2\underline{a} Lista de Exercícios

MAT5719 – Cálculo Diferencial Geométrico no IR^{n} Prof. Daniel Victor Tausk

1. Seja T : IR^{n} → IR^{n} uma aplicação linear e seja f : IR^{n} → IR a função definida por f(x) = ⟨T (x), x⟩, para todo x ∈ IR^{n}, onde ⟨·, ·⟩ denote o produto interno Euclideano em IR^{n}. Determine a diferencial de f num ponto arbitrário de IR^{n}.

2. Sejam A : I → M_{n×n}(IR), B : I → M_{n×n}(IR) curvas deriváveis no espaço M_{n×n}(IR) das matrizes reais n × n, onde I ⊂ IR é um intervalo contendo a origem. Suponha que A(0) e B(0) são iguais à matriz identidade. Suponha também que A(t) e B(t) são inversíveis, para todo t ∈ I.

(a) Mostre que:

\frac{d}{dt}A(t)^{−1}|_{t=0} = −A′(0).

(b) Defina C : I → M_{n×n}(IR) fazendo:

C(t) = A(t)B(t)A(t)^{−1}B(t)^{−1},

para todo t ∈ I. Mostre que C′(0) = 0.

(c) Supondo que A e B são duas vezes deriváveis na origem, mostre que:

C′′(0) = 2(A′(0)B′(0) − B′(0)A′(0)).

3. Sejam f : U → IR^{n}, g : V → IR^{m} funções diferenciáveis, onde U é um aberto de IR^{m} e V é um aberto de IR^{n}; assuma que f(U) ⊂ V e que g(f(x)) = x, para todo x ∈ U. Mostre que:

(a) para todo x ∈ U, df(x) : IR^{m} → IR^{n} é injetora;

(b) para todo y ∈ f(U), dg(y) : IR^{n} → IR^{m} é sobrejetora.

4. Seja f : U → IR^{n} uma função diferenciável num aberto U ⊂ IR^{m}. Suponha que f é Lipschitziana com constante de Lipschitz c ≥ 0. Mostre que ∥df(x)∥ ≤ c, para todo x ∈ U.

5. Seja f : U → IR^{n} uma função de classe C^{1} num aberto U ⊂ IR^{m} e seja K ⊂ U um subconjunto compacto. Mostre que f|_{K} é Lipschitziana. Dica: escolha r > 0 e um compacto K_{1} ⊂ U tal que para todos x, y ∈ K com d(x, y) ≤ r vale [x, y] ⊂ K_{1}. Para estimar a razão entre d(f(x), f(y)) e d(x, y), trate separadamente os casos d(x, y) ≤ r e d(x, y) ≥ r.

6. Seja f : U → IR^{n} uma função diferenciável num aberto U ⊂ IR^{m}. Assuma que existe M ≥ 0 tal que ∥df(x)∥ ≤ M, para todo x ∈ U. Mostre que, para toda curva γ : [a, b] → IR^{m} de classe C^{1} com γ([a, b]) ⊂ U vale a desigualdade:

∥f(γ(b)) − f(γ(a))∥ ≤ M ∫_{a}^{b} ∥γ′(t)∥ dt.

7. Dado w ∈ IR^{n}, considere o funcional linear α : IR^{n} → IR definido por α(v) = ⟨v, w⟩, para todo v ∈ IR^{n}, onde ⟨·, ·⟩ denota o produto interno Euclideano de IR^{n}. Mostre que ∥α∥ = ∥w∥, onde ∥α∥ é definido por sup_{∥x∥=1} |α(x)|.

8. Seja f : U → IR^{n} uma função definida num aberto U ⊂ IR^{m} e seja x ∈ U um ponto no qual f é diferenciável. Suponha que df(x) é injetora. Mostre que existe uma vizinhança aberta V de x em U tal que f(y) ≠ f(x) para todo y ∈ V \ {x}.

9. Considere a função f : IR → IR definida por f(x) = \frac{x}{2} + x^{2} sen \frac{1}{x}, para x ≠ 0 e f(0) = 0.

(a) Mostre que f é derivável em todos pontos pontos de IR e que f′(0) = \frac{1}{2}; conclua que df(0) : IR → IR é injetora.

(b) Mostre que não existe uma vizinhança da origem na qual f seja

injetora (compare com o Exercício 8). Dica para o item (b): sabe-se que uma função contínua injetora g : I → IR definida num intervalo I deve ser monótona; mostre que f não é monótona em nenhuma vizinhança da origem estudando o sinal de f′.

10. Considere a função f : ]0, +∞[ × IR → IR^{2} definida por:

f(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ),

para todos ρ ∈ ]0, +∞[, θ ∈ IR.

(a) Mostre que f é um difeomorfismo local de classe C^{∞} mas que f não é injetora.

(b) Mostre que, para todo θ_{0} ∈ IR, a restrição de f à faixa horizontal ]0, +∞[ ×]θ_{0}, θ_{0} + 2π[ é um difeomorfismo de classe C^{∞} sobre o aberto:

A_{θ_{0}} = IR^{2} \ {(t cos θ_{0}, t sen θ_{0}) : t ≥ 0}.

(c) Dado θ_{0} ∈ IR, considere a função ângulo ϕ : A_{θ_{0}} → IR que a cada (x, y) ∈ A_{θ_{0}} associa o único θ ∈ ]θ_{0}, θ_{0} + 2π[ tal que:

cos θ_{0} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} , sen θ_{0} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} .

Mostre que ϕ é de classe C^{∞}.