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MAC 110 - 2004 Prof. Leônidas

Construir a função a partir de operações básicas (soma)

Problema

O computador só "sabe" fazer operações baseadas em somas, deste para computar a função (ou outras como , ,...) é necessário aplicar alguma técnica matemática que permita reescrever a função na forma de um "polinômio equivalente".

Solução matemática

Uma solução seria aproximar a função por uma "parte" de uma série de Taylor. Entretanto isso gera um novo problema matemática:

as séries de Taylor funcionam bem, para vizinhanças de um ponto onde a função é conhecida, ou algo como:

Deste modo, fica claro a necessidade de algum "truque" matemática para conseguirmos calcular diferentes "log's". Uma vez que, a menos de uma divisão por constante, as funções logarítmicas são equivalentes, vamos escolher a segunda forma para trabalhar. A razão da equivalência é a conhecida identidade

.

Note que é uma constante, qualquer que seja o parâmetro .

Como computar , para ?


Lema. Qualquer que seja ,

,

sendo e . Além disso, .

Deste modo podemos computar utilizando a identidade .

Teorema. Qualquer que seja ,

,

sendo .

Portanto , e deste modo podemos utilizar a aproximação 2 para logaritmo neperiano. Ou seja, com este último teorema é possível obter uma boa aproximação para , qualquer que seja .

Implementação

  1. Construir uma função que determina para um dado , de acordo com o lema anterior (ou seja, dado encontrar um natural tal que ).
  2. Construir uma função que computa , para qualquer natural .
    A utilidade desta função é testar a função anterior (ela não necessariamente precisa ser usada no cálculo final).
  3. Construir uma função que computa uma aproximação de Taylor, com N termos, para , .
    (esta função deverá ter 2 parâmetros, o N e o x)
  4. O seu programa deve fazer duas coisas:
    1. Listar uma tabela na forma abaixo para verificar se sua função "log" coincide com a função "log" da biblioteca C. 
                  +--------+--------+---------+
            |    x   |log_2(x)| log(x)  |
            +--------+--------+---------+
            |      2 |  1.000 |   1.000 |
            |     15 |  3.841 |   3.907 |
            |     43 |  5.420 |   5.426 |
            |     99 |  6.608 |   6.629 |
            |    211 |  7.688 |   7.721 |
            |    857 |  9.707 |   9.743 |
            |   3441 | 11.712 |  11.749 |
            |  13777 | 13.713 |  13.750 |
            | 110229 | 16.713 |  16.750 |
            | 881845 | 19.713 |  19.750 |
            +--------+--------+---------+

      Para gerar esta tabela use o seguinte laço: 
      	    #include <math.h>      // esta linha vai no topo
       	                           // do arquivo
            // para compilar este arq., com a biblioteca matemática
	    // "math.h", no Linux, digite: gcc -lm -o nome.o nome.c
	    
	    #define LN2 log(2) // é interessante p/ só calcular uma vez
	    ...
            int i;                 // estas duas linhas vão
            float x = 2, pot = 1;  // no início da função "main"
	    ...
            printf("+--------+--------+---------+\n");
            printf("|    x   |log_2(x)| log(x)  |\n");
            printf("+--------+--------+---------+\n");
            for (i=0; i<10; i++) {
                printf("| %6.0f | %6.3f |  %6.3f |\n", x, f_logBase2(x,N), log(x)/LN2);
                x   = pot * x + 13;
                if (i%3==0) pot = pot*2;
                }
    2. Fazer um programa utilizando as funções acima para computar o logaritmo na base 2 para vários valores digitados pelo usuário ().
      O programa pára quando o usuário digitar algum valor menor que 1.

MAC 110 Prof. Leônidas

Compilado em: 27 de Outubro de 2004