Precificação de Contratos Derivativos

Em um contrato de opção de compra (venda) o contratante adquire do contratado o direito de comprar (vender) uma mercadoria do (ao) contratado por um preço de exercício pré-estabelecido, K. Note que o contratante adquire o direito de fazer uma compra (venda), sem ter a obrigação de faze-la (ao contrário de um simples contrato futuro de compra ou venda), daí o nome contrato de opção.

Existem duas modalidades básicas de contrato de opção: em um contrato de tipo americano o contratante tem o direito de exercer sua opção a qualquer instante t desde a assinatura do contrato até sua data de vencimento, . No contrato de tipo europeu a opção pode somente ser exercida na data de vencimento do contrato, . Um contrato opção de compra (venda) é tambem denominado um call (put). O preço pelo qual o contratante adquire o call (put) é o preço do contrato, C (P).

A mercadoria especificada no contrato é chamada ativo fundamental ou ativo objeto do contrato. O contratado recebe uma remuneração para absorver os riscos decorrente das variações de preço do ativo fundamental ou objeto, e é por isto denominado especulador. O contratante paga para se proteger contra os mesmos riscos, e é por isto denominado hedger. Contratos de opção são denominados ativos derivativos, pois os ganhos e perdas de ambas as partes resultam (derivam) da evolução do preço do ativo fundamental ou objeto.

O call ou put deve especificar a mercadoria em termos de quantidade, local de entrega (praça) e qualidade. Ambas as partes estabelecem um intermediador idôneo, por exemplo uma bolsa de mercadorias, para dirimir quaisquer duvidas. No exercício de uma opção teríamos então a entrega física da mercadoria na praça especificada com verificação, por parte da bolsa, da quantidade e qualidade.

A mercadoria especificada no contrato é muitas vezes uma mercadoria amplamente comercializada, não importando o fornecedor (uma commoditie), e cujo preço de mercado, S(t), é tambem divulgado pela bolsa. Nestas condições, é geralmente mais cômodo para ambas as partes substituir a entrega física por um acerto de contas resultante da diferença entre o preço de exercício e o preço de mercado da commoditie na data do exercício. Por exemplo, num call, o vendedor da opção (contratado ou especulador) simplesmente pagaria ao comprador da opção (contratante ou hedger) o resultado . No caso de uma put este resultado seria .

Para estudar os contratos de opções iremos modelar a evolução do preço S(t) por um processo estocástico discreto. No modelo de passeio aleatório trinomial assumimos que o preço pode evoluir, a cada instante, de três formas: , , , onde fu(t), fd(t), pu(t) e pd(t) são, respectivamente, os fatores de subida e descida do preço fundamental ou objeto entre os instantes t e t+1, e suas probabilidades.

Algumas simplificações do modelo trinomial são freqüentemente utilizadas: No modelo binomial temos . No modelo geométrico há uma simetria entre os fatores de subida e descida, . Esta hipótese de simetria, que é motivada por certas considerações econômicas e empíricas, em muito facilita a representação do espaço de estados. No modelo estacionário os fatores e suas probabilidades são constantes no tempo. Assim no modelo binomial geométrico temos apenas os parâmetros fu(t) e pu(t). Mesmo num modelo tão simples como o binomial geométrico podemos retratar um processo onde a taxa de retorno tem valor esperado e desvio padrão (tendência e volatilidade)

Opções exóticas têm condiões adicionais no contrato. Uma opção com barreiras tem limites inferior e/ou superior para o preço do ativo fundamental, bl e bu. Se, durante a vigência do contrato , o preço de mercado do ativo fundamental sair fora da faixa entre as barreiras, , o hedger perde o direito de opção, i.e. o resultado pago ao hedger é nulo.

Opções asiáticas têm o resultado computado em função do preço médio dos A últimos dias antes do exercício, .

Exercício 1: Escreva um programa para estimar os parâmetros do modelo trinomial (ou binomial, ou binomial geométrico) a partir de uma dada série histórica de preços.

Exercício 2: Escreva um programa para estimar preços futuros a partir de trajetórias aleatórias geradas de acordo com um modelo trinomial (ou binomial, ou binomial geométrico) com parâmetros dados. Dê sua melhor estimativa, e uma medida de erro para esta estimativa, como por exemplo seu desvio padrão. Considere o problema de quantas trajetórias gerar, de modo a ter um programa rápido e uma estimativa confiável.

Exercício 3: À semelhança do exercício 2, estime o resultado de uma opção de compra asiática com barreiras, a partir do preço presente do objeto, S(0), dos dados do contrato, T, K, A, BL, BU, e dos parâmetros do modelo trinomial, fu, pu, fd, pd.