MAT 5758 – Sistemas Dinmicos I

MAT 5758 – Sistemas Din�micos I

Edson de Faria
Departamento de Matem�tica, IME-USP
Telefone: 3091-6150, E-mail: edson@ime.usp.br

8 de Mar�o de 2015

Livro-texto: Este curso seguir� predominantemente o livro de M. Brin e G. Stuck [1] citado na bibliografia abaixo.

Objetivos: Introduzir os conceitos b�sicos da teoria moderna dos Sistemas Din�micos, exibindo algumas de suas aplica��es a outras �reas.

Pr�-requisitos: Alguma familiaridade com conceitos b�sicos de An�lise, Topologia Geral e �lgebra � desej�vel.

Conte�do: Os t�picos a serem abordados s�o os seguintes.

Conceitos b�sicos e exemplos.
- Defini��o de SD; �rbitas, conjuntos invariantes, conjuga��es.
- Exemplos
  - Rota��es
  - Endomorfismos expansores de S¹
  - Automorfismos hiperb�licos do toro T²
  - Shifts e subshifts de tipo finito
  - Transforma��o de Gauss (fra��es cont�nuas)
  - Ferradura de Smale
  - Solen�ide
  - Fluxos (EDOs)
- Classifica��o de SDs
- Atratores
Princ�pios de Din�mica Topol�gica
- Conjuntos limites, recorr�ncia
- Mixing topol�gico, transitividade
- Expansividade
- Entropia topol�gica; exemplos
- Teorema da recorr�ncia m�ltipla de Birkhoff
- Aplica��o: o teorema de van der Waerden
Din�mica Simb�lica
- Shifts, subshifts, c�digos
- Subshifts de tipo finito (SSTFs)
- Teorema de Perron-Frobenius
- Entropia topol�gica de SSTFs
- Classifica��o de SSTFs: equival�ncia e equival�ncia forte
Rudimentos de Teoria Erg�dica
- Recorr�ncia, ergodicidade, mixing
- Teoremas erg�dicos de von Neumann e Birkhoff
- Exemplos
- Entropia m�trica, mixing fraco e aplica��es
Din�mica Hiperb�lica
- Hiperbolicidade; conjuntos hiperb�licos
- Cones invariantes
- Estabilidade de conjuntos hiperb�licos
- Pontos(�rbitas) heterocl�nicos(as) e homocl�nicos(as)
- Difeomorfismos de Anosov/Axioma A
- Teorema da variedade est�vel
- Estabilidade estrutural dos difeos Axioma A
- Parti��es de Markov
Sistemas Din�micos Unidimensionais
- Endomorfismos do intervalo
- Homeomorfismos e difeomorfismos do c�rculo
- Teorema de Denjoy
- Derivada de Schwarz; teorema de Singer
- Endomorfismos do c�rculo

Bibliografia: Segue abaixo a lista das principais obras para consulta ou refer�ncia durante o curso. Como j� dissemos, o livro-texto � [1]. Outras obras igualmente recomendadas s�o [2], [3], [7].

Refer�ncias

[1] Brin, M., & Stuck, G., Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, 2002.

[2] Devaney, R., An introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2^nd edition, Westview Press, 2003.

[3] Hasselblatt, B., & Katok, A., A first course in Dynamics – with a panorama of recent developments, Cambridge University Press, 2003.

[4] Katok, A., & Hasselblatt, B., Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Encyclopedia of Mathematics and its Applications bf 54, Cambridge University Press, 1995.

[5] Palis, J., & de Melo, W., Introdu��o aos Sistemas Din�micos, Projeto Euclides, IMPA, 1978.

[6] Pollicott, M. & Yuri, M., Dynamical Systems and Ergodic Theory, London Mathematical Society Student Texts 40, Cambridge University Press, 1998.

[7] Sternberg, S., Dynamical Systems, Dover Publications, 2010.