Perspectiva Histórica

     Desde as primeiras décadas do século XX, porém mais intensamente a partir dos anos 30, transformações profundas na Matemática estavam em curso, com a introdução de vastas inovações conceituais permeando as mais diversas áreas, propiciando interconexões entre elas que apontavam progressivamente para uma unificação crescente, sendo que a perspectiva de conceituação estruturalista era o meio de realização dessa produção vigorosa e empolgante.

     Nesse período, marcado por essa vertente estruturalista, despontou a obra de um matemático policéfalo e fictício, Nicolas Bourbaki, resultado do trabalho conjunto de um grupo de matemáticos jovens que iniciou uma empreitada ambiciosa de apresentar desde os fundamentos as vertentes principais da Matemática, englobando suas bases lógicas, conjuntistas, desdobrando-se para a Álgebra, Topologia, Análise, Teoria de Integração, Variedades Diferenciáveis, Grupos de Lie, entre outras áreas dominantes.

     Nesse contexto amplo de mudanças e unificações as áreas de Álgebra, Análise, Topologia e Geometria Diferencial estavam no centro das investigações, e os estudos envolvendo os conceitos de fibrados em geral, e fibrados vetoriais, fibrados principais com grupo estrutural, fibrados associados a ações de grupos, espaços homogêneos sob a ação de grupos, se destacavam nesse panorama.

     Um dos expoentes da Geometria Diferencial desse século, Charles Ehresman, um dos grandes pioneiros nesse movimento de inovação desde os anos 30, destacando-se seu artigo no Annals of Mathematics "Sur la Topologie de Certains Espaces Homogènes" de 1934, trabalhando sob inspiração dos mestres geômetras da tradição proveniente da virada do século XIX para o século XX, Élie Cartan, Sophus Lie, entre outros, estava fazendo uma prolífica e intensa contribuição relativa à fundamentação conceitual e reformulação nesse campo especialmente a partir do final dos anos 40, incluídas nisso as teorias de espaços fibrados, das estruturas infinitesimais e pseudo grupos de Lie, conexões infinitesimais sobre espaços fibrados, grupóides e espaços de jatos, locais ou germes, e de ordem finita e infinita.

     Numa linha afim com todas essas produções e pesquisas, um dos grandes matemáticos do século XX e membro líder do grupo Bourbaki, André Weil, apresentou um artigo sucinto porém de amplas repercusões para os fundamentos da Geometria Diferencial contemporânea, no Colloque International de Géométrie Différentielle, que reuniu em Strasbourg em 1953 um grupo representativo de excelência entre os maiores geômetras e topólogos da época. O artigo se denominava "THÉORIE DES POINTS PROCHES SUR LES VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES".

     André Weil apresentava nesse artigo de sete páginas, o que em suas próprias palavras seriam as ideias de seu mestre Nicolas Bourbaki, com os primeiros elementos sobre a teoria dos pontos "próximos" ou " infinitamente vizinhos" às variedades diferenciáveis, levando a uma ampla classe de construções de fibrados associados às variedades diferenciáveis e certa classe de álgebras reais de dimensão finita, nomeadas por Weil de Algebras Locais, a saber aquelas geradas por idempotentes e nilpotentes, assim como esboços referentes a propriedades dessa classe de álgebras, como suas relações com as álgebras de séries formais, fechamento com respeito a subálgebras, quocientes por ideais, imagens homomórficas e produtos tensoriais, além de um importante teorema, denominado por Weil de Teorema Fundamental de Transitividade dos Prolongamentos, e ao final do artigo o conceito de \(A\)-transformação infinitesimal de uma variedade \(V\) noutra \(W\), sendo \(A\) uma álgebra local, uma operação chamada de composição de transformações infinitesimais, e indicações de como analogamente às operações de campos de vetores sobre campos tensoriais, as tranformações infinitesimais de ordem superior também agem sobre seções de fibrados associados aos fibrados de referenciais de ordem correspondente.

     Conclui com uma referência à possibilidade de obtenção direta do colchete de campos de vetores como um caso particular de comutadores de transformações infinitesimais, e na Teoria dos Grupos de Lie a aplicação desses resultados para dar uma forma natural às relações entre comutafor e colchete de Lie, não havendo necessidade de fazer intervir as "coordenadas canônicas", por fim menciona que a noção de "conexão" se define muito naturalmente no âmbito dessa teoria, e dá lugar a generalizações das quais seria prematuro tentar apreciar a importância.

     Nos anos seguintes André Weil chegou a redigir um texto robusto tendo em torno de 300 páginas com um desenvolvimento mais detalhado e sistemático, ao estilo Bourbaki, para fazer parte do conjunto da obra de seu mestre Nicolas Bourbaki, porém esse projeto foi interrompido, provavelmente vetado por alguma decisão no interior do grupo, sobre a qual não há informações acessíveis, ao menos por enquanto.

Ementa Estendida:

     Álgebras de Weil - álgebras reais de dimensão finita geradas por idempotentes e nilpotentes, morfismos a valores em \(\mathbb{R}\) de álgebras de funções reais suaves definidas em abertos de espaços vetoriais de dimensão finita, prolongamentos fibrados por álgebras de Weil de funções suaves entre abertos de espaços vetoriais de dimensão finita, funtorialidade dos prolongamentos, composição de prolongamentos relativos a duas álgebras de Weil e sua equivalência com o prolongamento relativo ao produto tensorial das das duas álgebras, determinações de funtores de prolongamentos fibrados na Geometria Diferencial a partir do cálculo funtorial local sobre espaços vetoriais de dimensão finita e a equivalência com uma determinação algébrica global, caracterização dos endofuntores locais que preservam produto, da categoria dos espaços geométricos e morfismos suaves, e aplicações à generalização do Teorema de Composição de Prolongamentos à estrutura de \(A\)-módulo no fibrado tangente ao fibrado dos \(A\)-pontos próximos, à determinação da álgebra de Lie associada a grupos de Lie, à álgebra de Lie do grupo de Lie dos \(A\)-pontos próximos a um grupo de Lie, e a uma simetria fundamental do funtor bitangente na Mecânica.

Pré-requisitos

• MAT 0222 - Álgebra Linear II;
• MAT 0264 - Anéis e Corpos;
• MAT 0311 - Cálculo Diferencial e Integral V.