xxMAT 461 Tpicos de Matemtica II Mtodos Matemticos em Finanas

MAT 461 Txpicos de Matemxtica II Mxtodos Matemxticos em Finanxas

Edson de Faria

Departamento de Matemxtica, IME-USP Telefone: 3091-6150, E-mail: edson@ime.usp.br

Segundo Semestre, 2013

1 Apresentaxxo Este curso baseia-se numa disciplina com contexdo bastante semelhante que criei e ministrei quando de minha passagem como professor visitante no Brooklyn College da City University of New York em 2004.

2 Objetivos O principal objetivo desta disciplina x oferecer ao aluno de graduaxxo uma introduxxo x matemxtica bxsica da moderna teoria das finanxas, com xnfase especialmente em modelos de precificaxxo de ativos de risco (opxxes, derivativos, contratos futuros). Os mxtodos de teoria de probabilidades e otimizaxxo a serem utilizados serxo apresentados paralelamente, x medida em que se fizerem necessxrios para a devida compreensxo do material.

3 Prx-requisitos Os xnicos prx-requisitos formais para este curso sxo bons cursos de Cxlculo Diferencial e xlgebra Linear. Uma exposixxo prxvia por parte do aluno ao material de um curso bxsico de Probabilidade seria desejxvel, mas todas as noxxes probabilxsticas necessxrias serxo apresentadas durante o curso.

4 Contexdo Eis aqui a lista dos txpicos que serxo abordados durante o curso. Os txpicos assinalados com asterisco sxo considerados opcionais. A referxncia que mais se aproxima de um livro-texto para este curso x [R1].

Revisxo de conceitos bxsicos de probabilidade

Probabilidade; probabilidade condicional.

Varixveis aleatxrias discretas e contxnuas: esperanxa, varixncia, distribuixxes.

Covarixncia, correlaxxes.

Varixveis aleatxrias normais.

Lei dos grandes nxmeros, teorema central do limite (enunciados).

Rudimentos de movimento Browniano e movimento Browniano geomxtrico.

Ativos livres de risco Juros compostos; taxas de juros. Fluxo de caixa. Anxlise de valor presente.

Ativos de risco Axxes; opxxes; contratos futuros. Opxxes de compra (calls); opxxes de venda (puts). Opxxes europxias; opxxes americanas.

Precificaxxo de contratos via arbitragem Exemplos de precificaxxo de opxxes via arbitragem. Alguns conceitos bxsicos de programaxxo linear. Teorema da arbitragem. Modelo binomial multiperxodo.

Modelo de Black-Scholes (discreto e contxnuo) Fxrmula de Black-Scholes para calls. Paridade calls/puts.

Arbitragem via delta hedging.

Propriedades da funxxo-custo de Black-Scholes.

Selexxo de portfxlios

Opxxes exxticas

Referxncias

[Lu] xxxDavid Luenberger, Investment Science, Oxford University Press, 1998.

[Re] xxxRobert Reitano, Introduction to Quantitative Finance: a Math Toolkit, The MIT Press, Massachusetts, 2010.

[R1] xxxSheldon Ross, An elementary introduction to Mathematical Finance, 2nd edition, Cambridge University Press, 2003.

[R2] xxxSheldon Ross, A first course in probability, 8^{th} edition, Prentice-Hall, 2010.