Descrição: Este curso tem como objetivo introduzir o conceito de grupo. Uma das principais motivações para o estudo do conceito de grupo, é dada pelo fato que a Teoria de Grupos fornece um ambiente matematicamente rigoroso para entender simetrias. A disciplina está dividida em duas partes. A primeira parte, consiste num curso clássico de Teoria de Grupos, cobrindo assuntos tais como: morfismos de grupos, grupos quocientes, grupos de permutações, grupos de simetrias e o Teorema de Sylow. A segunda parte consiste numa introdução à Teoria de Galois, isto é, aplicar o conhecimento adquirido na primeira parte ao estudo de simetrias de polinômios. De forma específica, estudaremos a noção de Grupo de Galois de uma extensão de corpos e mostraremos a correspondência de Galois entre subcorpos de uma extensão e subgrupos do correspondente grupo de Galois, estabelecendo uma ponte entre problemas da Teoria de Corpos e Teoria de Grupos. Este curso oferece o vocabulário básico para entender outros assuntos da Matemática, incluindo: Topologia Algébrica (grupo fundamental, grupos de (co)-homologia), Teoria de Números (números algébricos), Teoria de Representações (simetrias de espaços vetoriais, conexões com Física Quântica), Grupos de Lie (aspectos geométricos da teoria de grupos), entre outros.

Aulas: Terças e Quintas 13:30-15:30 nas salas PD01 e PG11, respectivamente.

Observação: Na terça-feira 07 de maio, a aula será ministrada pelo monitor Cristian Schmidt.

IMPORTANTE: A partir do 26 de junho, as aulas serão ministradas pelo Prof. Marcelo Muniz.

Monitoria: O monitor da disciplina será o aluno de mestrado Cristian Schmidt. O horário da monitoria será informado em breve.

Atendimento a alunos: Além do horário de monitoria, podem me procurar na minha sala toda sexta-feira às 17:30.

Avaliação: Três provas, cujas datas são as seguintes:

Prova 1: 16 de maio (quinta-feira)

Prova 2: 25 de junho (terça-feira)

Prova 3: 30 de julho (terça-feira)

Exame Final: 06 de agosto (terça-feira)

A nota final será a média aritmética das notas das provas. Não haverá prova substitutiva.

Obs: A segunda chamada deve ser requerida pelo aluno no Departamento de Matemática.

Ementa: Estudaremos os seguintes tópicos:

Parte 1: Teoria de Grupos

1. -Definição de grupo e exemplos
   

2. -Morfismos de grupos
   

3. -Subgrupos, subgrupos normais e quociente de grupos
   

4. -Grupos ciclicos
   

5. -Grupos simétrico e alternante
   

6. -Grupos abelianos
   

7. -Ações de grupo
   

8. -Teoremas de Sylow
   

9. -Grupos solúveis e nilpotentes
   

Parte 2: Teoria de Galois

1. -Revisão de extensões de corpos
   

2. -Extensões algébricas
   

3. -Grupo de Galois de um polinômio
   

4. -Separabilidade e Normalidade
   

5. -Correspondência de Galois
   

Bibliografia: Recomendamos as seguintes referências:

1. 1. A. Garcia e Y. Lecquain, Elementos de álgebra, Projeto Euclides, IMPA.
   

2. 2. S. Lang, Algebra, Springer Verlag
   

3. 3. T. Hungerford, Algebra, Springer Verlag
   

4. 4. M. Armstrong, Groups and Symmetry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag
   

Listas: As listas de exercício tem um objetivo simples: entender os conceitos teóricos através de exemplos concretos, i.e. exercícios. As listas não serão parte da avaliação, mas é altamente recomendável resolver TODOS os exercícios de TODAS as listas.

1. • Lista 1  (Lista sobre grupos, morfismos e subgrupos)
   

2. • Lista 2 (Lista sobre grupos cíclicos e subgrupos normais)
   

3. • Lista 3 (Lista sobre grupos produto, Teorema de Cauchy e ações de grupo)
   

4. • Lista 4 (Exercicios de Sylow propostos em aula)
   

5. • Lista 5: Teoria de Galois; Resolver os exercicios propostos em aula, além das listas da turma do Prof. Marcelo Muniz.
   

Simetrias!