Institui��o: DCC-IME-USP
T�tulo: Teoria e Projeto de Filtros Digitais
| Material: | Patches Pd |
Roteiro da aula sobre filtros:
- exemplos de filtro passa-baixa (y(n)=0.5*(x(n)+x(n-1)))
e passa-alta (y(n)=0.5*(x(n)-x(n-1)))
- transformada z: X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n}
- Se y(n)=a0*x(n)+a1*x(n-1)+...+aM*x(n-M)
ent�o Y(z) = (a0+a1*z^{-1}+...+aM*z^{-M})*X(z)
de onde H(z) = Y(z)/X(z) = a0+a1*z^{-1}+...+aM*z^{-M}
� a resposta em freq��ncia do filtro
- filtro com 2 zeros em R*e^{i*2*pi*f/SR} e R*e^{-i*2*pi*f/SR}:
(obs: a freq��ncia angular associada � freq��ncia f em Hz
� 2*pi*f/SR, onde SR � a taxa de amostragem)
H(z) = (1-R*e^{i*2*pi*f/SR}z^{-1})*(1-R*e^{-i*2*pi*f/RS}z^{-1})
= 1-2*R*cos(2*pi*f/SR)*z^{-1}+R^2*z^{-2}
y(n) = x(n)-2*R*cos(2*pi*f/SR)*x(n-1)+R^2*x(n-2)
(ver exemplo teste2Z.pd e subpatch filtro2Z.pd)
- Se y(n)=a0*x(n)+a1*x(n-1)+...+aM*x(n-M)-b1*y(n-1)-b2*y(n-2)-...-bNy(n-N)
ent�o (1+b1*z^{-1}+...+bM*z^{-M})Y(z) = (a0+a1*z^{-1}+...+aM*z^{-M})*X(z)
de onde H(z) = Y(z) = a0+a1*z^{-1}+...+aM*z^{-M}
---- --------------------------
X(z) 1+b1*z^{-1}+...+bM*z^{-M}
� a resposta em freq��ncia do filtro
- filtro com 2 p�los em R*e^{i*2*pi*f/SR} e R*e^{-i*2*pi*f/SR}:
H(z) = 1/((1-R*e^{i*2*pi*f/SR}z^{-1})*(1-R*e^{-i*2*pi*f/SR}z^{-1}))
= 1/(1-2*R*cos(2*pi*f/SR)*z^{-1}+R^2*z^{-2})
y(n) = x(n)+2*R*cos(2*pi*f/SR)*y(n-1)-R^2*y(n-2)
(ver exemplo teste2P.pd e external filtro2P~.c)
- filtros com v�rios p�los e zeros podem ser criados diretamente
a partir de H(z) (o que pode torn�-los computacionalmente mais
eficientes) ou simplesmente obtidos por composi��o de v�rios
filtros simples, em s�rie (respostas em freq��ncia multiplicadas)
ou em paralelo (respostas em freq��ncia somadas).
(ver exemplo teste2P8Z.pd)
- O m�todo de Karplus-Strong utilizado para simular sons de cordas
pin�adas parte do princ�pio da s�ntese subtrativa, filtrando
sucessivamente um fragmento at� o sil�ncio. Procura imitar as
seguintes caracter�sticas de cordas pin�adas:
(1) ataque ruidoso (o buffer � inicializado com amostras aleat�rias);
(2) defini��o tonal ap�s ataque (o buffer tem tamanho fixo associado
� freq��ncia do som desejado);
(3) abafamento sucessivo dos agudos (atrav�s do filtro passa-
baixa recirculante).
Esquematicamente:
buffer (tamanho M = SR/freq, inicializado com ru�do)
----------- ---------------------
|!@(*&%$+#| ---> | 0.5*(x(n)+x(n-1)) | ---> y(n)
----------- | --------------------- |
| |
| ---------- |
<---------| z^{-M} |<--------
----------
(ver exemplo testeKS.pd e external KarplusStrong~.c)
- O m�todo de s�ntese por formantes consiste em associar filtros
passa-banda em paralelo, cujos p�los s�o definidos por regi�es
de formantes. No caso da s�ntese de vogais, existem tabelas
para estes formantes (ver Moore, Elements of Computer Music,
pg. 392 tabela 3-10). Estes filtros podem ser aplicados sobre
sinais com espectros ricos, como ru�dos, tons "cheios" (onda
quadrada, triangular, dente-de-serra, etc.) ou m�sicas.
(ver exemplo testeFORM.pd)