Descrição: Neste curso iremos estudar o conceito de variedade diferenciável, uma das várias noções de “espaço” que existem em matemática. De maneira informal, variedade diferenciáveis são espaços topológicos localmente euclidianos onde é possível calcular derivadas de funções. Estes espaços aparecem de forma natural em Física (espaços de configuracões de uma partícula) e seu estudo faz parte de uma das grandes áreas da Matemática, a Topologia. Estudaremos variedades diferenciáveis desde o ponto de vista topológico e geométrico, oferecendo ferramentas para o estudo de diversos problemas que aparecem em outras áreas, tais como: Geometria Diferencial, Sistemas Dinâmicos, Física Teórica, Física Matemática, Teoria de Representações, Geometria Simplética, entre outros.

Aulas: Segunda e Quarta das 14:00 às 15:40 na sala B02 do IME.

Monitoria: O monitor desta disciplina é o estudante Fernando Studzinski.

Avaliação: 1 prova escrita + um projeto de fim de curso. O projeto deve ser escolhido pelo aluno e aprovado pelo professor. Trata-se de um trabalho escrito (formato survey) onde o estudante apresente um assunto de interesse pessoal realacionado com o curso. O projeto deverá ser apresentado como seminário. O tema do projeto deve ser decidido até dia 30 de novembro.

Programa: Os tópicos que cobriremos incluem:

- Variedades diferenciáveis: Definição, exemplos. Fibrados vetoriais: Fibrado tangente e campos de vetores. Equações diferenciais em variedades.

- Funções diferenciáveis; valores regulares, imersões e submersões; subvariedades e variedades quociente; fibrado normal e vizinhanças tubulares.

- Partições da unidade; Teorema de Sard, Teorema de Whitney, estabilidade de funções suaves.

- Transversalidade; número de interseção, grau de uma função diferenciável; Teorema de Poincaré Hopf; Teorema de transversalidade de Thom

-  Tópicos adicionais

Bibliografia: Alguns livros recomendados são

- J. Milnor, “Topology from a differential viewpoint”

- V. Guillemin, A. Pollack, “Differential topology”

- A. Mukherjee, “Differential topology”

- J. Lee, “Introduction to smooth manifolds”

- M. Hirsch, “Differential topology”

Listas:

Lista 1 (Conceitos básicos de variedades, difeomorfismos, imersões e submersões)

“Having constructed the notion of a manifoldness of n dimensions, and found that its true character consists in the property that the determination of position in it may be reduced to n determinations of magnitude, ...”

– Bernhard Riemann