Aula número 1 (13/08)

(1) Sistemas de coordenadas. Esta seção funciona como uma preparação psicológica para a noção de variedade

diferenciável e para os enunciados das formas locais das imersões, submersões e para o teorema do posto.

Começamos com uma pergunta: qual deve ser a definição correta para o conceito de “sistema de coordenadas”? Bom, a idéia básica é a seguinte: começamos com um “mundo abstrato” X onde temos uma certa quantidade de “habitantes”. Um certo habitante de X deseja usar algum sistema de coordenadas para descrever (ao menos uma parte de) X. Tal habitante deve então associar a cada ponto de X uma n-upla (x_{1}, …, x_{n}) de números reais, que seriam as “coordenadas” desse ponto x. Um bom sistema de coordenadas deve ter a propriedade que pontos diferentes possuem coordenadas diferentes (senão seria uma tremenda confusão!). Essa visão caricata do conceito de sistema de coordenadas motiva a seguinte:

Definição. Seja X um conjunto qualquer. Um sistema de coordenadas em X é uma função bijetora φ : U → Ũ, onde U é um subconjunto de X e Ũ é um subconjunto aberto de IR^{n} para algum n.

A exigência de que Ũ seja aberto em IR^{n} é feita por razões técnicas e é importante na teoria de variedades diferenciáveis. Num primeiro momento, seria razoável exigir apenas que Ũ fosse um subconjunto arbitrário de IR^{n}. Exemplo. Seja X = IR^{n}. Fazendo U = Ũ = IR^{n} e φ igual à aplicação identidade então o sistema de coordenadas φ : U → Ũ em X = IR^{n} é chamado o sistema de coordenadas cartesianas. Exemplo. Escolha θ_{0} ∈ IR e seja U = A_{θ_{0}} ⊂ IR^{2} o aberto de IR^{2} cujo complementar é a semi-reta fechada {(t cos θ_{0}, t sen θ_{0}) : t ≥ 0}. Seja Ũ = ]0, +∞[ × ]θ_{0}, θ_{0} + 2π[ e defina φ : U → Ũ fazendo φ(x, y) = (ρ, θ), onde ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} e θ ∈ ]θ_{0}, θ_{0} + 2π[ é determinado pelas identidades x = ρ cos θ e y = ρ sen θ. É fácil ver que a aplicação φ : U → Ũ é de fato bijetora e é portanto um sistema de coordenadas em IR^{2}; esse é chamado o sistema de coordenadas polares (relativo à escolha de θ_{0}) no plano IR^{2}. Exemplo. Escolha θ_{0} ∈ IR e defina A_{θ_{0}} como no exemplo anterior. Considere os abertos U = A_{θ_{0}} × IR ⊂ IR^{3}, Ũ = ]0, +∞[ ×]θ_{0}, θ_{0} + 2π[ × IR ⊂ IR^{3} e defina φ : U → Ũ fazendo φ(x, y, z) = (ρ, θ, z), onde ρ e θ são definidos a partir de x e y como no exemplo anterior. Temos que φ : U → Ũ é um sistema de coordenadas no espaço IR^{3} chamado o sistema de coordenadas cilíndricas (relativo à escolha de θ_{0}) no espaço IR^{3}.

Exemplo. Sejam U = IR^{3} \(]−∞, 0]×{0}×IR), Ũ = ]0, +∞[×]−π, π[×]0, π[ e φ : U → Ũ a aplicação definida por φ(x, y, z) = (r, θ, ϕ), onde r ∈ ]0, +∞[, θ ∈ ]−π, π[ e ϕ ∈ ]0, π[ são os únicos escalares para os quais as relações:

x = r cos θ sen ϕ, y = r sen θ sen ϕ, z = r cos ϕ,

são satisfeitas (note que r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}). Temos que φ é um sistema de coordenadas em IR^{3} chamado o sistema de coordenadas esféricas do espaço IR^{3}. Exemplo. Seja 𝔅 = (b_{i})_{i=1}^{n} uma base arbitrária de IR^{n}. Seja φ : IR^{n} → IR^{n} a única transformação linear tal que φ(b_{i}) é o i-ésimo vetor da base canônica de IR^{n} para todo i = 1, …, n. Temos que φ é um isomorfismo e portanto um sistema de coordenadas (com U = Ũ = IR^{n}) em IR^{n}. Note que para todo x ∈ IR^{n} temos que φ(x) coincide precisamente com a n-upla formada pelas coordenadas de x na base 𝔅. Dizemos que φ é um sistema de coordenadas linear em IR^{n}. Quando 𝔅 é a base canônica, temos que φ = Id, i.e., reobtemos as coordenadas cartesianas. Em geral, o sistema de coordenadas φ corresponde à idéia de usar “eixos de coordenadas oblíquos” e “escalas de medida arbitrárias” em cada um dos eixos. Mais geralmente, fixada uma base 𝔅 em IR^{n} e um ponto O ∈ IR^{n} então podemos definir um sistema de coordenadas φ : IR^{n} → IR^{n} fazendo φ(x) igual às coordenadas de x − O na base 𝔅. Dizemos então que φ é um sistema de coordenadas afim com origem O. Quando O = 0, estamos de volta ao caso de um sistema de coordenadas linear.

A definição de sistema de coordenadas que demos no início da seção é um tanto geral demais para nossos propósitos imediatos. De fato, observe que todos os sistemas de coordenadas mencionados nos exemplos acima se enquadram na seguinte definição mais restrita.

Definição. Um sistema de coordenadas de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) em IR^{n} é um difeomorfismo φ : U → Ũ de classe C^{k}, onde tanto U como Ũ são abertos em IR^{n}. Por um sistema de coordenadas de classe C^{0} em IR^{n} entendemos simplesmente um homeomorfismo φ : U → Ũ, onde U e Ũ são abertos em IR^{n}.

Observe que todos os exemplos mencionados acima são sistemas de coordenadas de classe C^{∞} em IR^{n}.

Para finalizar, apresentamos alguns exemplos um pouco diferentes (que não correspondem a sistemas de coordenadas em IR^{n}). Exemplo. Denote por S^{2} a esfera unitária bidimensional, ou seja:

S^{2} = {(x, y, z) ∈ IR^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}.

Seja U ⊂ S^{2} o aberto (relativo a S^{2}) definido por:

U = S^{2} \ ({0} × [0, +∞[ × IR),

i.e., U é o complementar em S^{2} de um meridiano fechado. Definimos uma aplicação φ : U → IR^{2} fazendo φ(x, y, z) = (θ, ϕ) onde θ é a “longitude” de (x, y, z) e ϕ é a “latitude” de (x, y, z); mais explicitamente, θ ∈ ]−π, π[, ϕ ∈ ]−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} [ são unicamente determinados pelas relações:

x = cos ϕ sen θ, y = − cos ϕ cos θ, z = sen ϕ.

Temos que φ é uma bijeção sobre o aberto Ũ = ]−π, π[ × ]−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} [ em IR^{2}. Portanto φ é um sistema de coordenadas na esfera unitária S^{2}. Exemplo. Seja V um espaço vetorial real de dimensão n < +∞ e seja 𝔅 = (b_{i})_{i=1}^{n} uma base para V. Existe uma única aplicação linear φ : V → IR^{n} que leva o vetor b_{i} sobre o i-ésimo vetor e_{i} da base canônica de IR^{n}. A aplicação φ é um isomorfismo que leva cada vetor v ∈ V sobre a n-upla que contém as coordenadas de v na base 𝔅. Temos que φ : V → IR^{n} é um sistema de coordenadas em V; diz-se que φ é um sistema de coordenadas linear no espaço vetorial V. Na verdade, o presente exemplo é apenas uma pequena generalização do exemplo onde mencionamos sistemas de coordenadas lineares em IR^{n} (veja também o Exercício 2 para uma generalização dos sistemas de coordenadas afins). Observe no entanto que se V é um espaço vetorial real arbitrário de dimensão n então não há um sistema de coordenadas canônico em V (por isso um espaço vetorial real genérico de dimensão 3 é um modelo mais adequado para o “espaço físico” do que IR^{3}, já que o “espaço físico” não possui uma base canônica — na verdade, espaços afins de dimensão 3 são um modelo ainda melhor, já que o “espaço físico” não possui sequer uma origem canônica). Observaç~ ao. Quem já estudou um pouco de teoria de cardinais em cursos de teoria dos conjuntos sabe que existe uma bijeção φ : S^{2} → IR da esfera unitária S^{2} sobre a reta real IR (isso segue por exemplo do teorema de Schröder–Bernstein e do fato que IR^{3} tem a mesma cardinalidade que IR). Tal bijeção φ é a rigor um sistema de coordenadas em S^{2} pela nossa definição geral, apesar do fato que esse sistema de coordenadas φ deve parecer “um tanto estranho”. Quando estudarmos a noção de variedade diferenciável faremos algumas restrições adicionais sobre a noção de sistema de coordenadas que eliminam patologias desagradáveis como essa.

Definição. Sejam X, Y conjuntos e φ : U ⊂ X → Ũ ⊂ IR^{m}, ψ : V ⊂ Y → Ṽ ⊂ IR^{n} sistemas de coordenadas para X e Y respectivamente. Seja f : X → Y uma função tal que f(U) ⊂ V e considere a função f̃: Ũ → Ṽ dada pela composição f̃ = ψ ∘ f ∘ φ^{−1}. Dizemos que f̃ é a função que representa f com respeito aos sistemas de coordenadas φ e ψ.

A relação entre f e f̃ é representada pelo seguinte diagrama comutativo:

\xymatrix{U \ar[r]^{f} \ar[d]_{φ}^{≅} & V \ar[d]^{ψ}_{≅} \\ Ũ \ar[r]_{f̃} & Ṽ}

o símbolo ≅ foi usado para indicar que φ e ψ são bijeções. No Exercício 1 pedimos para vocês relacionarem a noção acima com a noção usual da Álgebra Linear de “matrizes que representam operadores lineares em bases”.

(2) A versão linear do teorema do posto. Em álgebra linear é muito estudado o problema de diagonabilidade de operadores

lineares T : V → V, onde V é um espaço vetorial de dimensão finita. O problema consiste em achar uma base de V de modo que a matriz que representa T nessa base seja diagonal. Tal tarefa não é sempre realizável, i.e., existem operadores que não são diagonalizáveis. A vantagem básica de diagonalizar um operador linear é basicamente óbvia: quer-se um sistema de coordenadas no qual T seja descrito de maneira simples.

Vamos tratar aqui um problema muito mais simples do que o da diagonalização: dada uma transformação linear T : V → W (com V, W espaços vetoriais possivelmente distintos, de dimensão finita), queremos encontrar bases de V e W que tornem a representação matricial de T o mais “simples” possível. Note que mesmo quando V = W tal problema é mais simples do que o problema usual de diagonalização; de fato, permitimos aqui que sejam usadas bases diferentes no domínio e no contra-domínio de T.

Temos o seguinte:

Teorema. Sejam V, W espaços vetoriais com dim(V) = m < +∞ e dim(W) = n < +∞. Dada uma transformação linear T : V → W então existem bases 𝔅 e 𝔅′ para V e W respectivamente de modo que a matriz [T]_{𝔅𝔅′} que representa T com respeito a tais bases é dada (em notação de blocos) por:

[T]_{𝔅𝔅′} = ( \begin{matrix}I_{k} & 0_{k×(m−k)} \\ 0_{(n−k)×k} & 0_{(n−k)×(m−k)} \end{matrix} ) ,

onde I_{k} denota a matriz identidade k × k e 0_{α×β} denota a matriz nula α × β. Além do mais, o número k é precisamente o posto de T (i.e., a dimensão de Im(T)).

Demonstração. Em primeiro lugar, se tais bases existirem então k deve coincidir com o posto de T pois o posto de T deve ser igual ao posto da matriz [T]_{𝔅𝔅′} (que é k). Vamos agora mostrar a existência das bases 𝔅 e 𝔅′. Escolha uma base qualquer de Ker(T) e complete-a até uma base de V; obtemos então uma base 𝔅 = (b_{i})_{i=1}^{m} de V tal que (b_{i})_{i=k+1}^{m} é uma base de Ker(T). Temos que (b_{i})_{i=1}^{k} é uma base para um subespaço S ⊂ V tal que V = S ⊕ Ker(T). Daí T leva S isomorficamente sobre T (V) = Im(T) ⊂ W (veja Exercício 3); concluímos então que b′_{i} = T (b_{i}), i = 1, …, k nos dá uma base para a imagem de T. Escolha agora 𝔅′ = (b′_{i})_{i=1}^{n} como sendo um completamento qualquer de (b′_{i})_{i=1}^{k} até uma base de W. Segue agora facilmente que [T]_{𝔅𝔅′} assume a forma desejada. Observaç~ ao. Usando o resultado do Exercício 1, vemos que se 𝔅 e 𝔅′ são bases como no enunciado do teorema acima e se φ_{𝔅} : V → IR^{m}, φ_{𝔅′} : W → IR^{n} são os correspondentes sistemas de coordenadas então temos um diagrama comutativo:

\xymatrix{V \ar[r]^{T} \ar[d]^{≅}_{φ_{𝔅}} & W \ar[d]_{≅}^{φ_{𝔅′}} \\ IR^{m} \ar[r]_{F} & IR^{n}}

onde F : IR^{m} → IR^{n} é dada por:

F (x_{1}, …, x_{k}, …, x_{m}) = (x_{1}, …, x_{k}, \underbrace{0, …, 0}_{n−k zeros}),

para todo x = (x_{1}, …, x_{m}) ∈ IR^{m}. Encontramos então sistemas de coordenadas (lineares) em V e W que tornam a representação de T (ou seja, F) bem simples! Observaç~ ao. Se T : V → W é injetora então k = m ≤ n e o teorema nos dá sistemas de coordenadas nos quais a representação de T é dada por:

F (x_{1}, …, x_{m}) = (x_{1}, …, x_{m}, \underbrace{0, …, 0}_{n−m zeros}).

Nesse caso, podemos fazer ainda uma pequena melhora no enunciado do teorema: é possível para toda base 𝔅 de V encontrar uma base 𝔅′ de W na qual [T]_{𝔅𝔅′} tem a forma desejada. De fato, se 𝔅 = (b_{i})_{i=1}^{m} é uma base qualquer de V então b′_{i} = T (b_{i}), i = 1, …, m é um conjunto linearmente independente e portanto pode ser completado a uma base 𝔅′ para W. Segue que [T]_{𝔅𝔅′} é dada por:

[T]_{𝔅𝔅′} = ( \begin{matrix}I_{m} \\ 0_{(n−m)×m} \end{matrix} ) .

Observaç~ ao. Se T : V → W é sobrejetora então k = n ≤ m e o teorema nos dá sistemas de coordenadas nos quais a representação de T é dada por:

F (x_{1}, …, x_{m}) = (x_{1}, …, x_{n}).

Nesse caso, podemos também fazer uma pequena melhora no enunciado do teorema: é possível para toda base 𝔅′ de W encontrar uma base 𝔅 de V na qual [T]_{𝔅𝔅′} tem a forma desejada. De fato, se 𝔅′ = (b′_{i})_{i=1}^{n} é uma base qualquer para W, escolha um subespaço S ⊂ V com V = S ⊕ Ker(T); daí T |_{S} : S → W é um isomorfismo e portanto b_{i} = (T |_{S})^{−1}(b′_{i}), i = 1, …, n nos dá uma base de S. Seja (b_{i})_{i=n+1}^{m} uma base qualquer de Ker(T), de modo que 𝔅 = (b_{i})_{i=1}^{n} é uma base de V. Segue que [T]_{𝔅𝔅′} é dada por:

[T]_{𝔅𝔅′} = ( I_{n} 0_{n×(m−n)} ) .

Exercícios.

(não é para entregar, mas é bom dar uma olhada e quem tiver problemas me procura).

Álgebra Linear.

1. Sejam V, W espaços vetoriais reais de dimensão finita e 𝔅 = (b_{i})_{i=1}^{m}, 𝔅′ = (b′_{i})_{i=1}^{n} bases para V e para W respectivamente. Denote por:

φ_{𝔅} : V ⟶ IR^{m}, φ_{𝔅′} : W ⟶ IR^{n},

respectivamente os sistemas de coordenadas em V e W associados a 𝔅 e a 𝔅′, i.e., φ_{𝔅} é o isomorfismo que leva 𝔅 sobre a base canônica de IR^{m} e φ_{𝔅′} é o isomorfismo que leva 𝔅′ sobre a base canônica de IR^{n}. Dada uma transformação linear T : V → W, denote por A a matriz real n × m que representa T com respeito às bases 𝔅 e 𝔅′, i.e., para i = 1, …, n, j = 1, …, m, A_{ij} é a i-ésima coordenada na base 𝔅′ do vetor T (b_{j}); denote também por L_{A} : IR^{m} → IR^{n} o operador de multiplicação por A, i.e., L_{A}(x) = Ax para todo x ∈ IR^{m}, onde interpretamos x como uma matriz coluna m×1. Mostre que o seguinte diagrama:

\xymatrix{V \ar[r]^{T} \ar[d]^{≅}_{φ_{𝔅}} & W \ar[d]_{≅}^{φ_{𝔅′}} \\ IR^{m} \ar[r]_{L_{A}} & IR^{n}}

comuta, i.e., mostre que φ_{𝔅′} ∘ T = L_{A} ∘ φ_{𝔅}. Isso significa que L_{A} é a função que representa T com respeito aos sistemas de coordenadas φ_{𝔅} e φ_{𝔅′}!

2. Sejam V um espaço vetorial real e P um conjunto; seja dada também uma aplicação ρ : V × P → P satisfazendo as seguinte propriedades:

(i) ρ(v, ρ(w, p)) = ρ(v + w, p) para todos v, w ∈ V, p ∈ P; (ii) ρ(0, p) = p para todo p ∈ P; (iii) se para algum v ∈ V, p ∈ P temos ρ(v, p) = p então v = 0; (iv) para todos p, q ∈ P existe v ∈ V com ρ(v, p) = q.

A trinca (P, V, ρ) é dita um espaço afim e V é dito o espaço vetorial paralelo a tal espaço afim. Tipicamente pensa-se em P como um “conjunto de pontos” e, para p ∈ P, v ∈ V, escreve-se p + v em vez de ρ(v, p), i.e., diz-se que ρ(v, p) é a soma do vetor v com o ponto p. Mostre que dados O ∈ P e 𝔅 = (b_{i})_{i=1}^{n} uma base para V então para cada p ∈ P existe um único x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ IR^{n} tal que p = O + ∑_{i=1}^{n} x_{i}b_{i}; definindo φ(p) = x, mostre que obtêm-se uma bijeção φ : P → IR^{n}. Diz-se que φ é o sistema de coordenadas afim em P com origem O e “eixos” (b_{i})_{i=1}^{n}.

Observaç~ ao. Para quem já estudou um pouco de teoria de ação de grupos: as condições impostas acima sobre ρ : V × P → P dizem que ρ é uma ação livre e transitiva do grupo abeliano aditivo (V, +) no conjunto P (livre = “sem pontos fixos”).

3. Sejam V, W espaços vetoriais e T : V → W uma transformação linear. Mostre que as seguintes condições são equivalentes sobre um subespaço S ⊂ V:

(i) V = Ker(T) ⊕ S; (ii) T |_{S} : S → Im(T) é um isomorfismo.

[dica: supondo (ii), para mostrar que V = Ker(T) + S, tome v ∈ V e olhe para o vetor (T |_{S})^{−1}(T (v)) ∈ S].

Notaç~ ao: se V, W são espaços vetoriais (sobre um mesmo corpo de escalares), denotamos por Lin(V, W) o espaço dos operadores lineares T : V → W.

Notaç~ ao: se V, W são espaços vetoriais reais de dimensão finita (tipicamente V = IR^{m}, W = IR^{n}) e se f é uma aplicação definida num aberto de V tomando valores em W então, se f é diferenciável num ponto x ∈ V do seu domínio, denotamos por df(x) ∈ Lin(V, W) o diferencial de f no ponto x. Se S ⊂ V é um subespaço, denotamos por ∂_{S}f(x) ∈ Lin(S, W) a restrição de df(x) ao subespaço S (∂_{S}f(x) é a diferencial de f no ponto x ao longo do subespaço S). Caso seja fixada pelo contexto uma decomposição em soma direta V = ⨁_{i=1}^{n} V_{i} então escrevemos ∂_{i}f(x) = ∂_{V_{i}}f(x) (∂_{i}f(x) é a diferencial parcial de f no ponto x com respeito à i-ésima variável).

(1) A forma local das imersões.

Nosso objetivo agora é generalizar os resultados da aula anterior para o caso de transformações não lineares (mas diferenciáveis). Começamos com a generalização do teorema da aula anterior no caso de transformações lineares injetoras.

Definição. Seja f : U → IR^{n} uma função definida num aberto U ⊂ IR^{m}. Se f é diferenciável num ponto x ∈ U e se a transformação linear df(x) : IR^{m} → IR^{n} é injetora então dizemos que f é uma imersão no ponto x. Se f é diferenciável em U e se df(x) é injetora para todo x ∈ U então dizemos simplesmente que f é uma imersão.

Obviamente só é possível que f : U ⊂ IR^{m} → IR^{n} seja uma imersão num ponto x ∈ U se m ≤ n.

Demonstramos agora a forma local das imersões que nos diz que se f é uma função de classe C^{k} que é uma imersão num ponto x_{0} então é possível obter um sistema de coordenadas de classe C^{k} no contra-domínio de f em torno de f(x_{0}) de modo que a representação de f nesse sistema de coordenadas seja dada, em alguma vizinhança de x_{0}, por x ↦ (x, 0).

Teorema. (forma local das imersões) Suponha que f : U → IR^{n} é uma função de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) definida num aberto U ⊂ IR^{m} e suponha que f é uma imersão num ponto x_{0} ∈ U. Então existem abertos V ⊂ IR^{m}, W, W̃ ⊂ IR^{n} e um difeomorfismo φ : W → W̃ de classe C^{k} com x_{0} ∈ V ⊂ U, f(V) ⊂ W e de modo que:

(φ ∘ f)(x_{1}, …, x_{m}) = (x_{1}, …, x_{m}, \underbrace{0, …, 0}_{n−m zeros}),

para todo x = (x_{1}, …, x_{m}) ∈ V.

Demonstração. Seja S ⊂ IR^{n} um subespaço (de dimensão n − m) tal que:

IR^{n} = Im(df(x_{0})) ⊕ S.

Defina uma aplicação G : U × S → IR^{n} fazendo:

G(x, y) = f(x) + y,

para todos x ∈ U, y ∈ S. Obviamente G é de classe C^{k} e a diferencial:

dG(x_{0}, 0) : IR^{m} ⊕ S ⟶ IR^{n}

é dada por:

dG(x_{0}, 0) · (h, k) = df(x_{0}) · h + k,

para todos h ∈ IR^{m}, k ∈ S. Segue facilmente do fato que df(x_{0}) é injetora e de IR^{n} = Im(df(x_{0})) ⊕ S que dG(x_{0}, 0) é um isomorfismo. Pelo teorema da função inversa, G leva uma vizinhança aberta de (x_{0}, 0) em U × S (que podemos escolher da forma V × V′, com V ⊂ U e V′ ⊂ S abertos) difeomorficamente sobre uma vizinhança aberta W = G(V × V′) de G(x_{0}, 0) = f(x_{0}) em IR^{n}. Escolha agora um isomorfismo qualquer T_{0} : S → IR^{n−m} e considere o isomorfismo T : IR^{m} ⊕ S → IR^{n} definido por T (x, y) = (x, T_{0}(y)), x ∈ IR^{m}, y ∈ S. Temos agora que a aplicação φ : W → IR^{n} definida por φ = T ∘ (G|_{V ×V′})^{−1} é um difeomorfismo de classe C^{k} sobre o aberto W̃ = T (V × V′) = V × T_{0}(V′) em IR^{n}. Além do mais, se x ∈ V então (x, 0) ∈ V × V′ e:

G(x, 0) = f(x) ∈ W = G(V × V′);

finalmente, temos:

φ(f(x)) = (T ∘ (G|_{V ×V′})^{−1})(f(x)) = T (x, 0) = (x, 0) = (x_{1}, …, x_{m}, \underbrace{0, …, 0}_{n−m zeros}),

para todo x = (x_{1}, …, x_{m}) ∈ V. Isso completa a demonstração. Observaç~ ao. Intuitivamente, se f é uma imersão então a imagem de f “possui a mesma dimensão” (num sentido que será feito preciso no futuro) que o domínio de f. A forma local das imersões confirma essa idéia intuitiva.

(2) A forma local das submersões.

Definição. Seja f : U → IR^{n} uma função definida num aberto U ⊂ IR^{m}. Se f é diferenciável num ponto x ∈ U e se a transformação linear df(x) : IR^{m} → IR^{n} é sobrejetora então dizemos que f é uma submersão no ponto x. Se f é diferenciável em U e se df(x) é sobrejetora para todo x ∈ U então dizemos simplesmente que f é uma submersão.

Obviamente só é possível que f : U ⊂ IR^{m} → IR^{n} seja uma submersão num ponto x ∈ U se m ≥ n.

Demonstramos agora a forma local das submersões que nos diz que se f é uma função de classe C^{k} que é uma submersão num ponto z_{0} então é possível obter um sistema de coordenadas de classe C^{k} no domínio de f em torno de z_{0} de modo que a representação de f nesse sistema de coordenadas seja dada, em alguma vizinhança de z_{0}, pela projeção z = (x, y) ↦ x.

Teorema. (forma local das submersões) Seja f : U → IR^{n} uma função de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) definida num aberto U ⊂ IR^{m} e suponha que f é uma submersão num ponto z_{0} ∈ U. Então existem abertos V, Ṽ ⊂ IR^{m} e um difeomorfismo φ : V → Ṽ de classe C^{k} de modo que z_{0} ∈ V ⊂ U e:

(f ∘ φ^{−1})(v_{1}, …, v_{m}) = (v_{1}, …, v_{n}),

para todo v = (v_{1}, …, v_{m}) ∈ Ṽ.

Demonstração. Seja S ⊂ IR^{m} um subespaço (de dimensão n) tal que:

IR^{m} = Ker(df(z_{0})) ⊕ S.

Defina uma aplicação G : U → IR^{n} ⊕ Ker(df(z_{0})) fazendo:

G(x, y) = (f(x, y), x),

para todos x ∈ Ker(df(z_{0})), y ∈ S tais que (x, y) ∈ U ⊂ Ker(df(z_{0})) ⊕ S = IR^{m}. Obviamente G é de classe C^{k} e sua diferencial no ponto z_{0} = (x_{0}, y_{0}) ∈ Ker(df(z_{0})) ⊕ S é dada por:

dG(x_{0}, y_{0}) · (h, k) = (∂_{1}f(x_{0}, y_{0}) · h + ∂_{2}f(x_{0}, y_{0}) · k, h),

para todos h ∈ Ker(df(z_{0})), k ∈ S. Como ∂_{2}f(x_{0}, y_{0}) = df(z_{0})|_{S} : S → IR^{n} é um isomorfismo, segue facilmente que:

dG(x_{0}, y_{0}) : IR^{m} = Ker(df(z_{0})) ⊕ S ⟶ IR^{n} ⊕ Ker(df(z_{0})),

é um isomorfismo. Pelo teorema da função inversa, G leva uma vizinhança aberta V de z_{0} = (x_{0}, y_{0}) em U difeomorficamente sobre uma vizinhança aberta V′ de G(z_{0}) = (f(z_{0}), x_{0}) em IR^{n} ⊕ Ker(df(z_{0})). Escolha um isomorfismo qualquer T_{0} : Ker(df(z_{0})) → IR^{m−n} e considere o isomorfismo T : IR^{n} ⊕ Ker(df(z_{0})) → IR^{m} definido por T (u, x) = (u, T_{0}(x)), u ∈ IR^{n}, x ∈ Ker(df(z_{0})). Temos agora que Ṽ = T (V′) é um aberto de IR^{m} e que a aplicação φ : V → Ṽ definida por:

φ = T ∘ G|_{V} ,

é um difeomorfismo de classe C^{k}. Para finalizar, seja v = (v_{1}, …, v_{m}) ∈ Ṽ. Temos que T^{−1}(v) = (u, x) ∈ V′, onde u = (v_{1}, …, v_{n}) ∈ IR^{n} e x ∈ Ker(df(z_{0})) satisfaz T_{0}(x) = (v_{n+1}, …, v_{m}). Daí:

φ^{−1}(v) = (G|_{V})^{−1}(u, x) = (x, y),

onde y ∈ S é caracterizado pelo fato que (x, y) ∈ V e f(x, y) = u. A conclusão agora é obtida observando que:

(f ∘ φ^{−1})(v_{1}, …, v_{m}) = (f ∘ φ^{−1})(v) = f(x, y) = u = (v_{1}, …, v_{n}).

(3) O teorema do posto. O próximo teorema generaliza tanto a forma local das imersões quanto a forma lo-

cal das submersões. Ele nos diz que uma função de classe C^{k} cuja diferencial tem posto constante pode (em abertos suficientemente pequenos) ser representada por uma função da forma (x, y) ↦ (x, 0) em sistemas de coordenadas de classe C^{k} convenientemente escolhidos.

Teorema. (do posto) Seja f : U → IR^{n} uma função de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) definida num aberto U ⊂ IR^{m}. Suponha que o posto de df(x) é (constante e) igual a r para todo x ∈ U, para algum r = 0, …, min{m, n}. Então para todo z_{0} ∈ U existem abertos V, Ṽ ⊂ IR^{m}, W, W̃ ⊂ IR^{n} e difeomorfismos φ : V → Ṽ, ψ : W → W̃ de classe C^{k} com z_{0} ∈ V ⊂ U, f(V) ⊂ W e:

ψ[f(φ^{−1}(v_{1}, …, v_{m}))] = (v_{1}, …, v_{r}, \underbrace{0, …, 0}_{n−r zeros}),

para todo v = (v_{1}, …, v_{m}) ∈ Ṽ.

Demonstração. Seja S ⊂ IR^{n} um subespaço (de dimensão n − r) tal que:

IR^{n} = Im(df(z_{0})) ⊕ S.  (1)

Segue então da continuidade de df e do lema a seguir que Im(df(z)) + S = IR^{n} para todo z em alguma vizinhança aberta V_{0} de z_{0} em U; como Im(df(z)) tem dimensão r, obtemos:

IR^{n} = Im(df(z)) ⊕ S,  (2)

para todo z pertencente a V_{0}. Seja π : IR^{n} → Im(df(z_{0})) o operador de projeção correspondente à soma direta (1). Segue de (2) e do Exercício 1 que π leva Im(df(z)) isomorficamente sobre Im(df(z_{0})). Concluímos então que a aplicação:

π ∘ f|_{V_{0}} : V_{0} ⟶ Im(df(z_{0}))

é uma submersão (de classe C^{k}), já que d(π ∘ f|_{V_{0}})(z) = π ∘ df(z), para todo z ∈ V_{0}. Observe também que a injetividade da restrição de π a Im(df(z)) implica que:

Ker(π ∘ df(z)) = Ker(df(z)),  (3)

para todo z ∈ V_{0}.

Escolha um isomorfismo qualquer T : Im(df(z_{0})) → IR^{r}; obviamente T ∘ π ∘ f|_{V_{0}} é ainda uma submersão. Pela forma local das submersões, existem abertos V, Ṽ ⊂ IR^{m} e um difeomorfismo φ : V → Ṽ de classe C^{k} com z_{0} ∈ V ⊂ V_{0} e:

(T ∘ π ∘ f ∘ φ^{−1})(v_{1}, …, v_{m}) = (v_{1}, …, v_{r}),  (4)

para todo v = (v_{1}, …, v_{m}) ∈ Ṽ; podemos também supor que Ṽ é da forma Ṽ = Ṽ_{1} × Ṽ_{2}, onde Ṽ_{1} é um aberto de IR^{r} e Ṽ_{2} é um aberto conexo de IR^{m−r}. Diferenciando (4) num ponto v = φ(z) ∈ Ṽ e aplicando ao i-ésimo vetor e_{i} da base canônica de IR^{m} obtemos:

[T ∘ π ∘ df(z) ∘ dφ(z)^{−1}] · e_{i} = 0, i = r + 1, …, m,

para todo z ∈ V. Como T é um isomorfismo, usando (3) e a fórmula acima concluímos que dφ(z)^{−1} · e_{i} ∈ Ker(df(z)), i = r + 1, …, m e portanto:

d(f ∘ φ^{−1})(φ(z)) · e_{i} = [df(z) ∘ dφ(z)^{−1}] · e_{i} = 0, i = r + 1, …, m,

para todo z ∈ V. Segue que para todo u ∈ Ṽ_{1} ⊂ IR^{r}, a função:

Ṽ_{2} ∋ u′ ⟼ f(φ^{−1}(u, u′)) ∈ IR^{n}

definida no aberto conexo Ṽ_{2} ⊂ IR^{m−r} possui diferencial identicamente nula e portanto é constante; isso significa que f ∘ φ^{−1} não depende das últimas m − r variáveis, i.e., existe uma função α : Ṽ_{1} → IR^{n} de classe C^{k} com:

f ∘ φ^{−1}(u, u′) = α(u),  (5)

para todos u ∈ Ṽ_{1}, u′ ∈ Ṽ_{2} (para definir α, escolha qualquer u′_{0} ∈ Ṽ_{2} e ponha α(u) = f ∘ φ^{−1}(u, u′_{0}), u ∈ Ṽ_{1}). Considere as coordenadas α_{1} : Ṽ_{1} → Im(df(z_{0})) e α_{2} : Ṽ_{1} → S de α com respeito à decomposição IR^{n} = Im(df(z_{0})) ⊕ S. A igualdade (4) nos diz que:

T (α_{1}(u)) = u,  (6)

para todo u ∈ Ṽ_{1}. Definimos agora o difeomorfismo ψ : W → W̃ de classe C^{k} fazendo W = T^{−1}(Ṽ_{1}) × S ⊂ Im(df(z_{0})) ⊕ S = IR^{n}, W̃ = Ṽ_{1} × IR^{n−r} ⊂ IR^{n} e:

ψ(w, w′) = (T (w), T′[w′ − α_{2}(T (w))]), w ∈ T^{−1}(Ṽ_{1}), w′ ∈ S,

onde T′ : S → IR^{n−r} é um isomorfismo qualquer. Segue agora de (5) e de (6) que f(V) ⊂ W e que:

(ψ ∘ f ∘ φ^{−1})(u, u′) = (u, 0),

para todos u ∈ Ṽ_{1} ⊂ IR^{r}, u′ ∈ Ṽ_{2} ⊂ IR^{m−r}.

Lema. Sejam V, W espaços vetoriais reais de dimensão finita e S ⊂ W um subespaço. Então o conjunto dos operadores lineares T : V → W tais que Im(T) + S = W é aberto em Lin(V, W).

Demonstração. Considere o espaço quociente W/S e seja q : W → W/S a aplicação quociente. É fácil ver que Im(T) + S = W se e somente se q ∘ T : V → W/S é sobrejetora. Mas a aplicação:

Lin(V, W) ∋ T ⟼ q ∘ T ∈ Lin(V, W/S)

é contínua (pois é linear) e o subconjunto de Lin(V, W/S) formado pelas aplicações sobrejetoras é aberto (vide Exercício 2). A conclusão segue.

Álgebra Linear.

1. Seja V um espaço vetorial e sejam V_{1}, V_{2}, V′_{2} subespaços de V tais que:

V = V_{1} ⊕ V_{2}, V = V_{1} ⊕ V′_{2}.

Denote por π : V → V_{2} a projeção em V_{2} relativa à decomposição V = V_{1} ⊕ V_{2} e por π′ : V → V′_{2} a projeção em V′_{2} relativa à decomposição V = V_{1} ⊕ V′_{2}. Mostre que:

π′|_{V_{2}} : V_{2} ⟶ V′_{2} e π|_{V′_{2}} : V′_{2} ⟶ V_{2}

são isomorfismos mutuamente inversos.

2. Dados espaços vetoriais reais de dimensão finita V, W, mostre que os conjuntos:

{T ∈ Lin(V, W) : T é injetora} e {T ∈ Lin(V, W) : T é sobrejetora},

são abertos em Lin(V, W) [dica: as condições de injetividade e sobrejetividade significam que um determinante menor da matriz que representa T numa base fixada é diferente de zero].

(1) A importância das funções de transição. Esta seção tem como objetivo dar mais motivação à definição de variedade dife-

renciável. Explicamos como um sistema de coordenadas num conjunto X pode ser usado para transferir alguma estrutura existente no espaço IR^{n} para o conjunto X; mostramos então, através de um exemplo, que dois sistemas de coordenadas diferentes em X determinam a mesma estrutura em X se e somente se sua função de transição preserva a correspondente estrutura em IR^{n}.

Definição. Seja X um conjunto e sejam φ : U ⊂ X → Ũ ⊂ IR^{n}, ψ : V ⊂ X → Ṽ ⊂ IR^{n} sistemas de coordenadas em X. A função de transição de φ para ψ é a função bijetora:

ψ ∘ φ^{−1} : IR^{n} ⊃ φ(U ∩ V) ⟶ ψ(U ∩ V) ⊂ IR^{n}.

Note que se U ∩ V = ∅ então a função de transição de φ para ψ é vazia.

Lema. Sejam X um conjunto e φ : X → IR^{n} uma função bijetora. Então existe uma única estrutura de espaço vetorial real em X tal que φ é um isomorfismo.

Demonstração. Para que φ seja um isomorfismo, as operações em X devem ser necessariamente definidas por:

v + w = φ^{−1}(φ(v) + φ(w)), cv = φ^{−1}(cφ(v)),

para todos v, w ∈ X, c ∈ IR. É fácil verificar que as operações acima de fato tornam X um espaço vetorial real e que φ é linear.

A estrutura de espaço vetorial em X que torna a bijeção φ um isomorfismo é chamada a estrutura de espaço vetorial induzida por φ em X.

Lema. Sejam X um conjunto e φ : X → IR^{n}, ψ : X → IR^{n} funções bijetoras. Então φ e ψ induzem a mesma estrutura de espaço vetorial em X se e somente se a função de transição ψ ∘ φ^{−1} : IR^{n} → IR^{n} é um isomorfismo.

Demonstração. Denote por X_{1} o espaço vetorial X com a estrutura induzida por φ e por X_{2} o espaço vetorial X com a estrutura induzida por ψ. Queremos mostrar que X_{1} = X_{2} se e somente se ψ ∘ φ^{−1} é um isomorfismo. Em primeiro lugar, é fácil ver que X_{1} = X_{2} se e somente se a aplicação identidade Id : X_{1} → X_{2} é um isomorfismo. Agora temos um diagrama comutativo:

\xymatrix{X_{1} \ar[r]^{Id} \ar[d]_{φ}^{≅} & X_{2} \ar[d]^{ψ}_{≅} \\ IR^{n} \ar[r]_{ψ∘φ^{−1}} & IR^{n}}

As flechas verticais no diagrama são isomorfismos; logo Id é um isomorfismo se e somente se ψ ∘ φ^{−1} o é.

Dois sistemas de coordenadas φ : X → IR^{n} e ψ : X → IR^{n} num conjunto X tais que a função de transição ψ ∘ φ^{−1} é um isomorfismo são ditos linearmente compatíveis. É fácil ver que compatibilidade linear é uma relação de equivalência no conjunto B dos sistemas de coordenadas φ : X → IR^{n} (veja Exercício 1). Seja A ⊂ B uma classe de equivalência correspondente à relação de equivalência de compatibilidade linear. Então existe uma única estrutura de espaço vetorial real em X (de dimensão n) tal que cada φ ∈ A é um isomorfismo. Reciprocamente, se é dada uma estrutura de espaço vetorial real em X de dimensão n então o conjunto de todos os isomorfismos φ : X → IR^{n} é uma classe de equivalência correspondente à relação de compatibilidade linear. Essas observações nos levam à seguinte definição alternativa para o conceito de espaço vetorial real (de dimensão n): um espaço vetorial real é um par (X, A), onde X é um conjunto e A ⊂ B é uma classe de equivalência correspondente à relação de compatibilidade linear.

Na seção seguinte, usamos as idéias explicadas acima para transferir para um conjunto M a “estrutura diferenciável” do IR^{n}, i.e., a estrutura que nos permite estudar cálculo diferencial. A noção de compatibilidade linear será substituída pela noção de compatibilidade diferenciável; de fato, as funções de transição consideradas, serão os isomorfismos do cálculo diferencial: a saber, os difeomorfismos. Um conjunto M munido de uma “estrutura diferenciável”, transferida de IR^{n} através de sistemas de coordenadas, será chamado uma variedade diferenciável. Ressaltamos uma diferença importante entre a noção de espaço vetorial e a noção de variedade diferenciável; enquanto todo espaço vetorial real de dimensão n é (globalmente) isomorfo a IR^{n}, uma variedade diferenciável de dimensão n é apenas localmente difeomorfa a IR^{n}, i.e., os sistemas de coordenadas que usamos para definir a “estrutura diferenciável” em M são definidos apenas em subconjuntos de M.

(2) A noção de variedade diferenciável. Nesta seção introduzimos a noção de variedade diferenciável de classe C^{k} (considera-

mos ao longo da seção um valor fixado para k, 0 ≤ k ≤ ∞).

Definição. Seja M um conjunto e sejam φ : U → Ũ ⊂ IR^{n}, ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{n} sistemas de coordenadas em M (i.e., φ e ψ são bijeções, U, V são subconjuntos de M e Ũ, Ṽ são abertos em IR^{n}). Dizemos que φ e ψ são compatíveis em classe C^{k} (ou C^{k}-compatíveis) se φ(U ∩V) e ψ(U ∩V) são abertos em IR^{n} e a função de transição ψ∘φ^{−1} é um difeomorfismo de classe C^{k} (por um difeomorfismo de classe C^{0} entendemos um homeomorfismo).

Convencionamos que a aplicação vazia é um difeomorfismo de classe C^{k} para todo k; logo φ e ψ são sempre C^{k}-compatíveis se U ∩ V = ∅. Observaç~ ao: se n = 0 então quaisquer sistemas de coordenadas são C^{k}-compatíveis, para todo k (já que toda função definida ou tomando valores em IR^{0} = {0} é de classe C^{∞}).

Observaç~ ao: a noção de C^{k}-compatibilidade para sistemas de coordenadas φ : U → Ũ e ψ : V → Ṽ faria sentido também na situação mais geral em que Ũ é um aberto de IR^{m} e Ṽ é um aberto de IR^{n} (onde, a princípio, m não precisa ser igual a n). Mas se U ∩ V ≠ ∅, tal compatibilidade implicaria na existência de um difeomorfismo de classe C^{k} de um aberto não vazio de IR^{m} sobre um aberto de IR^{n}, o que implicaria m = n (no caso k ≥ 1, isso segue do fato que a diferencial de tal difeomorfismo em qualquer ponto fornece um isomorfismo de IR^{m} sobre IR^{n}; para o caso k = 0, veja o Exercício 5).

Na seção anterior vimos que a relação de compatibilidade linear é uma relação de equivalência; a noção de compatibilidade em classe C^{k} é reflexiva e simétrica, mas não é transitiva. De fato, se φ : U → Ũ, ψ : V → Ṽ, λ : W → W̃ são sistemas de coordenadas em M com φ C^{k}-compatível com ψ e ψ C^{k}-compatível com λ então só podemos garantir que a função de transição λ∘φ^{−1} seja de classe C^{k} em φ(U ∩V ∩W) (veja Exercício 2). É bem possível, por exemplo, que U ∩ V = ∅, V ∩ W = ∅ (o que torna a C^{k}-compatibilidade entre φ e ψ e entre ψ e λ triviais), mas que U ∩ W ≠ ∅ e que φ e λ não sejam C^{k}-compatíveis.

Definição. Seja M um conjunto. Um atlas de classe C^{k} e dimensão n em M é um conjunto A = {φ_{i} : U_{i} → Ũ_{i}}_{i∈I} de sistemas de coordenadas em M, com cada Ũ_{i} aberto em IR^{n}, tal que M = ⋃_{i∈I} U_{i} e tal que φ_{i} é C^{k}-compatível com φ_{j} para todos i, j ∈ I.

Para o resto desta seção, convencionamos que todos os atlas são de dimensão n e que todos os sistemas de coordenadas considerados tomarão valores em abertos de IR^{n}. Observaç~ ao: seria possível também considerar uma definição mais geral de atlas de classe C^{k}, onde cada φ_{i} tem como contra-domínio um aberto Ũ_{i} de IR^{n_{i}} (n_{i} ≥ 0 podendo depender de i). Optamos por não admitir essa possibilidade. Para uma discussão mais detalhada, veja o Exercício 6.

Definição. Um sistema de coordenadas φ em M é dito C^{k}-compatível com um atlas A de classe C^{k} em M se φ é C^{k}-compatível com cada ψ ∈ A.

Como vimos acima, a relação de C^{k}-compatibilidade não é uma relação de equivalência no conjunto dos sistemas de coordenadas em M; temos porém o seguinte:

Lema. Sejam M um conjunto e A = {φ_{i} : U_{i} → Ũ_{i}}_{i∈I} um atlas de classe C^{k} em M. Se ψ_{1} : V_{1} → Ṽ_{1}, ψ_{2} : V_{2} → Ṽ_{2} são sistemas de coordenadas em M, ambos C^{k}-compatíveis com A, então ψ_{1} e ψ_{2} são C^{k}-compatíveis.

Demonstração. Para cada i ∈ I, temos que ψ_{1} é C^{k}-compatível com φ_{i} e φ_{i} é C^{k}- compatível com ψ_{2}; pelo resultado do Exercício 2, ψ_{1}(V_{1} ∩ U_{i} ∩ V_{2}) é aberto em IR^{n} e ψ_{2} ∘ ψ_{1}^{−1} é de classe C^{k} em ψ_{1}(V_{1} ∩ U_{i} ∩ V_{2}). Como M = ⋃_{i∈I} U_{i}, temos:

ψ_{1}(V_{1} ∩ V_{2}) = ⋃_{i∈I} ψ_{1}(V_{1} ∩ U_{i} ∩ V_{2}),

e logo ψ_{1}(V_{1} ∩ V_{2}) é aberto em IR^{n}. Além do mais, o fato que ψ_{2} ∘ ψ_{1}^{−1} é de classe C^{k} em cada aberto ψ_{1}(V_{1} ∩ U_{i} ∩ V_{2}) implica que ψ_{2} ∘ ψ_{1}^{−1} é de classe C^{k} em ψ_{1}(V_{1} ∩ V_{2}). Similarmente, mostra-se que ψ_{2}(V_{1} ∩ V_{2}) é aberto em IR^{n} e que ψ_{1} ∘ ψ_{2}^{−1} = (ψ_{2} ∘ ψ_{1}^{−1})^{−1} é de classe C^{k} em ψ_{2}(V_{1} ∩ V_{2}).

Queremos agora definir a noção de estrutura diferenciável de classe C^{k} num conjunto M. A princípio, pareceria uma boa idéia definir que uma estrutura diferenciável de classe C^{k} num conjunto M é simplesmente o mesmo que um atlas de classe C^{k} em M. Temos porém um problema. Se dois atlas A_{1} e A_{2} em M são tais que todo φ ∈ A_{1} é C^{k}-compatível com todo ψ ∈ A_{2} então os atlas A_{1} e A_{2} deveriam definir a mesma estrutura diferenciável de classe C^{k} em M. Vamos então, dentre a classe de equivalência de todos os atlas em M que definem a mesma estrutura diferenciável de classe C^{k} (veja Exercício 3), escolher um representante canônico. Temos a seguinte:

Definição. Um atlas A de classe C^{k} num conjunto M é dito maximal se ele for um elemento maximal no conjunto de todos os atlas de classe C^{k} em M, parcialmente ordenado por inclusão; mais explicitamente, A é um atlas maximal de classe C^{k} se A não está propriamente contido em nenhum atlas de classe C^{k} em M.

Lema. Sejam M um conjunto e A um atlas de classe C^{k} em M. Então existe um único atlas maximal de classe C^{k} em M contendo A.

Demonstração. Seja A_{max} o conjunto de todos os sistemas de coordenadas em M que são C^{k}-compatíveis com A. Obviamente A ⊂ A_{max} e segue do lema anterior que A_{max} é um atlas de classe C^{k} em M. Além do mais, é claro que A_{max} é o maior atlas de classe C^{k} em M contendo A, i.e., todo atlas de classe C^{k} em M contendo A está contido em A_{max}. É fácil verificar então que A_{max} é o único atlas maximal de classe C^{k} contendo A.

Em vista do lema anterior (vide também o Exercício 4), temos a seguinte:

Definição. Uma estrutura diferenciável de classe C^{k} num conjunto M é um atlas maximal de classe C^{k} em M.

Como difeomorfismos são também homeomorfismos (i.e., aplicações que preservam a estrutura diferenciável de IR^{n} também preservam a estrutura topológica de IR^{n}) é natural esperar que um atlas de classe C^{k} num conjunto M possa ser usado para definir uma topologia em M. Este é o conteúdo do seguinte:

Lema. Sejam M um conjunto e A = {φ_{i} : U_{i} → Ũ_{i}}_{i∈I} um atlas de classe C^{k} em M. Então existe um única topologia τ em M tal que cada U_{i} é aberto em M e cada φ_{i} é um homeomorfismo.

Demonstração. Defina:

τ(A) = {V ⊂ M : φ_{i}(V ∩ U_{i}) é aberto em IR^{n} para todo i ∈ I}.

As identidades:

φ_{i}(∅ ∩ U_{i}) = ∅, φ_{i}(M ∩ U_{i}) = Ũ_{i},

φ_{i}[( ⋃_{λ∈Λ} V_{λ}) ∩ U_{i}] = ⋃_{λ∈Λ} φ_{i}(V_{λ} ∩ U_{i}), φ_{i}(V_{1} ∩ V_{2} ∩ U_{i}) = φ_{i}(V_{1} ∩ U_{i}) ∩ φ_{i}(V_{2} ∩ U_{i}),

mostram que τ(A) é uma topologia em M. Vamos agora mostrar que, relativamente à topologia τ(A), cada U_{i} é aberto em M e cada φ_{i} é um homeomorfismo. Para isso, é suficiente demonstrar a seguinte afirmação: dado i ∈ I e V ⊂ U_{i} então V ∈ τ(A) se e somente se φ_{i}(V) é aberto em IR^{n} (verifique que essa afirmação de fato implica na propriedade sobre τ(A) que desejamos mostrar!). Vamos mostrar tal afirmação. Sejam dados i ∈ I e V ⊂ U_{i}. Obviamente, se V ∈ τ(A) então φ_{i}(V) = φ_{i}(V ∩ U_{i}) é aberto em IR^{n}. Reciprocamente, suponha que φ_{i}(V) é aberto em IR^{n}. Para mostrar que V ∈ τ(A), devemos mostrar que, para todo j ∈ I, φ_{j}(V ∩ U_{j}) é aberto em IR^{n}; mas isso segue da igualdade:

φ_{j}(V ∩ U_{j}) = (φ_{j} ∘ φ_{i}^{−1})(φ_{i}(V) ∩ φ_{i}(U_{i} ∩ U_{j})),

e do fato que φ_{j} ∘ φ_{i}^{−1} : φ_{i}(U_{i} ∩ U_{j}) → φ_{j}(U_{i} ∩ U_{j}) é um homeomorfismo entre abertos de IR^{n}.

Fica demonstrada então a existência da topologia τ como no enunciado do lema (a saber: τ = τ(A)). Vamos mostrar agora sua unicidade; seja então τ uma topologia em M relativamente à qual cada U_{i} é aberto e cada φ_{i} é um homeomorfismo. Vamos mostrar que necessariamente τ = τ(A). Em primeiro lugar, se V ∈ τ então V ∩ U_{i} ∈ τ para todo i ∈ I e logo φ_{i}(V ∩ U_{i}) é aberto em IR^{n}. Isso mostra que V ∈ τ(A), i.e., τ ⊂ τ(A). Suponha agora que V ∈ τ(A). Então φ_{i}(V ∩ U_{i}) é aberto em IR^{n} para todo i ∈ I e portanto V ∩U_{i} = φ_{i}^{−1}(φ_{i}(V ∩U_{i})) é aberto em (M, τ) para todo i ∈ I. Mas então V = ⋃_{i∈I} V ∩U_{i} é aberto em (M, τ). Isso mostra que τ(A) ⊂ τ e completa a demonstração.

Definição. Se A = {φ_{i} : U_{i} → Ũ_{i}}_{i∈I} é um atlas de classe C^{k} num conjunto M então a única topologia τ = τ(A) relativamente à qual cada U_{i} é aberto em M e cada φ_{i} é um homeomorfismo é chamada a topologia em M induzida pelo atlas A.

Observaç~ ao: se dois atlas A_{1} e A_{2} de classe C^{k} em M são tais que A_{1} ∪ A_{2} é um atlas de classe C^{k} em M então as topologias induzidas em M por A_{1} e A_{2} coincidem. De fato, é fácil ver que ambas coincidem com a topologia induzida pelo atlas A_{1} ∪ A_{2}. Observe em particular que a topologia induzida por um atlas A coincide com a topologia induzida pelo atlas maximal que o contém.

Recordamos que uma topologia num conjunto X é dita Hausdorff (ou T2) se dois pontos distintos quaisquer de X pertencem a abertos disjuntos. Uma topologia satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade se ela possui uma base enumerável de abertos (recorde que uma base de abertos para uma topologia é uma coleção de abertos tal que qualquer aberto é união de abertos dessa coleção).

Definição. Uma variedade diferenciável de classe C^{k} e dimensão n é um par (M, A), onde M é um conjunto, A é um atlas maximal de classe C^{k} e dimensão n em M e a topologia induzida por A em M é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade.

Quando nos referirmos à topologia de uma variedade diferenciável, estaremos sempre nos referindo à topologia induzida pelo seu atlas. As condições que impusemos sobre a topologia de uma variedade diferenciável não são necessárias ao longo de toda a teoria de variedades, mas elas são hipóteses padrão que são necessárias em diversos teoremas centrais da teoria. Sua motivação ficará mais clara ao longo do curso.

Definição. Se (M, A) é uma variedade diferenciável então um elemento φ ∈ A é chamado uma carta (ou também um sistema de coordenadas) na variedade (M, A).

Em geral, para simplificar a notação, escrevemos apenas M para denotar a variedade (M, A). Nas próximas seções, quando M for uma variedade diferenciável e dissermos que φ : U → Ũ é um sistema de coordenadas em M, significaremos que φ é um elemento do atlas maximal A e não apenas que φ é uma bijeção arbitrária definida num subconjunto arbitrário U ⊂ M. Observaç~ ao: dado um conjunto M então existe um único atlas maximal A em M de dimensão zero. Ele é constituído pelo sistema de coordenadas com domínio vazio e pelos sistemas de coordenadas φ_{x} : {x} → IR^{0} = {0}, onde x percorre M. A topologia induzida por esse atlas é a topologia discreta. Tal topologia é sempre Hausdorff; ela satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade se e somente se M é enumerável. Temos então que uma variedade diferenciável de dimensão zero é unicamente determinada por um espaço topológico discreto enumerável. Observaç~ ao: se M = ∅ e se A é o atlas formado apenas pelo sistema de coordenadas com domínio vazio então (M, A) é uma variedade diferenciável de dimensão n e de classe C^{k} para todo n e todo k. A menos desse caso trivial, uma variedade diferenciável (M, A) possui uma dimensão bem definida. Observaç~ ao: uma variedade diferenciável de classe C^{0} é também chamada de variedade topológica (na verdade, não se usa o termo “variedade diferenciável” nesse caso). Uma variedade topológica é muitas vezes definida como sendo um espaço topológico M, com topologia Hausdorff e satisfazendo o segundo axioma da enumerabilidade, e tal que todo ponto de M possui uma vizinhança aberta homeomorfa a um aberto de IR^{n}. Nesse caso, o conjunto A de todos os homeomorfismos φ : U → Ũ, com U aberto em M e Ũ aberto em IR^{n} é um atlas maximal de classe C^{0} em M que induz a topologia original de M (veja Exercício 7).

(3) Alguns exemplos simples. Exemplo: A aplicação identidade Id : IR^{n} → IR^{n} é um sistema de coordenadas em M = IR^{n} e o conjunto unitário A = {Id} é um atlas de classe C^{k} em M. É fácil ver que o atlas maximal A_{max} que contém A consiste de todos os difeomorfismos φ : U → Ũ de classe C^{k}, com U, Ũ abertos em IR^{n}. Como Id é um homeomorfismo com domínio aberto (relativamente à topologia usual de IR^{n}), vemos que a topologia induzida por A em IR^{n} é de fato a topologia usual. Em geral pensaremos sempre no espaço IR^{n} como uma variedade diferenciável de dimensão n, munida do atlas A_{max}. Exemplo: Se (M, A) é uma variedade diferenciável de classe C^{k} e se Z é um aberto de M então o conjunto A′ de todos os elementos de A com domínio contido em Z é um atlas maximal de classe C^{k} em Z (para verificar que os domínios dos elementos φ ∈ A′ cobrem Z você deve usar o resultado do Exercício 1 da aula número 4). A topologia induzida por A′ em Z coincide com a topologia induzida de M. A estrutura diferenciável A′ em Z é chamada a estrutura diferenciável induzida por (M, A) em Z. Em geral, sempre consideraremos um aberto de uma variedade diferenciável como sendo uma variedade diferenciável, munida da estrutura diferenciável induzida. Observe que em particular abertos de IR^{n} são variedades diferenciáveis de dimensão n. Observaç~ ao: Seja (M, A) uma variedade diferenciável de classe C^{k} e sejam Z_{1}, Z_{2} ⊂ M abertos com Z_{1} ⊂ Z_{2}. Então (M, A) induz uma estrutura diferenciável A′_{1} em Z_{1} e uma estrututa diferenciável A′_{2} em Z_{2}. Note agora que Z_{1} também é um aberto na variedade (Z_{2}, A′_{2}) e portanto (Z_{2}, A′_{2}) induz uma estrututa diferenciável em Z_{1}. É fácil ver que essa estrutura diferenciável coincide com A′_{1}. Exemplo: Se (M, A) é uma variedade diferenciável de classe C^{k} e se 0 ≤ k′ ≤ k então A é um atlas de classe C^{k′} e portanto está contido num único atlas maximal A′ de classe C^{k′}. Tanto A como A′ induzem a mesma topologia em M. Logo (M, A′) é uma variedade diferenciável de classe C^{k′}.

Exemplo: Seja S^{n} ⊂ IR^{n+1} a esfera unitária n-dimensional, i.e., o conjunto dos vetores x em IR^{n+1} com norma Euclideana unitária. Denotemos por ⟨·, ·⟩ o produto interno Euclideano de IR^{n+1}. Dado u ∈ S^{n} então a projeção estereográfica de vértice u é a bijeção:

p_{u} : S^{n} \ {u} ⟶ u^{⊥} = {v ∈ IR^{n+1} : ⟨v, u⟩ = 0},

que a cada x ∈ S^{n}, x ≠ u, associa a única interseção do raio {u + t(x − u) : t ≥ 0} com o hiperplano u^{⊥}. Explicitamente:

p_{u}(x) = u − \frac{x − u}{⟨x, u⟩ − 1}, x ∈ S^{n} \ \{u\}.

A inversa da aplicação p_{u} é dada por:

p_{u}^{−1}(v) = u + 2\frac{v − u}{∥v − u∥^{2}} , v ∈ u^{⊥},

onde ∥ · ∥ denota a norma Euclideana em IR^{n+1}. Escolhendo um isomorfismo qualquer T_{u} : u^{⊥} → IR^{n} então φ_{u} = T_{u} ∘ p_{u} : S^{n} \ {u} → IR^{n} é um sistema de coordenadas em S^{n}. Dados u_{1}, u_{2} ∈ S^{n}, é fácil escrever uma fórmula para a função de transição de φ_{u_{1}} para φ_{u_{2}}, que mostra que tal função é de classe C^{∞}. Logo o conjunto A = {φ_{u} : u ∈ S^{n}} é um atlas de classe C^{∞} e dimensão n em S^{n}. Se consideramos em S^{n} a topologia induzida de IR^{n+1} então as aplicações φ_{u} são homeomorfismos definidos em abertos; logo a topologia induzida por A em S^{n} coincide com a topologia induzida de IR^{n+1}.

Mais adiante, quando estudarmos a noção de subvariedade, descreveremos a estrutura de variedade da esfera de maneira mais natural. Exemplo: Seja V um espaço vetorial real de dimensão n. Então o conjunto A de todos os isomorfismos φ : V → IR^{n} é um atlas de classe C^{∞} em V. Logo V, munido do atlas maximal que contém A, é uma variedade diferenciável de classe C^{∞}. A topologia induzida por A em V é a topologia usual (definida por qualquer norma). Espaços vetoriais reais de dimensão finita serão sempre considerados como variedades diferenciáveis, munidos do atlas maximal que contém os sistemas de coordenadas lineares (veja o Exercício 8 para uma generalização deste exemplo para espaços afins). Exemplo patológico: Sabe-se que a esfera S^{n}, n ≥ 1, tem a mesma cardinalidade que o conjunto IR dos números reais, i.e., existe uma bijeção φ : S^{n} → IR. Se A é o único atlas maximal de classe C^{k} que contém φ então (S^{n}, A) é uma variedade diferenciável de classe C^{k} e dimensão 1. Tal bijeção φ não é um homeomorfismo, se consideramos S^{n} com a topologia induzida de IR^{n+1}. Segue então que a topologia da variedade (S^{n}, A) não coincide com a topologia usual da esfera. Em geral, quando considerarmos a esfera S^{n} como uma variedade, estaremos pensando no atlas que contém as projeções estereográficas.

Álgebra Linear.

1. Seja X um conjunto e seja B o conjunto das bijeções φ : X → IR^{n}. Mostre que a relação de compatibilidade linear é uma relação de equivalência em B, ou seja, mostre que a relação ∼ em B definida por:

φ ∼ ψ ⟺ ψ ∘ φ^{−1} é um isomorfismo de IR^{n},

é uma relação de equivalência.

Funç~ oes de Transiç~ ao e Atlas.

2. Seja M um conjunto e sejam φ : U → Ũ, ψ : V → Ṽ, λ : W → W̃ sistemas de coordenadas em M, com Ũ, Ṽ, W̃ abertos em IR^{n}. Suponha que φ seja C^{k}-compatível com ψ e que ψ seja C^{k}-compatível com λ. Mostre que φ(U ∩ V ∩ W) e λ(U ∩ V ∩ W) são abertos em IR^{n} e que a restrição de λ ∘ φ^{−1} a φ(U ∩ V ∩ W) é um difeomorfismo de classe C^{k} sobre λ(U ∩ V ∩ W).

[dica: observe que φ(U ∩ V ∩ W) é a imagem inversa de ψ(V ∩ W) pela aplicação ψ ∘ φ^{−1} e que a restrição de λ ∘ φ^{−1} a φ(U ∩ V ∩ W) é a composta de ψ ∘ φ^{−1} com λ ∘ ψ^{−1}].

3. Seja M um conjunto e sejam A_{1}, A_{2} atlas de classe C^{k} em M. Mostre que A_{1} ∪ A_{2} é um atlas de classe C^{k} em M se e somente se todo φ ∈ A_{1} é C^{k}-compatível com todo ψ ∈ A_{2}. Mostre também que a relação ∼ definida por:

A_{1} ∼ A_{2} ⟺ A_{1} ∪ A_{2} é um atlas de classe C^{k} em M

é uma relação de equivalência no conjunto de todos os atlas de classe C^{k} em M.

4. Sejam A_{1}, A_{2} atlas de classe C^{k} num conjunto M. Mostre que A_{1} ∪ A_{2} é um atlas de classe C^{k} em M se e somente se A_{1} e A_{2} estão contidos no mesmo atlas maximal de classe C^{k} em M.

5. O Teorema da Invariância do Domínio, diz o seguinte: se f : U → IR^{n} é uma função contínua injetora, com U ⊂ IR^{n} aberto, então f(U) é aberto em IR^{n} e f : U → f(U) é um homeomorfismo (veja, por exemplo, J. R. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Theorem 36.5). Esse é um teorema não trivial, usualmente provado com técnicas de topologia algébrica. Assumindo esse teorema, mostre que se um aberto não vazio de IR^{m} é homeomorfo a um aberto de IR^{n} então m = n.

6. Poderíamos ter desenvolvido a teoria desta seção admitindo atlas onde os contradomínios dos sistemas de coordenadas podem ser abertos em espaços de dimensões diferentes. Mostre que se A é um atlas de classe C^{k} num conjunto M e que se a topologia induzida por A torna M conexo então os contra-domínios de todos os sistemas de coordenadas φ ∈ A são abertos do mesmo espaço IR^{n}.

[dica: mostre que, dado x ∈ M, então existe n = n(x) ≥ 0 tal que todos os sistemas de coordenadas φ : U → Ũ pertencentes a A com x ∈ U, são tais que Ũ é um aberto de IR^{n(x)}. Mostre que a função n : M → IN é contínua, onde M tem a topologia induzida pelo atlas A e IN tem a topologia discreta].

7. Se A é um atlas de classe C^{0} e dimensão n num conjunto M então, relativamente à topologia induzida por A em M, todo ponto de M possui uma vizinhança aberta homeomorfa a um aberto de IR^{n}. Mostre que, dada uma topologia τ em M tal que todo ponto de M possui uma vizinhança aberta homeomorfa a um aberto de IR^{n} então existe um único atlas maximal A de classe C^{0} e dimensão n em M que induz a topologia τ.

[dica: mostre que A é necessariamente o conjunto de todos os homeomorfismos φ : U → Ũ, com U aberto em M e Ũ aberto em IR^{n}].

8. Seja (P, V, ρ) um espaço afim (veja Exerício 2 da aula número 1), com V um espaço vetorial real de dimensão n. Para cada ponto O ∈ P e cada isomorfismo T : V → IR^{n}, defina um sistema de coordenadas φ_{O,T} : P → IR^{n} em P fazendo φ_{O,T} (p) = T (v), onde v ∈ V é o único vetor tal que p = O + v. Mostre que o conjunto:

A = {φ_{O,T} : O ∈ P, T : V → IR^{n} isomorfismo}

é um atlas de classe C^{∞} em P.

(1) Funções diferenciáveis em variedades. Vamos agora transferir algumas noções básicas do cálculo no IR^{n} para o contexto de

variedades diferenciáveis.

Definição. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (0 ≤ k ≤ ∞). Uma aplicação f : M → N é dita de classe C^{r} (0 ≤ r ≤ k) se para todo x ∈ M existem cartas φ : U → Ũ em M e ψ : V → Ṽ em N com x ∈ U, f(U) ⊂ V e tal que a função f̃ = ψ ∘ f ∘ φ^{−1} : Ũ → Ṽ que representa f com respeito às cartas φ e ψ seja de classe C^{r} (veja também a definição dada no final da seção 1 da aula número 1).

Usando o fato que as cartas de uma variedade são homeomorfismos definidos em abertos, é fácil mostrar que toda função f : M → N de classe C^{r} é contínua (com respeito às topologias induzidas pelos atlas de M e de N). Quando r = 0, a condição de ser de classe C^{r} (no sentido da definição acima) é de fato equivalente à continuidade (veja Exercício 2).

A restrição de uma carta a um subconjunto aberto do seu domínio é novamente uma carta (veja Exercício 1). Logo, se f : M → N é contínua então, para todo x ∈ M, podemos encontrar cartas φ : U → Ũ em M e ψ : V → Ṽ em N tais que x ∈ U e f(U) ⊂ V (basta escolher cartas φ, ψ com x ∈ U, f(x) ∈ V e trocar φ pela restrição de φ ao aberto U ∩ f^{−1}(V)). Se f não é contínua, pode ocorrer que não seja possível encontrar cartas φ : U → Ũ em M, ψ : V → Ṽ em N com x ∈ U e f(U) ⊂ V; mas, como observamos acima, se f não é contínua então f certamente não é de classe C^{r}. Em alguns textos, a noção de função de classe C^{r} é definida apenas na classe das funções que já são contínuas a priori; teoricamente, isso dá na mesma, já que toda função de classe C^{r} é contínua. A vantagem de não supor a priori que f seja contínua na definição de função de classe C^{r} é que, em exemplos concretos, não precisamos verificar a continuidade de f antes de verificar que f é de classe C^{r} usando as cartas.

Mostramos agora que o conceito de “ser de classe C^{r}” não depende das cartas escolhidas, i.e., se f é de classe C^{r} no sentido da definição acima então as representações de f em cartas arbitrárias são de classe C^{r}.

Lema. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} e seja f : M → N uma função de classe C^{r} (0 ≤ r ≤ k). Então, dadas cartas arbitrárias φ : U → Ũ em M e ψ : V → Ṽ em N com f(U) ⊂ V, temos que a função f̃ = ψ ∘ f ∘ φ^{−1} que representa f com respeito às cartas φ e ψ é de classe C^{r}.

Demonstração. Basta mostrar que f̃ é localmente de classe C^{r}. Seja então dado x̃ ∈ Ũ e mostremos que f̃ é de classe C^{r} numa vizinhança de x̃. Defina x = φ^{−1}(x̃); como f é de classe C^{r}, por definição, existem cartas φ_{1} : U_{1} → Ũ_{1} em M e ψ_{1} : V_{1} → Ṽ_{1} em N com x ∈ U_{1}, f(U_{1}) ⊂ V_{1} e tais que f̃_{1} = ψ_{1} ∘ f ∘ φ_{1}^{−1} é de classe C^{r}. Seja α : φ(U ∩U_{1}) → φ_{1}(U ∩U_{1}) a função de transição de φ para φ_{1} e β : ψ(V ∩V_{1}) → ψ_{1}(V ∩V_{1}) a função de transição de ψ para ψ_{1}. Sabemos que α e β são difeomorfismos de classe C^{k} (e portanto de classe C^{r}) entre abertos do espaço Euclideano. Para concluir a demonstração, simplesmente observe que a função f̃ coincide com a composta β^{−1} ∘ f̃_{1} ∘ α na vizinhança aberta φ(U ∩ U_{1}) de x̃.

A demonstração do Lema acima esclarece porquê só definimos funções de classe C^{r} em variedades de classe C^{k} para r ≤ k.

Teorema. A composta de funções de classe C^{r} é de classe C^{r}, i.e., se M, N, P são variedades de classe C^{k} e se f : M → N, g : N → P são funções de classe C^{r} (0 ≤ r ≤ k) então g ∘ f : M → P é de classe C^{r}.

Demonstração. Seja dado x ∈ M. Devemos produzir uma carta em M, cujo domínio contém x, e uma carta em P, cujo domínio contém g(f(x)), de modo que a representação local de g ∘ f nessas cartas seja de classe C^{r}. Como g é de classe C^{r}, existem cartas ψ : V → Ṽ em N e λ : W → W̃ em P com f(x) ∈ V, g(V) ⊂ W e g̃ = λ ∘ g ∘ ψ^{−1} de classe C^{r}. Escolha uma carta φ : U → Ũ arbitrária em M com x ∈ U; como f é contínua, podemos, se necessário, trocar φ por uma restrição de φ de modo que x ∈ U e f(U) ⊂ V (usamos aqui os resultados dos Exercícios 1 e 2). A representação f̃ = ψ ∘ f ∘ φ^{−1} de f nas cartas φ e ψ é de classe C^{r} (pelo Lema anterior!). A conclusão segue observando que (g ∘ f)(U) ⊂ W e que a representação de g ∘ f nas cartas φ e λ coincide com a composta g̃ ∘ f̃.

Algumas propriedades bem simples das funções de classe C^{r} (que em geral serão usadas sem maiores comentários) estão listadas no Exercício 3. Observaç~ ao: se Z é um aberto de IR^{n} então Z é uma variedade diferenciável de dimensão n e a aplicação identidade Id : Z → Z é uma carta em Z. Segue daí que, dada uma variedade M de classe C^{k} então uma função f : M → Z é de classe C^{r} (0 ≤ r ≤ k) se e somente se para todo x ∈ M existe uma carta φ : U → Ũ em M tal que f ∘ φ^{−1} : Ũ → Z é de classe C^{r}. Similarmente, uma função f : Z → M é de classe C^{r} se e somente se para todo x ∈ Z existe uma vizinhança aberta U de x em Z e uma carta ψ : V → Ṽ em M com f(U) ⊂ V e ψ ∘ f|_{U} : U → Ṽ de classe C^{r}. Observamos também que a noção de “ser de classe C^{r}” em abertos do espaço Euclideano (no sentido usual do cálculo no IR^{n}) coincide com a noção de “ser de classe C^{r}” nesses abertos, vistos como variedades diferenciáveis.

Definição. Sejam M, N variedades de classe C^{k}. Uma função f : M → N é dita um difeomorfismo de classe C^{r} (0 ≤ r ≤ k) se f é uma bijeção de classe C^{r} cuja inversa f^{−1} : N → M é de classe C^{r}. Dizemos que f é um difeomorfismo local de classe C^{r} se todo x ∈ M possui uma vizinhança aberta U ⊂ M tal que f(U) é aberto em N e f|_{U} : U → f(U) é um difeomorfismo de classe C^{r}.

Obviamente todo difeomorfismo (local) de classe C^{r} é um homeomorfismo (local); em particular, todo difeomorfismo local de classe C^{r} é uma aplicação aberta, i.e., leva abertos do domínio em abertos do contra-domínio. Observe que para r = 0 um difeomorfismo (local) é o mesmo que um homeomorfismo (local). Observaç~ ao: segue do item (d) do Exercício 3 que um difeomorfismo local f : M → N de classe C^{r} é um difeomorfismo de classe C^{r} se e somente se for bijetor.

Mostremos agora que as cartas de uma variedade M são nada mais que difeomorfismos entre abertos de M e abertos do espaço Euclideano.

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} e de dimensão n. Dado um subconjunto U ⊂ M e um aberto Ũ ⊂ IR^{n} então uma bijeção φ : U → Ũ é uma carta de M (i.e., um elemento do atlas maximal que define a estrutura diferenciável de M) se e somente se U é um aberto de M e φ é um difeomorfismo de classe C^{k}.

Demonstração. Suponha que φ é uma carta de M. Já sabemos então que U é aberto e que φ é bijetora. Podemos agora considerar as representações de φ e de φ^{−1} com respeito às cartas φ na variedade U e Id na variedade Ũ; ambas essas representações são iguais à função identidade de Ũ, que é de classe C^{k}. Logo φ é um difeomorfismo de classe C^{k}. Reciprocamente, suponha que U é aberto em M e que φ é um difeomorfismo de classe C^{k}. Para mostrar que φ é um elemento do atlas maximal A de M, basta mostrar que φ é C^{k}-compatível com todo elemento ψ : V → Ṽ de A. Como φ e ψ são homeomorfismos entre abertos, segue que φ(U ∩ V) e ψ(U ∩ V) são abertos em IR^{n}. A função de transição ψ ∘ φ^{−1} é de classe C^{k} pois ela é a representação da função φ^{−1} : Ũ → U de classe C^{k} com respeito às cartas Id : φ(U ∩V) → φ(U ∩V) e ψ|_{U∩V} : U ∩V → ψ(U ∩V). Similarmente, a função de transição φ ∘ ψ^{−1} é de classe C^{k} pois ela é a representação da função φ : U → Ũ de classe C^{k} com respeito às cartas ψ|_{U∩V} : U ∩V → ψ(U ∩V) e Id : Ũ → Ũ. Logo ψ ∘φ^{−1} é um difeomorfismo de classe C^{k} entre abertos e portanto φ e ψ são C^{k}-compatíveis. Observaç~ ao: note que até agora nunca usamos que a topologia das nossas variedades é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. De fato, todas as definições dadas até agora fazem sentido (e todos os resultados provados são válidos) para conjuntos arbitrários munidos de uma estrutura diferenciável (i.e., um atlas maximal), sem hipótese alguma sobre a topologia induzida por esse atlas. No resto desta seção usaremos os conceitos definidos e os resultados obtidos até agora na classe dos conjuntos munidos de estruturas diferenciáveis.

Corolário. Sejam A_{1} e A_{2} estruturas diferenciáveis de classe C^{k} num conjunto M. Então A_{1} = A_{2} se e somente se a aplicação identidade Id : (M, A_{1}) → (M, A_{2}) é um difeomorfismo de classe C^{k}.

Demonstração. Se A_{1} = A_{2} então Id é um difeomorfismo de classe C^{k} (veja o item (b) do Exercício 3). Reciprocamente, suponha que Id é um difeomorfismo de classe C^{k}. Seja U um aberto de M (note que Id é um homeomorfismo e portanto A_{1} e A_{2} induzem a mesma topologia em M). Seja A_{1}|_{U} (resp., A_{2}|_{U}) a estrutura diferenciável induzida por A_{1} (resp., A_{2}) em U. Daí Id : (U, A_{1}|_{U}) → (U, A_{2}|_{U}) é um difeomorfismo de classe C^{k}. Seja Ũ ⊂ IR^{n} um aberto e seja φ : U → Ũ uma bijeção. Temos um diagrama comutativo:

\xymatrix{(U, A_{1}|_{U}) \ar[rr]^{Id} \ar[dr]_{φ}^{1} &  & (U, A_{2}|_{U}) \ar[dl]^{φ}_{2} \\  & Ũ}

Temos que a flecha número 1 no diagrama é um difeomorfismo de classe C^{k} se e somente se a flecha número 2 o for. Segue do Lema que φ pertence a A_{1} se e somente se φ pertence a A_{2}.

O Corolário anterior é útil quando queremos demonstrar resultados sobre unicidade de estruturas diferenciáveis satisfazendo certas condições.

Como foi explicado na aula número 3 (final da seção 1), sistemas de coordenadas num conjunto M podem ser usados para “transferir” a estrutura diferenciável do IR^{n} para M. Dada uma coleção de bijeções {φ_{i} : U_{i} → N_{i}}_{i∈I}, definidas em subconjuntos U_{i} ⊂ M e tomando valores em variedades N_{i} então seria natural que pudéssemos usar tais bijeções para “transferir” a estrutura diferenciável das variedades N_{i} para M; desde que a coleção {φ_{i}}_{i∈I} satisfizesse condições similares às satisfeitas por um atlas, i.e., M deve ser a união dos domínios U_{i} e duas bijeções φ_{i} e φ_{j} deveriam ser compatíveis num sentido apropriado. Essa é a motivação para o Lema que provaremos a seguir. Observe que um caso particular interessante da situação que descrevemos é aquele em que cada N_{i} é um aberto de um espaço vetorial real de dimensão finita V_{i}. É claro que neste caso, uma bijeção φ_{i} : U_{i} → N_{i} está “muito perto” de ser um sistema de coordenadas; basta escolher um isomorfismo T_{i} : V_{i} → IR^{n} e considerar a composta T_{i} ∘ φ_{i}. Ocorre que em alguns exemplos (por exemplo na construção da estrutura diferenciável do Grassmanniano, que será feita na aula seguinte) esse isomorfismo não é canônico e a exposição fica mais elegante se ele não tiver que ser explicitado na construção da estrutura diferenciável de M. Uma outra aplicação do Lema abaixo aparecerá quando estudarmos fibrados vetoriais.

Lema. Seja M um conjunto e seja B = {φ_{i} : U_{i} → N_{i}}_{i∈I} uma coleção de bijeções, onde cada U_{i} é um subconjunto de M e N_{i} é munido de uma estrutura diferenciável A_{i} = {ψ_{iλ} : V_{iλ} → Ṽ_{iλ} ⊂ IR^{n}}_{λ∈Λ_{i}} de classe C^{k}. Suponha que M = ⋃_{i∈I} U_{i}, que para todos i, j ∈ I os conjuntos φ_{i}(U_{i} ∩ U_{j}) ⊂ N_{i} e φ_{j}(U_{i} ∩ U_{j}) ⊂ N_{j} sejam abertos (possivelmente vazios) e que a função φ_{j} ∘ φ_{i}^{−1} : φ_{i}(U_{i} ∩ U_{j}) → φ_{j}(U_{i} ∩ U_{j}) seja um difeomorfismo de classe C^{k}. Então existe uma única estrutura diferenciável A em M de classe C^{k} tal que cada U_{i} é aberto em M e cada φ_{i} é um difeomorfismo de classe C^{k}.

Demonstração. Mostremos primeiramente a unicidade. Sejam então A, A′ duas estruturas diferenciáveis de classe C^{k} em M que tornam cada U_{i} aberto e cada φ_{i} um difeomorfismo de classe C^{k}. Seja A|_{U_{i}} (resp., A′|_{U_{i}}) a estrutura diferenciável induzida por A (resp., por A′) em U_{i}. Temos um diagrama comutativo:

\xymatrix{(U_{i}, A|_{U_{i}}) \ar[rr]^{Id} \ar[dr]_{φ_{i}} &  & (U_{i}, A′|_{U_{i}}) \ar[dl]^{φ_{i}} \\  & N_{i}}

onde ambas as flechas φ_{i} são difeomorfismos de classe C^{k}; isso mostra que a aplicação identidade Id : (M, A) → (M, A′) restrita ao aberto U_{i} é um difeomorfismo de classe C^{k}. Como M = ⋃_{i∈I} U_{i}, segue que Id é um difeomorfismo de classe C^{k} e logo A = A′.

Vamos agora mostrar a existência de A. Defina:

A_{0} = {ρ_{iλ} = ψ_{iλ} ∘ φ_{i}|_{φ_{i}^{−1}(V_{iλ})} : φ_{i}^{−1}(V_{iλ}) ⟶ Ṽ_{iλ}}_{λ∈Λ_{i},i∈I}

Mostraremos a seguir que A_{0} é um atlas de classe C^{k} em M. Vamos assumir esse fato por alguns instantes. Se A é o atlas maximal de classe C^{k} que contém A_{0} então afirmamos que cada U_{i} é aberto em M na topologia definida por A e cada φ_{i} é um difeomorfismo de classe C^{k} com respeito à estrutura diferenciável definida por A. A igualdade U_{i} = ⋃_{λ∈Λ_{i}} φ_{i}^{−1}(V_{iλ}) mostra que U_{i} é aberto em M. Além do mais, para cada λ ∈ Λ_{i}, as aplicações ρ_{iλ} : φ_{i}^{−1}(V_{iλ}) → Ṽ_{iλ} e ψ_{iλ} : V_{iλ} → Ṽ_{iλ} são difeomorfismos de classe C^{k}, pois a primeira pertence ao atlas A de M e a segunda pertence ao atlas A_{i} de N_{i}. Segue que ψ_{iλ}^{−1} ∘ ρ_{iλ} = φ_{i}|_{φ_{i}^{−1}(V_{iλ})} : φ_{i}^{−1}(V_{iλ}) → V_{iλ} é um difeomorfismo de classe C^{k} para todo λ ∈ Λ_{i}. Como U_{i} = ⋃_{λ∈Λ_{i}} φ_{i}^{−1}(V_{iλ}) e N_{i} = ⋃_{λ∈Λ_{i}} V_{iλ}, concluímos que φ_{i} : U_{i} → N_{i} é um difeomorfismo de classe C^{k}.

Para completar a demonstração, devemos mostrar que A_{0} é um atlas de classe C^{k} em M. Em primeiro lugar, temos:

M = ⋃_{i∈I} U_{i} = ⋃_{{i∈I \atop λ∈Λ_{i}}} φ_{i}^{−1}(V_{iλ}).

Sejam dados i, j ∈ I, λ ∈ Λ_{i}, μ ∈ Λ_{j}. Vamos mostrar que a função de transição de ρ_{iλ} para ρ_{jμ} é uma função de classe C^{k} definida num aberto de IR^{n}. Isso mostrará também (trocando os papeís de ρ_{iλ} e ρ_{jμ}) que a função de transição de ρ_{jμ} para ρ_{iλ} é uma função de classe C^{k} definida num aberto de IR^{n}. Logo ficará estabelecido que ρ_{iλ} e ρ_{jμ} são C^{k}-compatíveis e que A_{0} é um atlas de classe C^{k} em M.

Temos que a função de transição de ρ_{iλ} para ρ_{jμ} é dada por:

ρ_{jμ} ∘ ρ_{iλ}^{−1} = ψ_{jμ} ∘ (φ_{j} ∘ φ_{i}^{−1}) ∘ ψ_{iλ}^{−1};

seu domínio é:

ρ_{iλ}(φ_{i}^{−1}(V_{iλ}) ∩ φ_{j}^{−1}(V_{jμ})) = ψ_{iλ}[V_{iλ} ∩ (φ_{j} ∘ φ_{i}^{−1})^{−1}(V_{jμ})].

A conclusão segue observando que ψ_{iλ} ∈ A_{i} e ψ_{jμ} ∈ A_{j} são difeomorfismos de classe C^{k} entre abertos e que, por hipótese, também φ_{j} ∘ φ_{i}^{−1} é um difeomorfismo de classe C^{k} entre abertos.

Corolário. Seja M um conjunto e seja B = {φ_{i} : U_{i} → Ũ_{i}}_{i∈I} uma coleção de bijeções, onde cada U_{i} é um subconjunto de M e Ũ_{i} é um aberto de um espaço vetorial real V_{i} de dimensão finita n. Suponha que M = ⋃_{i∈I} U_{i}, que para todos i, j ∈ I os conjuntos φ_{i}(U_{i} ∩ U_{j}) ⊂ V_{i} e φ_{j}(U_{i} ∩ U_{j}) ⊂ V_{j} sejam abertos (possivelmente vazios) e que a função φ_{j} ∘ φ_{i}^{−1} : φ_{i}(U_{i} ∩ U_{j}) → φ_{j}(U_{i} ∩ U_{j}) seja um difeomorfismo de classe C^{k}. Então existe uma única estrutura diferenciável A em M de classe C^{k} tal que cada U_{i} é aberto em M e cada φ_{i} é um difeomorfismo de classe C^{k}.

Demonstração. Aplique o Lema para as variedades diferenciáveis N_{i} = Ũ_{i}.

Note que tanto no Lema como no Corolário acima, não podemos concluir que a topologia induzida pelo atlas A em M seja Hausdorff ou que ela satisfaça o segundo axioma da enumerabilidade (mesmo que a topologia de cada N_{i} satisfaça essas condições).

Corolário. Sejam M, N conjuntos, φ : M → N uma bijeção e A′ um atlas maximal de classe C^{k} em N. Então existe um único atlas maximal A de classe C^{k} em M tal que φ : (M, A) → (N, A′) seja um difeomorfismo de classe C^{k}.

Demonstração. Aplique o Lema para a coleção unitária {φ : U → N}, onde U = M.

Cartas e Atlas.

1. Seja A um atlas maximal de classe C^{k} num conjunto M e seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} um elemento de A. Mostre que se Ṽ é um aberto de IR^{n} contido em Ũ e se V = φ^{−1}(Ṽ) então a restrição φ|_{V} : V → Ṽ também pertence a A.

[dica: você deve mostrar que φ|_{V} é C^{k}-compatível com A].

Funç~ oes Diferenciáveis.

2. Sejam M, N variedades de classe C^{k}. Mostre que toda função f : M → N de classe C^{r} (0 ≤ r ≤ k) é contínua. Mostre também que toda função contínua f : M → N é de classe C^{0} (onde “ser de classe C^{0}” deve ser entendido no sentido da primeira definição da seção 1, i.e., f é de classe C^{0} se f admite representações contínuas em sistemas de coordenadas em torno de cada ponto de seu domínio).

3. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} e f : M → N uma função. Mostre que:

(a) se N_{1} é aberto em N e f(M) ⊂ N_{1} então f : M → N é de classe C^{r} se e somente se f : M → N_{1} é de classe C^{r};

(b) a aplicação identidade Id : M → M é de classe C^{k}; mais geralmente, se M_{1} é um aberto de M então a aplicação inclusão M_{1} → M é de classe C^{k};

(c) se f : M → N é de classe C^{r} então, para todo aberto M_{1} ⊂ M, a restrição f|_{M_{1}} : M_{1} → N é de classe C^{r};

(d) se todo x ∈ M possui uma vizinhança aberta M_{x} ⊂ M tal que f|_{M_{x}} : M_{x} → N é

de classe C^{r} então f é de classe C^{r}.

4. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k}. Mostre que se existe um difeomorfismo local f : M → N de classe C^{r} então dim(M) = dim(N).

[dica: para o caso r = 0 veja o Exercício 5 da aula número 3].

5. Seja M uma variedade diferenciável compacta não vazia de dimensão n. Mostre que não existe um difeomorfismo local f : M → IR^{n}.

(1) Um exemplo: o Grassmanniano. Dados inteiros n e r com n ≥ 0 e 0 ≤ r ≤ n, denotamos por G_{r}(n) o conjunto de

todos os subespaços vetoriais r-dimensionais de IR^{n}. O conjunto G_{r}(n) é conhecido como o Grassmanniano real de subespaços r-dimensionais de IR^{n}. Nesta seção vamos, a título de exemplo, construir uma estrutura de variedade diferenciável em G_{r}(n). Esse é um bom exemplo de variedade diferenciável que não aparece de maneira natural como subconjunto de um espaço Euclideano IR^{N}.

Seja IR^{n} = W_{0} ⊕ W_{1} uma decomposição em soma direta de IR^{n}, com dim(W_{0}) = r (e portanto dim(W_{1}) = n − r). Se T : W_{0} → W_{1} é um operador linear então seu gráfico identifica-se com um subespaço de IR^{n}, a saber:

Gr(T) = {v + T v : v ∈ W_{0}}.

A aplicação v ↦ v + T v fornece um isomorfismo de W_{0} sobre Gr(T) e portanto Gr(T) tem dimensão r. Observe que Gr(T) ∩ W_{1} = {0} (na verdade, IR^{n} = Gr(T) ⊕ W_{1}). Além do mais, se V ⊂ IR^{n} é um subespaço r-dimensional com V ∩W_{1} = {0} (ou seja, IR^{n} = V ⊕W_{1}) então V = Gr(T) para uma única aplicação linear T : W_{0} → W_{1}; a saber:

T = (π_{1}|_{V}) ∘ (π_{0}|_{V})^{−1},

onde π_{0} : IR^{n} → W_{0}, π_{1} : IR^{n} → W_{1} denotam as projeções relativas à soma direta W_{0} ⊕W_{1} (segue do resultado do Exercício 1 que a restrição de π_{0} a V é de fato um isomorfismo sobre W_{0}). Para determinar T na prática, pegamos um ponto genérico z ∈ V e escrevemos z = x + y, com x ∈ W_{0}, y ∈ W_{1}, de modo que x = π_{0}(z), y = π_{1}(z). Obtemos então funções x = x(z) e y = y(z). A aplicação T é a aplicação y = y(x). Devemos então inverter a relação x = x(z) obtendo z = z(x) e substituir em y = y(z), obtendo y em função de x. O diagrama comutativo abaixo ilustra a situação:

\xymatrix{y ∈ W_{1} & V =Gr(T) ∋ z \ar[l]_{π_{1}|_{V}} \ar[d]^{π_{0}|_{V}}_{≅} \\  & W_{0} ∋ x \ar[ul]^{T}}

A discussão acima nos diz que a aplicação:

Lin(W_{0}, W_{1}) ∋ T ⟼ Gr(T) ∈ G_{r}(n; W_{1})

é uma bijeção, onde G_{r}(n; W_{1}) denota o subconjunto de G_{r}(n) definido por:

G_{r}(n; W_{1}) = {V ∈ G_{r}(n) : IR^{n} = V ⊕ W_{1}} = {V ∈ G_{r}(n) : V ∩ W_{1} = {0}}.

Denotamos por φ_{W_{0},W_{1}} a inversa da bijeção T ↦ Gr(T); obtemos então uma aplicação bijetora:

φ_{W_{0},W_{1}} : G_{r}(n; W_{1}) ⟶ Lin(W_{0}, W_{1}).

A aplicação φ_{W_{0},W_{1}} não é exatamente um sistema de coordenadas em G_{r}(n), pois seu contra-domínio é um espaço vetorial real de dimensão finita que é isomorfo, mas não igual, ao espaço Euclideano IR^{r(n−r)}. A composição de φ_{W_{0},W_{1}} com um isomorfismo qualquer entre Lin(W_{0}, W_{1}) e IR^{r(n−r)} nos forneceria um sistema de coordenadas em G_{r}(n); no entanto, tal isomorfismo não é canônico e a exposição fica mais elegante se não explicitarmos tal isomorfismo. De fato, toda a teoria desenvolvida nas aulas anteriores funcionaria da mesma forma, se tivéssemos definido que um sistema de coordenadas num conjunto M é uma bijeção entre um subconjunto de M e um subconjunto aberto de um espaço vetorial real de dimensão finita arbitrário. Trabalharemos então como se φ_{W_{0},W_{1}} fosse um sistema de coordenadas em G_{r}(n) (veja também a discussão que precede o último Lema da aula número 4 e o seu primeiro Corolário).

Como todo subespaço de IR^{n} possui um subespaço complementar, é fácil ver que os domínios dos sistemas de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}} cobrem G_{r}(n). Vamos então estudar a compatibilidade entre os sistemas de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}}. Sejam dadas duas decomposições em soma direta IR^{n} = W_{0} ⊕ W_{1}, IR^{n} = W′_{0} ⊕ W_{1} de IR^{n}, com dim(W_{0}) = dim(W′_{0}) = r e vamos calcular a função de transição de φ_{W_{0},W_{1}} para φ_{W′_{0},W_{1}}. Observe que os sistemas de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}} e φ_{W′_{0},W_{1}} tem o mesmo domínio e portanto a função de transição em questão será uma bijeção de Lin(W_{0}, W_{1}) sobre Lin(W′_{0}, W_{1}) (em particular, seu domínio e contra-domínio são de fato abertos).

Seja T ∈ Lin(W_{0}, W_{1}). Queremos determinar φ_{W′_{0},W_{1}}(Gr(T)), i.e., queremos escrever Gr(T) como o gráfico de uma aplicação linear T̃ : W′_{0} → W_{1}. Considere então um ponto genérico z = v + T v de Gr(T), onde v ∈ W_{0}. Denote por π′_{0} : IR^{n} → W′_{0}, π′_{1} : IR^{n} → W_{1} as projeções correspondentes à decomposição W′_{0} ⊕ W_{1}. Escreva x = π′_{0}(z) e y = π′_{1}(z); daí y = T̃(x). Temos x = π′_{0}(v) + π′_{0}(T v) = π′_{0}(v) e y = π′_{1}(v) + π′_{1}(T v) = π′_{1}(v) + T v. Pelo resultado do Exercício 1, a restrição de π′_{0} a W_{0} é um isomorfismo sobre W′_{0} e portanto podemos resolver a relação x = π′_{0}(v) para v obtendo v = (π′_{0}|_{W_{0}})^{−1}(x). Substituindo em y = π′_{1}(v) + T v obtemos a expressão desejada para T̃. Em resumo:

φ_{W′_{0},W_{1}} ∘ φ_{W_{0},W_{1}}^{−1} : Lin(W_{0}, W_{1}) ∋ T ⟼ T̃ = (π′_{1}|_{W_{0}} + T ) ∘ (π′_{0}|_{W_{0}})^{−1} ∈ Lin(W′_{0}, W_{1}).

A fórmula acima mostra que a aplicação φ_{W′_{0},W_{1}} ∘ φ_{W_{0},W_{1}}^{−1} é de classe C^{∞}; sua inversa (que é dada por uma fórmula similar, trocando os papéis de W_{0} e W′_{0}) também é de classe C^{∞}. Logo os sistemas de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}} e φ_{W′_{0},W_{1}} são C^{∞}-compatíveis.

Consideramos agora decomposições em soma direta IR^{n} = W_{0} ⊕ W_{1} = W_{0} ⊕ W′_{1} com dim(W_{0}) = r e vamos calcular a função de transição de φ_{W_{0},W_{1}} para φ_{W_{0},W′_{1}}. Note que os sistemas de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}} e φ_{W_{0},W′_{1}} não tem o mesmo domínio e portanto precisamos determinar também o domínio da correspondente função de transição; mais explicitamente, devemos determinar quais são as aplicações T ∈ Lin(W_{0}, W_{1}) tais que Gr(T) = φ_{W_{0},W_{1}}^{−1}(T) pertence a G_{r}(n; W′_{1}), i.e., tais que IR^{n} = Gr(T) ⊕ W′_{1}. Denote por π′_{0} : IR^{n} → W_{0}, π′_{1} : IR^{n} → W′_{1} as projeções correspondentes à soma direta W_{0} ⊕ W′_{1}. Pelo resultado do Exercício 1, temos IR^{n} = Gr(T) ⊕ W′_{1} se e somente se a restrição de π′_{0} a Gr(T) é um isomorfismo sobre W_{0}; como W_{0} ∋ v ↦ v + T v ∈ Gr(T) é um isomorfismo, temos:

IR^{n} = Gr(T) ⊕ W′_{1} ⟺ a aplicação W_{0} ∋ v ↦ π′_{0}(v + T v) é inversível.

Seja z = v + T v um ponto genérico de Gr(T), onde v ∈ W_{0}; escrevemos x = π′_{0}(z) e y = π′_{1}(z). Daí x = π′_{0}(v + T v) = v + π′_{0}(T v) e y = π′_{1}(v + T v) = π′_{1}(T v). Como vimos acima, a condição Gr(T) ∈ G_{r}(n; W′_{1}) é equivalente à inversibilidade da aplicação W_{0} ∋ v ↦ x ∈ W_{0}; logo:

T ∈ φ_{W_{0},W_{1}}(G_{r}(n; W_{1}) ∩ G_{r}(n; W′_{1})) ⟺ Gr(T) ∈ G_{r}(n; W′_{1})
⟺ Id + (π′_{0}|_{W_{1}}) ∘ T : W_{0} → W_{0} é inversível.

Concluímos que φ_{W_{0},W_{1}}(G_{r}(n; W_{1}) ∩ G_{r}(n; W′_{1})) é aberto em Lin(W_{0}, W_{1}). Quando a relação x = x(v) é inversível (i.e., quando T está de fato no domínio da função de transição que queremos determinar) podemos escrever v em função de x e substituir em y = π′_{1}(T v); obtemos assim, a expressão para y = T̃(x). Em resumo:

φ_{W_{0},W′_{1}} ∘ φ_{W_{0},W_{1}}^{−1} : Lin(W_{0}, W_{1}) ∋ T ⟼ T̃ =

(π′_{1}|_{W_{1}}) ∘ T ∘ (Id + (π′_{0}|_{W_{1}}) ∘ T )^{−1} ∈ Lin(W_{0}, W′_{1}).

A fórmula acima mostra que a aplicação φ_{W_{0},W′_{1}} ∘ φ_{W_{0},W_{1}}^{−1} é de classe C^{∞}; sua inversa (que é dada por uma fórmula similar, trocando os papéis de W_{1} e W′_{1}) também é de classe C^{∞}. Logo os sistemas de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}} e φ_{W_{0},W′_{1}} são C^{∞}-compatíveis.

Considere agora duas decomposições em soma direta arbitrárias IR^{n} = W_{0} ⊕ W_{1} e IR^{n} = W′_{0} ⊕ W′_{1}, com dim(W_{0}) = dim(W′_{0}) = r. Sabemos que φ_{W_{0},W_{1}} é C^{∞}-compatível com φ_{W′_{0},W_{1}}; também, φ_{W′_{0},W_{1}} é C^{∞}-compatível com φ_{W′_{0},W′_{1}}. Como φ_{W_{0},W_{1}} e φ_{W′_{0},W_{1}} tem o mesmo domínio, segue que φ_{W_{0},W_{1}} é C^{∞}-compatível com φ_{W′_{0},W′_{1}} (veja Exercício 3).

Mostramos então que a coleção de todos os sistemas de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}}, onde (W_{0}, W_{1}) percorre o conjunto das decomposições em soma direta IR^{n} = W_{0} ⊕ W_{1} com dim(W_{0}) = r, é um atlas de classe C^{∞} e de dimensão r(n − r) em G_{r}(n). Para mostrar que G_{r}(n) munido da estrutura diferenciável dada pelo atlas maximal contendo esse atlas é uma variedade diferenciável, devemos mostrar que G_{r}(n) é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Começamos com o seguinte:

Lema. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e sejam W, W′ subespaços de V com dim(W) = dim(W′). Então existe um subespaço Z ⊂ V com V = W ⊕ Z e V = W′ ⊕ Z.

Demonstração. Provamos o resultado por indução em dim(V) − dim(W). Se dim(V) − dim(W) = 0 então V = W = W′ e basta tomar Z = {0}. Agora assuma o resultado válido quando dim(V) − dim(W) = k e vamos provar o resultado para dim(V) − dim(W) = k + 1. Como dim(V) − dim(W) = dim(V) − dim(W′) = k + 1 > 0, temos que W e W′ são subespaços próprios de V e portanto V ≠ W ∪ W′ (veja Exercício 2). Seja v ∈ V com v ∉ W e v ∉ W′. Denote por W_{1} (resp., W′_{1}) o subespaço gerado por W (resp., por W′) e por v. Daí dim(V) − dim(W_{1}) = dim(V) − dim(W′_{1}) = k e pela hipótese de indução existe um subespaço Z_{1} ⊂ V com V = W_{1} ⊕ Z_{1} e V = W′_{1} ⊕ Z_{1}. Para concluir a demonstração, observe que se Z é o subespaço gerado por Z_{1} e por v então V = W ⊕ Z e V = W′ ⊕ Z.

Corolário. O Grassmanniano G_{r}(n) é um espaço Hausdorff.

Demonstração. Pelo Lema, dados W_{0}, W′_{0} ∈ G_{r}(n), existe um subespaço W_{1} ⊂ IR^{n} com IR^{n} = W_{0} ⊕ W_{1} e IR^{n} = W′_{0} ⊕ W_{1}. Daí o sistema de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}} contém W_{0} e W′_{0} em seu domínio. A conclusão segue do resultado do Exercício 4.

Lema. O atlas em G_{r}(n) formado pelos sistemas de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}} contém um atlas finito.

Demonstração. Seja A_{0} o conjunto de todos os sistemas de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}} onde IR^{n} = W_{0}⊕W_{1}, dim(W_{0}) = r e tanto W_{0} como W_{1} são gerados por vetores da base canônica de IR^{n}. Obviamente A_{0} é finito (precisamente, A_{0} tem \binom{n}{r} elementos). Vamos mostrar que A_{0} é um atlas para G_{r}(n). Seja dado V ∈ G_{r}(n). Denote por 𝔅 a base canônica de IR^{n} e seja 𝔅′ uma base arbitrária para V. Como 𝔅′ é um conjunto linearmente independente e 𝔅 é um conjunto de geradores para IR^{n}, podemos encontrar um subconjunto 𝔅_{1} de 𝔅 tal que 𝔅′ ∪ 𝔅_{1} é uma base de IR^{n}. Seja W_{1} o subespaço gerado por 𝔅_{1} e W_{0} o subespaço gerado por 𝔅_{0} = 𝔅 \ 𝔅_{1}. Daí φ_{W_{0},W_{1}} ∈ A_{0} e IR^{n} = V ⊕ W_{1}, i.e., V pertence ao domínio de φ_{W_{0},W_{1}}.

Corolário. A topologia do Grassmanniano G_{r}(n) satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade.

Demonstração. Segue do Lema e do resultado do Exercício 5.

Nós demonstramos nesta seção o seguinte:

Teorema. O atlas maximal de classe C^{∞} que contém os sistemas de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}} faz do Grassmanniano G_{r}(n) uma variedade diferenciável de classe C^{∞} e de dimensão r(n − r).

Observaç~ ao: um trabalho totalmente análogo ao realizado nesta seção mostra que o Grassmanniano complexo formado pelos subespaços complexos r-dimensionais de ℂ^{n} é uma variedade diferenciável de classe C^{∞} e de dimensão 2r(n − r). Neste caso, os sistemas de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}} considerados estariam associados a decomposições ℂ^{n} = W_{0} ⊕ W_{1}, com W_{0}, W_{1} subespaços complexos de ℂ^{n} e dim(W_{0}) = r. O contra-domínio de φ_{W_{0},W_{1}} seria o espaço dos operadores lineares complexos T : W_{0} → W_{1} (que é um espaço vetorial complexo de dimensão r(n − r), mas é também um espaço vetorial real de dimensão 2r(n − r)).

(2) Um exemplo de aplicação diferenciável no Grassmanniano. Com o objetivo de apresentar um exemplo não trivial de aplicação diferenciável entre

variedades, vamos mostrar nesta seção que a “aplicação complemento ortogonal” é um difeomorfismo de classe C^{∞} entre Grassmannianos.

Se V é um subespaço de IR^{n}, denotamos por V^{⊥} o complemento ortogonal de V com respeito ao produto interno Euclideano. Dado r = 0, …, n, temos obviamente uma aplicação bijetora:

G_{r}(n) ∋ V ⟼ V^{⊥} ∈ G_{n−r}(n).

Vamos mostrar que a aplicação V ↦ V^{⊥} é de classe C^{∞}.

Seja W_{0} um subespaço r-dimensional de IR^{n} e seja W_{1} = W_{0}^{⊥}. Daí IR^{n} = W_{0} ⊕ W_{1} e portanto temos um sistema de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}} em G_{r}(n). Dado um operador linear T : W_{0} → W_{1}, vamos calcular o complemento ortogonal de Gr(T). Dados w_{0} ∈ W_{0}, w_{1} ∈ W_{1}, temos:

w_{0} + w_{1} ∈ Gr(T)^{⊥} ⟺ ⟨w_{0} + w_{1}, v + T v⟩ = 0, ∀ v ∈ W_{0}
⟺ ⟨w_{0}, v⟩ + ⟨w_{1}, T v⟩ = 0, ∀ v ∈ W_{0}
⟺ ⟨w_{0}, v⟩ + ⟨T^{∗}w_{1}, v⟩ = 0, ∀ v ∈ W_{0}
⟺ ⟨w_{0} + T^{∗}w_{1}, v⟩ = 0, ∀ v ∈ W_{0},

onde T^{∗} : W_{1} → W_{0} denota o operador transposto de T. Como w_{0} + T^{∗}w_{1} ∈ W_{0}, concluímos que w_{0} + w_{1} ∈ Gr(T)^{⊥} se e somente se w_{0} + T^{∗}w_{1} = 0, i.e., se e somente se w_{0} = −T^{∗}w_{1}. Segue que:

Gr(T)^{⊥} = Gr(−T^{∗}).

A igualdade acima mostra que a aplicação V ↦ V^{⊥} leva o domínio de φ_{W_{0},W_{1}} dentro do domínio do sistema de coordenadas φ_{W_{1},W_{0}} em G_{n−r}(n); além do mais, a aplicação que representa V ↦ V^{⊥} com respeito aos sistemas de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}} e φ_{W_{1},W_{0}} é dada por:

Lin(W_{0}, W_{1}) ∋ T ⟼ −T^{∗} ∈ Lin(W_{1}, W_{0}).

A aplicação T ↦ −T^{∗} é obviamente de classe C^{∞} (pois é linear). Além do mais, para todo V ∈ G_{r}(n) podemos encontrar um sistema de coordenadas φ_{W_{0},W_{1}} em G_{r}(n) cujo domínio contém V e tal que W_{1} = W_{0}^{⊥}; basta tomar W_{0} = V e W_{1} = V^{⊥}. Isso prova que a aplicação V ↦ V^{⊥} é de classe C^{∞}.

A inversa da aplicação bijetora G_{r}(n) ∋ V ↦ V^{⊥} ∈ G_{n−r}(n) é dada por:

G_{n−r}(n) ∋ V ⟼ V^{⊥} ∈ G_{r}(n),

e é portanto de classe C^{∞} (basta trocar os papéis de r e n − r). Logo V ↦ V^{⊥} é um difeomorfismo de classe C^{∞} entre os Grassmannianos G_{r}(n) e G_{n−r}(n).

(3) Um conjunto com estrutura diferenciável e topologia não Hausdorff. Sejam M um conjunto e A um atlas diferenciável em M. Veremos nesta seção um

exemplo que mostra que a topologia induzida por A em M nem sempre é Hausdorff. Uma condição suficiente para que a topologia induzida por um atlas seja Hausdorff é dada no Exercício 4. Em geral, uma topologia induzida por um atlas satisfaz apenas o axioma de separação T1. Recordamos que um espaço topológico X é dito T1 (dizemos também que X satisfaz o axioma de separação T1) se os pontos de X são fechados, i.e., se dados x, y ∈ X distintos então existe um aberto em X que contém x mas não contém y. Temos o seguinte:

Lema. Se A é um atlas num conjunto M então a topologia induzida por A em M é T1.

Demonstração. Sejam x, y ∈ M pontos distintos. Queremos achar um aberto em M que contém x e não contém y. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} um sistema de coordenadas pertencente a A com x ∈ U. Se y ∉ U, não há nada a fazer. Se x, y ∈ U então φ(y) ∈ Ũ e Ũ \ {φ(y)} é um aberto de IR^{n}; como φ é um homeomorfismo entre abertos, segue que:

U \ {y} = φ^{−1}(Ũ \ {φ(y)})

é um aberto de M que contém x, mas não contém y.

Vamos agora construir uma estrutura diferenciável num conjunto M cuja topologia correspondente não é Hausdorff. Seja X o espaço topológico obtido pela união disjunta de duas cópias de IR^{n}, i.e., X = IR^{n} × {0, 1}, onde IR^{n} tem a topologia usual, {0, 1} tem a topologia discreta e X tem a topologia produto (os abertos de X são da forma (U_{0} × {0}) ∪ (U_{1} × {1}), com U_{0}, U_{1} abertos em IR^{n}). Consideramos em X a relação de equivalência ∼ que identifica (x, 0) com (x, 1) para todo x ≠ 0; mais explicitamente:

(x, i) ∼ (y, j) ⟺ (x, i) = (y, j) ou x = y ≠ 0.

Seja M = X/∼ o conjunto quociente; consideramos M munido da topologia quociente, i.e., U ⊂ M é aberto se e somente se q^{−1}(U) é aberto em X, onde q : X → M denota a aplicação quociente. Intuitivamente, o espaço M pode ser pensado como o espaço IR^{n} “com uma origem adicional”. Afirmamos que as “duas origens” de M não podem ser separadas por abertos disjuntos. De fato, é fácil verificar que, tanto as vizinhanças de q(0, 0) como as vizinhanças de q(0, 1) em M contém o conjunto:

{q(x, 0) : x ∈ IR^{n}, x ≠ 0, ∥x∥ < r} = {q(x, 1) : x ∈ IR^{n}, x ≠ 0, ∥x∥ < r},

para algum r > 0 suficientemente pequeno. Logo M não é Hausdorff.

Nosso objetivo agora é construir um atlas de classe C^{∞} em M que induza a topologia de M. Começamos mostrando que q é uma aplicação aberta. De fato, se:

U = (U_{0} × {0}) ∪ (U_{1} × {1})

é um aberto de X então q(U) é aberto em M, pois:

q^{−1}(q(U)) = [(U_{0} ∪ (U_{1} \ {0})) × {0}] ∪ [(U_{1} ∪ (U_{0} \ {0})) × {1}]

é aberto em X. Como IR^{n} × {0} é um aberto de X no qual q é injetora, segue que q leva IR^{n} × {0} homeomorficamente sobre o aberto q(IR^{n} × {0}) = M \ {q(0, 1)} de M. Logo a aplicação IR^{n} ∋ x ↦ q(x, 0) é um homeomorfismo sobre M \ {q(0, 1)}; sua inversa:

φ_{0} : M \ {q(0, 1)} ⟶ IR^{n}

é um sistema de coordenadas em M. Similarmente, denotamos por:

φ_{1} : M \ {q(0, 0)} ⟶ IR^{n}

a inversa da aplicação IR^{n} ∋ x ↦ q(x, 1). Obviamente os domínios de φ_{0} e φ_{1} cobrem M. Além do mais, a função de transição de φ_{0} para φ_{1} é a aplicação identidade de IR^{n} \ {0} e portanto A = {φ_{0}, φ_{1}} é um atlas de classe C^{∞} em M. Como φ_{0} e φ_{1} são homeomorfismos definidos em abertos de M, segue que a topologia induzida por A em M coincide com a topologia original que tínhamos em M (que não é Hausdorff!).

(4) Produto de variedades diferenciáveis.

Vamos mostrar nesta seção que o produto cartesiano de um número finito de variedades diferenciáveis tem uma estrutura natural de variedade diferenciável, de modo que uma função f a valores nesse produto seja de classe C^{r} se e somente se cada uma de suas coordenadas o for (propriedade análoga à satisfeita pela topologia produto, no caso de produtos de espaços topológicos). Mais precisamente, temos o seguinte:

Teorema. Sejam M_{1}, …, M_{p} variedades diferenciáveis de classe C^{k} e seja M = ∏_{i=1}^{p} M_{i} seu produto cartesiano. Então existe uma única estrutura diferenciável A de classe C^{k} em M tal que (M, A) é uma variedade diferenciável e tal que as seguintes propriedades são satisfeitas:

(i) as projeções π_{i} : M → M_{i} são de classe C^{k}, i = 1, …, p; (ii) se N é uma variedade diferenciável de classe C^{k} então uma aplicação f : N → M é

de classe C^{k} se e somente se π_{i} ∘ f : N → M_{i} é de classe C^{k} para todo i = 1, …, p.

Além do mais, (M, A) satisfaz também as seguintes propriedades:

(iii) se N é uma variedade diferenciável de classe C^{k} então uma aplicação f : N → M é de classe C^{r} (0 ≤ r ≤ k) se e somente se π_{i} ∘ f : N → M_{i} é de classe C^{r} para todo i = 1, …, p;

(iv) a topologia induzida por A em M coincide com a topologia produto;

(v) dim(M) = ∑_{i=1}^{p} dim(M_{i}).

Demonstração. Seja n_{i} = dim(M_{i}), i = 1, …, p, e n = ∑_{i=1}^{p} n_{i}. Dado, para cada i = 1, …, p, um sistema de coordenadas φ_{i} : U_{i} → Ũ_{i} ⊂ IR^{n_{i}} em M_{i} então definimos um sistema de coordenadas:

φ = ∏_{i=1}^{p} φ_{i} : ∏_{i=1}^{p} U_{i} ⟶ ∏_{i=1}^{p} Ũ_{i} ⊂ IR^{n}

em M fazendo φ(x_{1}, …, x_{p}) = (φ_{1}(x_{1}), …, φ_{p}(x_{p})), para todos x_{i} ∈ U_{i}, i = 1, …, p. Seja:

A_{0} = { ∏_{i=1}^{p} φ_{i} : φ_{i} sistema de coordenadas em M_{i}, i = 1, …, p}.

Mostremos que A_{0} é um atlas de classe C^{k} em M. Em primeiro lugar, é fácil ver que os domínios dos elementos de A_{0} cobrem M. Agora dados:

φ = ∏_{i=1}^{p} φ_{i} : ∏_{i=1}^{p} U_{i} ⟶ ∏_{i=1}^{p} Ũ_{i}, ψ = ∏_{i=1}^{p} ψ_{i} : ∏_{i=1}^{p} V_{i} ⟶ ∏_{i=1}^{p} Ṽ_{i},

em A_{0}, vamos mostrar que φ é C^{k}-compatível com ψ. Para isso, basta observar que a função de transição de φ para ψ é dada por:

∏_{i=1}^{p} φ_{i}(U_{i} ∩ V_{i}) ∋ (v_{1}, …, v_{p}) ⟼ ((ψ_{1} ∘ φ_{1}^{−1})(v_{1}), …, (ψ_{p} ∘ φ_{p}^{−1})(v_{p})) ∈ ∏_{i=1}^{p} ψ_{i}(U_{i} ∩ V_{i}),

e portanto é um difeomorfismo de classe C^{k} entre abertos de IR^{n}.

Mostramos que A_{0} é um atlas de classe C^{k} em M. Observe agora que, relativamente à topologia produto em M, os elementos de A_{0} são homeomorfismos definidos em abertos. Logo, a topologia induzida por A_{0} em M é de fato a topologia produto. Daí o atlas maximal A de classe C^{k} que contém A_{0} satisfaz as condições (iv) e (v) do enunciado do teorema. Como cada M_{i} é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade, segue que a topologia produto em M também é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade; logo (M, A) é uma variedade diferenciável de classe C^{k}.

Mostremos que as projeções π_{i} : M → M_{i} são de classe C^{k}. De fato, dadas cartas φ_{j} : U_{j} ⊂ M_{j} → Ũ_{j}, j = 1, …, p, então a representação de π_{i} com respeito às cartas φ = ∏_{j=1}^{p} φ_{j} e φ_{i} é simplesmente a i-ésima projeção ∏_{j=1}^{p} Ũ_{j} → Ũ_{j}, que é de classe C^{∞}. Logo π_{i} é de classe C^{k}. Isso prova a propriedade (i). Provemos a propriedade (iii) (que obviamente implica a propriedade (ii)). Seja N uma variedade diferenciável de classe C^{k} e seja f : N → M uma função. Defina f_{i} = π_{i} ∘ f, i = 1, …, p. Se f é de classe C^{r} então obviamente cada f_{i} é de classe C^{r}, pois as projeções π_{i} são de classe C^{r}. Suponha agora que cada f_{i} é de classe C^{r} e mostremos que f é de classe C^{r}. Seja x ∈ N e escolha cartas ψ : V → Ṽ em N e φ_{i} : U_{i} → Ũ_{i} em M_{i}, com x ∈ V e f_{i}(x) ∈ U_{i}, i = 1, …, p. Trocando ψ pela restrição de ψ a V ∩ ⋂_{i=1}^{p} f_{i}^{−1}(U_{i}), se necessário, podemos assumir que f_{i}(V) ⊂ U_{i} para todo i. Como f_{i} é de classe C^{r}, temos que a aplicação f̃_{i} = φ_{i} ∘ f_{i} ∘ ψ^{−1} que representa f_{i} com respeito às cartas ψ e φ_{i} é de classe C^{r}. Agora f(V) ⊂ ∏_{i=1}^{p} U_{i} e é fácil ver que a função f̃ que representa f com respeito às cartas ψ e ∏_{i=1}^{p} φ_{i} é dada por:

Ṽ ∋ v ⟼ f̃(v) = (f̃_{1}(v), …, f̃_{p}(v)) ∈ ∏_{i=1}^{p} Ũ_{i}.

Logo f̃ é de classe C^{r} e portanto (como x ∈ N é arbitrário) também f é de classe C^{r}.

Para completar a demonstração, falta apenas verificar a unicidade de A com respeito às propriedades (i) e (ii). Seja A′ uma estrutura diferenciável de classe C^{k} em M tal que (M, A′) é uma variedade diferenciável e tal que as propriedades (i) e (ii) são satisfeitas. Considere a aplicação identidade Id : (M, A) → (M, A′). Como A satisfaz (i), segue que π_{i} ∘ Id é de classe C^{k} para todo i; como A′ satisfaz (ii), segue que Id é de classe C^{k}. Similarmente, mostra-se que Id^{−1} : (M, A′) → (M, A) é de classe C^{k}. Logo Id é um difeomorfismo de classe C^{k} e A = A′.

Definição. A estrutura diferenciável em M = ∏_{i=1}^{p} M_{i} cuja existência e unicidade é garantida pelo teorema anterior é chamada de estrutura diferenciável produto em M.

Álgebra Linear.

1. Seja V um espaço vetorial e seja V = V_{1} ⊕ V_{2} uma decomposição em soma direta. Denote por π_{1} : V → V_{1}, π_{2} : V → V_{2} as projeções correspondentes. Mostre que um subespaço W ⊂ V é tal que V = V_{1} ⊕ W se e somente se a restrição de π_{2} a W é um isomorfismo sobre V_{2}.

[dica: a parte “somente se” segue do resultado do Exercício 1 da aula número 2].

2. Seja V um espaço vetorial e sejam V_{1}, V_{2} ⊂ V subespaços. Mostre que V_{1} ∪ V_{2} é um subespaço de V se e somente se V_{1} ⊂ V_{2} ou V_{2} ⊂ V_{1}.

Sistemas de Coordenadas.

3. Sejam φ : U → Ũ, ψ : V → Ṽ, λ : W → W̃ sistemas de coordenadas num conjunto M. Assuma que φ é C^{k}-compatível com ψ, ψ é C^{k}-compatível com λ e que U = V. Mostre que φ é C^{k}-compatível com λ.

[dica: use o resultado do Exercício 2 da aula número 3].

Topologia de Variedades.

4. Sejam M um conjunto e A um atlas em M. Mostre que se para todos x, y ∈ M existe um sistema de coordenadas φ ∈ A cujo domínio contém x e y então a topologia induzida por A em M é Hausdorff.

5. Sejam M um conjunto e A um atlas em M. Mostre que se A contém um atlas enumerável para M então a topologia induzida por A em M satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade.

[dica: mostre o seguinte resultado de topologia: se um espaço topológico X é união enumerável de abertos que satisfazem o segundo axioma da enumerabilidade então X satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade].

(1) O espaço tangente.

Na aula número 4 nós definimos o conceito de função de classe C^{k} entre variedades diferenciáveis M, N; no entanto, nós não definimos o que é a diferencial de uma função f : M → N de classe C^{1}. Uma idéia natural seria a de definir a diferencial de f num ponto x ∈ M como sendo a diferencial no ponto φ(x) de uma representação f̃ = ψ ∘ f ∘ φ^{−1} de f em cartas φ e ψ. Essa idéia é essencialmente correta, mas precisa ser aprimorada; ocorre que a diferencial de f̃ depende da escolha das cartas φ e ψ, e não apenas de f. O problema aqui é que precisamos primeiramente descobrir o tipo de objeto correto que deve ser a diferencial de f no ponto x. Se f : U → IR^{n} é uma função diferenciável num aberto U ⊂ IR^{m} então a diferencial de f num ponto x ∈ U é um operador linear df(x) : IR^{m} → IR^{n}. Uma interpretação geométrica para esse operador linear pode ser obtida da seguinte forma. Tomamos uma curva diferenciável γ : ]−ε, ε[ → IR^{m} com imagem contida em U e γ(0) = x. A imagem de γ por f, i.e., f ∘ γ, é uma curva diferenciável em IR^{n} que passa por f(x) no instante 0. Daí, se v é o vetor tangente a γ no instante 0, temos que df(x) · v é o vetor tangente a f ∘ γ no instante 0.

Vejamos agora o que ocorre no caso de funções entre superfícies regulares em IR^{3}. Recorde (dos cursos elementares de geometria diferencial) que uma superfície regular em IR^{3} é um subconjunto S ⊂ IR^{3} tal que todo x ∈ S possui uma vizinhança aberta A ⊂ IR^{3} tal que A ∩ S é a imagem de uma imersão X : U ⊂ IR^{2} → IR^{3} de classe C^{∞} definida num aberto U ⊂ IR^{2} e tal que X : U → A ∩ S é um homeomorfismo. A aplicação X é chamada uma parametrização de S em torno de x (na terminologia que estudaremos adiante, veremos que uma superfície regular em IR^{3} é o mesmo que uma subvariedade de dimensão 2 de IR^{3} e que a aplicação X^{−1} : A ∩ S → U é uma carta na variedade S).

Dada uma função diferenciável f : S_{1} → S_{2}, onde S_{1}, S_{2} ⊂ IR^{3} são superfícies regulares então queremos que a diferencial de f num ponto x ∈ S_{1} satisfaça a identidade:

df(x) · γ′(0) = (f ∘ γ)′(0),

para toda curva diferenciável γ em S_{1} com γ(0) = x (observe que f ∘ γ é uma curva diferenciável em S_{2} com (f ∘ γ)(0) = f(x)). Que tipo de objeto será então a diferencial de f no ponto x? Para responder a essa pergunta, recorde que o conjunto:

T_{x}S = {γ′(0) : γ curva diferenciável em S com γ(0) = x}

é conhecido como o plano tangente à superfície regular S no ponto x. Se X é uma parametrização de S em torno de x com X(u, v) = x então T_{x}S coincide com a imagem da diferencial dX(u, v) (i.e., os vetores \frac{∂X}{∂u} (u, v), \frac{∂X}{∂v} (u, v) ∈ IR^{3} formam uma base de T_{x}S) e portanto T_{x}S é um subespaço vetorial bidimensional de IR^{3}. Espera-se então que a diferencial df(x) seja um operador linear definido em T_{x}S_{1} e tomando valores em T_{f(x)}S_{2}.

Observaç~ ao: o plano tangente a uma superfície regular S ⊂ IR^{3} num ponto x ∈ S é muitas vezes visualizado como sendo o plano paralelo a T_{x}S passando por x. Ocorre que é mais conveniente para a teoria que T_{x}S seja um subespaço vetorial de IR^{3} e não um subespaço afim.

Dadas variedades diferenciáveis M, N, o que podemos dizer sobre a diferencial num ponto x ∈ M de uma aplicação f : M → N de classe C^{1}? Ela deve ser um operador linear definido num espaço vetorial associado a M e a x e tomando valores num espaço vetorial associado a N e a f(x). O espaço vetorial T_{x}M associado a M e a x (que será chamado o espaço tangente a M no ponto x) deve ter um papel análogo ao papel do plano tangente a uma superfície regular. O plano tangente a uma superfície regular em IR^{3} é um subespaço vetorial do ambiente IR^{3} onde a superfície está; ocorre que uma variedade diferenciável M não vive em geral dentro de um espaço IR^{N} e portanto não devemos esperar obter T_{x}M como um subespaço de algum IR^{N}.

Para obter a definição correta de espaço tangente a uma variedade, observamos primeiramente que se X é uma parametrização de uma superfície regular S ⊂ IR^{3} com X(u, v) = x ∈ S então a diferencial dX(u, v) fornece um isomorfismo entre IR^{2} e T_{x}S. Se Y = X ∘ α é uma outra parametrização de S, onde α é um difeomorfismo entre abertos de IR^{2} com α(u′, v′) = (u, v), então o isomorfismo dY (u′, v′) : IR^{2} → T_{x}S determinado pela parametrização Y difere do isomorfismo dX(u, v) : IR^{2} → T_{x}S determinado pela parametrização X por dα(u′, v′); mais precisamente:

dX(u, v)^{−1} ∘ dY (u′, v′) = dα(u′, v′).

Dito de outra maneira: a matriz de mudança de base de \frac{∂X}{∂u} (u, v), \frac{∂X}{∂v} (u, v) para \frac{∂Y}{∂u′} (u′, v′), \frac{∂Y}{∂v′} (u′, v′) é a matriz Jacobiana de α no ponto (u′, v′).

Motivados pelas propriedades do plano tangente a uma superfície regular, vamos axiomatizar algumas propriedades que devemos esperar do espaço tangente a uma variedade diferenciável. Estamos interessados numa regra T satisfazendo as seguintes propriedades:

(1) se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e x é um ponto de M então T (M, x) é um espaço vetorial real com dimensão igual à dimensão de M;

(2) se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), x é um ponto de M e se φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} é um sistema de coordenadas em M com x ∈ U então T (φ, x) : T (M, x) → IR^{n} é um isomorfismo, onde n = dim(M);

(3) se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), x é um ponto de M e se φ : U → Ũ ⊂ IR^{n}, ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{n} são sistemas de coordenadas em M (n = dim(M)) com x ∈ U ∩ V então T (ψ, x) ∘ T (φ, x)^{−1} = d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)), i.e., o seguinte diagrama é comutativo:

\xymatrix{ & T (M, x) \ar[dl]_{T (φ,x)} \ar[dr]^{T (ψ,x)} \\ IR^{n} \ar[rr]_{d(ψ∘φ^{−1})(φ(x))} &  & IR^{n}}

Note que a propriedade (3) nos diz que a função de transição entre os isomorfismos T (φ, x) e T (ψ, x) é a linearização da função de transição entre as cartas φ e ψ.

Nosso objetivo agora é demonstrar a existência e a unicidade de uma regra T satisfazendo as propriedades (1), (2) e (3). A filosofia aqui é que não importa o que seja o espaço tangente, importa apenas os axiomas que o caracterizam. Esta é uma situação análoga à que aparece no início de cursos de Análise Real. Tudo que importa saber sobre os números reais é que eles constituem um corpo ordenado completo; a escolha de uma particular construção para os números reais (usando classes de equivalência de seqüências de Cauchy de números racionais ou usando cortes de Dedekind) não é de fato importante e a apresentação de uma tal construção serve apenas para mostrar a consistência dos axiomas de corpo ordenado completo com a teoria dos conjuntos.

Vamos começar provando a unicidade de T . Em primeiro lugar, devemos esclarecer o que isso significa. Não estamos falando de unicidade no sentido literal, mas de unicidade a menos de isomorfismos. Mas o que é um isomorfismo entre regras T e T′? Um isomorfismo entre regras T e T′ não deve ser apenas um isomorfismo entre os espaços T (M, x) e T′(M, x); tal isomorfismo deve também relacionar T (φ, x) e T′(φ, x). A definição precisa é dada a seguir.

Definição. Duas regras T e T′ satisfazendo (1), (2) e (3) são ditas isomorfas se para cada variedade diferenciável M de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e para cada x ∈ M existir um isomorfismo ρ_{M,x} : T (M, x) → T′(M, x), de modo que para todo sistema de coordenadas φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} em M com x ∈ U tenhamos T′(φ, x) ∘ ρ_{M,x} = T (φ, x), i.e., o diagrama:

\xymatrix{T (M, x) \ar[dr]_{T (φ,x)} \ar[rr]^{ρ_{M,x}} &  & T′(M, x) \ar[dl]^{T ′(φ,x)} \\  & IR^{n}}

deve ser comutativo.

Teorema. Quaisquer regras T e T′ satisfazendo as propriedades (1), (2) e (3) são isomorfas.

Demonstração. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja x ∈ M. Dado um sistema de coordenadas φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} em M com x ∈ U definimos um isomorfismo ρ_{M,x,φ} : T (M, x) → T′(M, x) fazendo ρ_{M,x,φ} = T′(φ, x)^{−1} ∘ T (φ, x). Daí obviamente T′(φ, x) ∘ ρ_{M,x,φ} = T (φ, x). Para completar a demonstração, basta verificar que ρ_{M,x,φ} não depende de φ (de modo que podemos definir ρ_{M,x} = ρ_{M,x,φ}, com φ escolhido arbitrariamente). Seja então ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{n} um outro sistema de coordenadas em M com x ∈ V. Definindo λ = d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)) então, pela propriedade (3) satisfeita por T e T′ temos:

T (ψ, x) = λ ∘ T (φ, x), T′(ψ, x) = λ ∘ T′(φ, x);

portanto:

\begin{aligned}ρ_{M,x,ψ} & = T′(ψ, x)^{−1} ∘ T (ψ, x) = [T′(φ, x)^{−1} ∘ λ^{−1}] ∘ [λ ∘ T (φ, x)] \\ & = T′(φ, x)^{−1} ∘ T (φ, x) = ρ_{M,x,φ}. \end{aligned}

Isso completa a demonstração.

Devemos agora mostrar a existência de uma regra T satisfazendo as propriedades (1),

(2) e (3). Esse trabalho será feito nas duas próximas seções. Na seção 2 apresentamos uma construção para T motivada pela idéia geométrica que o espaço tangente a uma variedade M num ponto x deve coincidir com o conjunto dos “vetores tangentes” γ′(0) a todas as curvas γ em M de classe C^{1} com γ(0) = x (compare com a definição de plano tangente a uma superfície regular em IR^{3}). Na seção 3 apresentamos uma construção para T que pode ser vista como uma simples tradução para o formalismo matemático dos axiomas (1),

(2) e (3).

(2) Construindo o espaço tangente usando curvas. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja dado x ∈ M.

Nesta seção, entendemos por uma curva em M passando por x uma aplicação γ : I → M de classe C^{k} com γ(0) = x, onde I ⊂ IR é um intervalo aberto contendo a origem. Denotamos por C(M, x) o conjunto de todas as curvas em M passando por x. Dizemos que duas curvas γ, μ ∈ C(M, x) são tangentes se existe uma carta φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} em M com x ∈ U e tal que (φ ∘ γ)′(0) = (φ ∘ μ)′(0) (note que, como γ e μ são contínuas e U ⊂ M é aberto, temos que as compostas φ ∘ γ e φ ∘ μ são definidas numa vizinhança da origem em IR). Observamos que, se γ e μ são tangentes então temos (ψ ∘ γ)′(0) = (ψ ∘ μ)′(0) para toda carta ψ : V → Ṽ em M com x ∈ V. De fato, como ψ ∘ γ = (ψ ∘ φ^{−1}) ∘ (φ ∘ γ) e ψ ∘ μ = (ψ ∘ φ^{−1}) ∘ (φ ∘ μ), segue da regra da cadeia que:

(ψ ∘ γ)′(0) = d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)) · (φ ∘ γ)′(0) = d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)) · (φ ∘ μ)′(0) = (ψ ∘ μ)′(0).

É fácil ver que a relação ∼ em C(M, x) definida por:

γ ∼ μ ⟺ γ é tangente a μ,

é uma relação de equivalência em C(M, x). Defina:

T (M, x) = C(M, x)/∼,

e para cada γ ∈ C(M, x) denote por [γ] ∈ T (M, x) a classe de equivalência determinada por γ.

Se φ : U → Ũ é um sistema de coordenadas em M com x ∈ U então temos uma aplicação T (φ, x) definida por:

T (φ, x) : T (M, x) ∋ [γ] ⟼ (φ ∘ γ)′(0) ∈ IR^{n}.

Segue diretamente da definição da relação de equivalência ∼ que T (φ, x) é realmente bem definida e é também injetora. Afirmamos que T (φ, x) é sobrejetora. De fato, dado v ∈ IR^{n} então, como Ũ é aberto em IR^{n} e φ(x) ∈ Ũ, existe ε > 0 tal que φ(x) + tv ∈ Ũ para todo t ∈ ]−ε, ε[. Defina γ : ]−ε, ε[ → M fazendo:

γ(t) = φ^{−1}(φ(x) + tv), t ∈ ]−ε, ε[ .

Daí γ é de classe C^{k} (pois φ ∘ γ é de classe C^{∞}), γ(0) = x e obviamente (φ ∘ γ)′(0) = v. Logo T (φ, x)([γ]) = v. Isso prova que T (φ, x) é sobrejetora.

Devemos agora definir uma estrutura de espaço vetorial real no conjunto T (M, x). Como T (φ, x) é uma bijeção, existe uma única estrutura de espaço vetorial real em T (M, x) (de dimensão n) tal que T (φ, x) é um isomorfismo (veja aula número 3). Mostraremos agora que se ψ : V → Ṽ é um sistema de coordenadas em M com x ∈ V então:

T (ψ, x) ∘ T (φ, x)^{−1} = d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)).

Isso mostrará ao mesmo tempo que T tem a propriedade (3) e o fato que T (φ, x) e T (ψ, x) induzem a mesma estrutura de espaço vetorial real em T (M, x) (pois d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)) é um isomorfismo). Para mostrar a igualdade acima, seja v ∈ IR^{n} e seja γ ∈ C(M, x) tal que T (φ, x)([γ]) = v; daí:

\begin{aligned}T (ψ, x)[T (φ, x)^{−1}(v)] & = T (ψ, x)([γ]) = (ψ ∘ γ)′(0) = d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)) · (φ ∘ γ)′(0) \\ & = d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)) · v, \end{aligned}

onde na terceira igualdade acima usamos o fato que ψ ∘ γ = (ψ ∘ φ^{−1}) ∘ (φ ∘ γ). Provamos então que a regra T satisfaz as propriedades (1), (2) e (3) da seção 1.

(3) Construindo o espaço tangente usando sistemas de coordenadas. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja dado x ∈ M.

Consideramos o conjunto E(M, x) formado por todos os pares (φ, v), onde φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} é um sistema de coordenadas em M com x ∈ U e v é um vetor de IR^{n}. Definimos a seguinte relação ∼ em E(M, x):

(φ, v) ∼ (ψ, w) ⟺ d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)) · v = w.

A relação ∼ é uma relação de equivalência. De fato, a reflexividade segue de:

d(φ ∘ φ^{−1})(φ(x)) = d(Id)(φ(x)) = Id;

a simetria segue das igualdades:

d(φ ∘ ψ^{−1})(ψ(x)) = d[(ψ ∘ φ^{−1})^{−1}](ψ(x)) = [d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x))]^{−1},

(recorde que a diferencial do inverso de um difeomorfismo f é dada por df^{−1}(z) = df(f^{−1}(z))^{−1}). Finalmente, a transitividade de ∼ segue das igualdades:

d(λ∘φ^{−1})(φ(x)) = d[(λ∘ψ^{−1})∘(ψ ∘φ^{−1})](φ(x)) = d(λ∘ψ^{−1})(ψ(x))∘d(ψ ∘φ^{−1})(φ(x)).

Deixamos a verificação dos detalhes a cargo do leitor.

Definimos agora:

T (M, x) = E(M, x)/∼,

e denotamos por [φ, v] ∈ T (M, x) a classe de equivalência de um par (φ, v). Para cada sistema de coordenadas φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} em M com x ∈ U, consideramos a aplicação:

IR^{n} ∋ v ⟼ [φ, v] ∈ T (M, x).  (∗)

Afirmamos que (∗) é uma bijeção. De fato, dados v, w ∈ IR^{n} com [φ, v] = [φ, w] então (φ, v) ∼ (φ, w) e portanto w = d(φ ∘ φ^{−1})(φ(x)) · v = v, o que mostra que (∗) é injetora. Dado um elemento arbitrário [ψ, w] ∈ T (M, x), onde ψ : V → Ṽ é um sistema de coordenadas em M com x ∈ V e w ∈ IR^{n}, devemos agora encontrar v ∈ IR^{n} com [φ, v] = [ψ, w], i.e., (φ, v) ∼ (ψ, w). Para isso, basta tomar:

v = [d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x))]^{−1} · w.

Mostramos então que (∗) é bijetora. A bijeção T (φ, x) : T (M, x) → IR^{n} é definida agora como sendo a inversa de (∗). Vamos agora mostrar que se φ : U → Ũ, ψ : V → Ṽ são sistemas de coordenadas em M com x ∈ U ∩ V então:

T (ψ, x) ∘ T (φ, x)^{−1} = d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)).

Como na seção anterior, isso mostrará simultaneamente a propriedade (3) de T e que a estrutura de espaço vetorial induzida por T (φ, x) em T (M, x) não depende de φ. Seja v ∈ IR^{n}. Temos T (φ, x)^{−1}(v) = [φ, v] e T (ψ, x)([φ, v]) = w ∈ IR^{n}, onde [φ, v] = [ψ, w]. Mas [φ, v] = [ψ, w] implica (φ, v) ∼ (ψ, w) e portanto:

w = d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)) · v,

pela definição da relação ∼.

Isso completa a demonstração do fato que T satisfaz as propriedades (1), (2) e (3) da seção 1.

(1) A diferencial de uma função entre duas variedades diferenciáveis. Na última aula discutimos a noção de espaço tangente a uma variedade diferenciável.

Estamos aptos agora a definir a diferencial de uma função entre duas variedades diferenciáveis. Antes de tudo, temos as seguintes: Notaç~ oes e Definiç~ oes: a partir de agora consideramos que foi escolhida uma regra T satisfazendo as propriedades (1), (2) e (3) da seção 1 da aula número 6. Para cada variedade diferenciável M de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e para cada x ∈ M, o espaço vetorial real T (M, x) será chamado o espaço tangente a M no ponto x e será denotado por T_{x}M. Se φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} é um sistema de coordenadas em M com x ∈ U então o isomorfismo T (φ, x) : T (M, x) → IR^{n} será chamado o isomorfismo induzido pela carta φ e será denotado por \overline{φ}_{x} : T_{x}M → IR^{n}.

A notação T_{x}M é a notação definitiva para o espaço tangente. A notação \overline{φ}_{x} é provisória, pois depois que definirmos a diferencial de uma função entre variedades, veremos que o isomorfismo \overline{φ}_{x} identifica-se com a diferencial da carta φ no ponto x (veja último Lema da seção 2).

Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} e seja f : M → N uma função de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Como foi discutido na aula número 6, para cada x ∈ M, a diferencial de f no ponto x deve ser um operador linear df(x) : T_{x}M → T_{f(x)}N. Para defini-lo, consideramos a diferencial de uma representação f̃ de f em sistemas de coordenadas e usamos os isomorfismos induzidos por esses sistemas de coordenadas entre os espaços tangentes e os espaços Euclideanos para transferir a diferencial de f̃ para os espaços tangentes apropriados. A definição precisa é dada a seguir.

Definição. Escolha cartas φ : U → Ũ ⊂ IR^{m} em M e ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{n} em N com x ∈ U e f(U) ⊂ V (e portanto f(x) ∈ V). Seja f̃ = ψ ∘ f ∘ φ^{−1} : Ũ → Ṽ a representação de f nas cartas φ e ψ (note que f̃ é de classe C^{k}). A diferencial de f no ponto x é o operador linear df(x) : T_{x}M → T_{f(x)}N definido por:

df(x) = (\overline{ψ}_{f(x)})^{−1} ∘ df̃(φ(x)) ∘ \overline{φ}_{x};  (∗)

em outras palavras, df(x) : T_{x}M → T_{f(x)}N é o único operador linear tal que o diagrama:

\xymatrix{T_{x}M \ar[r]^{df(x)} \ar[d]_{_{\overline{φ}_{x}}}^{≅} & T_{f(x)}N \ar[d]^{_{\overline{ψ}_{f(x)}}}_{≅} \\ IR^{m} \ar[r]_{df̃(φ(x))} & IR^{n}}

é comutativo.

Para justificar a definição acima, é necessário demonstrar que df(x) não depende da escolha das cartas φ e ψ.

Sejam Φ : U_{1} → Ũ_{1} ⊂ IR^{m} e Ψ : V_{1} → Ṽ_{1} ⊂ IR^{n} cartas em M e em N, respectivamente, com x ∈ U_{1} e f(U_{1}) ⊂ V_{1}. Seja f̃_{1} = Ψ ∘ f ∘ Φ^{−1} a representação de f nas cartas Φ e Ψ. Devemos mostrar que:

(\overline{ψ}_{f(x)})^{−1} ∘ df̃(φ(x)) ∘ \overline{φ}_{x} = (\overline{Ψ}_{f(x)})^{−1} ∘ df̃_{1}(Φ(x)) ∘ \overline{Φ}_{x}.  (1)

Seja α = Φ ∘ φ^{−1} a função de transição de φ para Φ e seja β = Ψ ∘ ψ^{−1} a função de transição de ψ para Ψ. Temos que a igualdade:

f̃_{1} = β ∘ f̃∘ α^{−1}

é válida na vizinhança aberta Φ(U ∩ U_{1}) de Φ(x). Diferenciando a igualdade acima dos dois lados no ponto Φ(x) e usando a regra da cadeia obtemos:

df̃_{1}(Φ(x)) = dβ(ψ(f(x))) ∘ df̃(φ(x)) ∘ d(α^{−1})(Φ(x))
= dβ(ψ(f(x))) ∘ df̃(φ(x)) ∘ dα(φ(x))^{−1}.

(2)

A propriedade (3) (seção 1, aula número 6) satisfeita pelo espaço tangente nos dá:

\overline{Φ}_{x} = dα(φ(x)) ∘ \overline{φ}_{x}, \overline{Ψ}_{f(x)} = dβ(ψ(f(x))) ∘ \overline{ψ}_{f(x)}.  (3)

A igualdade (1) segue então diretamente de (2) e (3). Logo a noção de diferencial para uma função entre duas variedades diferenciáveis está bem definida. Observaç~ ao: algumas construções específicas para o espaço tangente permitem uma definição mais direta para df(x), sem usar cartas. Por exemplo, a construção do espaço tangente usando curvas (seção 2, aula número 6) nos permite definir df(x)([γ]) = [f ∘ γ] (verifique que essa definição coincide de fato com a definição usando cartas que demos nesta seção!).

Definição. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), f : M → N uma função de classe C^{k}, x ∈ M e v ∈ T_{x}M. A derivada direcional de f no ponto x e na direção de v é definida por:

\frac{∂f}{∂v} (x) = df(x) · v ∈ T_{f(x)}N.

De modo similar ao Cálculo no IR^{n}, temos o seguinte:

Teorema. (regra da cadeia para variedades) Sejam M, N, P variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e sejam f : M → N, g : N → P funções de classe C^{k}. Para todo x ∈ M temos:

d(g ∘ f)(x) = dg(f(x)) ∘ df(x).

Demonstração. Sejam φ : U → Ũ, ψ : V → Ṽ, λ : W → W̃ cartas em M, N, P respectivamente, com x ∈ U, f(U) ⊂ V e g(V) ⊂ W. Se f̃ = ψ ∘ f ∘ φ^{−1} denota a representação de f nas cartas φ e ψ e se g̃ = λ ∘ g ∘ ψ^{−1} denota a representação de g nas cartas ψ e λ então g̃ ∘ f̃ = λ ∘ (g ∘ f) ∘ φ^{−1} é a representação de g ∘ f nas cartas φ e λ. Pela definição de diferencial de uma função entre duas variedades, temos:

df(x) = (\overline{ψ}_{f(x)})^{−1} ∘ df̃(φ(x)) ∘ \overline{φ}_{x}, dg(f(x)) = (\overline{λ}_{g(f(x))})^{−1} ∘ dg̃(ψ(f(x))) ∘ \overline{ψ}_{f(x)},

d(g ∘ f)(x) = (\overline{λ}_{g(f(x))})^{−1} ∘ d(g̃ ∘ f̃)(φ(x)) ∘ \overline{φ}_{x}.

A conclusão segue das igualdades acima, observando que:

d(g̃ ∘ f̃)(φ(x)) = dg̃(f̃(φ(x))) ∘ df̃(φ(x))

e que f̃(φ(x)) = ψ(f(x)).

(2) Algumas observações importantes sobre o espaço tangente. Se S ⊂ IR^{3} é uma superfície regular e se Z é um aberto de S então Z também é uma

superfície regular em IR^{3}; além do mais, para todo x ∈ Z temos que os planos tangentes a Z e a S no ponto x coincidem. Se M é uma variedade diferenciável e Z é um aberto de M então, dado x ∈ Z, os espaços tangentes T_{x}Z e T_{x}M não são rigorosamente iguais; na verdade, a validade de tal igualdade depende da escolha de construção para o espaço tangente que foi feita. Por exemplo, no caso da construção do espaço tangente usando curvas (seção 2, aula número 6), os conjuntos C(M, x) de curvas em M passando por x e C(Z, x) de curvas em Z passando por x não são iguais. Em primeiro lugar, um elemento γ ∈ C(M, x) tem contra-domínio M e um elemento γ ∈ C(Z, x) tem contra-domínio Z; além do mais, existem curvas em M passando por x cuja imagem não está contida em Z. Mas, se γ : I → M é uma curva em M passando por x então existe um intervalo aberto J ⊂ I contendo a origem tal que γ(J) ⊂ Z; obviamente γ e γ|_{J} são tangentes, i.e., definem a mesma classe de equivalência em T_{x}M. Ocorre então que existe um isomorfismo natural entre T_{x}Z e T_{x}M. Tal isomorfismo é simplesmente a diferencial da aplicação inclusão Z → M. Esse fato é estabelecido abaixo, sem menção explícita a uma construção para o espaço tangente.

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja Z ⊂ M um aberto. Então, para todo x ∈ Z, a diferencial da aplicação inclusão i : Z → M no ponto x é um isomorfismo de T_{x}Z sobre T_{x}M.

Demonstração. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta em Z com x ∈ U. Daí φ também é uma carta em M. A representação ĩ de i com respeito às cartas φ e φ é a aplicação identidade do aberto Ũ de IR^{n}; logo dĩ(φ(x)) é a aplicação identidade de IR^{n}. Denote temporariamente por \overline{φ}_{x}^{M} : T_{x}M → IR^{n} e \overline{φ}_{x}^{Z} : T_{x}Z → IR^{n} os isomorfismos induzidos pela carta φ nas variedades M e Z, respectivamente (a notação adotada no início da seção anterior é ambígua nesse caso, pois φ é uma carta tanto na variedade M como na variedade Z, mas os isomorfismos induzidos T_{x}M → IR^{n} e T_{x}Z → IR^{n} não são iguais). Pela definição de di(x), temos:

di(x) = (\overline{φ}_{x}^{M})^{−1} ∘ dĩ(φ(x)) ∘ \overline{φ}_{x}^{Z} = (\overline{φ}_{x}^{M})^{−1} ∘ \overline{φ}_{x}^{Z}.

Como \overline{φ}_{x}^{M} e \overline{φ}_{x}^{Z} são isomorfismos, segue que di(x) também é um isomorfismo.

Estamos em condições de adotar agora a seguinte: Convenç~ ao: se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e se Z é um aberto de M então, para todo x ∈ Z, identificamos o espaço tangente T_{x}Z com o espaço tangente T_{x}M através do isomorfismo dado pela diferencial da inclusão Z → M no ponto x. No que segue então, trabalharemos como se T_{x}Z = T_{x}M e se a diferencial da inclusão Z → M no ponto x fosse a aplicação identidade de T_{x}M.

Observaç~ ao: seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja Z ⊂ M um aberto. Dada uma carta φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} em Z (de modo que φ é também uma carta em M) então, para todo x ∈ U, a carta φ induz isomorfismos \overline{φ}_{x}^{M} : T_{x}M → IR^{n} e \overline{φ}_{x}^{Z} : T_{x}Z → IR^{n}. Vimos na demonstração do Lema acima que di(x) = (\overline{φ}_{x}^{M})^{−1} ∘ \overline{φ}_{x}^{Z}, onde i : Z → M denota a inclusão. Em vista da convenção acima, T_{x}M = T_{x}Z e di(x) é a aplicação identidade de T_{x}M; segue então que \overline{φ}_{x}^{M} = \overline{φ}_{x}^{Z}, i.e., o isomorfismo \overline{φ}_{x} : T_{x}M = T_{x}Z → IR^{n} induzido pela carta φ é o mesmo, quer consideremos φ como carta em M, quer consideremos φ como carta em Z.

Observaç~ ao: seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e sejam Z_{1}, Z_{2} ⊂ M abertos com Z_{1} ⊂ Z_{2}. Denote por i_{1} : Z_{1} → M, i_{2} : Z_{2} → M, i_{12} : Z_{1} → Z_{2} as aplicações inclusão. Dado x ∈ Z_{1} então, pela convenção acima, identificamos T_{x}Z_{2} com T_{x}M através do isomorfismo di_{2}(x) e identificamos T_{x}Z_{1} com T_{x}Z_{2} através do isomorfismo di_{12}(x) (já que Z_{1} é um aberto na variedade Z_{2}). Ambas essas identificações implicam na identificação de T_{x}Z_{1} com T_{x}M através do isomorfismo di_{2}(x)∘di_{12}(x). Ao mesmo tempo, temos uma identificação de T_{x}Z_{1} com T_{x}M através do isomorfismo di_{1}(x). Afirmamos que os isomorfismos di_{2}(x)∘di_{12}(x) e di_{1}(x) coincidem; de fato, basta observar que i_{1} = i_{2} ∘i_{12} e aplicar a regra da cadeia.

Em vista da convenção acima, temos também o seguinte resultado sobre a diferencial da restrição de uma aplicação a um aberto.

Lema. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), M_{1} ⊂ M, N_{1} ⊂ N abertos e f : M → N uma função de classe C^{k} tal que f(M_{1}) ⊂ N_{1}. Se f_{1} : M_{1} → N_{1} denota a restrição de f então, para todo x ∈ M_{1}, temos df(x) = df_{1}(x).

Demonstração. Se i : M_{1} → M, j : N_{1} → N denotam as aplicações de inclusão então j ∘ f_{1} = f ∘ i. A conclusão segue então da regra da cadeia, observando que, em vista da convenção acima, di(x) é a aplicação identidade de T_{x}M e dj(f(x)) é a aplicação identidade de T_{f(x)}N.

Como o conjunto dos vetores tangentes γ′(0) às curvas γ em IR^{n} passando por um certo ponto x ∈ IR^{n} coincide com o próprio IR^{n}, é natural esperar que tenhamos alguma identificação entre o espaço tangente T_{x}IR^{n} da variedade IR^{n} e o espaço vetorial IR^{n}. Mais geralmente, se V é um espaço vetorial real de dimensão finita então V é uma variedade diferenciável (veja Exemplo da seção 3 da aula número 3) e é natural esperar que exista uma identificação natural entre T_{x}V e V, para todo x ∈ V. De fato, se o espaço tangente é construído usando curvas (seção 2, aula número 6) então tal isomorfismo é dado por T_{x}V ∋ [γ] ↦ γ′(0) ∈ V, onde γ′(0) = lim_{t→0} \frac{γ(t)−γ(0)}{t}. No lema a seguir, estabelecemos um isomorfismo entre T_{x}V e V sem fazer referência explícita a uma construção para o espaço tangente.

Lema. Seja V um espaço vetorial real de dimensão n < +∞ e seja φ : V → IR^{n} um isomorfismo (então φ é uma carta na variedade V). Para cada x ∈ V, o isomorfismo φ^{−1} ∘ \overline{φ}_{x} : T_{x}V → V não depende de φ, i.e., se ψ : V → IR^{n} é um outro isomorfismo então:

φ^{−1} ∘ \overline{φ}_{x} = ψ^{−1} ∘ \overline{ψ}_{x}.

Demonstração. Sejam φ, ψ : V → IR^{n} isomorfismos. Para cada x ∈ V, a propriedade (3) (seção 1, aula número 6) satisfeita pelo espaço tangente nos dá:

\overline{ψ}_{x} = d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)) ∘ \overline{φ}_{x}.

Como ψ ∘ φ^{−1} é linear, temos d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)) = ψ ∘ φ^{−1} e portanto:

\overline{ψ}_{x} = ψ ∘ φ^{−1} ∘ \overline{φ}_{x}.

Logo ψ^{−1} ∘ \overline{ψ}_{x} = φ^{−1} ∘ \overline{φ}_{x}.

Estamos em condições de adotar agora a seguinte: Convenç~ ao: se V é um espaço vetorial real de dimensão n < +∞ então, para todo x ∈ V, identificamos o espaço tangente T_{x}V da variedade V com o próprio espaço vetorial V através do isomorfismo φ^{−1} ∘ \overline{φ}_{x} : T_{x}V → V, onde φ : V → IR^{n} é um isomorfismo arbitrário (como vimos no Lema acima, φ^{−1} ∘ \overline{φ}_{x} não depende de φ). No que segue então, trabalharemos como se T_{x}V = V e se φ^{−1} ∘ \overline{φ}_{x} fosse a aplicação identidade de V. Note que, em vista dessa convenção, o isomorfismo induzido \overline{φ}_{x} : T_{x}V = V → IR^{n} por uma carta linear φ : V → IR^{n} coincide com a própria carta φ. Observaç~ ao: como caso particular da convenção acima, identificamos T_{x}IR^{n} com IR^{n}, para todo x ∈ IR^{n}, através do isomorfismo \overline{Id}_{x} : T_{x}IR^{n} → IR^{n} induzido pela carta Id : IR^{n} → IR^{n} na variedade IR^{n}. Trabalharemos então como se T_{x}IR^{n} = IR^{n} para todo x ∈ IR^{n} e como se \overline{Id}_{x} : T_{x}IR^{n} = IR^{n} → IR^{n} fosse a aplicação identidade de IR^{n}, para todo x ∈ IR^{n}. Observaç~ ao: devemos agora esclarecer a ambigüidade que existe entre a noção de diferencial de funções em variedades e a de diferencial de funções no espaço Euclideano. Mais explicitamente, se V, W são espaços vetoriais reais de dimensão finita e se f : Z → W é uma aplicação de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) definida num aberto Z ⊂ V então, para todo x ∈ Z, temos uma noção de diferencial para f no ponto x estudada em cursos de Cálculo no IR^{n} que nos dá um operador linear df(x) : V → W. Temos também a noção de diferencial para f no ponto x obtida considerando o aberto Z em V e o espaço vetorial W como variedades diferenciáveis; denotemos temporariamente essa segunda noção de diferencial por Df(x) : T_{x}Z → T_{f(x)}W. Em vista das convenções feitas nesta seção, temos que T_{x}Z = T_{x}V = V e T_{f(x)}W = W. Vamos mostrar agora que Df(x) = df(x). Sejam φ : V → IR^{m}, ψ : W → IR^{n} isomorfismos. Vamos calcular Df(x) usando as cartas φ_{0} = φ|_{Z} : Z → φ(Z) na variedade Z e a carta ψ na variedade W; temos:

Df(x) = (\overline{ψ}_{f(x)})^{−1} ∘ df̃(φ(x)) ∘ \overline{(φ_{0})}_{x},

onde f̃ = ψ ∘ f ∘ φ_{0}^{−1}. Usando a regra da cadeia do Cálculo no IR^{n} e observando que φ e ψ são lineares, obtemos:

df̃(φ(x)) = ψ ∘ df(x) ∘ φ^{−1}.

Pela convenção acima, temos \overline{ψ}_{f(x)} = ψ. A igualdade Df(x) = df(x) ficará demonstrada então se verificarmos que o isomorfismo \overline{(φ_{0})}_{x} : T_{x}Z → IR^{n} coincide com φ. Isso depende de dois fatos. Em primeiro lugar, pela primeira observação desta seção, o isomorfismo \overline{(φ_{0})}_{x} : T_{x}Z → IR^{n} induzido por φ_{0} vista como carta na variedade Z coincide com o isomorfismo \overline{(φ_{0})}_{x} : T_{x}V → IR^{n} induzido por φ_{0} vista como carta na variedade V. Além do mais, segue do resultado do Exercício 1 que as cartas φ_{0} e φ na variedade V induzem o mesmo isomorfismo de T_{x}V sobre IR^{n}. Logo \overline{(φ_{0})}_{x} = \overline{φ}_{x} = φ.

Agora que identificamos T_{x}IR^{n} com IR^{n}, podemos apresentar a seguinte:

Definição. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), U ⊂ IR^{n} um aberto e f : U → M uma aplicação de classe C^{k}. Dado x ∈ U então a i-ésima derivada parcial (i = 1, …, n) de f no ponto x é o vetor \frac{∂f}{∂x_{i}} (x) ∈ T_{f(x)}M definido por:

\frac{∂f}{∂x_{i}} (x) = df(x) · e_{i},

onde e_{i} denota o i-ésimo vetor da base canônica de IR^{n}. Se I é um aberto em IR e γ : I → M é uma aplicação de classe C^{k} (quando I é um intervalo, dizemos que γ é uma curva de classe C^{k} em M) então, para t ∈ I, o vetor tangente a γ no instante t é o vetor γ′(t) ∈ T_{γ(t)}M definido por:

γ′(t) = dγ(t) · 1.

O vetor tangente γ′(t) também é denotado por \frac{dγ}{dt} (t).

Note que se f : U ⊂ IR^{n} → M é uma função de classe C^{k} então a linearidade de df(x) implica que:

\frac{∂f}{∂v} (x) = df(x) · v = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (x)v_{i},

para todo x ∈ U e todo v = (v_{1}, …, v_{n}) ∈ IR^{n}.

Provemos agora o resultado que dará fim ao uso da notação provisória \overline{φ}_{x} para o isomorfismo induzido por uma carta φ no espaço tangente T_{x}M.

Lema. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e suponha que φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} seja um sistema de coordenadas em M. Então, para todo x ∈ U, temos que a diferencial dφ(x) : T_{x}U = T_{x}M → T_{φ(x)}Ũ = T_{φ(x)}IR^{n} = IR^{n} coincide com o isomorfismo induzido \overline{φ}_{x} : T_{x}M → IR^{n}.

Demonstração. Em primeiro lugar, observamos que para calcular a diferencial dφ(x), podemos considerar φ como uma aplicação com contra-domínio em IR^{n}, em vez de Ũ (veja o segundo Lema desta seção). Calculamos então dφ(x) usando a carta φ na variedade U e a carta Id : IR^{n} → IR^{n} na variedade IR^{n}. A representação φ̃ da aplicação φ nas cartas φ e Id é a aplicação de inclusão do aberto Ũ em IR^{n}; logo dφ̃(φ(x)) é a aplicação identidade de IR^{n}. A diferencial de φ no ponto x é dada então por:

dφ(x) = (\overline{Id}_{φ(x)})^{−1} ∘ dφ̃(φ(x)) ∘ \overline{φ}_{x} = (\overline{Id}_{φ(x)})^{−1} ∘ \overline{φ}_{x}.

Vimos acima que o isomorfismo \overline{Id}_{φ(x)} : T_{φ(x)}IR^{n} = IR^{n} → IR^{n} induzido pela carta linear Id : IR^{n} → IR^{n} coincide com Id : IR^{n} → IR^{n}. Além do mais, pela primeira observação desta seção, o isomorfismo \overline{φ}_{x} : T_{x}U → IR^{n} induzido pela carta φ da variedade U coincide com o isomorfismo \overline{φ}_{x} : T_{x}M → IR^{n} induzido pela carta φ da variedade M. Isso completa a demonstração. Observaç~ ao: a partir de agora abandonamos a notação provisória \overline{φ}_{x} para o isomorfismo induzido pela carta φ; em vista do Lema anterior, usaremos dφ(x) em vez de \overline{φ}_{x}. Observaç~ ao: agora a fórmula (∗) (veja seção 1) que originalmente foi usada para definir a diferencial de uma função entre duas variedades pode ser vista como uma conseqüência da regra da cadeia em variedades e do Lema acima.

(3) O espaço tangente a um produto cartesiano; derivadas parciais de funções em variedades. Estabelecemos agora um isomorfismo entre o espaço tangente a um produto cartesiano

de variedades e a soma direta dos espaços tangentes dos fatores.

Teorema. Sejam M_{1}, …, M_{p} variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja M = ∏_{i=1}^{p} M_{i} seu produto cartesiano (munido da estrutura diferenciável produto). Denote por π_{i} : M → M_{i}, i = 1, …, p, a i-ésima projeção. Então, para todo x = (x_{1}, …, x_{p}) ∈ M, a aplicação:

ρ : T_{x}M ∋ v ⟼ (dπ_{1}(x) · v, …, dπ_{p}(x) · v) ∈ ⨁_{i=1}^{p} T_{x_{i}}M_{i},

é um isomorfismo entre T_{x}M e a soma direta ⨁_{i=1}^{p} T_{x_{i}}M_{i}.

Demonstração. Seja φ_{i} : U_{i} → Ũ_{i} ⊂ IR^{n_{i}} um sistema de coordenadas em M_{i} com x_{i} ∈ U_{i}, i = 1, …, p; seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} o sistema de coordenadas em M definido por φ = ∏_{i=1}^{p} φ_{i}, onde U = ∏_{i=1}^{p} U_{i}, Ũ = ∏_{i=1}^{p} Ũ_{i} e n = ∑_{i=1}^{p} n_{i}. Daí x ∈ U. Denote por π̃_{i} : IR^{n} → IR^{n_{i}} a i-ésima projeção do produto IR^{n} = ∏_{j=1}^{p} IR^{n_{j}}. Para todo i = 1, …, p, temos φ_{i} ∘ π_{i}|_{U} = π̃_{i} ∘ φ. Diferenciando essa igualdade no ponto x ∈ M e usando a regra da cadeia, obtemos:

dφ_{i}(x_{i}) ∘ dπ_{i}(x) = π̃_{i} ∘ dφ(x), i = 1, …, p,

já que dπ̃_{i}(φ(x)) = π̃_{i}. A igualdade acima implica que o diagrama:

\xymatrix{T_{x}M \ar[r]^{ρ} \ar[d]_{dφ(x)} & ⨁_{i=1}^{p} T_{x_{i}}M_{i} \ar[d]^{σ} \\ IR^{n} \ar[r]_{Id} & ∏_{i=1}^{p} IR^{n_{i}}}

é comutativo, onde σ é definido por σ(v_{1}, …, v_{p}) = (dφ_{1}(x_{1}) · v_{1}, …, dφ_{p}(x_{p}) · v_{p}). Como dφ_{i}(x_{i}) é um isomorfismo para todo i = 1, …, p, segue facilmente que σ é um isomorfismo; como dφ(x) também é um isomorfismo, segue que ρ = σ^{−1} ∘ dφ(x) é um isomorfismo.

Estamos em condições de adotar agora a seguinte: Convenç~ ao: a partir de agora sempre usaremos o isomorfismo ρ definido no enunciado do Teorema acima para identificar o espaço tangente T_{x}M a um produto M = ∏_{i=1}^{p} M_{i} com a soma direta ⨁_{i=1}^{p} T_{x_{i}}M_{i}, onde x = (x_{1}, …, x_{p}) ∈ M. Sob essa identificação a diferencial dπ_{i}(x) da i-ésima projeção π_{i} : M → M_{i} é identificada com a i-ésima projeção ⨁_{j=1}^{p} T_{x_{j}}M_{j} → T_{x_{i}}M_{i}.

Em vista da convenção acima temos o seguinte:

Lema. Sejam M_{1}, …, M_{p} variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja M = ∏_{i=1}^{p} M_{i} seu produto cartesiano. Dada uma variedade diferenciável N de classe C^{k}, uma aplicação f = (f_{1}, …, f_{p}) : N → M de classe C^{k} e um ponto y ∈ N então:

df(y) · v = (df_{1}(y) · v, …, df_{p}(y) · v) ∈ ⨁_{i=1}^{p} T_{f_{i}(y)}M_{i},

para todo v ∈ T_{y}N.

Demonstração. Se π_{i} : M → M_{i} denota a i-ésima projeção então f_{i} = π_{i} ∘ f. Diferenciando essa igualdade no ponto y e usando a regra da cadeia obtemos:

df_{i}(y) = dπ_{i}(f(y)) ∘ df(y).

A conclusão segue do fato que dπ_{i}(f(y)) coincide com a i-ésima projeção da soma direta T_{f(y)}M = ⨁_{j=1}^{p} T_{f_{j}(y)}M_{j}.

Lema. Sejam M_{1}, …, M_{p} variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja M = ∏_{i=1}^{p} M_{i} seu produto cartesiano. Dado x = (x_{1}, …, x_{p}) ∈ M, defina uma aplicação 𝔦 : M_{i} → M fazendo 𝔦(y) = (x_{1}, …, x_{i−1}, y, x_{i+1}, …, x_{p}), para todo y ∈ M_{i}. Então 𝔦 é uma aplicação de classe C^{k} e sua diferencial no ponto x_{i} ∈ M_{i} é a inclusão de T_{x_{i}}M_{i} na soma direta ⨁_{j=1}^{p} T_{x_{j}}M_{j}, ou seja:

d𝔦(x_{i}) : T_{x_{i}}M_{i} ∋ v ⟼ (0, …, v, …, 0) ∈ ⨁_{j=1}^{p} T_{x_{j}}M_{j}.

Demonstração. Para j = 1, …, n, denote por π_{j} : M → M_{j} a j-ésima projeção. Então, para j ≠ i, temos que π_{j} ∘ 𝔦 é uma aplicação constante; pelo resultado do Exercício 4, π_{j} ∘ 𝔦 é de classe C^{k} e d(π_{j} ∘ 𝔦)(x_{i}) = 0. Temos também que π_{i} ∘ 𝔦 é a aplicação identidade de M_{i}; pelo resultado do Exercício 3, π_{i} ∘ 𝔦 é de classe C^{k} e d(π_{i} ∘ 𝔦)(x_{i}) é a aplicação identidade de T_{x_{i}}M_{i}. A conclusão segue do Lema anterior.

Corolário. Sejam M_{1}, …, M_{p} variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja M = ∏_{i=1}^{p} M_{i} seu produto cartesiano. Dada uma aplicação f : M → N de classe C^{k}, tomando valores numa variedade N de classe C^{k}, e dado x = (x_{1}, …, x_{p}) ∈ M então a aplicação g : M_{i} → N definida por g(y) = f(x_{1}, …, x_{i−1}, y, x_{i+1}, …, x_{p}), para todo y ∈ M_{i}, é de classe C^{k} e sua diferencial no ponto x_{i} coincide com a restrição a T_{x_{i}}M_{i} da diferencial de f no ponto x, ou seja:

dg(x) · v = df(x) · (0, …, v, …, 0),

para todo v ∈ T_{x_{i}}M_{i}.

Demonstração. Defina 𝔦 como no Lema anterior e observe que g = f ∘ 𝔦; a conclusão segue do Lema e da regra da cadeia.

Definição. Dada uma aplicação f : M = ∏_{i=1}^{p} M_{i} → N de classe C^{k}, onde M_{1}, …, M_{p}, N são variedades de classe C^{k} então, para todo x = (x_{1}, …, x_{p}) ∈ M, a restrição a T_{x_{i}}M_{i} da diferencial df(x) é denotada por \frac{∂f}{∂x_{i}} (x) : T_{x_{i}}M_{i} → T_{f(x)}N e é chamada a i-ésima derivada parcial de f no ponto x.

Observe que a linearidade de df(x) implica que:

df(x) · (v_{1}, …, v_{p}) = ∑_{i=1}^{p} \frac{∂f}{∂x_{i}} (x) · v_{i},

para todo (v_{1}, …, v_{p}) ∈ ⨁_{i=1}^{p} T_{x_{i}}M_{i}.

(4) Alguns teoremas básicos do cálculo; imersões e submersões.

Demonstraremos agora a versão para variedades diferenciáveis de alguns resultados básicos do Cálculo no IR^{n}.

Lema. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N um difeomorfismo de classe C^{k}. Então, para todo x ∈ M, a diferencial de f no ponto x é um isomorfismo de T_{x}M sobre T_{f(x)}N e df(x)^{−1} = d(f^{−1})(f(x)).

Demonstração. Basta aplicar a regra da cadeia para diferenciar a igualdade f^{−1} ∘f = Id no ponto x e a igualdade f ∘ f^{−1} = Id no ponto f(x) (veja também o Exercício 3).

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N um difeomorfismo local de classe C^{k}. Então, para todo x ∈ M, a diferencial de f no ponto x é um isomorfismo de T_{x}M sobre T_{f(x)}N.

Demonstração. Seja U ⊂ M uma vizinhança aberta de x tal que f(U) é aberto em N e f|_{U} : U → f(U) é um difeomorfismo de classe C^{k}. Temos que df(x) = d(f|_{U})(x). A conclusão segue do Lema anterior.

Teorema. (da função inversa para variedades) Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma função de classe C^{k}. Se x ∈ M é tal que df(x) : T_{x}M → T_{f(x)}N é um isomorfismo (em particular dim(M) = dim(N)) então existe um aberto Z ⊂ M contendo x tal que f(Z) é aberto em N e f|_{Z} : Z → f(Z) é um difeomorfismo de classe C^{k}.

Demonstração. Sejam φ : U → Ũ ⊂ IR^{n}, ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{n} cartas em M e em N respectivamente, com x ∈ U e f(U) ⊂ V. Seja f̃ = ψ ∘ f ∘ φ^{−1} a representação de f nas cartas φ e ψ. Daí f̃ : Ũ → Ṽ ⊂ IR^{n} é uma função de classe C^{k} e pela regra da cadeia temos:

\begin{aligned}df̃(φ(x)) & = dψ(f(x)) ∘ df(x) ∘ d(φ^{−1})(φ(x)) \\ & = dψ(f(x)) ∘ df(x) ∘ dφ(x)^{−1}. \end{aligned}

Como dψ(f(x)) e dφ(x) são isomorfismos, segue que df̃(φ(x)) é um isomorfismo de IR^{n}. Pelo Teorema da Função Inversa do Cálculo no IR^{n}, existe uma vizinhança aberta Z_{0} de φ(x) em Ũ tal que f̃(Z_{0}) ⊂ Ṽ é aberto em IR^{n} e f̃|_{Z_{0}} : Z_{0} → f̃(Z_{0}) é um difeomorfismo de classe C^{k}. Tome Z = φ^{−1}(Z_{0}). Daí Z é aberto em M, x ∈ Z, f(Z) = ψ^{−1}(f̃(Z_{0})) é aberto em N e f|_{Z} : Z → f(Z) é um difeomorfismo de classe C^{k}, pois:

f|_{Z} = (ψ^{−1}|_{f̃(Z_{0})}) ∘ (f̃|_{Z_{0}}) ∘ (φ|_{Z}).

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma função de classe C^{k}. Se df(x) : T_{x}M → T_{f(x)}N é um isomorfismo para todo x ∈ M então f é um difeomorfismo local de classe C^{k}. Em particular, se f é injetora então f é um difeomorfismo de classe C^{k} sobre f(M), que é um aberto de N.

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma função de classe C^{k}. O conjunto dos pontos x ∈ M tais que df(x) é um isomorfismo é aberto em M.

Demonstração. De fato, se df(x) é um isomorfismo e se Z é a vizinhança aberta de x dada pelo Teorema da Função Inversa então df(y) é um isomorfismo para todo y ∈ Z.

Na verdade, o corolário acima pode ser demonstrado sem usar o Teorema da Função Inversa (veja Exercício 5).

Definição. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma função de classe C^{k}. Dizemos que f é uma imersão no ponto x ∈ M (resp., uma submersão no ponto x ∈ M) se a diferencial df(x) : T_{x}M → T_{f(x)}N é injetora (resp., sobrejetora). Se f é uma imersão (resp., submersão) em todo ponto x ∈ M então dizemos simplesmente que f é uma imersão (resp., submersão).

Teorema. (forma local das imersões para variedades) Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Suponha que f é uma imersão num ponto x ∈ M. Então, dada uma carta φ : U → Ũ ⊂ IR^{m} em M com x ∈ U, existem uma carta ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{n} em N e uma vizinhança aberta U′ ⊂ U de x com f(U′) ⊂ V e tal que a representação de f com respeito às cartas φ|_{U′} e ψ é dada por:

ψ(f(φ^{−1}(v_{1}, …, v_{m}))) = (v_{1}, …, v_{m}, \underbrace{0, …, 0}_{n−m zeros}), (v_{1}, …, v_{m}) ∈ φ(U′).

Demonstração. Seja ψ_{1} : V_{1} → Ṽ_{1} ⊂ IR^{n} uma carta arbitrária em N com f(x) ∈ V_{1} e escolha uma vizinhança aberta U_{1} de x em M com U_{1} ⊂ U e f(U_{1}) ⊂ V_{1}. Seja:

f̃ = ψ_{1} ∘ f ∘ (φ|_{U_{1}})^{−1} : φ(U_{1}) ⟶ Ṽ_{1} ⊂ IR^{n}

a representação de f com respeito às cartas φ|_{U_{1}} e ψ_{1}. Daí f̃ é uma função de classe C^{k}; pela regra da cadeia, temos:

df̃(φ(x)) = dψ_{1}(f(x)) ∘ df(x) ∘ dφ(x)^{−1}.

Como dψ_{1}(f(x)) e dφ(x) são isomorfismos, segue que df̃(φ(x)) é injetora, i.e., f̃ é uma imersão no ponto φ(x). Pela forma local das imersões do Cálculo no IR^{n}, existe uma vizinhança aberta U′_{0} ⊂ φ(U_{1}) de φ(x) em IR^{m} e um difeomorfismo α : W → W′ de classe C^{k} entre abertos W, W′ ⊂ IR^{n} de modo que f̃(U′_{0}) ⊂ W e:

α(f̃(v_{1}, …, v_{m})) = (v_{1}, …, v_{m}, \underbrace{0, …, 0}_{n−m zeros}),

para todo (v_{1}, …, v_{m}) ∈ U′_{0}. Para completar a demonstração, basta tomar U′ = φ^{−1}(U′_{0}), V = ψ_{1}^{−1}(Ṽ_{1} ∩ W), ψ = α ∘ ψ_{1}|_{V}, Ṽ = α(Ṽ_{1} ∩ W) e observar que ψ(f(φ^{−1}(v))) = α(f̃(v)), para todo v ∈ φ(U′) = U′_{0}.

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Então o conjunto dos pontos x ∈ M tais que f é uma imersão em x é aberto em M.

Demonstração. Na notação do enunciado da forma local das imersões, temos que se f é uma imersão em x então f é uma imersão em y para todo y ∈ U′, pois ψ ∘ f ∘ (φ|_{U′})^{−1} é uma imersão em φ(y) e as cartas φ e ψ são difeomorfismos.

O corolário acima pode também ser demonstrado sem usar a forma local das imersões (veja Exercício 5).

Teorema. (forma local das submersões para variedades) Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Suponha que f é uma submersão num ponto x ∈ M. Então, dada uma carta ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{n} em N com f(x) ∈ V, existe uma carta φ : U → Ũ ⊂ IR^{m} em M com x ∈ U, f(U) ⊂ V e tal que a representação de f com respeito às cartas φ e ψ é dada por:

ψ(f(φ^{−1}(v_{1}, …, v_{m}))) = (v_{1}, …, v_{n}), (v_{1}, …, v_{m}) ∈ Ũ.

Demonstração. Seja φ_{1} : U_{1} → Ũ_{1} ⊂ IR^{m} uma carta arbitrária em M com x ∈ U_{1} e f(U_{1}) ⊂ V. Seja f̃ = ψ ∘ f ∘ φ_{1}^{−1} : Ũ_{1} → Ṽ ⊂ IR^{n} a representação de f nas cartas φ_{1} e ψ. Então f̃ é uma aplicação de classe C^{k} e:

df̃(φ_{1}(x)) = dψ(f(x)) ∘ df(x) ∘ dφ_{1}(x)^{−1};

logo df̃(φ_{1}(x)) é sobrejetora, i.e., f̃ é uma submersão no ponto φ_{1}(x). Pela forma local das submersões do Cálculo no IR^{n}, existe um difeomorfismo α : W → W′ de classe C^{k} entre abertos W, W′ ⊂ IR^{m} de modo que φ_{1}(x) ∈ W ⊂ Ũ_{1} e:

f̃(α^{−1}(v_{1}, …, v_{m})) = (v_{1}, …, v_{n}),

para todo (v_{1}, …, v_{m}) ∈ W′. Para completar a demonstração, basta tomar U = φ_{1}^{−1}(W), φ = α ∘ φ_{1}|_{U}, Ũ = W′ e observar que ψ(f(φ^{−1}(v))) = f̃(α^{−1}(v)), para todo v ∈ Ũ = W′.

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Então o conjunto dos pontos x ∈ M tais que f é uma submersão em x é aberto em M.

Demonstração. Na notação do enunciado da forma local das submersões, temos que se f é uma submersão em x então f é uma submersão em y para todo y ∈ U, pois ψ ∘ f ∘ φ^{−1} é uma submersão em φ(y) e as cartas φ e ψ são difeomorfismos.

O corolário acima pode também ser demonstrado sem usar a forma local das submersões (veja Exercício 5).

Definição. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e f : M → N uma função de classe C^{k}. O posto de f num ponto x ∈ M é definido como sendo o posto do operador linear df(x), i.e., a dimensão da imagem de df(x).

Teorema. (do posto para variedades) Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Suponha que f tem posto igual a r em todos os pontos de M. Então, dado x ∈ M, existem cartas φ : U → Ũ ⊂ IR^{m} em M e ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{n} em N com x ∈ U, f(U) ⊂ V e tal que a representação de f nas cartas φ e ψ é dada por:

ψ(f(φ^{−1}(v_{1}, …, v_{m}))) = (v_{1}, …, v_{r}, \underbrace{0, …, 0}_{n−r zeros}), (v_{1}, …, v_{m}) ∈ Ũ.

Demonstração. Sejam φ_{1} : U_{1} → Ũ_{1} ⊂ IR^{m}, ψ : V_{1} → Ṽ_{1} ⊂ IR^{n} cartas arbitrárias em M e em N respectivamente, com x ∈ U_{1} e f(U_{1}) ⊂ V_{1}. Seja f̃ = ψ_{1} ∘ f ∘ φ_{1}^{−1} a representação de f nas cartas φ_{1} e ψ_{1}. Daí f̃ é de classe C^{k} e para todo v ∈ Ũ_{1} temos:

df̃(v) = dψ_{1}(f(φ_{1}^{−1}(v))) ∘ df(φ_{1}^{−1}(v)) ∘ dφ_{1}^{−1}(v);

como dψ_{1}(f(φ_{1}^{−1}(v))) e dφ_{1}^{−1}(v) são isomorfismos, segue que df̃(v) tem posto r para todo v ∈ Ũ_{1}. Pelo Teorema do Posto do Cálculo no IR^{n}, existem abertos W, W′ ⊂ IR^{m}, Z, Z′ ⊂ IR^{n} e difeomorfismos α : W → W′, β : Z → Z′ de classe C^{k}, de modo que φ_{1}(x) ∈ W ⊂ Ũ_{1}, f̃(W) ⊂ Z e:

β(f̃(α^{−1}(v_{1}, …, v_{m}))) = (v_{1}, …, v_{r}, \underbrace{0, …, 0}_{n−r zeros}),

para todo (v_{1}, …, v_{m}) ∈ W′. Para completar a demonstração, basta tomar U = φ_{1}^{−1}(W), φ = α ∘ φ_{1}|_{U}, Ũ = W′, V = ψ_{1}^{−1}(Ṽ_{1} ∩ Z), ψ = β ∘ ψ_{1}|_{V}, Ṽ = β(Ṽ_{1} ∩ Z) e observar que ψ(f(φ^{−1}(v))) = β(f̃(α^{−1}(v))), para todo v ∈ Ũ = W′.

Espaço tangente.

1. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta em M e V um aberto de M contido em U. Mostre que, para todo x ∈ V, o isomorfismo \overline{φ}_{x} : T_{x}M → IR^{n} induzido pela carta φ coincide com o isomorfismo \overline{(φ_{0})}_{x} : T_{x}M → IR^{n} induzido pela carta φ_{0} = φ|_{V} : V → φ(V).

[dica: observe que a função de transição de φ_{0} para φ é a aplicação identidade do aberto φ(V) ⊂ IR^{n}; use a propriedade (3) (seção 1, aula número 6) satisfeita pelo espaço tangente].

2. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k}. Escolha l ≤ k com l ≥ 1 e denote por M′ a variedade diferenciável de classe C^{l} cuja estrutura diferenciável de classe C^{l} é definida pelo único atlas maximal de classe C^{l} que contém o atlas maximal de classe C^{k} que define a estrutura diferenciável de M. Seja dado x ∈ M. O objetivo deste exercício é estabelecer um isomorfismo entre T_{x}M e T_{x}M′.

(a) Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta em M com x ∈ U; daí φ é também uma carta em M′. Denote por \overline{φ}_{x} : T_{x}M → IR^{n} o isomorfismo induzido por φ, vista como carta na variedade M e denote por \overline{φ}′_{x} : T_{x}M′ → IR^{n} o isomorfismo induzido por φ, vista como carta na variedade M′. Mostre que o isomorfismo (\overline{φ}′_{x})^{−1} ∘ \overline{φ}_{x} : T_{x}M → T_{x}M′ não depende da escolha da carta φ.

[dica: se ψ : V → Ṽ é outra carta em M com x ∈ V então, pela propriedade (3) (seção 1, aula número 6) satisfeita pelo espaço tangente, temos que \overline{ψ}_{x} = d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)) ∘ \overline{φ}_{x} e \overline{ψ}′_{x} = d(ψ ∘ φ^{−1})(φ(x)) ∘ \overline{φ}′_{x}].

(b) Usando a construção para o espaço tangente em termos de curvas (seção 2, aula número 6), mostre que o isomorfismo entre T_{x}M e T_{x}M′ definido pelo item (a) leva a classe de equivalência determinada por uma curva γ em M na classe de equivalência determinada pela mesma curva γ em M′.

Observaç~ ao: identificaremos sempre os espaços tangentes T_{x}M e T_{x}M′ através do isomorfismo descrito acima.

Diferencial de funç~ oes.

3. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja Id : M → M a aplicação identidade. Mostre que d(Id)(x) é a aplicação identidade de T_{x}M para todo x ∈ M.

4. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (0 ≤ k ≤ ∞). Mostre que uma aplicação constante f : M → N é de classe C^{k}. Se k ≥ 1, mostre que df(x) = 0, para todo x ∈ M.

5. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Sejam m = dim(M), n = dim(N) e r = min{m, n}. Mostre que o conjunto dos pontos x ∈ M tais que f tem posto r em x é aberto na variedade M.

[dica: observe primeiro que o conjunto dos operadores lineares T : IR^{m} → IR^{n} de posto r é aberto em Lin(IR^{m}, IR^{n}); note agora que se f̃ é uma representação de f em coordenadas então u ↦ df̃(u) ∈ Lin(IR^{m}, IR^{n}) é uma aplicação contínua].

6. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Mostre que se df(x) = 0 para todo x ∈ M e se M é conexa então f é constante.

[dica: mostre que, dado y ∈ N então f^{−1}(y) é aberto e fechado em M; para mostrar que f^{−1}(y) é aberto em M, use uma representação de f em cartas e o fato que uma função definida numa bola do espaço Euclideano com diferencial nula em todo ponto é constante].

7. Sejam I ⊂ IR um aberto, M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), e γ : I → M, f : M → N funções de classe C^{k}. Mostre que (f ∘ γ)′(t) = df(γ(t)) · γ′(t), para todo t ∈ I.

[dica: use a regra da cadeia e o fato que γ′(t) = dγ(t) · 1].

Produtos de variedades.

8. Sejam V_{1}, …, V_{p} espaços vetoriais reais de dimensão finita. Considere o produto cartesiano V = ∏_{i=1}^{p} V_{i} munido da estrutura usual de espaço vetorial produto (i.e., V ≅ ⨁_{i=1}^{p} V_{i}). Mostre que a estrutura de variedade canônica do espaço vetorial real V coincide com a estrutura de variedade produto em V (onde cada V_{i} tem sua estrutura de variedade canônica).

[dica: note que se φ_{i} : V_{i} → IR^{n_{i}} é um isomorfismo então φ = ∏_{i=1}^{p} φ_{i} : V → IR^{n} é um isomorfismo, onde n = ∑_{i=1}^{p} n_{i}].

9. Sejam M_{1}, …, M_{p} variedades diferenciáveis de classe C^{k} e seja Z_{i} ⊂ M_{i} um aberto, i = 1, …, p. Mostre que se M = ∏_{i=1}^{p} M_{i} e Z = ∏_{i=1}^{p} Z_{i} são munidos da estrutura de variedade produto então o aberto Z ⊂ M possui a estrutura de variedade induzida de M.

[dica: se φ_{i} é uma carta em Z_{i} então ∏_{i=1}^{p} φ_{i} é uma carta em Z tanto na estrutura de variedade produto como na estrutura de variedade induzida de M].

A aula número 8 cobriu o material das Seções (3) e (4) originalmente destinado à aula número 7.

Aula número 9 (17/09)

(1) Inversas laterais.

Nesta seção estudamos o problema (local) de existência de inversas laterais diferenciáveis para funções diferenciáveis em variedades. O problema de determinar quais morfismos possuem inversos laterais (i.e., à esquerda ou à direita) é em geral um problema interessante em diversas categorias (nos Exercícios 1, 4, 7, 9—12 discutimos esse problema nas categorias dos conjuntos, dos espaços vetoriais, dos módulos sobre um anel fixado e dos espaços topológicos).

Definição. Sejam X, Y conjuntos e f : X → Y uma função. Dizemos que g : Y → X é uma inversa à esquerda para f se g ∘ f é igual à aplicação identidade de X, i.e., se g(f(x)) = x para todo x ∈ X. Dizemos que g : Y → X é uma inversa à direita para f se f ∘ g é igual à aplicação identidade de Y, i.e., se f(g(y)) = y para todo y ∈ Y.

Temos a seguinte condição necessária para a existência de uma inversa à esquerda de classe C^{k} para uma aplicação de classe C^{k} entre variedades:

Lema. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Se f possui uma inversa à esquerda de classe C^{1} (i.e., se existe g : N → M de classe C^{1} com g ∘ f = Id) então f é uma imersão injetora.

Demonstração. Pelo resultado do Exercício 1, temos que f é injetora. Provemos que f é uma imersão. Seja g : N → M uma inversa à esquerda de classe C^{1} para f. Como g é de classe C^{1}, podemos diferenciar a igualdade g ∘ f = Id num ponto x ∈ M usando a regra da cadeia para obter:

dg(f(x)) ∘ df(x) = Id : T_{x}M ⟶ T_{x}M.

Logo a diferencial df(x) : T_{x}M → T_{f(x)}N possui uma inversa à esquerda. Segue então que df(x) é injetora, i.e., f é uma imersão no ponto x.

Podemos na verdade melhorar um pouco o Lema acima, obtendo uma condição necessária mais forte para a existência de uma inversa à esquerda de classe C^{k}. Temos a seguinte:

Definição. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Dizemos que uma aplicação f : M → N é um mergulho de classe C^{k} se f é uma imersão de classe C^{k} e se a aplicação f : M → f(M) é um homeomorfismo (onde f(M) é munida da topologia induzida de N).

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Se f possui uma inversa à esquerda de classe C^{1} então f é um mergulho.

Demonstração. Vimos no Lema acima que f é uma imersão injetora. Além do mais, se g : N → M é uma inversa à esquerda de classe C^{1} para f então a inversa da bijeção f : M → f(M) coincide com g|_{f(M)} : f(M) → M, que é uma aplicação contínua. Logo f : M → f(M) é um homeomorfismo.

Nem toda imersão injetora é um mergulho, como se vê no seguinte: Exemplo: considere a aplicação f : ]−1, +∞[ → IR^{2} definida por f(t) = (t^{3} − t, t^{2}). Então f é de classe C^{∞} e f′(t) = (3t^{2} − 1, 2t) ≠ 0 para todo t ∈ ]−1, +∞[. Logo f é uma imersão (por que?). Verifica-se facilmente também que f é injetora; mas f não é um mergulho. De fato, se (t_{n})_{n∈IN} é uma seqüência em ]−1, +∞[ que converge para −1 então (f(t_{n}))_{n∈IN} é uma seqüência em Im(f) que converge para (0, 1) = f(1). Temos então que p_{n} = f(t_{n}) → (0, 1) mas t_{n} = f^{−1}(p_{n}) ↛ f^{−1}(0, 1). Isso mostra que a aplicação f^{−1} : Im(f) → ]−1, +∞[ não é contínua no ponto (0, 1).

Não é verdade em geral que todo mergulho de classe C^{k} possui um inverso à esquerda de classe C^{1}. Existem obstruções topológicas não triviais para a existência de tal inverso (veja Exercícios 9—11). Temos, no entanto, um resultado local.

Teorema. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} e seja f : M → N uma imersão de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Então, para todo x ∈ M existem abertos U ⊂ M, V ⊂ N com x ∈ U, f(U) ⊂ V e de modo que a aplicação f|_{U} : U → V admite uma inversa à esquerda g : V → U de classe C^{k}.

Demonstração. A idéia da prova é a seguinte. Pela forma local das imersões, f é localmente representada em cartas apropriadas pela aplicação inclusão:

IR^{m} ≅ IR^{m} × {0}^{n−m} ⟶ IR^{n};

essa inclusão possui uma inversa à esquerda, a saber, a projeção r : IR^{n} → IR^{m} definida por:

r(v_{1}, …, v_{n}) = (v_{1}, …, v_{m}).

Obtém-se então uma inversa local à esquerda para f considerando-se a aplicação g cuja representação nas cartas em questão é (uma restrição apropriada de) r.

Vamos aos detalhes. Sejam φ : U → Ũ ⊂ IR^{m}, ψ : V_{1} → Ṽ_{1} ⊂ IR^{n} cartas em M e em N respectivamente de modo que x ∈ U, f(U) ⊂ V_{1} e de modo que a representação de f nas cartas φ e ψ seja dada por:

(ψ ∘ f ∘ φ^{−1})(v_{1}, …, v_{m}) = (v_{1}, …, v_{m}, \underbrace{0, …, 0}_{n−m zeros}),

para todo (v_{1}, …, v_{m}) ∈ Ũ. Defina r : IR^{n} → IR^{m} como acima. Seja Ṽ = r^{−1}(Ũ) ∩ Ṽ_{1}. Então Ṽ ⊂ Ṽ_{1}, Ṽ é aberto em IR^{n}, ψ ∘ f ∘ φ^{−1} leva Ũ em Ṽ e r|_{V} : Ṽ → Ũ é uma inversa à esquerda de classe C^{k} para ψ ∘ f ∘ φ^{−1} : Ũ → Ṽ. Tomando agora V = ψ^{−1}(Ṽ) ⊂ V_{1} e g = φ^{−1} ∘ r ∘ ψ|_{V} : V → U então V ⊂ N é aberto, f(U) ⊂ V e g : V → U é uma inversa à esquerda de classe C^{k} para f|_{U} : U → V.

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma imersão de classe C^{k}. Então todo x ∈ M possui uma vizinhança aberta U ⊂ M tal que f|_{U} : U → N é um mergulho.

Demonstração. Pelo Teorema, existem abertos U ⊂ M, V ⊂ N com x ∈ U, f(U) ⊂ V e de modo que f|_{U} : U → V possui uma inversa à esquerda de classe C^{k}. Por um Corolário acima, f|_{U} : U → V é um mergulho. Logo, também f|_{U} : U → N é um mergulho.

Observaç~ ao: o Corolário anterior pode ser obtido diretamente da forma local das imersões. Basta observar que a inclusão IR^{m} ≅ IR^{m} × {0}^{n−m} → IR^{n} (assim como qualquer restrição dessa inclusão a abertos de IR^{m} e de IR^{n}) é um mergulho e que toda imersão é localmente representada em coordenadas apropriadas por uma inclusão como essa.

Vamos agora tratar de inversas à direita. Assim como funções que possuem inversas à esquerda de classe C^{1} são imersões, é natural esperar que funções que possuam inversas à direita de classe C^{1} sejam submersões. No entanto, não é bem isso que ocorre; se uma aplicação f : M → N de classe C^{1} possui uma inversa à direita g : N → M de classe C^{1} então só podemos concluir que f é uma submersão nos pontos de Im(g). Para concluir que f é uma submersão devemos então exigir a existência de uma quantidade “grande o suficiente” de inversas à direita g de classe C^{1} para f, de modo que as imagens dessas aplicações g cubram M. Mais precisamente, temos o seguinte:

Lema. Sejam M ≠ ∅, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Se para todo x_{0} ∈ M a aplicação f admite uma inversa à direita g : N → M de classe C^{1} tal que g(f(x_{0})) = x_{0} então f é uma submersão sobrejetora.

Demonstração. Por hipótese, f admite alguma inversa à direita (aqui usamos que M é não vazia); logo, pelo resultado do Exercício 1, f é sobrejetora. Seja agora x_{0} ∈ M e provemos que f é uma submersão no ponto x_{0}. Seja g : N → M uma inversa à direita de classe C^{1} para f com g(f(x_{0})) = x_{0}. Como g é de classe C^{1}, podemos diferenciar a igualdade f ∘ g = Id no ponto f(x_{0}) obtendo:

df(x_{0}) ∘ dg(f(x_{0})) = Id : T_{f(x_{0})}N ⟶ T_{f(x_{0})}N.

Logo a diferencial df(x_{0}) : T_{x_{0}}M → T_{f(x_{0})}N possui uma inversa à direita. Segue então que df(x_{0}) é sobrejetora, i.e., f é uma submersão no ponto x_{0}.

Assim como no caso de inversas à esquerda, não é de se esperar que seja verdadeira a recíproca do Lema anterior. Temos, no entanto, uma recíproca local.

Teorema. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} e seja f : M → N uma submersão de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Então, para todo x ∈ M existem abertos U ⊂ M, V ⊂ N, com x ∈ U, f(U) ⊂ V e de modo que a aplicação f|_{U} : U → V admite uma inversa à direita g : V → U de classe C^{k} satisfazendo g(f(x)) = x.

Demonstração. A idéia da prova é a seguinte. Pela forma local das submersões, f é localmente representada em coordenadas apropriadas pela projeção r : IR^{m} → IR^{n} nas n primeiras coordenadas de IR^{m}. Usamos então uma inversa à direita de r para obter uma inversa à direita local para f (uma estratégia similar à da demonstração do Teorema anterior). Ocorre que temos uma condição a mais para ser satisfeita pela inversa à direita de r: dado a priori um ponto arbitrário z ∈ IR^{m}, gostaríamos de obter uma inversa à direita s : IR^{n} → IR^{m} para r satisfazendo s(r(z)) = z. Podemos definir s fazendo então:

s(v_{1}, …, v_{n}) = (v_{1}, …, v_{n}, z_{n+1}, …, z_{m}).

Vamos aos detalhes. Sejam φ : U_{1} → Ũ_{1} ⊂ IR^{m}, ψ : V_{1} → Ṽ_{1} ⊂ IR^{n} cartas em M e em N respectivamente de modo que x ∈ U_{1}, f(U_{1}) ⊂ V_{1} e de modo que a representação de f nas cartas φ e ψ seja dada por:

(ψ ∘ f ∘ φ^{−1})(v_{1}, …, v_{m}) = (v_{1}, …, v_{n}),

para todo (v_{1}, …, v_{m}) ∈ Ũ_{1}. Seja z = (z_{1}, …, z_{m}) = φ(x) e defina s : IR^{n} → IR^{m} como acima. Note que:

s[(ψ ∘ f ∘ φ^{−1})(z)] = s(z_{1}, …, z_{n}) = z.  (∗)

Queremos agora definir g como sendo uma aplicação cuja representação nas cartas ψ e φ seja uma restrição apropriada de s. Precisamos então trocar o aberto Ṽ_{1} por um aberto menor Ṽ para garantir que s(Ṽ) ⊂ Ũ_{1}; uma idéia natural é tomar Ṽ = s^{−1}(Ũ_{1}) ∩ Ṽ_{1}. Ocorre que tal escolha não garante que ψ ∘ f ∘ φ^{−1} leve Ũ_{1} em Ṽ. O procedimento correto é explicado abaixo.

Escolha abertos Ṽ ⊂ IR^{n}, W̃ ⊂ IR^{m−n} com (z_{1}, …, z_{n}) ∈ Ṽ, (z_{n+1}, …, z_{m}) ∈ W̃ e Ṽ × W̃ ⊂ Ũ_{1}. Note que:

Ṽ = (ψ ∘ f ∘ φ^{−1})(Ṽ × W̃) ⊂ Ṽ_{1}.

Defina Ũ = Ṽ × W̃. Daí Ũ ⊂ IR^{m} é uma vizinhança aberta de z = φ(x) contida em Ũ_{1}, Ṽ ⊂ IR^{n} é um aberto contido em Ṽ_{1}, ψ∘f ∘φ^{−1} leva Ũ em Ṽ e s leva Ṽ em Ũ. Além do mais, s|_{V} : Ṽ → Ũ é uma inversa à direita de classe C^{k} para ψ ∘ f ∘ φ^{−1}|_{U} : Ũ → Ṽ satisfazendo a condição (∗). Para completar a demonstração, tome U = φ^{−1}(Ũ), V = ψ^{−1}(Ṽ) e g = φ^{−1} ∘ s ∘ ψ|_{V} : V → U. Daí U ⊂ M, V ⊂ N são abertos, x ∈ U, f(U) ⊂ V, g : V → U é uma inversa à direita de classe C^{k} para f|_{U} : U → V e a condição (∗) implica que g(f(x)) = x.

(2) Mudança de contra-domínio e passagem ao quociente. Estudamos nesta seção os problemas de mudança de contra-domínio e de definição

por passagem ao quociente para aplicações diferenciáveis. Algumas questões ligadas aos resultados apresentados nesta seção são discutidas nos Exercícios 2, 3, 5, 6, 8, 13—16.

Teorema. (princípio de mudança de contra-domínio) Sejam M, N, P variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e ϕ : M → N, f : P → N aplicações de classe C^{k}, com ϕ uma imersão. Se f_{0} : P → M é uma aplicação contínua tal que ϕ ∘ f_{0} = f, i.e., tal que o diagrama:

\xymatrix{ & N \\ P \ar[ur]^{f} \ar[r]_{f_{0}} & M \ar[u]_{ϕ}}

comuta então f_{0} é de classe C^{k}.

Demonstração. Seja dado p ∈ P e vamos mostrar que f_{0} é de classe C^{k} numa vizinhança aberta de p. Sejam U ⊂ M, V ⊂ N abertos com ϕ(U) ⊂ V, f_{0}(p) ∈ U e de modo que ϕ|_{U} : U → V admita uma inversa à esquerda ψ : V → U de classe C^{k}. Observe que para todo x ∈ f_{0}^{−1}(U) temos f(x) = ϕ(f_{0}(x)) ∈ V e:

ψ(f(x)) = ψ(ϕ(f_{0}(x))) = f_{0}(x),

pois ψ(ϕ(y)) = y, para todo y ∈ U. Logo ψ ∘ f|_{f_{0}^{−1}(U)} = f_{0}|_{f_{0}^{−1}(U)}. Como ψ ∘ f|_{f_{0}^{−1}(U)} é de classe C^{k} e f_{0} é contínua, segue que f_{0} é de classe C^{k} numa vizinhança aberta do ponto p. Como p ∈ M é arbitrário, concluímos que f_{0} é de classe C^{k}.

Corolário. Sejam M, N, P variedades diferenciáveis de classe C^{k}, ϕ : M → N um mergulho de classe C^{k} e f : P → N uma aplicação de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Se f_{0} : P → M é uma aplicação tal que ϕ ∘ f_{0} = f então f_{0} é de classe C^{k}.

Demonstração. Como ϕ : M → ϕ(M) é um homeomorfismo, a continuidade de f_{0} segue da continuidade de f. Logo f_{0} é de classe C^{k}, pelo Teorema anterior.

Teorema. (princípio de definição por passagem ao quociente) Sejam M, N, P variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), q : M → N uma submersão sobrejetora de classe C^{k}, f : M → P uma aplicação de classe C^{k} e f̄: N → P uma aplicação talque f̄∘ q = f, i.e., tal que o diagrama:

\xymatrix{M \ar[d]_{q} \ar[dr]^{f} \\ N \ar[r]_{f̄} & P}

comuta. Então f̄ é de classe C^{k}.

Demonstração. Vamos mostrar que f̄ é de classe C^{k} numa vizinhança aberta de um ponto arbitrário y ∈ N. Como q é sobrejetora, existe x ∈ M com q(x) = y. Sejam então U ⊂ M, V ⊂ N abertos com q(U) ⊂ V, x ∈ U e de modo que q|_{U} : U → V admite uma inversa à direita g : V → U de classe C^{k} (é possível até escolher g com g(y) = x, mas isso não será usado). Daí V é uma vizinhança aberta de y = q(x) em N e para todo z ∈ V temos:

f̄(z) = f̄(q(g(z))) = f(g(z)),

i.e., f̄|_{V} = f ∘ g. Logo f̄ é de classe C^{k} numa vizinhança aberta de y.

Vimos então que as submersões sobrejetoras tem um papel análogo na “categoria diferenciável” ao das aplicações quocientes na “categoria topológica” (veja Exercício 15). Na verdade, toda submersão sobrejetora é também uma aplicação quociente no sentido topológico, pois toda submersão é uma aplicação aberta (veja Exercícios 17, 18).

Conjuntos e Funç~ oes.

1. Sejam X, Y conjuntos e f : X → Y uma função.

(a) Supondo X ≠ ∅, mostre que f é injetora se e somente se f admite uma inversa à esquerda.

(b) Mostre que f é sobrejetora se e somente se f admite uma inversa à direita.

2. Sejam X, Y, Z conjuntos e f : X → Z, ϕ : Y → Z funções, com ϕ injetora. Considere

o diagrama:

\xymatrix{ & Z \\ X \ar@{-->}[ur]^{f} \ar@{.>}[r]_{f_{0}} & Y \ar[u]_{ϕ}}

Mostre que existe uma aplicação f_{0} : X → Y tal que o diagrama acima é comutativo (i.e., ϕ ∘ f_{0} = f) se e somente se Im(f) ⊂ Im(ϕ). Mostre também que, quando a aplicação f_{0} existe, ela é única (dizemos que f_{0} é obtida de f por mudança de contradomínio).

3. Sejam X, Y, Z conjuntos e f : X → Z, q : X → Y funções, com q sobrejetora. Observe que a relação ∼ em X definida por x_{1} ∼ x_{2} ⇔ q(x_{1}) = q(x_{2}) é uma relação de equivalência. Dizemos que a aplicação f é compatível com a relação de equivalência ∼ se x_{1} ∼ x_{2} ⇒ f(x_{1}) = f(x_{2}), para todos x_{1}, x_{2} ∈ X. Considere o diagrama:

\xymatrix{X \ar[dr]^{f} \ar[d]_{q} \\ Y \ar@{.>}[r]_{f̄} & Z}

Mostre que existe uma aplicação f̄: Y → Z tal que o diagrama acima é comutativo (i.e., f̄ ∘ q = f) se e somente se f é compatível com a relação de equivalência ∼ determinada por q. Mostre também que, quando a aplicação f̄ existe, ela é única (dizemos que f̄ é obtida de f por passagem ao quociente).

Álgebra Linear.

4. Sejam V, W espaços vetoriais e seja T : V → W uma aplicação linear. Mostre que:

(a) T é injetora se e somente se T admite uma inversa linear à esquerda (i.e., existe

uma aplicação linear S : W → V com S ∘ T = Id); [dica: escolha um subespaço Z ⊂ W com W = Im(T) ⊕ Z e defina S : W → V fazendo S|_{Im(T)} igual ao inverso do isomorfismo T : V → Im(T) e S|_{Z} = 0].

(b) T é sobrejetora se e somente se T admite uma inversa linear à direita (i.e., existe

uma aplicação linear S : W → V com T ∘ S = Id). [dica: escolha um subespaço Z ⊂ V com V = Ker(T) ⊕ Z. Mostre que a restrição de T a Z é um isomorfismo sobre W e considere a aplicação S = (T |_{Z})^{−1} : W → Z ⊂ V].

5. Sejam V, W, Z espaços vetoriais e T : V → Z, ϕ : W → Z aplicações lineares, com ϕ injetora. Mostre que se T_{0} : V → W é uma aplicação tal que o diagrama:

\xymatrix{ & Z \\ V \ar[ur]^{T} \ar@{.>}[r]_{T_{0}} & W \ar[u]_{ϕ}}

comuta (i.e., ϕ ∘ T_{0} = T) então T_{0} é linear. Observaç~ ao: pelo resultado do Exercício 2, observe que T_{0} existe se e somente se a imagem de T estiver contida na imagem de ϕ. Além do mais, T_{0} é única, se existir.

6. Sejam V, W, Z espaços vetoriais e T : V → Z, q : V → W aplicações lineares, com q sobrejetora. Mostre que existe uma aplicação \overline{T} : W → Z tal que o diagrama:

\xymatrix{V \ar[d]_{q} \ar[dr]^{T} \\ W \ar@{.>}[r]_{\overline{T}} & Z}

comuta (i.e., \overline{T} ∘ q = T) se e somente se Ker(q) ⊂ Ker(T). Mostre que a aplicação \overline{T} é única quando existir; mostre também que \overline{T} é necessariamente linear.

Álgebra.

7. Seja R um anel arbitrário e sejam V, W, R-módulos. Se T : V → W é uma aplicação linear, mostre que:

(a) T admite uma inversa linear à esquerda se e somente se T é injetora e Im(T) é um somando direto de W (i.e., existe um submódulo Z ⊂ W com W = Im(T) ⊕ Z);

[dica: supondo que T admite uma inversa à esquerda linear S : W → V, mostre que W = Im(T) ⊕ Ker(S)].

(b) T admite uma inversa linear à direita se e somente se T é sobrejetora e Ker(T) é

um somando direto de V. [dica: supondo que T admite uma inversa à direita linear S : W → V, mostre que V = Ker(T) ⊕ Im(S)]. Observaç~ ao: a seguinte terminologia é usada na teoria de módulos. Seja R um anel, sejam V, W, Z R-módulos e ϕ : V → W, ψ : W → Z aplicações lineares. Dizemos que:

0 ⟶ V ⟶^{ϕ} W ⟶^{ψ} Z ⟶ 0

é uma seqüência exata se ϕ é injetora, ψ é sobrejetora e Im(ϕ) = Ker(ψ). Dizemos que a seqüência exata acima cinde se vale uma das seguintes condições equivalentes: (i) ϕ possui inversa linear à esquerda; (ii) ψ possui inversa linear à direita; (iii) Im(ϕ) = Ker(ψ) é um somando direto de W. Observaç~ ao: se R é um corpo (ou, mais geralmente, um anel com divisão) então todo submódulo de um R-módulo V é somando direto de V (i.e., todo subespaço vetorial de um espaço vetorial V admite um subespaço complementar). Por isso, a injetividade (resp., a sobrejetividade) é suficiente para a existência de inversa linear à esquerda (resp., à direita), no caso de transformações lineares em espaços vetoriais (veja Exercício 4 acima). Se R é apenas um anel então nem todo submódulo de um R-módulo V é somando direto. Por exemplo, 2ℤ é um submódulo do ℤ-módulo ℤ, mas não é um somando direto de ℤ.

8. Mostre que o resultado dos Exercícios 5 e 6 continua verdadeiro se trocarmos nos seus enunciados as palavras “espaços vetoriais” por “R-módulos”, onde R é um anel arbitrário.

Topologia.

9. Sejam X um espaço topológico e Y ⊂ X um subconjunto. Uma retração de X sobre Y é uma aplicação contínua r : X → Y tal que r|_{Y} = Id, i.e., r(y) = y para todo y ∈ Y. Se existe uma retração r : X → Y então dizemos que Y é um retrato de X. Mostre que se X é conexo (resp., conexo por arcos) então todo retrato de X é conexo (resp., conexo por arcos). Mostre também que se X é Hausdorff então todo retrato de X é fechado em X.

[dica: para mostrar que um retrato de um espaço Hausdorff é fechado, observe que se r : X → Y é uma retração então Y coincide com o conjunto dos pontos fixos da aplicação contínua r : X → X]. Observaç~ ao: note que uma retração r : X → Y é nada mais que uma inversa à esquerda contínua para a aplicação inclusão Y → X.

10. (este é só para quem conhece a definição de homotopia e de espaço simplesmente conexo) Mostre que se Y é um retrato de um espaço topológico simplesmente conexo X então Y também é simplesmente conexo. Conclua que o círculo unitário S^{1} não é um retrato do plano IR^{2}.

11. Sejam X, Y espaços topológicos e f : X → Y uma aplicação contínua. Mostre que f possui uma inversa à esquerda contínua se e somente se f : X → f(X) é um homeomorfismo e f(X) é um retrato de Y.

Observaç~ ao: a partir dos resultados dos Exercícios 9, 10 e 11 é fácil exibir vários exemplos de funções contínuas injetoras que não possuem inversas à esquerda contínuas.

12. Considere a aplicação f : IR → S^{1} definida por f(t) = (cos t, sen t). Então f é contínua e sobrejetora. O objetivo deste exercício é mostrar que f não possui uma inversa à direita contínua.

(a) Suponha por absurdo que exista g : S^{1} → IR contínua tal que f ∘ g = Id. Mostre que a aplicação IR ∋ t ↦ g(f(t)) − t ∈ IR é constante.

[dica: mostre que [g(f(t)) − t]/2π é inteiro para todo t ∈ IR].

(b) Obtenha uma contradição a partir do resultado do item (a). [dica: g(f(0)) = g(f(2π))].

13. Sejam X um conjunto, Y um espaço topológico e ϕ : X → Y uma função.

(a) Mostre que a coleção {ϕ^{−1}(U) : U aberto em Y } é uma topologia em X (conhecida como a topologia induzida por ϕ em X).

(b) Mostre que se X é munido da topologia induzida por ϕ então ϕ : X → Y é contínua.

(c) Assuma que X é munido da topologia induzida por ϕ. Sejam Z um espaço topológico e f_{0} : Z → X, f : Z → Y funções tais que o diagrama:

\xymatrix{ & Y \\ Z \ar[ur]^{f} \ar[r]_{f_{0}} & X \ar[u]_{ϕ}}

comuta (i.e., ϕ ∘ f_{0} = f). Mostre que f é contínua se e somente se f_{0} é contínua.

14. Sejam X, Y espaços topológicos e ϕ : X → Y uma aplicação injetora. Mostre que X possui a topologia induzida por ϕ se e somente se ϕ : X → ϕ(X) é um homeomorfismo (onde ϕ(X) possui a topologia induzida de Y).

15. Sejam X um espaço topológico, Y um conjunto e q : X → Y uma função.

(a) Mostre que a coleção {U ⊂ Y : q^{−1}(U) é aberto em X} é uma topologia em Y (conhecida como a topologia co-induzida por q em Y; quando Y é munido da topologia co-induzida por q diz-se também que q é uma aplicação quociente).

(b) Mostre que se Y é munido da topologia co-induzida por q então q : X → Y é contínua.

(c) Assuma que Y é munido da topologia co-induzida por q. Sejam Z um espaço topológico e f : X → Z, f̄: Y → Z funções tais que o diagrama:

\xymatrix{X \ar[dr]^{f} \ar[d]_{q} \\ Y \ar[r]_{f̄} & Z}

comuta (i.e., f̄∘ q = f). Mostre que f é contínua se e somente se f̄ é contínua.

16. Sejam X, Y espaços topológicos. Uma aplicação q : X → Y é dita aberta (resp., fechada) se q leva abertos (resp., fechados) de X em abertos (resp., fechados) de Y. Mostre que:

(a) se q é contínua, aberta e sobrejetora então q é uma aplicação quociente (i.e., a topologia de Y é co-induzida por q);

[dica: q é quociente se e somente se:

U ⊂ Y é aberto ⟺ q^{−1}(U) ⊂ X é aberto,

para todo U ⊂ Y].

(b) se q é contínua, fechada e sobrejetora então q é uma aplicação quociente; [dica: q é quociente se e somente se:

F ⊂ Y é fechado ⟺ q^{−1}(F) ⊂ X é fechado,

para todo F ⊂ Y].

(c) se X é compacto, Y é Hausdorff e q é contínua e sobrejetora então q é uma aplicação quociente.

[dica: nesse caso q é fechada].

Imers~ oes e Submers~ oes.

17. O objetivo deste exercício é mostrar que submersões são aplicações abertas.

(a) Sejam X, X̃, Y, Ỹ espaços topológicos, φ : X → X̃, ψ : Y → Ỹ homeomorfismos e f : X → Y uma função. Mostre que se ψ ∘ f ∘ φ^{−1} : X̃ → Ỹ é uma aplicação aberta então f é uma aplicação aberta.

(b) Sejam X, Y espaços topológicos e f : X → Y uma função. Suponha que para todo x ∈ X existem abertos U ⊂ X, V ⊂ Y, com x ∈ U, f(U) ⊂ V e de modo que f|_{U} : U → V é uma aplicação aberta. Mostre que f é uma aplicação aberta.

(c) Mostre que a projeção IR^{m} ∋ (v_{1}, …, v_{m}) ↦ (v_{1}, …, v_{n}) ∈ IR^{n} é uma aplicação aberta.

(d) Use a forma local das submersões e o resultado dos itens anteriores para concluir

que toda submersão é uma aplicação aberta.

18. Mostre que toda submersão sobrejetora é uma aplicação quociente (no sentido do Exercício 15).

[dica: use o resultado do Exercício 17 e do item (a) do Exercício 16].

(1) Subvariedades. Convenç~ ao: dados números naturais p, n com 0 ≤ p ≤ n, identificaremos o espaço IR^{p} com o subespaço de IR^{n} gerado pelos p primeiros vetores da base canônica, i.e.:

IR^{p} ≅ {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ IR^{n} : x_{p+1} = ⋯ = x_{n} = 0} ⊂ IR^{n}.

Obviamente o espaço IR^{0} = {0} é identificado com o subespaço nulo de IR^{n}.

Em termos gerais, uma subvariedade p-dimensional de uma variedade M de dimensão n é um subconjunto N de M tal que, em coordenadas apropriadas, a inclusão de N em M é representada pela inclusão de IR^{p} em IR^{n} (ou seja, a relação entre IR^{p} e IR^{n} serve como um “modelo” para a relação que existe entre uma subvariedade e uma variedade). Mais precisamente, temos a seguinte:

Definição. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e de dimensão n. Sejam N ⊂ M um subconjunto e p um número natural com 0 ≤ p ≤ n. Dizemos que N é uma subvariedade de classe C^{k} e de dimensão p de M se para todo x ∈ N existe uma carta φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} em M com x ∈ U e φ(U ∩ N) = Ũ ∩ IR^{p}; uma carta φ satisfazendo essa propriedade é chamada uma carta de subvariedade para N em torno de x.

Atenç~ ao: uma carta de subvariedade para N é uma carta na variedade M e não uma carta em N.

Antes de mais nada, mostraremos um lema que permite relaxar um pouco a condição φ(U ∩ N) = Ũ ∩ IR^{p} satisfeita pelas cartas de subvariedade. Ocorre que se φ(U ∩ N) é um aberto de IR^{p} (talvez propriamente contido em Ũ ∩ IR^{p}), então podemos restringir a carta φ de modo a obter uma carta de subvariedade para N (porém sem alterar a interseção do domínio de φ com N).

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja N ⊂ M um subconjunto. Suponha que φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} é uma carta de M tal que φ(U ∩ N) é um aberto de IR^{p} (0 ≤ p ≤ n). Então existe um aberto V em M tal que V ⊂ U, V ∩ N = U ∩ N e tal que φ(V ∩ N) = φ(V) ∩ IR^{p}. Em particular, φ|_{V} : V → φ(V) é uma carta de subvariedade para N.

Demonstração. Seja Ṽ = Ũ ∩ (φ(U ∩ N) × IR^{n−p}). Como φ(U ∩ N) é aberto em IR^{p}, segue que φ(U ∩ N) × IR^{n−p} (e portanto também Ṽ) é aberto em IR^{n}. Tome V = φ^{−1}(Ṽ). Daí V é aberto em M e V ⊂ U. Temos:

\begin{aligned}φ(V ∩ N) & = φ(V ∩ (U ∩ N)) = φ(V) ∩ φ(U ∩ N) = Ṽ ∩ φ(U ∩ N) \\ & = Ũ ∩ (φ(U ∩ N) × IR^{n−p}) ∩ φ(U ∩ N) = φ(U ∩ N). \end{aligned}

Como φ : U → Ũ é bijetora, segue que V ∩ N = U ∩ N. Além do mais:

φ(V) ∩ IR^{p} = Ṽ ∩ IR^{p} = Ũ ∩ (φ(U ∩ N) × IR^{n−p}) ∩ IR^{p} = φ(U ∩ N).

Corolário. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e de dimensão n e seja N ⊂ M um subconjunto. Se existe um número natural p (0 ≤ p ≤ n) tal que para todo x ∈ N existe uma carta φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} de M com x ∈ U e φ(U ∩ N) aberto em IR^{p} então N é uma subvariedade de M de classe C^{k} e de dimensão p.

É de se esperar que uma subvariedade N de uma variedade M seja também em si uma variedade. Ocorre que as restrições a N das cartas de subvariedade formam um atlas para N, como explicaremos em detalhes abaixo.

Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e de dimensão n e seja N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k} e de dimensão p. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta de subvariedade para N, i.e., φ(U ∩ N) = Ũ ∩ IR^{p}. Daí a aplicação:

φ_{0} = φ|_{U∩N} : U ∩ N ⟶ Ũ ∩ IR^{p}

é bijetora e seu contra-domínio Ũ ∩ IR^{p} é um aberto de IR^{p}. Logo φ_{0} é um sistema de coordenadas no conjunto N (veja definição da seção 1 da aula número 1). Dadas duas cartas de subvariedade φ : U → Ũ e ψ : V → Ṽ para N, mostremos que os sistemas de coordenadas correspondentes φ_{0} : U ∩ N → Ũ ∩ IR^{p} e ψ_{0} : V ∩ N → Ṽ ∩ IR^{p} em N são C^{k}-compatíveis. Em primeiro lugar, os conjuntos:

φ_{0}((U ∩ N) ∩ (V ∩ N)) = φ((U ∩ V) ∩ (U ∩ N)) = φ(U ∩ V) ∩ IR^{p},
ψ_{0}((U ∩ N) ∩ (V ∩ N)) = ψ((U ∩ V) ∩ (U ∩ N)) = ψ(U ∩ V) ∩ IR^{p},

são abertos em IR^{p}, pois φ(U ∩ V) e ψ(U ∩ V) são abertos em IR^{n}. Além do mais, a função de transição:

ψ_{0} ∘ φ_{0}^{−1} : φ(U ∩ V) ∩ IR^{p} ⟶ ψ(U ∩ V) ∩ IR^{p}

é uma restrição da função de transição ψ ∘ φ^{−1} de φ para ψ e portanto é um difeomorfismo de classe C^{k} (veja Exercício 1). Mostramos então que o conjunto:

A_{0} = {φ_{0} : φ é uma carta de subvariedade para N},

é um atlas de classe C^{k} para N (o fato que os domínios das cartas φ_{0} cobrem N segue diretamente da definição de subvariedade). Afirmamos que a topologia que A_{0} induz em N coincide com a topologia induzida de M. De fato, se φ : U → Ũ é uma carta de subvariedade para N então, relativamente à topologia induzida por M em N, o conjunto U ∩N é aberto em N e o sistema de coordenadas φ_{0} é um homeomorfismo, pois é restrição de um homeomorfismo. Logo a topologia induzida por M em N faz com que os elementos de A_{0} sejam homeomorfismos definidos em abertos de N, o que mostra que as topologias induzidas em N por A_{0} e por M coincidem. Como a topologia de M é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade, segue que também a topologia de N é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade (veja Exercícios 2 e 3). Mostramos então o seguinte:

Teorema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} e seja N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k} e de dimensão p (1 ≤ k ≤ ∞). Então o conjunto N, munido do atlas maximal A_{0}^{max} de classe C^{k} que contém o atlas A_{0} definido acima, é uma variedade diferenciável de classe C^{k} e de dimensão p. Além do mais, a topologia da variedade N (i.e., a topologia induzida pelo atlas A_{0}^{max} ou pelo atlas A_{0}) coincide com a topologia induzida pela variedade M (i.e., a topologia {U ∩ N : U aberto em M}).

Se N ⊂ M é uma subvariedade então a estrutura diferenciável em N definida acima é dita induzida por M. A partir de agora fica subentendido (a menos de menção explícita em contrário) que toda subvariedade N ⊂ M é munida da estrutura diferenciável induzida por M.

Observaç~ ao: a dimensão de uma subvariedade não vazia é um número natural bem definido, i.e., se N é um subconjunto não vazio de M que é ao mesmo tempo uma subvariedade de dimensão p e uma subvariedade de dimensão p′ então p = p′. De fato, escolha x ∈ N e sejam φ : U → Ũ, ψ : V → Ṽ cartas de subvariedade para N em torno de x com φ(U ∩ N) = Ũ ∩ IR^{p} e ψ(V ∩ N) = Ṽ ∩ IR^{p′}. Então φ_{0} : U ∩ N → Ũ ∩ IR^{p} e ψ_{0} : V ∩ N → Ṽ ∩ IR^{p′} são sistemas de coordenadas compatíveis em N com domínios não disjuntos, o que implica p = p′ (veja observação no início da seção 2 da aula número 3).

Um exemplo trivial de subvariedade de uma variedade M é um aberto de M. De fato, temos o seguinte:

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja Z ⊂ M um aberto. Então Z é uma subvariedade de M de classe C^{k} com dim(Z) = dim(M). Além do mais, a estrutura diferenciável induzida por M em Z (no sentido explicado acima) coincide com a estrutura diferenciável que M induz no subconjunto aberto Z, i.e., com a estrutura diferenciável constituída pelas cartas de M com domínio contido em Z (veja Exemplo da seção 3 da aula número 3).

Demonstração. Seja n = dim(M). Se φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} é uma carta de M com U ⊂ Z então φ é uma carta de subvariedade para Z pois:

φ(U ∩ Z) = φ(U) = Ũ = Ũ ∩ IR^{n}.

Isso mostra que Z é uma subvariedade de M com dim(Z) = dim(M). O sistema de coordenadas φ_{0} em Z correspondente à carta de subvariedade φ é igual a φ. Logo a estrutura diferenciável induzida por M na subvariedade Z (como explicado acima) é constituída pelas cartas de M com domínio contido em Z.

Exemplo: se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e se S ⊂ M é um subconjunto discreto (i.e., a topologia induzida por M em S é discreta) então S é uma subvariedade de M de classe C^{k} e de dimensão zero. De fato, seja x ∈ S e seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta em M com x ∈ U e φ(x) = 0 (veja Exercício 4). Como S é discreto, existe um aberto V ⊂ U tal que V ∩ S = {x}. Daí φ(V ∩ S) = {0} = φ(V) ∩ IR^{0} e portanto φ|_{V} : V → φ(V) é uma carta de subvariedade para S em torno de x.

Exemplo: Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita e seja S ⊂ V um subespaço. Obviamente existe um isomorfismo φ : V → IR^{n} tal que φ(S) = IR^{p}. Então φ é uma carta de subvariedade para S, o que mostra que S é uma subvariedade de V. A carta φ_{0} : φ|_{S} : S → IR^{p} em S associada a φ é obviamente um isomorfismo e portanto a estrutura diferenciável induzida por V em S coincide com a estrutura diferenciável usual do espaço vetorial S. Exemplo: Seja M = IR^{2} o plano e seja N = S^{1} o círculo unitário. Escolha θ_{0} ∈ IR e seja φ : A_{θ_{0}} → ]0, +∞[ × ]θ_{0}, θ_{0} + 2π[ o sistema de coordenadas polares relativo à escolha de θ_{0} (veja Exemplo da seção 1 da aula número 1). Então φ(A_{θ_{0}} ∩ S^{1}) é igual à interseção da reta {1} × IR com a imagem da carta φ. A carta φ não é exatamente uma carta de subvariedade para S^{1}, mas podemos corrigir o problema facilmente: defina φ_{1} : A_{θ_{0}} → ]θ_{0}, θ_{0} + 2π[ × ]−1, +∞[ fazendo φ_{1}(x, y) = (θ, ρ − 1), onde (ρ, θ) = φ(x, y). Daí φ_{1}(A_{θ_{0}} ∩ S^{1}) é igual à interseção de IR ≅ IR × {0} ⊂ IR^{2} com a imagem da carta φ_{1}. Logo φ_{1} é uma carta de subvariedade para S^{1} cujo domínio contém todos os pontos de S^{1} exceto (cos θ_{0}, sen θ_{0}). Como θ_{0} ∈ IR é arbitrário, temos que S^{1} é uma subvariedade de classe C^{∞} e de dimensão 1 do plano IR^{2}.

Por um raciocínio similar ao explicado no Exemplo acima, usando coordenadas esféricas em vez de polares, é possível mostrar que a esfera S^{2} é uma subvariedade de classe C^{∞} e de dimensão 2 do espaço IR^{3}. Veremos adiante nesta aula, no entanto, métodos mais simples para identificar uma subvariedade de uma variedade diferenciável, sem que seja necessário a explicitação das cartas de subvariedade.

Vamos agora relacionar a noção de subvariedade com a noção de mergulho. Temos o seguinte:

Teorema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k}. Então a aplicação inclusão i : N → M é um mergulho de classe C^{k} (onde N é munido da estrutura diferenciável induzida de M).

Demonstração. Mostremos em primeiro lugar que i é uma imersão de classe C^{k}. Seja x ∈ N e seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta de subvariedade para N em torno de x. Seja φ_{0} = φ|_{U∩N} : U ∩ N → Ũ ∩ IR^{p} a carta correspondente em N. Temos que i(U ∩ N) ⊂ U e que a representação ĩ: Ũ ∩ IR^{p} → Ũ de i com respeito às cartas φ_{0} e φ é simplesmente a inclusão do aberto Ũ ∩IR^{p} de IR^{p} no aberto Ũ de IR^{n}. Logo ĩ é uma imersão de classe C^{∞} e portanto i|_{U∩N} = φ^{−1} ∘ĩ∘φ_{0} é uma imersão de classe C^{k}, já que φ_{0} e φ são difeomorfismos de classe C^{k}. Como U ∩ N é uma vizinhança aberta de x em N e x é um ponto arbitrário de N segue que i é uma imersão de classe C^{k}.

Resta mostrar agora que i é um homeomorfismo sobre sua imagem; devemos mostrar então que a aplicação identidade Id : N → N é um homeomorfismo, onde o domínio de Id é munido da topologia induzida pelo atlas de N e o contra-domínio de Id é munido da topologia induzida de M. Como ambas as topologias concidem, segue que Id é de fato um homeomorfismo.

Corolário. (mudança de contra-domínio) Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), P ⊂ N uma subvariedade de classe C^{k} e f : M → N uma aplicação com f(M) ⊂ P. Seja f_{0} : M → P a aplicação que difere de f apenas no contra-domínio. Então f é de classe C^{k} se e somente se f_{0} é de classe C^{k}.

Demonstração. Segue do princípio de mudança de contra-domínio (ou do seu Corolário), provado na seção 2 da aula número 9, levando em conta que f = i ∘ f_{0}, onde a inclusão i : P → N é um mergulho de classe C^{k}.

O próximo teorema é uma espécie de recíproca do teorema anterior.

Teorema. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} e seja f : N → M um mergulho de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Então f(N) é uma subvariedade de classe C^{k} de M e f : N → f(N) é um difeomorfismo de classe C^{k} (onde f(N) é munido da estrutura diferenciável induzida de M).

Demonstração. Seja dado um ponto arbitrário de f(N), digamos f(x), com x ∈ N. Vamos mostrar que existe uma carta de subvariedade para f(N) em torno de f(x). Como f é uma imersão, existem cartas φ : U → Ũ ⊂ IR^{m} em N e ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{n} em M com x ∈ U, f(U) ⊂ V e de modo que:

(ψ ∘ f ∘ φ^{−1})(v_{1}, …, v_{m}) = (v_{1}, …, v_{m}, \underbrace{0, …, 0}_{n−m zeros}),

para todo (v_{1}, …, v_{m}) ∈ Ũ. Segue então que:

ψ(f(U)) = Ũ ⊂ IR^{m} ⊂ IR^{n}.

Se soubéssemos que f(U) = V ∩ f(N) então ψ(V ∩ f(N)) = Ũ seria um aberto de IR^{m} e portanto poderíamos restringir ψ de modo a obter uma carta de subvariedade para f(N) em torno de f(x) (veja Lema que sucede a Definição de subvariedade). Ocorre que a imagem de f pode interceptar V em pontos fora de f(U). Nosso objetivo agora é diminuir o aberto V de modo a impedir que isso aconteça. É aqui que se usa a hipótese de que f é um homeomorfismo sobre sua imagem.

Vamos aos detalhes. Como f : N → f(N) é um homeomorfismo, temos que f(U) é um aberto relativo a f(N) e portanto existe um aberto W em M tal que f(U) = W ∩f(N). Daí ψ|_{V ∩W} : V ∩ W → ψ(V ∩ W) é uma carta em M cujo domínio contém f(x) e:

ψ((V ∩ W) ∩ f(N)) = ψ(f(U)) = Ũ

é um aberto de IR^{m}. Pelo Lema que sucede a definição de subvariedade, existe um aberto V_{1} em M contido em V ∩ W tal que:

(V ∩ W) ∩ f(N) = V_{1} ∩ f(N) e
ψ((V ∩ W) ∩ f(N)) = ψ(V_{1} ∩ f(N)) = ψ(V_{1}) ∩ IR^{m};

isso significa que ψ|_{V_{1}} : V_{1} → ψ(V_{1}) é uma carta de subvariedade para f(N) em torno de f(x). Fica demonstrado então que f(N) é uma subvariedade de M. Resta agora demonstrar que f : N → f(N) é um difeomorfismo de classe C^{k}. Seja:

ψ_{0} = ψ|_{V_{1}∩f(N)} : V_{1} ∩ f(N) ⟶ ψ(V_{1}) ∩ IR^{m} = Ũ

a carta em f(N) correspondente à carta de subvariedade ψ|_{V_{1}}. Note que:

f(U) = V ∩ f(U) = V ∩ W ∩ f(N) = V_{1} ∩ f(N),

e portanto faz sentido considerar a representação de f : N → f(N) com respeito às cartas φ e ψ_{0} e a representação de f^{−1} : f(N) → N com respeito às cartas ψ_{0} e φ. É fácil ver que essas representações são ambas iguais à aplicação identidade do aberto Ũ. Daí f : N → f(N) é de classe C^{k} na vizinhança aberta U de x em N e f^{−1} : f(N) → N é de classe C^{k} na vizinhança aberta V_{1} ∩ f(N) de f(x) em f(N). Como x ∈ N é arbitrário, segue que f : N → f(N) e f^{−1} : f(N) → N são aplicações de classe C^{k}.

Corolário. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Um subconjunto N ⊂ M é uma subvariedade de classe C^{k} se e somente se for imagem de um mergulho de classe C^{k}.

Demonstração. Pelo Teorema anterior, a imagem de um mergulho de classe C^{k} é uma subvariedade de classe C^{k}. Reciprocamente, toda subvariedade de classe C^{k} é imagem de sua própria inclusão, que é um mergulho de classe C^{k}.

Corolário. Sejam M, N variedadades diferenciáveis de classe C^{k}, f : M → N um difeomorfismo de classe C^{k} e P ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Então f(P) é uma subvariedade de classe C^{k} de N e f|_{P} : P → f(P) é um difeomorfismo de classe C^{k}.

Demonstração. Denote por i : P → M a inclusão. Como i é um mergulho de classe C^{k} e f : M → N é um difeomorfismo de classe C^{k} segue que f ∘ i = f|_{P} : P → N é um mergulho de classe C^{k}. Logo, pelo Teorema anterior, f(P) é uma subvariedade de N de classe C^{k} e f|_{P} : P → f(P) é um difeomorfismo de classe C^{k}.

Corolário. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Um subconjunto N ⊂ M é uma subvariedade de classe C^{k} de M se e somente se existe uma estrutura diferenciável A de classe C^{k} em N tal que (N, A) é uma variedade diferenciável de classe C^{k} e tal que a inclusão de (N, A) em M é um mergulho de classe C^{k}. Além do mais, se A é uma tal estrutura diferenciável em N então A necessariamente coincide com a estrutura diferenciável induzida por M em N. Em particular, dado um subconjunto N ⊂ M, existe no máximo uma estrutura diferenciável A de classe C^{k} em N tal que (N, A) é uma variedade diferenciável de classe C^{k} e tal que a inclusão de (N, A) em M é um mergulho de classe C^{k}.

Demonstração. Se N é uma subvariedade de classe C^{k} de M então a estrutura diferenciável induzida por M em N torna N uma variedade diferenciável de classe C^{k} e torna a inclusão de N em M um mergulho de classe C^{k}. Reciprocamente, se N admite uma estrutura diferenciável A de classe C^{k} tal que (N, A) é uma variedade diferenciável de classe C^{k} e tal que a inclusão de (N, A) em M é um mergulho de classe C^{k} então N é uma subvariedade de M de classe C^{k}, pois N é a imagem de um mergulho de classe C^{k}. Note também que o Teorema anterior nos diz que a inclusão de (N, A) em M é um difeomorfismo de classe C^{k} sobre sua imagem, i.e., a aplicação identidade Id : (N, A) → (N, A′) é um difeomorfismo de classe C^{k}, onde A′ é a estrutura diferenciável induzida por M em N. Isso prova que A = A′.

Corolário. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k}, N_{2} uma subvariedade de M de classe C^{k} e N_{1} uma subvariedade de N_{2} de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Então N_{1} é uma subvariedade de M de classe C^{k}. Além do mais, se A_{0} denota a estrutura diferenciável induzida por M em N_{2} então a estrutura diferenciável induzida por (N_{2}, A_{0}) em N_{1} coincide com a estrutura diferenciável induzida por M em N_{1}.

Demonstração. Denote por i_{1} : N_{1} → M, i_{2} : N_{2} → M e i_{12} : N_{1} → N_{2} as aplicações inclusão. Se N_{2} é munida da estrutura diferenciável A_{0} então i_{2} é um mergulho de classe C^{k} e se N_{1} é munida da estrutura diferenciável A_{1} induzida por (N_{2}, A_{0}) então i_{12} é um mergulho de classe C^{k}. Logo i_{1} = i_{2} ∘ i_{12} : (N_{1}, A_{1}) → M é um mergulho de classe C^{k} (veja Exercício 6). Então A_{1} é uma estrutura diferenciável de classe C^{k} em N_{1} tal que (N_{1}, A_{1}) é uma variedade diferenciável de classe C^{k} e tal que a inclusão i_{1} : N_{1} → M é um mergulho de classe C^{k}. Segue do Corolário anterior que N_{1} é uma subvariedade de classe C^{k} de M e que A_{1} coincide com a estrutura diferenciável induzida por M em N_{1}.

Corolário. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), N ⊂ M uma subvariedade de M de classe C^{k} e Z ⊂ N um aberto relativo a N. Então Z é uma subvariedade de M de classe C^{k}. Além do mais, se A_{0} denota a estrutura diferenciável induzida por M em N então a estrutura diferenciável induzida por (N, A_{0}) no aberto Z ⊂ N coincide com a estrutura diferenciável induzida por M em Z.

Demonstração. É um caso particular do Corolário anterior, já que um aberto de uma variedade diferenciável é uma subvariedade.

Corolário. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), Z ⊂ M um aberto e N uma subvariedade de Z de classe C^{k}. Então N é uma subvariedade de M de classe C^{k}. Além do mais, se A_{0} denota a estrutura diferenciável induzida por M em Z então a estrutura diferenciável induzida por (Z, A_{0}) em N coincide com a estrutura diferenciável induzida por M em N.

Demonstração. Idem ao Corolário anterior.

Corolário. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e sejam N_{1}, N_{2} ⊂ M subvariedades de classe C^{k} com N_{1} ⊂ N_{2}. Então N_{1} é uma subvariedade de N_{2} de classe C^{k}.

Demonstração. Seja i_{1} : N_{1} → M a aplicação inclusão. Então i_{1} é um mergulho de classe C^{k} e i_{1}(N_{1}) ⊂ N_{2}. Como a aplicação inclusão i_{12} : N_{1} → N_{2} difere de i_{1} apenas pelo contra-domínio, segue do resultado do Exercício 8 que i_{12} é um mergulho de classe C^{k} e portanto N_{1} é uma subvariedade de N_{2} de classe C^{k}.

Corolário. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k} e Z ⊂ M um aberto com N ⊂ Z. Então N é uma subvariedade de Z de classe C^{k}.

Demonstração. É um caso particular do Corolário anterior, já que o aberto Z é uma subvariedade de M.

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} e seja f : M → N uma aplicação de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Então o gráfico de f é uma subvariedade de classe C^{k} de M × N.

Demonstração. De fato, seja ϕ : M → M × N a aplicação definida por ϕ(x) = (x, f(x)). Então ϕ é de classe C^{k}, pois suas duas coordenadas são de classe C^{k}. Além do mais, a primeira projeção M × N → M é uma inversa à esquerda de classe C^{k} para ϕ e portanto ϕ é um mergulho de classe C^{k}. Isso mostra que Im(ϕ) = Gr(f) é uma subvariedade de M × N de classe C^{k}.

O próximo lema nos diz que a noção de subvariedade é local.

Lema. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e de dimensão n, N ⊂ M um subconjunto e p um número natural (0 ≤ p ≤ n). Suponha que todo x ∈ N pertence a um aberto V ⊂ M tal que V ∩ N é uma subvariedade de M de classe C^{k} e de dimensão p. Então N é uma subvariedade de M de classe C^{k} e de dimensão p.

Demonstração. Sejam x ∈ N e V ⊂ M uma vizinhança aberta de x tal que V ∩ N é uma subvariedade de M de classe C^{k} e de dimensão p. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta de subvariedade para V ∩ N em torno de x, i.e., x ∈ U e φ(U ∩ (V ∩ N)) = Ũ ∩ IR^{p}. Daí φ|_{U∩V} : U ∩ V → φ(U ∩ V) é uma carta em M cujo domínio contém x e tal que φ((U ∩V)∩N) é um aberto de IR^{p}. Segue do Lema que sucede a definição de subvariedade que podemos restringir φ|_{U∩V} a uma carta de subvariedade para N em torno de x.

Corolário. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e de dimensão n e seja N ⊂ M um subconjunto. Seja p um número natural (0 ≤ p ≤ n) e suponha que para todo x ∈ N existam uma vizinhança aberta V de x em M, uma variedade diferenciável P de classe C^{k} e um difeomorfismo φ : V → P de classe C^{k} tal que φ(V ∩ N) é uma subvariedade de classe C^{k} e de dimensão p de P. Então N é uma subvariedade de M de classe C^{k}.

Demonstração. Recorde que difeomorfismos de classe C^{k} levam subvariedades de classe C^{k} em subvariedades de classe C^{k}. Como φ é um difeomorfismo de classe C^{k} e φ(V ∩ N) é uma subvariedade de P de classe C^{k}, segue que V ∩ N é uma subvariedade de V (e portanto uma subvariedade de M) de classe C^{k} e de dimensão p. A conclusão segue do Lema.

Definição. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Dado um número natural p ≤ dim(M) então uma parametrização p-dimensional de classe C^{k} em M é um mergulho σ : A → M de classe C^{k} definido num aberto A ⊂ IR^{p}.

Corolário. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Um subconjunto N ⊂ M é uma subvariedade de classe C^{k} e de dimensão p se e somente se todo x ∈ N possui uma vizinhança aberta V ⊂ M tal que V ∩ N é imagem de uma parametrização p-dimensional de classe C^{k}.

Demonstração. Suponha que para todo x ∈ N exista um aberto V ∋ x em M tal que V ∩ N é imagem de uma parametrização p-dimensional de classe C^{k}. Daí V ∩ N é uma subvariedade de M de classe C^{k} e de dimensão p (pois é imagem de um mergulho definido num aberto de IR^{p}). Segue do Lema que N é uma subvariedade de M de classe C^{k} e de dimensão p.

Reciprocamente, suponha que N é uma subvariedade de M de classe C^{k} e de dimensão p. Dado x ∈ N, existe uma carta φ : U → Ũ ⊂ IR^{p} na variedade N com x ∈ U. Como U é um aberto relativo a N, existe um aberto V em M tal que U = V ∩ N. Temos que a aplicação φ^{−1} : Ũ → U é um difeomorfismo de classe C^{k} e que a inclusão de N em M é um mergulho de classe C^{k}; logo, a aplicação φ^{−1} : Ũ → M é um mergulho de classe C^{k}, i.e., uma parametrização p-dimensional de classe C^{k} cuja imagem é igual a V ∩ N.

Observaç~ ao: se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), N ⊂ M é uma subvariedade de classe C^{k} e σ : A → M é uma parametrização p-dimensional de classe C^{k} cuja imagem é um aberto relativo a N então σ^{−1} : σ(A) → A é uma carta em N. De fato, como σ é um mergulho de classe C^{k} temos que σ : A → σ(A) é um difeomorfismo de classe C^{k}. Logo σ^{−1} : σ(A) → A é um difeomorfismo de classe C^{k} cujo domínio é um aberto de N e o contra-domínio é um aberto de IR^{p}.

Observaç~ ao: o Corolário acima nos fornece uma definição equivalente para a noção de subvariedade que é similar à definição de superfície regular em IR^{3} apresentada em livros elementares de geometria diferencial. Logo, uma superfície regular em IR^{3} é nada mais que uma subvariedade bidimensional de IR^{3}. Segue também do Corolário anterior que a noção de superfície de dimensão m e classe C^{k} em IR^{n} definida em [Curso de Análise vol. 2, Elon Lages Lima, §13, Capítulo V], coincide com a noção de subvariedade de classe C^{k} e dimensão m de IR^{n}.

Vamos agora relacionar o espaço tangente a uma subvariedade com o espaço tangente da variedade ambiente. Se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e se N ⊂ M é uma subvariedade então, dado x ∈ N, que relação existe entre o espaço tangente T_{x}N e o espaço tangente T_{x}M? É natural esperar que T_{x}N seja um subespaço de T_{x}M (por exemplo, o plano tangente a uma superfície regular em IR^{3} é um subespaço de IR^{3}, que é o espaço tangente ao próprio IR^{3}). Ocorre que T_{x}N não é exatamente um subespaço de T_{x}M, mas apenas naturalmente isomorfo a um subespaço de T_{x}M. Por exemplo, se construímos o espaço tangente usando curvas (aula número 6, seção 2) então um elemento de T_{x}N é determinado por uma classe de equivalência de uma curva γ em N passando por x; tal curva γ também determina uma classe de equivalência que é um elemento de T_{x}M, mas as classes de equivalência determinadas por γ vista como curva em N e vista como curva em M não coincidem (existem tipicamente várias curvas em M que são tangentes a γ mas que não são curvas em N). Adotaremos aqui então a mesma postura que adotamos na seção 2 da aula número 7; a saber, vamos identificar T_{x}N com um subespaço de T_{x}M. Temos a seguinte:

Convenç~ ao: Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k}. Denote por i : N → M a aplicação inclusão. Então, para todo x ∈ N, identificamos o espaço tangente T_{x}N com a imagem da diferencial di(x) através do isomorfismo di(x) : T_{x}N → Im(di(x)). Note que, como i é um mergulho (e em particular uma imersão) temos que di(x) é injetora e é portanto de fato um isomorfismo sobre sua imagem. A partir de agora trabalharemos então como se T_{x}N fosse um subespaço de T_{x}M e como se di(x) : T_{x}N → T_{x}M fosse a aplicação de inclusão de T_{x}N em T_{x}M.

Note que esta convenção é coerente com a identificação feita na seção 2 da aula número 7 com respeito ao espaço tangente a um aberto de uma variedade. Observaç~ ao: sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} e N_{1}, N_{2} ⊂ M subvariedades de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) com N_{1} ⊂ N_{2}. Denote por i_{1} : N_{1} → M, i_{2} : N_{2} → M e i_{12} : N_{1} → N_{2} as aplicações inclusão. Para todo x ∈ N_{1}, temos uma identificação de T_{x}N_{2} com um subespaço de T_{x}M através do isomorfismo di_{2}(x) e temos uma identificação de T_{x}N_{1} com um subespaço de T_{x}N_{2} através do isomorfismo di_{12}(x) (já que N_{1} também é uma subvariedade de classe C^{k} de N_{2}). Ambas essas identificações implicam na identificação de T_{x}N_{1} com um subespaço de T_{x}M através do isomorfismo di_{2}(x)∘di_{12}(x). Temos também porém uma identificação direta de T_{x}N_{1} com um subespaço de T_{x}M através do isomorfismo di_{1}(x). Afirmamos que os isomorfismos di_{2}(x) ∘ di_{12}(x) e di_{1}(x) coincidem. De fato, isso segue da regra da cadeia observando que i_{1} = i_{2} ∘ i_{12}. Exemplo: sejam V um espaço vetorial real de dimensão finita e S ⊂ V um subespaço. Então, como vimos anteriormente, S é uma subvariedade de V. A aplicação inclusão i : S → V é linear e portanto para todo x ∈ S temos di(x) = i. Logo:

T_{x}S = di(x)[T_{x}S] = S ⊂ T_{x}V = V.

Teorema. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), f : M → N uma aplicação de classe C^{k} e P ⊂ M, Q ⊂ N subvariedades de classe C^{k} com f(P) ⊂ Q. Denote por f_{0} : P → Q a restrição de f. Então f_{0} é de classe C^{k} e df_{0}(x) : T_{x}P → T_{f(x)}Q é a restrição de df(x) : T_{x}M → T_{f(x)}N, para todo x ∈ P.

Demonstração. Denote por i : P → M, j : Q → N as aplicações inclusão. Temos f ∘ i = j ∘ f_{0}. Como f e i são de classe C^{k}, segue que f ∘ i é de classe C^{k}; além do mais, como f ∘i e f_{0} diferem apenas pelo contra-domínio, segue que também f_{0} é de classe C^{k}. A relação entre as diferenciais df_{0}(x) e df(x) é obtida diferenciando a igualdade f ∘i = j ∘f_{0} num ponto x ∈ P usando a regra da cadeia e observando que, em vista da convenção acima, di(x) e dj(f(x)) são aplicações inclusão.

Corolário. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k} e x ∈ N um ponto. Denote por C o conjunto das curvas γ : I → M de classe C^{k} tais que γ(0) = x e γ(I) ⊂ N, onde I ⊂ IR é um intervalo aberto contendo a origem. Então o espaço tangente a N no ponto x é dado por:

T_{x}N = {γ′(0) : γ ∈ C}.

Demonstração. Seja dado v ∈ T_{x}N. Pelo resultado do Exercício 5, existe uma curva γ_{0} : I → N de classe C^{k} com γ_{0}(0) = x e γ′_{0}(0) = v. Seja γ : I → M a aplicação que difere de γ_{0} apenas pelo contra-domínio. Daí γ é de classe C^{k} e portanto γ ∈ C. Além do mais, as aplicações dγ_{0}(0) : IR → T_{x}N e dγ(0) : IR → T_{x}M diferem apenas pelo contra-domínio e em particular γ′_{0}(0) = dγ_{0}(0) · 1 = dγ(0) · 1 = γ′(0). Logo γ′(0) = v.

Reciprocamente, seja γ ∈ C. Como a imagem de γ está contida em N, podemos considerar a aplicação γ_{0} : I → N que difere de γ : I → M apenas pelo contra-domínio. Daí γ_{0} é de classe C^{k} e γ′(0) = γ′_{0}(0) ∈ T_{x}N.

Observaç~ ao: o Corolário acima implica que o espaço tangente a uma superfície regular em IR^{3} coincide com a noção usual de plano tangente a uma superfície regular apresentada em cursos elementares de geometria diferencial. Também, a noção de espaço tangente a uma subvariedade de IR^{n} coincide com a noção de espaço tangente a uma superfície de dimensão m em IR^{n} apresentada em [Curso de Análise vol. 2, Elon Lages Lima, §13, Capítulo V].

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e f : N → M um mergulho de classe C^{k}. Então, para todo x ∈ N temos:

T_{f(x)}f(N) = Im(df(x)).

Demonstração. Seja f_{0} : N → f(N) a aplicação que difere de f apenas pelo contradomínio. Então f_{0} é um difeomorfismo de classe C^{k} e portanto df_{0}(x) é um isomorfismo; em particular, a imagem de df_{0}(x) coincide com T_{f(x)}f(N). Como df(x) e df_{0}(x) só diferem pelo contra-domínio, temos que df(x) e df_{0}(x) possuem a mesma imagem.

Corolário. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k} e σ : A → M uma parametrização p-dimensional de classe C^{k} tal que σ(A) é um aberto relativo a N. Então, para todo x ∈ A temos que T_{σ(x)}N é igual à imagem de dσ(x) : IR^{p} → T_{σ(x)}M.

Demonstração. Como σ é um mergulho, o Corolário anterior nos dá:

T_{σ(x)}σ(A) = Im(dσ(x));

mas como σ(A) é um aberto relativo a N, temos T_{σ(x)}σ(A) = T_{σ(x)}N.

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Então, para todo x ∈ M, o espaço tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)) coincide com o gráfico de df(x).

Demonstração. Defina ϕ : M → M × N por ϕ(x) = (x, f(x)). Vimos anteriormente que ϕ é um mergulho de classe C^{k} cuja imagem é o gráfico de f. Temos:

dϕ(x) · h = (h, df(x) · h),

para todo x ∈ M, h ∈ T_{x}M. Logo, o espaço tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)), que coincide com a imagem de dϕ(x), é igual ao gráfico de df(x).

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k}, f : M → N um difeomorfismo de classe C^{k} e P ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Então T_{f(x)}f(P) = df(x)[T_{x}P], para todo x ∈ P.

Demonstração. Seja f_{0} : P → f(P) a restrição de f. Então f_{0} é um difeomorfismo de classe C^{k} e portanto df_{0}(x) é um isomorfismo; em particular, a imagem de df_{0}(x) coincide com T_{f(x)}f(P), para todo x ∈ P. Como f_{0} é a restrição de f, segue que a diferencial df_{0}(x) : T_{x}P → T_{f(x)}f(P) é a restrição da diferencial df(x) : T_{x}M → T_{f(x)}N. A conclusão segue.

Definição. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k}. A codimensão de N em M, denotada por codim_{M}(N), é definida como sendo a diferença dim(M) − dim(N).

Definição. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Dizemos que c ∈ N é um valor regular de f se f é uma submersão em x para todo x ∈ f^{−1}(c).

Teorema. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} e seja f : M → N uma aplicação de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Se c ∈ N é um valor regular de f então f^{−1}(c) é uma subvariedade de M de classe C^{k} cuja codimensão em M é igual à dimensão de N. Além do mais, T_{x}f^{−1}(c) = Ker(df(x)), para todo x ∈ f^{−1}(c).

Demonstração. Seja dado x ∈ f^{−1}(c) e vamos construir uma carta de subvariedade para f^{−1}(c) em torno de x. Seja então ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{n} uma carta em N com c ∈ V e ψ(c) = 0 (veja Exercício 4). Pela forma local das submersões, existe uma carta φ : U → Ũ ⊂ IR^{m} em M com x ∈ U, f(U) ⊂ V e tal que a representação de f nas cartas φ e ψ é dada por:

(ψ ∘ f ∘ φ^{−1})(v_{1}, …, v_{m}) = (v_{1}, …, v_{n}),  (1)

para todo (v_{1}, …, v_{m}) ∈ Ũ. Temos:

φ(U ∩ f^{−1}(c)) = (ψ ∘ f ∘ φ^{−1})^{−1}(0) = Ũ ∩ ({0}^{n} × IR^{m−n}).

Seja α : IR^{m} → IR^{m} um isomorfismo qualquer que leva o subespaço {0}^{n} × IR^{m−n} sobre IR^{m−n} ⊂ IR^{m}. Então α ∘ φ : U → α(Ũ) é uma carta em M e:

(α ∘ φ)(U ∩ f^{−1}(c)) = α[Ũ ∩ ({0}^{n} × IR^{m−n})] = α(Ũ) ∩ IR^{m−n},

ou seja α ∘ φ é uma carta de subvariedade para f^{−1}(c) em torno de x.

Vamos agora calcular o espaço tangente T_{x}f^{−1}(c). Como φ : U → Ũ é um difeomorfismo que leva U ∩ f^{−1}(c) sobre Ũ ∩ ({0}^{n} × IR^{m−n}), temos que dφ(x) leva o espaço tangente a U ∩ f^{−1}(c) no ponto x (que é igual a T_{x}f^{−1}(c)) sobre o espaço tangente a Ũ ∩ ({0}^{n} × IR^{m−n}) no ponto φ(x) (que é igual a {0}^{n} × IR^{m−n}). Em símbolos:

dφ(x)[T_{x}f^{−1}(c)] = {0}^{n} × IR^{m−n}.  (2)

Diferenciando (1) no ponto φ(x) obtemos:

[dψ(f(x)) ∘ df(x) ∘ dφ(x)^{−1}](h_{1}, …, h_{m}) = (h_{1}, …, h_{n}),

para todo (h_{1}, …, h_{m}) ∈ IR^{m}. Logo:

Ker[dψ(f(x)) ∘ df(x) ∘ dφ(x)^{−1}] = {0}^{n} × IR^{m−n};  (3)

como dψ(f(x)) e dφ(x) são isomorfismos, obtemos:

Ker[dψ(f(x)) ∘ df(x) ∘ dφ(x)^{−1}] = Ker[df(x) ∘ dφ(x)^{−1}] = dφ(x)[Ker(df(x))]. (4)

De (3) e (4) vem:

dφ(x)[Ker(df(x))] = {0}^{n} × IR^{m−n}.

Comparando com (2) obtemos então:

dφ(x)[T_{x}f^{−1}(c)] = dφ(x)[Ker(df(x))],

o que implica que T_{x}f^{−1}(c) = Ker(df(x)) e completa a demonstração. Exemplo: Considere a aplicação f : IR^{n+1} → IR definida por f(x) = ∥x∥^{2} = ⟨x, x⟩, onde ⟨·, ·⟩ denota o produto interno Euclideano. Então f é uma aplicação de classe C^{∞} e sua diferencial é dada por df(x) · v = 2⟨x, v⟩, para todos x, v ∈ IR^{n}. Logo f é uma submersão em todos os pontos de IR^{n+1}, exceto a origem; em particular, qualquer c ≠ 0 é um valor regular para f. Concluímos que a esfera n-dimensional unitária S^{n} = f^{−1}(1) é uma subvariedade de classe C^{∞} e de dimensão n de IR^{n+1}. Para x ∈ S^{n}, temos que o espaço tangente T_{x}S^{n} é igual a Ker(df(x)), i.e., T_{x}S^{n} é o complemento ortogonal em IR^{n+1} do subespaço unidimensional gerado por x. Recorde que na seção 3 da aula número 3 definimos uma estrutura diferenciável em S^{n} usando as projeções estereográficas como cartas. Afirmamos que a estrutura diferenciável em S^{n} definida naquela seção coincide com a estrutura diferenciável induzida de IR^{n+1}. Para demonstrar essa afirmação, devemos verificar que, assumindo que S^{n} está munida da estrutura diferenciável induzida de IR^{n+1}, então para todo u ∈ S^{n} a projeção estereográfica p_{u} : S^{n} \ {u} → u^{⊥} de vértice u é um difeomorfismo de classe C^{∞} definido num aberto de S^{n}. Obviamente S^{n} \{u} é um aberto de S^{n}. Para verificar que p_{u} é um difeomorfismo de classe C^{∞}, procedemos da seguinte forma. Em primeiro lugar, a fórmula que define p_{u}(x) faz sentido para todo x ∈ IR^{n+1} com ⟨x, u⟩ ≠ 1. Essa fórmula nos fornece então uma extensão de classe C^{∞} de p_{u} para um aberto de IR^{n+1}; como p_{u} é a restrição dessa extensão, segue que p_{u} é de classe C^{∞}. Mostremos agora que p_{u}^{−1} : u^{⊥} → S^{n} \ {u} é de classe C^{∞}. Temos uma fórmula explícita para p_{u}^{−1} que mostra que a aplicação p_{u}^{−1} : u^{⊥} → IR^{n+1} é de classe C^{∞}. Como S^{n} \ {u} é uma subvariedade de IR^{n+1}, segue que também p_{u}^{−1} : u^{⊥} → S^{n} \ {u} é de classe C^{∞}.

Cálculo no IR^{n}.

1. Sejam V, W espaços vetoriais reais de dimensão finita, Z ⊂ V um aberto e f : Z → W uma aplicação de classe C^{k}. Mostre que:

(a) se S é um subespaço de V então f|_{S∩Z} : S ∩ Z → W é uma aplicação de classe C^{k} definida no aberto S ∩ Z do espaço vetorial S. Além do mais, se k ≥ 1, então para todo x ∈ S ∩ Z, temos d(f|_{S∩Z})(x) = df(x)|_{S}.

[dica: f|_{S∩Z} = f ∘ i, onde i : S ∩ Z → Z ⊂ V denota a inclusão].

(b) se S′ é um subespaço de W tal que f(Z) ⊂ S′ então a aplicação f_{0} : Z → S′ definida por f_{0}(x) = f(x) para todo x ∈ Z (i.e., f_{0} e f diferem só pelo contradomínio) é de classe C^{k}. Além do mais, se k ≥ 1 então, para todo x ∈ Z, temos df_{0}(x) · v = df(x) · v para todo v ∈ V, i.e., as aplicações lineares df(x) : V → W e df_{0}(x) : V → S′ só diferem pelo contra-domínio.

[dica: isso pode ser mostrado por indução em k usando a definição de diferenciabilidade, mas é mais fácil observar que f_{0} = π ∘ f, onde π : W → S′ é uma projeção linear qualquer; para relacionar df(x) com df_{0}(x), use que f = i′ ∘f_{0}, onde i′ : S′ → W denota a inclusão].

(c) conclua dos itens (b) e (c) que se f é um difeomorfismo de classe C^{k} sobre um aberto Z′ = f(Z) ⊂ W e se S ⊂ V, S′ ⊂ W são subespaços com f(S∩Z) = S′∩Z′ então f|_{S∩Z} : S ∩ Z → S′ ∩ Z′ é um difeomorfismo de classe C^{k}.

Topologia.

2. Mostre que todo subespaço de um espaço topológico Hausdorff é ainda um espaço topológico Hausdorff.

3. Mostre que se 𝔅 é uma base de abertos para um espaço topológico X então, para todo Y ⊂ X, {U ∩ Y : U ∈ 𝔅} é uma base de abertos para Y. Conclua que se X satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade então todo Y ⊂ X satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade.

Cartas e espaço tangente.

4. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} e seja x ∈ M. Mostre que existe uma carta φ : U → Ũ em M com x ∈ U e φ(x) = 0.

[dica: dado v ∈ IR^{n} então a translação 𝔱_{v} : IR^{n} ∋ z ↦ z + v ∈ IR^{n} é um difeomorfismo e portanto se φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} é uma carta em M então também 𝔱_{v} ∘ φ : U → 𝔱_{v}(Ũ) é uma carta em M].

5. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja x ∈ M. Então, para todo v ∈ T_{x}M existe uma curva γ : ]−ε, ε[ → M de classe C^{k} com γ(0) = x e γ′(0) = v.

[dica: seja φ : U → Ũ uma carta em M com x ∈ U e defina γ(t) = φ^{−1}(φ(x)+t dφ(x)·v)].

Imers~ oes, submers~ oes e mergulhos.

6. Mostre que:

(a) a composta de imersões de classe C^{k} é uma imersão de classe C^{k};

(b) a composta de submersões de classe C^{k} é uma submersão de classe C^{k};

(c) a composta de mergulhos de classe C^{k} é um mergulho de classe C^{k}.

7. Sejam M_{1}, …, M_{p}, N_{1}, …, N_{p} variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e sejam f_{i} : M_{i} → N_{i}, i = 1, …, p aplicações de classe C^{k}. Considere a aplicação ∏_{i=1}^{p} f_{i} : ∏_{i=1}^{p} M_{i} → ∏_{i=1}^{p} N_{i} definida por:

( ∏_{i=1}^{p} f_{i})(x_{1}, …, x_{p}) = (f_{1}(x_{1}), …, f_{p}(x_{p})).

Mostre que:

(a) ∏_{i=1}^{p} f_{i} é de classe C^{k};

(b) a diferencial de ∏_{i=1}^{p} f_{i} num ponto x = (x_{1}, …, x_{p}) ∈ ∏_{i=1}^{p} M_{i} é dada por:

d( ∏_{i=1}^{p} f_{i})(x) · (h_{1}, …, h_{p}) = (df_{1}(x_{1}) · h_{1}, …, df_{p}(x_{p}) · h_{p}),

para todos h_{i} ∈ T_{x_{i}}M_{i}, i = 1, …, p;

(c) se f_{1}, …, f_{p} são imersões então ∏_{i=1}^{p} f_{i} é uma imersão;

(d) se f_{1}, …, f_{p} são submersões então ∏_{i=1}^{p} f_{i} é uma submersão;

(e) se f_{1}, …, f_{p} são mergulhos então ∏_{i=1}^{p} f_{i} é um mergulho.

Subvariedades.

8. Sejam M, P variedades diferenciáveis de classe C^{k} e N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Seja f : P → M uma aplicação com imagem contida em N e denote por f_{0} : P → N a aplicação que difere de f apenas pelo contra-domínio. Mostre que f é uma imersão de classe C^{k} (resp., um mergulho de classe C^{k}) se e somente se f_{0} é uma imersão de classe C^{k} (resp., um mergulho de classe C^{k}).

[dica: note que df(x) = di(f(x)) ∘ df_{0}(x), para todo x ∈ P, onde i : N → M denota a inclusão; use o fato que i é uma imersão para concluir que df(x) é injetora se e somente se df_{0}(x) é injetora. Observe também que a topologia induzida em f(P) por M coincide com a topologia induzida em f(P) por N].

9. Sejam M_{1}, …, M_{p} variedades diferenciáveis de classe C^{k} e sejam N_{i} ⊂ M_{i}, i = 1, …, p subvariedades de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Então ∏_{i=1}^{p} N_{i} é uma subvariedade de classe C^{k} de ∏_{i=1}^{p} M_{i} e a estrutura diferenciável induzida em ∏_{i=1}^{p} N_{i} por ∏_{i=1}^{p} M_{i} coincide com a estrutura diferenciável produto (onde cada N_{i} possui a estrutura diferenciável induzida de M_{i}).

[dica: se ϕ_{i} : N_{i} → M_{i} denota a inclusão então ∏_{i=1}^{p} ϕ_{i} é a inclusão de ∏_{i=1}^{p} N_{i} em ∏_{i=1}^{p} M_{i}; use o resultado do item (e) do Exercício 7].

10. Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita e seja S′ ⊂ V um subespaço afim, i.e., S′ = {x + v : x ∈ S}, onde v ∈ V é um vetor fixado e S ⊂ V é um subespaço vetorial. Mostre que S′ é uma subvariedade de V e que T_{y}S′ = S ⊂ T_{y}V = V para todo y ∈ S′.

[dica: a translação 𝔱_{v} : V ∋ x ↦ x + v ∈ V é um difeomorfismo de classe C^{∞} e S′ = 𝔱_{v}(S); além do mais, a diferencial de 𝔱_{v} em qualquer ponto é a aplicação identidade de V].

11. Sejam (M, A) uma variedade diferenciável de classe C^{k}, N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k} e l um número natural com 1 ≤ l ≤ k. Seja A′ o atlas maximal de classe C^{l} em M que contém o atlas maximal A de classe C^{k}. Mostre que N é uma subvariedade de classe C^{l} de (M, A′). Denotando por A_{0}, A′_{0} respectivamente as estruturas diferenciáveis induzidas em N por (M, A) e (M, A′), mostre que A′_{0} é o atlas maximal de classe C^{l} em N que contém o atlas maximal A_{0} de classe C^{k}.

Observaç~ ao: parte do material originalmente destinado à aula número 10 foi na verdade coberto na aula número 11.

(1) Subvariedades imersas.

Definição. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Uma subvariedade imersa de M de classe C^{k} é uma variedade diferenciável N de classe C^{k} tal que N é um subconjunto de M e a aplicação inclusão de N em M é uma imersão de classe C^{k}.

De maneira mais explícita: uma subvariedade imersa de M de classe C^{k} é um par (N, A) onde N é um subconjunto de M e A é um atlas maximal de classe C^{k} em N, de modo que a topologia induzida por A em N é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade e de modo que a aplicação inclusão (N, A) → M é uma imersão de classe C^{k}.

O termo “subvariedade imersa” pode às vezes provocar um pouco de confusão (apesar de ser a terminologia padrão). De fato, poderia se pensar que “subvariedades imersas” sejam um tipo de subvariedade, enquanto que na realidade temos justamente o contrário: subvariedades são um tipo particular de subvariedade imersa, como explicamos a seguir. Exemplo: se N é uma subvariedade de M (no sentido da aula número 10) então a estrutura diferenciável induzida por M em N é um atlas maximal A de classe C^{k} em N tal que (N, A) é uma variedade diferenciável de classe C^{k} e tal que a aplicação inclusão (N, A) → M é um mergulho de classe C^{k}. Em particular, (N, A) é uma subvariedade imersa de M de classe C^{k}. Logo toda subvariedade de M (munida da estrutura diferenciável induzida de M) é uma subvariedade imersa de M. Como a inclusão de uma subvariedade N ⊂ M em M é um mergulho, as subvariedades de M são também chamadas de subvariedades mergulhadas de M. Veremos adiante nesta seção exemplos de subvariedades imersas que não são subvariedades.

Note que, de acordo com a Definição apresentada no início da aula número 10, uma subvariedade de M é um subconjunto N ⊂ M (satisfazendo certas propriedades) enquanto que uma subvariedade imersa de M é um par (N, A), onde N ⊂ M é um subconjunto e A é uma estrutura diferenciável (i.e., um atlas maximal) em N. Ocorre que, no caso das subvariedades, a estrutura diferenciável de N era induzida de modo natural pela variedade ambiente M, enquanto que no caso de subvariedades imersas é possível até mesmo que existam estruturas diferenciáveis diferentes em N que tornem N uma subvariedade imersa de M (exemplos serão apresentados mais adiante nesta seção).

Antes de começarmos a demonstrar resultados sobre subvariedades imersas, vamos identificar o espaço tangente a uma subvariedade imersa com um subespaço do espaço tangente à variedade ambiente. Convenç~ ao: Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja N ⊂ M uma subvariedade imersa de classe C^{k}. Denote por i : N → M a aplicação inclusão. Então, para todo x ∈ N, identificamos o espaço tangente T_{x}N com a imagem da diferencial di(x) através do isomorfismo di(x) : T_{x}N → Im(di(x)). Note que, como i é uma imersão temos que di(x) é injetora e é portanto de fato um isomorfismo sobre sua imagem. A partir de agora trabalharemos então como se T_{x}N fosse um subespaço de T_{x}M e como se di(x) : T_{x}N → T_{x}M fosse a aplicação de inclusão de T_{x}N em T_{x}M. Observaç~ ao: sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), N_{2} uma subvariedade imersa de classe C^{k} de M e N_{1} uma subvariedade imersa de classe C^{k} de N_{2}. Denote por i_{1} : N_{1} → M, i_{2} : N_{2} → M e i_{12} : N_{1} → N_{2} as aplicações inclusão. Como i_{12} e i_{2} são imersões de classe C^{k}, segue que i_{1} = i_{2} ∘ i_{12} é uma imersão de classe C^{k} e portanto N_{1} é uma subvariedade imersa de M de classe C^{k}. Para todo x ∈ N_{1}, temos uma identificação de T_{x}N_{2} com um subespaço de T_{x}M através do isomorfismo di_{2}(x) e temos uma identificação de T_{x}N_{1} com um subespaço de T_{x}N_{2} através do isomorfismo di_{12}(x). Ambas essas identificações implicam na identificação de T_{x}N_{1} com um subespaço de T_{x}M através do isomorfismo di_{2}(x) ∘ di_{12}(x). Temos também porém uma identificação direta de T_{x}N_{1} com um subespaço de T_{x}M através do isomorfismo di_{1}(x). Afirmamos que os isomorfismos di_{2}(x) ∘ di_{12}(x) e di_{1}(x) coincidem. De fato, isso segue da regra da cadeia já que i_{1} = i_{2} ∘ i_{12}.

Vimos na aula número 10 que se f : N → M é um mergulho então f(N) é uma subvariedade de M; além do mais, a estrutura diferenciável em f(N) que torna f : N → f(N) um difeomorfismo coincide com a estrutura diferenciável induzida por M. Demonstramos abaixo um resultado similar para imersões e subvariedades imersas.

Lema. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : N → M uma imersão injetora de classe C^{k}. Então existe um único atlas maximal A de classe C^{k} em f(N) tal que (f(N), A) é uma variedade diferenciável de classe C^{k} e tal que f : N → (f(N), A) é um difeomorfismo de classe C^{k}. Além do mais, o par (f(N), A) é uma subvariedade imersa de M de classe C^{k} e para todo x ∈ N o espaço tangente T_{f(x)}f(N) coincide com a imagem de df(x).

Demonstração. Como a aplicação f : N → f(N) é bijetora, a existência e a unicidade de A seguem do último Corolário da aula número 4. Vamos mostrar agora que (f(N), A) é de fato uma subvariedade imersa de M de classe C^{k}. Temos o seguinte diagrama comutativo:

\xymatrix{ & M \\ N \ar[ur]^{f} \ar[rr]_{f_{0}}^{≅} &  & f(N) \ar[ul]_{i}}

onde i : f(N) → M denota a inclusão e f_{0} : N → f(N) é a aplicação que difere de f apenas pelo contra-domínio. Como f_{0} é um difeomorfismo de classe C^{k} e f : N → M é uma imersão de classe C^{k}, segue que i também é uma imersão de classe C^{k} e portanto (f(N), A) é uma subvariedade imersa de M de classe C^{k}. Para todo x ∈ N, temos que df_{0}(x) é um isomorfismo e portanto sua imagem é igual a T_{f(x)}f(N); como:

df(x) = di(f(x)) ∘ df_{0}(x)

e di(f(x)) é a aplicação inclusão de T_{f(x)}f(N) em T_{f(x)}M, segue que T_{f(x)}f(N) é igual à imagem de df(x).

Teorema. (restrição de domínio) Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), P ⊂ M uma subvariedade imersa de classe C^{k} e f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Então f|_{P} : P → N é de classe C^{k} e para todo x ∈ P temos d(f|_{P})(x) = df(x)|_{T_{x}P}.

Demonstração. Se f é de classe C^{k} então f|_{P} = f ∘ i é de classe C^{k}, pois a inclusão i : P → M é de classe C^{k}. Além do mais, d(f|_{P})(x) = df(x) ∘ di(x) = df(x)|_{T_{x}P}, pois di(x) é a aplicação inclusão de T_{x}P em T_{x}M.

Teorema. (mudança de contra-domínio para subvariedades imersas) Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), P ⊂ N uma subvariedade imersa de classe C^{k} e f : M → N uma aplicação com f(M) ⊂ P. Seja f_{0} : M → P a aplicação que difere de f apenas pelo contra-domínio. Temos que:

(a) se f_{0} é de classe C^{k} então f é de classe C^{k};

(b) se f é de classe C^{k} e f_{0} é contínua então f_{0} é de classe C^{k}.

Além do mais, se f e f_{0} são de classe C^{k} então suas diferenciais df(x) : T_{x}M → T_{f(x)}N e df_{0}(x) : T_{x}M → T_{f(x)}P diferem apenas pelo contra-domínio.

Demonstração. O item (a) segue da igualdade f = i ∘ f_{0} e do fato que a inclusão i : P → N é de classe C^{k}. O item (b) segue também da igualdade f = i ∘ f_{0}, do fato que i é uma imersão de classe C^{k} e do princípio de mudança de contra-domínio provado na seção 2 da aula número 9. Finalmente, a relação entre df(x) e df_{0}(x) segue da igualdade df(x) = di(f(x)) ∘ df_{0}(x) e do fato que di(f(x)) é igual à aplicação inclusão de T_{f(x)}P em T_{f(x)}N.

Veremos adiante nesta seção exemplos que mostram que um subconjunto N ⊂ M pode admitir mais de uma estrutura diferenciável que o torne uma subvariedade imersa de M. No entanto, duas estruturas diferenciáveis diferentes em N que tornam N uma subvariedade imersa de M necessariamente induzem topologias diferentes em N, como se vê no seguinte:

Corolário. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e sejam A_{1}, A_{2} atlas maximais de classe C^{k} num subconjunto N ⊂ M de modo que (N, A_{1}) e (N, A_{2}) são subvariedades imersas de classe C^{k} de M. Se A_{1} e A_{2} induzem a mesma topologia em N então A_{1} = A_{2}.

Demonstração. Temos um diagrama comutativo:

\xymatrix{ & M \\ (N, A_{1}) \ar[ur]^{i_{1}} \ar[rr]_{Id} &  & (N, A_{2}) \ar[ul]_{i_{2}}}

onde i_{1}, i_{2} denotam aplicações inclusão. O fato que A_{1} e A_{2} induzem a mesma topologia em N significa que Id é um homeomorfismo. Como i_{1} é de classe C^{k} e Id é contínua, segue do Teorema anterior que Id é de classe C^{k}. Similarmente, como i_{2} é de classe C^{k} e Id^{−1} é contínua, segue que Id^{−1} é de classe C^{k}. Logo Id é um difeomorfismo de classe C^{k} e A_{1} = A_{2}.

Vamos mostrar agora que uma subvariedade N ⊂ M não pode admitir uma estrutura diferenciável A diferente da estrutura diferenciável induzida por M e que torne (N, A) uma subvariedade imersa de M. Antes de mais nada, precisamos de um lema preparatório cuja demonstração usa o Teorema de Baire. Para comodidade do leitor, recordamos na seção seguinte a noção de conjunto magro e a demonstração do Teorema de Baire para espaços topológicos localmente compactos Hausdorff.

Lema. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma imersão de classe C^{1}. Se dim(M) < dim(N) então a imagem de f possui interior vazio em N. Em particular, se N ≠ ∅, f não é sobrejetora.

Demonstração. Para todo x ∈ M podemos escolher uma vizinhança aberta U_{x} de x em M tal que f|_{U_{x}} é um mergulho (veja seção 1 da aula número 9). Como M é localmente compacta (veja Exercício 8), podemos encontrar para cada x ∈ M um aberto V_{x} e um compacto K_{x} com x ∈ V_{x} ⊂ K_{x} ⊂ U_{x}; da cobertura aberta M = ⋃_{x∈M} V_{x} podemos extrair uma subcobertura enumerável M = ⋃_{n=1}^{+∞} V_{x_{n}}, pois M satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade (veja Exercício 7). Como f|_{U_{x}} é um mergulho de classe C^{1}, segue que f(U_{x}) é uma subvariedade de classe C^{1} de N com:

dim(f(U_{x})) = dim(U_{x}) = dim(M) < dim(N);

pelo resultado do Exercício 1, f(U_{x}) possui interior vazio em N. Daí f(K_{x}) é um fechado com interior vazio em N e portanto f(M) = ⋃_{n=1}^{+∞} f(K_{x_{n}}) é um conjunto magro. A conclusão segue do fato que N é um espaço de Baire (veja último Corolário da seção seguinte). Observaç~ ao: na verdade temos o seguinte resultado mais forte do que o resultado do Lema acima: se M, N são variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) com dim(M) < dim(N) e se f : M → N é uma aplicação arbitrária de classe C^{1} então f(M) tem interior vazio em N. Isso é demonstrado usando a noção de conjunto de medida nula em variedades.

Teorema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k}. Se A é um atlas maximal de classe C^{k} em N tal que (N, A) é uma subvariedade imersa de classe C^{k} de M então A necessariamente coincide com a estrutura diferenciável induzida por M em N. Em particular, a inclusão de (N, A) em M é um mergulho.

Demonstração. Seja A′ a estrutura diferenciável induzida por M em N. Temos um diagrama comutativo:

\xymatrix{ & M \\ (N, A) \ar@{-->}[ur]^{i} \ar[rr]_{Id} &  & (N, A′) \ar[ul]_{i′}}

onde i, i′ denotam aplicações inclusão. Como i′ é um mergulho de classe C^{k} e i é uma aplicação de classe C^{k}, segue que Id também é uma aplicação de classe C^{k}. Além do mais, como i é uma imersão, segue que Id também é uma imersão (veja Exercício 8 da aula número 10). Em particular, a dimensão de (N, A) é menor ou igual à dimensão de (N, A′). Como Id é sobrejetora, segue do Lema anterior que (N, A) e (N, A′) possuem necessariamente a mesma dimensão. Daí para todo x ∈ N a aplicação linear d(Id)(x) é uma injeção entre espaços vetoriais de mesma dimensão e portanto é um isomorfismo. Como Id é uma bijeção, o Teorema da Função Inversa nos diz que Id é um difeomorfismo de classe C^{k} e portanto A = A′.

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e f : M → N uma imersão injetora de classe C^{k}. Se f não é um mergulho então f(M) não é uma subvariedade de N de classe C^{k}.

Demonstração. Seja A a estrutura diferenciável de classe C^{k} em f(M) que torna a aplicação f : M → f(M) um difeomorfismo de classe C^{k}. Daí (f(M), A) é uma subvariedade imersa de N. Suponha por absurdo que f(M) seja uma subvariedade de N de classe C^{k}. Pelo Teorema anterior, A coincide com a estrutura diferenciável induzida por N em f(M) e portanto a inclusão de (f(M), A) em N é um mergulho. Como f : M → (f(M), A) é um difeomorfismo, segue que f é um mergulho, contradizendo nossas hipóteses.

Note que no Corolário acima podemos concluir que f(M) não é sequer uma subvariedade de classe C^{1} de N, pois o resultado pode ser aplicado também para k = 1.

Observaç~ ao: no Lema acima (e portanto no Teorema e Corolário que o seguem) usase de maneira essencial o fato que a topologia das variedades diferenciáveis satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Vamos, por um momento, descartar a exigência de que variedades satisfaçam o segundo axioma da enumerabilidade. Daí é possível ter uma variedade diferenciável M, uma subvariedade N ⊂ M de dimensão p e uma estrutura diferenciável A em N tal que a inclusão (N, A) → M é uma imersão mas A é diferente da estrutura diferenciável induzida por M em N (isso só pode acontecer, no entanto, se dim(N, A) < p). Para ver isso, note em primeiro lugar que, sem a exigência de que o segundo axioma da enumerabilidade seja satisfeito, qualquer conjunto X pode ser munido de uma estrutura diferenciável de classe C^{∞} de modo que X torne-se uma variedade diferenciável de dimensão zero (a topologia induzida por essa estrutura diferenciável é discreta e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade se e somente se X é enumerável). Qualquer aplicação definida numa variedade de dimensão zero é uma imersão de classe C^{∞} e portanto todo subconjunto de uma variedade diferenciável (em particular, subvariedades) pode ser visto como uma subvariedade imersa de dimensão zero e de classe C^{∞}. Considere também o seguinte exemplo: denote por IR a reta real munida de sua estrutura diferenciável usual de classe C^{∞} e por IR_{0} a reta real munida da estrutura diferenciável de classe C^{∞} tal que dim(IR_{0}) = 0. Considere a variedade produto IR × IR_{0}. Note que dim(IR × IR_{0}) = 1. Para todo t ∈ IR temos que a aplicação φ_{t} : IR × {t} → IR definida por φ_{t}(x, t) = x é uma carta e é fácil ver que a aplicação identidade Id : IR × IR_{0} → IR^{2} (onde IR^{2} é munida da sua estrutura diferenciável usual) é uma imersão de classe C^{∞} (mas não um mergulho). Daí IR^{2} é (trivialmente) uma subvariedade de IR^{2}, mas admite também uma estrutura diferenciável que o torna uma subvariedade imersa (mas não mergulhada) de IR^{2}.

Note, no entanto, que IR × IR_{0} não satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade, já que (IR × {t})_{t∈IR} é uma família não enumerável de abertos não vazios dois a dois disjuntos em IR × IR_{0}.

Se N ⊂ M é uma subvariedade imersa, pode não ser verdade que o espaço tangente T_{x}N coincide com o conjunto dos vetores tangentes às curvas de classe C^{k} em M que passam por x e tem imagem contida em N (exemplos serão vistos adiante nesta seção). Temos, no entanto, o seguinte:

Lema. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), N ⊂ M uma subvariedade imersa de classe C^{k} e x ∈ N um ponto. Denote por C o conjunto das curvas γ : I → M de classe C^{k} tais que γ(0) = x e γ(I) ⊂ N, onde I ⊂ IR é um intervalo aberto contendo a origem. Então:

T_{x}N ⊂ {γ′(0) : γ ∈ C}.

Demonstração. Seja dado v ∈ T_{x}N. Pelo resultado do Exercício 5 da aula número 10, existe uma curva γ_{0} : I → N de classe C^{k} com γ_{0}(0) = x e γ′_{0}(0) = v. Seja γ : I → M a aplicação que difere de γ_{0} apenas pelo contra-domínio. Daí γ é de classe C^{k} e portanto γ ∈ C. Além do mais, γ′(0) = γ′_{0}(0) = v.

Exemplo: considere a aplicação f : ]−1, +∞[ → IR^{2} definida por f(t) = (t^{3} − t, t^{2}) (recorde Exemplo da seção 1 da aula número 9). Então f é uma imersão injetora de classe C^{∞}, mas não é um mergulho. Logo a imagem de f, munida da única estrutura diferenciável que torna f : ]−1, +∞[ → f(]−1, +∞[ ) um difeomorfismo de classe C^{∞}, é uma subvariedade imersa do plano IR^{2} de classe C^{∞}. Como f não é um mergulho, sua imagem não é uma subvariedade do plano (nem mesmo uma subvariedade de classe C^{1}).

Exemplo: considere a aplicação ϕ : IR → IR^{2} definida por ϕ(t) = (sen t, sen 2t). Então ϕ é uma imersão de classe C^{∞}, as aplicações f_{1} = ϕ|_{]−π,π[} e f_{2} = ϕ|_{]0,2π[} são imersões injetoras de classe C^{∞} e Im(ϕ) = Im(f_{1}) = Im(f_{2}) (note que ϕ é periódica com período 2π). Daí o subconjunto N = Im(ϕ) do plano admite uma única estrutura diferenciável A_{1} de classe C^{∞} tal que f_{1} : ]−π, π[ → N é um difeomorfismo de classe C^{∞}; N também admite uma única estrutura diferenciável A_{2} de classe C^{∞} tal que f_{2} : ]0, 2π[ → N é um difeomorfismo de classe C^{∞}. Tanto (N, A_{1}) como (N, A_{2}) são subvariedades imersas de classe C^{∞} de IR^{2}. Afirmamos que A_{1} ≠ A_{2}. Para mostrar essa afirmação, verificaremos que A_{1} e A_{2} não induzem a mesma topologia em N. Temos um diagrama comutativo:

\xymatrix{ & N \\ ]−π, π[ \ar[ur]^{f_{1}} \ar[rr]_{α} &  & ]0, 2π[ \ar[ul]_{f_{2}}}

onde α : ]−π, π[ → ]0, 2π[ é definida por:

α(t) = \{ \begin{matrix}t + 2π, & −π < t < 0, \\ π, & t = 0, \\ t, & 0 < t < π. \end{matrix}

Se A_{1} e A_{2} induzissem a mesma topologia em N então f_{1} e f_{2} seriam ambos homeomorfismos com respeito à mesma topologia em N; daí α seria também um homeomorfismo, mas α não é sequer contínua.

Observamos que as aplicações f_{1}^{−1} : N → ]−π, π[ e f_{2}^{−1} : N → ]0, 2π[ são descontínuas na origem. De fato, temos f_{1}(π − \frac{1}{n}) → 0, mas π − \frac{1}{n} → π ≠ f_{1}^{−1}(0) = 0; similarmente, f_{2}(\frac{1}{n}) → 0, mas \frac{1}{n} → 0 ≠ f_{2}^{−1}(0) = π. Logo f_{1} e f_{2} não são mergulhos e portanto N não é uma subvariedade do plano (nem mesmo uma subvariedade de classe C^{1}).

Neste exemplo podemos observar diversos fenômenos interessantes que não podem ocorrer para subvariedades mergulhadas. Note que a aplicação f_{1} : ]−π, π[ → IR^{2} é de classe C^{∞} e tem sua imagem contida na subvariedade imersa (N, A_{2}) de IR^{2}, mas a aplicação f_{1} não é sequer contínua se considerarmos seu contra-domínio em (N, A_{2}); de fato, a continuidade de f_{1} : ]−π, π[ → (N, A_{2}) implicaria na continuidade de α, já que f_{2} : ]0, 2π[ → (N, A_{2}) é um difeomorfismo. Note também que as subvariedades imersas (N, A_{1}) e (N, A_{2}) não possuem o mesmo espaço tangente na origem; de fato:

T_{0}(N, A_{1}) = Im(df_{1}(0)) = IR(1, 2) ≠ IR(−1, 2) = Im(df_{2}(π)) = T_{0}(N, A_{2}).

Também, f_{1} é uma curva de classe C^{∞} no plano IR^{2} com imagem contida em N e f_{1}(0) = 0, mas f′_{1}(0) = (1, 2) não pertence ao espaço tangente a (N, A_{2}) na origem. Exemplo: o conjunto ℚ dos números racionais é enumerável e portanto admite uma única estrutura diferenciável de classe C^{∞} que o torna uma variedade diferenciável de dimensão zero (veja Observação na seção 2 da aula número 3). A inclusão de ℚ em IR é trivialmente uma imersão de classe C^{∞} e portanto ℚ é uma subvariedade imersa de IR. Note que a topologia induzida pelo atlas de ℚ é discreta e portanto não coincide com a topologia induzida de IR, i.e., a inclusão de ℚ em IR não é um mergulho. Logo ℚ não é uma subvariedade de IR. Exemplo: Seja N = ]−3, −2[ ∪]−1, 1[ ∪]2, 3[ e considere a aplicação f : N → IR^{2} definida por:

f(t) = \{ \begin{matrix}(0, t + 2), & −3 < t < −2, \\ (t, 0), & −1 < t < 1, \\ (0, t − 2), & 2 < t < 3. \end{matrix}

Então f é uma imersão de classe C^{∞} e sua imagem f(N) é a união do segmento aberto de extremidades (−1, 0), (1, 0) com o segmento aberto de extremidades (0, −1), (0, 1). Daí f não é um homeomorfismo sobre f(N), já que N é desconexa e f(N) é conexa. Temos que f(N), munida da única estrutura diferenciável que torna f : N → f(N) um difeomorfismo de classe C^{∞}, é uma subvariedade imersa de classe C^{∞} do plano IR^{2}; mas f(N) não é uma subvariedade de IR^{2}. Note também que f(N) possui três componentes conexas na sua própria topologia (induzida pelo seu atlas), mas é conexa (e até conexa por caminhos) na topologia induzida de IR^{2}. Exemplo: denote por N o cone:

N = {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} = z^{2}, z ≥ 0} ⊂ IR^{3}.

Afirmamos que, para nenhum k ≥ 1, existe uma estrutura diferenciável em N que torna N uma subvariedade imersa de IR^{3} de classe C^{k}. Suponha por absurdo que N admite uma estrutura diferenciável A que torna N uma subvariedade imersa de IR^{3} de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Em primeiro lugar, afirmamos que (N, A) possui dimensão 2. De fato, seja lá qual for a topologia induzida por A em N, sabemos que o ponto 0 ∈ N é fechado e portanto N′ = N \ {0} é um aberto de N. Temos que N′ é uma subvariedade de dimensão 2 e de classe C^{k} de IR^{3}, pois N′ é o gráfico da função IR^{2} \ \{0\} ∋ (x, y) ↦ \sqrt{x^{2} + y^{2}} ∈ IR, que é de classe C^{∞}. A estrutura diferenciável A′ induzida por (N, A) no aberto N′ faz de (N′, A′) uma subvariedade imersa de classe C^{k} de IR^{3}. Logo A′ coincide com a estrutura diferenciável induzida por IR^{3} em N′ e portanto dim(N, A) = dim(N′, A′) = 2.

Vamos agora obter uma contradição mostrando que T_{0}N = {0} (sendo que T_{0}N deveria ser um subespaço bidimensional de IR^{3}). Seja γ : I → IR^{3} uma curva de classe C^{1} com γ(I) ⊂ N, γ(0) = 0, onde I ⊂ IR é um intervalo aberto contendo a origem. Se γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) então z(t) = \sqrt{x(t)^{2} + y(t)^{2}} e portanto:

z′(0) = lim_{t→0} \frac{z(t) − z(0)}{t} = lim_{t→0} \frac{z(t)}{t} = lim_{t→0} \frac{t}{|t|} \sqrt{[\frac{x(t)}{t}]^{2} + [\frac{y(t)}{t}]^{2}} ;

daí:

\sqrt{x′(0)^{2} + y′(0)^{2}} = lim_{t→0^{+}} \frac{z(t)}{t} = z′(0) = lim_{t→0^{−}} \frac{z(t)}{t} = −\sqrt{x′(0)^{2} + y′(0)^{2}},

o que implica que x′(0) = y′(0) = z′(0) = 0, i.e., γ′(0) = 0. Pelo Lema anterior, temos que T_{0}N = {0}.

Mostramos agora que subvariedades imersas de codimensão zero (i.e., com dimensão igual à dimensão do ambiente) são necessariamente subconjuntos abertos.

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja (N, A) uma subvariedade imersa de classe C^{k} de M com dim(N, A) = dim(M). Então N é um aberto de M e A coincide com a estrutura diferenciável induzida por M em N.

Demonstração. A aplicação inclusão i : N → M é uma imersão de classe C^{k} e portanto di(x) : T_{x}N → T_{x}M é injetora para todo x ∈ N; como dim(T_{x}N) = dim(T_{x}M), segue que di(x) é um isomorfismo. Pelo Teorema da Função Inversa, i(N) = N é um aberto de M e i é um difeomorfismo de classe C^{k} sobre sua imagem, i.e., a aplicação identidade Id : (N, A) → (N, A′) é um difeomorfismo de classe C^{k}, onde A′ denota a estrutura diferenciável induzida por M no aberto N. Logo A = A′. Exemplo. seja S um subconjunto não enumerável e não aberto da reta real IR. Então, para nenhum k ≥ 1, existe uma estrutura diferenciável em S que torna S uma subvariedade imersa de IR de classe C^{k}. De fato, se fosse dim(S) = 0, teríamos que S seria enumerável e se fosse dim(S) = 1 teríamos que S seria aberto em IR, pelo lema anterior.

(2) Recordação de topologia: espaços de Baire. Nesta seção fazemos uma rápida recordação do teorema de Baire que foi usado na

demonstração de um Lema na seção 1.

Definição. Seja X um espaço topológico. Um subconjunto de X é dito magro em X se ele estiver contido numa união enumerável de subconjuntos fechados de X que possuem interior vazio em X. Dizemos que X é um espaço de Baire se todo subconjunto magro em X possui interior vazio em X.

Lema. Um espaço topológico X é um espaço de Baire se e somente se a interseção enumerável de abertos densos em X é um subconjunto denso de X.

Demonstração. Obviamente X é um espaço de Baire se e somente se a união enumerável de fechados com interior vazio em X é um conjunto com interior vazio em X. A conclusão segue observando que ( ⋂_{n=1}^{+∞} A_{n})^{c} = ⋃_{n=1}^{+∞} A_{n}^{c} e que A_{n} é um aberto denso em X se e somente se A_{n}^{c} é um fechado com interior vazio em X.

Definição. Um espaço topológico X é dito localmente compacto se todo ponto de X possui um sistema fundamental de vizinhanças compactas. Mais explicitamente, X é localmente compacto, se para todo x ∈ X e para todo aberto U ⊂ X contendo x existe um compacto K ⊂ X com x ∈ int(K) ⊂ K ⊂ U, onde int(K) denota o interior de K.

Na verdade, se X é Hausdorff então para que X seja localmente compacto é suficiente que todo ponto de X tenha ao menos uma vizinhança compacta (veja Exercício 4).

Teorema. (Baire) Todo espaço topológico localmente compacto e Hausdorff é um espaço de Baire.

Demonstração. Seja X um espaço topológico localmente compacto e Hausdorff. Seja (A_{n})_{n≥1} uma seqüência de abertos densos em X. Vamos mostrar que ⋂_{n=1}^{+∞} A_{n} é denso em X. Para isso, seja U um aberto não vazio em X e vamos mostrar que U ∩ ⋂_{n=1}^{+∞} A_{n} é não vazio. Nossa estratégia será construir uma seqüência decrescente de compactos não vazios K_{1} ⊃ K_{2} ⊃ K_{3} ⊃ ⋯ de modo que K_{1} ⊂ U e K_{n} ⊂ A_{n} para todo n. Uma vez que tal seqüência for construída, teremos que a interseção ⋂_{n=1}^{+∞} K_{n} será um subconjunto não vazio de U ∩ ⋂_{n=1}^{+∞} A_{n} (veja Exercício 6) e a demonstração ficará completa. Construiremos a seqüência (K_{n})_{n≥1} indutivamente.

Em primeiro lugar note que, como X é localmente compacto, todo aberto não vazio de X contém um subconjunto compacto com interior não vazio. Agora, como A_{1} é denso, segue que U ∩ A_{1} é um aberto não vazio e portanto existe um compacto K_{1} ⊂ U ∩ A_{1} com int(K_{1}) ≠ ∅. Suponha que foram construídos compactos K_{1} ⊃ K_{2} ⊃ ⋯ ⊃ K_{n}, com K_{i} ⊂ A_{i} e int(K_{i}) ≠ ∅, i = 1, …, n. Como A_{n+1} é denso, temos que int(K_{n}) ∩ A_{n+1} é um aberto não vazio e portanto existe um compacto K_{n+1} ⊂ int(K_{n}) ∩ A_{n+1} tal que int(K_{n+1}) ≠ ∅. Isso completa a demonstração da existência da seqüência de compactos desejada e a demonstração do Teorema.

Corolário. Toda variedade diferenciável é um espaço de Baire.

Demonstração. De fato, toda variedade diferenciável é localmente compacta e Hausdorff (veja Exercício 8).

Subvariedades.

1. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k} com dim(N) < dim(M). Mostre que N tem interior vazio em M.

[dica: se Z fosse um aberto não vazio de M contido em N então Z seria uma subvariedade de N com dim(Z) = dim(M) > dim(N)].

Topologia.

Definição. Seja X um espaço topológico. Dizemos que dois abertos U, V ⊂ X separam dois subconjuntos A, B ⊂ X se A ⊂ U, B ⊂ V e U ∩ V = ∅. Quando existem abertos U, V ⊂ X que separam A e B dizemos que A e B podem ser separados por abertos. Recorde que o espaço topológico X é dito Hausdorff (ou T2) se para quaisquer pontos distintos x, y ∈ X os conjuntos unitários {x} e {y} podem ser separados por abertos. Dizemos que o espaço topológico X é regular se dados um ponto x ∈ X e um fechado F ⊂ X com x ∉ F então os conjuntos {x} e F podem ser separados por abertos. Dizemos que X é normal se quaisquer fechados disjuntos em X podem ser separados por abertos. Dizemos que X é T3 (resp., T4) se os pontos de X são conjuntos fechados (i.e., se X é T1) e se X é regular (resp., normal).

2. Mostre que um espaço topológico X é regular se e somente se todo ponto de X possui um sistema fundamental de vizinhanças fechadas, i.e., se e somente se para todo x ∈ X e para todo aberto U ⊂ X contendo x existe um fechado contido em U que contém x em seu interior.

[dica: se X é regular e se U é um aberto que contém x então os conjuntos {x} e U^{c} podem ser separados por abertos. Reciprocamente, se todo ponto de X possui um sistema fundamental de vizinhanças fechadas então dados um ponto x ∈ X e um fechado F ⊂ X com x ∉ F temos que a vizinhança aberta F^{c} de x contém uma vizinhança fechada de x].

3. Seja X um espaço topológico Hausdorff. Mostre que:

(a) dados um ponto x ∈ X e um compacto K ⊂ X com x ∉ K então {x} e K podem ser separados por abertos;

[dica: para todo y ∈ K existem abertos disjuntos U_{y}, V_{y} com x ∈ U_{y} e y ∈ V_{y}. A cobertura aberta K ⊂ ⋃_{y∈K} V_{y} possui uma subcobertura finita K ⊂ ⋃_{i=1}^{n} V_{y_{i}}. Mostre que os abertos ⋂_{i=1}^{n} U_{y_{i}} e ⋃_{i=1}^{n} V_{y_{i}} separam {x} e K].

(b) todo subconjunto compacto de X é fechado;

[dica: use o resultado do item (a)].

(c) dois compactos disjuntos em X podem ser separados por abertos;

[dica: sejam K, L ⊂ X compactos disjuntos. Pelo resultado do item (a), para todo y ∈ L existem abertos disjuntos U_{y}, V_{y} com K ⊂ U_{y} e y ∈ V_{y}. A cobertura aberta L ⊂ ⋃_{y∈L} V_{y} possui uma subcobertura finita L ⊂ ⋃_{i=1}^{n} V_{y_{i}}. Mostre que os abertos ⋂_{i=1}^{n} U_{y_{i}} e ⋃_{i=1}^{n} V_{y_{i}} separam K e L].

(d) todo espaço topológico compacto Hasdorff é normal (e portanto T4, T3 e regular).

[dica: use o resultado do item (c)].

4. Seja X um espaço topológico Hausdorff. Suponha que todo ponto de x possui uma vizinhança compacta (i.e., todo ponto de X pertence ao interior de um subconjunto compacto de X). Mostre que:

(a) X é regular (e portanto T3);

[dica: sejam dados um ponto x ∈ X e um fechado F ⊂ X com x ∉ F. Seja K uma vizinhança compacta de x. Pelo resultado do item (a) do Exercício 3, existem abertos U, V ⊂ X que separam o ponto {x} do compacto F ∩ K. Mostre que int(K) ∩ U e V ∪ K^{c} são abertos que separam {x} de F, onde int(K) denota o interior de K].

(b) X é localmente compacto.

[dica: pelo resultado do Exercício 2 e do item anterior, todo ponto de X possui um sistema fundamental de vizinhanças fechadas. Seja U uma vizinhança aberta de um ponto x ∈ X. Daí x possui uma vizinhança fechada F contida em U e uma vizinhança compacta K. Observe que K ∩ F é uma vizinhança compacta de x contida em U].

5. Seja X um espaço topológico compacto e seja (F_{i})_{i∈I} uma família de subconjuntos fechados de X. Suponha que (F_{i})_{i∈I} possui a propriedade da interseção finita, i.e., para todo subconjunto finito J ⊂ I a interseção ⋂_{i∈J} F_{i} é não vazia. Mostre que a interseção ⋂_{i∈I} F_{i} é não vazia.

[dica: se fosse ⋂_{i∈I} F_{i} = ∅ então X = ⋃_{i∈I} F_{i}^{c} seria uma cobertura aberta de X e essa cobertura admitiria uma subcobertura finita].

6. Seja X um espaço topológico Hausdorff. Se K_{1} ⊃ K_{2} ⊃ K_{3} ⊃ ⋯ é uma seqüência decrescente de compactos não vazios, mostre que a interseção ⋂_{n=1}^{+∞} K_{n} é não vazia.

[dica: use o resultado do Exercício 5, observando que (K_{n})_{n≥1} é uma família de fechados no espaço topológico compacto K_{1} que possui a propriedade da interseção finita].

7. Um espaço topológico X é dito um espaço de Lindelöf se toda cobertura aberta de X admite uma subcobertura enumerável. Mostre que se X satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade então X é um espaço de Lindelöf.

[dica: seja 𝔅 uma base de abertos enumerável para X e seja X = ⋃_{i∈I} U_{i} uma cobertura aberta de X. Seja 𝔅′ o conjunto dos elementos B ∈ 𝔅 tais que B ⊂ U_{i} para algum i ∈ I; escolha uma função ι : 𝔅′ → I tal que B ⊂ U_{ι(B)}, para todo B ∈ 𝔅′. Daí J = ι(𝔅′) é um subconjunto enumerável de I e X = ⋃_{i∈J} U_{i}].

Topologia de variedades.

8. Seja M um conjunto e A um atlas em M. Se M é munido da topologia induzida por A, mostre que M é localmente compacto.

[dica: IR^{n} é localmente compacto e M é localmente homeomorfo a IR^{n}].

A aula número 12 cobriu parte do material originalmente destinado às aulas número 10 e 11.

Aula número 13 (01/10)

A aula começa com comentários sobre o Teorema de Baire (veja seção 2 da aula número 11) e com a demonstração do lema que diz que se f : M → N é uma imersão de classe C^{1} com dim(M) < dim(N) então f(M) tem interior vazio em N (veja seção 1 da aula número 11).

(1) Variedades quociente. Em certas situações é possível definir de maneira natural uma estrutura de variedade

diferenciável num quociente de uma variedade diferenciável. Mais precisamente, temos a seguinte:

Definição. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja ∼ uma relação de equivalência em M. Denote por M/∼ o conjunto quociente e por q : M → M/∼ a aplicação quociente. Dizemos que A é uma estrutura diferenciável quociente em M/∼ de classe C^{k} se A é uma estrutura diferenciável de classe C^{k} em M/∼ tal que (M/∼, A) é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (i.e., a topologia induzida por A é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade) e tal que q : M → (M/∼, A) é uma submersão de classe C^{k}.

Observamos que se A é uma estrutura diferenciável quociente de classe C^{k} para o conjunto quociente M/∼ então a topologia induzida por A em M/∼ coincide com a topologia quociente, i.e., a topologia co-induzida pela aplicação quociente q (veja Exercício 15 da aula número 9). De fato, isso segue da observação que uma submersão é uma aplicação aberta e do fato que toda aplicação contínua aberta e sobrejetora é uma aplicação quociente no sentido topológico (veja Exercícios 17 e 18 da aula número 9). Observaç~ ao: se f : X → Y é uma aplicação contínua aberta e sobrejetora entre espaços topológicos X, Y e se X satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade então também Y satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade (veja Exercício 1). Daí, se A é uma estrutura diferenciável em M/∼ que torna a aplicação quociente uma submersão, segue automaticamente que a topologia induzida por A em M/∼ satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade (na verdade, estamos cometendo aqui um pequeno abuso de terminologia, pois não deveríamos usar o termo “submersão” se ainda não sabemos que (M/∼, A) é uma variedade diferenciável, i.e., se ainda não sabemos que a topologia induzida por A satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade; ocorre que, na verdade, o segundo axioma da enumerabilidade não é relevante na definição do conceito de submersão nem na prova de que toda submersão é uma aplicação aberta). No entanto, para verificarmos que (M/∼, A) é uma variedade diferenciável é essencial verificar que a topologia induzida por A é Hausdorff (veja seção 3 da aula número 5).

Diferentemente do caso de espaços topológicos, onde a topologia quociente em X/∼ é sempre bem definida, seja lá qual for o espaço topológico X e a relação de equivalência ∼ em X, não é em geral verdade que um quociente M/∼ de uma variedade diferenciável M admite uma estrutura diferenciável quociente. Veremos logo adiante, no entanto, que M/∼ admite no máximo uma estrutura diferenciável quociente, i.e., a estrutura diferenciável quociente é única, quando existe. Veremos também algumas condições necessárias para a existência de estrutura diferenciável quociente em M/∼ que indicam que “na maioria dos casos” tal estrutura de fato não existe. Na verdade, é difícil exibir condições suficientes gerais para a existência da estrutura diferenciável quociente. Veremos nesta seção alguns exemplos onde tal estrutura existe e apresentaremos na aula seguinte uma condição suficiente para existência da estrutura diferenciável quociente num caso bem específico.

O teorema abaixo exprime a propriedade fundamental da estrutura diferenciável quociente.

Teorema. (definição por passagem ao quociente) Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Seja ∼ uma relação de equivalência em M e denote por q : M → M/∼ a aplicação quociente. Se existe uma aplicação f̄ : M/∼ → N tal que f̄ ∘ q = f e se A é uma estrutura diferenciável quociente de classe C^{k} em M/∼ então f̄: (M/∼, A) → N é de classe C^{k}.

Demonstração. Isso segue do princípio de definição por passagem ao quociente provado na seção 2 da aula número 9 e do fato que q é uma submersão sobrejetora.

Corolário. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja ∼ uma relação de equivalência em M. Denote por M/∼ o conjunto quociente. Então existe no máximo uma estrutura diferenciável quociente de classe C^{k} em M/∼.

Demonstração. Sejam A_{1}, A_{2} estruturas diferenciáveis quocientes de classe C^{k} em M/∼. Temos um diagrama comutativo:

\xymatrix{ & M \ar[dl]_{q_{1}} \ar[dr]^{q_{2}} \\ (M/∼, A_{1}) \ar[rr]_{Id} &  & (M/∼, A_{2})}

onde q_{1}, q_{2} denotam aplicações quociente. Como q_{2} é de classe C^{k}, segue do Teorema anterior que Id é de classe C^{k} e como q_{1} é de classe C^{k}, segue do Teorema anterior que Id^{−1} é de classe C^{k}. Logo Id é um difeomorfismo de classe C^{k} e A_{1} = A_{2}. Exemplo: sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} e seja f : M → N uma submersão de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Denote por ∼ a relação de equivalência em M determinada por f, i.e.:

x ∼ y ⟺ f(x) = f(y).

Afirmamos que M/∼ admite estrutura diferenciável quociente de classe C^{k}. De fato, observamos primeiramente que existe uma única aplicação f̄ : M/∼ → f(M) tal que o diagrama:

\xymatrix{M \ar[dr]^{f} \ar[d]_{q} \\ M/∼ \ar[r]_{f̄} & f(M)}

comuta, onde q denota a aplicação quociente (veja Exercício 3 da aula número 9). Além do mais, é fácil ver que f̄ é uma bijeção. Como f é uma aplicação aberta (veja Exercício 17 da aula número 9), temos que f(M) é um subconjunto aberto de N e em particular f(M) é uma variedade diferenciável de classe C^{k}; logo existe uma única estrutura diferenciável de classe C^{k} em M/∼ que torna M/∼ uma variedade diferenciável de classe C^{k} e que torna f̄ um difeomorfismo de classe C^{k} (veja último Corolário da aula número 4). Daí, como f : M → f(M) é uma submersão de classe C^{k}, segue que também q : M → M/∼ é uma submersão de classe C^{k}. Logo temos uma estrutura diferenciável quociente de classe C^{k} em M/∼. Observe que a variedade M/∼ é difeomorfa ao aberto f(M) de N. Exemplo: considere a aplicação f : IR^{n} \ {0} → IR definida por f(x) = ∥x∥^{2}, onde ∥ · ∥ denota a norma Euclideana em IR^{n}. Temos que f é uma submersão de classe C^{∞} (veja último Exemplo da aula número 10). Seja ∼ a relação de equivalência em IR^{n} \ {0} determinada por f, ou seja:

x ∼ y ⟺ ∥x∥ = ∥y∥.

Segue do Exemplo anterior que o conjunto quociente (IR^{n} \ {0})/∼ admite uma estrutura diferenciável quociente de classe C^{∞} e que (IR^{n} \ {0})/∼ é difeomorfo ao intervalo aberto ]0, +∞[, que é a imagem de f.

A seguir apresentamos uma condição necessária para que um conjunto quociente M/∼ admita uma estrutura diferenciável quociente.

Teorema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja ∼ uma relação de equivalência em M. Denote por M/∼ o conjunto quociente. Se existe uma estrutura diferenciável quociente de classe C^{k} em M/∼ então todas as classes de equivalência correspondentes a ∼ são subvariedades de M e todas elas possuem a mesma dimensão.

Demonstração. Denote por q : M → M/∼ a aplicação quociente. Então, para todo x ∈ M, a classe de equivalência de x é igual a q^{−1}(q(x)). Como q é uma submersão, temos que q(x) é um valor regular de q e portanto q^{−1}(q(x)) é uma subvariedade de M com dimensão igual a dim(M) − dim(M/∼). Exemplo: considere a relação de equivalência em IR^{2} definida por:

(x, y) ∼ (x′, y′) ⟺ |x| + |y| = |x′| + |y′|.

A classe de equivalência de um ponto (x, y) ≠ 0 é um quadrado de centro na origem e diagonais paralelas aos eixos coordenados. Logo as classes de equivalência determinadas por ∼ não são subvariedades de IR^{2} (veja Exercício 6) e portanto o conjunto quociente IR^{2}/∼ não admite estrutura diferenciável quociente (nem mesmo de classe C^{1}). Exemplo: considere a relação de equivalência ∼ em IR^{n} definida por:

x ∼ y ⟺ ∥x∥ = ∥y∥,

onde ∥ · ∥ denota a norma Euclideana em IR^{n}. As classes de equivalência determinadas por ∼ são esferas centradas na origem (difeomorfas a S^{n−1}) e mais a origem. Daí, se x ≠ 0, a classe de equivalência de x é uma subvariedade de dimensão n−1 e a classe de equivalência da origem (que contém apenas a origem) é uma subvariedade de IR^{n} de dimensão zero. Isso mostra que se n ≥ 2, o conjunto quociente IR^{n}/∼ não admite estrutura diferenciável quociente (nem mesmo de classe C^{1}). Também para n = 1 é verdade que IR^{n}/∼ não admite estrutura diferenciável quociente, mas isso não pode ser mostrado estudando a dimensão das classes de equivalência. Uma sugestão para demonstrar esse fato pode ser encontrada no Exerício 7. Exemplo: considere a relação de equivalência ∼ em IR^{n+1} \ {0} definida por:

z ∼ w ⟺ existe λ ∈ IR, λ ≠ 0, tal que w = λz.

O conjunto quociente (IR^{n+1}\{0})/∼ é conhecido como o espaço projetivo real n-dimensio-nal e é denotado por IRP^{n}. Temos uma identificação natural entre IRP^{n} e o Grassmanniano G_{1}(n + 1) de subespaços unidimensionais de IR^{n+1}; a saber, se z ∈ IR^{n+1}, z ≠ 0, então a classe de equivalência de z é dada por:

[z] = {λz : λ ∈ IR, λ ≠ 0},

e nós identificamos [z] com o subespaço {λz : λ ∈ IR} de IR^{n+1}, que é um elemento de G_{1}(n + 1). Na seção 1 da aula número 5 construímos uma estrutura diferenciável de classe C^{∞} no Grassmanniano G_{1}(n + 1) que o torna uma variedade diferenciável de classe C^{∞} e de dimensão n. Temos então também uma estrutura diferenciável de classe C^{∞} no espaço projetivo IRP^{n} que o torna uma variedade diferenciável de classe C^{∞} e de dimensão n. Nosso objetivo agora é demonstrar que a estrutura diferenciável de IRP^{n} = (IR^{n+1}\{0})/∼ é uma estrutura diferenciável quociente de classe C^{∞}. Para isso, devemos mostrar que a aplicação quociente q : (IR^{n+1} \ {0}) → IRP^{n} é uma submersão de classe C^{∞}.

Antes de mais nada, vamos descrever um atlas conveniente para IRP^{n}. O leitor deve recordar a definição da estrutura diferenciável do Grassmanniano explicada na seção 1 da aula número 5. Denote por (e_{i})_{i=1}^{n+1} a base canônica de IR^{n+1} e, fixado i = 1, …, n + 1, considere a decomposição em soma direta:

IR^{n+1} = W_{0}^{i} ⊕ W_{1}^{i},

onde W_{0}^{i} é o subespaço gerado pelo vetor e_{i} e W_{1}^{i} é o subespaço gerado pelos vetores e_{j}, j = 1, …, n + 1, j ≠ i. Vamos identificar o espaço Lin(W_{0}^{i}, W_{1}^{i}) com IR^{n} através do isomorfismo:

IR^{n} ∋ x = (x_{1}, …, x_{n}) ⟼ T_{x} ∈ Lin(W_{0}^{i}, W_{1}^{i}),

onde T_{x} : W_{0}^{i} → W_{1}^{i} é o operador linear tal que T_{x}(e_{i}) = (x_{1}, …, x_{i−1}, 0, x_{i}, …, x_{n}). Note que o gráfico de T_{x} é o subespaço de IR^{n+1} gerado pelo vetor (x_{1}, …, x_{i−1}, 1, x_{i}, …, x_{n}).

O domínio G_{1}(n + 1; W_{1}^{i}) da carta φ_{W_{0}^{i},W_{1}^{i}} associada à decomposição em soma direta W_{0}^{i} ⊕ W_{1}^{i} consiste dos subespaços unidimensionais de IR^{n+1} que tem interseção nula com o hiperplano W_{1}^{i}; temos então que G_{1}(n + 1; W_{1}^{i}) identifica-se com o subconjunto A_{i} do espaço projetivo IRP^{n} definido por:

A_{i} = {[z] : z = (z_{1}, …, z_{n+1}) ∈ IR^{n+1}, z_{i} ≠ 0}.

Temos também que a carta φ_{W_{0}^{i},W_{1}^{i}} = φ_{i} : A_{i} → IR^{n} é dada por:

φ_{i}([z]) = (\frac{z_{1}}{z_{i}} , …, \frac{z_{i−1}}{z_{i}} , \frac{z_{i+1}}{z_{i}} , …, \frac{z_{n+1}}{z_{i}} ),

pois se x = φ_{i}([z]) então o gráfico de T_{x} coincide com o subespaço de IR^{n+1} gerado por z.

Obviamente IRP^{n} = ⋃_{i=1}^{n+1} A_{i} e portanto as cartas φ_{i} : A_{i} → IR^{n} descritas acima constituem um atlas para o espaço projetivo. Fazendo uso desse atlas, é fácil verificar agora que a aplicação quociente q : (IR^{n+1} \ {0}) → IRP^{n} é uma submersão de classe C^{∞}. De fato, seja A′_{i} = q^{−1}(A_{i}) ⊂ IR^{n+1}; temos:

A′_{i} = {z ∈ IR^{n+1} : z = (z_{1}, …, z_{n+1}), z_{i} ≠ 0},

e IR^{n+1} \ {0} = ⋃_{i=1}^{n+1} A′_{i}. Basta então mostrar que q|_{A′_{i}} é uma submersão de classe C^{∞} para todo i = 1, …, n + 1. Como q(A′_{i}) = A_{i} e φ_{i} : A_{i} → IR^{n} é um difeomorfismo de classe C^{∞}, devemos verificar que a aplicação ρ_{i} = φ_{i} ∘ q|_{A′_{i}} é uma submersão de classe C^{∞}, para todo i = 1, …, n + 1. A aplicação ρ_{i} é dada por:

A′_{i} ∋ z = (z_{1}, …, z_{n+1}) ⟼ ρ_{i}(z) = (\frac{z_{1}}{z_{i}} , …, \frac{z_{i−1}}{z_{i}} , \frac{z_{i+1}}{z_{i}} , …, \frac{z_{n+1}}{z_{i}} ) ∈ IR^{n}.

Obviamente ρ_{i} é de classe C^{∞}. Dado z ∈ A′_{i}, para verificar que ρ_{i} é uma submersão no ponto z basta notar que os vetores dρ_{i}(z) · e_{j} = \frac{∂ρ_{i}}{∂z_{j}} (z), j = 1, …, n + 1 geram IR^{n}; de

fato, os vetores z_{i} \frac{∂ρ_{i}}{∂z_{j}} (z), j = 1, …, n + 1, j ≠ i, constituem a base canônica de IR^{n}.

Topologia.

1. Sejam X, Y espaços topológicos e seja f : X → Y uma aplicação contínua, aberta e sobrejetora. Mostre que:

(a) se 𝔅 é uma base de abertos para X então {f(B) : B ∈ 𝔅} é uma base de abertos para Y;

(b) se X satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade então Y também satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade.

2. Sejam X, Y espaços topológicos e f : X → Y uma aplicação quociente (i.e., a topologia de Y é co-induzida por f; veja Exercício 15 da aula número 9). Seja ∼ a relação de equivalência em X determinada por f, i.e., x_{1} ∼ x_{2} ⇔ f(x_{1}) = f(x_{2}). Considere o conjunto quociente X/∼ munido da topologia quociente (i.e., a topologia co-induzida pela aplicação quociente q : X → X/∼). Mostre que se f é sobrejetora então X/∼ é homeomorfo a Y.

[dica: existe uma única aplicação f̄: X/∼ → Y tal que o diagrama:

\xymatrix{ & X \ar[dl]_{q} \ar[dr]^{f} \\ X/∼ \ar[rr]_{f̄} &  & Y}

comuta; essa aplicação é bijetora e a continuidade de f̄ e de f̄^{−1} segue do resultado do Exercício 15 da aula número 9].

3. Seja n ≥ 1 e considere a aplicação f : IR^{n} → [0, +∞[ definida por f(x) = ∥x∥, onde ∥ · ∥ denota a norma Euclideana. Mostre que a topologia usual de [0, +∞[ é co-induzida por f da topologia usual de IR^{n} (i.e., f é uma aplicação quociente, no sentido topológico).

[dica: como f é contínua e sobrejetora, é suficiente mostrar que f é aberta, pelo resultado do item (a) do Exercício 16 da aula número 9; note também que a restrição de f a IR^{n} \{0} é uma aplicação aberta, pois é uma submersão de classe C^{∞}].

4. Mostre que o intervalo [0, +∞[ não é uma variedade topológica (veja última observação da seção 2 da aula número 3). Em particular, para nenhum k existe um atlas de classe C^{k} em [0, +∞[ que induza sua topologia usual.

[dica: se [0, +∞[ fosse uma variedade topológica, poderíamos obter uma vizinhança aberta U de 0 em [0, +∞[ e um homeomorfismo φ : U → I, onde I ⊂ IR é um intervalo aberto; obtenha uma contradição contando as componentes conexas de U \ {0} e de I \ {φ(0)}].

Subvariedades.

5. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), f : M → N um difeomorfismo de classe C^{k} e (P, A) uma subvariedade imersa de M de classe C^{k}. Seja A′ a única estrutura diferenciável de classe C^{k} em f(P) tal que (f(P), A′) é uma variedade diferenciável de classe C^{k} e tal que f|_{P} : (P, A) → (f(P), A′) é um difeomorfismo de classe C^{k} (veja último Corolário da aula número 4). Mostre que (f(P), A′) é uma subvariedade imersa de classe C^{k} de N.

[dica: f|_{P} : (P, A) → N é uma imersão injetora de classe C^{k}].

6. Mostre que o quadrado Q = ([0, 1] × {0, 1}) ∪ ({0, 1} × [0, 1]) não é uma subvariedade imersa (e portanto não é uma subvariedade) de classe C^{1} do plano IR^{2}. Conclua que nenhum retângulo é uma subvariedade imersa de classe C^{1} do plano IR^{2}.

[dica: para ver que Q não é uma subvariedade imersa de IR^{2}, utilize uma técnica similar à usada num Exemplo da aula número 11 para mostrar que o cone não é uma subvariedade imersa de IR^{3}. Observe também que qualquer retângulo em IR^{2} pode ser mapeado sobre Q por um difeomorfismo de IR^{2}].

Variedades quociente.

7. Seja n ≥ 1 e considere a relação de equivalência ∼ em IR^{n} definida por:

x ∼ y ⟺ ∥x∥ = ∥y∥,

onde ∥ · ∥ denota a norma Euclideana. Mostre que o conjunto quociente IR^{n}/∼ não admite estrutura diferenciável quociente de classe C^{k}, para nenhum k ≥ 1.

[dica: use o resultado dos Exercícios 2, 3 e 4].

(1) Quocientes por ações propriamente descontínuas de grupos. Nesta seção descrevemos uma situação particular onde o quociente de uma variedade

diferenciável admite uma estrutura diferenciável quociente. Tal quociente é descrito em termos de ações de grupos. Recordamos portanto a seguinte:

Definição. Sejam G um grupo e X um conjunto. Uma ação de G em X é uma aplicação ρ : G × X → X tal que ρ(1, x) = x e ρ(g_{1}, ρ(g_{2}, x)) = ρ(g_{1}g_{2}, x), para todos g_{1}, g_{2} ∈ G, x ∈ X, onde 1 ∈ G denota o elemento neutro.

Tipicamente, quando uma ação ρ : G × X → X é fixada pelo contexto, escrevemos g · x em vez de ρ(g, x), de modo que:

1 · x = x, g_{1} · (g_{2} · x) = (g_{1}g_{2}) · x,

para todos g_{1}, g_{2} ∈ G, x ∈ X. Note que, para todo g ∈ G, a aplicação ρ_{g} : X → X definida por ρ_{g}(x) = ρ(g, x) é bijetora e sua inversa é igual a ρ_{g^{−1}}. Se Bij(X) denota o grupo das bijeções ϕ : X → X, munido da operação de composição, obtemos então uma aplicação:

ρ̄: G ∋ g ⟼ ρ_{g} ∈ Bij(X);

é fácil ver que ρ̄ é um homomorfismo de grupos. Reciprocamente, dado um homomorfismo ρ̄: G → Bij(X), é fácil ver que ρ(g, x) = ρ̄(g)(x) define uma ação de G em X. Observaç~ ao: uma ação de grupo no sentido da definição acima é às vezes também chamada de uma ação à esquerda. Uma ação à direita de um grupo G num conjunto X é uma aplicação ρ : G × X → X tal que ρ(1, x) = x e ρ(g_{1}, ρ(g_{2}, x)) = ρ(g_{2}g_{1}, x), para todos g_{1}, g_{2} ∈ G, x ∈ X. A motivação para o nome “ação à direita” é a seguinte: se denotarmos ρ(g, x) por x · g então as condições satisfeitas por ρ são escritas da seguinte maneira:

x · 1 = x, (x · g_{2}) · g_{1} = x · (g_{2}g_{1}).

Note que se G é abeliano então não há diferença entre ações à esquerda ou à direita. Além do mais, se ρ : G × X → X é uma ação à direita então ρ̃(g, x) = ρ(g^{−1}, x) é uma ação à esquerda de G em X. Por esse motivo, restringimo-nos ao estudo das ações à esquerda.

Recordamos agora mais algumas definições padrão da teoria de ações de grupos. Dado x ∈ X então o subgrupo de isotropia de x é definido por:

G_{x} = {g ∈ G : g · x = x}.

É fácil verificar que G_{x} é de fato um subgrupo de G. Quando G_{x} = {1} para todo x ∈ X, dizemos que a ação de G em X é livre ou sem pontos fixos. Observe que:

Ker(ρ̄) = ⋂_{x∈X} G_{x},

e portanto ⋂_{x∈X} G_{x} é um subgrupo normal de G. Quando ⋂_{x∈X} G_{x} = {1} (i.e., quando ρ̄ é injetora) dizemos que a ação de G em X é efetiva. Nesse caso, ρ̄ fornece um isomorfismo entre G e um subgrupo das bijeções de X. Pensamos intuitivamente então que G está sendo “realizado concretamente” em termos de transformações do conjunto X.

Associada a uma ação ρ : G × X → X temos uma relação de equivalência em X definida por:

x ∼ y ⟺ existe g ∈ G, com y = g · x.

É fácil ver que ∼ é de fato uma relação de equivalência em X. A classe de equivalência de um ponto x ∈ X é chamada a órbita de x pela ação de G e é denotada por Gx. Temos:

Gx = {g · x : g ∈ G}.

O conjunto quociente de X pela relação de equivalência ∼ é denotado por X/G; temos:

X/G = {Gx : x ∈ X}.

Quando a ação ρ possui uma única órbita (i.e., se para todos x, y ∈ X existe g ∈ G com y = g · x) então dizemos que ρ é uma ação transitiva. Observamos que para todo x ∈ X a aplicação:

β_{x} : G ∋ g ⟼ g · x ∈ Gx

é sobrejetora. Se x possui isotropia trivial (i.e., se G_{x} = {1}) então β_{x} é também injetora. De fato, se g · x = h · x então h^{−1}g ∈ G_{x} e portanto h = g (veja também o Exercício 9).

O uso da seguinte notação será conveniente: Notaç~ ao: se é dada uma ação de um grupo G num conjunto X e se S é um subconjunto de X escrevemos:

gS = {g · x : x ∈ S} ⊂ X,

para todo g ∈ G.

Quando X é um espaço topológico ou uma variedade diferenciável, é mais natural estudar ações de grupos em X que sejam compatíveis com a estrutura topológica ou com a estrutura diferenciável de X. Temos então a seguinte:

Definição. Sejam G um grupo e X um espaço topológico. Uma ação por transformações contínuas de G em X é uma ação ρ : G × X → X de G no conjunto X tal que para todo g ∈ G a bijeção ρ_{g} : X → X é contínua. Se X é uma variedade diferenciável de classe C^{k} então dizemos que ρ é uma ação por transformações de classe C^{k} se a bijeção ρ_{g} é de classe C^{k} para todo g ∈ G.

Como ρ_{g}^{−1} = ρ_{g^{−1}}, temos que se ρ é uma ação por transformações contínuas então ρ_{g} é um homeomorfismo de X, para todo g ∈ G; similarmente, se ρ é uma ação por transformações de classe C^{k} então ρ_{g} é um difeomorfismo de classe C^{k} de X, para todo g ∈ G. Em particular, se ρ é uma ação por transformações contínuas e se U ⊂ X é um aberto então gU também é aberto em X.

Se X é um espaço topológico então o conjunto Homeo(X) dos homeomorfismos de X é um subgrupo de Bij(X); temos então que ρ é uma ação por transformações contínuas se e somente se o homomorfismo associado ρ̄ toma valores em Homeo(X). Se X é uma variedade diferenciável de classe C^{k} então o conjunto Dif_{k}(X) dos difeomorfismos de classe C^{k} de X é um subgrupo de Homeo(X); temos então que ρ é uma ação por transformações de classe C^{k} se e somente se ρ̄ toma valores em Dif_{k}(X).

Recorde que se X é um espaço topológico e ∼ é uma relação de equivalência em X então a topologia quociente em X/∼ é a topologia co-induzida pela aplicação quociente q : X → X/∼ (recorde Exercício 15 da aula número 9).

Lema. Sejam G um grupo, X um espaço topológico e suponha que seja dada uma ação de G em X por transformações contínuas. Se X/G é munido da topologia quociente então a aplicação quociente q : X → X/G é aberta.

Demonstração. Seja U ⊂ X um aberto. Para mostrar que q(U) é aberto em X/G, devemos verificar que q^{−1}(q(U)) é aberto em X. Temos que q^{−1}(q(U)) é o conjunto dos pontos x ∈ X tais que x ∼ y (i.e., x ∈ Gy) para algum y ∈ U. Daí:

q^{−1}(q(U)) = ⋃_{g∈G} gU.

Como cada gU é aberto em X, segue que q^{−1}(q(U)) também é aberto em X. Convenç~ ao: no que segue, se X é um espaço topológico e se G é um grupo agindo em X por transformações contínuas, assumiremos sempre que X/G é munido da topologia quociente.

Definição. Sejam G um grupo e X um espaço topológico. Uma ação de G em X por transformações contínuas é dita propriamente descontínua se valem as seguintes propriedades:

(i) para todo x ∈ X, existe um aberto U ⊂ X contendo x tal que gU ∩ U = ∅, para todo g ∈ G, g ≠ 1;

(ii) para todos x, y ∈ X com y ∉ Gx, existem abertos U, V ⊂ X com x ∈ U, y ∈ V e gU ∩ V = ∅, para todo g ∈ G.

Observamos que a condição (i) implica na verdade que os abertos (gU)_{g∈G} são dois a dois disjuntos. De fato, se g, h ∈ G, g ≠ h, então:

gU ∩ hU = h((h^{−1}g)U ∩ U) = h ∅ = ∅,

pois h^{−1}g ≠ 1. Similarmente, a condição (ii) implica que gU ∩hV = ∅, para todos g, h ∈ G. De fato:

gU ∩ hV = h((h^{−1}g)U ∩ V ) = h ∅ = ∅.

O Lema a seguir ilustra o significado da condição (ii).

Lema. Sejam X um espaço topológico e G um grupo. Suponha que é dada uma ação de G em X por transformações contínuas. Então a condição (ii) na definição de ação propriamente descontínua é satisfeita se e somente se o espaço topológico X/G é Hausdorff.

Demonstração. Denotamos por q : X → X/G a aplicação quociente. Suponha que X/G é Hausdorff. Dados x, y ∈ X com y ∉ Gx então q(x), q(y) são pontos distintos em X/G, donde podemos encontrar abertos disjuntos U_{0}, V_{0} ⊂ X/G com q(x) ∈ U_{0}, q(y) ∈ V_{0}. É fácil ver então que U = q^{−1}(U_{0}) e V = q^{−1}(V_{0}) são abertos em X com x ∈ U, y ∈ V e gU ∩ V = ∅, para todo g ∈ G. Isso prova a condição (ii).

Reciprocamente, suponha que a condição (ii) é satisfeita. Sejam x_{0}, y_{0} ∈ X/G pontos distintos e escolha x, y ∈ X com q(x) = x_{0}, q(y) = y_{0}. Daí x e y não são equivalentes, i.e., y ∉ Gx e portanto existem abertos U, V ⊂ X com x ∈ U, y ∈ V e gU ∩ V = ∅, para todo g ∈ G. Como a aplicação quociente q é aberta, temos que U_{0} = q(U) e V_{0} = q(V) são abertos em X/G. Obviamente x_{0} ∈ U_{0}, y_{0} ∈ V_{0} e é fácil ver que U_{0} e V_{0} são disjuntos. Logo X/G é Hausdorff.

No Lema abaixo resumimos algumas propriedades simples das ações propriamente descontínuas.

Lema. Toda ação propriamente descontínua de um grupo G num espaço topológico X é livre (i.e., sem pontos fixos) e possui órbitas discretas e fechadas. Além do mais, para que exista uma ação propriamente descontínua de algum grupo G num dado espaço topológico X é necessário que X seja Hausdorff.

Demonstração. A condição (i) na definição de ação propriamente descontínua implica que a ação de G em X é livre e que as órbitas dessa ação são discretas (veja a observação que segue a definição de ação propriamente descontínua). Segue trivialmente da condição (ii) na definição de ação propriamente descontínua que as órbitas da ação de G em X são fechadas. Para finalizar a demonstração, suponha que existe uma ação propriamente descontínua de G em X e vamos demonstrar que X é Hausdorff. Sejam x, y ∈ X pontos distintos. Se y ∈ Gx então a condição (i) fornece abertos que separam x de y; a saber, se y = g · x, g ≠ 1, e se U ⊂ X é um aberto contendo x como na condição (i) então y ∈ gU e U ∩ gU = ∅. Se y ∉ Gx, a condição (ii) fornece abertos disjuntos U, V ⊂ X com x ∈ U, y ∈ V.

Apresentamos agora algumas condições suficientes para que uma ação seja propriamente descontínua.

Lema. Se X é um espaço topológico Hausdorff e G é um grupo finito então toda ação livre (i.e., sem pontos fixos) por transformações contínuas de G em X é propriamente descontínua.

Demonstração. Vamos verificar primeiramente a condição (i). Seja dado x ∈ X. Como a ação é livre, temos que os elementos da família (g · x)_{g∈G} são dois a dois distintos; como X é Hausdorff e G é finito, podemos obter uma família (U_{g})_{g∈G} de abertos dois a dois disjuntos em X de modo que g · x ∈ U_{g}, para todo g ∈ G (veja Exercício 1). Daí:

U = ⋂_{g∈G} g^{−1}U_{g}  (∗)

é uma vizinhança aberta de x. Afirmamos que gU ∩ U = ∅ para todo g ∈ G, g ≠ 1. De fato, temos U ⊂ g^{−1}U_{g} e portanto gU ⊂ U_{g}; além do mais, U ⊂ U_{1} e U_{g} ∩ U_{1} = ∅, pois g ≠ 1. Logo gU é disjunto de U.

Passemos à demonstração da condição (ii). Sejam dados x, y ∈ X com y ∉ Gx. Para todo g ∈ G, como y ≠ g · x, existem abertos disjuntos U_{g}, V_{g} ⊂ X com g · x ∈ U_{g} e y ∈ V_{g}.

Definindo U como em (∗) e tomando V = ⋂_{g∈G} V_{g} então U é uma vizinhança aberta de x, V é uma vizinhança aberta de y e para todo g ∈ G temos gU ⊂ U_{g} e V ⊂ V_{g}, donde gU ∩ V = ∅. Exemplo: Seja G = {−1, 1} um grupo de dois elementos e defina uma ação de G na esfera S^{n} ⊂ IR^{n+1} fazendo 1 · x = x e (−1) · x = −x, para todo x ∈ S^{n} (note que −x é o ponto antípoda de x em S^{n}). Obviamente a ação de G em X é livre. Como G é finito e S^{n} é Hausdorff, a ação de G em S^{n} é propriamente descontínua, pelo Lema anterior. Vamos estudar o conjunto quociente S^{n}/G. O leitor deve recordar do último Exemplo da aula número 13 a definição do espaço projetivo IRP^{n}. Seja q_{1} : S^{n} → IRP^{n} a restrição a S^{n} da aplicação quociente q : (IR^{n+1} \ {0}) → IRP^{n}. Temos que q_{1} é de classe C^{∞}, pois q é de classe C^{∞}. Além do mais, q_{1} é sobrejetora, pois para todo z ∈ IR^{n+1}, z ≠ 0, temos q(z) = [z] = q_{1}(\frac{z}{∥z∥}). Temos que a relação de equivalência determinada por q_{1} em S^{n} coincide com a relação de equivalência em S^{n} cujas classes de equivalência são as órbitas de G; em outras palavras, temos:

y ∈ Gx ⟺ y = x ou y = −x ⟺ q_{1}(x) = q_{1}(y),

para todos x, y ∈ S^{n}. Vamos mostrar agora que q_{1} é um difeomorfismo local (e, em particular, uma submersão). Seguirá então que q_{1} induz uma bijeção de S^{n}/G em IRP^{n} e que a estrutura diferenciável em S^{n}/G que torna tal bijeção um difeomorfismo de classe C^{∞} é uma estrutura diferenciável quociente de classe C^{∞} em S^{n}/G (veja o primeiro Exemplo da aula número 13). Em outras palavras, podemos identificar o quociente S^{n}/G com o espaço projetivo n-dimensional IRP^{n} através do difeomorfismo induzido por q_{1}.

Vamos agora mostrar que q_{1} é um difeomorfismo local. Para isso, fazemos uso do atlas {φ_{i} : A_{i} → IR^{n}}_{i=1}^{n+1} em IRP^{n} construído no último exemplo da aula número 13. Como S^{n} = ⋃_{i=1}^{n+1} q_{1}^{−1}(A_{i}) é uma cobertura aberta, é suficiente verificar que para todo i = 1, …, n + 1, a aplicação:

q_{1}^{−1}(A_{i}) ∋ z ⟼ φ_{i}(q_{1}(z)) = (\frac{z_{1}}{z_{i}} , …, \frac{z_{i−1}}{z_{i}} , \frac{z_{i+1}}{z_{i}} , …, \frac{z_{n+1}}{z_{i}} ) ∈ IR^{n},

é um difeomorfismo local de classe C^{∞}. Temos que q_{1}^{−1}(A_{i}) é igual à união dos seguintes abertos disjuntos:

B_{i}^{+} = {z = (z_{1}, …, z_{n+1}) ∈ S^{n} : z_{i} > 0}, B_{i}^{−} = {z = (z_{1}, …, z_{n+1}) ∈ S^{n} : z_{i} < 0}.

Afirmamos que a restrição de φ_{i} ∘ q_{1} a B_{i}^{+} é um difeomorfismo de classe C^{∞} sobre IR^{n}. De fato, sua inversa é a aplicação τ_{i} definida por:

τ_{i} : IR^{n} ∋ x = (x_{1}, …, x_{n}) ⟼ \frac{(x_{1}, …, x_{i−1}, 1, x_{i}, …, x_{n})}{\sqrt{1 + x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}}} ∈ B_{i}^{+},

e claramente τ_{i} é de classe C^{∞}. Similarmente, a restrição de φ_{i}∘q_{1} a B_{i}^{−} é um difeomorfismo de classe C^{∞} sobre IR^{n}, pois sua inversa é igual a −τ_{i}. Logo q_{1} é um difeomorfismo local de classe C^{∞}.

Lema. Sejam G um grupo, (X, d) um espaço métrico e suponha que seja dada uma ação de G em X por isometrias, i.e., uma ação de G em X tal que a aplicação x ↦ g · x é uma isometria de X para todo g ∈ G. Suponha também que a ação dada de G em X seja livre e possua órbitas discretas e fechadas em X. Então essa ação é propriamente descontínua.

Demonstração. Vamos demonstrar primeiramente a condição (i). Seja dado x ∈ X. Como a órbita que contém x é discreta, existe r > 0 tal que B(x; r) ∩ Gx = {x}, onde B(x; r) denota a bola aberta de centro x e raio r em X. Tome U = B(x; \frac{r}{2}). Daí U é uma vizinhança aberta de x em X e para todo g ∈ G, temos gU = B(g · x; \frac{r}{2}), pois a bijeção de X correspondente a g é uma isometria. Se g ≠ 1 então, como a ação é livre, temos g · x ≠ x e portanto g · x ∉ B(x; r), i.e., d(g · x, x) ≥ r. Segue facilmente da desigualdade triangular que as bolas U = B(x; \frac{r}{2}) e gU = B(g · x; \frac{r}{2}) são disjuntas.

Vamos agora demonstrar a condição (ii). Sejam dados x, y ∈ X com y ∉ Gx. Como a órbita Gx é fechada em X, existe r > 0 tal que a bola B(y; r) é disjunta de Gx. Tome U = B(x; \frac{r}{2}) e V = B(y; \frac{r}{2}). Daí U é uma vizinhança aberta de x, V é uma vizinhança aberta de y e para todo g ∈ G temos gU = B(g · x; \frac{r}{2}). Como d(g · x, y) ≥ r, segue da desigualdade triangular que gU ∩ V = ∅. Exemplo: Seja X = IR^{2} o plano e seja G = ℤ^{2} o grupo aditivo formado pelos pares de números inteiros. Temos uma ação de G em IR^{2} definida por:

(n, m) · (t, s) = (t + n, s + m),

para todos n, m ∈ ℤ, t, s ∈ IR. A bijeção de IR^{2} correspondente a um elemento (n, m) ∈ ℤ^{2} é uma translação e portanto temos uma ação por isometrias. Além do mais, a órbita de um ponto (t, s) ∈ IR^{2} é simplesmente uma translação do subconjunto ℤ^{2} ⊂ IR^{2} e portanto é discreta e fechada. Também é óbvio que a ação em questão é livre. Segue então do Lema anterior que temos uma ação propriamente descontínua (o fato que essa ação é propriamente descontínua segue também do resultado do Exercício 7). Vamos estudar o conjunto quociente IR^{2}/ℤ^{2}. Considere a aplicação f : IR^{2} → S^{1} × S^{1} definida por:

f(t, s) = ( cos(2πt), sen(2πt), cos(2πs), sen(2πs)),

onde S^{1} ⊂ IR^{2} denota o círculo unitário. Temos que f é sobrejetora e de classe C^{∞}. Observando que a aplicação IR ∋ t ↦ ( cos(2πt), sen(2πt)) ∈ S^{1} é uma submersão (na verdade, ela é um difeomorfismo local), segue do resultado do item (d) do Exercício 7 da aula número 10 que f é uma submersão. É fácil ver que a relação de equivalência determinada por f coincide com a relação de equivalência cujas classes de equivalência são as órbitas de G; em outras palavras:

f(t, s) = f(t′, s′) ⟺ t − t′ ∈ ℤ e s − s′ ∈ ℤ ⟺ (t′, s′) ∈ ℤ^{2}(t, s),

para todos (t, s), (t′, s′) ∈ IR^{2}. Daí f induz uma bijeção entre IR^{2}/ℤ^{2} e S^{1} × S^{1} e a estrutura diferenciável em IR^{2}/ℤ^{2} que torna tal bijeção um difeomorfismo de classe C^{∞} é uma estrutura diferenciável quociente de classe C^{∞} para IR^{2}/ℤ^{2} (veja o primeiro Exemplo da aula número 13). Em outras palavras, podemos identificar o quociente IR^{2}/ℤ^{2} com o toro S^{1} × S^{1} (veja também o Exercício 10).

Provamos agora o resultado central desta seção.

Teorema. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), G um grupo e suponha que seja dada uma ação propriamente descontínua por transformações de classe C^{k} de G em M. Então o conjunto quociente M/G admite uma estrutura diferenciável quociente de classe C^{k}. Além do mais, a aplicação quociente q : M → M/G é um difeomorfismo local de classe C^{k} e dim(M) = dim(M/G).

Demonstração. Começamos definindo um atlas em M/G. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta em M tal que gU ∩ U = ∅, para todo g ∈ G, g ≠ 1. Então q(U) é aberto em M/G relativamente à topologia quociente; além do mais, a aplicação q|_{U} : U → q(U) é contínua, aberta e bijetora. Logo, q|_{U} : U → q(U) é um homeomorfismo. Concluímos que a aplicação \overline{φ} : q(U) → Ũ definida por \overline{φ} = φ ∘ (q|_{U})^{−1} é um homeomorfismo de um aberto de M/G sobre um aberto de IR^{n}. Temos que \overline{φ} é um sistema de coordenadas em M/G; mostraremos que a coleção A de todos os sistemas de coordenadas \overline{φ} em M/G definidos dessa forma é um atlas de classe C^{k} em M/G. Seguirá então que a topologia induzida por A em M/G coincide com a topologia quociente. A condição (ii) na definição de ação propriamente descontínua implica que a topologia quociente em M/G é Hausdorff e, como a aplicação quociente q : M → M/G é contínua, aberta e sobrejetora, segue do resultado do Exercício 1 da aula número 13 que a topologia quociente em M/G satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Teremos então que M/G, munido do atlas maximal de classe C^{k} que contém A, é uma variedade diferenciável de classe C^{k}. Além do mais, relativamente à essa estrutura diferenciável, temos que cada carta \overline{φ} é um difeomorfismo de classe C^{k}; como q|_{U} = \overline{φ}^{−1} ∘ φ, segue que q|_{U} também é um difeomorfismo de classe C^{k} e portanto q é um difeomorfismo local de classe C^{k}. Em particular, q é uma submersão de classe C^{k} e portanto a estrutura diferenciável em M/G é uma estrutura diferenciável quociente de classe C^{k}.

Resta mostrar agora que A é um atlas de classe C^{k} em M/G. Segue da condição (i) na definição de ação propriamente descontínua que os domínios dos sistemas de coordenadas pertencentes a A cobrem M/G. De fato, seja x_{0} ∈ M/G e escolha x ∈ M com x_{0} = q(x). Temos que x pertence a um aberto U′ em M com gU′ ∩ U′ = ∅, para todo g ∈ G, g ≠ 1; podemos então escolher um aberto U ⊂ U′ contendo x que seja domínio de uma carta φ. Daí o sistema de coordenadas correspondente \overline{φ} conterá x_{0} em seu domínio.

Vamos agora demonstrar que quaisquer dois sistemas de coordenadas pertencentes a A são C^{k}-compatíveis. Sejam então φ : U → Ũ, ψ : V → Ṽ cartas em M com gU ∩ U = ∅ e gV ∩ V = ∅, para todo g ∈ G, g ≠ 1. Sejam \overline{φ} : q(U) → Ũ, \overline{ψ} : q(V) → Ṽ os correspondentes sistemas de coordenadas em M/G. Vamos demonstrar que a função de transição de \overline{φ} para \overline{ψ} tem domínio aberto e é de classe C^{k}; seguirá então que tal função de transição é um difeomorfismo de classe C^{k} entre abertos, pois sua inversa é a função de transição de \overline{ψ} para \overline{φ} que, de modo similar, é uma função de classe C^{k} com domínio aberto. O domínio de \overline{ψ} ∘ \overline{φ}^{−1} é igual a:

\begin{aligned}\overline{φ}(q(U) ∩ q(V)) & = φ[(q|_{U})^{−1}(q(U) ∩ q(V))] = φ[U ∩ q^{−1}(q(V))] \\ & = φ[U ∩ ⋃_{g∈G} gV ] = ⋃_{g∈G} φ(U ∩ gV). \end{aligned}

Como φ(U ∩ gV) é aberto em IR^{n} para todo g ∈ G, é suficiente mostrar que a restrição de \overline{ψ} ∘ \overline{φ}^{−1} a φ(U ∩ gV) é de classe C^{k} para todo g ∈ G. Seja z ∈ φ(U ∩ gV). Daí z = φ(x) com x ∈ U ∩ gV e portanto \overline{φ}^{−1}(z) = q(x). Temos q(x) = q(g^{−1} · x) e g^{−1} · x ∈ V, donde \overline{ψ}(q(x)) = ψ(g^{−1} · x). Logo:

(\overline{ψ} ∘ \overline{φ}^{−1})(z) = ψ(g^{−1} · φ^{−1}(z)),

para todo z ∈ φ(U ∩ gV). Como φ, ψ e a bijeção de M correspondente à ação de g são difeomorfismos de classe C^{k}, segue que \overline{ψ} ∘ \overline{φ}^{−1} é de classe C^{k}.

Topologia.

1. Seja X um espaço topológico Hausdorff e seja (x_{i})_{i∈I} uma família finita de elementos dois a dois distintos de X. Mostre que existe uma família (U_{i})_{i∈I} de abertos dois a dois disjuntos de X com x_{i} ∈ U_{i} para todo i ∈ I.

[dica: use indução no número de elementos da família (x_{i})_{i∈I}].

2. Seja X um espaço topológico. Mostre que X é Hausdorff se e somente se a diagonal Δ = {(x, x) : x ∈ X} é fechada em X × X (onde X × X é munido da topologia produto).

3. Sejam X um espaço topológico e S ⊂ X um subconjunto. Recorde que um ponto x ∈ X é dito um ponto de acumulação de S se para todo aberto U ⊂ X com x ∈ U existe y ∈ X com y ∈ U ∩ S e y ≠ x. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:

(i) S é discreto e fechado em X;

(ii) S não tem pontos de acumulação em X.

Mostre que se X é compacto então a condição (i) (ou a condição (ii)) implica que o conjunto S é finito.

Definição. Um grupo topológico é um grupo G munido de uma topologia para a qual as operações de grupo:

G × G ∋ (x, y) ⟼ xy ∈ G, G ∋ x ⟼ x^{−1} ∈ G,

são aplicações contínuas (onde G × G é munido da topologia produto).

4. Seja G um grupo topológico. Mostre que, para todo g ∈ G, as aplicações:

𝔩_{g} : G ∋ x ⟼ gx ∈ G, 𝔯_{g} : G ∋ x ⟼ xg ∈ G

são homeomorfismos.

5. Seja G um grupo topológico e suponha que existe g ∈ G tal que o conjunto unitário {g} é fechado em G. Mostre que G é Hausdorff. Conclua que todo grupo topológico T1 é Hausdorff.

[dica: pelo resultado do Exercício 4, 𝔩_{g}^{−1} é um homeomorfismo e portanto {1} é fechado em G, onde 1 ∈ G denota o elemento neutro. Notando que a aplicação (x, y) ↦ xy^{−1} é contínua, conclua que a diagonal Δ é fechada em G × G. Use o resultado do Exercício 2].

6. Seja G um grupo topológico Hausdorff. Mostre que todo subgrupo discreto de G é fechado em G.

[dica: seja H ⊂ G um subgrupo discreto e seja U ⊂ G um aberto com U ∩ H = {1}. Como a aplicação (x, y) ↦ xy^{−1} é contínua, todo g ∈ G possui uma vizinhança aberta V em G tal que xy^{−1} ∈ U, para todos x, y ∈ V. Conclua que V ∩ H possui no máximo um ponto. Usando o fato que G é Hausdorff, mostre que, se g ∉ H, então V contém uma vizinhança aberta de g disjunta de H].

7. Seja G um grupo topológico e seja H ⊂ G um subgrupo discreto e fechado. Mostre que a ação por translação à esquerda:

H × G ∋ (h, g) ⟼ h · g = hg ∈ G,

é propriamente descontínua. [dica: seja W ⊂ G um aberto com W ∩ H = {1}. Como a aplicação (x, y) ↦ xy^{−1} é contínua, todo g ∈ G possui uma vizinhança aberta U em G tal que xy^{−1} ∈ W, para todos x, y ∈ U. Mostre que hU ∩ U = ∅, para todo h ∈ H, h ≠ 1. Sejam agora g_{1}, g_{2} ∈ G com g_{2} ∉ Hg_{1}. Como g_{2}g_{1}^{−1} ∉ H e H é fechado, existe um aberto W′ em G contendo g_{2}g_{1}^{−1} e disjunto de H. Use novamente a continuidade da aplicação (x, y) ↦ xy^{−1} para obter abertos U ∋ g_{1}, V ∋ g_{2} tais que xy^{−1} ∈ W′ para todos y ∈ U, x ∈ V. Mostre que hU ∩ V = ∅, para todo h ∈ H].

8. Sejam X, Y espaços topológicos e p : X → Y uma função. Dizemos que p é um recobrimento se para todo y ∈ Y existe uma vizinhança aberta U de y em Y e uma família (V_{i})_{i∈I} de abertos dois a dois disjuntos em X tal que p^{−1}(U) = ⋃_{i∈I} V_{i} e tal que p|_{V_{i}} : V_{i} → U é um homeomorfismo para todo i ∈ I. Mostre que:

(a) se p : X → Y é um recobrimento então p é um homeomorfismo local (em particular p é contínua e aberta);

(b) se é dada uma ação por transformações contínuas de um grupo G no espaço topológico X satisfazendo a condição (i) na definição de ação propriamente descontínua então a aplicação quociente q : X → X/G é um recobrimento.

[dica: se U ⊂ X é um aberto tal que gU ∩ U = ∅ para todo g ∈ G, g ≠ 1, então q^{−1}(q(U)) = ⋃_{g∈G} gU e, para todo g ∈ G, a aplicação q|_{gU} : gU → q(U) é contínua, aberta e bijetora e é portanto um homeomorfismo].

Aç~ oes de grupos.

9. Sejam X um conjunto, G um grupo e suponha que é dada uma ação de G em X. Fixado x ∈ X, mostre que a aplicação:

β̄_{x} : G/G_{x} ∋ gG_{x} ⟼ g · x ∈ Gx

é (bem definida e) bijetora, onde gG_{x} = {gh : h ∈ G_{x}} denota a coclasse à esquerda do subgrupo G_{x} em G contendo g e G/G_{x} denota o conjunto de todas as coclasses à esquerda de G_{x} em G (note que G/G_{x} não é em geral um grupo, a menos que G_{x} seja um subgrupo normal de G).

Subvariedades.

10. Se S^{1} ⊂ IR^{2} denota o círculo unitário então o produto cartesiano de n cópias de S^{1} é uma variedade diferenciável de classe C^{∞} e de dimensão n conhecida como o toro n-dimensional. O objetivo deste exercício é mostrar que o toro bidimensional S^{1} × S^{1} é difeomorfo a uma subvariedade de IR^{3} de classe C^{∞} que é usualmente conhecida como toro em cursos elementares de Geometria Diferencial e de Cálculo. Sejam R, r números reais fixados com 0 < r < R. Para todo s ∈ IR, denote por

A_{s} : IR^{3} → IR^{3} o operador correspondente à rotação de ângulo s no sentido anti-horário em torno do eixo z; mais explicitamente, A_{s} : IR^{3} → IR^{3} é o operador linear que é representado na base canônica de IR^{3} pela seguinte matriz:

cos s − sen s 0
sen s cos s 0
0  0  1

Seja γ : IR → IR^{3} a parametrização usual para a circunferência de centro (R, 0, 0) e raio r no plano xz, i.e.:

γ(t) = (R + r cos t, 0, r sen t).

Defina uma aplicação g : IR^{2} → IR^{3} fazendo:

g(t, s) = A_{s}γ(t) = ((R + r cos t) cos s, (R + r cos t) sen s, r sen t).
(a) Seja f : IR^{2} → S^{1} × S^{1} a aplicação definida por:
f(t, s) = ( cos t, sen t, cos s, sen s).
Mostre que, para todos t, s, t′, s′ ∈ IR:

\begin{aligned}g(t, s) = g(t′, s′) & ⟺ f(t, s) = f(t′, s′) \\ & ⟺ \frac{t−t′}{2π} ∈ ℤ e \frac{s−s′}{2π} ∈ ℤ. \end{aligned}

(b) Conclua do item (a) que existe uma única aplicação ḡ : S^{1} × S^{1} → IR^{3} tal que o

diagrama:

\xymatrix{IR^{2} \ar[dr]^{g} \ar[d]_{f} \\ S^{1} × S^{1} \ar[r]_{ḡ} & IR^{3}}

comuta. Mostre que ḡ é de classe C^{∞}. [dica: use o princípio de definição por passagem ao quociente provado na seção 2 da aula número 9].

(c) Mostre que ḡ é injetora e que sua imagem é igual à imagem de g.

(d) Mostre que ḡ é uma imersão. [dica: note que dḡ(f(t, s))∘df(t, s) = dg(t, s), que df(t, s) é um isomorfismo e que dg(t, s) é injetora].

(e) Conclua que ḡ é um mergulho de classe C^{∞} e portanto ḡ fornece um difeomorfismo de classe C^{∞} entre S^{1} × S^{1} e a imagem de g, que é uma subvariedade de classe C^{∞} de IR^{3}.

[dica: S^{1} × S^{1} é compacto].

(1) O fibrado tangente. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). A cada ponto x ∈ M

associamos o espaço tangente T_{x}M, que é um espaço vetorial real com dimensão igual à dimensão de M. Denotamos por T M a união disjunta de todos os espaços tangentes a M; mais precisamente, definimos:

T M = ⋃_{x∈M} ({x} × T_{x}M).

O conjunto T M é chamado o fibrado tangente de M. O objetivo desta seção é mostrar que o conjunto T M pode ser visto de maneira natural como uma variedade diferenciável. Observaç~ ao: uma outra possibilidade para definir o fibrado tangente de M seria fazer T M = ⋃_{x∈M} T_{x}M, desde que soubéssemos que T_{x}M ∩ T_{y}M = ∅, para todos x, y ∈ M, com x ≠ y. A validade da condição T_{x}M ∩ T_{y}M = ∅ depende da construção específica para o espaço tangente que foi escolhida. Nas construções usuais, essa condição é de fato satisfeita (poderia, no entanto, ocorrer “por coincidência” alguma interseção entre T_{x}M e T_{y}M, em alguma construção atípica para o espaço tangente). Nós preferimos usar a definição T M = ⋃_{x∈M} ({x} × T_{x}M), para evitar a necessidade de considerar a interseção de T_{x}M e T_{y}M, que não possui qualquer significado geométrico ou qualquer interesse. Apesar da definição T M = ⋃_{x∈M} ({x} × T_{x}M), muitas vezes identificaremos T_{x}M com o subconjunto {x} × T_{x}M de T M através da bijeção óbvia v ↦ (x, v).

Uma das motivações para estudar o conjunto T M é a seguinte:

Definição. Um campo vetorial na variedade M é uma aplicação X : M → T M tal que X(x) ∈ T_{x}M, para todo x ∈ M.

Podemos definir uma aplicação π : T M → M de maneira natural fazendo:

π(x, v) = x,

para todos x ∈ M, v ∈ T_{x}M. Dizemos que π é a projeção canônica do fibrado tangente T M sobre M. Obviamente π é uma aplicação sobrejetora. Observe que uma aplicação X : M → T M é um campo vetorial se e somente se o seguinte diagrama é comutativo:

\xymatrix{M \ar[r]^{X} \ar[dr]_{Id} & T M \ar[d]^{π} \\  & M}

em outras palavras, X : M → T M é um campo vetorial se e somente se a aplicação X é uma inversa à direita da projeção canônica π. Um campo vetorial em M é também chamado de uma seção do fibrado tangente T M.

Vamos agora definir um atlas no fibrado tangente T M. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta em M. Definimos uma aplicação T φ : π^{−1}(U) → Ũ × IR^{n} fazendo:

T φ(x, v) = (φ(x), dφ(x) · v),

para todos x ∈ U, v ∈ T_{x}M. Como a aplicação φ : U → Ũ é bijetora e dφ(x) : T_{x}M → IR^{n} é um isomorfismo para todo x ∈ U, vê-se facilmente que a aplicação T φ é bijetora. Como Ũ × IR^{n} é um aberto de IR^{2n}, segue que T φ é um sistema de coordenadas em T M. Vamos mostrar que:

A = {T φ : φ carta de M}

é um atlas de classe C^{k−1} em T M (se k = ∞ entendemos que k − 1 = ∞). Em primeiro lugar, é óbvio que os domínios dos elementos de A cobrem T M. Sejam então φ : U → Ũ, ψ : V → Ṽ cartas em M e vamos mostrar que T φ e T ψ são C^{k−1}-compatíveis. Temos:

T φ(π^{−1}(U) ∩ π^{−1}(V)) = T φ(π^{−1}(U ∩ V)) = φ(U ∩ V) × IR^{n},
T ψ(π^{−1}(U) ∩ π^{−1}(V)) = T ψ(π^{−1}(U ∩ V)) = ψ(U ∩ V) × IR^{n}.

Logo T φ(π^{−1}(U) ∩ π^{−1}(V)) e T ψ(π^{−1}(U) ∩ π^{−1}(V)) são abertos em IR^{2n}, pois φ(U ∩ V) e ψ(U ∩ V) são abertos em IR^{n}. Se (z, h) ∈ Ũ × IR^{n} então (T φ)^{−1}(z, h) = (x, v), onde x = φ^{−1}(z) e v = dφ(x)^{−1} · h. Além do mais, se x ∈ V então T ψ(x, v) = (ψ(x), dψ(x) · v). Seja α = ψ ∘ φ^{−1} a função de transição de φ para ψ. Temos:

dψ(x) · v = [dψ(φ^{−1}(z)) ∘ dφ(φ^{−1}(z))^{−1}] · h = dα(z) · h.

Logo, a função de transição de T φ para T ψ é dada por:

T ψ ∘ (T φ)^{−1} : φ(U ∩ V) × IR^{n} ∋ (z, h) ⟼ (α(z), dα(z) · h) ∈ ψ(U ∩ V) × IR^{n}.

Como a aplicação α é de classe C^{k}, segue que a função de transição T ψ ∘ (T φ)^{−1} é de classe C^{k−1} (veja Exercício 1). Analogamente, a aplicação inversa de T ψ ∘ (T φ)^{−1} (que é igual a T φ ∘ (T ψ)^{−1}) é também uma aplicação de classe C^{k−1}. Isso mostra que A é um atlas de classe C^{k−1} em T M.

Vamos agora mostrar que a topologia induzida por A em T M é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Antes de mais nada, vamos mostrar que a projeção π : T M → M é contínua (onde T M é munido da topologia induzida por A). De fato, se U ⊂ M é o domínio de uma carta φ então π^{−1}(U) é aberto em T M pois π^{−1}(U) é o domínio da carta T φ. Em geral, se U ⊂ M é um aberto arbitrário então U = ⋃_{i∈I} U_{i}, onde U_{i} é o domínio de uma carta em M para todo i ∈ I. Daí π^{−1}(U) = ⋃_{i∈I} π^{−1}(U_{i}) é aberto em T M.

Vamos mostrar então que a topologia induzida por A em T M é Hausdorff. Sejam (x, v), (y, w) ∈ T M pontos distintos. Se x ≠ y então, como M é Hausdorff, existem abertos disjuntos U, V ⊂ M com x ∈ U, y ∈ V. Daí π^{−1}(U) e π^{−1}(V) são abertos disjuntos em T M contendo (x, v) e (y, w) respectivamente. Suponha agora que x = y. Seja φ : U → Ũ uma carta em M com x ∈ U. Como dφ(x) · v ≠ dφ(x) · w, existem abertos disjuntos A, B ⊂ IR^{n} com dφ(x) · v ∈ A e dφ(x) · w ∈ B. Daí (T φ)^{−1}(Ũ × A) e (T φ)^{−1}(Ũ × B) são abertos disjuntos em T M contendo (x, v) e (x, w) = (y, w) respectivamente.

Mostremos agora que a topologia induzida por A em T M satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Como M satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade, temos que o atlas maximal que define a estrutura diferenciável de M contém um atlas enumerável {φ_{i}}_{i∈IN} (veja Exercício 7 da aula número 11). Daí {T φ_{i}}_{i∈IN} é um atlas enumerável para T M e portanto T M satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade (veja Exercício 5 da aula número 5).

Demonstramos então o seguinte:

Teorema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e de dimensão n. Então o fibrado tangente T M, munido do atlas maximal de classe C^{k−1} que contém o atlas A descrito acima, é uma variedade diferenciável de classe C^{k−1} e de dimensão 2n.

A estrutura diferenciável em T M definida acima será chamada a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de M. A partir de agora, a menos de menção explícita em contrário, suporemos sempre que o fibrado tangente de uma variedade é munido de sua estrutura diferenciável usual.

Vamos agora estudar algumas propriedades simples do fibrado tangente. Começamos com o seguinte:

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Então a projeção canônica π : T M → M é uma aplicação de classe C^{k−1}. Se k ≥ 2, então π é uma submersão.

Demonstração. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta de M e considere a carta correspondente T φ em T M. Daí π leva o domínio de T φ (ou seja, π^{−1}(U)) dentro do domínio de φ. É fácil ver que a representação de π com respeito às cartas T φ e φ é dada por:

φ ∘ π ∘ (T φ)^{−1} : Ũ × IR^{n} ∋ (z, h) ⟼ z ∈ Ũ.

Como a projeção (z, h) ↦ z é uma submersão de classe C^{∞} e φ, T φ são difeomorfismos de classe C^{k−1}, segue que a restrição de π a π^{−1}(U) é de classe C^{k−1} e é uma submersão se k ≥ 2. Como a carta φ é arbitrária, obtemos a conclusão desejada.

Lema. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e Z ⊂ M um aberto. Então T Z é um aberto de T M. Além do mais, a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente da variedade Z coincide com a estrutura diferenciável que T M induz no aberto T Z.

Demonstração. Como T_{x}Z = T_{x}M para todo x ∈ Z, temos que T Z = π^{−1}(Z). Como π é contínua, segue que T Z é aberto em T M. A estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de Z é o atlas maximal de classe C^{k−1} que contém os sistemas de coordenadas da forma T φ, com φ : U → Ũ uma carta de Z. Mas se φ é uma carta de Z então φ também é uma carta de M e portanto T φ é uma carta de T M com domínio contido em T Z. Logo T φ pertence à estrutura diferenciável induzida por T M no aberto T Z.

Lema. Se V é um espaço vetorial real de dimensão finita então T V = V × V. Além do mais, a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de V coincide com a estrutura diferenciável usual do espaço vetorial real V × V (i.e., a estrutura diferenciável que contém os isomorfismos lineares entre V × V e o espaço Euclideano).

Demonstração. Para todo x ∈ V, temos T_{x}V = V e portanto:

⋃_{x∈V} ({x} × T_{x}V ) = V × V.

Seja agora φ : V → IR^{n} um isomorfismo linear. Daí φ é uma carta na variedade V. Temos:

T φ : V × V ∋ (x, v) ⟼ (φ(x), dφ(x) · v) = (φ(x), φ(v)) ∈ IR^{n} × IR^{n}.

Logo T φ : V × V → IR^{2n} é um isomorfismo linear. Daí tanto a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de V quanto a estrutura diferenciável usual do espaço vetorial real V ×V contêm o atlas {T φ}. Isso mostra que tais estruturas diferenciáveis em T V = V ×V coincidem.

Corolário. Se Z é um aberto de IR^{n} então T Z = Z × IR^{n} e a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de Z coincide com a estrutura diferenciável induzida por IR^{2n} no aberto Z × IR^{n}.

Demonstração. Segue dos dois últimos Lemas.

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞). Para todo x ∈ M, o espaço tangente T_{x}M (que identificamos com {x} × T_{x}M) é uma subvariedade de classe C^{k−1} do fibrado tangente T M. Além do mais, a estrutura diferenciável usual do espaço vetorial real T_{x}M coincide com a estrutura diferenciável induzida por T M em T_{x}M.

Demonstração. O fato que T_{x}M é uma subvariedade de classe C^{k−1} de T M segue da observação que T_{x}M = π^{−1}(x), já que π é uma submersão de classe C^{k−1}. No entanto, é muito fácil construir uma carta de subvariedade para T_{x}M e com isso poderemos identificar rapidamente a estrutura diferenciável induzida por T M em T_{x}M. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta em M com x ∈ U e considere a carta correspondente T φ em T M. Temos:

T φ(π^{−1}(U) ∩ T_{x}M) = T φ(T_{x}M) = {φ(x)} × IR^{n}.

Considere o difeomorfismo α : IR^{2n} → IR^{2n} de classe C^{∞} definido por:

α(z, h) = (h, z − φ(x)).

Daí α ∘ T φ : π^{−1}(U) → α(Ũ × IR^{n}) é uma carta em T M e:

(α ∘ T φ)(π^{−1}(U) ∩ T_{x}M) = IR^{n} = α(Ũ × IR^{n}) ∩ IR^{n},

i.e., α∘T φ é uma carta de subvariedade para T_{x}M. A restrição de α∘T φ a T_{x}M nos fornece um sistema de coordenadas em T_{x}M pertencente à estrutura diferenciável induzida por T M em T_{x}M. Tal restrição é dada por (recorde a identificação entre T_{x}M e {x} × T_{x}M):

T_{x}M ∋ v ⟼ (α ∘ T φ)(x, v) = dφ(x) · v ∈ IR^{n}.

Mas dφ(x) : T_{x}M → IR^{n} é um isomorfismo linear e portanto é também um sistema de coordenadas pertencente à estrutura diferenciável usual do espaço vetorial real T_{x}M. Concluímos então que o atlas {dφ(x)} em T_{x}M está contido tanto na estrutura diferenciável induzida por T M em T_{x}M como na estrutura diferenciável usual do espaço vetorial real T_{x}M. A conclusão segue.

Passamos agora ao estudo de campos vetoriais em variedades. Temos a seguinte:

Definição. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e X um campo vetorial em M. Se φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} é uma carta em M então a representação de X com respeito à carta φ é a aplicação X̃ : Ũ → IR^{n} definida por:

X̃(z) = dφ(φ^{−1}(z)) · X(φ^{−1}(z)),

para todo z ∈ Ũ.

A cada carta φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} na variedade M, podemos associar de modo natural uma base de T_{x}M para todo x ∈ U. Mais explicitamente, temos uma única base em T_{x}M que é mapeada pelo isomorfismo dφ(x) : T_{x}M → IR^{n} sobre a base canônica de IR^{n}. Essa base é muitas vezes denotada por (∂_{1}(x), …, ∂_{n}(x)); temos então:

∂_{i}(x) = dφ(x)^{−1} · e_{i} = \frac{∂φ^{−1}}{∂x_{i}}(φ(x)), i = 1, …, n,

onde (e_{i})_{i=1}^{n} denota a base canônica de IR^{n}. Note que para todo v ∈ T_{x}M temos que a n-upla dφ(x) · v ∈ IR^{n} consiste das coordenadas de v na base (∂_{i}(x))_{i=1}^{n}. Em particular, se X é um campo vetorial na variedade M e X̃ é a representação de X na carta φ então, para todo x ∈ U, a n-upla X̃(φ(x)) ∈ IR^{n} consiste das coordenadas de X(x) na base (∂_{i}(x))_{i=1}^{n}.

Não se deve confundir a representação de um campo vetorial X em M numa carta φ com a representação em coordenadas da aplicação X : M → T M com respeito a cartas em M e em T M. No entanto, tais representações são intimamente relacionadas, como se vê no seguinte:

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja X : M → T M um campo vetorial. Se X é de classe C^{k−1} então a representação de X com respeito a qualquer carta de M é uma aplicação de classe C^{k−1}. Reciprocamente, se todo ponto de M pertence ao domínio de uma carta de M na qual a representação de X é uma aplicação de classe C^{k−1} então X é de classe C^{k−1}.

Demonstração. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta de M e seja T φ a carta correspondente em T M. Temos que X leva o domínio de φ dentro do domínio de T φ, i.e., X(U) ⊂ π^{−1}(U); a representação da aplicação X com respeito às cartas φ e T φ é dada por:

T φ ∘ X ∘ φ^{−1} : Ũ ∋ z ⟼ (z, X̃(z)) ∈ Ũ × IR^{n},

onde X̃(z) = dφ(φ^{−1}(z)) · X(φ^{−1}(z)) denota a representação do campo vetorial X na carta φ. Temos então que X̃ é de classe C^{k−1} se e somente se a restrição de X a U é de classe C^{k−1}. A conclusão segue.

Observaç~ ao: em cursos de Cálculo no IR^{n}, um campo vetorial X num aberto U ⊂ IR^{n} é definido como sendo uma aplicação X : U → IR^{n}. Vimos que T U = U × IR^{n} e portanto um campo vetorial na variedade U (de acordo com nossa definição) é uma aplicação da forma:

U ∋ x ⟼ (x, X(x)) ∈ U × IR^{n}.

Temos então uma pequena incompatibilidade de terminologia, mas que na prática não causa confusão. Note que a representação do campo vetorial U ∋ x ↦ (x, X(x)) ∈ U ×IR^{n} com respeito à carta Id : U → U é a aplicação X : U → IR^{n}.

Mostramos agora que a imagem de um campo vetorial em M é uma subvariedade do fibrado tangente T M.

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞) e seja X um campo vetorial de classe C^{k−1} em M. Então a aplicação X : M → T M é um mergulho de classe C^{k−1}.

Demonstração. Basta observar que a projeção canônica π : T M → M é uma inversa à esquerda de classe C^{k−1} para X (veja aula número 9).

Corolário. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞) e seja X um campo vetorial em M de classe C^{k−1}. Então a imagem de X é uma subvariedade de T M de classe C^{k−1} e a restrição da projeção canônica π : T M → M a X(M) é um difeomorfismo de classe C^{k−1} da imagem de X sobre M.

Demonstração. Pelo Lema anterior, X é um mergulho de classe C^{k−1} e portanto X(M) é uma subvariedade de classe C^{k−1} de T M e X : M → X(M) é um difeomorfismo de classe C^{k−1}. Para concluir a demonstração, observe que π|_{X(M)} : X(M) → M é a aplicação inversa de X : M → X(M).

Definição. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). O conjunto M_{0} = {(x, 0) : x ∈ M} formado pelos vetores nulos dos espaços tangentes T_{x}M, x ∈ M, é chamado a seção nula do fibrado tangente T M.

Corolário. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞). Então a seção nula M_{0} do fibrado tangente T M é uma subvariedade de T M de classe C^{k−1}. Além do mais, a restrição da projeção canônica π : T M → M a M_{0} fornece um difeomorfismo de classe C^{k−1} de M_{0} sobre M.

Demonstração. Basta aplicar o Corolário anterior para o campo vetorial nulo, i.e., a aplicação X : M → T M tal que X(x) é o vetor nulo de T_{x}M, para todo x ∈ M (veja Exercício 4).

Se M, N são variedades de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e se f : M → N é uma aplicação de classe C^{k} então podemos identificar a diferencial de f com uma aplicação de T M em T N; mais precisamente, definimos:

df(x, v) = (f(x), df(x) · v),

para todos x ∈ M, v ∈ T_{x}M. Temos o seguinte:

Lema. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Então a aplicação df : T M → T N é de classe C^{k−1}.

Demonstração. Sejam φ : U → Ũ ⊂ IR^{m}, ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{n} cartas em M e em N respectivamente, com f(U) ⊂ V. Considere as cartas correspondentes T φ em T M e T ψ em T N. Temos que df leva o domínio de T φ (i.e., π^{−1}(U)) dentro do domínio de T ψ (i.e., π^{−1}(V)). Como φ e ψ podem ser escolhidas de modo que π^{−1}(U) contenha um ponto arbitrário dado a priori de T M, a demonstração ficará completa se verificarmos que a representação de df com respeito às cartas T φ e T ψ é de classe C^{k−1}. Denote por f̃ = ψ ∘ f ∘ φ^{−1} a representação de f com respeito às cartas φ e ψ. Seja (z, h) ∈ Ũ × IR^{m} e defina (x, v) = (T φ)^{−1}(z, h), de modo que x = φ^{−1}(z) e v = dφ(x)^{−1} · h. Daí:

(T ψ ∘ df)(x, v) = (ψ(f(x)), [dψ(f(x)) ∘ df(x)] · v);

mas:

[dψ(f(x)) ∘ df(x)] · v = [dψ(f(x)) ∘ df(x) ∘ dφ(x)^{−1}] · h = df̃(z) · h.

Logo, a representação de df com respeito às cartas T φ e T ψ é dada por:

T ψ ∘ df ∘ (T φ)^{−1} : Ũ × IR^{m} ∋ (z, h) ⟼ (f̃(z), df̃(z) · h) ∈ Ṽ × IR^{n}.

Como f̃ é de clase C^{k}, segue que T ψ ∘ df ∘ (T φ)^{−1} é de fato uma aplicação de classe C^{k−1} (veja Exercício 1).

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja f : M → N um difeomorfismo de classe C^{k}. Então a aplicação df : T M → T N é um difeomorfismo de classe C^{k−1}.

Demonstração. Note que (df)^{−1} = d(f^{−1}) e use o Lema anterior. Observaç~ ao: se f : U → IR^{n} é uma aplicação de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) definida num aberto U ⊂ IR^{m} então a diferencial de f é normalmente entendida em cursos de Cálculo no IR^{n} como a aplicação U ∋ x ↦ df(x) ∈ Lin(IR^{m}, IR^{n}). Tal aplicação é diferente da diferencial df : T U → T IR^{n} considerada acima; de fato, a diferencial considerada acima é dada por:

U × IR^{m} ∋ (x, v) ⟼ (f(x), df(x) · v) ∈ IR^{n} × IR^{n}.

Para evitar essa ambiguidade, muitas vezes a diferencial df : T M → T N de uma aplicação f : M → N é denotada por T f e é chamada a aplicação tangente a f. Preferimos, no entanto, escrever df em vez de T f. Na prática, essa ambigüidade de notação raramente causa confusão.

Teorema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞) e seja N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k}. Então T N é uma subvariedade de T M de classe C^{k−1}. Além do mais, a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de N coincide com a estrutura diferenciável induzida por T M em T N.

Demonstração. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta de subvariedade para N, i.e., φ é uma carta de M e φ(U ∩ N) = Ũ ∩ IR^{p}. Como φ é um difeomorfismo que leva a subvariedade U ∩ N de U na subvariedade Ũ ∩ IR^{p} de Ũ, temos que, para todo x ∈ U ∩ N, a diferencial dφ(x) leva o espaço tangente a U ∩ N no ponto x (que coincide com T_{x}N) no espaço tangente a Ũ ∩ IR^{p} no ponto φ(x) (que coincide com IR^{p}). Temos então:

dφ(x)(T_{x}N) = IR^{p},

para todo x ∈ U ∩ N. Daí é fácil ver que:

T φ(π^{−1}(U) ∩ T N) = φ(U ∩ N) × IR^{p} = (Ũ ∩ IR^{p}) × IR^{p} = (Ũ × IR^{n}) ∩ (IR^{p} × IR^{p}),

onde identificamos IR^{p} × IR^{p} com o seguinte subespaço de IR^{2n}:

IR^{p} × IR^{p} ≅ \{(z_{1}, …, z_{p}, \underbrace{0, …, 0}_{n−p zeros}, h_{1}, …, h_{p}, \underbrace{0, …, 0}_{n−p zeros}) : z_{1}, …, z_{p}, h_{1}, …, h_{p} ∈ IR\}.

Seja α : IR^{2n} → IR^{2n} o isomorfismo definido por:

α(z_{1}, …, z_{p}, \underbrace{0, …, 0}_{n−p zeros}, h_{1}, …, h_{p}, \underbrace{0, …, 0}_{n−p zeros}) = (z_{1}, …, z_{p}, h_{1}, …, h_{p}, \underbrace{0, …, 0}_{2n−2p zeros}).

Temos que α leva o subespaço IR^{p} × IR^{p} de IR^{2n} sobre o subespaço IR^{2p} de IR^{2n} e portanto a carta α ∘ T φ : π^{−1}(U) → α(Ũ × IR^{n}) de T M satisfaz:

(α ∘ T φ)(π^{−1}(U) ∩ T N) = α(Ũ × IR^{n}) ∩ IR^{2p},

i.e., α ∘ T φ é uma carta de subvariedade para T N. Como φ pode ser escolhida de modo que π^{−1}(U) contenha um ponto arbitrário dado a priori de T N, segue que T N é uma subvariedade de T M de classe C^{k−1}.

Vamos agora mostrar que a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de N coincide com a estrutura diferenciável induzida por T M em T N. Para cada carta de subvariedade φ : U → Ũ para N, denotamos por φ_{0} = φ|_{U∩N} : U ∩ N → Ũ ∩ IR^{p} a carta correspondente a φ em N. Quando φ percorre o conjunto de todas as cartas de subvariedade para N, temos que as correspondentes cartas φ_{0} em N constituem um atlas para N (contido na estrutura diferenciável induzida por M em N) e as correspondentes cartas T φ_{0} em T N constituem um atlas para T N contido na estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de N. Vimos acima que a cada carta de subvariedade φ para N está também associada uma carta de subvariedade α ∘ T φ para T N; tal carta restringe-se a uma carta:

α ∘ T φ|_{π^{−1}(U)∩T N} : π^{−1}(U) ∩ T N ⟶ α(Ũ × IR^{n}) ∩ IR^{2p}  (1)

em T N e quando φ percorre o conjunto de todas as cartas de subvariedade para N, temos que as correspondentes cartas (1) em T N constituem um atlas contido na estrutura diferenciável induzida por T M em T N. Para mostrar que a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de N coincide com a estrutura diferenciável induzida por T M em T N, é suficiente verificar que a carta (1) coincide com a carta T φ_{0}. Tome então x ∈ U ∩ N, v ∈ T_{x}N e escreva φ_{0}(x) = (z_{1}, …, z_{p}) e dφ_{0}(x) · v = (h_{1}, …, h_{p}). Temos:

φ(x) = (z_{1}, …, z_{p}, \underbrace{0, …, 0}_{n−p zeros}), dφ(x) · v = (h_{1}, …, h_{p}, \underbrace{0, …, 0}_{n−p zeros}),

e portanto a carta (1) de fato coincide com a carta T φ_{0}. Observaç~ ao: se M é uma variedade diferenciável de classe C^{1} e se N ⊂ M é uma subvariedade de M de classe C^{1} então não podemos dizer que T N é uma subvariedade de T M de classe C^{0}, pois nós introduzimos a noção de subvariedade apenas para variedades diferenciáveis de classe C^{1}. No entanto, o argumento apresentado na demonstração do Teorema acima implica que a estrutura diferenciável (de classe C^{0}) usual do fibrado tangente de N contém um atlas formado por restrições de cartas de T M. Isso implica que a topologia de T N (induzida pelo seu atlas) coincide com a topologia induzida por T M.

Corolário. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), N ⊂ M uma subvariedade de classe C^{k} e X um campo vetorial em M de classe C^{k−1} tal que X(x) ∈ T_{x}N, para todo x ∈ N. Então X|_{N} : N → T N é um campo vetorial de classe C^{k−1} em N.

Demonstração. A condição X(x) ∈ T_{x}N, para todo x ∈ N, significa que X(N) ⊂ T N. O fato que X|_{N} : N → T N é de classe C^{k−1} segue então diretamente do Teorema anterior (para o caso k = 1, veja a Observação que segue o Teorema).

Corolário. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞) e seja f : N → M um mergulho de classe C^{k}. Então df : T N → T M é um mergulho de classe C^{k−1}.

Demonstração. Como f é um mergulho de classe C^{k}, temos que f(N) é uma subvariedade de M de classe C^{k} e a aplicação f_{0} : N → f(N) que difere de f apenas pelo contradomínio é um difeomorfismo de classe C^{k}. Daí, pelo Teorema anterior, T [f(N)] é uma subvariedade de classe C^{k−1} de T M e portanto a aplicação inclusão de T [f(N)] em T M é um mergulho de classe C^{k−1}, sendo T [f(N)] munida da estrutura diferenciável induzida por T M. Como f_{0} é um difeomorfismo de classe C^{k}, temos que df_{0} : T N → T [f(N)] é um difeomorfismo de classe C^{k−1}, sendo T [f(N)] munida da estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de f(N). Como a estrutura diferenciável usual do fibrado tangente de f(N) coincide com a estrutura diferenciável induzida por T M em T [f(N)] e como df : T N → T M é igual à composta de df_{0} com a inclusão de T [f(N)] em T M, segue que df é um mergulho de classe C^{k−1}.

Cálculo no IR^{n}.

1.

(a) Seja ϕ : U → Lin(IR^{m}, IR^{n}) uma função de classe C^{k}, onde U ⊂ IR^{p} é um aberto e Lin(IR^{m}, IR^{n}) denota o espaço vetorial das aplicações lineares T : IR^{m} → IR^{n}. Mostre que a aplicação σ : U × IR^{m} → IR^{n} definida por σ(x, v) = ϕ(x) · v é de classe C^{k}. Se k ≥ 1, mostre que a diferencial de σ é dada por:

dσ(x, v) · (h, t) = [dϕ(x) · h] · v + ϕ(x) · t.

[dica: a função λ : Lin(IR^{m}, IR^{n}) × IR^{m} → IR^{n} definida por λ(T, v) = T (v) é bilinear e σ = λ ∘ (ϕ ∘ π_{1}, π_{2}), onde π_{1}, π_{2} denotam as projeções do produto U × IR^{m}. Para calcular a diferencial de σ, use o fato que a diferencial da aplicação bilinear λ é dada por dλ(T, v) · (H, w) = λ(T, w) + λ(H, v)].

(b) Seja f : U → IR^{n} uma função de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) definida num aberto U de IR^{m}. Mostre que a aplicação σ : U ×IR^{m} → IR^{n} definida por σ(x, v) = df(x)·v é de classe C^{k−1}. Se k ≥ 2, mostre que a diferencial de σ é dada por:

dσ(x, v) · (h, t) = [d(df)(x) · h] · v + df(x) · t.

[dica: tome ϕ = df no item (a)].

Fibrado tangente.

2. Sejam M_{1}, …, M_{p} variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), M = ∏_{i=1}^{p} M_{i} o seu produto cartesiano e pr_{i} : M → M_{i}, i = 1, …, p, as projeções. Mostre que a aplicação:

(d(pr_{1}), …, d(pr_{p})) : T M ⟶ ∏_{i=1}^{p} T M_{i}

é um difeomorfismo de classe C^{k−1}. [dica: a aplicação acima é de classe C^{k−1} (veja seção 4, aula número 5) e é bijetora (veja seção 3, aula número 7). Para ver que sua inversa é de classe C^{k−1}, tome uma carta φ_{i} : U_{i} → Ũ_{i} ⊂ IR^{n_{i}} em M_{i}, para i = 1, …, p. Denote por π_{i} : T M_{i} → M_{i} a projeção canônica do fibrado tangente de M_{i} e por π : T M → M a projeção canônica do fibrado tangente de M. Daí T φ_{i} : π_{i}^{−1}(U_{i}) → Ũ_{i} × IR^{n_{i}} é uma carta em T M_{i}, para i = 1, …, p, ∏_{i=1}^{p} φ_{i} : ∏_{i=1}^{p} U_{i} → ∏_{i=1}^{p} Ũ_{i} é uma carta em M e temos também as cartas:

T ( ∏_{i=1}^{p} φ_{i}) : π^{−1}( ∏_{i=1}^{p} U_{i}) ⟶ ( ∏_{i=1}^{p} Ũ_{i}) × ( ∏_{i=1}^{p} IR^{n_{i}}),

∏_{i=1}^{p} T φ_{i} : ∏_{i=1}^{p} π_{i}^{−1}(U_{i}) ⟶ ∏_{i=1}^{p} (Ũ_{i} × IR^{n_{i}}),

nas variedades T M e ∏_{i=1}^{p} T M_{i}, respectivamente.

Usando o resultado do item (b) do Exercício 7 da aula número 10, verifique que a representação da aplicação (d(pr_{1}), …, d(pr_{p})) com respeito às cartas T ( ∏_{i=1}^{p} φ_{i}) e ∏_{i=1}^{p} T φ_{i} é dada por:

( ∏_{i=1}^{p} Ũ_{i}) × ( ∏_{i=1}^{p} IR^{n_{i}}) ∋ (z_{1}, …, z_{p}, h_{1}, …, h_{p}) ⟼ (z_{1}, h_{1}, …, z_{p}, h_{p}) ∈ ∏_{i=1}^{p} (Ũ_{i} × IR^{n_{i}}).

A aplicação acima é obviamente um difeomorfismo de classe C^{∞}]. Observaç~ ao: o Exercício 2 nos diz que o fibrado tangente de um produto cartesiano de variedades diferenciáveis pode ser naturalmente identificado com o produto cartesiano dos seus fibrados tangentes.

3. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞) e f : M → N uma aplicação de classe C^{k}. Mostre que:

(a) se f é um difeomorfismo local então df : T M → T N é um difeomorfismo local; [dica: se U ⊂ M, V ⊂ N são abertos tais que f|_{U} : U → V é um difeomorfismo de classe C^{k} então df|_{π^{−1}(U)} : π^{−1}(U) → π^{−1}(V) é um difeomorfismo de classe C^{k−1}].

(b) se f é uma imersão então df : T M → T N é uma imersão;

(c) se f é uma submersão então df : T M → T N é uma submersão.

[dica: para os itens (b) e (c), sejam φ : U → Ũ ⊂ IR^{m} uma carta de M e ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{n} uma carta de N com f(U) ⊂ V. Vimos no texto que, se f̃ denota a representação de f com respeito às cartas φ e ψ então a representação de df com respeito às cartas T φ e T ψ é dada por:

Ũ × IR^{m} ∋ (z, h) ⟼ (f̃(z), df̃(z) · h) ∈ Ṽ × IR^{n}.

Usando o resultado do Exercício 1, vê-se que a diferencial da aplicação acima num ponto (z, h) ∈ Ũ × IR^{m} é dada por:

IR^{m} × IR^{m} ∋ (w, t) ⟼ (df̃(z) · w, (d(df̃)(z) · w) · h + df̃(z) · t) ∈ IR^{n} × IR^{n}. (∗)

Verifique que se a aplicação df̃(z) é injetora (resp., sobrejetora) então a aplicação (∗) também é injetora (resp., sobrejetora)].

4. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja X : M → T M o campo vetorial nulo, i.e., para todo x ∈ M, X(x) é o vetor nulo de T_{x}M. Mostre que X é de classe C^{k−1}.

[dica: a representação do campo vetorial X em qualquer carta de M é uma aplicação nula].

5. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). É fácil ver que o conjunto Γ de todos os campos vetoriais em M, munido das operações:

(X + Y)(x) = X(x) + Y (x), (cX)(x) = cX(x), X, Y ∈ Γ, c ∈ IR, x ∈ M,

é um espaço vetorial real. Mostre que o conjunto dos campos vetoriais de classe C^{k−1} em M é um subespaço de Γ.

[dica: se φ : U → Ũ é uma carta em M e se X̃, Ỹ denotam respectivamente as representações de X e Y com respeito à carta φ então X̃ + Ỹ e cX̃ são respectivamente as representações com respeito à carta φ dos campos X + Y e cX. Use também o resultado do Exercício 4].

6. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja X : M → T M um campo vetorial contínuo. Mostre que X : M → X(M) é um homeomorfismo e que X(M) é um subconjunto fechado de T M.

[dica: use o resultado dos Exercícios 9 e 11 da aula número 9, levando em conta que a projeção canônica π : T M → M é uma inversa à esquerda contínua para X].

(1) O Hessiano de uma função numa variedade diferenciável. Nesta seção generalizamos para o contexto de variedades diferenciáveis a noção de

Hessiano de uma função de classe C^{2}. Para o caso de funções no espaço Euclideano, o Hessiano é bem definido em qualquer ponto do domínio, mas, como veremos adiante, no caso de funções em variedades diferenciáveis, o Hessiano só é bem definido nos pontos onde a diferencial da função se anula.

Começamos recordando a definição de Hessiano para funções no espaço Euclideano. Sejam U ⊂ IR^{m} um aberto e f : U → IR^{n} uma função diferenciável. A diferencial de f é uma aplicação definida em U e tomando valores no espaço vetorial real Lin(IR^{m}, IR^{n}) das aplicações lineares T : IR^{m} → IR^{n}. Se a diferencial df : U → Lin(IR^{m}, IR^{n}) é novamente uma aplicação diferenciável num ponto x ∈ U, dizemos então que f é duas vezes diferenciável no ponto x. Nesse caso, podemos considerar a diferencial de df no ponto x:

d^{2}f(x) = d(df)(x) : IR^{m} ⟶ Lin(IR^{m}, IR^{n}).

Temos d(df)(x) ∈ Lin(IR^{m}, Lin(IR^{m}, IR^{n})). A diferencial de segunda ordem ou Hessiano de f no ponto x é a aplicação d^{(2)}f(x) : IR^{m} × IR^{m} → IR^{n} definida por:

d^{(2)}f(x)(v, w) = (d^{2}f(x) · v) · w,

para todos v, w ∈ IR^{m}. Temos que d^{(2)}f(x) é uma aplicação bilinear (veja Exercício 1). Na verdade, o Teorema de Schwarz nos diz que d^{(2)}f(x) é uma aplicação bilinear simétrica, i.e., d^{(2)}f(x)(v, w) = d^{(2)}f(x)(w, v), para todos v, w ∈ IR^{m} (veja Curso de Análise vol. 2, Elon Lages Lima, §1, Capítulo V).

O Lema a seguir relaciona o Hessiano de f com as derivadas parciais de segunda ordem de f.

Lema. Seja f : U → IR^{n} uma função diferenciável num aberto U ⊂ IR^{m} e suponha que f seja duas vezes diferenciável num ponto x_{0} ∈ U. Se (e_{i})_{i=1}^{m} denota a base canônica de IR^{m} então:

d^{(2)}f(x_{0})(e_{i}, e_{j}) = \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x_{0}) = \frac{∂}{∂x_{i}} (\frac{∂f}{∂x_{j}} )(x_{0}),

para todos i, j = 1, …, m.

Demonstração. Sejam i, j = 1, …, m fixados. Temos:

\frac{∂f}{∂x_{j}} (x) = df(x) · e_{j},

para todo x ∈ U. Denote por λ : Lin(IR^{m}, IR^{n}) → IR^{n} a aplicação de avaliação em e_{j}, i.e., λ(T) = T (e_{j}), para todo T ∈ Lin(IR^{m}, IR^{n}). Daí:

\frac{∂f}{∂x_{j}} = λ ∘ df.

Diferenciando a igualdade acima dos dois lados no ponto x_{0} e usando a regra da cadeia obtemos:

d(\frac{∂f}{∂x_{j}} )(x_{0}) = dλ(df(x_{0})) ∘ d(df)(x_{0}).

Como λ é linear, temos dλ(df(x_{0})) = λ; avaliando então os dois lados da igualdade acima em e_{i}, obtemos:

d(\frac{∂f}{∂x_{j}} )(x_{0}) · e_{i} = \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x_{0}) = λ(d(df)(x_{0}) · e_{i}) = (d(df)(x_{0}) · e_{i}) · e_{j}.

A conclusão segue observando que:

(d(df)(x_{0}) · e_{i}) · e_{j} = (d^{2}f(x_{0}) · e_{i}) · e_{j} = d^{(2)}f(x_{0})(e_{i}, e_{j}).

Corolário. Seja γ : I → IR^{n} uma aplicação diferenciável num aberto I ⊂ IR e suponha que γ é duas vezes diferenciável num ponto t_{0} ∈ I. Então:

γ′′(t_{0}) = d^{(2)}γ(t_{0})(1, 1).

Demonstração. Segue do Lema anterior, tomando m = 1.

Se f : M → IR^{p} é uma função de classe C^{2} definida numa variedade diferenciável M de classe C^{2} então a diferencial de f é uma aplicação de classe C^{1} definida no fibrado tangente T M e tomando valores em T IR^{p} = IR^{p} × IR^{p}. Se diferenciarmos a diferencial de f num ponto v ∈ T M, obteremos uma aplicação definida em T_{v}T M e não uma aplicação bilinear definida num espaço tangente a M em algum ponto. Como procedemos então para definir o Hessiano de uma função f : M → IR^{p} ? A idéia é considerar uma representação f̃ de f em alguma carta φ de M, tomar o Hessiano de f̃ e depois “transferir de volta” a aplicação bilinear obtida no espaço Euclideano para o espaço tangente. Para formalizar esse procedimento, introduzimos a seguinte:

Definição. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), x ∈ M um ponto e B : T_{x}M × T_{x}M → IR^{p} uma aplicação bilinear. Se φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} é uma carta em M com x ∈ U então a aplicação bilinear B̃ : IR^{n} × IR^{n} → IR^{p} definida por:

B̃(h_{1}, h_{2}) = B(dφ(x)^{−1} · h_{1}, dφ(x)^{−1} · h_{2}), h_{1}, h_{2} ∈ IR^{n},

é dita a aplicação bilinear que representa B com respeito à carta φ.

Obviamente, se B̃ : IR^{n} × IR^{n} → IR^{p} é uma aplicação bilinear e φ : U → Ũ é uma carta com x ∈ U então existe uma única aplicação bilinear B : T_{x}M × T_{x}M → IR^{p} tal que B̃ representa B com respeito à carta φ; de fato, B é dada por:

B(v_{1}, v_{2}) = B̃(dφ(x) · v_{1}, dφ(x) · v_{2}),

para todos v_{1}, v_{2} ∈ T_{x}M.

Para definir o Hessiano de uma função f : M → IR^{p} num ponto x ∈ M usando representações em coordenadas, precisamos verificar que tal definição não depende da carta escolhida em M. Veremos adiante que isso só é verdade quando df(x) = 0. Para demonstrar isso, precisamos estudar a relação entre as representações de uma aplicação bilinear B : T_{x}M × T_{x}M → IR^{p} em duas cartas diferentes de M. Temos o seguinte:

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja x ∈ M um ponto. Sejam φ : U → Ũ ⊂ IR^{n}, ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{n} cartas em M com x ∈ U ∩ V e sejam B_{1} : T_{x}M × T_{x}M → IR^{p}, B_{2} : T_{x}M × T_{x}M → IR^{p} aplicações bilineares. Denote por B̃_{1} : IR^{n} × IR^{n} → IR^{p} a aplicação bilinear que representa B_{1} com respeito à carta φ e por B̃_{2} : IR^{n} × IR^{n} → IR^{p} a aplicação bilinear que representa B_{2} com respeito à carta ψ. Então B_{1} = B_{2} se e somente se:

B̃_{2}(T h_{1}, T h_{2}) = B̃_{1}(h_{1}, h_{2}),  (∗)

para todos h_{1}, h_{2} ∈ IR^{n}, onde T : IR^{n} → IR^{n} denota a diferencial da função de transição ψ ∘ φ^{−1} no ponto φ(x).

Demonstração. Em primeiro lugar, observamos que:

T = dψ(x) ∘ dφ(x)^{−1}.

Suponha que B_{1} = B_{2} e provemos (∗). Sejam h_{1}, h_{2} ∈ IR^{n} e sejam v_{1}, v_{2} ∈ T_{x}M com h_{1} = dφ(x) · v_{1}, h_{2} = dφ(x) · v_{2}. Daí:

B̃_{1}(h_{1}, h_{2}) = B_{1}(v_{1}, v_{2}) = B_{2}(v_{1}, v_{2}) = B̃_{2}(dψ(x) · v_{1}, dψ(x) · v_{2});

mas:

dψ(x) · v_{1} = (dψ(x) ∘ dφ(x)^{−1}) · h_{1} = T h_{1}, dψ(x) · v_{2} = (dψ(x) ∘ dφ(x)^{−1}) · h_{2} = T h_{2},

o que prova (∗). Suponha agora que a identidade (∗) é satisfeita e provemos que B_{1} = B_{2}. Sejam v_{1}, v_{2} ∈ T_{x}M e defina h_{1} = dφ(x) · v_{1}, h_{2} = dφ(x) · v_{2}. Daí:

B_{1}(v_{1}, v_{2}) = B̃_{1}(h_{1}, h_{2}) = B̃_{2}(T h_{1}, T h_{2}) = B_{2}(dψ(x)^{−1} · T h_{1}, dψ(x)^{−1} · T h_{2});

mas:

dψ(x)^{−1} · T h_{1} = dφ(x)^{−1} · h_{1} = v_{1}, dψ(x)^{−1} · T h_{2} = dφ(x)^{−1} · h_{2} = v_{2}.

Concluímos então que B_{1}(v_{1}, v_{2}) = B_{2}(v_{1}, v_{2}).

Observamos que no caso p = 1, a condição B̃_{2}(T h_{1}, T h_{2}) = B̃_{1}(h_{1}, h_{2}) que aparece no enunciado do Lema acima pode ser descrita em termos das representações matriciais de B̃_{1}, B̃_{2} e T (veja Exercício 2).

Corolário. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja x ∈ M um ponto. Suponha que para toda carta φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} em M com x ∈ U seja dada uma aplicação bilinear B_{φ} : IR^{n} × IR^{n} → IR^{p}. As seguintes condições são equivalentes:

(a) existe uma aplicação bilinear B : T_{x}M × T_{x}M → IR^{p} tal que, para qualquer carta φ : U → Ũ em M com x ∈ U, temos que B_{φ} representa B com respeito à carta φ;

(b) para quaisquer cartas φ : U → Ũ, ψ : V → Ṽ em M com x ∈ U ∩ V, temos B_{ψ}(T h_{1}, T h_{2}) = B_{φ}(h_{1}, h_{2}), para todos h_{1}, h_{2} ∈ IR^{n}, onde T : IR^{n} → IR^{n} denota a diferencial da função de transição ψ ∘ φ^{−1} no ponto φ(x).

Demonstração. Segue diretamente do Lema anterior.

Utilizando o Lema a seguir, seremos capazes de comparar os Hessianos de representações de uma função f : M → IR^{p} em duas cartas diferentes de M.

Lema. Sejam f : U → IR^{p}, α : V → IR^{m} funções diferenciáveis definidas em abertos U ⊂ IR^{m}, V ⊂ IR^{n}, com α(V) ⊂ U. Suponha que α seja duas vezes diferenciável num ponto x_{0} ∈ V e que f seja duas vezes diferenciável no ponto y_{0} = α(x_{0}) ∈ U. Então f ∘ α é duas vezes diferenciável no ponto x_{0} e seu Hessiano nesse ponto é dado por:

d^{(2)}(f ∘ α)(x_{0})(v, w) = d^{(2)}f(y_{0})(dα(x_{0}) · v, dα(x_{0}) · w) + df(y_{0}) · d^{(2)}α(x_{0})(v, w),

para todos v, w ∈ IR^{n}.

Demonstração. Pela regra da cadeia, temos:

d(f ∘ α)(x) = df(α(x)) ∘ dα(x),  (1)

para todo x ∈ V. Seja C : Lin(IR^{m}, IR^{p}) × Lin(IR^{n}, IR^{m}) → Lin(IR^{n}, IR^{p}) a aplicação definida por:

C(T, S) = T ∘ S.

Temos que C é bilinear e portanto de classe C^{∞}; além do mais, a diferencial de C num ponto arbitrário (T, S) é dada por:

dC(T, S) · (H, K) = C(H, S) + C(T, K) = H ∘ S + T ∘ K.

De (1) vem:

d(f ∘ α) = C ∘ ((df) ∘ α, dα),

onde ((df) ∘ α, dα) : V → Lin(IR^{m}, IR^{p}) × Lin(IR^{n}, IR^{m}) denota a aplicação cujas coordenadas são (df) ∘ α e dα. Da igualdade acima vê-se que d(f ∘ α) é diferenciável no ponto x_{0} e portanto f ∘ α é duas vezes diferenciável no ponto x_{0}; diferenciando os dois lados da igualdade acima no ponto x_{0} e usando a regra da cadeia, obtemos:

d^{2}(f ∘ α)(x_{0}) = dC(df(y_{0}), dα(x_{0})) ∘ (d((df) ∘ α)(x_{0}), d^{2}α(x_{0})).

Aplicando os dois lados da igualdade acima a um vetor v ∈ IR^{n}, obtemos:

d^{2}(f ∘ α)(x_{0}) · v = dC(df(y_{0}), dα(x_{0})) · (d((df) ∘ α)(x_{0}) · v, d^{2}α(x_{0}) · v)
= [d((df) ∘ α)(x_{0}) · v] ∘ dα(x_{0}) + df(y_{0}) ∘ (d^{2}α(x_{0}) · v).

(2)

Note que:

d((df) ∘ α)(x_{0}) = d^{2}f(y_{0}) ∘ dα(x_{0});

substituindo a igualdade acima em (2) obtemos:

d^{2}(f ∘ α)(x_{0}) · v = [d^{2}f(y_{0}) · (dα(x_{0}) · v)] ∘ dα(x_{0}) + df(y_{0}) ∘ (d^{2}α(x_{0}) · v).

Aplicando os dois lados da igualdade acima num vetor w ∈ IR^{n}, chegamos à igualdade:

(d^{2}(f ∘ α)(x_{0}) · v) · w = [d^{2}f(y_{0}) · (dα(x_{0}) · v)] · (dα(x_{0}) · w) + df(y_{0}) · [(d^{2}α(x_{0}) · v) · w].

A conclusão é obtida agora observando a relação que existe entre as aplicações lineares d^{2}(f ∘ α)(x_{0}), d^{2}f(y_{0}), d^{2}α(x_{0}) e as aplicações bilineares d^{(2)}(f ∘ α)(x_{0}), d^{(2)}f(y_{0}) e d^{(2)}α(x_{0}), respectivamente.

Corolário. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞), f : M → IR^{p} uma função de classe C^{2} e x ∈ M um ponto tal que df(x) = 0. Então existe uma única aplicação bilinear B : T_{x}M × T_{x}M → IR^{p} tal que, para toda carta φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} em M com x ∈ U, temos que a aplicação bilinear d^{(2)}(f ∘ φ^{−1})(φ(x)) : IR^{n} × IR^{n} → IR^{p} representa B com respeito à carta φ.

Demonstração. Para cada carta φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} na variedade M com x ∈ U definimos B_{φ} = d^{(2)}(f ∘ φ^{−1})(φ(x)). Daí B_{φ} : IR^{n} × IR^{n} → IR^{p} é uma aplicação bilinear. Por um Corolário demonstrado anteriormente nesta seção, vemos que a existência da aplicação B : T_{x}M × T_{x}M → IR^{p} que aparece no enunciado é equivalente à validade da seguinte propriedade: dadas cartas φ : U → Ũ, ψ : V → Ṽ em M com x ∈ U ∩ V, vale a igualdade:

B_{ψ}(T h_{1}, T h_{2}) = B_{φ}(h_{1}, h_{2}),

para todos h_{1}, h_{2} ∈ IR^{n}, onde T : IR^{n} → IR^{n} denota a diferencial da função de transição ψ ∘ φ^{−1} no ponto φ(x).

Seja f̃_{1} = f ∘ φ^{−1} a representação de f com respeito à carta φ e f̃_{2} = f ∘ ψ^{−1} a representação de f com respeito à carta ψ; se α = ψ ∘ φ^{−1} denota a função de transição de φ para ψ então f̃_{2} ∘ α coincide com f̃_{1} na vizinhança aberta φ(U ∩ V) de φ(x). Temos então:

B_{φ}(h_{1}, h_{2}) = d^{(2)}f̃_{1}(φ(x))(h_{1}, h_{2}) = d^{(2)}(f̃_{2} ∘ α)(φ(x))(h_{1}, h_{2}),

para todos h_{1}, h_{2} ∈ IR^{n}. Levando em conta que α(φ(x)) = ψ(x) e dα(φ(x)) = T, o Lema anterior nos dá:

\begin{aligned}B_{φ}(h_{1}, h_{2}) & = d^{(2)}f̃_{2}(ψ(x))(T h_{1}, T h_{2}) + df̃_{2}(ψ(x)) · d^{(2)}α(φ(x))(h_{1}, h_{2}) \\ & = B_{ψ}(T h_{1}, T h_{2}) + df̃_{2}(ψ(x)) · d^{(2)}α(φ(x))(h_{1}, h_{2}), \end{aligned}

para todos h_{1}, h_{2} ∈ IR^{n}. A igualdade B_{φ}(h_{1}, h_{2}) = B_{ψ}(T h_{1}, T h_{2}) é obtida agora observando que:

df̃_{2}(ψ(x)) = df(x) ∘ dψ(x)^{−1} = 0.

Estamos agora em condições de apresentar a definição central desta seção.

Definição. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞), f : M → IR^{p} uma função de classe C^{2} e x ∈ M um ponto tal que df(x) = 0. A aplicação bilinear B : T_{x}M × T_{x}M → IR^{p} satisfazendo a propriedade que aparece no enunciado do Corolário anterior é chamada o Hessiano de f no ponto x e é denotada por d^{(2)}f(x).

Observe que se f : M → IR^{p} é uma função de classe C^{2} e φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} é uma carta em M com x ∈ U então a definição de d^{(2)}f(x) nos dá diretamente a seguinte identidade:

d^{(2)}f(x)(v, w) = d^{(2)}(f ∘ φ^{−1})(φ(x))(dφ(x) · v, dφ(x) · w),

para todos v, w ∈ T_{x}M.

Observaç~ ao: se U é um aberto de IR^{m} e f : U → IR^{p} é uma função de classe C^{2} então o Hessiano de f num ponto x da variedade diferenciável U no qual df(x) = 0 coincide com o Hessiano usual de f no ponto x do Cálculo no IR^{n}. Para ver isso, basta calcular o Hessiano de f na variedade U usando a carta Id : U → U. Note que, do ponto de vista do Cálculo no IR^{n}, o Hessiano de f está bem definido em todo ponto de U, mas do ponto de vista do Cálculo em Variedades o Hessiano de f só está bem definido nos pontos x ∈ U com df(x) = 0. Observaç~ ao: o Hessiano de uma função f : M → IR^{p} num ponto x ∈ M com df(x) = 0 é uma aplicação bilinear simétrica. Isso segue diretamente do fato que o Hessiano de uma função no espaço Euclideano é uma aplicação bilinear simétrica.

O Teorema seguinte (e principalmente seu Corolário) fornecem um método prático para calcular o Hessiano de uma função definida numa variedade diferenciável.

Teorema. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞), g : N → M, f : M → IR^{p} aplicações de classe C^{2} e y ∈ N um ponto tal que df(g(y)) = 0. Então d(f ∘ g)(y) = 0 e:

d^{(2)}(f ∘ g)(y)(v, w) = d^{(2)}f(g(y))(dg(y) · v, dg(y) · w),

para todos v, w ∈ T_{y}N.

Demonstração. Obviamente d(f ∘g)(y) = df(g(y))∘dg(y) = 0. Sejam φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta em M e ψ : V → Ṽ ⊂ IR^{m} uma carta em N com y ∈ V e g(V) ⊂ U. Denote por f̃ = f ∘ φ^{−1} a representação de f com respeito à carta φ e por g̃ = φ ∘ g ∘ ψ^{−1} a representação de g com respeito às cartas ψ e φ. Daí f̃∘g̃ = (f ∘g)∘ψ^{−1} é a representação de f ∘ g com respeito à carta ψ. Temos então:

d^{(2)}(f ∘ g)(y)(v, w) = d^{(2)}(f̃∘ g̃)(ψ(y))(dψ(y) · v, dψ(y) · w),  (3)
d^{(2)}f(g(y))(v_{0}, w_{0}) = d^{(2)}f̃(φ(g(y)))(dφ(g(y)) · v_{0}, dφ(g(y)) · w_{0}),  (4)

para todos v, w ∈ T_{y}N, v_{0}, w_{0} ∈ T_{g(y)}M. Como g̃(ψ(y)) = φ(g(y)), o Lema anterior e a identidade (3) implicam:

d^{(2)}(f ∘ g)(y)(v, w) = d^{(2)}f̃(φ(g(y)))(dg̃(ψ(y)) · (dψ(y) · v), dg̃(ψ(y)) · (dψ(y) · w))
+ df̃(φ(g(y))) · d^{(2)}g̃(ψ(y))(dψ(y) · v, dψ(y) · w).

Como df̃(φ(g(y))) = df(g(y)) ∘ dφ(g(y))^{−1} = 0, obtemos:

d^{(2)}(f ∘ g)(y)(v, w) = d^{(2)}f̃(φ(g(y)))(dg̃(ψ(y)) · (dψ(y) · v), dg̃(ψ(y)) · (dψ(y) · w)).

Como g̃ ∘ ψ = φ ∘ g, temos dg̃(ψ(y)) ∘ dψ(y) = dφ(g(y)) ∘ dg(y) e portanto a igualdade acima fica:

d^{(2)}(f ∘ g)(y)(v, w) = d^{(2)}f̃(φ(g(y)))(dφ(g(y)) · (dg(y) · v), dφ(g(y)) · (dg(y) · w)).

A conclusão agora é obtida tomando v_{0} = dg(y) · v e w_{0} = dg(y) · w em (4).

Corolário. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞), f : M → IR^{p} uma função de classe C^{2} e x ∈ M um ponto com df(x) = 0. Dado v ∈ T_{x}M, escolha uma aplicação γ : I → M de classe C^{2} definida num aberto I ⊂ IR, com γ(t) = x e γ′(t) = v, para algum t ∈ I. Temos então:

d^{(2)}f(x)(v, v) = (f ∘ γ)′′(t).

Demonstração. Segue do Lema anterior, observando que d^{(2)}(f ∘γ)(t)(1, 1) = (f ∘γ)′′(t) e dγ(t) · 1 = γ′(t) = v. Observaç~ ao: o Corolário acima nos permite calcular o Hessiano de f no ponto x ∈ M em pares de vetores v, w ∈ T_{x}M com v = w. Como o Hessiano de f é uma aplicação bilinear simétrica, é fácil ver que a seguinte fórmula nos permite calcular o Hessiano de f em pares de vetores arbitrários, caso seja conhecido o Hessiano de f em pares de vetores iguais:

d^{(2)}f(x)(v, w) = \frac{1}{2}[d^{(2)}f(x)(v +w, v +w)−d^{(2)}f(x)(v, v)−d^{(2)}f(x)(w, w)], v, w ∈ T_{x}M.

A fórmula acima é conhecida como fórmula de polarização.

Álgebra linear.

Definição. Sejam V, W, Z espaços vetoriais. Uma aplicação B : V × W → Z é dita bilinear se para todo v ∈ V a aplicação W ∋ w ↦ B(v, w) ∈ Z é linear e para todo w ∈ W a aplicação V ∋ v ↦ B(v, w) ∈ Z é linear. Mais explicitamente, B é bilinear se:

B(v_{1} + cv_{2}, w) = B(v_{1}, w) + cB(v_{2}, w), B(v, w_{1} + cw_{2}) = B(v, w_{1}) + cB(v, w_{2}),

para todos v_{1}, v_{2}, v ∈ V, w_{1}, w_{2}, w ∈ W e para todo escalar c.

Denotamos por Bil(V, W; Z) o conjunto de todas as aplicações bilineares B : V × W → Z. É fácil ver que Bil(V, W; Z) é um espaço vetorial munido das operações:

(B + B′)(v, w) = B(v, w) + B′(v, w), (cB)(v, w) = cB(v, w),

para todos B, B′ ∈ Bil(V, W; Z), v ∈ V, w ∈ W e todo escalar c.

Se V = W escrevemos também:

Bil(V; Z) = Bil(V, W; Z).

1. Sejam V, W, Z espaços vetoriais. Dada uma aplicação linear T : V → Lin(W, Z), mostre que a aplicação B : V × W → Z definida por:

B(v, w) = T (v)(w), v ∈ V, w ∈ W,

é bilinear. Mostre que a aplicação:

Lin(V, Lin(W, Z)) ∋ T ⟼ B ∈ Bil(V, W; Z),

é um isomorfismo, onde B é definida em termos de T como acima.

2. Sejam V, W espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo K e B : V ×W → K uma aplicação bilinear. Se 𝔅 = (b_{i})_{i=1}^{n} é uma base de V e 𝔅′ = (b′_{i})_{i=1}^{m} é uma base de W então a matriz que representa a aplicação bilinear B com respeito às bases 𝔅 e 𝔅′ é a matriz [B]_{𝔅𝔅′} cuja entrada na linha i e coluna j é dada por B(b_{i}, b′_{j}), para todos i = 1, …, n, j = 1, …, m.

(a) Dados x ∈ V, y ∈ W, denote por [x]_{𝔅} a matriz coluna n × 1 cujas entradas são as coordenadas de x na base 𝔅 e denote por [y]_{𝔅′} a matriz coluna m × 1 cujas entradas são as coordenadas de y na base 𝔅′. Mostre que:

B(x, y) = [x]_{𝔅}^{t} [B]_{𝔅𝔅′} [y]_{𝔅′} = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} ([B]_{𝔅𝔅′})_{ij}([x]_{𝔅})_{i}([y]_{𝔅′})_{j},

onde [x]_{𝔅}^{t} denota a transposta da matriz [x]_{𝔅} e matrizes 1 × 1 com entradas em K são identificadas com elementos de K.

(b) Sejam V̂, Ŵ espaços vetoriais de dimensão finita sobre o corpo K, T : V̂ → V, S : Ŵ → W aplicações lineares e 𝔅̂, 𝔅̂′ bases de V̂ e Ŵ respectivamente. Considere a aplicação B̂ : V̂ × Ŵ → K definida por B̂(x, y) = B(T x, Sy), para todos x ∈ V̂, y ∈ Ŵ. Mostre que B̂ é bilinear e que a matriz que representa B̂ com respeito às bases 𝔅̂ e 𝔅̂′ é dada por:

[B̂]_{_{𝔅}_{𝔅′}} = [T]_{_{𝔅}𝔅}^{t} [B]_{𝔅𝔅′} [S]_{_{𝔅′}𝔅′},

onde [T]_{_{𝔅}𝔅} denota a matriz que representa a aplicação linear T com respeito às bases 𝔅̂, 𝔅 e [S]_{_{𝔅′}𝔅′} denota a matriz que representa a aplicação linear S com respeito às bases 𝔅̂′, 𝔅′ (veja Exercício 1 da aula número 1).

Definição. Sejam V_{1}, … V_{k}, W espaços vetoriais. Uma aplicação B : V_{1} × ⋯ × V_{k} → W é dita multi-linear (ou k-linear) se for linear em cada variável, i.e., se dados i = 1, …, k, v_{1} ∈ V_{1}, …, v_{i−1} ∈ V_{i−1}, v_{i+1} ∈ V_{i+1}, …, v_{k} ∈ V_{k}, a aplicação:

V_{i} ∋ v ⟼ B(v_{1}, …, v_{i−1}, v, v_{i+1}, …, v_{k}) ∈ W

é linear. Mais explicitamente, B é multi-linear se:

\begin{aligned}B(v_{1}, …, v_{i−1}, v_{i} + cv′_{i}, v_{i+1}, …, v_{k}) & = B(v_{1}, …, v_{i−1}, v_{i}, v_{i+1}, …, v_{k}) \\ & + cB(v_{1}, …, v_{i−1}, v′_{i}, v_{i+1}, …, v_{k}), \end{aligned}

para todos v_{1} ∈ V_{1}, …, v_{k} ∈ V_{k}, v′_{i} ∈ V_{i} e todo escalar c.

Denotamos por Mult-lin_{k}(V_{1}, …, V_{k}; W) o conjunto de todas as aplicações multi-lineares B : V_{1} × ⋯ × V_{k} → W. É fácil ver que Mult-lin_{k}(V_{1}, …, V_{k}; W) é um espaço vetorial munido das operações:

(B + B′)(v_{1}, …, v_{k}) = B(v_{1}, …, v_{k}) + B′(v_{1}, …, v_{k}), (cB)(v_{1}, …, v_{k}) = cB(v_{1}, …, v_{k}), para todos B, B′ ∈ Mult-lin_{k}(V_{1}, …, V_{k}; W), v_{1} ∈ V_{1}, …, v_{k} ∈ V_{k} e todo escalar c.

Se V_{1} = ⋯ = V_{k} = V, escrevemos também:

Mult-lin_{k}(V; W) = Mult-lin_{k}(V_{1}, …, V_{k}; W).

Note que Mult-lin_{1}(V; W) = Lin(V, W) e Mult-lin_{2}(V_{1}, V_{2}; W) = Bil(V_{1}, V_{2}; W).

3. Sejam V_{1}, …, V_{k}, W espaços vetoriais (k ≥ 2). Dada uma aplicação linear

T : V_{1} ⟶ Mult-lin_{k−1}(V_{2}, …, V_{k}; W),

mostre que a aplicação B : V_{1} × ⋯ × V_{k} → W definida por:

B(v_{1}, …, v_{k}) = T (v_{1})(v_{2}, …, v_{k}),

é multi-linear. Mostre que a aplicação:

Lin(V_{1}, Mult-lin_{k−1}(V_{2}, …, V_{k}; W)) ∋ T ⟼ B ∈ Mult-lin_{k}(V_{1}, …, V_{k}; W),

é um isomorfismo, onde B é definida em termos de T como acima.

Cálculo no IR^{n}.

Definição. Seja f : U → IR^{n} uma aplicação definida num aberto U ⊂ IR^{m}. A k-ésima diferencial de f (ou diferencial de f de ordem k) num ponto x ∈ U é (se existir) a aplicação multi-linear d^{(k)}f(x) ∈ Mult-lin_{k}(IR^{m}; IR^{n}) definida recursivamente da seguinte maneira. Se k = 1, d^{(1)}f(x) ∈ Lin(IR^{m}, IR^{n}) denota simplesmente a diferencial de f no ponto x (caso f seja diferenciável no ponto x). Supondo a k-ésima diferencial:

d^{(k)}f : U ∋ x ⟼ d^{(k)}f(x) ∈ Mult-lin_{k}(IR^{m}; IR^{n})

definida em U, e supondo que a aplicação d^{(k)}f seja diferenciável num ponto x ∈ U, definimos a (k + 1)-ésima diferencial de f no ponto x fazendo:

d^{(k+1)}f(x)(v_{1}, v_{2}, …, v_{k+1}) = d(d^{(k)}f)(x)(v_{1})(v_{2}, …, v_{k+1}),

para todos v_{1}, …, v_{k+1} ∈ IR^{m}.

Note que d(d^{(k)}f)(x) ∈ Lin(IR^{m}, Mult-lin_{k}(IR^{m}; IR^{n})) e portanto d^{(k+1)}f(x) é de fato uma aplicação (k + 1)-linear, pelo resultado do Exercício 3.

4. Sejam f : U → IR^{p}, α : V → IR^{m} funções duas vezes diferenciáveis definidas em abertos U ⊂ IR^{m}, V ⊂ IR^{n}, com α(V) ⊂ U. Suponha que α seja três vezes diferenciável num ponto x_{0} ∈ U e que f seja três vezes diferenciável no ponto y_{0} = α(x_{0}) (i.e., d^{(2)}α é diferenciável no ponto x_{0} e d^{(2)}f é diferenciável no ponto y_{0}). Mostre que f ∘ α é três vezes diferenciável no ponto x_{0} e que sua terceira diferencial nesse ponto é dada por:

d^{(3)}(f ∘ α)(x_{0})(u, v, w) = d^{(3)}f(y_{0})(dα(x_{0}) · u, dα(x_{0}) · v, dα(x_{0}) · w)
+ d^{(2)}f(y_{0})(d^{(2)}α(x_{0})(u, v), dα(x_{0}) · w)
+ d^{(2)}f(y_{0})(dα(x_{0}) · v, d^{(2)}α(x_{0})(u, w))
+ d^{(2)}f(y_{0})(dα(x_{0}) · u, d^{(2)}α(x_{0})(v, w))
+ df(y_{0}) · d^{(3)}α(x_{0})(u, v, w),

para todos u, v, w ∈ IR^{n}. [dica: considere as aplicações:

C_{1} : Bil(IR^{m}; IR^{p}) × Lin(IR^{n}, IR^{m}) × Lin(IR^{n}, IR^{m}) ⟶ Bil(IR^{n}; IR^{p}),
C_{2} : Lin(IR^{m}, IR^{p}) × Bil(IR^{n}; IR^{m}) ⟶ Bil(IR^{n}; IR^{p}),

definidas por:

C_{1}(B, T, S)(v, w) = B(T v, Sw), B ∈ Bil(IR^{m}; IR^{p}), T, S ∈ Lin(IR^{n}, IR^{m}), v, w ∈ IR^{n}, C_{2}(T, B)(v, w) = T (B(v, w)), T ∈ Lin(IR^{m}, IR^{p}), B ∈ Bil(IR^{n}; IR^{m}), v, w ∈ IR^{n}.

Segue de um Lema provado no texto que:

d^{(2)}(f ∘ α) = C_{1} ∘ ((d^{(2)}f) ∘ α, dα, dα) + C_{2} ∘ ((df) ∘ α, d^{(2)}α).

Como C_{1} é trilinear e C_{2} é bilinear, suas diferenciais são dadas por:

dC_{1}(B, T, S) · (H, K, L) = C_{1}(H, T, S) + C_{1}(B, K, S) + C_{1}(B, T, L),
dC_{2}(T, B) · (L, H) = C_{2}(L, B) + C_{2}(T, H).

Calcule a diferencial de d^{(2)}(f ∘ α) no ponto x_{0} usando as identidades acima e a regra da cadeia; aplique o resultado obtido a um vetor u ∈ IR^{n} e depois a um par (v, w) ∈ IR^{n}×IR^{n}].

Representaç~ oes em coordenadas.

5. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), x ∈ M um ponto e L : T_{x}M → T_{x}M um operador linear. Dada uma carta φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} em M com x ∈ U então o operador linear que representa L com respeito à carta φ é o operador linear L̃ : IR^{n} → IR^{n} definido por:

L̃ = dφ(x) ∘ L ∘ dφ(x)^{−1}.

Sejam L_{1} : T_{x}M → T_{x}M, L_{2} : T_{x}M → T_{x}M operadores lineares e φ : U → Ũ, ψ : V → Ṽ cartas em M com x ∈ U ∩ V. Denote por L̃_{1} o operador linear em IR^{n} que representa L_{1} com respeito à carta φ e por L̃_{2} o operador linear em IR^{n} que representa L_{2} com respeito à carta ψ. Mostre que L_{1} = L_{2} se e somente se:

L̃_{2} = T ∘ L̃_{1} ∘ T^{−1},

onde T : IR^{n} → IR^{n} denota a diferencial da função de transição ψ ∘ φ^{−1} no ponto φ(x).

Aula número 17 (15/10)

A aula número 17 cobriu parte do material originalmente destinado à aula número 16.

Aula número 18 (17/10)

A aula número 18 foi destinada à resolução de uma lista de exercícios (como preparação para a primeira prova).

Aula número 19 (22/10)

A aula número 19 foi destinada à realização da primeira prova.

Aula número 20 (24/10)

A aula número 20 foi destinada à resolução das questões da prova.

(1) Partições da unidade.

Até agora, todos os resultados sobre variedades diferenciáveis que apresentamos foram de natureza local e suas demonstrações reduziam-se, através da escolha de sistemas de coordenadas, a um problema de Cálculo no IR^{n}. Apresentamos nesta seção a primeira ferramenta para o estudo de propriedades globais de variedades diferenciáveis: as partições da unidade.

O material desta seção depende de alguns pré-requisitos de topologia que serão desenvolvidos na seção 2 e nos exercícios que aparecem no final da aula (veja também os exercícios da aula número 11; também na seção 2 da aula número 11 fizemos uma recordação de algumas noções de topologia). O leitor pode preferir fazer uma leitura preliminar do material da seção 2, de modo a se familiarizar com todos os pré-requisitos de topologia necessários para a compreensão do material desta seção (utilizaremos as noções de família pontualmente finita e localmente finita de subconjuntos de um espaço topológico; utilizaremos também o fato que variedades diferenciáveis são espaços regulares e normais).

Recordamos que se X é um espaço topológico e V é um espaço vetorial então o suporte de uma aplicação f : X → V é definido por:

supp f = \overline{f^{−1}(V \ \{0\})},

i.e., o suporte de f é o fecho do conjunto dos pontos de X onde f não se anula. Intuitivamente, o suporte de f é um subconjunto de X onde f está “concentrada”; de modo mais preciso, se x ∈ X é um ponto fora do suporte de f então f é nula numa vizinhança de x.

Definição. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} e seja M = ⋃_{i∈I} U_{i} uma cobertura aberta de M. Uma partição da unidade de classe C^{k} subordinada à cobertura M = ⋃_{i∈I} U_{i} é uma família (ξ_{i})_{i∈I} de funções ξ_{i} : M → IR de classe C^{k} tais que:

(a) ξ_{i}(M) ⊂ [0, 1], para todo i ∈ I;

(b) supp ξ_{i} ⊂ U_{i}, para todo i ∈ I;

(c) a família (supp ξ_{i})_{i∈I} é localmente finita em M;

(d) ∑_{i∈I} ξ_{i}(x) = 1, para todo x ∈ M.

A idéia básica por trás da noção de partição da unidade é a de escrever uma função f : M → IR de classe C^{k} como uma soma de uma família de funções de classe C^{k} com “suporte pequeno”. Mais explicitamente, se ∑_{i∈I} ξ_{i} = 1 é uma partição da unidade de classe C^{k} subordinada a uma cobertura aberta M = ⋃_{i∈I} U_{i} então, para todo i ∈ I, a função f_{i} = fξ_{i} é de classe C^{k} e tem suporte contido em U_{i}; além do mais, f = ∑_{i∈I} f_{i}. A cobertura aberta M = ⋃_{i∈I} U_{i} serve para definir a noção conveniente de “conjunto pequeno” num determinado contexto; mais explicitamente, “suporte pequeno” significa suporte contido em U_{i}, para algum i ∈ I.

Partições da unidade são utilizadas, por exemplo, para o estudo de integração em variedades. De fato, usando uma partição da unidade apropriada podemos escrever a integral de uma função f : M → IR como uma soma de integrais de funções f_{i} que têm “suporte pequeno”; neste caso, “suporte pequeno” significa suporte contido no domínio de um sistema de coordenadas. A integral de uma função cujo suporte está contido no domínio de um sistema de coordenadas reduz-se essencialmente ao cálculo da integral da representação dessa função no sistema de coordenadas em questão (na verdade, a definição da integral de uma função f : M → IR depende da escolha de uma forma volume na variedade M; estudaremos esse conceito mais adiante no curso).

Observamos que se (f_{i})_{i∈I} é uma família de funções f_{i} : M → IR^{p} e se a família (supp f_{i})_{i∈I} é pontualmente finita então a soma:

f = ∑_{i∈I} f_{i}

nos dá uma função f : M → IR^{p} bem definida. De fato, para todo x ∈ M temos que f_{i}(x) = 0 exceto para um número finito de índices i ∈ I e portanto faz sentido considerar a soma f(x) = ∑_{i∈I} f_{i}(x). A motivação para a condição (c) que aparece na definição de partição da unidade é dada pelo seguinte:

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} e seja (f_{i})_{i∈I} uma família de funções f_{i} : M → IR^{p} de classe C^{k}. Se a família (supp f_{i})_{i∈I} é localmente finita em M então a função ∑_{i∈I} f_{i} é de classe C^{k}.

Demonstração. Dado x ∈ M podemos encontrar um aberto U ⊂ M contendo x tal que U ∩supp f_{i} ≠ ∅ apenas para um número finito de índices i ∈ I, digamos, para i = i_{1}, …, i_{r}. Daí a restrição de ∑_{i∈I} f_{i} a U é igual à restrição de ∑_{s=1}^{r} f_{i_{s}} a U, que é uma função de classe C^{k} (veja Exercício 22). Logo todo ponto de M possui uma vizinhança aberta tal que a restrição de ∑_{i∈I} f_{i} a tal vizinhança é de classe C^{k}.

Nosso objetivo é provar que a toda cobertura aberta de uma variedade diferenciável podemos subordinar uma partição da unidade. Para isso, precisamos de alguns lemas preparatórios. Começamos mostrando a existência de funções não nulas de classe C^{∞} e de suporte pequeno em IR^{n}.

Lema. Existe uma função λ_{1} : IR → IR de classe C^{∞} tal que λ_{1}(IR) ⊂ [0, 1], λ_{1}(t) = 0 para todo t ∈ IR com |t| ≥ 2 e λ_{1}(t) = 1 para todo t ∈ IR com |t| ≤ 1.

Demonstração. Considere a função α : IR → IR definida por:

α(t) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{t}} , & t > 0, \\ 0, & t ≤ 0. \end{matrix}

Temos que α é de classe C^{∞} (veja Exercício 21) e obviamente α(t) > 0 para todo t > 0. Defina α_{1} : IR → IR fazendo:

α_{1}(t) = α((1 − t)(t − 2)),

para todo t ∈ IR. Daí α_{1} é de classe C^{∞}, α_{1}(t) > 0 se t ∈ ]1, 2[ e α_{1}(t) = 0 para t ∉ ]1, 2[. A função α_{2} : IR → IR definida por:

α_{2}(t) = α_{1}(−t) − α_{1}(t),

para todo t ∈ IR, é uma função ímpar de classe C^{∞} que coincide com −α_{1} no intervalo [0, +∞[. A função procurada λ_{1} : IR → IR é definida por:

λ_{1}(t) = \frac{1}{k} ∫_{−∞}^{t} α_{2}(s) ds,

para todo t ∈ IR, onde k = ∫_{−∞}^{+∞} α_{1}(s) ds = ∫_{1}^{2} α_{1}(s) ds > 0. Note que a integral que define λ_{1} é sempre finita, já que α_{2} é nula fora do intervalo limitado [−2, 2].

Verifiquemos que λ_{1} satisfaz as propriedades desejadas. Obviamente λ_{1} é de classe C^{∞} e λ′_{1} = \frac{1}{k} α_{2}. Temos que λ_{1} é constante nos intervalos ]−∞, −2], [−1, 1] e [2, +∞[, pois α_{2} é nula nesses intervalos. Temos também que λ_{1} é estritamente crescente no intervalo [−2, −1] (pois α_{2} é positiva no interior desse intervalo) e é estritamente decrescente no intervalo [1, 2] (pois α_{2} é negativa no interior desse intervalo). Obviamente λ_{1}(t) = 0 para t ≤ −2, já que α_{2}(t) = 0 para t ≤ −2; também λ_{1}(t) = 0 para t ≥ 2, pois α_{2} é uma função ímpar e portanto ∫_{−∞}^{+∞} α_{2}(s) ds = 0. Para completar a demonstração basta verificar agora que λ_{1}(−1) = 1. Temos:

λ_{1}(−1) = \frac{1}{k} ∫_{−2}^{−1} α_{2}(s) ds = \frac{1}{k} ∫_{1}^{2} α_{2}(−s) ds = \frac{1}{k} ∫_{1}^{2} α_{1}(s) ds = 1.

Corolário. Existe uma função λ_{n} : IR^{n} → IR de classe C^{∞} tal que λ_{n}(IR^{n}) ⊂ [0, 1], λ_{n}(x) = 0 para todo x ∈ IR^{n} com ∥x∥ ≥ 2 e λ_{n}(x) = 1 para todo x ∈ IR^{n} com ∥x∥ ≤ 1, onde ∥ · ∥ denota a norma Euclideana de IR^{n}.

Demonstração. Basta tomar λ_{n}(x) = λ_{1}(∥x∥), onde λ_{1} é uma função como no enunciado do Lema anterior. Obviamente λ_{n} é de classe C^{∞} em IR^{n} \{0}; como λ_{n} é constante numa vizinhança da origem, segue que λ_{n} é de fato de classe C^{∞} em IR^{n}.

Corolário. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k}. Dados um ponto x ∈ M e um aberto Z ⊂ M contendo x, existe uma função ξ : M → IR de classe C^{k} tal que ξ(M) ⊂ [0, 1], supp ξ ⊂ Z e tal que ξ é constante e igual a 1 em alguma vizinhança de x.

Demonstração. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta em M com x ∈ U. Como φ(U ∩ Z) é um aberto de IR^{n} contendo φ(x), existe r > 0 tal que B[φ(x); r] ⊂ φ(U ∩ Z), onde B[φ(x); r] denota a bola fechada de centro φ(x) e raio r com respeito à norma Euclideana. Considere o difeomorfismo α : IR^{n} → IR^{n} de classe C^{∞} definido por:

α(z) = \frac{2}{r}(z − φ(x)),

para todo z ∈ IR^{n}. Daí φ_{1} = α ∘ φ : U → α(Ũ) é uma carta em M tal que φ_{1}(x) = 0; além do mais, α leva B[φ(x); r] sobre a bola fechada de centro na origem e raio 2 e portanto:

φ_{1}(U ∩ Z) = α(φ(U ∩ Z)) ⊃ B[0; 2].

Seja λ_{n} uma função como no enunciado do Corolário anterior. Definimos ξ : M → IR fazendo:

ξ(y) = \{ \begin{matrix}λ_{n}(φ_{1}(y)), & y ∈ U, \\ 0, & y ∉ U. \end{matrix}

Como B[0; 2] ⊂ φ_{1}(U ∩ Z), a bola aberta B(0; 1) de centro na origem e raio 1 é uma vizinhança aberta de φ_{1}(x) = 0 contida em φ_{1}(U ∩ Z); como φ_{1}|_{U∩Z} : U ∩ Z → φ_{1}(U ∩ Z) é um homeomorfismo entre abertos, segue que φ_{1}^{−1}(B(0; 1)) é uma vizinhança aberta de x contida em U ∩ Z. Temos que a função ξ é constante e igual a 1 em φ_{1}^{−1}(B(0; 1)) e obviamente ξ(M) ⊂ [0, 1]. Para completar a demonstração, verificaremos que supp ξ ⊂ Z e que ξ é de classe C^{k}. Temos que B[0; 2] é um subconjunto compacto de φ_{1}(U ∩ Z) e portanto φ_{1}^{−1}(B[0; 2]) é um subconjunto compacto de U ∩Z; obviamente, ξ é identicamente nula fora de φ_{1}^{−1}(B[0; 2]). Como M é Hausdorff, o compacto φ_{1}^{−1}(B[0; 2]) é fechado (veja item (b) do Exercício 3 da aula número 11) e portanto:

supp ξ ⊂ φ_{1}^{−1}(B[0; 2]) ⊂ U ∩ Z ⊂ Z.

Para mostrar que ξ é de classe C^{k}, observamos que os conjuntos U e M \ φ_{1}^{−1}(B[0; 2]) constituem uma cobertura aberta de M; a restrição de ξ a U é de classe C^{k}, pois tal restrição coincide com λ_{n} ∘ φ_{1}. A restrição de ξ a M \ φ_{1}^{−1}(B[0; 2]) também é de classe C^{k}, pois tal restrição é identicamente nula.

O Lema seguinte constitui o passo principal da demonstração da existência de uma partição da unidade subordinada a uma cobertura aberta arbitrária.

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} e seja M = ⋃_{i∈I} U_{i} uma cobertura aberta de M. Então existe uma família (η_{j})_{j∈J} de aplicações η_{j} : M → IR de classe C^{k} satisfazendo as seguintes propriedades:

(a) η_{j}(x) ≥ 0, para todo x ∈ M e todo j ∈ J;

(b) para todo j ∈ J, existe i ∈ I tal que supp η_{j} ⊂ U_{i};

(c) a família (supp η_{j})_{j∈J} é localmente finita em M;

(d) ∑_{j∈J} η_{j}(x) > 0, para todo x ∈ M.

Demonstração. Seja M = ⋃_{n≥1} K_{n} uma exaustão por compactos para M, i.e., cada K_{n} é compacto e K_{n} ⊂ int(K_{n+1}), para todo n ≥ 1 (veja seção 2). Definimos K_{n} = ∅ para n ≤ 0. Para todo inteiro n, o conjunto C_{n} = K_{n} \ int(K_{n−1}) é compacto, sendo igual à interseção do compacto K_{n} com o fechado int(K_{n−1})^{c} (veja Exercício 3). Como M é Hausdorff, cada compacto K_{n} é fechado (veja item (b) do Exercício 3 da aula número 11). Temos também:

M = ⋃_{n≥1}(K_{n} \ K_{n−1}) = ⋃_{n≥1} C_{n};

de fato, dado x ∈ M, se n ≥ 1 é o menor inteiro tal que x ∈ K_{n} então x ∈ K_{n} \K_{n−1} ⊂ C_{n}. Intuitivamente, os compactos K_{n} podem ser visualizados como uma seqüência crescente de discos concêntricos cobrindo M e os compactos C_{n} seriam então os “anéis” fechados localizados entre dois discos consecutivos. Nossa estratégia será a de cobrir cada “anel” C_{n} com um número finito de suportes de funções η de classe C^{k}; além do mais, escolheremos as funções η de modo que seus suportes interceptem apenas um número finito de “anéis” C_{m} e de modo que esses suportes estejam contidos em abertos U_{i} da cobertura dada.

Vamos aos detalhes. Seja n ≥ 1 um inteiro e seja x ∈ C_{n}. Como M = ⋃_{i∈I} U_{i} é uma cobertura, existe i ∈ I tal que x ∈ U_{i}. Daí o conjunto int(K_{n+1}) ∩ K_{n−2}^{c} ∩ U_{i} é uma vizinhança aberta de x e portanto o Corolário anterior nos fornece uma aplicação η_{(n,x)} : M → IR de classe C^{k} tal que η_{(n,x)}(M) ⊂ [0, 1],

supp η_{(n,x)} ⊂ int(K_{n+1}) ∩ K_{n−2}^{c} ∩ U_{i},

e tal que η_{(n,x)} é igual a 1 em uma vizinhança aberta V_{(n,x)} de x. Obtemos dessa forma, para cada n ≥ 1, uma cobertura aberta C_{n} ⊂ ⋃_{x∈C_{n}} V_{(n,x)} do compacto C_{n}; essa cobertura possui uma subcobertura finita (veja Exercício 2), i.e., existe um subconjunto finito F_{n} de C_{n} tal que:

C_{n} ⊂ ⋃_{x∈F_{n}} V_{(n,x)}.

Obtivemos então uma família (η_{j})_{j∈J} de funções η_{j} : M → IR de classe C^{k}, onde:

J = {(n, x) : n ≥ 1, x ∈ F_{n}}.

Por construção temos η_{j}(M) ⊂ [0, 1], para todo j ∈ J; além do mais, para todo j ∈ J existe i ∈ I tal que supp η_{j} ⊂ U_{i}. As propriedades (a) e (b) que aparecem no enunciado do Lema são portanto satisfeitas.

Vamos mostrar que a família (supp η_{j})_{j∈J} é localmente finita em M. Seja x ∈ M e seja n ≥ 1 com x ∈ K_{n} \ K_{n−1}. Daí x ∈ int(K_{n+1}) e x ∉ K_{n−1}, donde int(K_{n+1}) \ K_{n−1} é uma vizinhança aberta de x. Afirmamos que int(K_{n+1}) \ K_{n−1} intercepta supp η_{j} apenas para um número finito de índices j ∈ J. Seja então j ∈ J tal que supp η_{j} intercepta int(K_{n+1}) \ K_{n−1}; escrevemos j = (m, y) ∈ J, com m ≥ 1 e y ∈ F_{m}. Temos que supp η_{j} está contido em int(K_{m+1}) ∩ K_{m−2}^{c} e portanto:

(int(K_{n+1}) \ K_{n−1}) ∩ (int(K_{m+1}) ∩ K_{m−2}^{c}) = int(K_{n+1}) ∩ K_{n−1}^{c} ∩ int(K_{m+1}) ∩ K_{m−2}^{c} ≠ ∅.

O fato que K_{n+1} ∩ K_{m−2}^{c} ≠ ∅ implica n + 1 > m − 2; similarmente K_{m+1} ∩ K_{n−1}^{c} ≠ ∅ implica m + 1 > n − 1. Logo n − 1 ≤ m ≤ n + 2. Nós mostramos então que:

{j ∈ J : (int(K_{n+1}) \ K_{n−1}) ∩ supp η_{j} ≠ ∅} ⊂ ⋃_{m=n−1}^{n+2}{m} × F_{m}.

Portanto supp η_{j} intercepta int(K_{n+1}) \ K_{n−1} apenas para um número finito de índices j ∈ J. Isso completa a demonstração da propriedade (c) que aparece no enunciado do Lema. Finalmente, provamos a propriedade (d). Como cada função η_{j} é não negativa, é suficiente verificar que para todo x ∈ M existe j ∈ J com η_{j}(x) > 0. Seja n ≥ 1 tal que x ∈ C_{n}. Temos x ∈ V_{(n,y)} para algum y ∈ F_{n}; logo (n, y) = j ∈ J e η_{j}(x) = 1.

Finalmente, estamos em condições de provar o teorema central desta seção.

Teorema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k}. A toda cobertura aberta M = ⋃_{i∈I} U_{i} de M podemos subordinar uma partição da unidade de classe C^{k}.

Demonstração. Seja (η_{j})_{j∈J} uma família de aplicações como no enunciado do Lema anterior. Para cada j ∈ J, escolha i = σ(j) ∈ I tal que supp η_{j} ⊂ U_{i}. Obtemos então uma aplicação σ : J → I. Para cada i ∈ I definimos uma aplicação ξ̂_{i} : M → IR fazendo:

ξ̂_{i} = ∑_{j∈σ^{−1}(i)}η_{j},

onde entendemos que ξ̂_{i} = 0 se σ^{−1}(i) = ∅. Como a família (supp η_{j})_{j∈σ^{−1}(i)} é localmente finita, segue do primeiro Lema da seção que ξ̂_{i} é (bem definida e) de classe C^{k}. Note também que ξ̂_{i} é uma função não negativa, já que cada η_{j} é não negativa. Para todo i ∈ I temos:

{x ∈ M : ξ̂_{i}(x) ≠ 0} ⊂ ⋃_{j∈σ^{−1}(i)}supp η_{j}.

Usando novamente o fato que a família (supp η_{j})_{j∈σ^{−1}(i)} é localmente finita e levando em conta que a união de uma família localmente finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado (veja seção 2), concluímos que ⋃_{j∈σ^{−1}(i)} supp η_{j} é um conjunto fechado; logo:

supp ξ̂_{i} ⊂ ⋃_{j∈σ^{−1}(i)}supp η_{j} ⊂ U_{i}.

Vamos mostrar que a família (supp ξ̂_{i})_{i∈I} é localmente finita. Seja x ∈ M um ponto. Como a família (supp η_{j})_{j∈J} é localmente finita, existe um aberto U em M contendo x que intercepta supp η_{j} apenas para um número finito de índices j ∈ J. Se i ∈ I é tal que U ∩ supp ξ̂_{i} ≠ ∅ então U ∩ supp η_{j} ≠ ∅, para algum j ∈ σ^{−1}(i). Em outras palavras, se U intercepta supp ξ̂_{i} então i = σ(j), para algum j ∈ J tal que U intercepta supp η_{j}; em símbolos:

{i ∈ I : U ∩ supp ξ̂_{i} ≠ ∅} ⊂ σ({j ∈ J : U ∩ supp η_{j} ≠ ∅}).

Isso mostra que {i ∈ I : U ∩ supp ξ̂_{i} ≠ ∅} é um conjunto finito e portanto a família (supp ξ̂_{i})_{i∈I} é localmente finita. Segue então do primeiro Lema da seção que a função:

ξ̂ = ∑_{i∈I} ξ̂_{i}

é (bem definida e) de classe C^{k}. Afirmamos que ξ̂ é uma função positiva. De fato, como cada função ξ̂_{i} é não negativa, é suficiente mostrar que para todo x ∈ M existe i ∈ I tal que ξ̂_{i}(x) > 0. Mas sabemos que existe j ∈ J tal que η_{j}(x) > 0 e portanto ξ̂_{i}(x) > 0 se i = σ(j). Definimos agora:

ξ_{i} = \frac{ξ̂_{i}}{ξ̂} ,

para todo i ∈ I. Daí ξ_{i} : M → IR é uma função não negativa de classe C^{k} para todo i ∈ I e supp ξ_{i} = supp ξ̂_{i}. Logo a família (supp ξ_{i})_{i∈I} é localmente finita e supp ξ_{i} ⊂ U_{i} para todo i ∈ I. Obviamente ∑_{i∈I} ξ_{i} = 1 e como cada função ξ_{i} é não negativa temos ξ_{i}(M) ⊂ [0, 1], para todo i ∈ I. Logo ∑_{i∈I} ξ_{i} = 1 é uma partição da unidade subordinada à cobertura aberta M = ⋃_{i∈I} U_{i}.

Apresentamos agora algumas aplicações interessantes do Teorema anterior.

Recorde que o Lema de Urisohn diz que se X é um espaço topológico normal e se F, G ⊂ X são fechados disjuntos então existe uma função contínua ξ : X → [0, 1] tal que ξ(x) = 1 para todo x ∈ F e ξ(x) = 0 para todo x ∈ G. A seguir, provamos uma versão diferenciável do Lema de Urisohn.

Lema. (Urisohn C^{k}) Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} e sejam F, G ⊂ M fechados disjuntos. Então existe uma função ξ : M → IR de classe C^{k} com ξ(M) ⊂ [0, 1], ξ(x) = 1 para todo x ∈ F e ξ(x) = 0 para todo x ∈ G.

Demonstração. Temos que os conjuntos U_{1} = M \ F, U_{2} = M \ G constituem uma cobertura aberta de M. Existe portanto uma partição da unidade ξ_{1} + ξ_{2} = 1 de classe C^{k} subordinada a essa cobertura, i.e., ξ_{i}(M) ⊂ [0, 1] e supp ξ_{i} ⊂ U_{i}, i = 1, 2. Daí supp ξ_{1} é disjunto de F e supp ξ_{2} é disjunto de G. Isso implica que ξ_{2}(x) = 0 para todo x ∈ G e ξ_{1}(x) = 0 para todo x ∈ F. Mas ξ_{1}(x) = 0 implica ξ_{2}(x) = 1 e portanto a função ξ = ξ_{2} satisfaz as condições desejadas.

Recorde que o Teorema de Tietze diz que se X é um espaço topológico normal e F ⊂ X é um subconjunto fechado então toda aplicação contínua f : F → IR admite uma extensão contínua para o espaço X. A seguir, provamos uma versão diferenciável do Teorema de Tietze.

Lema. (Tietze C^{k}) Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} e seja f : U → IR^{p} uma função de classe C^{k} definida num aberto U ⊂ M. Então para todo fechado F em M contido em U existe uma função g : M → IR^{p} de classe C^{k} tal que g|_{F} = f|_{F}.

Demonstração. Como M é normal (veja seção 2), existe um aberto V ⊂ M tal que F ⊂ V e \overline{V} ⊂ U (veja Exercício 1). A partir dos fechados disjuntos F e V^{c} obtemos, pelo Lema de Urisohn C^{k}, uma função ξ : M → IR de classe C^{k} tal que ξ(x) = 1 para todo x ∈ F e ξ(x) = 0 para todo x ∉ V. Defina g fazendo g(x) = f(x)ξ(x) para todo x ∈ U e g(x) = 0 para todo x ∈ M \ U. Temos que a restrição de g aos abertos U e \overline{V} ^{c} é de classe C^{k}; de fato, a restrição de g a U coincide com o produto f(ξ|_{U}) (veja o item (b) do Exercício 22) e a restrição de g a \overline{V} ^{c} é nula. Como M = U ∪ \overline{V} ^{c}, temos que g é de classe C^{k} em M. Finalmente, como ξ|_{F} ≡ 1, segue que g|_{F} = f|_{F}.

Corolário. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), x ∈ M um ponto, c ∈ IR^{p} um vetor e L : T_{x}M → IR^{p} uma aplicação linear. Então existe uma aplicação f : M → IR^{p} de classe C^{k} tal que f(x) = c e df(x) = L.

Demonstração. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta em M com x ∈ U. Considere a aplicação linear:

L̃ = L ∘ dφ(x)^{−1} : IR^{n} ⟶ IR^{p}.

Temos que existe uma aplicação f̃ : IR^{n} → IR^{p} de classe C^{∞} tal que f̃(φ(x)) = c e df̃(φ(x)) = L̃; de fato, basta tomar:

f̃(z) = c + L̃(z − φ(x)),

para todo z ∈ IR^{n}. Considere a aplicação f_{0} : U → IR^{p} definida por f_{0} = f̃ ∘ φ. Temos f_{0}(x) = c e df_{0}(x) = L̃ ∘ dφ(x) = L. Para completar a demonstração, basta construir uma função f : M → IR^{p} de classe C^{k} que coincide com f_{0} numa vizinhança de x. Obviamente teremos f(x) = f_{0}(x) = c e df(x) = df_{0}(x) = L. Como M é regular (veja seção 2), o ponto x possui uma vizinhança fechada F contida em U (veja Exercício 2 da aula número 11). O Lema anterior nos dá então uma aplicação f : M → IR^{p} de classe C^{k} que coincide com f_{0} em F.

O Teorema de Whitney diz que se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e de dimensão n então existe uma imersão injetora de classe C^{k} de M em IR^{2n} e um mergulho de classe C^{k} de M em IR^{2n+1}. A seguir demonstramos uma versão fraca do Teorema de Whitney, válida apenas para variedades compactas e sem a estimativa sobre a dimensão do espaço Euclideano onde mergulhamos a variedade M.

Teorema. Se M é uma variedade diferenciável compacta de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) então existe N ∈ IN e um mergulho f : M → IR^{N} de classe C^{k}.

Demonstração. Para cada x ∈ M, escolhemos uma carta φ_{x} : U_{x} → Ũ_{x} ⊂ IR^{n} em M com x ∈ U_{x}. Como M é regular (veja seção 2), todo ponto de M possui um sistema fundamental de vizinhanças fechadas (veja Exercício 2 da aula número 11); logo existem abertos V_{x}, W_{x} em M tais que:

x ∈ W_{x} ⊂ \overline{W_{x}} ⊂ V_{x} ⊂ \overline{V_{x}} ⊂ U_{x}.

Pelo Lema de Tietze C^{k}, existe uma aplicação ϕ_{x} : M → IR^{n} de classe C^{k} que é igual a φ_{x} no fechado \overline{V_{x}}. Pelo Lema de Urisohn C^{k}, podemos obter uma função ξ_{x} : M → IR de classe C^{k} que é igual a 1 nos pontos do fechado \overline{W_{x}} e é igual a zero nos pontos do fechado V_{x}^{c}. A cobertura aberta M = ⋃_{x∈M} W_{x} possui uma subcobertura finita M = ⋃_{s=1}^{r} W_{x_{s}}. Definimos uma aplicação f : M → IR^{N} fazendo:

f(x) = (ϕ_{x_{1}}(x), …, ϕ_{x_{r}}(x), ξ_{x_{1}}(x), …, ξ_{x_{r}}(x)),

para todo x ∈ M, onde N = rn + r. Obviamente f é uma aplicação de classe C^{k}. Vamos mostrar que f é um mergulho. Para todo x ∈ M e todo v ∈ T_{x}M temos:

df(x) · v = (dϕ_{x_{1}}(x) · v, …, dϕ_{x_{r}}(x) · v, dξ_{x_{1}}(x) · v, …, dξ_{x_{r}}(x) · v).

Assuma que df(x)·v = 0 e vamos mostrar que v = 0. Seja s = 1, …, r tal que x ∈ W_{x_{s}}. As aplicações ϕ_{x_{s}} e φ_{x_{s}} coincidem no aberto V_{x_{s}} ∋ x e portanto dφ_{x_{s}}(x) · v = dϕ_{x_{s}}(x) · v = 0; como φ_{x_{s}} é um difeomorfismo, temos que dφ_{x_{s}}(x) é um isomorfismo, donde concluímos que v = 0. Isso mostra que f é uma imersão. Como M é compacta, para estabelecer que f é um mergulho é suficiente verificar que f é injetora (veja Exercício 23). Sejam x, y ∈ M com f(x) = f(y). Daí ϕ_{x_{s}}(x) = ϕ_{x_{s}}(y) e ξ_{x_{s}}(x) = ξ_{x_{s}}(y), para s = 1, …, r. Seja s = 1, …, r tal que x ∈ W_{x_{s}}. Temos ξ_{x_{s}}(x) = 1 e portanto ξ_{x_{s}}(y) = 1. Como ξ_{x_{s}} é nula no complementar de V_{x_{s}}, segue que y ∈ V_{x_{s}}. Mas ϕ_{x_{s}} coincide com a carta φ_{x_{s}} nos pontos de V_{x_{s}} e portanto a restrição de ϕ_{x_{s}} a V_{x_{s}} é injetora. As condições ϕ_{x_{s}}(x) = ϕ_{x_{s}}(y) e x, y ∈ V_{x_{s}} implicam portanto que x = y.

(2) Alguns fatos básicos sobre a topologia de variedades. Nesta seção recordamos algumas noções e resultados de topologia e provamos alguns

fatos simples sobre a topologia de variedades. Parte da terminologia usada nesta seção foi introduzida nos Exercícios da aula número 11.

Começamos com uma observação bem simples:

Lema. Toda variedade diferenciável é regular (e portanto é um espaço T3).

Demonstração. Segue da observação que variedades diferenciáveis são localmente compactas (veja Exercício 8 da aula número 11) e do fato que todo espaço topológico localmente compacto e Hausdorff é regular (veja Exercício 4 da aula número 11).

Na verdade, variedades diferenciáveis são espaços normais. Para mostrar isso, precisamos do seguinte:

Lema. Todo espaço topológico regular que satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade é normal.

Demonstração. Seja X um espaço topológico regular que satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade e sejam F, G ⊂ X fechados disjuntos. Para todo x ∈ F, temos que o complementar de G é uma vizinhança aberta de x; como X é regular, tal vizinhança aberta de x contém uma vizinhança fechada de x, i.e., existe um aberto U_{x} ⊂ X tal que x ∈ U_{x} e \overline{U_{x}} ∩ G = ∅ (veja Exercício 2 da aula número 11). Da cobertura aberta F ⊂ ⋃_{x∈F} U_{x}, podemos extrair uma subcobertura enumerável F ⊂ ⋃_{n≥1} U_{x_{n}} (veja Exercício 2 no final desta aula, Exercício 7 da aula número 11 e Exercício 3 da aula número 10). Similarmente, podemos para cada x ∈ G obter um aberto V_{x} com x ∈ V_{x} e \overline{V_{x}}∩F = ∅; da cobertura aberta G = ⋃_{x∈G} V_{x}, podemos também extrair uma subcobertura enumerável G = ⋃_{n≥1} V_{x_{n}}. Defina agora:

A_{n} = U_{x_{n}} \ (\overline{V_{x_{1}}} ∪ \overline{V_{x_{2}}} ∪ … ∪ \overline{V_{x_{n}}} ), B_{n} = V_{x_{n}} \ (\overline{U_{x_{1}}} ∪ \overline{U_{x_{2}}} ∪ … ∪ \overline{U_{x_{n}}} ),

para todo n ≥ 1. Daí A_{n} e B_{n} são abertos para todo n e portanto A = ⋃_{n≥1} A_{n} e B = ⋃_{n≥1} B_{n} são abertos. Para completar a demonstração, verificaremos que F ⊂ A, G ⊂ B e A ∩ B = ∅.

Seja x ∈ F. Como F ⊂ ⋃_{n≥1} U_{x_{n}}, existe n com x ∈ U_{x_{n}}. Como x ∉ \overline{V_{x_{i}}} para todo i, temos que x ∈ A_{n} e portanto x ∈ A. Similarmente, mostra-se que G ⊂ B. Mostremos que A ∩ B = ∅. Para isso, é suficiente verificar que A_{n} ∩ B_{m} = ∅, para todos n, m ≥ 1. Suponha que n ≤ m. Daí A_{n} ⊂ U_{x_{n}}, mas B_{m} ∩ U_{x_{n}} = ∅. Similarmente, se n ≥ m então B_{m} ⊂ V_{x_{m}}, mas A_{n} ∩ V_{x_{m}} = ∅.

Corolário. Toda variedade diferenciável é normal (e portanto é um espaço T4).

Demonstração. De fato, pelo primeiro Lema desta seção, toda variedade diferenciável é regular e, por definição, toda variedade diferenciável satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade.

Definição. Um subconjunto S de um espaço topológico X é dito relativamente compacto em X se S está contido em algum subconjunto compacto de X.

Observaç~ ao: se X é Hausdorff então S ⊂ X é relativamente compacto em X se e somente se \overline{S} é compacto. De fato, se S está contido num compacto K ⊂ X então K é fechado (veja Exercício 3 da aula número 11) e portanto \overline{S} ⊂ K; daí \overline{S} é um fechado relativamente ao espaço compacto K e logo também é compacto (veja Exercício 3).

Observaç~ ao: se X é um espaço topológico localmente compacto então todo ponto de X pertence a um aberto relativamente compacto em X.

Definição. Seja X um espaço topológico. Uma exaustão por compactos para X é uma seqüência (K_{n})_{n≥1} de subconjuntos compactos de X tal que X = ⋃_{n≥1} K_{n} e tal que K_{n} está contido no interior de K_{n+1}, para todo n ≥ 1.

Lema. Todo espaço topológico localmente compacto satisfazendo o segundo axioma da enumerabilidade admite uma exaustão por compactos.

Demonstração. Seja X um espaço topológico localmente compacto satisfazendo o segundo axioma da enumerabilidade. Podemos cobrir X por abertos relativamente compactos; essa cobertura aberta, possui uma subcobertura enumerável (veja Exercício 7 da aula número 11). Em particular, X pode ser escrito como uma reunião enumerável de subconjuntos compactos, digamos X = ⋃_{n≥1} L_{n}. Construímos agora uma exaustão por compactos (K_{n})_{n≥1} para X indutivamente. Tome K_{1} = L_{1}. Supondo K_{n} construído, definimos K_{n+1} da seguinte forma. Para todo x ∈ K_{n}, existe um aberto U_{x} contendo x que está contido num compacto C_{x}. A cobertura aberta K_{n} ⊂ ⋃_{x∈K_{n}} U_{x} possui uma subcobertura finita K_{n} ⊂ ⋃_{i=1}^{p} U_{x_{i}} (veja Exercício 2). Tome:

K_{n+1} = L_{n+1} ∪ ⋃_{i=1}^{p} C_{x_{i}}.

Daí K_{n} está contido no aberto ⋃_{i=1}^{p} U_{x_{i}} que está contido em K_{n+1}; logo K_{n} está contido no interior de K_{n+1}. Além do mais, K_{n+1} é compacto, pois é uma união finita de compactos. Finalmente, nossa construção implica que L_{n} ⊂ K_{n} para todo n ≥ 1 e portanto:

X = ⋃_{n≥1} L_{n} = ⋃_{n≥1} K_{n}.

Observaç~ ao: um espaço topológico é dito σ-compacto se ele pode ser escrito como uma união enumerável de subconjuntos compactos. Na verdade, o argumento da demonstração do Lema acima mostra que todo espaço σ-compacto e localmente compacto admite uma exaustão por compactos. A primeira parte da demonstração do Lema consistiu em verificar que todo espaço topológico localmente compacto satisfazendo o segundo axioma da enumerabilidade é σ-compacto.

Definição. Sejam X um espaço topológico e (S_{i})_{i∈I} uma família de subconjuntos de X. Dizemos que a família (S_{i})_{i∈I} é pontualmente finita se cada x ∈ X pertence a S_{i} para no máximo uma quantidade finita de índices i ∈ I, i.e., se para todo x ∈ X o conjunto:

{i ∈ I : x ∈ S_{i}}

é finito. Dizemos que a família (S_{i})_{i∈I} é localmente finita em X se cada x ∈ X possui uma vizinhança que intersecta S_{i} para no máximo um número finito de índices i ∈ I, i.e., se para todo x ∈ X existe um aberto U ⊂ X contendo x tal que o conjunto:

{i ∈ I : U ∩ S_{i} ≠ ∅}

é finito.

Obviamente, toda família localmente finita é também pontualmente finita.

Observaç~ ao: na verdade, a condição de uma família (S_{i})_{i∈I} de subconjuntos de X ser pontualmente finita não depende da topologia de X. Essa condição também não depende do “ambiente”, i.e., se (S_{i})_{i∈I} é uma família de subconjuntos de Y e se Y ⊂ X então (S_{i})_{i∈I} é uma família pontualmente finita de subconjuntos de X se e somente se (S_{i})_{i∈I} for uma família pontualmente finita de subconjuntos de Y. Por outro lado, a condição de uma família (S_{i})_{i∈I} ser localmente finita em X depende (obviamente) da topologia de X e também do “ambiente”; mais explicitamente, se Y é um subespaço de um espaço topológico X então uma família (S_{i})_{i∈I} de subconjuntos de Y pode ser localmente finita em Y, mas não ser localmente finita em X (veja os Exemplos a seguir). É fácil ver, no entanto, que se (S_{i})_{i∈I} é localmente finita em X então (S_{i})_{i∈I} também é localmente finita em Y.

Exemplo: seja X um espaço topológico não vazio arbitrário e seja I um conjunto infinito. A família (S_{i})_{i∈I} definida por S_{i} = X para todo i ∈ I não é nem pontualmente finita nem localmente finita (apesar do fato que o conjunto {S_{i} : i ∈ I} é finito).

Exemplo: seja X = IR a reta real e considere a família (S_{n})_{n≥1} definida por:

S_{n} = ]\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}[ ,

para todo n ≥ 1. Daí a família (S_{n})_{n≥1} não é localmente finita em X pois toda vizinhança da origem intersecta todos os conjuntos S_{n} para n suficientemente grande. No entanto, a família (S_{n})_{n≥1} é localmente finita em Y = ]0, +∞[; de fato, se x > 0 então ]\frac{x}{2}, +∞[ é uma vizinhança aberta de x que intersecta S_{n} apenas para um número finito de índices n.

Sabemos que a união de uma coleção finita de subconjuntos fechados de um espaço topológico é um subconjunto fechado desse espaço topológico; também, o fecho de uma união finita de subconjuntos de um espaço topológico coincide com a união dos fechos desses subconjuntos. Tais propriedades não são verdadeiras para coleções infinitas de subconjuntos, mas, como mostraremos a seguir, elas são verdadeiras para coleções localmente finitas.

Lema. Sejam X um espaço topológico e (S_{i})_{i∈I} uma família localmente finita em X. Então a família (\overline{S_{i}})_{i∈I} também é localmente finita em X.

Demonstração. Basta observar que se U ⊂ X é um aberto então:

\{i ∈ I : U ∩ S_{i} ≠ ∅\} = \{i ∈ I : U ∩ \overline{S_{i}} ≠ ∅\}.

Lema. Sejam X um espaço topológico e (F_{i})_{i∈I} uma família localmente finita de subconjuntos fechados de X. Então ⋃_{i∈I} F_{i} é fechado em X.

Demonstração. Seja x ∈ X com x ∉ ⋃_{i∈I} F_{i}. Como (F_{i})_{i∈I} é localmente finita, existe um aberto U ⊂ X contendo x tal que U ∩ F_{i} ≠ ∅ apenas para um número finito de índices i ∈ I, digamos, i = i_{1}, …, i_{p}. Daí U \ (F_{i_{1}} ∪ … ∪ F_{i_{p}}) é uma vizinhança aberta de x disjunta de ⋃_{i∈I} F_{i}.

Corolário. Sejam X um espaço topológico e (S_{i})_{i∈I} uma família localmente finita de subconjuntos de X. Então:

\overline{⋃_{i∈I} S_{i}} = ⋃_{i∈I} \overline{S_{i}}.

Demonstração. A inclusão:

⋃_{i∈I} \overline{S_{i}} ⊂ \overline{⋃_{i∈I} S_{i}}

vale em geral (mesmo sem a hipótese que (S_{i})_{i∈I} seja localmente finita). De fato, basta observar que o fecho de ⋃_{i∈I} S_{i} é um fechado que contém S_{i} para todo i ∈ I e portanto contém \overline{S_{i}}, para todo i ∈ I. Para mostrar a inclusão reversa observamos que, pelos dois Lemas anteriores, o conjunto ⋃_{i∈I} \overline{S_{i}} é fechado e contém ⋃_{i∈I} S_{i}; logo contém também o fecho de ⋃_{i∈I} S_{i}.

Lema. Seja X um espaço topológico e seja (S_{i})_{i∈I} uma família localmente finita de subconjuntos de X. Se K ⊂ X é compacto então o conjunto:

{i ∈ I : K ∩ S_{i} ≠ ∅}

é finito.

Demonstração. Para todo x ∈ K existe um aberto V_{x} ⊂ X contendo x tal que o conjunto:

I_{x} = {i ∈ I : V_{x} ∩ S_{i} ≠ ∅}

é finito. A cobertura aberta K ⊂ ⋃_{x∈K} V_{x} possui uma subcobertura finita K ⊂ ⋃_{r=1}^{p} V_{x_{r}} (veja Exercício 2). Daí, se i ∈ I é tal que K ∩ S_{i} ≠ ∅ então V_{x_{r}} ∩ S_{i} ≠ ∅ para algum r = 1, …, p. Em outras palavras:

{i ∈ I : K ∩ S_{i} ≠ ∅} ⊂ I_{x_{1}} ∪ … ∪ I_{x_{p}}.

Recordamos agora a noção de espaço topológico paracompacto. Em diversos textos, variedades diferenciáveis são definidas como sendo espaços topológicos Hausdorff e paracompactos munidos de um atlas maximal de classe C^{k}. Veremos no que segue que essa definição é essencialmente equivalente a nossa, a menos do fato que ela permitiria variedades com uma quantidade não enumerável de componentes conexas.

Observamos que a noção de paracompacidade em topologia é intimamente ligada com a noção de partição da unidade (veja Exercício 14).

Recordamos que se X é um conjunto então uma cobertura X = ⋃_{j∈J} V_{j} de X é dita um refinamento de uma cobertura X = ⋃_{i∈I} U_{i} de X se para todo j ∈ J existe i ∈ I tal que V_{j} ⊂ U_{i}.

Definição. Um espaço topológico X é dito paracompacto se toda cobertura aberta de X admite um refinamento aberto localmente finito. Mais explicitamente, X é paracompacto se dada uma família de abertos (U_{i})_{i∈I} em X com X = ⋃_{i∈I} U_{i}, existe uma família localmente finita (V_{j})_{j∈J} de abertos em X com X = ⋃_{j∈J} V_{j} e tal que para todo j ∈ J existe i ∈ I com V_{j} ⊂ U_{i}.

A demonstração do resultado a seguir é muito parecida com a demonstração da existência de partições da unidade subordinadas a coberturas abertas arbitrárias de uma variedade diferenciável (veja seção 1). Por esse motivo, apresentamos a demonstração de forma um pouco resumida.

Teorema. Toda variedade diferenciável é paracompacta.

Demonstração. Seja M uma variedade diferenciável e seja M = ⋃_{i∈I} U_{i} uma cobertura aberta de M. Vamos construir um refinamento aberto localmente finito para M = ⋃_{i∈I} U_{i}. Seja (K_{n})_{n≥1} uma exaustão por compactos para M e defina K_{n} = ∅ para todo n ≤ 0. Para todo inteiro n, denotamos por C_{n} o compacto K_{n} \ int(K_{n−1}). Sejam n ≥ 1 e x ∈ C_{n} fixados. Temos que existe i ∈ I com x ∈ U_{i}. O conjunto:

V_{(n,x)} = int(K_{n+1}) ∩ K_{n−2}^{c} ∩ U_{i}

é uma vizinhança aberta de x e a cobertura aberta C_{n} ⊂ ⋃_{x∈C_{n}} V_{(n,x)} possui uma subcobertura finita, i.e., existe um subconjunto finito F_{n} ⊂ C_{n} tal que C_{n} ⊂ ⋃_{x∈F_{n}} V_{(n,x)}. Considere a família (V_{j})_{j∈J}, onde:

J = {(n, x) : n ≥ 1, x ∈ F_{n}}.

De M = ⋃_{n≥1} C_{n} e C_{n} ⊂ ⋃_{x∈F_{n}} V_{(n,x)}, obtemos M = ⋃_{j∈J} V_{j}. Além do mais, por construção, cada V_{j} é aberto e para todo j ∈ J existe i ∈ I com V_{j} ⊂ U_{i}. Para completar a demonstração, basta mostrar que a família (V_{j})_{j∈J} é localmente finita. Seja x ∈ M e seja n ≥ 1 tal que x ∈ K_{n} \ K_{n−1}. Daí int(K_{n+1}) \ K_{n−1} é uma vizinhança aberta de x. Afirmamos que int(K_{n+1}) \ K_{n−1} intercepta V_{j} apenas para um número finito de índices j ∈ J. De fato, seja j ∈ J tal que (int(K_{n+1}) \ K_{n−1}) ∩ V_{j} ≠ ∅, digamos j = (m, y), com m ≥ 1 e y ∈ F_{m}. Temos V_{j} ⊂ int(K_{m+1}) ∩ K_{m−2}^{c} e portanto:

int(K_{n+1}) ∩ K_{n−1}^{c} ∩ int(K_{m+1}) ∩ K_{m−2}^{c} ≠ ∅,

donde n − 1 ≤ m ≤ n + 2. Concluímos que:

{j ∈ J : V_{j} ∩ (int(K_{n+1}) \ K_{n−1}) ≠ ∅} ⊂ ⋃_{m=n−1}^{n+2}{m} × F_{m}.

Isso prova que a família (V_{j})_{j∈J} é localmente finita e completa a demonstração. Observaç~ ao: na verdade, o argumento apresentado na demonstração do Teorema acima mostra o seguinte resultado: se X é um espaço topológico localmente compacto, Hausdorff e σ-compacto então X é paracompacto (veja Exercício 7 e a observação que o segue).

Mostramos agora que no caso de espaços conexos Hausdorff com a topologia induzida por um atlas, o segundo axioma da enumerabilidade é equivalente à paracompacidade.

Teorema. Sejam M um conjunto e A um atlas para M. Assuma que M é munido da topologia induzida por A. Se M é Hausdorff, paracompacto e conexo então M satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Em particular, o conjunto M munido do atlas maximal que contém A é uma variedade diferenciável.

Demonstração. A estratégia da prova é a seguinte: vamos construir indutivamente uma seqüência (K_{n})_{n≥1} de subconjuntos compactos de M e vamos mostrar que ⋃_{n≥1} K_{n} é aberto, fechado e não vazio em M. Como M é conexo, seguirá que M é igual à união dos compactos K_{n}. Cada compacto K_{n} pode ser coberto por um número finito de domínios de sistemas de coordenadas pertencentes a A (veja Exercício 2); obteremos então um atlas enumerável para M contido em A e a demonstração ficará completa (veja Exercício 5 da aula número 5).

Procedemos então com a definição da seqüência (K_{n})_{n≥1}. Como M é localmente compacto, M admite uma cobertura aberta por conjuntos relativamente compactos; por paracompacidade, essa cobertura aberta admite um refinamento aberto localmente finito. Obtemos então uma cobertura aberta M = ⋃_{i∈I} U_{i} localmente finita de M onde cada U_{i} é relativamente compacto (como M é Hausdorff, isso significa que \overline{U_{i}} é compacto). Tome K_{1} como sendo um subconjunto compacto não vazio arbitrário de M; por exemplo, seja K_{1} um conjunto unitário (o caso M = ∅ obviamente é trivial). Assumindo que o compacto K_{n} foi definido para um certo n ≥ 1, definimos K_{n+1} da seguinte forma:

K_{n+1} = ⋃_{i∈I_{n}} \overline{U_{i}},

onde:

I_{n} = {i ∈ I : K_{n} ∩ U_{i} ≠ ∅}.

Como K_{n} é compacto e (U_{i})_{i∈I} é uma família localmente finita, segue que I_{n} é finito e portanto K_{n+1} é compacto, pois cada \overline{U_{i}} é compacto. Note que ⋃_{i∈I_{n}} U_{i} é um aberto contido em K_{n+1} que contém K_{n} e portanto K_{n} está contido no interior de K_{n+1}. Logo:

⋃_{n≥1} K_{n} = ⋃_{n≥1} int(K_{n+1}).

Isso mostra que a união ⋃_{n≥1} K_{n} é aberta. Essa união é certamente não vazia, pois K_{1} não é vazio. Vamos então mostrar que ⋃_{n≥1} K_{n} é fechado. Se I′ = ⋃_{n≥1} I_{n} então:

⋃_{n≥1} K_{n} = K_{1} ∪ ⋃_{n≥1} ⋃_{i∈I_{n}} \overline{U_{i}} = K_{1} ∪ ⋃_{i∈I′} \overline{U_{i}}.

Como a família (U_{i})_{i∈I′} é localmente finita, concluímos que:

⋃_{n≥1} K_{n} = K_{1} ∪ \overline{⋃_{i∈I′} U_{i}}

é fechado em M. Isso completa a demonstração. Observaç~ ao: na verdade, o argumento apresentado na demonstração do Teorema acima mostra o seguinte resultado: se X é um espaço topológico localmente compacto, Hausdorff, conexo e paracompacto então X é σ-compacto. Além do mais, se todo ponto de X possui uma vizinhança que satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade então X satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade.

Corolário. Sejam M um conjunto e A um atlas para M. Assuma que M é munido da topologia induzida por A. Se M é Hausdorff e possui uma quantidade enumerável de componentes conexas então M é paracompacto se e somente se satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade.

Demonstração. Já mostramos que se M satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade então M é paracompacto (pois nesse caso M torna-se uma variedade diferenciável, munido do atlas maximal que contém A). Reciprocamente, suponha que M é paracompacto. Seja M_{0} uma componente conexa de M. Como M_{0} é fechada em M (veja Exercício 19), segue que M_{0} é paracompacta (veja Exercício 9). Como M_{0} é aberta em M (veja Exercícios 15 e 17), o atlas A induz um atlas A_{0} em M_{0}. Mais explicitamente, se A_{max} denota o atlas maximal em M que contém A então o conjunto dos sistemas de coordenadas pertencentes a A_{max} cujos domínios estão contidos em M_{0} constitui um atlas A_{0} para M_{0}; além do mais, a topologia induzida por A_{0} em M_{0} coincide com a topologia induzida por M em M_{0} (veja Exemplo na seção 3 da aula número 3). Logo M_{0} é Hausdorff (veja Exercício 2 da aula número 10), paracompacto, conexo e possui sua topologia induzida por um atlas. Segue do Teorema anterior que M_{0} satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Daí M pode ser coberto por uma coleção enumerável de abertos que satisfazem o segundo axioma da enumerabilidade e portanto também M satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade (veja Exercício 5 da aula número 5).

Topologia.

Observaç~ ao: parte da terminologia usada nos exercícios a seguir foi introduzida nos Exercícios da aula número 11.

1. Mostre que as seguintes afirmações sobre um espaço topológico X são equivalentes:

(a) X é normal;

(b) dados um fechado F ⊂ X e um aberto U ⊂ X com F ⊂ U então existe um aberto V ⊂ X com F ⊂ V ⊂ \overline{V} ⊂ U.

[dica: supondo (a), prove (b) usando que os fechados disjuntos F e U^{c} podem ser separados por abertos; supondo (b), prove (a) usando o fato que se F, G são fechados disjuntos em X então F está contido no aberto U = G^{c}].

2. Sejam X um espaço topológico e K ⊂ X um subconjunto. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:

(a) K é um espaço compacto com a topologia induzida de X, i.e., se (V_{i})_{i∈I} é uma família de abertos relativos a K com K = ⋃_{i∈I} V_{i} então existe um subconjunto finito J ⊂ I com K = ⋃_{i∈J} V_{i};

(b) se (U_{i})_{i∈I} é uma família de abertos relativos a X com K ⊂ ⋃_{i∈I} U_{i} então existe um subconjunto finito J ⊂ I com K ⊂ ⋃_{i∈J} U_{i}.

Similarmente, mostre que as duas condições abaixo também são equivalentes:

(a’) K é um espaço de Lindelöf com a topologia induzida de X, i.e., se (V_{i})_{i∈I} é uma família de abertos relativos a K com K = ⋃_{i∈I} V_{i} então existe um subconjunto enumerável J ⊂ I com K = ⋃_{i∈J} V_{i};

(b’) se (U_{i})_{i∈I} é uma família de abertos relativos a X com K ⊂ ⋃_{i∈I} U_{i} então existe um subconjunto enumerável J ⊂ I com K ⊂ ⋃_{i∈J} U_{i}.

3. Mostre que se X é um espaço topológico compacto e se F ⊂ X é um subconjunto fechado então F também é compacto.

[dica: pelo resultado do Exercício 2, basta mostrar que toda cobertura aberta de F por abertos de X admite uma subcobertura finita. Observe que se F ⊂ ⋃_{i∈I} U_{i} é uma cobertura aberta de F por abertos de X então, acrescentando F^{c} à família (U_{i})_{i∈I}, obtemos uma cobertura aberta de X].

4. Seja f : X → Y uma função contínua e bijetora, onde X é um espaço topológico compacto e Y é um espaço topológico Hausdorff. Mostre que f é um homeomorfismo.

[dica: verifique que f é uma aplicação fechada usando o resultado do Exercício 3 e o resultado do item (b) do Exercício 3 da aula número 11].

5. Mostre que todo espaço topológico compacto é paracompacto.

Definição. Sejam X um espaço topológico e X = ⋃_{i∈I} U_{i} uma cobertura de X. Um refinamento estrito da cobertura X = ⋃_{i∈I} U_{i} é uma cobertura X = ⋃_{i∈I} V_{i} de X tal que V_{i} ⊂ U_{i}, para todo i ∈ I.

6. Seja X um espaço topológico paracompacto. Mostre que toda cobertura aberta de X admite um refinamento aberto estrito e localmente finito; mais explicitamente, mostre que para toda cobertura aberta X = ⋃_{i∈I} U_{i} de X existe uma cobertura aberta localmente finita X = ⋃_{i∈I} V_{i} de X tal que V_{i} ⊂ U_{i}, para todo i ∈ I.

[dica: seja X = ⋃_{j∈J} W_{j} um refinamento aberto localmente finito de X = ⋃_{i∈I} U_{i}. Para cada j ∈ J, escolha i = σ(j) tal que W_{j} ⊂ U_{i}. Obtemos então uma função σ : J → I. Defina V_{i} = ⋃_{j∈σ^{−1}(i)} W_{j}].

7. Um espaço topológico X é dito superparacompacto se, dada uma base de abertos 𝔅 de X, existe uma cobertura aberta localmente finita de X formada por elementos da base 𝔅.

(a) Se X é superparacompacto, mostre que, dada uma base de abertos 𝔅 de X e uma cobertura aberta X = ⋃_{i∈I} U_{i} de X, existe um refinamento aberto localmente finito X = ⋃_{j∈J} V_{j} de X = ⋃_{i∈I} U_{i} tal que V_{j} ∈ 𝔅, para todo j ∈ J. Conclua que X é paracompacto.

[dica: o conjunto 𝔅′ = {B ∈ 𝔅 : B ⊂ U_{i}, para algum i ∈ I} é uma base de abertos de X e existe uma cobertura aberta localmente finita de X formada por elementos de 𝔅′].

(b) Mostre que se X é localmente compacto, Hausdorff e satisfaz o segundo axioma

da enumerabilidade então X é superparacompacto. [dica: repita os passos da demonstração de que toda variedade diferenciável é paracompacta, mas em vez de definir V_{(n,x)} = int(K_{n+1}) ∩ K_{n−2}^{c} ∩ U_{i}, escolha V_{(n,x)} ∈ 𝔅 com x ∈ V_{(n,x)} ⊂ int(K_{n+1}) ∩ K_{n−2}^{c} ∩ U_{i}]. Observaç~ ao: na verdade, sem dificuldade adicional, mostra-se que se um espaço topológico X é localmente compacto, Hausdorff e σ-compacto então X é superparacompacto. Observaç~ ao: se X é superparacompacto e X = ⋃_{i∈I} U_{i} é uma cobertura aberta, não é verdade em geral que X = ⋃_{i∈I} U_{i} admite um refinamento aberto estrito e localmente finito formado por elementos de uma dada base 𝔅.

8. Um espaço topológico X é dito hereditariamente paracompacto se todo subconjunto de X, munido da topologia induzida, é paracompacto. Mostre que X é hereditariamente paracompacto se e somente se todo subconjunto aberto de X é paracompacto.

[dica: seja S ⊂ X um subconjunto arbitrário e seja S = ⋃_{i∈I} V_{i} uma cobertura aberta de S por abertos relativos a S. Para cada i ∈ I, existe um aberto U_{i} em X tal que V_{i} = U_{i} ∩ S. Daí U = ⋃_{i∈I} U_{i} é uma cobertura aberta do subconjunto aberto U ⊂ X. Usando que U é paracompacto, obtemos um refinamento aberto localmente finito U = ⋃_{j∈J} W_{j} para a cobertura U = ⋃_{i∈I} U_{i}. Conclua que S = ⋃_{j∈J}(W_{j} ∩ S) é um refinamento aberto localmente finito para S = ⋃_{i∈I} V_{i}].

9. Seja X um espaço topológico paracompacto e seja F ⊂ X um subconjunto fechado.

(a) Se (U_{i})_{i∈I} é uma família de abertos de X com F ⊂ ⋃_{i∈I} U_{i}, mostre que existe uma família de abertos (V_{i})_{i∈I} localmente finita em X tal que F ⊂ ⋃_{i∈I} V_{i} e tal que V_{i} ⊂ U_{i}, para todo i ∈ I.

[dica: os abertos U_{i} juntamente com o complementar de F constituem uma cobertura aberta de X. Use o resultado do Exercício 6].

(b) Mostre que F é paracompacto.

[dica: se F = ⋃_{i∈I} W_{i} é uma cobertura aberta de F (por abertos relativos a F) então para todo i ∈ I existe um aberto U_{i} em X tal que W_{i} = U_{i} ∩ F. Use o resultado do item (a)].

10. Mostre que todo espaço topológico Hausdorff e paracompacto é regular (e portanto é um espaço T3).

[dica: sejam X um espaço topológico Hausdorff e paracompacto, F ⊂ X um subconjunto fechado e x ∈ X um ponto com x ∉ F. Como X é Hausdorff, para cada y ∈ F, existe um aberto U_{y} em X com y ∈ U_{y} e x ∉ \overline{U_{y}}. Pelo resultado do Exercício 9, existe uma família localmente finita de abertos (V_{y})_{y∈F} tal que F ⊂ ⋃_{y∈F} V_{y} e V_{y} ⊂ U_{y} para todo y ∈ F. Note que x ∉ \overline{V_{y}}, para todo y ∈ F e como a família (V_{y})_{y∈F} é localmente finita, temos que o fecho da união ⋃_{y∈F} V_{y} coincide com ⋃_{y∈F} \overline{V_{y}}. Conclua que ⋃_{y∈F} V_{y} e ( ⋃_{y∈F} \overline{V_{y}} )^{c} são abertos que separam F de x].

11. Mostre que todo espaço topológico Hausdorff e paracompacto é normal (e portanto é um espaço T4).

[dica: sejam X um espaço topológico Hausdorff e paracompacto e F, G ⊂ X subconjuntos fechados e disjuntos de X. Pelo resultado do Exercício 10, X é regular e portanto para cada y ∈ F, existe um aberto U_{y} em X com y ∈ U_{y} e \overline{U_{y}} ∩ G = ∅. Pelo resultado do Exercício 9, existe uma família localmente finita de abertos (V_{y})_{y∈F} tal que F ⊂ ⋃_{y∈F} V_{y} e V_{y} ⊂ U_{y} para todo y ∈ F. Note que \overline{V_{y}} ∩ G = ∅, para todo y ∈ F e como a família (V_{y})_{y∈F} é localmente finita, temos que o fecho da união ⋃_{y∈F} V_{y} coincide com ⋃_{y∈F} \overline{V_{y}}. Conclua que ⋃_{y∈F} V_{y} e ( ⋃_{y∈F} \overline{V_{y}} )^{c} são abertos que separam F de G].

Definição. Sejam X um espaço topológico e X = ⋃_{i∈I} U_{i} uma cobertura aberta de X. Um encolhimento de X = ⋃_{i∈I} U_{i} é uma cobertura aberta X = ⋃_{i∈I} V_{i} de X tal que \overline{V_{i}} ⊂ U_{i} para todo i ∈ I.

12. Seja X um espaço topológico. O objetivo deste exercício é mostrar que as seguintes condições são equivalentes:

(i) X é normal;

(ii) toda cobertura aberta pontualmente finita de X admite um encolhimento.

Para mostrar isso, preencha os detalhes dos passos descritos abaixo.

(a) Provar que (ii)⇒(i) é fácil; assumindo (ii), tome F, G ⊂ X fechados disjuntos e observe que a cobertura aberta X = F^{c} ∪G^{c} possui um encolhimento X = U ∪V, i.e., U, V ⊂ X são abertos e \overline{U} ⊂ F^{c}, \overline{V} ⊂ G^{c}. Basta notar então que os abertos \overline{U}^{c} e \overline{V} ^{c} separam F de G.

(b) Assuma (i) e vamos provar (ii). Seja X = ⋃_{i∈I} U_{i} uma cobertura aberta pontualmente finita de X. Denote por A o conjunto das famílias (V_{j})_{j∈J}, J ⊂ I, onde para todo j ∈ J, V_{j} é aberto em X, \overline{V}_{j} ⊂ U_{j} e:

X = ( ⋃_{j∈J} V_{j}) ∪ ( ⋃_{i∈I\J} U_{i}).  (∗)

Defina uma ordem parcial ⪯ em A fazendo (V_{j})_{j∈J} ⪯ (V′_{j})_{j∈J′} se e somente se J ⊂ J′ e V_{j} = V′_{j}, para todo j ∈ J. Verifique que toda cadeia em (A, ⪯) possui uma cota superior.

[dica: seja B = {(V_{j}^{λ})_{j∈J_{λ}} : λ ∈ Λ} ⊂ A uma cadeia, i.e., para todos λ, μ ∈ Λ temos (V_{j}^{λ})_{j∈J_{λ}} ⪯ (V_{j}^{μ})_{j∈J_{μ}} ou (V_{j}^{μ})_{j∈J_{μ}} ⪯ (V_{j}^{λ})_{j∈J_{λ}}. Tome J = ⋃_{λ∈Λ} J_{λ} e, para cada j ∈ J, defina V_{j} = V_{j}^{λ}, onde λ ∈ Λ é escolhido de modo que j ∈ J_{λ}. Verifique que a família (V_{j})_{j∈J} é bem definida. Uma vez estabelecido que essa família pertence a A, ficará claro que ela é uma cota superior para a cadeia B. Observamos que se Λ é vazio então a família (V_{j})_{j∈J} também é vazia; mas a família vazia pertence a A, já que X = ⋃_{i∈I} U_{i}. Suponha então que Λ não é vazio. A única parte não trivial da demonstração que (V_{j})_{j∈J} pertence a A é a verificação de (∗). Seja x ∈ X e suponha que x ∉ U_{i}, para todo i ∈ I \ J. Vamos verificar que x ∈ V_{j}, para algum j ∈ J. Como a família (U_{i})_{i∈I} é pontualmente finita, o conjunto:

I_{0} = {i ∈ I : x ∈ U_{i}}

é finito. Temos I_{0} ⊂ J. Como (J_{λ})_{λ∈Λ} é uma cadeia de subconjuntos de J e como Λ ≠ ∅, temos que o subconjunto finito I_{0} ⊂ J está contido em J_{λ}, para algum λ ∈ Λ. Levando em conta que:

X = ( ⋃_{j∈J_{λ}} V_{j}) ∪ ( ⋃_{i∈I\J_{λ}} U_{i}),

conclua que x ∈ V_{j}, para algum j ∈ J_{λ} ⊂ J].

(c) Mostre que se (V_{j})_{j∈J} é um elemento de A com J ≠ I então (V_{j})_{j∈J} não pode

ser um elemento maximal de A. [dica: seja i_{0} ∈ I \ J. Seja F ⊂ X o complementar do aberto ( ⋃_{j∈J} V_{j}) ∪ ( ⋃_{i∈I\J′} U_{i}), onde J′ = J ∪ {i_{0}}. Como F^{c} ∪ U_{i_{0}} = X, temos F ⊂ U_{i_{0}} e pelo resultado do Exercício 1, existe um aberto V_{i_{0}} com F ⊂ V_{i_{0}} e \overline{V_{i_{0}}} ⊂ U_{i_{0}}. Verifique que a família (V_{j})_{j∈J′} pertence ao conjunto A].

(d) Usando o Lema de Zorn e o resultado dos itens (b) e (c), conclua que existe um elemento (V_{j})_{j∈J} em A tal que J = I. Note que X = ⋃_{j∈J} V_{j} é um encolhimento de X = ⋃_{i∈I} U_{i}.

13. Seja X um espaço topológico Hausdorff e paracompacto. Mostre que toda cobertura aberta de X admite um encolhimento localmente finito, i.e., se X = ⋃_{i∈I} U_{i} é uma cobertura aberta de X então existe uma família localmente finita de abertos (V_{i})_{i∈I} em X tal que \overline{V_{i}} ⊂ U_{i} para todo i ∈ I e tal que X = ⋃_{i∈I} V_{i}.

[dica: pelo resultado do Exercício 6, a cobertura aberta X = ⋃_{i∈I} U_{i} admite um refinamento aberto estrito e localmente finito X = ⋃_{i∈I} W_{i}. Pelo resultado do Exercício 11, X é normal e portanto, pelo resultado do Exercício 12, a cobertura aberta X = ⋃_{i∈I} W_{i} admite um encolhimento X = ⋃_{i∈I} V_{i}].

Definição. Sejam X um espaço topológico e X = ⋃_{i∈I} U_{i} uma cobertura aberta de X. Uma partição da unidade subordinada à cobertura X = ⋃_{i∈I} U_{i} é uma família (ξ_{i})_{i∈I} de funções contínuas ξ_{i} : X → [0, 1] tal que supp ξ_{i} ⊂ U_{i}, para todo i ∈ I, a família (supp ξ_{i})_{i∈I} é localmente finita em X e ∑_{i∈I} ξ_{i}(x) = 1, para todo x ∈ X.

14. Seja X um espaço topológico Hausdorff. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:

(a) toda cobertura aberta de X admite uma partição da unidade subordinada;

(b) X é paracompacto.

[dica: para mostrar que (a)⇒(b), tome uma cobertura aberta X = ⋃_{i∈I} U_{i} de X e uma partição da unidade ∑_{i∈I} ξ_{i} = 1 subordinada a essa cobertura. Se

V_{i} = {x ∈ X : ξ_{i}(x) ≠ 0},

mostre que X = ⋃_{i∈I} V_{i} é um refinamento aberto localmente finito de X = ⋃_{i∈I} U_{i}. Para mostrar que (b)⇒(a), seja X = ⋃_{i∈I} U_{i} uma cobertura aberta de X. Pelo resultado do Exercício 13, essa cobertura aberta admite um encolhimento localmente finito X = ⋃_{i∈I} V_{i}. Similarmente, a cobertura aberta X = ⋃_{i∈I} V_{i} admite um encolhimento localmente finito X = ⋃_{i∈I} W_{i}. Como X é normal (veja Exercício 11), o Lema de Urisohn nos dá, para cada i ∈ I, uma função contínua ξ̂_{i} : X → [0, 1] que vale 1 no fechado \overline{W_{i}} e vale zero no fechado V_{i}^{c}. Note que supp ξ̂_{i} ⊂ \overline{V_{i}} ⊂ U_{i}, para todo i ∈ I. Tome ξ̂ = ∑_{i∈I} ξ̂_{i} e defina ξ_{i} = ξ̂_{i}/ξ̂, para todo i ∈ I. Verifique que ∑_{i∈I} ξ_{i} = 1 é uma partição da unidade subordinada à cobertura X = ⋃_{i∈I} U_{i}].

Definição. Um espaço topológico X é dito localmente conexo se todo ponto de X possui um sistema fundamental de vizinhanças conexas. Mais explicitamente, X é localmente conexo se para todo x ∈ X e todo aberto U ⊂ X contendo x existe um subconjunto conexo V ⊂ X contido em U que contém x em seu interior.

15. Mostre que se X é um espaço topológico localmente conexo e se U ⊂ X é um aberto então as componentes conexas de U são abertas em X.

[dica: seja C uma componente conexa de U. Dado x ∈ C, se V é uma vizinhança conexa de x contida em U então V ⊂ C].

16. Seja X um espaço topológico localmente conexo. Mostre que todo ponto de X possui um sistema fundamental de vizinhanças abertas e conexas, i.e., dado um ponto x ∈ X e um aberto U ⊂ X contendo x, existe um aberto conexo V em X com x ∈ V ⊂ U.

[dica: pelo resultado do Exercício 15, a componente conexa de U que contém x é um subconjunto aberto e conexo de X].

17. Sejam M um conjunto e A um atlas em M. Se M é munido da topologia induzida por A, mostre que M é localmente conexo.

[dica: IR^{n} é localmente conexo e M é localmente homeomorfo a IR^{n}].

18. Considere o conjunto:

X = (IR × \{0\}) ∪ (\{0\} × IR) ∪ ⋃_{n≥1} (\{\frac{1}{n}\} × IR),

munido da topologia induzida de IR^{2}. Mostre que X é conexo mas não é localmente conexo.

[dica: U = X ∩(IR×]0, +∞[ ) é uma vizinhança do ponto (0, 1) em X mas um subconjunto conexo C de X que contenha (0, 1) e esteja contido em U estará necessariamente contido na reta {0} × IR, que tem interior vazio em X].

19. Seja X um espaço topológico. Mostre que:

(a) se C ⊂ X é conexo e D é tal que C ⊂ D ⊂ \overline{C} então D é conexo. [dica: se A é aberto e fechado em D e A ≠ ∅ então A ∩ C é aberto e fechado em C. Como C é denso em D, A ∩ C ≠ ∅ e como C é conexo, A ∩ C = C. Usando novamente o fato que C é denso em D, concluímos que A = D, já que A é fechado em D e A contém C].

(b) As componentes conexas de X são fechadas em X. [dica: se C é uma componente conexa de X então o resultado do item (a) implica que \overline{C} é conexo; logo \overline{C} ⊂ C].

Cálculo I.

20. Seja I ⊂ IR um intervalo e seja a ∈ I. Seja f : I → IR uma função contínua em I e derivável em I \ {a}. Suponha que o limite lim_{t→a} f′(t) existe. Mostre que f é derivável no ponto a e que f′(a) = lim_{t→a} f′(t).

[dica: pelo Teorema do Valor Médio \frac{f(t)−f(a)}{t−a} = f′(c_{t}), para todo t ∈ I \ \{a\}, onde c_{t} é um ponto de I entre t e a].

21. Considere a aplicação α : IR → IR definida por α(t) = e^{− \frac{1}{t}}, para todo t > 0 e α(t) = 0 para todo t ≤ 0.

(a) Mostre que para todo k ≥ 1 existem funções polinomiais P_{k}, Q_{k} : IR → IR tais que α^{(k)}(t) = \frac{P_{k}(t)}{Q_{k}(t)}α(t), para todo t > 0, onde α^{(k)} denota a k-ésima derivada da função α.

[dica: use indução em k].

(b) Mostre que lim_{t→0} α(t) = 0 e que lim_{t→0} α^{(k)}(t) = 0, para todo k ≥ 1.

(c) Mostre que α é uma aplicação de classe C^{∞} e que α^{(k)}(0) = 0, para todo k ≥ 1. [dica: use indução em k, o resultado do item (b) e o resultado do Exercício 20].

Cálculo em variedades.

22. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k}. Considere o espaço vetorial real 𝔉(M, IR^{p}) de todas as aplicações f : M → IR^{p}, munido das operações usuais, i.e., (f+g)(x) = f(x)+g(x) e (cf)(x) = cf(x), para todos x ∈ M, c ∈ IR e f, g ∈ 𝔉(M, IR^{p}).

(a) Mostre que o conjunto das aplicações f : M → IR^{p} de classe C^{k} é um subespaço

vetorial de 𝔉(M, IR^{p}). [dica: se f, g : M → IR^{p} são de classe C^{k} então a aplicação (f, g) : M → IR^{p} × IR^{p} é de classe C^{k} e a função soma IR^{p} × IR^{p} ∋ (v, w) ↦ v + w ∈ IR^{p} é de classe C^{∞}. Além do mais, para todo c ∈ IR a função IR^{p} ∋ v ↦ cv ∈ IR^{p} é de classe C^{∞}].

(b) Definimos um produto no espaço vetorial 𝔉(M, IR) fazendo (fg)(x) = f(x)g(x), para todos f, g ∈ 𝔉(M, IR) e todo x ∈ M. Daí 𝔉(M, IR) é uma álgebra comutativa com unidade. Mostre que o subespaço de 𝔉(M, IR) formado pelas aplicações de classe C^{k} é uma subálgebra de 𝔉(M, IR), i.e., mostre que o produto de aplicações de classe C^{k} é de classe C^{k}.

[dica: se f, g : M → IR são de classe C^{k} então a aplicação (f, g) : M → IR × IR é de classe C^{k} e a função produto IR × IR ∋ (a, b) ↦ ab ∈ IR é de classe C^{∞}].

23. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e f : M → N uma imersão injetora de classe C^{k}. Mostre que se M é compacta então f é um mergulho.

[dica: use o resultado do Exercício 4].

Topologia de variedades.

24. Mostre que toda variedade diferenciável é hereditariamente paracompacta. [dica: use o resultado do Exercício 8 e o fato que toda variedade diferenciável é paracompacta].

25. Mostre que toda variedade diferenciável é superparacompacta. [dica: use o resultado do item (b) do Exercício 7 e o resultado do Exercício 8 da aula número 11].

A aula número 22 cobriu parte do material originalmente destinado à aula número 21.

Aula número 23 (05/11)

(1) Identificando vetores tangentes com operadores de derivada direcional.

Seja M um conjunto e seja 𝔉(M, IR) o conjunto de todas as aplicações f : M → IR. Podemos definir de modo natural em 𝔉(M, IR) operações de soma, produto e produto por escalar real de modo que 𝔉(M, IR) torna-se uma álgebra comutativa com unidade (veja Exercícios 2, 3 e as Definições que os precedem). Se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} então o conjunto C^{k}(M) de todas as aplicações f : M → IR de classe C^{k} é uma subálgebra de 𝔉(M, IR) (veja Exercício 22 da aula número 21) que contém a unidade de 𝔉(M, IR) (i.e., a função constante e igual a 1). Logo C^{k}(M) é também uma álgebra comutativa com unidade.

Notaç~ ao: se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), Z é um espaço vetorial real de dimensão finita, f : M → Z é uma função de classe C^{k}, x ∈ M é um ponto v ∈ T_{x}M é um vetor tangente, denotamos a derivada direcional de f na direção de v por v(f) ∈ Z; em símbolos:

v(f) = df(x) · v ∈ Z.

Segue do resultado dos itens (a) e (b) do Exercício que:

v(f + g) = v(f) + v(g), v(cf) = cv(f),

para quaisquer aplicações f : M → Z, g : M → Z de classe C^{k} e quaisquer x ∈ M, v ∈ T_{x}M, c ∈ IR. Em particular, a aplicação v̂ definida por:

v̂ : C^{k}(M) ∋ f ⟼ v(f) ∈ IR

é linear, i.e., v̂ é um elemento do espaço dual C^{k}(M)^{∗}. Temos também a seguinte identidade, que segue do resultado do item (d) do Exercício :

v(fg) = v(f)g(x) + f(x)v(g),  (∗)

para todos f, g ∈ C^{k}(M).

Definição. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞). Um funcional linear λ ∈ C^{k}(M)^{∗} é dito derivativo no ponto x ∈ M se para todas f, g ∈ C^{k}(M) temos:

λ(fg) = λ(f)g(x) + f(x)λ(g).

A identidade (∗) nos diz então que, para v ∈ T_{x}M, o funcional linear v̂ ∈ C^{k}(M)^{∗} é derivativo no ponto x ∈ M.

Denotamos por Der_{x}(C^{k}(M)) o conjunto de todos os funcionais lineares derivativos no ponto x em C^{k}(M). É fácil ver que Der_{x}(C^{k}(M)) é um subespaço vetorial de C^{k}(M)^{∗} (veja Exercício ). Considere a aplicação:

ρ_{x} : T_{x}M ∋ v ⟼ v̂ ∈ Der_{x}(C^{k}(M)) ⊂ C^{k}(M)^{∗}.

Segue diretamente da linearidade de df(x) que ρ_{x} é uma aplicação linear (veja Exercício ). Temos também o seguinte:

Lema. A aplicação ρ_{x} é injetora, i.e., se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), x ∈ M é um ponto e v, w ∈ T_{x}M são vetores tangentes tais que v(f) = v(g) para quaisquer aplicações f : M → IR, g : M → IR de classe C^{k} então v = w.

Demonstração. Seja v ∈ T_{x}M. Basta mostrar que v(f) = 0 para toda f ∈ C^{k}(M) implica v = 0. Segue do Corolário do Lema de Tietze C^{k} (veja seção 1 da aula número 21) que para todo funcional linear α ∈ T_{x}M^{∗} existe uma aplicação f ∈ C^{k}(M) tal que df(x) = α. Logo a condição v(f) = df(x) · v = 0 para toda f ∈ C^{k}(M) implica α(v) = 0 para todo α ∈ T_{x}M^{∗}. Mas isso obviamente implica que v = 0.

Nosso objetivo agora é provar que quando k = ∞ a aplicação ρ_{x} é também sobrejetora. Para isso, precisamos de alguns lemas preparatórios.

Começamos mostrando que funcionais lineares derivativos são locais.

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e seja x ∈ M um ponto. Todo funcional linear λ ∈ Der_{x}(C^{k}(M)) derivativo em x é local, i.e., dadas funções f, g ∈ C^{k}(M), se f é igual a g em alguma vizinhança de x então λ(f) = λ(g).

Demonstração. A função f − g é nula numa vizinhança de x e λ(f − g) = λ(f) − λ(g). É suficiente mostrar então que se h ∈ C^{k}(M) é nula numa vizinhança de x então λ(h) = 0. Seja U ⊂ M um aberto contendo x onde h é nula. Pelo Lema de Urisohn C^{k} (veja seção 1 da aula número 21) existe uma função ξ ∈ C^{k}(M) tal que ξ(x) = 1 e ξ(y) = 0 para todo y ∈ U^{c}. Obviamente hξ é a função identicamente nula em M e portanto λ(hξ) = 0, já que λ é linear. Temos então:

0 = λ(hξ) = λ(h)ξ(x) + h(x)λ(ξ) = λ(h).

Recorde que um subconjunto U ⊂ IR^{n} é dito estrelado num ponto x̄ ∈ U se para todo x ∈ U o segmento de reta com extremos x̄ e x está contido em U, i.e., se (1 − t)x̄ + tx ∈ U, para todo t ∈ [0, 1] e todo x ∈ U. Um subconjunto U ⊂ IR^{n} é dito convexo se U é estrelado em todos os seus pontos, i.e., se todo segmento com extremos em U está contido em U.

No Lema abaixo, se k = ∞, convencionamos que também k − 1 = ∞.

Lema. Seja f : U → IR^{p} uma função de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) definida num subconjunto aberto U ⊂ IR^{n}. Suponha que U é estrelado num ponto x̄ ∈ U. Então existem funções g_{i} : U → IR^{p}, i = 1, …, n, de classe C^{k−1}, tais que:

(a) f(x) = f(x̄) + ∑_{i=1}^{n} g_{i}(x)(x_{i} − x̄_{i}), para todo x ∈ U;

(b) g_{i}(x̄) = \frac{∂f}{∂x_{i}} (x̄), i = 1, …, n.

Demonstração. Fixado x ∈ U, considere a curva γ : [0, 1] → IR^{n} definida por:

γ(t) = f((1 − t)x̄ + tx),

para todo t ∈ [0, 1]. Como U é estrelado em x̄, segue que γ é bem definida e de classe C^{k}. Temos:

γ′(t) = df((1 − t)x̄ + tx) · (x − x̄) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} ((1 − t)x̄ + tx)(x_{i} − x̄_{i}),

para todo t ∈ [0, 1]. Daí, pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

f(x) = γ(1) = γ(0) + ∫_{0}^{1} γ′(t) dt = f(x̄) + ∑_{i=1}^{n} ∫_{0}^{1} \frac{∂f}{∂x_{i}} ((1 − t)x̄ + tx)(x_{i} − x̄_{i}) dt.

Definimos então:

g_{i}(x) = ∫_{0}^{1} \frac{∂f}{∂x_{i}} ((1 − t)x̄ + tx) dt,

para i = 1, …, n. As propriedades (a) e (b) são obviamente satisfeitas. O fato que as funções g_{i} são de classe C^{k−1} segue do resultado do Exercício .

Mostramos agora que, em abertos de IR^{n}, todo funcional linear derivativo é uma derivada direcional.

Lema. Seja U ⊂ IR^{n} um aberto e suponha que U seja estrelado num ponto x̄ ∈ U. Seja λ ∈ Derx̄(C^{∞}(U)) um funcional linear derivativo no ponto x̄. Então existe v ∈ IR^{n} tal que:

λ(f) = df(x̄) · v,

para toda f ∈ C^{∞}(U).

Demonstração. Para i = 1, …, n, denote por π_{i} ∈ C^{∞}(U) a restrição a U da i-ésima projeção de IR^{n}. Definimos v = (v_{1}, …, v_{n}) ∈ IR^{n} fazendo:

v_{i} = λ(π_{i}), i = 1, …, n.

Seja f ∈ C^{∞}(U) e vamos mostrar que λ(f) = df(x̄) · v. Pelo Lema anterior, existem funções g_{i} ∈ C^{∞}(U) tais que g_{i}(x̄) = \frac{∂f}{∂x_{i}} (x̄), i = 1, …, n e:

f(x) = f(x̄) + ∑_{i=1}^{n} g_{i}(x)(x_{i} − x̄_{i}),

para todo x ∈ U. Denotando por 𝔠 : U → IR a função constante e igual a 1 então a igualdade acima pode ser reescrita como uma igualdade de elementos de C^{∞}(U):

f = f(x̄)𝔠 + ∑_{i=1}^{n} g_{i}(π_{i} − x̄_{i}𝔠).

Aplicando λ a ambos os lados da igualdade acima obtemos:

\begin{aligned}λ(f) & = f(x̄)λ(𝔠) + ∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}(π_{i} − x̄_{i}𝔠)) \\ & = f(x̄)λ(𝔠) + ∑_{i=1}^{n} λ(g_{i})(π_{i} − x̄_{i}𝔠)(x̄) + g_{i}(x̄)(λ(π_{i}) − x̄_{i}λ(𝔠)). \end{aligned}

A função π_{i} −x̄_{i}𝔠 obviamente anula-se no ponto x̄; mostraremos logo a seguir que λ(𝔠) = 0. Admitindo esse fato por um momento, obtemos:

λ(f) = ∑_{i=1}^{n} g_{i}(x̄)λ(π_{i}) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (x̄)v_{i} = df(x̄) · v.

Para completar a demonstração, verificamos que λ(𝔠) = 0. Para isso, basta notar que 𝔠𝔠 = 𝔠 e portanto:

λ(𝔠) = λ(𝔠)𝔠(x̄) + 𝔠(x̄)λ(𝔠) = 2λ(𝔠).

Teorema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{∞} e seja x ∈ M um ponto. A aplicação:

ρ_{x} : T_{x}M ∋ v ⟼ v̂ ∈ Der_{x}(C^{∞}(M))

é um isomorfismo.

Demonstração. Já vimos que ρ_{x} é uma aplicação linear injetora. Basta mostrar então que ρ_{x} é sobrejetora. Seja dado λ ∈ Der_{x}(C^{∞}(M)) e vamos mostrar que existe v ∈ T_{x}M tal que λ = v̂. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta em M com x ∈ U e tal que Ũ é um aberto convexo. Seja ξ : M → IR uma função de classe C^{∞} que vale 1 numa vizinhança de x e que tem suporte contido em U (veja Exercício ). Se f : U → IR é uma função de classe C^{∞} então a função f̄: M → IR definida por:

f̄(y) = \{ \begin{matrix}f(x)ξ(x), & x ∈ U, \\ 0, & x ∉ U, \end{matrix}

é de classe C^{∞}; de fato, os conjuntos U e (supp ξ)^{c} constituem uma cobertura aberta de M e a restrição de f̄ a ambos esses abertos é de classe C^{∞}. Definindo 𝔢(f) = f̄ obtemos então uma aplicação:

𝔢 : C^{∞}(U) ⟶ C^{∞}(M);

é fácil ver que 𝔢 é uma aplicação linear. A aplicação 𝔢 não é um homomorfismo de álgebras, mas se f, g ∈ C^{∞}(U) então as funções 𝔢(fg) e 𝔢(f)𝔢(g) são iguais numa vizinhança de x (a saber: na vizinhança de x onde ξ vale 1). Pelo resultado do Exercício , a aplicação φ : U → Ũ induz um homomorfismo de álgebras φ^{∗} : C^{∞}(Ũ) → C^{∞}(U) definido por:

φ^{∗}(f̃) = f̃∘ φ, f̃ ∈ C^{∞}(Ũ).

Definimos agora um funcional linear λ̄ : C^{∞}(Ũ) → IR fazendo:

λ̄ = λ ∘ 𝔢 ∘ φ^{∗}.

Afirmamos que λ̄ ∈ C^{∞}(Ũ)^{∗} é derivativo no ponto x̄ = φ(x). De fato, sejam f̃, g̃ ∈ C^{∞}(Ũ) e defina f = 𝔢(φ^{∗}(f̃)), g = 𝔢(φ^{∗}(g̃)). As aplicações fg e 𝔢(φ^{∗}(f̃g̃)) são iguais numa vizinhança de x e portanto, pelo Lema anterior, temos:

λ(fg) = λ[𝔢(φ^{∗}(f̃g̃))] = λ̄(f̃g̃);

temos também λ(f) = λ̄(f̃), λ(g) = λ̄(g̃) e portanto:

λ̄(f̃g̃) = λ(fg) = λ(f)g(x) + f(x)λ(g) = λ̄(f̃)g̃(x̄) + f̃(x̄)λ̄(g̃).

Isso mostra que λ̄ é derivativo no ponto x̄ e portanto existe ṽ ∈ IR^{n} tal que:

λ̄(f̃) = df̃(x̄) · ṽ,

para toda f̃ ∈ C^{∞}(Ũ). Seja v = dφ(x)^{−1} · ṽ ∈ T_{x}M. Vamos mostrar que λ = v̂. De fato, seja f ∈ C^{∞}(M) e defina f̃ = f ∘ φ^{−1} ∈ C^{∞}(Ũ). As funções f e 𝔢(φ^{∗}(f̃)) coincidem numa vizinhança de x e portanto:

λ(f) = λ[𝔢(φ^{∗}(f̃))] = λ̄(f̃) = df̃(x̄) · ṽ = df(x)(dφ(x)^{−1} · ṽ) = df(x) · v = v(f).

Isso completa a demonstração.

(2) Derivações da álgebra das funções e colchetes de Lie. Notaç~ ao: se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), Z é um espaço vetorial real de dimensão finita, X : M → T M é um campo vetorial e f : M → Z é uma função de classe C^{k} então denotamos por X(f) : M → Z a função definida por:

X(f)(x) = (X(x))(f) = df(x) · X(x),

para todo x ∈ M.

É fácil ver que se X é um campo vetorial de classe C^{k−1} então a função X(f) é de classe C^{k−1} (veja Exercício ). A seguir, demonstramos uma recíproca para essa afirmação.

Lema. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e X : M → T M um campo vetorial em M. Se X(f) ∈ C^{k−1}(M) para toda f ∈ C^{k}(M) então X é de classe C^{k−1}.

Demonstração. Seja x ∈ M um ponto. Vamos mostrar que a restrição de X a uma vizinhança aberta de x é de classe C^{k−1}. Seja φ : U → Ũ ⊂ IR^{n} uma carta em M com x ∈ U. Como M é regular (veja seção 2 da aula número 21), existe um aberto V em M com x ∈ V ⊂ \overline{V} ⊂ U (veja Exercício 2 da aula número 11). Pelo Lema de Tietze C^{k} (veja seção 1 da aula número 21), existe uma função ϕ : M → IR^{n} de classe C^{k} tal que ϕ|\overline{V} = φ|\overline{V}. Para i = 1, …, n, denote por ϕ_{i} : M → IR a i-ésima função coordenada de ϕ. Daí ϕ_{i} ∈ C^{k}(M) e portanto X(ϕ_{i}) ∈ C^{k−1}(M). Como as funções φ e ϕ coincidem no aberto V, temos que dϕ(y) = dφ(y) para todo y ∈ V; logo:

dφ(y) · X(y) = dϕ(y) · X(y) = ∑_{i=1}^{n} (dϕ_{i}(y) · X(y))e_{i} = ∑_{i=1}^{n} (X(ϕ_{i})(y))e_{i},

para todo y ∈ V, onde (e_{i})_{i=1}^{n} denota a base canônica de IR^{n}. Mostramos então que a função V ∋ y ↦ dφ(y)·X(y) é de classe C^{k−1}; mas se T φ denota a carta em T M associada a φ temos:

T φ(X(y)) = (φ(y), dφ(y) · X(y)),

para todo y ∈ U e portanto X|_{V} : V → T M é de classe C^{k−1}.

Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e denote por 𝔛_{k−1}(M) o conjunto de todos os campos vetoriais de classe C^{k−1} em M. Temos que o conjunto de todos os campos vetoriais em M possui uma estrutura natural de espaço vetorial real; além do mais, 𝔛_{k−1}(M) é um subespaço do espaço de todos os campos vetoriais em M (veja Exercício 5 da aula número 15). A cada X ∈ 𝔛_{k−1}(M), temos que a aplicação:

X̂ : C^{k}(M) ∋ f ⟼ X(f) ∈ C^{k−1}(M)

é linear; de fato, isso segue facilmente do resultado dos itens (a) e (b) do Exercício . O resultado do item (c) do Exercício implica que aplicação linear X̂ satisfaz também a seguinte identidade:

X̂(fg) = X̂(f)g + fX̂(g),

para quaisquer f, g ∈ C^{k}(M). Temos a seguinte:

Definição. Seja A uma álgebra. Uma derivação de A é uma aplicação linear T : A → A tal que:

T (xy) = T (x)y + xT (y),

para quaisquer x, y ∈ A. Denotamos por Der(A) o conjunto de todas as derivações de A.

Temos que Der(A) é um subespaço vetorial do espaço Lin(A) de todas as aplicações lineares T : A → A (veja Exercício ).

Observe que se X é um campo vetorial de classe C^{∞} numa variedade diferenciável M de classe C^{∞} então a aplicação X̂ é uma derivação da álgebra C^{∞}(M).

Se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞), segue facilmente da linearidade da diferencial de funções que a aplicação:

𝔛_{k−1}(M) ∋ X ⟼ X̂ ∈ Lin(C^{k}(M), C^{k−1}(M))

é linear, onde Lin(C^{k}(M), C^{k−1}(M)) denota o espaço vetorial de todas as aplicações lineares T : C^{k}(M) → C^{k−1}(M). Em particular, se k = ∞, obtemos uma aplicação linear:

ρ : 𝔛_{∞}(M) ∋ X ⟼ X̂ ∈ Der(C^{∞}(M)) ⊂ Lin(C^{∞}(M)).

Nosso objetivo é mostrar que a aplicação ρ é um isomorfismo; começamos com o seguinte:

Lema. Sejam M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (1 ≤ k ≤ ∞) e X : M → T M, Y : M → T M campos vetoriais de classe C^{k−1}. Se X(f) = Y (f) para toda f ∈ C^{k}(M) então X = Y.

Demonstração. Seja x ∈ M e escreva v = X(x), w = Y (x). Temos que:

v(f) = X(f)(x) = Y (f)(x) = w(f),

para toda f ∈ C^{k}(M). Da injetividade da aplicação ρ_{x} prova num Lema da seção 1 concluímos que v = w, i.e., X(x) = Y (x).

Corolário. A aplicação ρ : 𝔛_{∞}(M) → Der(C^{∞}(M)) é injetora.

Teorema. Se M é uma variedade diferenciável de classe C^{∞} então a aplicação:

ρ : 𝔛_{∞}(M) ⟶ Der(C^{∞}(M))

é um isomorfismo linear.

Demonstração. Já estabalecemos que ρ é uma aplicação linear injetora. Seja então D uma derivação de C^{∞}(M) e mostremos que existe X ∈ 𝔛(M) tal que X̂ = D. Para cada x ∈ M, o funcional linear λ_{x} ∈ C^{∞}(M)^{∗} definido por:

λ_{x}(f) = D(f)(x) ∈ IR, f ∈ C^{∞}(M),

é derivativo no ponto x. Pelo que foi visto na seção 1, existe um vetor v_{x} ∈ T_{x}M tal que v̂_{x} = λ_{x}. Definindo X(x) = v_{x} para todo x ∈ M obtemos então um campo vetorial X em M tal que X(f) = D(f), para toda f ∈ C^{∞}(M). Pelo que foi provado acima, o fato que X(f) ∈ C^{∞}(M) para toda f ∈ C^{∞}(M) implica que X é de classe C^{∞}. Logo X ∈ 𝔛_{∞}(M) e X̂ = D.

Lema. Seja A uma álgebra. Se T : A → A, S : A → A são derivações de A então o comutador [T, S] = T ∘ S − S ∘ T é uma derivação de A.

Demonstração. Obviamente [T, S] : A → A é uma aplicação linear. Dados x, y ∈ A, temos:

\begin{aligned}(T ∘ S)(xy) & = (T ∘ S)(x)y + S(x)T (y) + T (x)S(y) + x(T ∘ S)(y), \\ (S ∘ T)(xy) & = (S ∘ T)(x)y + T (x)S(y) + S(x)T (y) + x(S ∘ T)(y). \end{aligned}

A conclusão é obtida subtraindo as duas identidades acima.

O Lema acima nos diz que o comutador de operadores lineares definidos numa álgebra restringe-se a uma operação binária bem definida no espaço das derivações dessa álgebra; em particular, podemos usar o isomorfismo ρ para transferir o comutador de Der(C^{∞}(M)) para 𝔛_{∞}(M). Mais precisamente, temos a seguinte:

Definição. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{∞} e sejam X, Y ∈ 𝔛_{∞}(M) campos vetoriais de classe C^{∞} em M. O colchete de Lie de X e Y é o única campo vetorial [X, Y] ∈ 𝔛_{∞}(M) que corresponde pelo isomorfismo ρ à derivação [ρ(X), ρ(Y)] da álgebra C^{∞}(M), ou seja:

ρ([X, Y]) = [ρ(X), ρ(Y)] = ρ(X) ∘ ρ(Y) − ρ(Y) ∘ ρ(X).

De modo mais explícito, o campo vetorial [X, Y] ∈ 𝔛_{∞}(M) é caracterizado pela seguinte propriedade:

[X, Y](f) = X(Y (f)) − Y (X(f)),

para toda f ∈ C^{∞}(M).

Lema. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞) e sejam X : M → T M, Y : M → T M campos vetoriais de classe C^{k−1}. Então existe um única campo vetorial Z : M → T M tal que:

Z(f) = X(Y (f)) − Y (X(f)),

para toda f ∈ C^{k}(M). Além do mais, o campo vetorial Z é de classe C^{k−2}.

Demonstração. Para mostrar a unicidade de Z, observe que se Z_{1}, Z_{2} são campos vetoriais em M satisfazendo a propriedade que aparece no enunciado do Lema então teremos Z_{1}(f) = Z_{2}(f) para toda f ∈ C^{k}(M). Por um Lema provado acima, isso implica Z_{1} = Z_{2}. O fato que o campo vetorial Z é de classe C^{k−2} (assumindo por um momento a sua existência) segue também de um Lema provado acima, levando em conta que Z(f) ∈ C^{k−2}(M), para toda f ∈ C^{k−1}(M).

A prova da existência de Z é dividida em três passos.

Passo 1. O Lema é verdadeiro se M é um aberto de IR^{n}; de fato, defina Z : M → IR^{n} fazendo:

Z(x) = dY (x) · X(x) − dX(x) · Y (x),

para todo x ∈ M. Seja f ∈ C^{k}(M). Temos (veja Exercício ):

X(Y (f))(x) = d(Y (f))(x) · X(x) = d^{(2)}f(x)(X(x), Y (x)) + df(x) · (dY (x) · X(x)),

para todo x ∈ M. Similarmente:

Y (X(f))(x) = d(X(f))(x) · Y (x) = d^{(2)}f(x)(Y (x), X(x)) + df(x) · (dX(x) · Y (x)),

para todo x ∈ M. Subtraindo as duas identidades acima e levando em conta que d^{(2)}f(x) é uma aplicação bilinear simétrica, obtemos:

X(Y (f)) − Y (X(f)) = df(x) · (dY (x) · X(x) − dX(x) · Y (x)) = Z(f)(x),

para todo x ∈ M. Logo o campo Z satisfaz a propriedade desejada. Passo 2. Se M, N são variedades diferenciáveis de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞), h : M → N é um difeomorfismo de classe C^{k} e o Lema é verdadeiro para M então o Lema também é verdadeiro para N; Passo 3. Se M é uma variedade diferenciável de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞) e se M = ⋃_{i∈I} U_{i} é uma cobertura aberta de M tal que o Lema é verdadeiro para cada variedade U_{i} então o Lema é verdadeiro para M;

para cada i ∈ I, considere as restrições X_{i} = X|_{U_{i}}, Y_{i} = Y |_{U_{i}} ∈ 𝔛_{k−1}(U_{i}). Como o Lema é verdadeiro para a variedade U_{i}, existe um campo vetorial Z_{i} em U_{i} tal que:

Z_{i}(f) = X_{i}(Y_{i}(f)) − Y_{i}(X_{i}(f)),

para toda f ∈ C^{k}(U_{i}). Afirmamos que para i, j ∈ J os campos Z_{i} e Z_{j} coincidem em U_{i} ∩ U_{j}. Passo 3. O Lema vale em geral;

Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k} (2 ≤ k ≤ ∞). Existe uma cobertura aberta M = ⋃_{i∈I} U_{i} de M onde cada U_{i} é domínio de uma carta φ_{i} : U_{i} → Ũ_{i} ⊂ IR^{n}. Daí φ_{i} é um difeomorfismo de classe C^{k} e, pelos passos 1 e 2, temos que o Lema é verdadeiro para a variedade U_{i}. Logo o Lema é verdadeiro para a variedade M, pelo passo 3.

Álgebra.

Definição. Seja K um corpo. Uma álgebra sobre K é um espaço vetorial A sobre K munido de uma operação bilinear A × A ∋ (x, y) ↦ xy ∈ A; essa operação é chamada a multiplicação da álgebra A. Se x, y ∈ A então dizemos que xy é o produto de x por y. Dizemos que a álgebra A é associativa se sua multiplicação é associativa, i.e., se (xy)z = x(yz), para todos x, y, z ∈ A. Dizemos que A é uma álgebra com unidade se existe e ∈ A tal que xe = ex = x, para todo x ∈ A. Dizemos que A é uma álgebra comutativa se A é uma álgebra associativa e se a multiplicação de A é comutativa, i.e., se xy = yx, para todos x, y ∈ A.

Definição. Sejam K um corpo e A uma álgebra sobre K. Uma subálgebra de A é um subespaço vetorial B ⊂ A tal que xy ∈ B, para todos x, y ∈ B.

Definição. Sejam K um corpo e A, A′ álgebras sobre K. Uma aplicação h : A → A′ é dita um homomorfismo de álgebras de h é linear e se h(xy) = h(x)h(y), para todos x, y ∈ A.

1. Mostre que se A é uma álgebra com unidade então existe apenas um elemento e ∈ A tal que xe = ex = x, para todo x ∈ A.

[dica: se e, e′ ∈ A tem essa propriedade, considere o produto ee′].

2. Mostre que se K é um corpo então K é uma álgebra sobre K.

3. Sejam K um corpo, A uma álgebra sobre K e X um conjunto. Denote por 𝔉(X, A) o conjuntos de todas as funções f : X → A. Defina em 𝔉(X, A) as operações:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (cf)(x) = cf(x), (fg)(x) = f(x)g(x),

para todos x ∈ X, f, g ∈ 𝔉(X, A) e c ∈ K. Mostre que:

(a) 𝔉(X, A) é uma álgebra sobre K;

(b) se A é uma álgebra associativa então 𝔉(X, A) é uma álgebra associativa;

(c) se A é uma álgebra com unidade então 𝔉(X, A) é uma álgebra com unidade; [dica: se e é a unidade de A então a função constante e igual a e é a unidade de 𝔉(X, A)].

(d) se A é uma álgebra comutativa então 𝔉(X, A) é uma álgebra comutativa.

Cálculo em variedades.

. Seja M uma variedade diferenciável de classe C^{k}.

(a) Se Z é um espaço vetorial real de dimensão finita e se f : M → Z, g : M → Z são aplicações de classe C^{k}, mostre que f + g : M → Z é uma aplicação de classe C^{k}. Se k ≥ 1, mostre que:

d(f + g)(x) · v = df(x) · v + dg(x) · v,

para todos x ∈ M, v ∈ T_{x}M. [dica: temos f + g = s ∘ (f, g), onde (f, g) : M → Z × Z é a aplicação cujas coordenadas são f e g e s : Z × Z ∋ (z_{1}, z_{2}) ↦ z_{1} + z_{2} ∈ Z é a aplicação soma. Temos que (f, g) é de classe C^{k} e, se k ≥ 1, d(f, g)(x) · v = (df(x) · v, dg(x) · v) (veja seção 3 da aula número 7). Note também que a aplicação s é linear e portanto s é de classe C^{∞} e ds(z_{1}, z_{2}) = s, para todos z_{1}, z_{2} ∈ Z].

(b) Se Z é um espaço vetorial real de dimensão finita, f : M → Z é uma aplicação de classe C^{k} e c ∈ IR é um escalar, mostre que cf : M → Z é uma aplicação de classe C^{k}. Além do mais, se k ≥ 1, mostre que:

d(cf)(x) · v = c(df(x) · v),

para todos x ∈ M, v ∈ T_{x}M. [dica: note que cf é igual à composta de f com a aplicação linear Z ∋ z ↦ cz ∈ Z].

(c) Se Z_{1}, Z_{2}, Z_{3} são espaços vetoriais reais de dimensão finita, B : Z_{1} × Z_{2} → Z_{3} é uma aplicação bilinear e f : M → Z_{1}, g : M → Z_{2} são aplicações de classe C^{k}, mostre que a aplicação B ∘ (f, g) : M → Z_{3} é de classe C^{k} e, se k ≥ 1, sua diferencial é dada por:

d(B ∘ (f, g))(x) · v = B(df(x) · v, g(x)) + B(f(x), dg(x) · v),

para todos x ∈ M, v ∈ T_{x}M. [dica: B é de classe C^{∞} e sua diferencial é dada por:

dB(z_{1}, z_{2}) · (t_{1}, t_{2}) = B(t_{1}, z_{2}) + B(z_{1}, t_{2}),

para todos z_{1}, t_{1} ∈ V_{1}, z_{2}, t_{2} ∈ V_{2}].

(d) Se A é uma álgebra real de dimensão finita (por exemplo, se A = IR ou A = ℂ) e se f : M → A, g : M → A são aplicações de classe C^{k}, mostre que fg : M → A é uma aplicação de classe C^{k}. Se k ≥ 1, mostre que a diferencial de fg é dada por:

d(fg)(x) · v = (df(x) · v)g(x) + f(x)(dg(x) · v),

para todos x ∈ M, v ∈ T_{x}M. [dica: use o resultado do item (c)].