Topologia e Geometria de Fibrados
Descrição: Neste curso estudaremos fibrados ou fibrações localmente triviais desde os pontos de vista topológico e geométrico. Exemplos importantes de fibrados incluem: fibrados vetoriais, fibrados principais e espaços de recobrimento. Grosso modo, um fibrado sobre uma variedade B consiste numa família de “objetos” parametrizada por pontos de B e que satisfaz uma propriedade de trivialização local. O estudo de fibrados tem grande importância em Topologia e Geometria, pois fibrados sobre uma variedade B codificam propriedades topológicas e geométricas de B, e.g. métricas Riemannianas e estruturas complexas são definidas no fibrado tangente TB; toda fibração determina uma sequência exata que envolve os grupos de homotopia de B; K-Teoria oferece uma maneira de classificar fibrados vetoriais sobre B e fornece invariantes homotópicos de B; em Física as equações de Yang-Mills são definidas no espaço de conexões de um fibrado principal sobre uma superfície de Riemann; geometrias generalizadas (Dirac, complexas generalizadas, Kalher,...) são definidas no fibrado vetorial soma direta TB+T*B.
Os pré-requisitos do curso consistem em: conhecimento de variedades diferenciáveis e formas diferenciais.
Aulas: Segundas e Quartas 13:30-15:00 no Anfiteatro A.
Horário de atendimento: Quartas às 18:00 na minha sala.
Avaliação: Listas de exercício, 1 prova oral a ser marcada no fim do semestre e um projeto final sobre um assunto relacionado com o curso. O projeto deve ser escrito e apresentado como seminário no final do semestre. A data limite para a escolha do tema do projeto é primeira semana de novembro.
Algumas sugestões para projeto final, encontram-se no arquivo projetos.
Projetos Finais: Os projetos desenvolvidos pelos estudantes são os seguintes:
- Dion Ross, “Algebroides de Lie e conexões”
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-Fernando Studzinski: “Conexões planas e variedades de representação”
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-Izael do Nascimento: “Sequências espectrais e aplicações”
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-William Neves de Oliveira: “Pré-quantização geométrica”
Programa: Após uma breve revisão de variedades diferenciáveis, o curso será dividido em três partes:
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1)Fibrados: Fibrações localmente triviais, exemplos; Fibrados vetoriais; Fibrados principais; Cociclos; Operações entre fibrados (produtos, pull-back, etc); Conexões e curvatura.
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2)Topologia de Fibrados: Invariânça homotópica; Espaços classificantes; Classes características.
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3)Geometria de Fibrados: Conexões lineares e conexões principais; Conexões de curvatura zero; Grupo de calibre; Homomorfismo de Chern-Weil.
Bibliografia: Alguns livros que cobrem os assuntos do curso são:
- S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, V1, V2.
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-J. Milnor, J. Stasheff, Characteristic Classes.
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-S. Morita, Geometry of Differential Forms.
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-C. Taubes, Differential Geometry: Bundles, connections, metrics and curvature.
Listas: