Ir ao conteúdo principal

MAT–2453: Soluções de Exercícios das Provas

Equipes de Professores da Disciplina

Seção 1.1 Primeira Prova

Exercícios Exercícios

1.

Decida se os limites abaixo existem e calcule-os em caso afirmativo. Justifique sua resposta.
  1. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2+5x+6}}{\sqrt[3]{8x^3+2x^2+7}}\text{;}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin(x^2 - 6x + 8)}{x^3 - 8}\text{.}\)
Resposta.
  1. \(-1\text{;}\)
  2. \(-\sfrac{1}{6}\text{.}\)
Solução.
  1. Observamos inicialmente que, quando fazemos \(x \to -\infty\text{,}\) consideramos \(x<0\text{,}\) para o qual \(\sqrt{x^2} = |x| = -x\) . Assim,
    \begin{align*} \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+5x+6}}{\sqrt[3]{8x^3+2x^2+7}} &= \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2}\sqrt{4+ \sfrac{5}{x}+ \sfrac{6}{x^2}}}{\sqrt[3]{x^3}\sqrt[3]{8+ \sfrac{2}{x}+ \sfrac{7}{x^3}}}\\ &= \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{4+ \sfrac{5}{x}+ \sfrac{6}{x^2}}}{x\sqrt[3]{8+ \sfrac{2}{x}+ \sfrac{7}{x^3}}}\\ &=\frac{-\sqrt{4}}{\sqrt[3]{8}} = -1. \end{align*}
  2. Temos que:
    \begin{align*} \frac{\sin(x^2 - 6x + 8)}{x^3 - 8} &=\frac{\sin(x^2 - 6x + 8)}{(x^2 - 6x + 8)} \frac{(x^2 - 6x + 8)}{x^3 - 8}\\ &=\frac{\sin(x^2-6x+8)}{(x^2-6x+8)} \frac{(x-2)(x-4)}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}. \end{align*}
    Assim,
    \begin{align*} \lim_{x \to 2} \frac{\sin(x^2 - 6x + 8)}{x^3 - 8} & =\lim_{x \to 2} \left( \frac{\sin(x^2 - 6x + 8)}{(x^2 - 6x + 8)}\frac{(x-4)}{(x^2 + 2x + 4)} \right)\\ &\stackrel{(\ast)}{=}\left(\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} \right) \cdot \left(\lim_{x \to 2} \frac{(x-4)}{(x^2 + 2x + 4)}\right)\\ & = 1 \cdot (\frac{-2}{12}) = -\frac{1}{6}, \end{align*}
    onde, em \((\ast)\) fizemos a mudança \(y=x^2-6x+8\text{,}\) a qual é dada por uma função contínua e verifica \(x\to 2\iff y\to 0\text{.}\) Também usamos que cada um dos fatores tem limite finito e portanto o limite do produto é o produto dos limites.
Podemos calcular tudo no SageMath:

2.

Considere a função \(g\colon\R\to\R\) dada por
\begin{equation*} g(x) = \begin{cases} \hfill x^2 - 9x,& x\geq 3\\ \hfill 8-3x,& 1 \leq x < 3\\ \hfill-x^3 - (x-1)^2 + 6,& x < 1 \end{cases} \end{equation*}
  1. Determine os pontos onde \(g\) é contínua. Justifique bem sua resposta.
  2. Determine os pontos onde \(g\) é derivável. Justifique bem sua resposta.
Resposta.
  1. \(g\) é contínua em todos os pontos, exceto \(p=3\text{.}\)
  2. \(g\) é derivável em todos os pontos, exceto \(p=3\text{.}\)
Solução.
Observamos inicialmente que para a função \(g\) ser contínua num ponto \(x=p\) (que deve estar em seu domínio), basta verificar que \(\lim\limits_{x\to p}g(x)=g(p)\text{.}\) Além disso, \(\lim\limits_{x\to p}g(x)=L\in\R\iff \lim\limits_{x\to p^+}g(x)=\lim\limits_{x\to p^-}g(x)=L\text{.}\)
Para que uma função \(g\) seja derivável em \(x=p\text{,}\) o limite \(\lim\limits_{x\to p}\dfrac{g(x)-g(p)}{x-p}\) deve existir e ser um número real. Sabemos que isso garante a continuidade de \(g\) em \(x=p\) (não vale a recíproca disso!). Também podemos testar a diferenciabilidade de \(g\) em \(x=p\) com o limite \(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{g(p+h)-g(p)}{h}\text{.}\)
Vamos testar essas duas condições em cada um dos pontos indicados no enunciado:
  1. Como polinômios são funções contínuas, vemos que \(g\) é contínua em \((-\infty,1)\cup(1,3)\cup(3,+\infty)\text{,}\) pois são intervalos abertos onde \(g\) é polinomial. Assim, resta verificar o que contece nos pontos \(p=1\) e \(p=3\) verificamos que:
    \begin{equation*} \lim_{x \to 3^+} g(x) = \lim_{x \to 3^+} x^2-9x = 3^2 - 27 = -18 = g(3). \end{equation*}
    Por outro lado,
    \begin{equation*} \lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3^-}8-3x=8 - 9 = -1\neq \lim_{x \to 3^+} g(x), \end{equation*}
    logo \(g\) não é contínua em \(p=3\text{.}\)
    Agora,
    \begin{equation*} \lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} 8 - 3x = 5 = \lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} -x^3-(x-1)^2+6, \end{equation*}
    donde \(\lim\limits_{x \to 1} g(x)=5=g(1)\) e portanto \(g\) é continua em \(p=1\text{.}\)
  2. A diferenciabilidade de \(g\) em \(A=(-\infty,1)\cup(1,3)\cup(3,+\infty)\) segue do fato dela se expressar como um polinômio num intervalo aberto em torno de cada ponto de \(A\text{.}\) Vejamos o que acontece em \(p=1\) e \(p=3\text{.}\) Nesses pontos precisamos seguir pela definição (por que?):
    \begin{align*} \lim_{x \to 1^+} \frac{g(x) - g(1)}{x - 1} &=\lim_{x\to 1^+} \frac{8-3x-5}{x-1}=-3\quad\text{e}\\ \lim_{x \to 1^-} \frac{g(x) - g(1)}{x - 1} &=\lim_{x\to 1^-}\frac{-x^3-(x-1)^2+6-5}{x-1}=-3, \end{align*}
    mostrando que \(g\) é diferenciável em \(p=1\) e \(g'(1)=-3\text{.}\)
    Como \(g\) não é contínua em \(p=3\text{,}\) não pode ser derivável ali.
Vejamos o gráfico de \(g\) no SageMath:
described in detail following the image
O gráficos de \(f\) com destaque em \(p=1\) e a reta tangente nesse ponto.
Figura 1.1.1. O gráfico de \(f\) com destaque em \(p=1\) e a reta tangente nesse ponto.
As contas no Sage, primeiro em \(p=1\) (usando um exercício teórico da lista sobre a derivabilidade de funções definidas por múltiplas sentenças - isso simplifica demais a implementação):
Agora em \(p=3\text{:}\)

3.

Considere a curva no plano \((x,y)\) dada por
\begin{equation*} y^3+y+2xy = 2\cos (x). \end{equation*}
  1. Mostre que para \(x=0\text{,}\) devemos ter \(y=1\) como única solução na equação acima.
  2. Seja \(y=f(x)\) uma função derivável definida em um intervalo aberto \(I\) implicitamente pela equação acima. Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(\big(0, f(0)\big)\text{.}\)
Resposta.
  1. Veja a solução abaixo.
  2. \(y=1-\sfrac{x}{2}\text{.}\)
Solução.
  1. Fazendo \(x=0\) na equação dada, temos
    \begin{equation*} y^3+y-2=0, \end{equation*}
    donde inferimos que \(y=1\) é uma solução e portanto
    \begin{equation*} y^3+y-2=0\iff (y-1)(y^2+y+2)=0. \end{equation*}
    Como \(y^2+y+2\neq0\) para todo \(y\in\R\) (pois o discriminantes da equação é negativo), temos que a única solução real da equação \(y^3+y-2=0\) é \(y=1\text{.}\)
  2. Fazendo \(y=f(x)\) na equação dada temos
    \begin{equation*} \big(f(x)\big)^3+f(x)+2xf(x)=2\cos(x). \end{equation*}
    Derivado dos dois lados temos
    \begin{equation*} 3\big(f(x)\big)^2f'(x)+f'(x)+2f(x)+2xf'(x)=-2\sin(x). \end{equation*}
    Do item anterior temos que \(f(0)=1\text{.}\) Então, para \(x=0\) a última equação acima fica
    \begin{equation*} 3f'(0)+f'(0)+2=0\implies f'(0)=-\frac{1}{2}. \end{equation*}
    Assim, a reta tangente no ponto pedido é dada por \(y=f(0)+f'(0)(x-0)\text{,}\) ou seja, \(y=1-\sfrac{x}{2}\text{.}\)
Graficamente,
described in detail following the image
A curva \(y^3+y+xy=2\cos(x)\) e sua tangente no ponto \((0,1)\text{.}\)
Figura 1.1.2. A curva \(y^3+y+xy=2\cos(x)\) e a tangente no ponto \((0,1)\text{.}\)
Note que não podemos garantir (e nem é verdade nesse caso) que a equação define uma função para todo \(x\in\R\text{.}\)
No SageMath:

4.

Um avião voa com a trajetória no tempo \(t \geq 0\) (em minutos) descrita pelo o gráfico da função
\begin{equation*} f(t)=\frac{1}{(2t+1)^2}, \end{equation*}
medida em quilômetros.
  1. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(t)\) no ponto \(t=2\text{.}\)
  2. Descreva a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(t)\) no ponto \(t=T\text{,}\) em termos do parâmetro \(T\text{.}\)
  3. Se a tripulação pretende lançar uma carga do avião que atinja o solo no ponto \((20,0)\text{,}\) assumindo que a carga percorre uma trajetória reta na direção que o avião aponta no momento que é lançado, encontre o tempo \(T\) no qual o piloto deve soltar a carga para que ela atinja o solo no ponto desejado.
Resposta.
  1. \(y=\dfrac{1}{25}-\dfrac{4(x-2)}{125}\text{;}\)
  2. \(y=\dfrac{1}{(2T+1)^2}-\dfrac{4(x-T)}{(2T+1)^3}\text{;}\)
  3. \(\displaystyle \dfrac{79}{6}\)
Solução.
Uma representação gráfica da situação nos ajuda a modelar o problema:
described in detail following the image
A trajetória do avião e o instante \(T\text{.}\)
Figura 1.1.3. A trajetória do avião e o instante \(T\text{.}\)
  1. Para escrever a equação da reta pedida precisamos de \(f(2)=\dfrac{1}{25}\) e \(f'(2)\text{:}\)
    \begin{equation*} f'(t) = \frac{-2}{(2t + 1)^3}\cdot 2 = \frac{-4}{(2t + 1)^3}\implies f'(2)=-\dfrac{4}{125}. \end{equation*}
    Assim, \(f'(2) = \sfrac{-4}{125}\text{.}\) Portanto a equação da reta tangente é:
    \begin{equation*} y=f(2)+f'(2)(x-2)\implies y= \frac{1}{25}-\frac{4}{125}(t-2). \end{equation*}
  2. Repetimos as ideias acima para um \(T>0\) arbitrário:
    \begin{equation*} y = f(T)+f'(T)(t - T)\implies y= \frac{1}{(2T+1)^2}-\frac{4}{(2T+1)^3}(t - T). \end{equation*}
  3. Agora procuramos \(T> 0\) tal que a reta tangente em \(\big(T,f(T)\big)\) passe por \((20,0)\text{.}\) Substituindo essas coodenadas na equação acima temos
    \begin{align*} 0 & = -\frac{4}{(2T + 1)^3}(20 - T) + \frac{1}{(2T+1)^2}\implies\\ 0 &= \frac{1}{(2T+1)^2} \left(-\frac{4}{(2T + 1)}(20 - T) + 1 \right)\implies\\ 0 &= -\frac{4}{(2T + 1)}(20 - T) + 1\implies\\ T&=\frac{79}{6} \end{align*}
No SageMath:
AnteriorTopPróximo