Queremos determina retas que sejam paralelas a \(y=5x+2\) e portanto devem ter o mesmo coeficiente angular. Do exposto acima, devemos procurar pontos \(x_0\) tais que \(f'(x_0)=5\text{:}\)
\begin{equation*}
f'(x_0)=5\iff 3x_0^2-12x_0+5=5\iff
x_0=0\text{ ou }x_0=4.
\end{equation*}
Assim, temos os pontos \(\big(x_0,f(x_0)\big)\) podendo ser \(\big(0,f(0)\big)=(0,1)\) e \(\big(4,f(4)\big)=(4,-11)\text{.}\) Além disso, temos, como esperado, \(f'(0)=f'(4)=5\) e então as equações das retas tangentes pedidas são:
Decida se as seguintes afirmações são Verdadeiras ou Falsas. Justifique demonstrando ou dando um contraexemplo.
Toda função contínua em \(p\) é derivável em \(p\text{.}\)
Se \(f\colon\R\to\R\) é tal que \(|f(x)|\leq x^6\text{,}\) para todo \(x\in\R\text{,}\) então \(\lim\limits_{x\to
0}\dfrac{f(x^2)}{x^6}=0\text{.}\)
Se \(f\) é uma função tal que \(\lim\limits_{x\to
0}f(x)=0\) e \(g\) é uma função qualquer então \(\lim\limits_{x\to
0}f(x)g(x)=0\text{.}\)
Se \(f\) é uma função estritamente decrescente, ou seja, \(x< y\implies f(x)<f(y)\text{,}\) então \(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty\text{.}\)
Solução.
Falsa: o exemplo clássico de uma função contínua que não é derivável é \(f(x)=|x|\) em \(p=0\) (verifique a continuidade e a não derivabilidade de \(f\) nesse ponto).
Verdadeira: da hipótese sobre \(f\) temos que \(|f(x^2)|\leq (x^2)^6=x^{12}\text{.}\) Se \(x\neq 0\text{,}\) podemos dividir ambos os lados por \(x^6\text{,}\) preservando a desigualdade, já \(x^6>0\text{,}\) para todo \(x\neq 0\text{.}\) Em símbolos,
Falsa: basta tomar \(f(x)=x\) e \(g(x)\dfrac{1}{x}\text{.}\) Temos que \(\lim\limits_{x\to
0}f(x)=0\) e \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)g(x)=1\text{.}\)
Falsa: a função \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) é estritamente descrecente e \(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0\text{.}\)
3.
Determine o número real positivo que, somado com seu inverso, dê o menor possível. Justifique sua resposta.
Solução.
O exercício pede, em outras palavras, para determinar o ponto de mínimo global da função \(f(x)=x+\dfrac{1}{x}\text{,}\) definida para \(x>0\text{,}\) que é derivável em todos os pontos.
O domínio da função é um intervalo aberto e, com isso sabemos que seus pontos de máximo e mínimo devem anular a derivida. Encontrtemos os candidatos:
Dos candidatos, o único no domínio de \(f\) é \(x=1\text{.}\) Para decidir se este é um ponto de máximo ou mínimo local podemos analisar o sinal da derivada num intervalo aberto contendo o candidato \(x=1\text{.}\)
Se \(0<x<1\) temos \(f'(x)< 0\text{,}\) garantindo que a função é decrescente nesse intervalo; se \(x> 1\text{,}\) então \(f'(x)>0\text{,}\) mostrando que \(f\) é crescente nesse intervalo. Ou seja, \(x=1\) é o único ponto de mínimo local de \(f\text{.}\) Esta unicidade garante que o mínimo local é, na verdade, global (por que?).
Veja o gráfico de \(f\text{:}\)
Figura2.4.2.
4.
Os itens abaixo são independentes um do outro. Justifique suas afirmações:
Calcule a seguine primitiva: \(\displaystyle{\int\dfrac{\ln 3x}{x}\,dx}\text{.}\)
Seja \(\displaystyle{f(x)=\dfrac{1}{4}+\int_1^xe^{-2t^2}\,dt}\text{.}\) Use integração por partes para calcular \(\displaystyle{\int_0^1
f(x)\, dx}\text{.}\)
Solução.
Fazendo a mudança \(u=\ln(3x)\text{,}\) temos \(du=\dfrac{1}{x}\, dx\) e
A fim de usá-la, sendo \(\displaystyle{f(x)=\dfrac{1}{4}+\int_1^xe^{-2t^2}\,dt}\text{,}\) temos que \(f'(x)=e^{-2x^2}\text{.}\) Consideramos também \(g(x)=x\text{,}\) donde \(g'(x)=1\text{.}\) Observe que \(f(1)=0=g(0)\text{.}\) Assim,
