Professor Marcos M. Alexandrino
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 MAT 5711 Cálculo Avançado

Segundas-feiras 16:00-18:00  e quartas-feiras  16:00-18:00 (on line)
 

Avisos Importantes:
 
   Aulas serão realizadas on line (google meet- enquanto contrato com a  usp estiver valendo) e email serão enviados para   participação da aula.
 
   Lista de exercícios (referentes aos Blocos) serão liberadas no E-disciplina.
 
  Avaliação em princpípio serão: testes on line Tij  (no E-disciplina) e entrega de trabalhos Pi (via E-disciplina) e combinação
  destes, e.g., Média:= (B1+B2+B3+B4+B5)/5,  onde   Bi= Pi+Tij.
    

 

Listas  E disciplina 
Notas Finais  E disciplina      

 

Conteúdo:
Recordação do enunciado dos teoremas da função inversa e implícita para funções em R^n. Formas locais das imersões e submersões. Teorema do posto. Superfícies k-dimensionais (subvariedades) do R^n (definição via parametrizações).
Teorema da imagem inversa do valor regular. Espaço tangente. Integração no Rn. Teorema de Fubini. Teorema de mudança de variáveis para integrais. Aplicações multilineares alternadas. Produto exterior. Pull-back. Formas diferenciais no Rn e em superfícies. Diferencial exterior. Pull-back. Orientação em superfícies. Integração de formas diferenciais em superfícies.
Superfícies com bordo. Orientação induzida no bordo.Partições da unidade. Teorema de Stokes em variedades com bordo.

 

Bibliografia Principal:

  1. M. Craizer, G  Tavares, Cálculo Integral a várias variáveis,Editora Loyola, Puc-Rio
  2. S. Lang, Undegraduate Analysis. Springer-Verlag, 1989
  3. W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill International Editions. 3a. Edição, 1976
  4. M. Spivak, Calculus on Manifolds. Perseus Books Publishing, 1965
       
Bibliografia Secundária:
  1.  R. Bott and L.W. Tu.  Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Verlag GTM Vol 82, 1982
  2. S Mortia Geometry of Differential Forms : American Mathematical Society (2001)


Cronograma (sujeito a alterações):


 Bloco  Matéria  Referências bibliográficas  
 Bloco 1
 Recordação do enunciado dos teoremas da função inversa.
 Subvariedades  mergulhadas no R^n. Formas locais das imersões
 e submersões e teorema da função implícita.  Espaço tangente.
 
 Lang (cap 17, 18) Rudin (cap 9)
 Spivak (Cap 2)
 Craizer, Tavares(Cap 1,2,4,6,7,9)
 Morita (Cap 1)
 Bloco 2  
 Variedade (comentários gerais) Teorema do posto.  Campos, fluxos,
 fibrado tangente, e teorema de Frobenius.

 Lang (cap 17, 18) Rudin (cap 9)
 Spivak (Cap 2)
 Morita (Cap 1)
 Bloco 3
  Integração no Rn. Teorema de Fubini.
 Teorema de mudança de variáveis para integrais.


  Spikav (Cap 3)
 Craizer, Tavares (Cap  3,5)
 Bloco 4 
 Aplicações multilineares alternadas. Produto exterior.
 Pull-back. Formas diferenciais no Rn e em superfícies.
 Diferencial exterior. Pull-back. Orientação em superfícies.

 

  Spivak (4, 5)
 Bott Tu (cap 1 seções 3 e 4).
 Morita (Cap 2).
 Bloco 5
 Integração de formas diferenciais em superfícies.
 Superfícies com bordo. Orientação induzida no bordo.
 Partições da unidade. Teorema de Stokes em variedades com bordo.
 
  Spivak (4, 5)
 Bott Tu (cap 1 seções 3 e 4).
Craizer, Tavares (Cap 8, 10,11)
 Morita (Cap 2).
 

 Critério  de Avaliação:

 Média= (B1+B2+B3+B4+B5)/5,  onde   Bi= Pi+Tij, 

 Monitoria:  André Magalhães de Sá Gomes