Observação: Esta é a primeira parte de um curso introdutório a Geometria Simplética, porém trata-se de um curso avançado de mestrado. O público alvo é formado por alunos de pós-graduação em Matemática e Física. É altamente recomendável o conhecimento dos conceitos básicos de Geometria Diferencial (variedades diferenciáveis, campos de vetores, colchete de Lie de campos).

Descrição: Neste curso, estudamos a geometria de espaços de fase da mecânica clássica com simetrias. Matematicamente, isto corresponde a estudar uma variedade simplética munida de uma ação simplética, isto é, uma ação de um grupo de Lie que preserva a estrutura simplética. De forma concreta, estamos interessados em ações simpléticas que possuem uma aplicação momento. Este é o contexto apropriado para construirmos quocientes simpléticos. Ao longo do semestre veremos vários exemplos de variedades obtidas como quocientes simpléticos. Na parte final do curso estudaremos um conceito que aparece de forma natural no estudo de simetrias em geometria simplética: a noção de variedade Poisson. Os tópicos estudados neste curso têm interseção com várias áreas da Matemática e Física, incluindo: Geometria Complexa, Geometria Algébrica, Análise, Teoria de Lie, Física Teórica, Sistemas Integráveis, Teoria de Representações, Geometria Não-comutativa, etc.

Aulas: Quintas das 13:30 às 15:00 e Sextas das 18:00 às 19:30, na sala PC07.

Avaliação: Apresentação de seminários.

Ementa: Os tópicos a serem estudados são descritos abaixo:

Parte 1 (Estruturas Simpléticas)

1. 1. Espaços vetoriais simpléticos e Equações de Hamilton
   

2. 2. Variedades simpléticas e simplectomorfismos
   

3. 3. Exemplos de variedades simpléticas: Fibrados cotangentes, superfícies, órbitas coadjuntas, espaço projetivo complexo
   

4. 4. Subvariedades Lagrangianas, Exemplos
   

Parte 2 (Simetrias)

1. 1. Revisão de grupos de Lie e álgebras de Lie: ações de um grupo de Lie, geradores infinitesimais, ação adjunta, ação coadjunta
   

2. 2. Ações simpléticas
   

3. 3. Ações Hamiltonianas e Aplicações momento
   

4. 4. Redução de Marsden-Weinstein
   

5. 5. Exemplos de quocientes simpléticos
   

6. 6. Teorema de Kostant (Órbitas coadjuntas como espaços homogêneos simpléticos)
   

Parte 3 (Estruturas Poisson)

1. 1. Bivetores e derivações
   

2. 2. Variedades Poisson
   

3. 3. Estrutura Poisson no dual de uma álgebra de Lie
   

4. 4. Morfismos Poisson
   

5. 5. Aplicações momento como morfismos Poisson
   

Observação: As atividades deste curso começam dia 13 de março.

Referências: Existem várias referências sobre os temas estudados no curso. Recomendamos as seguintes:

1. 1. Cannas da Silva, A., Lectures on symplectic geometry, Lectures Notes in Mathematics, Springer Verlag.
   

2. 2. Marsden, J., Ratiu, T., Introduction to mechanics and symmetries, Texts in Applied Mathematics Vol.17, Springer Verlag.