MAT 5758 – Sistemas Dinmicos I

MAT 5758 – Sistemas Dinâmicos I

Edson de Faria
Departamento de Matemática, IME-USP
Telefone: 3091-6150, E-mail: edson@ime.usp.br

8 de Março de 2015

Livro-texto: Este curso seguirá predominantemente o livro de M. Brin e G. Stuck [1] citado na bibliografia abaixo.

Objetivos: Introduzir os conceitos básicos da teoria moderna dos Sistemas Dinâmicos, exibindo algumas de suas aplicações a outras áreas.

Pré-requisitos: Alguma familiaridade com conceitos básicos de Análise, Topologia Geral e Álgebra é desejável.

Conteúdo: Os tópicos a serem abordados são os seguintes.

Conceitos básicos e exemplos.
- Definição de SD; órbitas, conjuntos invariantes, conjugações.
- Exemplos
  - Rotações
  - Endomorfismos expansores de S¹
  - Automorfismos hiperbólicos do toro T²
  - Shifts e subshifts de tipo finito
  - Transformação de Gauss (frações contínuas)
  - Ferradura de Smale
  - Solenóide
  - Fluxos (EDOs)
- Classificação de SDs
- Atratores
Princípios de Dinâmica Topológica
- Conjuntos limites, recorrência
- Mixing topológico, transitividade
- Expansividade
- Entropia topológica; exemplos
- Teorema da recorrência múltipla de Birkhoff
- Aplicação: o teorema de van der Waerden
Dinâmica Simbólica
- Shifts, subshifts, códigos
- Subshifts de tipo finito (SSTFs)
- Teorema de Perron-Frobenius
- Entropia topológica de SSTFs
- Classificação de SSTFs: equivalência e equivalência forte
Rudimentos de Teoria Ergódica
- Recorrência, ergodicidade, mixing
- Teoremas ergódicos de von Neumann e Birkhoff
- Exemplos
- Entropia métrica, mixing fraco e aplicações
Dinâmica Hiperbólica
- Hiperbolicidade; conjuntos hiperbólicos
- Cones invariantes
- Estabilidade de conjuntos hiperbólicos
- Pontos(órbitas) heteroclínicos(as) e homoclínicos(as)
- Difeomorfismos de Anosov/Axioma A
- Teorema da variedade estável
- Estabilidade estrutural dos difeos Axioma A
- Partições de Markov
Sistemas Dinâmicos Unidimensionais
- Endomorfismos do intervalo
- Homeomorfismos e difeomorfismos do círculo
- Teorema de Denjoy
- Derivada de Schwarz; teorema de Singer
- Endomorfismos do círculo

Bibliografia: Segue abaixo a lista das principais obras para consulta ou referência durante o curso. Como já dissemos, o livro-texto é [1]. Outras obras igualmente recomendadas são [2], [3], [7].

Referências

[1] Brin, M., & Stuck, G., Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, 2002.

[2] Devaney, R., An introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2^nd edition, Westview Press, 2003.

[3] Hasselblatt, B., & Katok, A., A first course in Dynamics – with a panorama of recent developments, Cambridge University Press, 2003.

[4] Katok, A., & Hasselblatt, B., Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Encyclopedia of Mathematics and its Applications bf 54, Cambridge University Press, 1995.

[5] Palis, J., & de Melo, W., Introdução aos Sistemas Dinâmicos, Projeto Euclides, IMPA, 1978.

[6] Pollicott, M. & Yuri, M., Dynamical Systems and Ergodic Theory, London Mathematical Society Student Texts 40, Cambridge University Press, 1998.

[7] Sternberg, S., Dynamical Systems, Dover Publications, 2010.