Linhas de Pesquisa

Frank Michael Forger

Agosto de 2015

Física Matemática

Métodos e resultados exatos em mecânica e teoria dos campos, clássica e quântica, incluindo sistemas integráveis.

Linhas e projetos de pesquisa atuais:

1.     Tema geral: Teoria Geométrica dos Campos.

A meta geral é o desenvolvimento da teoria clássica dos campos - do formalismo geral assim como do tratamento de modelos específicos - de um ponto de vista geométrico, com ênfase em aspectos estruturais que são importantes para a quantização.

 

Projeto: Formalismo Hamiltoniano Covariante em Teoria Clássica de Campos.

O formalismo hamiltoniano usual da teoria de campos difere da formulação lagrangiana por quebrar a covariância manifesta (i.e., covariância de Lorentz no âmbito da relatividade restrita e covariância geral no âmbito da relatividade geral) porque pressupõe a escolha a priori de uma hipersuperfície de Cauchy para os dados iniciais. Existem atualmente duas abordagens para superar este defeito: o formalismo multissimplético ou polissimplético – um novo ramo da geometria diferencial que desempenha um papel análogo ao da geometria simplética na mecânica clássica e que na sua forma local remonta a trabalhos de DeDonder e Weyl nos anos 1930 – e o formalismo funcional, baseado no conceito do espaço de fase covariante, popularizado nos anos 1980 por Crnkovic e Witten, que é definido como o espaço das soluções das equações de movimento, ao invés do espaço correspondente de dados iniciais. Os melhores resultados são obtidos quando estas duas abordagens são combinadas.

Problemas resolvidos: definição geral de colchetes de Poisson covariantes, no âmbito multissimplético e polissimplético assim como no formalismo funcional (colchete de Peierls-DeWitt) [FM-P – 21,24,25,27, FM-S – 1]; definição geral de estruturas multissimpléticas e polissimpléticas, abrangendo os casos de interesse em física e ao mesmo tempo permitindo a demonstração de um teorema de Darboux [FM-P – 30]; classificação das conexões multissimpléticas e polissimpléticas e demonstração de um teorema de vizinhança tubular à la Weinstein neste contexto [FM-P – 31]; identificação e tratamento de uma classe importante de funcionais locais [FM-S – 1]; descrição de simetrias e formulação do teorema de Noether usando grupoides e algebroides de Lie [FM-S – 4].

Problemas atualmente sob investigação: descrição de simetrias em teorias de calibre, acoplamento mínimo e o teorema de Utiyama usando grupoides e algebroides de Lie [FM-S – 5], generalizando [FM-P – 29]; hiperbolicidade de sistemas de equações diferenciais parciais de primeira ordem, visando uma prova de existência de funções de Green (retardadas, avançadas e causais) para as equações linearizadas de DeDonder-Weyl [FM-S – 6]; tratamento de sistemas com vínculos e, em particular, de teorias de calibre.

Referências: trabalhos publicados em revistas científicas [FM-P – 21,24,25,27-31] e trabalhos submetidos ou em preparação [FM-S – 1,4-6].

 

Projeto: Novas Abordagens em Geometria Não-Comutativa

Da busca por uma generalização, do espaço-tempo plano (espaço de Minkowski) para espaços-tempos curvos com estrutura causal bem-definida (variedades lorentzianas globalmente hiperbólicas), da álgebra DFR, proposta em 1995 por Doplicher, Fredenhagen e Roberts como modelo de um “espaço-tempo quântico”, surgiu uma construção geral de uma álgebra C*, que parte de um fibrado vetorial de Poisson qualquer, sobre uma variedade qualquer, e reproduz em um caso muito especial a álgebra DFR: é a álgebra das seções contínuas que se anulam no infinito de um fibrado C*, sobre essa mesma variedade, cuja fibra em cada ponto é uma nova versão da “álgebra C* das relações canônicas de comutação”, construída a partir da fibra do fibrado vetorial de Poisson original no mesmo ponto usando técnicas da “quantização estrita por deformação” de Rieffel [FM-S – 2]. O método abre novos caminhos para a geometria não-comutativa, pois proporciona uma ampla classe de exemplos concretos para investigar as relações entre topologia não-comutativa, descrita por álgebras C* (as quais generalizam a álgebra comutativa das funções contínuas sobre um espaço topológico), e geometria não-comutativa, descrita por uma certa classe de *-álgebras de Fréchet (as quais generalizam a álgebra das funções suaves sobre uma variedade diferenciável): é de se esperar que esta abordagem possa contribuir para esclarecer uma das questões centrais da geometria não-comutativa, a saber, qual exatamente seria essa “certa classe”. Um problema parcial importante e já resolvido nessa direção é a questão qual é o arcabouço matemático adequado para uma teoria de variedades topológicas não-comutativas: conforme proposto em [FM-S – 3], estas devem ser descritas por feixes de álgebras localmente C* (as quais generalizam a álgebra comutativa das funções contínuas sobre um espaço topológico localmente compacto, mas não compacto). Assim, elimina-se a necessidade de considerar álgebras C* sem unidade (as quais generalizam a álgebra comutativa das funções contínuas sobre um espaço topológico localmente compacto, mas não compacto, que se anulam no bordo ou no infinito), e a estrutura algébrica torna-se compatível com os conceitos e métodos da teoria de feixes. Resta o problema de “regularidade local”, ou seja, a questão de como efetuar a passagem do mundo do contínuo para o mundo do diferenciável.

Referências: trabalhos submetidos ou em preparação [FM-S – 2,3].

 

2.     Tema geral: Sistemas Integráveis.

A meta geral é o desenvolvimento da teoria dos sistemas Hamiltonianos integráveis, na mecânica assim como na teoria bidimensional dos campos, no que diz respeito a propriedades estruturais gerais assim como ao estudo de modelos específicos.

 

Projeto: Novas Estruturas Algébricas em Sistemas Integráveis. (Atualmente interrompido)

O mais recente exemplo de uma nova estrutura algébrica encontrada no estudo de sistemas integráveis é o conceito de uma matriz R dinâmica. Ao contrário da noção de uma matriz R ordinária, ou matriz R numérica, introduzida por Yang e Baxter no final dos anos 1960 e no início dos anos 1970 e que se tornou central em toda uma nova área da matemática agora conhecida sob o nome (um tanto infeliz) de "grupos quânticos", o seu significado matemático exato ainda não está completamente claro. Encontrado pela primeira vez em meados dos anos 1980 na análise dos colchetes de Poisson entre as entradas da matriz de monodromia de modelos sigma não-lineares clássicos integráveis em duas dimensões do espaço-tempo, sua investigação foi obstruída por singularidades a curta distância, que são típicas para um problema da teoria dos campos tal como este. A situação é mais favorável na mecânica, onde tais singularidades não aparecem. Portanto, iniciamos uma investigação sistemática de matrizes R dinâmicas para os modelos de Calogero - os sistemas integráveis mais tradicionais da mecânica onde esta nova estrutura surge.

Referências: trabalhos publicados em revistas científicas [FM-P – 16,21,22] e trabalho publicado em atas de congressos [FM-C – 6].

Biomatemática

Simetria e quebra de simetria – conceitos modernos da física e da matemática que permitem entender aspectos da evolução de certos sistemas biológicos.

Linhas e projetos de pesquisa atuais:

Projeto: Quebra de Simetria e a Evolução do Código Genético. (Atualmente interrompido)

Segundo uma hipótese de Hornos e Hornos publicada em 1993, o código genético que dirige a síntese de proteinas em praticamente todas as formas de vida no nosso planeta pode ter evoluído através de um processo acompanhado e guiado pelo fenómeno de quebra de simetria, em vários passos consecutivos. A meta principal deste projeto é classificar as possíveis simetrias e os possíveis esquemas de quebra de simetria que levam à distribuição de multipletos observada no código padrão - um problema puramente algébrico que já foi resolvido quase por completo. O que falta ainda, mas constituiria um passo mais ambicioso, aparentemente ainda fora de alcance, é a formulação de um modelo dinâmico, baseado na teoria dos sistemas dinâmicos equivariantes (sistemas dinâmicos com simetria), pois é bem conhecido que bifurcações equivariantes (bifurcações na presença de simetrias) genericamente levam a quebras de simetria.

Referências: trabalhos publicados em revistas científicas [BM-P – 1-10] e trabalho em preparação [BM-S – 2].

           

Projeto: Sistemas de Processos Estocásticos Acoplados com Simetria e Expressão Gênica.

Surpreendentemente, um modelo matemático extremamente simplificado para descrever o regulamento da expressão gênica, que consiste de dois processos estocásticos adequadamente acoplados, exibe uma simetria oculta envolvendo a álgebra de Lie so(2,1), a qual permite algumas previsões exatas sobre o comportamento do sistema. Surge assim a questão se é possível chegar a conclusões semelhantes para sistemas mais complexos e, do ponto de vista biológico, mais realísticos.

Referências: trabalhos publicados em revistas científicas [BM-P – 9,11] e trabalho submetido [BM-S – 1].