Definição 1.
Um número complexo é um elemento da forma \(z=a+bi\text{,}\) onde \(a,b\in\R\) e \(i\) é um elemento abstrato tal que \(i^2=i\times i=-1\text{.}\)
O conjunto de todos os números complexos é denotado por \(\C\text{.}\)
| Alexandre Lymberopoulos |
|---|
| Departamento de Matemática - Universidade de São Paulo |
ferramenta básica para estudar funções a mais de uma variável.
limites, continuidade e difereciabilidade.
Vide página específica no e-disciplinas.
Um número complexo é um elemento da forma \(z=a+bi\text{,}\) onde \(a,b\in\R\) e \(i\) é um elemento abstrato tal que \(i^2=i\times i=-1\text{.}\) O conjunto de todos os números complexos é denotado por \(\C\text{.}\)
Definição 1.
Por que e para que? É uma longa e bonita história... Infelizmente não temos tempo para contá-la aqui.
Soma: \((a+bi)+(c+di):=(a+c)+(b+d)i\) é associativa, comutativa, tem elemento neutro e oposto.
Produto: \((a+bi)\cdot(c+di):=(ac-bd)+(ad+bc)i\) é associativa, comutativa, tem elemento neutro e todo elemento, exceto o neutro da soma, tem um inverso.
Distributiva: \((z_1+z_2)z=z_1z+z_2z\text{.}\)
É algebricamente fechado, ou seja, qualquer polinômio com coeficientes em \(\C\) possui todas as suas raízes em \(\C\text{.}\)
Se \(z=a+ib\text{,}\) o seu conjugado é \(\overline{z}=a-bi\text{.}\)
Se \(z=a+ib\text{,}\) o seu módulo é \(|z|=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}\)
Se \(z=a+ib\neq 0\text{,}\) o seu inverso é \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b}{a^2+b^2}i\text{.}\)
Uma equação diferencial ordinária (EDO) de ordem \(n\) é uma expressão do tipo
Definição 2.
\begin{equation*}
F(y^{(n)}(x),y^{(n-1)}(x),\ldots,y'(x),y(x),x)=0,
\end{equation*}
onde \(F\colon\R^{n+2}\to\R\) é uma função e \(y^{(k)}(x)\) denota a \(k\)-ésima derivada de uma função \(y\colon\R\to\R\text{.}\)
Uma solução para uma EDO é uma função suficientemente derivável que satisfaz a equação acima.
O exemplos acima são de equações de primeira ordem, mas existem modelos com equações de ordem mais alta, com coeficientes variáveis, singularidades etc.
Uma problema de valor inicial (PVI) consiste de uma EDO acompanhada de condições iniciais que devem ser satisfeitas por uma solução da EDO.
Definição 3.
Teorema 4.
Seja \(F(y^{(n)}(x),y^{(n-1)}(x),\ldots,y'(x),y(x),x)=0\) uma EDO de ordem \(n\text{.}\) Sob certas condições (sempre satisfeitas aqui), dados \(x_0\in\R\) e \(\alpha_{n-1},\ldots,\alpha_0\in\R\text{,}\) existem um intervalo aberto maximal \(I\subseteq\R\text{,}\) com \(x_0\in I\text{,}\) e uma única função \(y\colon I\to\R\) tais que \(y(x)\) é solução da EDO e satisfaz \(y^{(n-1)}(x_0)=\alpha_{n-1},y^{(n-2)}(x_0)=\alpha_{n-2},
\ldots, y'(x_0)=\alpha_{1}\) e \(y(x_0)=\alpha_0\text{.}\)
Primeira Ordem: \(y'(x)=ky(x)\text{,}\) \(y(0)=a\text{;}\)
Segunda Ordem: \(y''(x)=\sin(x)\text{,}\) \(y(0)=3\text{,}\) \(y'(0)=-2\text{;}\)
Vejamos um exemplo geral de solução de uma EDO linear de primeira ordem:
\(y'(x)+p(x)y(x)=q(x)\)
Usamos o método do fator integrante: multiplicar tudo por alguma função, de modo que o lado esquerdo se pareça com a derivada de um produto.
Exemplo concreto: \(y'(x)-\dfrac{2}{x}y(x)=0\text{.}\)
Uma equação diferencial ordinária (EDO) de ordem \(n\) é homogênea e linear se escreve-se na forma
Definição 5.
\begin{equation*}
y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+
\ldots+p_1(x)y'(x)+p_0(x)y(x)=0.
\end{equation*}
O conjunto de soluções de uma equação diferencial ordinária de ordem \(n\text{,}\) linear e homogênea, é um subespaço vetorial de dimensão \(n\) do espaço vetorial (sobre \(\C\)) das funções a valores reais definidas no intervalo que é o domínio das funções coeficiente da equação.
Teorema 6.
Equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, com coeficientes constantes.
\(ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0\text{,}\) \(a,b,c,\in\R\text{.}\)
\(y(x)=e^{\lambda x}\text{,}\) onde \(\lambda\) é raiz da equação \(ax^2+bx+c=0\text{.}\)
Encontre todas as soluções de \(y''(x)-k^2y(x)=0\)
Encontre todas as soluções de \(y''(x)-2y'(x)+y(x)=0\)
Encontre todas as soluções de \(y''(x)+k^2y(x)=0\)
O caso de equações não-homogêneas tem analogia com a teoria de sistemas lineares não homogêneos: toda solução de uma EDO não-homogênea é a soma de uma solução particular dela com qualquer solução da EDO homogênea associada.
Depende do termo independente da equação!
Determine todas as soluções da equação \(y''(x)-y(x)=e^{2t}\text{.}\)
Uma curva parametrizada em \(\R^n\) é uma função \(\gamma\colon I\subseteq\to\R^n\text{.}\) O traço de \(\gamma\) é a sua imagem como função: \(\im\gamma = \big\{\gamma(t)\in\R^n\colon t\in
I\big\}.\)
Definição 7.
Quando \(n=2\text{,}\) generaliza o conceito de gráfico de uma função \(f\colon\R\to\R\) para qualquer trajetória no plano.
Podemos descrever o movimento de partículas no espaço.
E movimentos em espaços de dimensões mais altas... Sim, isso é útil!
O domínio é um subconjunto de \(\R\text{,}\) então usamos as ferramentas do Cálculo I e relações entre as coordenadas.
Uma curva \(\gamma\colon I\subset\R\to\R^n\) é contínua em \(t_0\in I\) se dado \(\epsilon>0\text{,}\) existe \(\delta>0\) tal que \(|t-t_0|<\delta\implies
\big\|\gamma(t)-\gamma(t_0)\big\|<\epsilon\text{.}\)
Definição 8.
\(\gamma(t)=\big(x_1(t),\dots,x_n(t)\big)\) é contínua em \(t_0\) se e somente se cada \(x_i(t)\) é uma função contínua em \(t_0\) (no sentido do cálculo 1).
Uma curva \(\gamma\colon I\subset\R\to\R^n\) é derivável em \(t_0\in I\) se existe \(\gamma'(t_0)=\lim\limits_{t\to
t_0}\dfrac{\gamma(t)-\gamma(t_0)}{t-t_0}\text{.}\) O vetor \(\gamma'(t_0)\) é chamado vetor tangente ou vetor velocidade de \(\gamma\) em \(t_0\text{.}\)
Definição 9.
\(\gamma(t)=\big(x_1(t),\dots,x_n(t)\big)\) é derivável em \(t_0\) se e somente se cada \(x_i(t)\) é uma função derivável em \(t_0\) (no sentido do cálculo 1).
\(\gamma'(t_0)\) "aponta a direção para onde anda a curva".
\(\gamma(t)=(1-3t,2-t)\text{,}\) \(t\in\R\text{.}\)
\(\gamma(t)=(\cos(t),-\sin t)\text{,}\) \(t\in[0,2\pi]\text{.}\)
\(\gamma(t)=(3\cos t,2\sin t)\text{,}\) \(t\in\R\text{.}\)
\(\gamma(t)=(\cos^2 t,\sin t)\text{,}\) \(t\in\R\text{.}\)
\(\gamma(t)=(e^t\cos t,e^t\sin t)\text{,}\) \(t\in\R\text{.}\)
\(\gamma(t)=(2+e^{-t},3+e^t)\text{,}\) \(t\in\R\text{.}\)
Encontrar uma curva \(\gamma\colon I\to\R^2\text{,}\) \(\gamma(t)=\big(x(t),y(t)\big)\text{,}\) cujo traço seja a trajetória pedida.
Existem muitas parametrizações para uma mesma curva.
\(C=\big\{(x,y)\in\R^2\colon \frac{(x-3)^2}{4}+\frac{(y-2)^2}{9}=1\big\}\text{;}\)
\(C=\big\{(x,y)\in\R^2\colon y^2-x^2=1, y\leq 0\big\}\text{.}\)
Usamos as técnicas aplicadas às curvas planas, lembrando que temos uma coordenada a mais.
Conhecer algumas superfícies que contém a imagem dessas curvas ajuda a entendê-las melhor. (veja a seção de Superfícies Quádricas a seguir)
\(\gamma(t)=(\cos t, \sin t, 2), t\in\R\text{;}\)
\(\gamma(t)=(\cos t, \sin t, t),t\in [0,2\pi]\text{;}\)
\(\gamma(t)=(\cos t, \cos t, \sqrt{2}\sin t)\text{;}\)
Agora procuramos \(\gamma(t)=\big(x(t),y(t),z(t)\big)\) tal que sua imagem seja o conjunto dado.
O conjunto pode ser dado pela inteseção de superfícies.
\(C=\big\{(x,y,z)\in\R^3\colon x^2+y^2=1\text{ e } y+z=1\big\}\text{;}\)
\(C=\big\{(x,y,z)\in\R^3\colon x^2+y^2-z^2=1\text{ e } y+z=1\big\}\text{.}\)
Uma superfície quádrica em \(\R^3\) é o conjunto dos pontos \((x,y,z)\) do espaço que satifas uma equação do tipo
Definição 10.
\begin{equation*}
ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+hx+iy+jz+k=0,
\end{equation*}
onde \(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k\) são constantes reais.
\(ax^2+by^2+cz^2+k=0\)
Sempre existe um sistema de coordenadas onde a equação geral é descrita na forma reduzida.
Casos na forma reduzida aqui.
\(\gamma(t)=(\cos t, \sin t,2)\text{,}\) \(t\in\R\text{.}\)
\(\gamma(t)=(\cos(t),\sin t, t)\text{,}\) \(t\in[0,2\pi]\text{.}\)
\(\gamma(t)=(\cos t,\cos t,\sqrt{2}\sin t)\text{,}\) \(t\in[0,2\pi]\text{.}\)
\(\gamma(t)=(e^{-t}\cos2 t,e^{-t}\sin t,e^{-t})\text{,}\) \(t\in\R\text{.}\)
\(\gamma(t)=(\sqrt{t^2+1}\cos t,\sqrt{t^2+1}\sin t,t)\text{,}\) \(t\in\R\text{.}\)
Vamos estudar grandezas que dependem de mais de uma grandeza.
Exemplo: numa chapa plana podemos medir, em cada instante de tempo, a temperatura de um ponto de coordenadas \((x,y)\text{.}\) Ou seja, a cada tripla de números \((x,y,t)\) associamos o número real \(T(x,y,t)\text{,}\) o qual está unicamente determinado.
O gráfico de uma função \(f\colon A\subseteq\R^n\to\R\) é o conjunto \(\text{Gr}(f)=\big\{(x_1,\ldots,x_{n+1})\in\R^{n+1}\colon x_{n+1}=f(x_1,\ldots,x_n), (x_1,\ldots, x_n)\in A\big\}\text{.}\)
Só "enxergamos" gráficos quando \(n=2\text{,}\) que serão um tipo especial de superfície.
Se \(n=3\) o gráfico é um objeto em \(\R^4\text{,}\) que tem bastante analogia com o caso anterior.
\(f\colon\R^2\to\R\) dada por \(f(x,y)=\dfrac{x+y}{2+\cos(x)\sin(y)}\text{:}\) gráfico.
Como no caso de cálculo 1, vamos construir ferramentas para esboçar e entender melhor esse tipo de superfície.
Vamos também desenvolver o estudo de funções de \(3\) variáveis para tratar uma classe mais ampla de objetos espaciais, assim como fizemos de funções de uma variável para curvas no plano.
Seja \(f\colon\R^2\to\R\) uma função. A curva de nível \(c\in\R\) de \(f\) é o conjunto \(f^{-1}(c)=\{(x,y)\in A\colon f(x)=c\}\text{.}\)
Definição 11.
\(f\colon\R^2\to\R\) dada por \(f(x,y)=\dfrac{x+y}{2+\cos(x)\sin(y)}\text{:}\) gráfico com cortes; curvas de nível;
\(f^{-1}(c)\) é a projeção no domínio de \(f\) da interseção de seu gráfico com o plano \(z=c\text{.}\)
Reforçando: a curva de nível está no domínio de \(f\text{.}\)
Se \(c\not\in\im f\text{,}\) então \(f^{-1}(c)=\emptyset\text{.}\)
\(f\colon\R^2\to\R\) dada por \(f(x,y)=x^2+y^2\text{:}\) gráfico com cortes; curvas de nível;
\(f\colon\R^2\to\R\) dada por \(f(x,y)=y^2-x^2\text{:}\) gráfico com cortes; curvas de nível;
\(f\colon A\subset\R^2\to\R\) dada por \(f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2-y^2}\text{,}\) onde \(A=\big\{(x,y)\in\R^2\colon x^2\neq y^2\big\}\text{:}\) gráfico com cortes; curvas de nível;
Vamos agora estudar o comportamento das funções a várias (duas) variáveis utilizando ideias semelhantes às do cálculo 1 (limites, alguma ideia de derivada, máximos e mínimos).
As ideias são análogas, mas com contexto um pouco diferente.
No cálculo 1, o conceito de limite estudava o que acontecia com uma função quando a calculávamos em pontos arbitrariamente próximos de um ponto \(x_0\) (que não precisa estar no domínio da função).
É irrelevante o que acontece com a função no ponto \(x_0\text{!}\)
Para imitar essa ideia precisamos observar que agora o domínio é um subconjunto de \(\R^2\) e portanto o conceito de proximidade deve usar a distância desse espaço.
Por outro lado, o contra domínio é \(\R\text{,}\) logo o conceito de proximidade aqui usa a distância entre pontos da real.
Isso nos diz exatamente como estender a definição de limite para o caso de interesse...
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) uma função e \((x_0,y_0)\) um ponto de acumulação de \(A\text{.}\) A função \(f\) tem limite \(L\in\R\) em \((x_0,y_0)\) se para todo \(\epsilon >0\text{,}\) existe \(\delta >0\) tal que
Definição 12.
\begin{equation*}
\|(x,y)-(x_0,y_0)\|< \delta \implies |f(x,y)-L|<
\epsilon.
\end{equation*}
Notação: \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L\text{.}\)
Note que, como antes, \(f(x_0,y_0)\) não aparece na definição (por que?).
Podemos escrever, nesse contexto, o que seriam limites infinitos e limites no infinito (mas não vamos precisar disso explicitamente).
As propriedades operatórias (soma, produto e quociente) aqui são as mesmas vistas para os limites estudados em cálculo 1, exceto...
A regra de L’Hospital! \(\ddot\frown\) (não existe análogo para ela aqui)
Exemplos: \(\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x)\text{,}\) \(\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} g(y)\text{,}\) \(\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x)+g(y)\text{,}\) \(\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x)g(y)\) etc.
Composta? Confronto? Sim!
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) e \(g\colon I\subseteq\R\to\R\) funções tais que \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L\) e \(g\) é contínua em \(L\text{.}\) Então
\(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}\text{.}\)
Abaixo enunciamos o corolário do teorema do confronto que vamos usar com frequência:
Sejam \(f,g\colon A\subseteq\R^2\to\R\) funções tais que \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=0\) e \(g\) é limitada. Então
Seja \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) uma função tal que \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L\text{.}\) Se \(\gamma\colon I\subset\R\to\R^2\) é qualquer curva contínua tal que \(\lim\limits_{t\to t_0}\gamma(t)=(x_0,y_0)\text{,}\) então \(\lim\limits_{t\to t_0} f\big(\gamma(t)\big)=L\text{.}\)
Teorema 15.
Como usamos isso para ver que limites não existem?
Na contrapositiva!
Curvas de nível, \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{xy}{x^3-y}\text{.}\)
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) uma função e \((x_0,y_0)\in A\text{.}\) A função \(f\) é contínua em \((x_0,y_0)\) se para todo \(\epsilon >0\text{,}\) existe \(\delta >0\) tal que
Definição 16.
\begin{equation*}
\|(x,y)-(x_0,y_0)\|\leq \delta
\implies |f(x,y)-f(x_0,y_0)|< \epsilon.
\end{equation*}
Compare as noções de limite e continuidade.
As propriedades operatórias (soma, produto e quociente) aqui são as mesmas vistas para a continuidade vista em cálculo 1.
A composta que faz sentido entre funções contínuas de uma e de várias (duas) variáveis também é contínua.
Relação entre limite e continuidade:
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) e \((x_0,y_0)\in A\text{.}\) Então \(f\) é continua em \((x_0,y_0)\) se e somente se \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0)\text{.}\)
Determine \(L\in\R\) tal que a função \(f\colon\R^2\to\R\text{,}\) dada por \(f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^4}{x^4+y^2}\sin\Big(e^{\frac{-1}{x^2+y^2}}\Big),& (x,y)\neq (0,0)\\ \hfill L,& (x,y)=(0,0)\end{cases}\) é contínua.
Agora começamos a estudar aspectos relativos à derivação de funções a várias variáveis reais.
Antes, vamos fixar algumas nomenclaturas para conjuntos em \(\R^n\text{,}\) as quais serão úteis ao longo de todo o curso:
A ideia é medir taxas de variação da função, mas agora temos muitas oções de caminhos para ligar os pontos entre os quais estamos medindo essa variação.
Começamos com as mais simples, ou seja, as direções paralelas aos eixos:
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) uma função no aberto \(A\) e \((x_0,y_0)\in A\text{.}\) As derivadas parciais de \(f\) no ponto \((x_0,y_0)\) são
Notação alternativa: \(f_x(x_0,y_0)\) e \(f_y(x_0,y_0)\text{,}\) respectivamente.
Vamos para o quadro!
Talvez... Vamos olhar isso com cuidado.
Podemos considerar a função \(f_x\colon B\subseteq A\subseteq\R^2\) e verifica se ela admite as derivadas parciais. O mesmo valendo para a função \(f_y\text{.}\) Com isso temos a:
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) uma função que admite derivadas parciais no em todos os pontos do conjunto \(A\text{.}\) Definimos as derivadas parciais de segunda ordem de \(f\) por
Notações alternativas: \(f_{xx}(x_0,y_0)\text{,}\) \(f_{xy}(x_0,y_0)\text{,}\) \(f_{yx}(x_0,y_0)\) e \(f_{yy}(x_0,y_0)\text{,}\) respectivamente.
Vamos para o quadro!
Seja \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\text{.}\) Dizemos que \(f\) é de classe \(\mathcal{C}^k\) em \((x_0,y_0)\) se todas as derivadas parciais de \(f\) até ordem \(k\) são contínuas em \((x_0,y_0)\text{.}\)
Notação: \(f\in\mathcal{C}^k(x_0,y_0)\text{.}\)
Seja \(f\in\mathcal{C}^2(x_0,y_0)\text{.}\) Então \(f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)\text{.}\)
Vimos que a existência de derivadas parciais não garante sequer a continuidade da função.
Precisamos de um conceito que garante isso e que permita definir para uma função \(f\colon\R^n\to\R\) o que seria o análogo à reta tangente a uma função \(f\colon\R\to\R\text{.}\)
Para isso vamos reconstruir o conceito de derivabilidade do Cálculo 1 de maneira que ele possa generalizado para funções de várias variáveis.
\(f'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\iff \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)-f'(x_0)h}{h}=0\text{.}\)
Notando que \(L_{x_0}(h)=f'(x_0)h\) é um operador linear em \(\R\text{,}\) podemos dizer que \(f\) é derivável em \(x_0\) se, e somente se existe \(L_{x_0}\in L(\R)\text{,}\) tal que vale a última igualdade no limite acima.
Todo operador linear em \(\R\) é da forma \(T(h)=ah\text{,}\) com \(a=T(1)\in\R\text{.}\) Já mostramos, e você deve conferir isso, que o único valor de \(a\in\R\) tal que o limite acima se anula é \(a=f'(x_0)\text{.}\)
Nesse contexto, fazendo \(h=x-x_0\text{,}\) a reta \(y=f(x_0)+L_{x_0}(x-x_0)\) é a reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(\big(x_0,f(x_0)\big)\text{.}\)
Tentando generalizar para uma \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) procurando uma tranformação linear \(L_{(x_0,y_0)}\in L(\R^2,\R)\) tal que
Sabemos da álgebra linear que \(L_{(x_0,y_0)}(h,k)=ah+bk\) para certos \(a,b\in\R\text{.}\) Podemos usar o último limite acima para determiná-los, calculando o sobre as retas paralelas aos eixos passando por \((x_0,y_0)\text{,}\) obtendo
Tudo pronto para a:
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) uma função no aberto \(A\) e \((x_0,y_0)\in A\text{.}\) Dizemos que \(f\) é diferenciável em \((x_0,y_0)\) se
Se \(f\) é diferenciável em \((x_0,y_0)\text{,}\) então \(f\) é contínua em \((x_0,y_0)\text{.}\)
Sempre temos que usar o "limitão"?
Se \(f\in\mathcal{C}^1(x_0,y_0)\text{,}\) então \(f\) é diferenciável em \((x_0,y_0)\text{.}\)
Se \(f\) é diferenciável em \((x_0,y_0)\text{,}\) o plano tangente ao gráfico de \(f\) em \(\big(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\big)\) é aquele de equação
O vetor normal ao gráfico de \(f\) em \(\big(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\big)\) é \(n_f(x_0,y_0)=\big(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0), -1\big)\text{.}\)
Queremos derivar compostas de funções... Mas quais compostas fazem sentido no nosso contexto atual?
Para começar vamos compor funções de duas (\(n\)) variáveis com curvas em \(\R^2\) (em \(\R^n\))!
\(f(x,y)=x^2y\) e \(\gamma(t)=(\sin t,\cos t)\) em \(t_0=\dfrac{\pi}{4}\text{;}\)
\(f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^3}{x^2+y^2},&\text{ se }(x,y)\neq (0,0)\\ \hfill 0,&\text{ se }(x,y)=(0,0) \end{cases}\) e \(\gamma(t)=(t,t)\) em \(t_0=0\text{.}\)
Vamos tentar copiar a ideia da regra da cadeia do cálculo 1. Para introduzimos a:
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) uma função no aberto \(A\) e \((x_0,y_0)\in A\) tais que \(f_x(x_0,y_0)\) e \(f_y(x_0,y_0)\) existam. O gradiente de \(f\) em \((x_0,y_0)\) é o vetor
Se \(f\circ\gamma\colon\R\to\R\) for derivável, tem como derivada em cada ponto um número real, mas as "derivadas" que termos para \(f\) e \(\gamma\) são vetores.
Se quisermos a derivada da composta como um "produto" de derivadas, a única opção é o produto escalar entre \(\nabla f\big(\gamma(t)\big)\) e \(\gamma'(t)\text{.}\)
Vamos experimentar nos exemplos acima!
Começamos com a:
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) uma função diferenciável em \((x_0,y_0)\text{.}\) Então, existe \(\phi\colon\R^2\to\R\text{,}\) contínua em \((x_0,y_0)\) tal que
Se \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) é diferenciável em \((x_0,y_0)\) e \(\gamma\colon I\subseteq\R\to\R^2\) satisfaz \(\gamma(t_0)=(x_0,y_0)\) e é derivável em \(t_0\text{,}\) então
Se \(f\) é diferenciável em \((x_0,y_0)\) e \(\gamma\colon I\subseteq\R\to\R^2\) parametriza uma curva de nível de \(f\text{,}\) então
Mantra: o gradiente de \(f\) é perpendicular à qualquer uma de suas curvas de nível.
As derivadas parciais \(f\) em \((x_0,y_0)\) medem sua variação em direções paralelas aos eixos coordenados.
Para estudar essa taxa em outras direções introduzimos a:
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\text{,}\) \((x_0,y_0)\in A\) e \(v\in\R^2\) um vetor unitário. A derivada direcional de \(f\) em \((x_0,y_0)\) é o número
Observação: Quando \(v\) é um dos vetores da base canônica, recuperamos a definição da respectiva derivada parcial.
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\text{,}\) diferenciável em \((x_0,y_0)\in A\text{,}\) e \(v\in\R^2\) um vetor unitário. Então
Em vista do teorema anterior, a derivada direcional deve ser uma função linear das coordenadas de \(v\text{.}\) Se isto não acontecer, concluimos que a função não é diferenciável no ponto.
Num certo ponto \((x_0,y_0)\) a derivada direcional pode existir em todas as direções e, mesmo assim, a função não ser diferenciável nesse ponto!
Observando que \(\big\langle\nabla f(x_0,y_0),v\big\rangle=\big\|\nabla f(x_0,y_0)\big\|\big\|v\big\|\cos\theta = \big\|\nabla f(x_0,y_0)\big\|\cos\theta\) só depende de \(\theta\text{,}\) temos que:
Se \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) é diferenciável em \((x_0,y_0)\in A\text{,}\) então a direção e sentido com a maior taxa de crescimento para \(f\) em \((x_0,y_0)\) é a de \(\nabla f(x_0,y_0)\text{.}\)
Exemplo: Dada a função \(T(x,y)=x^2+2y^2\text{,}\) determine a trajetória de uma partícula que parte \((x_0,y_0)=(1,1)\) de modo que, ao londo desta trajetória, o valor de \(T\) aumente o máximo possível. Figura.
Podemos considerar outras duas compostas:
Dadas \(g\colon A\subseteq\R^2\to I\subseteq\R\) e \(f\colon I\to\R\text{,}\) temos a composta \(h=f\circ g\colon A\to\R\text{,}\) dada por \(h(x,y)=(f\circ g)(x,y)=f\big(g(x,y)\big)\text{.}\)
Desafio: Dê significado para \(\dfrac{\partial h}{\partial v}(x_0,y_0)\) e deduza uma fórmula quendo \(v\) é um vetor unitário do plano.
Dadas \(g,h\colon A\subseteq\R^2\to\R\) e \(f\colon B\to\R\text{,}\) tais que \(\big(g(u,v),h(u,v)\big)\in B\text{,}\) para todos \((u,v)\in A\text{,}\) temos a composta \(z=f\circ(g,h)\colon A\to\R\text{,}\) dada por \(z(u,v)=f\big(g(u,v),h(u,v)\big)\text{.}\)
Vamos estudar agora uma situação análoga a tudo o que já vimos, porém com uma dimensão a mais: \(f\colon A\subseteq\R^3\to\R\text{.}\)
\(f(x,y,z)=2x-3y+4z-7\text{;}\)
\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\text{;}\)
\(f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2\text{;}\)
O gráfico de uma função \(f\colon A\subseteq\R^3\to\R\) é o conjunto
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^3\to\R\) uma função e \(c\in\R\text{.}\) A superfície de nível \(c\) de \(f\) é o conjunto
Observação: Se \(c\not\in\im f\text{,}\) então \(f^{-1}(c)=\emptyset\text{.}\)
Vamos experimentar nos exemplos acima!
Todos os conceitos e resultados vistos para funções a duas variáveis (limites, continuidade, derivadas parciais, diferenciabilidade, regra da cadeia) continuam valendo, com as devidas adaptações (valem também para funções definidas em \(\R^n\)).
Agora o gradiente de \(f\) em \((x_0,y_0,z_0)\) é o vetor \(\nabla f(x_0,y_0,z_0)=\big(f_x(x_0,y_0,z_0),f_y(x_0,y_0,z_0), f_z(x_0,y_0,z_0)\big)\text{.}\)
Com ele, vem o previsível
Se \(f\colon A\subseteq\R^3\to\R\) é diferenciável em \((x_0,y_0,z_0)\) e \(\gamma\colon I\subseteq\R\to\R^3\) satisfaz \(\gamma(t_0)=(x_0,y_0,z_0)\) e é derivável em \(t_0\text{,}\) então
E como fica o mantra análogo às curvas de nível? Vamos experimentar:
Se \(f\) é diferenciável e \(\gamma\colon I\subseteq\R\to\R^3\) parametriza uma curva com imagem contida em \(f^{-1}(c)\text{,}\) então
Mantra: o gradiente de \(f\) é perpendicular à qualquer uma de suas superfícies de nível.
Podemos então definir o plano tangente a uma superfície de nível:
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^3\to\R\text{,}\) diferenciável em \((x_0,y_0,z_0)\in A\) tal que \(\nabla f(x_0,y_0,z_0)\neq(0,0,0)\text{.}\) O plano tangente à superfície de nível de \(f\) no ponto \((x_0,y_0,z_0)\) é dado por
A reta normal a esta superfície no ponto \((x_0,y_0,z_0)\) tem equação \(\boxed{r\colon (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda \nabla f(x_0,y_0,z_0)}\text{.}\)
Exemplos: lâminas anteriores.
Exercício: Ache todos os pontos do hiperboloide \(x^2-y^2+2z^2=1\) nos quais a reta normal é paralela ao segmento que une \((3,-1,0)\) e \((5,3,6)\text{.}\) Figura.
Observação: esta definição generaliza a de plano tangente para gráficos de funções a duas variáveis.
Interseção de superfícies: se \(f^{-1}(c_1)\cap g^{-1}(c_2)\) é um a curva contendo o ponto \((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) como determinar o vetor tangente a esta curva nesse ponto? Figura.
Exercício: Ache a reta tangente à interseção do gráfico de \(f(x,y)=x^3+y^3+2\) com o cilindro \(x^2+y^2=2\) no ponto \((1,1,4)\text{.}\)
Vamos estudar agora uma situação que preserva alguma analogia com o que sabemos do cálculo 1, mas é preciso ter cuidado!
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) uma função. Um ponto \((x_0,y_0)\in A\) é ponto de máximo local de \(f\) se existe \(r>0\) tal que \(f(x,y)\leq f(x_0,y_0)\text{,}\) para todo \((x,y)\in B_r(x_0,y_0)\text{.}\)
Ainda, \((x_0,y_0)\) é ponto de máximo (global) de \(f\) se \(f(x,y)\leq f(x_0,y_0)\text{,}\) para todo \((x,y)\in A\text{.}\)
Observação: A definições de mínimo local e global são análogas.
Vamos estavelecer uma primeira analogia com os resultados conhecidos para uma variável.
Sejam \(A\subseteq\R^2\) um conjunto aberto e \((x_0,y_0)\) um ponto de máximo ou mínimo local de \(f\text{.}\) Então \(\nabla f(x_0,y_0)=(0,0)\text{.}\)
Atenção! Assim como no cálculo 1, não vale uma recíproca para o resultado anterior.
Um ponto \((x_0,y_0)\) tal que \(\nabla f(x_0,y_0)=(0,0)\) é um ponto crítico de \(f\).
Exemplos:
Agora algo que realmente é diferente: em funções de uma variável o sinal da segunda derivada ajuda a determinar se um ponto crítico é de máximo ou de mínimo. Vamos tentar algo parecido aqui. Começamos com a
Sejam \(A\subseteq\R^2\) um aberto e \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) diferenciável. Se \((x_0,y_0)\) é máximo local de \(f\text{,}\) então \(f_{xx}(x_0,y_0)\leq 0\) e \(f_{yy}(x_0,y_0)\leq 0\text{.}\)
Atenção! A recíprova não vale. Considere \(f(x,y)=x^2-3xy+y^2\text{,}\) veja a figura.
Devemos levar em conta as derivadas mistas. Mais precisamente definimos
Sejam \(A\subseteq\R^2\)um aberto e \(f\colon A\to\R\) uma função que admite todas as segundas derivadas em \((x_0,y_0)\text{.}\) A matriz Hessiana de \(f\) em \((x_0,y_0)\) é
Observação: quando \(f\) é de classe \(\mathcal{C}^2\text{,}\) temos que \(H_f(x_0,y_0)\) é uma matriz simétrica (e portanto diagonalizável). Com isso podemos demonstrar o
Observação: Um ponto de sela é aquele que possui duas direções ao longo das quais \(f\) assume máximo local numa e mínimo local noutra. Nas condições acima essas direções são mutamente ortogonais.
Vamos para a lista de exercícios!
Tudo o que vimos nas lâminas anteriores valia para funções definidas em conjuntos abertos. O que acontece quando essa condição não é satisfeita.
Exemplo: Considere \(A=\big\{(x,y)\in\R^2\colon x^2+y^2\leq 1\big\}\) e \(f(x,y)=x^2+y^2\text{.}\)
\(f(1,0)=1\) e \(f(x,y)\leq 1, \forall (x,y)\in A\text{.}\) Logo \((1,0)\) é ponto de máximo para \(f\text{,}\) mas \(\nabla f(1,0)=(2,0)\neq (0,0)\text{.}\)
Isso acontece pois \(A\) não é um conjunto aberto!
Quais as condições sobre \(A\) para que uma função contínua \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) tenha sempre um ponto de máximo (ou de mínimo)? Temos o
Sejam \(A\subseteq\R^2\to\R\) um conjunto compacto e \(f\colon A\to\R\) contínua. Então existem \((x_0,y_0),(x_1,y_)\in A\) tais que
Observações:
Poderíamos tentar parametrizar a fronteira de \(A\text{.}\) Dá super certo...
...se conseguirmos parametrizar! E se não soubermos?
Vamos estudar casos lineares para entender melhor como podemos descrever a fronteira dos conjuntos em que estamos interessados:
No plano (caso 0): \(f(x,y)=ax+by+c\text{.}\) Quem é \(f^{-1}(0)\text{?}\) Quando podemos escrever \(y=y(x)\) ou \(x=x(y)\text{?}\)
No espaço (caso I): \(f(x,y,z)=ax+by+cz+d\text{.}\) Quem é \(f^{-1}(0)\text{?}\) Quando podemos escrever \(z=z(x,y)\) ou \(x=x(y,z)\) ou ainda \(y=y(x,z)\text{?}\)
No espaço (caso II): \(f(x,y,z)=ax+by+cz+d, g(x,y,z)=lx+my+nz+\text{.}\) Quem é \(f^{-1}(0)\cap g^{-1}(0)\text{?}\) Como podemos descrever essa interseção em termos das variáveis \(x,y,z\text{?}\)
Generalizando o caso 0 acima, temos o:
Seja \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) um função de classe \(\mathcal{C}^1\) em \((x_0,y_0)\) tal que \(f(x_0,y_0)=0\text{.}\) Se \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0\text{,}\) então existem intervalos abertos \(I,J\subseteq\R\text{,}\) com \(x_0\in I\) e \(y_0\in J\) e uma função derivável \(y\colon I\to J\) tais que \(y(x_0)=y_0\) e \(f\big(x,y(x)\big)=0\text{,}\) para todo \(x\in I\text{.}\) Além disso, \(y'(x)=-\dfrac{f_x\big(x,y(x)\big)} {f_y\big(x,y(x)\big)}\text{.}\)
Estude a aplicação do teorema acima para as funções \(f(x,y)=x^2+y^2-1\text{,}\) \(f(x,y)=x^2-y^2\) e \(f(x,y)=x^3-y^3\text{.}\)
Seja \(f\colon A\subseteq\R^3\to\R\) um função de classe \(\mathcal{C}^1\) em \((x_0,y_0,z_0)\) tal que \(f(x_0,y_0,z_0)=0\text{.}\) Se \(\dfrac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\neq 0\text{,}\) então existem abertos \(B\subseteq\R^2\) e \(J\subseteq\R\text{,}\) com \((x_0,y_0)\in B\) e \(z_0\in J\) e uma função de classe \(\mathcal{C}^1\text{,}\) \(z\colon B\to J\text{,}\) tais que \(z(x_0,y_0)=z_0\) e \(f\big(x,y,z(x,y)\big)=0\text{,}\) para todo \((x,y)\in B\text{.}\)
Além disso, \(\dfrac{\partial z}{\partial x}(x,y)=-\dfrac{f_x\big(x,y,z(x,y)\big)} {f_z\big(x,y,z(x,y)\big)}\) e \(\dfrac{\partial z}{\partial y}(x,y)=-\dfrac{f_y\big(x,y,z(x,y)\big)} {f_z\big(x,y,z(x,y)\big)}\text{.}\)
Sejam \(f,g\colon A\subseteq\R^3\to\R\) funções de classe \(\mathcal{C}^1\) em \((x_0,y_0,z_0)\) tais que \(f(x_0,y_0,z_0)=g(x_0,y_0,z_0)=0\text{.}\) Se \(\det\begin{pmatrix} f_y&f_z\\ g_y& g_z \end{pmatrix}(x_0,y_0,z_0)\neq 0\text{,}\) então existem abertos \(B,I,J\subseteq\R\text{,}\) com \(x_0\in B\text{,}\) \(y_0\in I\) e \(z_0\in J\) e funções de classe \(\mathcal{C}^1\text{,}\) \(y\colon B\to I\) e \(z\colon B\to J\text{,}\) tais que \(y(x_0)=y_0)\text{,}\) \(z(x_0)=z_0\) e \(f\big(x,y(x),z(x)\big)=0\text{,}\) para todo \(x\in B\text{.}\)
Além disso, \(y'(x)=-\dfrac{\det\begin{pmatrix} f_x&f_z\\ g_x& g_z \end{pmatrix}\big(x,y(x),z(x)\big)}{\det\begin{pmatrix} f_y&f_z\\ g_y& g_z \end{pmatrix}\big(x,y(x),z(x)\big)}\) e \(z'(x)=-\dfrac{\det\begin{pmatrix} f_y&f_x\\ g_y& g_x \end{pmatrix}\big(x,y(x),z(x)\big)}{\det\begin{pmatrix} f_y&f_z\\ g_y& g_z \end{pmatrix}\big(x,y(x),z(x)\big)}\text{.}\)
Considere o sistema \(\begin{cases} x^2-y^2+2xz+2y&=1\\ 2x-y+z&=0 \end{cases}\text{.}\)
Mostre que a solução desse sistema é uma curva passando por \(P=(0,1,1)\text{,}\) determinando sua reta tangente nesse ponto. Quais são as variáveis livres e quais as dependentes dessa solução, numa vizinhança de \(P\text{?}\) Veja a ilustração aqui.
Discuta a aplicabilidade do último teorema da lâmina anterior ao sistema \(\begin{cases} 3x^2+2y^2+z^2&=9\\ x^2+y^2+z^2-8x-6y-8z+24&=0 \end{cases}\text{,}\) observando que \((1,1,2)\) é uma de suas soluções. Veja a ilustração aqui.
Idem para o sistema \(\begin{cases} x^2+y^2&=1\\ x^2+z^2&=1 \end{cases}\text{.}\) Veja a ilustração aqui.
O que os teoremas anteriores mostrar é que , nas condições dadas, podemos escrever, ao menos no entorno de um ponto de uma curva de nível, uma superfície de nível ou a interseção de superfícies de nível, esse conjutno como uma curva ou gráfico de uma função a duas variáveis.
Vamos usar isso para determinar condições necessáras para que um ponto seja ponto de máximo ou de mínimo local sobre certas classes de curvas no plano ou no espaço, bem como em superfícies.
Seja \(A\subseteq\R^n\text{.}\)
O interior de \(A\), \(\mathrm{int}A\text{,}\) é o maior conjunto aberto contido em \(A\text{.}\)
O fecho de \(A\), \(\overline{A}\text{,}\) é o menor conjunto fechado que contém \(A\text{.}\)
A fronteira de \(A\), \(\partial A\text{,}\) é definida como \(\partial A=\overline{A}\setminus \mathrm{int} A\text{.}\)
Determinar os pontos em \(A=\big\{(x,y)\in\R^2\colon x^2+y^2\leq 1\big\}\text{,}\) se existirem, onde \(f(x,y)=xy\) assume valor máximo e mínimo.
Já fizemos parametrizando a fronteira e vamos rever como fazer sem parametrizar... Uma animação no plano está aqui e a figura no espaço correspondente aqui.
Em geral temos o:
Sejam \(f,g\colon A\subseteq\R^2\to\R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) e \(B=\big\{(x,y)\in\R^2\colon g(x,y)=0\big\}\text{.}\) Suponha que \(\nabla g(x,y)\neq (0,0)\text{,}\) para todo \((x,y)\in B\text{.}\) Se \((x_0,y_0)\) é ponto de máximo ou de mínimo local de \(f\) sobre \(B\text{,}\) então \(\big\{\nabla f(x_0,y_0),\nabla g(y_0,y_0)\big\}\) é linearmente dependente em \(\R^2\text{.}\)
A condição de dependência linear e o não anulamento de \(\nabla g\) equivalem a dizer que existe \(\lambda=\lambda (x_0,y_0)\in\R\) tal que \(\nabla f(x_0,y_0)=\lambda\nabla g(x_0,y_0)\text{.}\) Tal \(\lambda\) é chamado multiplicador de Lagrange do problema.
Todo candidato a máximo ou mínimo local de \(f\) sobre \(B\) satisfaz o sistema \(\begin{cases} \nabla f(x_0,y_0)&=\lambda\nabla g(x_0,y_0)\\ g(x_0,y_0)&=0 \end{cases}\implies\begin{cases} \det\big(\nabla f(x_0,y_0),\nabla g(x_0,y_0)\big)&=0\\ g(x_0,y_0)&=0 \end{cases} \text{.}\)
Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de \(f(x,y)=xye^{-x^2-y^2}\) no conjunto \(D=\big\{(x,y)\in\R^2\colon x^2+y^2\leq 2\big\}\text{.}\)
Determine caso existam, os valores máximo e mínimo de \(f(x,y)=2x^3+y^4\) sobre o conjunto \(D=\big\{(x,y)\in\R^2\colon x^2+y^2=1, y\geq 0, x\in [0,\frac{1}{2}]\big\}\text{.}\)
Para entender o segundo exemplo acima, precisamos de um esboço da demonstração do teorema... Lousa!
Determine o máximo de \(f\colon A\subseteq\R^3\to\R\) quando restrita à uma superfície (de nível de outra função \(g\colon A\subseteq\R^3\to\R\)). Ou seja, determinar o valor máximo e mínimo de \(f(x,y,z)\text{,}\) sujeito a \(g(x,y,z)=0\text{.}\) Vamos ver a analogia com o caso anterior na lousa.
Temos então o:
Sejam \(f,g\colon A\subseteq\R^3\to\R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) e \(B=\big\{(x,y,z)\in\R^3\colon g(x,y,z)=0\big\}\text{.}\) Suponha que \(\nabla g(x,y,z)\neq (0,0,0)\text{,}\) para todo \((x,y,z)\in B\text{.}\) Se \((x_0,y_0,z_0)\) é ponto de máximo ou de mínimo local de \(f\) sobre \(B\text{,}\) então \(\big\{\nabla f(x_0,y_0,z_0),\nabla g(y_0,y_0,z_0)\big\}\) é linearmente dependente em \(\R^3\text{.}\)
Novamente, a condição de dependência linear e o não anulamento de \(\nabla g\) equivalem a dizer que existe \(\lambda=\lambda (x_0,y_0,z_0)\in\R\) tal que \(\nabla f(x_0,y_0,z_0)=\lambda\nabla g(x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Como antes, \(\lambda\) é chamado multiplicador de Lagrange do problema.
Todo candidato a máximo ou mínimo local de \(f\) sobre \(B\) satisfaz o sistema \(\begin{cases} \nabla f(x_0,y_0,z_0)&=\lambda\nabla g(x_0,y_0,z_0)\\ g(x_0,y_0,z_0)&=0 \end{cases}\implies\begin{cases} \nabla f(x_0,y_0,z_0)\wedge\nabla g(x_0,y_0,z_0)&=(0,0,0)\\ g(x_0,y_0,z_0)&=0 \end{cases} \text{.}\)
Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de \(f(x,y,z)=x^2-2x+y^2-4y+z^2-6z\) no conjunto \(R=\big\{(x,y,z)\in\R^3\colon x^2+y^2+z^2\leq 56\big\}\text{.}\)
Para entender o segundo exemplo acima, precisamos de um esboço da demonstração do teorema... Lousa!
Determine o máximo de \(f\colon A\subseteq\R^3\to\R\) quando restrita à uma curva (interseção de duas superfícies de nível funções \(g,h\colon A\subseteq\R^3\to\R\)). Ou seja, determinar o valor máximo e mínimo de \(f(x,y,z)\text{,}\) sujeito a \(g(x,y,z)=0\) e \(h(x,y,z)=0\text{.}\) Vamos entender o problema e uma possível solução na lousa.
Temos então o:
Sejam \(f,g,h\colon A\subseteq\R^3\to\R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) e \(B=\big\{(x,y,z)\in\R^3\colon g(x,y,z)=0, h(x,y,z)=0\big\}\text{.}\) Suponha que \(\big\{\nabla g(x,y,z),\nabla h(x,y,z)\big\}\) é linearmente independente, para todo \((x,y,z)\in B\text{.}\) Se \((x_0,y_0,z_0)\) é ponto de máximo ou de mínimo local de \(f\) sobre \(B\text{,}\) então \(\big\{\nabla f(x_0,y_0,z_0),\nabla g(y_0,y_0,z_0),\nabla h(y_0,y_0,z_0)\big\}\) é linearmente dependente em \(\R^3\text{.}\)
A condição de dependência linear e o não anulamento de \(\nabla g\) equivalem a dizer que existem \(\lambda=\lambda (x_0,y_0,z_0),\mu=\mu(x_0,y_0,z_0)\in\R\) tais que \(\nabla f(x_0,y_0,z_0)=\lambda\nabla g(x_0,y_0,z_0)+\mu\nabla h(x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Os escalares \(\lambda, \mu\) são chamados multiplicadores de Lagrange do problema.
Todo candidato a máximo ou mínimo local de \(f\) sobre \(B\) satisfaz o sistema \(\begin{cases} \nabla f(x_0,y_0,z_0)&=\lambda\nabla g(x_0,y_0,z_0)+\mu\nabla h(x_0,y_0,z_0)\\ g(x_0,y_0,z_0)&=0\\ h(x_0,y_0,z_0)&=0\\ \end{cases}\implies\begin{cases} \big[\nabla f(x_0,y_0,z_0),\nabla g(x_0,y_0,z_0),\nabla h(x_0,y_0,z_0)\big]&=0\\ g(x_0,y_0,z_0)&=0\\ h(x_0,y_0,z_0)&=0 \end{cases} \text{.}\)
Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de \(f(x,y,z)=x+y+z\) no conjunto \(C=\big\{(x,y,z)\in\R^3\colon x^2+y^2=1, 4x+4y=z^2\big\}\text{.}\) Veja a situação aqui.
Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de \(f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3\) no conjunto \(C=\big\{(x,y,z)\in\R^3\colon x^2+y^2+z^2=1, x+y+z=1\big\}\text{.}\)
Dentre todos os pontos da curva \(y^2=x(x+1)\) determine, caso existam, aqueles que estão mais próximos de \((2,0)\text{.}\)
Αγαπητοί φοιτητές,
Καθώς φτάνουμε στο τέλος αυτής της ακαδημαϊκής χρονιάς, θέλω να σας εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες για την αφοσίωσή σας, τη συνεργασία σας και την επιμονή που δείξατε. Η πορεία σας ως μαθητές και η συνεισφορά σας στην ακαδημαϊκή κοινότητα αποτέλεσαν για εμένα μια σημαντική και ουσιαστική εμπειρία.
Η εκπαίδευση, όπως και η ζωή, είναι ένα συνεχές ταξίδι γεμάτο προκλήσεις και ευκαιρίες. Εύχομαι, από καρδιάς, να συνεχίσετε με τη ζέση και την περιέργεια που διακρίνουν τους αληθινούς αναζητητές της γνώσης. Η σταδιοδρομία σας, είτε στον ακαδημαϊκό χώρο, είτε στον επαγγελματικό, να είναι γεμάτη επιτυχίες, προσωπική ικανοποίηση και αδιάκοπη πρόοδο. Να παραμείνετε πάντα πιστοί στις αξίες της αρετής, της προσπάθειας και της αλήθειας.
Αυτό που μάθατε κατά τη διάρκεια της χρονιάς δεν είναι μόνο οι γνώσεις που αποκτήσατε, αλλά και η ικανότητα να σκέφτεστε κριτικά, να ερωτάτε συνεχώς και να αναζητάτε νέες απαντήσεις. Αυτές οι δεξιότητες θα είναι οι βασικοί σύμμαχοί σας στη ζωή και στην καριέρα σας.
Είμαι βέβαιος ότι, ό,τι κι αν επιλέξετε να κάνετε στο μέλλον, θα συνεχίσετε να φωτίζετε τον δρόμο σας με το φως της γνώσης και της επιμονής. Σας εύχομαι καλή συνέχεια στην πορεία σας και ελπίζω να συναντηθούμε ξανά στο μέλλον, σε άλλες ευκαιρίες συνεργασίας και δημιουργίας.
Με εκτίμηση και τις καλύτερες ευχές μου, Αλέξανδρος
Queridos alunos,
À medida que nos aproximamos do final deste ano acadêmico, quero expressar meus sinceros agradecimentos pela dedicação, cooperação e persistência de cada um de vocês. A jornada de vocês como estudantes e as suas contribuições para a comunidade acadêmica foram uma experiência significativa e valiosa para mim.
A educação, assim como a vida, é uma jornada contínua, cheia de desafios e oportunidades. Desejo sinceramente que continuem com a paixão e a curiosidade que caracterizam os verdadeiros buscadores do conhecimento. Que suas carreiras, seja no meio acadêmico ou em sua vida profissional, sejam repletas de sucesso, realização pessoal e progresso constante. Mantenham-se sempre fiéis aos valores da virtude, do esforço e da verdade.
O que aprenderam durante este ano não é apenas o conhecimento que adquiriram, mas também a capacidade de pensar criticamente, de fazer perguntas continuamente e de buscar novas respostas. Essas habilidades serão os seus principais aliados na vida e na carreira.
Tenho plena confiança de que, qualquer que seja a escolha que façam no futuro, continuarão a iluminar o caminho de vocês com a luz do conhecimento e da perseverança. Desejo a todos o melhor em sua jornada e espero que nos encontremos novamente no futuro, em novas oportunidades de colaboração e criação.
Com respeito e os meus melhores votos, Alexandre