1\underline{a} Lista de Exercícios

MAT0326 - Geometria Diferencial Prof. Daniel Victor Tausk

1. Calcule a curvatura das curvas planas abaixo. Em cada caso, determine os pontos de máximo e de mínimo do módulo da curvatura, se houver (note que o sinal da curvatura depende do sentido de percurso que você escolheu para a curva).

(a) A elipse de equação \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, onde a, b > 0.

(b) A hipérbole de equação \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, onde a, b > 0.

(c) A parábola de equação y = ax^{2}, onde a ≠ 0.

2. Calcule a curvatura e a torção da curva obtida pela interseção do parabolóide elíptico z = x^{2} + y^{2} + x com o parabolóide hiperbólico z = x^{2} − y^{2}. Essa curva tem imagem contida num plano?

3. Seja γ : I → IR^{n} (n = 2 ou n = 3) uma curva de classe C^{2} parametrizada por comprimento de arco. Mostre que a curvatura de γ é identicamente nula se e somente se γ é dada por γ(t) = p + tv, para algum ponto p ∈ IR^{n} e algum vetor unitário v ∈ IR^{n}.

4. Seja γ : I → IR^{2} uma curva de classe C^{2} parametrizada por comprimento de arco. Mostre que γ tem curvatura constante e não nula se e somente se a imagem de γ está contida numa circunferência.

5 (*). Seja γ : I → IR^{3} uma curva de classe C^{4} parametrizada por comprimento de arco. Suponha que as funções κ, κ′ e τ nunca se anulam. Mostre que a imagem de γ está contida em uma esfera se e somente se a função:

f(s) = \frac{1}{κ(s)^{2}} + (\frac{κ′(s)}{τ(s)κ(s)^{2}} )^{2}

é constante.

6. Seja κ : I → IR uma função contínua definida num intervalo I ⊂ IR e seja K : I → IR uma primitiva de κ (i.e., K′ = κ). Assuma que |K(t)| < 1 para todo t ∈ I. Mostre que se f : I → IR é uma primitiva da função ϕ = \frac{K}{\sqrt{1−K^{2}}} então a curvatura da curva γ : I → IR^{2} definida por γ(t) = (t, f(t)) coincide exatamente com κ.

7. Seja γ : I → IR^{3} uma curva de classe C^{3}. Suponha que, para todo t ∈ I, os vetores γ′(t) e γ′′(t) sejam linearmente independentes e que, para todo t ∈ I, os vetores γ′(t), γ′′(t) e γ′′′(t) sejam linearmente dependentes. Mostre que a imagem de γ está contida num plano.

8. Seja γ : I → IR^{3} uma curva de classe C^{3} parametrizada por comprimento de arco. Suponha que a curvatura de γ nunca se anula (de modo que o Triedro de Frenet de γ está bem definido). Considere a curva γ̃ : J → IR^{3} definida por γ̃(s) = γ(s + s_{0}), onde s_{0} ∈ IR é fixado e J é o intervalo dado por J = {s ∈ IR : s + s_{0} ∈ I}. Denote por T̃, Ñ, B̃, κ̃, τ̃ respectivamente o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de γ̃. Mostre que:

(a) γ̃ é parametrizada por comprimento de arco;

(b) T̃(s) = T (s + s_{0}), κ̃(s) = κ(s + s_{0}), Ñ(s) = N(s + s_{0}), B̃(s) = B(s + s_{0}) e τ̃(s) = τ(s + s_{0}), para todo s ∈ J.

9. Seja γ : I → IR^{3} uma curva de classe C^{3} parametrizada por comprimento de arco. Suponha que a curvatura de γ nunca se anula (de modo que o Triedro de Frenet de γ está bem definido). Considere a curva γ̃ : I → IR^{3} definida por γ̃(s) = L(γ(s)) + v, onde L : IR^{3} → IR^{3} é uma aplicação linear ortogonal e v ∈ IR^{3} é um vetor fixado. Denote por T̃, Ñ, B̃, κ̃, τ̃ respectivamente o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de γ̃. Mostre que:

(a) γ̃ é parametrizada por comprimento de arco;

(b) T̃(s) = L(T (s)), κ̃(s) = κ(s) e Ñ(s) = L(N(s)), para todo s ∈ I;

(c) se det(L) = 1 então B̃(s) = L(B(s)) para todo s ∈ I e se det(L) = −1 então B̃(s) = −L(B(s)) para todo s ∈ I;

(d) se det(L) = 1 então τ̃(s) = τ(s) para todo s ∈ I e se det(L) = −1 então τ̃(s) = −τ(s) para todo s ∈ I.

10. Considere a função ξ : IR → IR definida por ξ(t) = e^{− \frac{1}{t}} para t > 0 e ξ(t) = 0 para t ≤ 0.

(a) Mostre que a k-ésima derivada de ξ é dada por:

ξ^{(k)}(t) = \frac{P_{k}(t)}{Q_{k}(t)} ξ(t),

para todo t ≠ 0, onde P_{k} e Q_{k} são polinômios.

(b) Mostre que ξ é uma função de classe C^{∞} e que todas as derivadas de ξ são nulas na origem. [dica: use o seguinte resultado elementar de cálculo; seja f : I → IR uma função contínua num intervalo I, derivável em todos os pontos de I, exceto possivelmente em um ponto t_{0} ∈ I. Se o limite lim_{t→t_{0}} f′(t) existe então f é derivável no ponto t_{0} e f′(t_{0}) = lim_{t→t_{0}} f′(t).]

(c) Considere a curva γ : IR → IR^{2} definida por γ(t) = (ξ(−t), ξ(t)). Mostre que a imagem de γ é igual à união do segmento horizontal [0, 1[ × {0} com o segmento vertical {0} × [0, 1[ (note que, embora γ seja de classe C^{∞}, sua imagem possui um “canto”).

11. Considere o conjunto:

Q = ( [0, +∞[ × {0}) ∪ ({0} × [0, +∞[ ).

Seja γ : I → IR^{2} uma curva de classe C^{1} definida num intervalo aberto I ⊂ IR e com imagem contida em Q. Mostre que, se t_{0} ∈ I é tal que γ(t_{0}) = (0, 0) então γ′(t_{0}) = (0, 0) (em particular, uma curva de classe C^{1} com imagem contida no “canto” Q e que passa pela origem não pode ser regular; compare com o Exercício 10).

12. Seja ξ : IR → IR a função definida no Exercício 10. Considere a curva γ : IR → IR^{3} de classe C^{∞} definida por γ(t) = (t, ξ(t), ξ(−t)). Mostre que:

(a) os vetores γ′(t), γ′′(t) e γ′′′(t) são linearmente dependentes, para todo t ∈ IR;

(b) a imagem de γ não está contida num plano (compare com o resultado do Exercício 7).

Recorde que se γ : I → IR^{n} é uma curva então uma reparametrização de γ é uma curva da forma γ ∘ σ, onde σ : J → I é uma função monótona e sobrejetora (não necessariamente injetora), definida num intervalo J ⊂ IR (a função σ é automaticamente contínua).

13. Seja ξ : IR → IR a função definida no Exercício 10. Considere a curva γ : IR → IR^{2} de classe C^{∞} definida por γ(t) = (ξ(t), ξ(t)).

(a) Obtenha uma curva μ : I → IR^{2}, parametrizada por comprimento de arco, tal que γ é uma reparametrização de μ.

(b) Mostre que nenhuma reparametrização de γ pode ser parametrizada por comprimento de arco.

14. Considere as curvas γ : ]−π, π[ → IR^{2} e μ : ]0, 2π[ → IR^{2} definidas por γ(t) = (sen t, sen 2t) e μ(t) = (sen t, sen 2t).

(a) Mostre que γ e μ são curvas regulares injetoras.

(b) Mostre que existe uma única aplicação σ : ]−π, π[ → ]0, 2π[ tal que γ = μ ∘ σ; determine σ.

(c) Mostre que as curvas γ e μ possuem a mesma imagem.

(d) A curva μ é uma reparametrização de γ?

15 (**). Seja μ : I → IR^{n} uma curva regular de classe C^{k} (k ≥ 1) definida num intervalo aberto I ⊂ IR. Assuma que μ : I → μ(I) é um homeomorfismo (isso significa que μ é injetora e que a sua aplicação inversa μ^{−1} : μ(I) → I é contínua). Seja γ : J → IR^{n} uma curva de classe C^{k} definida num intervalo J ⊂ IR e tal que γ(J) ⊂ μ(I). Mostre que existe uma única aplicação σ : J → I tal que γ = μ ∘ σ; mostre que σ é de classe C^{k}. [dica: a existência e a unicidade de σ são fáceis. O difícil é mostrar que σ é de classe C^{k}. Seja s_{0} ∈ J e seja t_{0} = σ(s_{0}) ∈ I. Escolha vetores v_{1}, …, v_{n−1} ∈ IR^{n−1} tais que (v_{1}, …, v_{n−1}, μ′(t_{0})) seja uma base de IR^{n}. Considere a aplicação ϕ : IR^{n−1} × I → IR^{n} definida por:

ϕ(x_{1}, …, x_{n−1}, x_{n}) = μ(x_{n}) + ∑_{i=1}^{n−1} x_{i}v_{i}.

Use o Teorema da Função Inversa para concluir que existem ε > 0 e um aberto U ⊂ IR^{n−1} contendo a origem de modo que a restrição de ϕ ao aberto V = U ×]t_{0} − ε, t_{0} + ε[ seja um difeomorfismo de classe C^{k} sobre um aberto de IR^{n}. Use a continuidade de μ^{−1} para concluir que σ é contínua e que existe δ > 0 tal que σ(s) ∈ ]t_{0} − ε, t_{0} + ε[ para todo s ∈ ]s_{0} − δ, s_{0} + δ[ ∩ J. Mostre que para s ∈ ]s_{0} − δ, s_{0} + δ[ ∩ J temos (ϕ|_{V})^{−1}(γ(s)) = (0, …, 0, σ(s)) e portanto a restrição de σ a ]s_{0} − δ, s_{0} + δ[ ∩ J é de classe C^{k}.]