1\underline{a} Lista de Exercícios

MAT5719 – Cálculo Diferencial Geométrico no IR^{n} Prof. Daniel Victor Tausk

Diferenciabilidade.

1. Sejam U ⊂ IR^{m} um aberto e f : U → IR^{n} uma função. Suponha que a derivada direcional \frac{∂f}{∂v} (x) existe, para algum x ∈ U e algum v ∈ IR^{m}. Mostre que:

\frac{∂f}{∂(cv)} (x) = c \frac{∂f}{∂v} (x),

para todo c ∈ IR.

2. Sejam U ⊂ IR^{m} um aberto e f : U → IR^{n} uma função tal que existem constantes k ≥ 0, α > 1 tais que d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y)^{α}, para todos x, y ∈ U. Mostre que f é diferenciável e que df(x) = 0 para todo x ∈ U.

Topologia do IR^{n}.

3. Sejam U ⊂ IR^{n} um subconjunto aberto e X ⊂ IR^{n} um subconjunto arbitrário. Mostre que se U ∩ \overline{X} ≠ ∅ então U ∩ X ≠ ∅.

4. Seja X ⊂ IR^{n} um subconjunto. Dizemos que um subconjunto D de X é denso em X se X ⊂ \overline{D}. Mostre que D ⊂ X é denso em X se e somente se todo aberto não vazio relativo a X intercepta D.

5. Dados p ∈ IR^{n} e r > 0, mostre que o fecho da bola aberta B(p, r) é igual à bola fechada B[p, r].

6. Seja X ⊂ IR^{n} um subconjunto. Mostre que:

• se U ⊂ IR^{n} é um aberto contido em X então U ⊂ int(X);

• int(X) é um conjunto aberto;

• se F ⊂ IR^{n} é um fechado que contém X então \overline{X} ⊂ F;

• \overline{X} é um conjunto fechado.

7. Sejam X, Y ⊂ IR^{n} subconjuntos tais que X ⊂ Y. Mostre que \overline{X} ⊂ \overline{Y} e int(X) ⊂ int(Y).

8. Seja (X_{i})_{i∈I} uma família de subconjuntos de IR^{n}. Mostre que:

⋃_{i∈I} \overline{X_{i}} ⊂ \overline{⋃_{i∈I} X_{i}} e int( ⋂_{i∈I} X_{i}) ⊂ ⋂_{i∈I} int(X_{i}).

Mostre que se I é finito então ambas as inclusões acima são igualdades.

9. Seja X ⊂ IR^{n} um subconjunto. Mostre que um ponto x ∈ X é isolado em X se e somente se o conjunto unitário {x} é um aberto relativo a X.

10. Um subconjunto X ⊂ IR^{n} é dito discreto se todos os seus pontos são isolados. Mostre que X′ = ∅ se e somente se X é discreto e fechado em IR^{n}.

11. Sejam X ⊂ IR^{m}, Y ⊂ IR^{n} subconjuntos. Mostre que:

• se X é aberto em IR^{m} e Y é aberto em IR^{n} então X × Y é aberto em IR^{m+n};

• se X é fechado em IR^{m} e Y é fechado em IR^{n} então X × Y é fechado em IR^{m+n}.

12. Sejam X ⊂ IR^{m} e f : X → IR^{n} uma função. Dizemos que f é Lipschitziana se existe um escalar k ≥ 0 tal que d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y), para todos x, y ∈ X (diz-se que k é uma constante de Lipschitz para f). Mostre que toda função Lipschitziana é contínua.

13. Sejam (x_{k})_{k≥1} uma seqüência em IR^{n} e x ∈ IR^{n} um ponto. Mostre que se toda subseqüência de (x_{k})_{k≥1} possui uma subseqüência que converge para x então (x_{k})_{k≥1} converge para x.

14. Sejam X ⊂ IR^{m}, Y ⊂ IR^{n} subconjuntos e f : X → IR^{n} uma função tal que f(X) ⊂ Y. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:

• f é contínua;

• para todo aberto U relativo a Y, a pré-imagem f^{−1}(U) é um aberto relativo a X;

• para todo fechado F relativo a Y, a pré-imagem f^{−1}(F) é um fechado relativo a X.

15. Sejam X ⊂ IR^{m} e f : X → IR^{n}, g : X → IR^{n} funções contínuas. Mostre que se f e g coincidem num subconjunto denso de X então f = g.

16. Sejam X ⊂ IR^{m} um subconjunto e f : X → IR^{n} uma função contínua. Dado S ⊂ X, mostre que f(\overline{S} ∩ X) ⊂ \overline{f(S)}. Através de um exemplo, mostre que a igualdade f(\overline{S} ∩ X) = \overline{f(S)} nem sempre é verdadeira.

17. Sejam X ⊂ IR^{m} um subconjunto conexo e f : X → IR^{n} uma função contínua. Mostre que se f(X) é discreto então f é constante.

18. Mostre que o conjunto:

\{(x, sen \frac{1}{x}) : x > 0\} ∪ \{(0, 0)\} ⊂ IR^{2}

é conexo.

19. Seja T : IR^{m} → IR^{n} uma transformação linear injetora. Mostre que existe um escalar c > 0 tal que ∥T x∥ ≥ c∥x∥, para todo x ∈ IR^{m}.

20. Sejam K ⊂ IR^{n} um subconjunto compacto não vazio e F ⊂ IR^{n} um subconjunto fechado não vazio. Mostre que existem x_{0} ∈ K e y_{0} ∈ F tais que d(x_{0}, y_{0}) ≤ d(x, y), para todos x ∈ K, y ∈ F.

21. Seja K_{1} ⊃ K_{2} ⊃ K_{3} ⊃ ⋯ uma seqüência decrescente de subconjuntos compactos não vazios de IR^{n}. Mostre que a interseção ⋂_{i≥1} K_{i} não é vazia. Exiba uma seqüência decrescente de subconjuntos fechados não vazios de IR^{n} cuja interseção é vazia.