Dicas adicionais sobre o trabalho 3
Nesta página apresentamos algumas sugestões adicionais sobre como / o que
escrever no trabalho 3.
Em relação ao conteúdo de sequências e sérias, uma apresentação natural é começar
com sequências e depois séries.
Dentro do conceito de sequências, proponha atividades de modo a aparecerem os
conceitos de convergência e divergência (se a sequência não
converge, então dizemos que diverge).
Dentre aquelas que divergem, podem ser
discutidas questões como ilimitação (p.e., xn = n) e
oscilação. Já uma sequência convergente não pode ser ilimitada,
mas existem sequências convergentes que são oscilantes.
Na tabela abaixo, apresentamos dois exemplos de sequências oscilantes, um de
cada tipo.
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Divergente |
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xn = 1, |
quando n par e |
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xn = -1, |
quando n for ímpar, |
ou ainda, |
Convergente |
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xn = 1/n, |
quando n par e |
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xn = -1/n, |
quando n for ímpar. |
O conceito de convergência,
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limn->+oo xn = x <=>
qualquer que seja Epsilon>0, existe N para o qual
|xn - x| < Epsilon,
n>=N
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pode ser entendido como:
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qualquer que seja o tamanho de uma lupa (o raio da lupa faz o papel do
Epsilon>0),
se centrarmos a lupa no limite (x),
podemos encontrar um termo a partir do qual todo o resto da sequência fica
dentro da lupa.
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Já o conceito de ilimitação,
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{xn}n ilimitada <=>
qualquer que seja M>0, existe n para o qual,
|xn| > M
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pode ser assim entendido:
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uma sequência é ilimitada quando, qualquer que seja o tamanho de uma caixa dada,
centrada no zero, existem elementos da sequência fora da caixa.
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Uma série é qualquer soma de infinitos termos (de uma sequência). Os
conceitos de convergência/divergência e de limitação/ilimitação podem ser feitos
tomando as reduzidas da série, isto é, se a série for
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1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + (1/2)4 +...
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dizer que esta converge (para 1) é o mesmo que dizer que a sequência
(reduzida da série)
xn,
com xn = 1/2 + (1/2)2 + ... + (1/2)n,
converge para 1. Ou seja,
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limn->+oo xn = 1, para
xn = 1/2 + (1/2)2 + ... + (1/2)n
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