Dado um número inteiro n > 0, determinar o número harmônico Hn dado por
Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + . . . + 1/n .
Imprima cada termo da sequência e o resultado final.
Você pode implementar da direita para a esquerda e da esquerda para direita. Qual dessas formas é estável?
Obs.: Este problema corresponde ao exercício 2 da lista de exercícios sobre reais.
#include <stdio.h>
int main()
{
int n, x;
float h_0aN, h_Na0;
printf("Digite o numero n: ");
scanf("%d", &n);
/* Calcula a soma dos menores termos para os maiores */
h_0aN = 0;
for (x=1; x<=n; x++){
h_0aN += (float) 1 / x; /* ou h_0aN += 1.0 / x; */
printf("Termo %d: 1 / %d = %.10f H(%d) = %.10f\n", x, x, 1.0/x, x, h_0aN);
}
/* Calcula a soma dos maiores termos para os menores */
h_Na0 = 0;
for (x=n; x>0; x--){
h_Na0 += (float) 1 / x; /* ou h_Na0 += 1.0 / x; */
printf("Termo %d: 1 / %d = %.10f H(%d) = %.10f\n", x, x, 1.0/x, x, h_Na0);
}
printf("De 0 a N temos: %.30f\nDe N a 0 temos: %.30f\n", h_0aN, h_Na0);
if (h_0aN == h_Na0)
printf("Esses valores sao iguais!\n");
else
printf("Esses valores NAO sao iguais!\n");
return 0;
}
Obs1.: Aos testar o programa para valores pequenos de n, os valores calculados para Hn "da esquerda para direita" e "da direita para esquerda" são equivalentes. Mas para valores de n maiores, os resultados calculados pelas duas estratégias se diferem.
Obs2.: A soma calculada dos menores termos para os maiores (H_Na0) é a solução mais estável, por envolver operações de soma entre números de valores mais próximos um do outro.
x > 0 e epsilon > 0, escreva uma função para calcular uma aproximação da raiz quadrada de x através da seguinte sequência:r0 = x e
rn+1 = 1/2 (rn + x/rn).
Exemplos:
Para x = 3, r0 = 3, r1 = 2, r2 = 1.75, r3 = 1.732143, r4 = 1.732051
Para x = 4, r0 = 4, r1 = 2.5, r2 = 2.05, r3 = 2.000610, r4 = 2.000000
Para x = 5, r0 = 5, r1 = 3, r2 = 2.33, r3 = 2.238095, r4 = 2.236068
Para x=0.81, r0=0.81, r1=0.905, r2=0.9000138122, r3=0.9000000001
A aproximação será o primeiro valor rn+1 tal que |rn+1-rn| < epsilon.
Você pode comparar o resultado com o sqrt do math.h .
#include <stdio.h>
#include <math.h> /* Biblioteca que contem funcoes matematicas */
float raiz_quadrada(float x, float epsilon);
int main()
{
float x, epsilon;
printf("Digite o valor de x: ");
scanf("%f", &x);
printf("Digite o valor de epsilon: ");
scanf("%f", &epsilon);
printf("A aproximacao para a raiz quadrada de %f eh: %f\n", x, raiz_quadrada(x,epsilon));
printf("A raiz quadrada de %f segundo a funcao sqrt da math.h eh: %f\n", x, sqrt(x));
return 0;
}
float raiz_quadrada(float x, float epsilon){
float r, r_ant, erro;
r = r_ant = x;
erro = epsilon;
while (erro >= epsilon) {
/* calcula o proximo elemento da sequencia */
r = (r_ant + x / r_ant) / 2;
/* calcula o erro relativo */
if (r_ant != 0) {
erro = (r - r_ant) / r_ant;
if (erro < 0)
erro *= -1;
}
else {
if (r == 0)
erro = 0;
else
erro = 1;
}
r_ant = r;
}
return r;
}
Dado um número real \(x\) e um número real \(epsilon > 0\), escreva uma função para calcular uma aproximação de \(e^x\) através da seguinte série infinita:
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots + \frac{x^k}{k!} + \ldots\]
Inclua na aproximação todos os termos até o primeiro de valor absoluto (módulo) menor do que \(epsilon\).
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define SOL2 0 /* Constante que deve valer 1 quando deseja-se usar a solucao 2; 0 em caso contrario */
float exponenciacao(float x, float eps);
int main(){
float x, eps;
printf("Digite x: ");
scanf("%f", &x);
printf("Digite epsilon: ");
scanf("%f", &eps);
printf("e^(%5.3f) = %7.4f", x, exponenciacao(x,eps));
return 0;
}
float exponenciacao(float x, float eps){
float termo, soma;
int k, fat;
termo = 1;
soma = 1;
k = 0;
if (SOL2){
/* Solucao 1 */
fat = 1;
while (termo >= eps || -termo >= eps) {
k+=1;
fat *= k;
termo = pow(x,k) / fat;
soma += termo;
}
}
else
/* Solucao 2 */
while (termo >= eps || -termo >= eps){
k += 1;
termo = x * termo / k;
soma += termo;
}
return soma;
}
Dados \(x\) real e \(n\) natural, escreva uma função para calcular uma aproximação para \(cos\ x\) através dos \(n\) primeiros termos da seguinte série:
\[cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots + (-1)^k \frac{x^2k}{2k!} + \ldots \]
Compare com os resultados de sua calculadora!
Obs.: Esse problema é o exercício 6 da lista de exercícios sobre reais.
#include <stdio.h>
float cosseno(float x, int n);
int main()
{
float x;
int n;
printf("Digite o valor de x: ");
scanf("%f", &x);
printf("Digite o valor de n: ");
scanf("%d", &n);
printf("O valor aproximado para o cos %f eh: %f", x, cosseno(x,n));
return 0;
}
float cosseno(float x, int n){
float cos, t;
int k;
cos = t = 1.0;
for (k = 1; k < n; k++) {
t = -1 * t * x*x / ((2*k - 1) * 2*k);
cos += t;
}
return cos;
}
float e double%f, %lffloat em int e vice-versa