2\underline{a} Lista de Exercícios

MAT0326 - Geometria Diferencial Prof. Daniel Victor Tausk

1. Seja f : U → IR uma função de classe C^{r} (r ≥ 2) definida num aberto U ⊂ IR^{2}. Denote por S ⊂ IR^{3} o gráfico de f e seja 𝔫 : S → IR^{3} o campo normal unitário que possui terceira coordenada positiva. Para todo ponto p = (u, v, f(u, v)) ∈ S, sabemos que:

β_{p} = ((1, 0, \frac{∂f}{∂u}(u, v)), (0, 1, \frac{∂f}{∂v} (u, v)))

é uma base de T_{p}S. Determine:

(a) a matriz que representa a primeira forma fundamental g_{p} de S na base β_{p};

(b) a matriz que representa a segunda forma fundamental α_{p} de S associada ao campo 𝔫 na base β_{p};

(c) a matriz que representa o operador de Weingarten A_{p} de S associado ao campo 𝔫 na base β_{p};

(d) a curvatura média H(p) de S associada ao campo 𝔫;

(e) a curvatura Gaussiana κ(p) de S.

2. Seja S ⊂ IR^{3} uma superfície de classe C^{r} (r ≥ 1). Sejam X : S → IR^{n}, Y : S → IR^{n} e λ : S → IR \ {0} funções de classe C^{r} tais que:

X(p) = λ(p)Y (p) e ∥Y (p)∥ = 1,

para todo p ∈ S.

(a) Mostre que, para todos p ∈ S, v ∈ T_{p}S, temos:

⟨dY (p)v, Y (p)⟩ = 0.

(b) Mostre que, para todos p ∈ S, v ∈ T_{p}S, temos:

dY (p)v = \frac{1}{λ(p)} π(dX(p)v),

onde π : IR^{3} → IR^{3} denota a projeção ortogonal sobre o plano ortogonal ao vetor X(p).

3. Seja f : V → IR uma função de classe C^{r} (r ≥ 2) definida num aberto V ⊂ IR^{3}. Seja c ∈ IR um valor regular de f. Denote por S = f^{−1}(c) a superfície de nível c de f. Considere o campo normal unitário 𝔫 : S → IR^{3} definido por:

𝔫(p) = \frac{∇f(p)}{∥∇f(p)∥},

para todo p ∈ S. Dado p ∈ S, mostre que:

(a) o operador de Weingarten A_{p} de S associado ao campo 𝔫 é dado por:

A_{p}(v) = −\frac{1}{∥∇f(p)∥} π(Hess_{p}(f)v),

para todo v ∈ T_{p}S, onde π : IR^{3} → IR^{3} denota a projeção ortogonal sobre T_{p}S e Hess_{p}(f) : IR^{3} → IR^{3} denota a diferencial da aplicação ∇f : V → IR^{3} no ponto p;

(b) a segunda forma fundamental α_{p} de S associada ao campo 𝔫 é dada por:

α_{p}(v, w) = −\frac{1}{∥∇f(p)∥} ⟨Hess_{p}(f)v, w⟩,

para todos v, w ∈ T_{p}S.

4. Seja S ⊂ IR^{3} uma superfície de classe C^{r} (r ≥ 1). Mostre que se A é um aberto relativo a S então A também é uma superfície de classe C^{r} e que para todo p ∈ A os planos tangentes T_{p}A e T_{p}S são iguais.

5. Seja S ⊂ IR^{3} um subconjunto. Suponha que para todo ponto p ∈ S existe um aberto V em IR^{3} contendo p tal que V ∩ S é uma superfície de classe C^{r} (r ≥ 1). Mostre que S é uma superfície de classe C^{r}.

6. Seja f : V_{1} → V_{2} um difeomorfismo de classe C^{r} (r ≥ 1), onde V_{1}, V_{2} são abertos em IR^{3}. Mostre que se S ⊂ IR^{3} é uma superfície de classe C^{r} contida em V_{1} então f(S) é uma superfície de classe C^{r}. Mostre também que, para todo p ∈ S, temos:

T_{f(p)}[f(S)] = df_{p}(T_{p}S).

7. Seja S ⊂ IR^{3} uma superfície conexa de classe C^{r} (r ≥ 2). Assuma que a segunda forma fundamental de S é nula em todos os seus pontos. Mostre que S está contida num plano.

8. Dado θ_{0} ∈ IR, mostre que a aplicação:

]0, +∞[ ×]θ_{0}, θ_{0} + 2π[ ∋ (ρ, θ) ⟼ (ρ cos θ, ρ sen θ) ∈ A_{θ_{0}}

é um difeomorfismo de classe C^{∞}, onde A_{θ_{0}} denota o complementar em IR^{2} da semi-reta {(t cos θ_{0}, t sen θ_{0}) : t ≥ 0}. Conclua que a “coordenada angular” θ : A_{θ_{0}} → ]θ_{0}, θ_{0} + 2π[ caracterizada pelas identidades:

x = \sqrt{x^{2} + y^{2}} cos θ(x, y), y = \sqrt{x^{2} + y^{2}} sen θ(x, y), (x, y) ∈ A_{θ_{0}},

é de classe C^{∞}.

9. Seja γ : I → IR^{2} uma curva regular injetora de classe C^{r} (r ≥ 1) tal que a aplicação γ^{−1} : γ(I) → IR é contínua. Assuma que a imagem de γ esteja contida no semi-plano ]0, +∞[ × IR. Para todo θ ∈ IR, denote por R_{θ} : IR^{3} → IR^{3} a rotação de ângulo θ no sentido anti-horário em torno do eixo z; mais precisamente, R_{θ} é a transformação linear representada na base canônica de IR^{3} pela matriz:

(\begin{matrix}cos θ & − sen θ & 0 \\ sen θ & cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Mostre que:

(a) para todo θ_{0} ∈ IR, a aplicação ϕ : I × ]θ_{0}, θ_{0} + 2π[ → IR^{3} definida por:

ϕ(t, θ) = R_{θ}(x(t), 0, y(t)), t ∈ I, θ ∈ ]θ_{0}, θ_{0} + 2π[ ,

é uma parametrização de classe C^{r}, onde γ(t) = (x(t), y(t));

(b) o conjunto:

S = {R_{θ}(x(t), 0, y(t)) : t ∈ I, θ ∈ IR}

é uma superfície de classe C^{r}.

10. Seja f : U → IR uma função definida num subconjunto U ⊂ [0, +∞[×IR. Para todo θ ∈ IR, defina R_{θ} como no Exercício 9. Considere os conjuntos:

C = {(x, y, z) ∈ IR^{3} : y = 0, (x, z) ∈ U e f(x, z) = 0},

S = ⋃_{θ∈IR} R_{θ}(C).

Mostre que, para todos (x, y, z) ∈ IR^{3}, temos (x, y, z) ∈ S se e somente se:

(\sqrt{x^{2} + y^{2}}, z) ∈ U e f(\sqrt{x^{2} + y^{2}}, z) = 0.

Assuma agora que U é um aberto de IR^{2} contido em ]0, +∞[ × IR, que f é de classe C^{r} (r ≥ 1) e que o gradiente de f é não nulo em todos os pontos de f^{−1}(0). Mostre que o conjunto S é uma superfície de classe C^{r}.