3\underline{a} Lista de Exercícios

MAT0326 - Geometria Diferencial Prof. Daniel Victor Tausk

1. Determine todos os pontos umbílicos do parabolóide circular z = x^{2} + y^{2}.

2. Mostre que, para todos a, b, c, d ∈ IR, a curva:

γ(t) = (cos(at + b), sen(at + b), ct + d), t ∈ IR,

é uma geodésica do cilindro x^{2} + y^{2} = 1.

3. Mostre que, para todos a, b ∈ IR, as curvas:

γ(t) = (t, a, at), μ(t) = (b, t, bt), t ∈ IR,

são ao mesmo tempo linhas assintóticas e geodésicas do parabolóide hiperbólico z = xy.

4. Seja f : U → IR uma função de classe C^{r} (r ≥ 2) definida num aberto U ⊂ IR^{2}. Considere a superfície:

S = gr(f) = {(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ U}.

Determine os símbolos de Christoffel da superfície S associados à parametrização ϕ : U → S definida por:

ϕ(u_{1}, u_{2}) = (u_{1}, u_{2}, f(u_{1}, u_{2})),

para todos (u_{1}, u_{2}) ∈ U.

5. Sejam S ⊂ IR^{3} uma superfície de classe C^{r} (r ≥ 2) e ϕ : U → S uma parametrização de classe C^{r} tal que ϕ(U) é um aberto relativo a S. Suponha que para todo (u_{1}, u_{2}) ∈ U a matriz que representa a primeira forma fundamental g_{ϕ(u_{1},u_{2})} de S com respeito à base (\frac{∂ϕ}{∂u_{1}} (u_{1}, u_{2}), \frac{∂ϕ}{∂u_{2}} (u_{1}, u_{2})) é dada por:

(\begin{matrix}f(u_{1}, u_{2}) & 0 \\ 0 & f(u_{1}, u_{2}) \end{matrix})

onde f : U → ]0, +∞[ é uma função de classe C^{r−1}. Determine os símbolos de Christoffel de S associados à parametrização ϕ.

6 (*). Seja S ⊂ IR^{3} uma superfície de classe C^{r} (r ≥ 2) e seja P ⊂ IR^{3} um plano. Denote por P_{0} ⊂ IR^{3} o plano paralelo a P que passa pela origem. Suponha que γ : I → S é uma curva de classe C^{2} satisfazendo as seguintes condições:

• ∥γ′(t)∥ é constante;

• γ(I) ⊂ P;

• para todo t ∈ I, a reta normal ao plano tangente T_{γ(t)}S está contida

no plano P_{0}. Mostre que γ é uma geodésica de S.

7 (*). Seja S ⊂ IR^{3} uma superfície de classe C^{r} (r ≥ 2). Suponha que S é invariante por rotações no eixo z, i.e., para todo θ ∈ IR, temos R_{θ}(S) ⊂ S, onde R_{θ} : IR^{3} → IR^{3} é a aplicação linear representada na base canônica de IR^{3} pela matriz:

(\begin{matrix}cos θ & − sen θ & 0 \\ sen θ & cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Mostre que:

• para todo p = (x, y, z) ∈ S, temos (−y, x, 0) ∈ T_{p}S;

• se P ⊂ IR^{3} é um plano que contém o eixo z e se p ∈ P ∩ S é um ponto não pertencente ao eixo z então a reta normal ao plano T_{p}S está contida no plano P;

• se P ⊂ IR^{3} é um plano que contém o eixo z e se γ : I → S é uma curva de classe C^{2} tal que ∥γ′(t)∥ é constante, γ(I) ⊂ P e tal que γ(I) não intersepta o eixo z então γ é uma geodésica de S.

[dica: para o último item, use o resultado do Exercício 6.]

8. A energia de uma curva γ : [a, b] → IR^{n} de classe C^{1} é definida por:

E(γ) = \frac{1}{2} ∫_{a}^{b} ∥γ′(t)∥^{2} dt.

Se L(γ) = ∫_{a}^{b} ∥γ′(t)∥ dt denota o comprimento de γ, mostre que:

L(γ) ≤ \sqrt{2(b − a)E(γ)},

onde a igualdade vale se e somente se ∥γ′(t)∥ é constante. [dica: use a desigualdade de Cauchy–Schwarz para o produto interno:

⟨f, g⟩ = ∫_{a}^{b} f(t)g(t) dt,

no espaço das funções contínuas f : [a, b] → IR.]

9. O objetivo deste exercício é o de apresentar uma situação em que uma geodésica γ : [a, b] → S de uma superfície S não é sequer um “minimizante local” do comprimento de arco, i.e., existem curvas μ : [a, b] → S “arbitrariamente próximas” de γ, com os mesmos extremos que γ, porém com comprimento menor que o de γ.

Seja S = {(x, y, z) ∈ IR^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} a esfera unitária de IR^{3}. Dados T > 0 e uma função f : [0, T] → IR de classe C^{1}, considere para cada s ∈ IR a curva γ_{s} : [0, T] → IR^{3} definida por:

γ_{s}(t) = (cos t cos (sf(t)), sen t cos (sf(t)), sen (sf(t))),

para todo t ∈ [0, T].

• Verifique que γ_{s}(t) ∈ S para todos s ∈ IR, t ∈ [0, T].

• Verifique que γ_{0} é uma geodésica de S.

• Seja E(s) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{T} ∥γ′_{s}(t)∥^{2} dt a energia da curva γ_{s}. Mostre que:

E(s) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{T} cos^{2} (sf(t)) + s^{2}f′(t)^{2} dt.

Conclua que:

E′(0) = 0 e E′′(0) = ∫_{0}^{T} f′(t)^{2} − f(t)^{2} dt.

• Assuma agora que T > π e defina f(t) = sen (\frac{πt}{T}). Verifique que a curva γ_{s} tem os mesmos extremos que a curva γ_{0}, para todo s ∈ IR. Verifique também que E′′(0) < 0. Conclua que E(s) < E(0) para todo s ≠ 0 suficientemente pequeno.

• Use o resultado do Exercício 8 para concluir que L(γ_{s}) < L(γ_{0}) para todo s ≠ 0 suficientemente pequeno^{1}.

10 (*). Seja S ⊂ IR^{3} uma superfície de classe C^{r} (r ≥ 2) e seja γ : I → S uma geodésica tal que γ′′(t) ≠ 0 para todo t ∈ I. Mostre que se γ é uma curva plana (i.e., se existe um plano em IR^{3} que contém a imagem de γ) então γ é uma linha de curvatura de S. [observação: na verdade, é suficiente supor que o conjunto dos instantes t ∈ I tais que γ′′(t) = 0 possui interior vazio.]

11. Considere a aplicação ϕ : IR^{2} → IR^{3} definida por:

ϕ(u, v) = (v cos u, v sen u, u),

para todos u, v ∈ IR. Mostre que:

• ϕ é uma parametrização de classe C^{∞} (e portanto S = Im(ϕ) é uma superfície de classe C^{∞});

• a curva γ : IR → S definida por γ(t) = (0, 0, t) é uma geodésica de S (e é obviamente uma curva plana), mas não é uma linha de curvatura de S (compare com o resultado do Exercício 10).

12. Seja S ⊂ IR^{3} uma superfície de classe C^{r} (r ≥ 2) e seja γ : I → S uma geodésica. Mostre que se γ é uma linha de curvatura de S então a imagem de γ está contida num plano. [dica: considere o vetor γ′(t) × 𝔫(γ(t)), onde 𝔫 é um campo normal unitário contínuo.]

Definição. Sejam S_{1}, S_{2} ⊂ IR^{3} superfícies de classe C^{r} (r ≥ 1) e seja f : S_{1} → S_{2} uma função. Dizemos que f é um difeomorfismo de classe C^{r} se f é bijetora e ambas f : S_{1} → S_{2} e f^{−1} : S_{2} → S_{1} são funções de classe C^{r}.

1A continuidade da aplicação (s, t) ↦ γ_{s}(t) implica que lim_{s→0} γ_{s} = γ_{0} na topologia da convergência uniforme, de modo que γ_{s} é uma curva “próxima” de γ_{0}, para s pequeno.

13. Sejam S_{1}, S_{2} ⊂ IR^{3} superfícies de classe C^{r} (r ≥ 1) e f : S_{1} → S_{2} um difeomorfismo de classe C^{r}. Mostre que para todo p ∈ S_{1} a diferencial df_{p} : T_{p}S_{1} → T_{f(p)}S_{2} é um isomorfismo.

14 (**). (o Teorema da Função Inversa para funções entre duas superfícies) Sejam S_{1}, S_{2} ⊂ IR^{3} superfícies de classe C^{r} (r ≥ 1) e f : S_{1} → S_{2} uma função de classe C^{r}. Mostre que:

(a) se p ∈ S é tal que a diferencial df_{p} : T_{p}S_{1} → T_{f(p)}S_{2} é um isomorfismo então existe um aberto V relativo a S_{1} contendo p tal que f(V) é aberto relativo a S_{2} e f|_{V} : V → f(V) é um difeomorfismo de classe C^{r};

(b) se df_{p} : T_{p}S_{1} → T_{f(p)}S_{2} é um isomorfismo para todo p ∈ S_{1} então a imagem f(S_{1}) de f é um aberto relativo a S_{2};

(c) se df_{p} : T_{p}S_{1} → T_{f(p)}S_{2} é um isomorfismo para todo p ∈ S_{1} e se f é injetora então f : S_{1} → f(S_{1}) é um difeomorfismo de classe C^{r}.

[dica: no item (a) escolha parametrizações ϕ_{1} : U_{1} → IR^{3}, ϕ_{2} : U_{2} → IR^{3} de classe C^{r} definidas em abertos U_{1}, U_{2} ⊂ IR^{2} de modo que ϕ_{1}(U_{1}) é um aberto relativo a S_{1} contendo p, ϕ_{2}(U_{2}) é um aberto relativo a S_{2} e de modo que f(ϕ_{1}(U_{1})) ⊂ ϕ_{2}(U_{2}). Aplique o Teorema da Função Inversa usual para a função composta f̃ = ϕ_{2}^{−1} ∘ f ∘ ϕ_{1}.]

15. Seja S ⊂ IR^{3} uma superfície de classe C^{r} (r ≥ 1) e seja ϕ : U → IR^{3} uma função injetora de classe C^{r} definida num aberto U ⊂ IR^{2}. Suponha que a imagem de ϕ está contida em S e que as derivadas parciais \frac{∂ϕ}{∂u}(u, v) e \frac{∂ϕ}{∂v}(u, v) são linearmente independentes para todo (u, v) ∈ U. Mostre que:

• para todo (u, v) ∈ U, a diferencial dϕ_{(u,v)} : IR^{2} → T_{ϕ(u,v)}S é um isomorfismo;

• ϕ é uma parametrização de classe C^{r} e ϕ(U) é um aberto relativo à

superfície S. [dica: utilize o Teorema da Função Inversa (Exercício 14) para a função ϕ : U → S.]

16. Sejam S_{1}, S_{2} ⊂ IR^{3} superfícies de classe C^{r} (r ≥ 1). Mostre que se S_{1} está contida em S_{2} então S_{1} é um aberto relativo a S_{2}. [dica: utilize o Teorema da Função Inversa (Exercício 14) para a função inclusão f : S_{1} → S_{2}.]