ Inv ∘ 𝔩_{T^{−1}}, onde 𝔩_{T^{−1}} e 𝔯_{T^{−1}} denotam as composições à esquerda e à direita com T^{−1} respectivamente. Segue então a fórmula usual para a diferencial de Inv:

dInv(T)H = −T^{−1}HT^{−1}.

Essa fórmula exprime a diferencial de Inv em termos da própria função Inv e portanto pode ser usada para mostrar (por indução) que Inv é C^{∞}.

Se E, F são espaços de Banach, podemos também considerar o conjunto Iso(E; F) ⊂ L(E; F) dos isomorfismos topológicos entre E e F. Se E e F não são topologicamente isomorfos então Iso(E; F) é vazio. Se Iso(E; F) é não vazio então fixando um isomorfismo topológico entre E e F obtemos um isomorfismo topológico entre L(E; F) e L(E) por composição à esquerda com o isomorfismo fixado. Seguindo essa linha de idéias é fácil mostrar que Iso(E; F) é aberto em L(E; F) e que Inv: Iso(E; F) → L(F; E) é C^{∞}.

Finalmente, enunciamos o teorema da função inversa.

Teorema. (teorema da função inversa) Sejam E, F espaços de Banach. Seja f: U → F uma função de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ +∞) definida num aberto U ⊂ E. Se df(x) é bijetora para um certo x ∈ U então df(y) é bijetora para y numa certa vizinhança de x. Se df(x) for bijetora para todo x ∈ U então f é aberta, localmente injetora e se V ⊂ U é um aberto onde f é injetora então (f_{|V})^{−1}: f(V) → E também é C^{k}.

Demonstração. Vide [Lm].

Adotamos a terminologia usual chamando f um difeomorfismo C^{k} (1 ≤ k ≤ +∞) se f for uma bijeção C^{k} entre abertos de espaços de Banach cuja inversa é diferenciável (automaticamente C^{k}). Dizemos que f é um difeomorfismo local C^{k} se f for um difeomorfismo C^{k} em uma vizinhança aberta de cada ponto de seu domínio. O teorema da função inversa diz então que f é um difeomorfismo local C^{k} se e somente se for de classe C^{k} com diferencial bijetora em todo ponto de seu domínio.

Assim como em dimensão finita, do teorema da função inversa decorre o teorema da função implícita.

Teorema. (teorema da função implícita) Sejam E, F, G espaços de Banach. Seja f: U ⊂ E ⊕F → G uma função de classe C^{k} (k ≥ 1). Seja (x_{0}, y_{0}) ∈ U e escreva c = f(x_{0}, y_{0}) ∈ G. Se ∂_{F} f(x_{0}, y_{0}): F → G é bijetora então existem abertos V ⊂ E contendo x_{0} e W ⊂ F contendo y_{0} e uma função φ: V → W de classe C^{k} tais que V ×W ⊂ U e para x ∈ V, y ∈ W temos f(x, y) = c se e somente se y = φ(x). Além do mais, dφ(x) = −∂_{F} f(x, φ(x))^{−1} ∘ ∂_{E}f(x, φ(x)), para todo x ∈ V.

Demonstração. Defina g: U → E ⊕ G fazendo g(x, y) = (x, f(x, y)). É fácil ver que g é C^{k} e dg(x, y)(h, k) = (h, ∂_{E}f(x, y)h + ∂_{F} f(x, y)k). Daí dg(x_{0}, y_{0}) é bijetora e pelo teorema da função inversa g é um difeomorfismo C^{k} de uma vizinhança aberta U_{0} de (x_{0}, y_{0}) em U sobre uma vizinhança aberta g(U_{0}) de (x_{0}, c) em E ⊕ G. Escolha uma vizinhança aberta V × W de (x_{0}, y_{0}) em U_{0} tal que V × {c} ⊂ g(U_{0}). Daí basta definir φ fazendo φ(x) = π_{2} ∘ (g_{|U_{0}})^{−1}(x, c), onde π_{2} é a segunda projeção da soma direta E ⊕ F (diminua V para que φ tenha imagem em W).

A fórmula para dφ é obtida simplesmente diferenciando a igualdade f(x, φ(x)) = c. Para finalizar, apresentamos rapidamente a teoria de integração para funções a valores

num espaço de Banach.

Seja f: [a, b] → E uma função limitada, onde E é um espaço de Banach. Para cada partição P : a = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{k} = b do intervalo [a, b] escrevemos |P | = max_{i=1}^{k} t_{i}−t_{i−1}. Se τ = {τ_{1}, …, τ_{k}} é uma escolha de pontos com t_{i−1} ≤ τ_{i} ≤ t_{i}, i = 1, …, k então definimos a soma de Riemann Σ(f, P, τ) = ∑_{i=1}^{k} f(τ_{i})(t_{i} − t_{i−1}). Dizemos que I ∈ E é uma integral (de Riemann) de f se dado ϵ > 0 existe δ > 0 tal que para toda partição P com |P | < δ e toda escolha de pontos τ temos |Σ(f, P, τ) − I| < ϵ. Como é óbvio, essa integral quando existe é única e escrevemos I = ∫_{a}^{b} f. Quando a integral existe dizemos que f é Riemann integrável.

Observe que para funções a valores em ℝ é possível definir a integral de Riemann definindo primeiro a integral superior e a integral inferior. Isso só é possível para funções a valores em ℝ pois essas definições envolvem supremos e ínfimos (usam a ordem de ℝ). Para funções a valores em ℝ^{n} podemos definir simplesmente a integral coordenada por coordenada. Para funções a valores num espaço de Banach a única possibilidade é definir a integral como limite de somas de Riemann (não é possível recair em integral inferior e superior).

Uma teoria completa da integral de Riemann para funções num intervalo [a, b] a valores num espaço de Banach está desenvolvida em [Lm]. É verdade por exemplo que as funções Riemann integráveis formam um espaço vetorial, que a integração é uma operação linear e que toda função contínua é integrável. Vale também que ∥ ∫_{a}^{b} f∥ ≤ ∫_{a}^{b} ∥f∥, para f e ∥f∥ Riemann integráveis. Se f: [a, b] → E é contínua e se fixamos c ∈ [a, b] e definimos F (x) = ∫_{c}^{x} f (onde a definição é feita de maneira usual para x ≤ c) então F é C^{1} (i.e., diferenciável em [a, b] com derivada contínua, sendo que nas extremidades faz-se a derivada lateral correspondente) e F′ = f.

Uma diferença importante em relação ao caso de dimensão finita é que se T: E → F é uma transformação linear contínua e se f: [a, b] → E é Riemann integrável então T ∘ f também é Riemann integrável e ∫_{a}^{b} T ∘ f = T ∫_{a}^{b} f. Note bem, precisamos supor T linear contínua.

O que foi exposto acima é suficiente para o que será usado nas seções seguintes. Observamos porém que é possível fazer uma definição mais geral de integral de funções a valores num espaço de Banach. Seja (Ω, A, μ) um espaço de medida (i.e., Ω é um conjunto, A é uma σ-álgebra em Ω e μ é uma medida em A). Se f: Ω → E é uma função mensurável (i.e., a imagem inversa de abertos (ou de Boreleanos) de E pertence a A) dizemos que I ∈ E é uma integral de f se para todo λ ∈ E^{∗} (E^{∗} = L(E; ℝ)) temos λ(I) = ∫_{Ω} λ∘fdμ. Decorre do teorema de Hahn-Banach que se uma integral I existe então ela é única. Escrevemos então I = ∫_{Ω} fdμ e dizemos que f é integrável.

Essa teoria de integração mais geral só é interessante se o espaço E for separável (i.e., possui um conjunto enumerável denso ou, equivalentemente, tem base de abertos enumerável). De fato, por exemplo, só é possível mostrar que a soma de funções mensuráveis é mensurável se E for separável (se B é a σ-álgebra de Boreleanos em E então temos em E×E a σ-álgebra produto B×B gerada pelos conjuntos da forma A_{1}×A_{2}, com A_{1}, A_{2} ∈ B. Usando a σ-álgebra B × B em E × E é fácil ver que (f, g): Ω → E × E é mensurável se e somente se f e g o são. Acontece que B × B só coincide com a σ-álgebra de Boreleanos da topologia produto em E × E se E for separável. Daí, só podemos concluir que a função soma +: E × E → E é mensurável (a partir do fato que ela é contínua) no caso que E é separável).

Supomos então que E é separável. O teorema fundamental (mais difícil) aqui é que se f é mensurável e ∥f∥ é integrável então f é integrável e ∥ ∫_{Ω} fdμ∥ ≤ ∫_{Ω} ∥f∥dμ. Em dimensão finita vale a recíproca, mas como veremos abaixo esse não é o caso aqui. É bem fácil verificar que as funções integráveis formam um espaço vetorial, que a integral é linear e que ela comuta com uma transformação linear contínua T: E → F. Também é fácil ver que se Ω = [a, b], A é a σ-álgebra dos Lebesgue mensuráveis e μ é a medida de Lebesgue então uma função f: [a, b] → E limitada e Riemann integrável é integrável nesse sentido mais geral, sendo o valor da integral o mesmo (use funcionais λ ∈ E^{∗} para recair no caso de funções a valores em ℝ. Use que a integral de Lebesgue usual é uma generalização da integral de Riemann).

Fazemos um esboço da demonstração do teorema fundamental. Dizemos que uma função f: Ω → E é elementar quando for mensurável e tiver imagem enumerável, i.e., f = ∑_{n=0}^{+∞} v_{n}χ_{A_{n}}, onde cada v_{n} ∈ E e os A_{n} são mensuráveis e disjuntos (χ_{A_{n}} é a função característica de A_{n}). É fácil ver que se a série ∑_{n=0}^{+∞} v_{n}μ(A_{n}) é comutativamente convergente em E então f é integrável com integral igual à soma da série. Daí, como existem séries comutativamente convergentes que não são normalmente convergentes obtemos funções elementares integráveis com norma não integrável.

Observe que para funções elementares o teorema fundamental é fácil. Seja f: Ω → E uma função mensurável (não necessariamente elementar) com norma integrável. Se conseguirmos escrever f como limite pontual de funções elementares f_{n} tais que existe g: Ω → ℝ integrável com ∥f_{n}(x)∥ ≤ g(x) para todo n ∈ ℕ e todo x ∈ Ω então mostramos que f é integrável. De fato, ∫_{Ω} ∥f_{n} −f_{m}∥dμ vai a zero quando n, m → +∞ pelo teorema de convergência dominada de Lebesgue e segue daí que ∫_{Ω} f_{n}dμ é uma seqüência de Cauchy em E que converge então para um certo I ∈ E. É fácil ver que I é uma integral de f e que ∥I∥ ≤ ∫_{Ω} ∥f∥dμ.

Resta então encontrar a seqüência de funções elementares f_{n} prometida. Seja dado ϵ > 0. Existe uma seqüência (X_{n}^{ϵ})_{n∈ℕ} de Boreleanos não vazios dois a dois disjuntos de E cuja união é E, cujos diâmetros são menores que ϵ e tal que a origem está no interior de X_{0}^{ϵ}. De fato, considere uma cobertura aberta de E por conjuntos de diâmetro menor que ϵ e tome uma subcobertura enumerável E = ⋃_{n=1}^{+∞} U_{n}. Seja U_{0} ⊂ E uma vizinhança aberta da origem de diâmetro menor que ϵ. Defina então X_{0}^{ϵ} = U_{0} e para n ≥ 1, X_{n}^{ϵ} = U_{n} − (U_{1} ∪ … ∪ U_{n−1}) (se algum X_{n} for vazio basta eliminá-lo da seqüência).

Para cada m ∈ ℕ, m ≥ 1 tomamos ϵ = 1/m e consideramos a seqüência (X_{n}^{1/m})_{n∈ℕ} (escrevemos X_{n}^{m} para simplificar). Escreva A_{n}^{m} = f^{−1}(X_{n}^{m}) ∈ A. Definiremos f_{m} = ∑_{n=0}^{+∞} v_{n}^{m}χ_{A_{n}^{m}}, onde os v_{n}^{m} ∈ E ainda precisam ser escolhidos. Escolhendo v_{n}^{m} ∈ X_{n}^{m} já fica garantido que f_{m} → f pontualmente (até uniformemente, pois ∥f_{m}(x) − f(x)∥ < 1/m para todo x ∈ Ω). Precisamos apenas garantir que as normas de f_{m} sejam dominadas por uma função integrável g. Tome g(x) = 2∥f(x)∥ e para cada n, m ≥ 1 seja c_{n}^{m} > 0 o ínfimo de ∥x∥ para x ∈ X_{n}^{m} (note que c_{n}^{m} > 0 pois para n ≥ 1 temos que X_{n}^{m} é disjunto de uma vizinhança de zero). Escolha então v_{n}^{m} ∈ X_{n}^{m} com c_{n}^{m} ≤ ∥v_{n}^{m}∥ < 2c_{n}^{m}. Para n = 0 defina v_{0}^{m} = 0. Isto completa a demonstração.

O lema seguinte é um critério muito útil de diferenciabilidade. Ele será usado posteriormente. Note que ele praticamente reduz o problema de diferenciabilidade em espaços de Banach para diferenciabilidade em dimensão finita. Esta é a única vez que utilizaremos integração para funções a valores num espaço de Banach. Note que não precisaremos supor que o espaço E é separável, pois apenas faremos integração de funções contínuas f: [a, b] → E. Pode-se usar então a primeira teoria de integração que descrevemos, onde não se supõe E separável.

Seja E um espaço de Banach e seja Λ um conjunto de transformações lineares contínuas definidas em E a valores num espaço de Banach (podemos ter contra-domínios diferentes nos elementos de Λ). Diremos que Λ separa pontos em E se dados x, y ∈ E com x ≠ y existe λ ∈ Λ com λ(x) ≠ λ(y). Para que Λ separe pontos em E é necessário e suficiente que dado x ∈ E, x ≠ 0 exista λ ∈ Λ com λ(x) ≠ 0.

Lema 1. Sejam E, F espaços de Banach, f: U → F, g: U → L(E; F) funções definidas num aberto U ⊂ E com g contínua. Se existe um conjunto Λ de transformações lineares contínuas que separa pontos em F tal que para todo λ ∈ Λ e para todos x ∈ U, v ∈ E temos \frac{∂(λ∘f)}{∂v}(x) = λ ∘ g(x)v então f é C^{1} e df = g.

Demonstração. Seja x ∈ U. Escreva f(x + h) = f(x) + g(x)h + r(h). Observe que já sabemos que g(x): E → F é linear contínua então basta mostrar que lim_{h→0} \frac{r(h)}{∥h∥} = 0. Considere uma bola aberta de centro x contida em U e fixe h tal que x + h esteja nessa bola (de modo que o segmento [x, x + h] esteja contido em U).

Considere a curva t ∈ [0, 1] ↦ g(x + th)h ∈ F. Ela é contínua e portanto admite uma integral I ∈ F. Afirmamos que I = f(x + h) − f(x). De fato, se fosse I ≠ f(x + h) − f(x) então como Λ separa pontos em F existiria λ ∈ Λ com λ(I) ≠ λ ∘ f(x + h) − λ ∘ f(x). Mas nossas hipóteses sobre f implicam que t ∈ [0, 1] ↦ λ ∘ f(x + th) é diferenciável com derivada no instante t igual a λ ∘ g(x + th)h. Pelo teorema fundamental do cálculo segue que ∫_{0}^{1} λ ∘ g(x + th)h dt = λ(I) = λ ∘ f(x + h) − λ ∘ f(x), contradição.

Daí r(h) = ∫_{0}^{1} g(x + th)h − g(x)h dt e (como evaluação em h é uma operação linear contínua) r(h) = (∫_{0}^{1} g(x + th) − g(x)dt)h. Daí ∥r(h)∥ ≤ ∥h∥ ∫_{0}^{1} ∥g(x + th) − g(x)∥dt, onde a integral vai a zero quando h → 0. Decorre daí que df = g e como g é contínua segue que f é C^{1}.