Introdução aos números inteiros

Nesta seção examinaremos a representação de números inteiros no computador.

Toda informação no computador digital é composta por bits, em particular todo símbolo ou caractere é representado por um número fixo de bits, sendo que geralmente usa-se uma quantidade fixa de bits para representar qualquer caractere.

Por outro lado, podemos interpretar qualquer sequência de bits por seu correspondente em decimal usando a notação de valor posicional considerando a base b=2.

Assim, considerando um binário qualquer com oito (8) bits, ou seja, b₇b₆b₅b₄b₃b₂b₁b₀, para cada i entre 0 e 7, b_i=0 ou b_i=1. Desse modo, para computar o valor numérico desse binário com 8 bits, em seu correspondente decimal, devemos calcular o valor do polinômio   b₇*2⁷+b₆*2⁶+b₅*2⁵+b₄*2⁴+b₃*2³+b₂*2²+b₁*2¹+b₀*2⁰.

Por exemplo, o binário 00000111 corresponde ao decimal 0*2⁷+0*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰ = 4+2+1 = 7 (última linha da tabela 1).

Um dos primeiros padrões para codificar caracteres foi o padrão American Standard Code for Information Interchange (ASCII) que utilizava apenas 8 bits, que convencionou-se a chamar de byte. Isso é discutido no texto introdutório sobre caracteres. Por exemplo, o número binário 01000001, em ASCII corresponde ao caractere A ('a' maiúsculo). Mas o binário 01000001 é correspondente ao número decimal 2⁶+2⁰ = 64+1 = 65, assim o caractere A está associado ao número 65. Desse modo, é razoável esperar que o caractere B esteja associado ao inteiro 66 e assim por diante (vide explicação sobre código ASCII).

Assim, o número de bits utilizados para representar os inteiros define o intervalo de inteiro que podemos conseguir. Por exemplo, se dispomos de 8 bits, que é denominado um bytes, podemos conseguir até 2⁸ diferentes valores, pois podemos usar desde 00000000 até o binário 11111111.

Portanto, se o computador tivesse apenas 8 bits para representar inteiros positivos, poderíamos ter desde o 00000000 (correspondendo ao decimal 0) até o binário 11111111, que correspondente ao decimal 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ = 1+2+4+8+16+32+64+128 = 256-1 = 255.

Mas se precisarmos dos inteiros negativos, poderíamos usar o primeiro bit para o sinal (1 indicando negativo) ou fazer o complemento binário ("invertendo" os bits). No primeiro caso, com os mesmos 8 bits, poderíamos ir desde -127 (-2⁶-2⁵-...-2¹-2⁰) até 127, mas perderíamos uma entrada (tanto 10000000, quanto 00000000 poderiam ser associadas ao 0). Essa associação, que não é utilizada na prática, está ilustrada na terceira coluna da tabela 2.

A outra opção, denominada complemento de dois, podemos variar de -128 até 127, como indicado na segunda coluna da tabela 2. Nessa representação para obter o negativo de um número deve-se aplicar dois passos:

1. Inverter os bits do número e depois somar um.
   Exemplo 1. Para o 127 cujo binário é 01111111: inverte 10000000 e soma-se um, resultando 10000001 (-127).
   Exemplo 2. Para o 126 cujo binário é 01111110: inverte 10000001 e soma-se um, resultando 10000010 (-126).
   Exemplo 3. Para o 1 cujo binário é 00000001: inverte 11111110 e soma-se um, resultando 11111111 (-1).

Assim, nessa representação existe um negativo a mais, no caso o -128, que é 10000000, pois ao somar 10000000 com 01111111 (que é o decimal 127) obtém-se 11111111 que é o decimal -1 (exemplo 3), ou seja, -128 + 127 = -1.

01111111

+

10000000

--------

11111111

Na tabela 2 apresentamos os binários entre 00000000 e 11111111, mostrando seu correspondente decimal usando a técnica de complemento de dois (coluna do meio) e a conversão usual para decimal (coluna da direita). Lembrando citação anterior, para converter um valor em base binária para base decimal basta considerar o valor posicional do bit (dígito) multiplicado por sua potência. Assim, o primeiro binário 00000000 é 0, pois computando seu valor pela fórmula para números com valor posicional, 00000000 corresponde ao zero multiplicado por todas suas potência, ou seja, 0 x 2^k para todo natural k. Por outro lado, o binário 00010011 é 19, pois corresponde à 1 x 2⁴ + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰ = 16 + 2 + 1 = 19.

Tab. 2. Exemplo de números binários e seu correspondente decimal usando complemento de dois e decimal usual

Número binário	decimal com sinal (complemento)	decimal sem sinal
00000000	0	0
00000001	1	1
00000010	2	2
00000011	3	3
00000100	4	4
00000101	5	5
...	...	...
01111110	126	126
01111111	127	127
10000000	-128	128
10000001	-127	129
10000010	-126	130
10000011	-125	131
...	...	...
11111101	-3	253
11111110	-2	254
11111111	-1	255

 

3. Inteiros com dois bytes (ou 16 bits)

Como citado anteriormente, um computador que tivesse apenas 8 bits (que equivale a um byte) permitiria a existência de apenas 256 caracteres distintos (incluindo dígitos, letras e caracteres especiais). Em lingua inglesa isso poderia ser suficiente, mas em Português (e outras), devido aos acentos, 256 possibilidades não é o suficiente. Assim, se for usado o dobro de bits, passando a usar 16 bits (ou dois bytes), o número de símbolos possíveis crescem muito: com 16 bits é possível representar 2¹⁶=65536 símbolos distintos, que restrito aos valores naturais possibilita desde o 0 até o 65535. Considerando inteiros negativos, usando a representação com complemento de dois, conseguimos representar desde o -32768 até o 32767.

Uma vez que o ASCII mostrou-se muito restritivo, surgiram vários outros padrões, como o ISO-8859-1 e o padrão atual dominante UTF-8 que permite codificar símbolos em qualquer das linguas correntes. Entretanto, tanto o ISO-8859-1 quanto o UTF-8 tem como códigos iniciais os mesmos 128 primeiros do ASCII (portanto, em ambos a letra 'A' continua com o código 65).

Leônidas de Oliveira Brandão
http://line.ime.usp.br

Alterações :
2024/03/13: algumas pequenas correções
2021/07/14: várias pqquenas correções
2021/05/23: numeração das seções, muitas correções (e frase novas);
2021/04/22: pequenos acertos, alterações visibilidade desse rodapé;
2020/08/15: novo formato, pequenas revisões