Descricão: Assim como a Álgebra Linear estuda espaços vetoriais de dimensão finita e transformações lineares entre espaços vetoriais, a Análise Funcional é uma disciplina que estuda espaços vetoriais de dimensão infinita (e.g. espaços de funções) e operadores lineares entre estes espaços (e.g. transformada de Fourier). Diferentemente da situação em dimensão finita, o estudo de espaços vetoriais de dimensão infinita passa por um bom entendimento da topologia destes espaços. Começaremos a disciplina com um estudo geral de espaços métricos e posteriormente estudaremos espaços vetoriais (geralmente de dimensão infinita) cuja métrica é induzida por uma norma (espaços normados), espaços de Banach (espaços normados cujas sequências de Cauchy convergem) e espaços de Banach cuja norma vem de um produto interno (espaços de Hilbert). Esta disciplina consiste numa introdução à Análise Funcional e o pré-requisito básico consiste num bom domínio de Análise real em várias variáveis (CM112). A análise funcional interage fortemente com outras disciplinas, incluindo: Equações Diferenciais Ordinárias, Equações Diferenciais Parciais,  Sistemas Dinâmicos, Geometria Diferencial, Teoria de Representações, Probabilidade, Mecânica Quântica, entre outras.

Aulas: Segundas e Quartas 13:30-15:30 na sala PC04

Observação: No período compreendido entre 05-09 de novembro, haverá aula especial com a monitora da disciplina. O mesmo se aplica ao período compreendido entre 26 de novembro e 01 de dezembro.

Monitoria: Sexta-feira das 15:30 às 17:00 com a aluna de mestrado Lilian Cordeiro Brambila. E-mail para contato brambilalilian@gmail.com

Avaliação: Três provas cujas datas são as seguintes:

Prova 1: 21 de dezembro de 2012 (sexta-feira)

Prova 2:  8 de fevereiro de 2013 (sexta-feira)

Prova 3: 15 de março de 2013 (sexta-feira)

Prova final: 22 de março de 2013

Não haverá prova substitutiva.

Ementa: Alguns assuntos que estudaremos nesta disciplina incluem:

1. • Espaços métricos: Definição e exemplos principais.
   

2. • Espaços de sequências
   

3. • Espaços normados: Espaços de Banach e Espaços de Hilbert
   

4. • Teorema de Representação de Riesz
   

5. • Teorema de Hahn-Banach
   

6. • Tópicos adicionais
   

Referências: Existem várias referências que cobrem os tópicos a serem estudados nesta disciplina. Recomendamos as seguintes:

1. • Kolmogorov-Fomin: “Introductory real analysis”
   

2. • Kreyszig: “Introductory functional analysis with applications”
   

3. • Reed-Simon: “Methods of Mathematical Physics, Vol1: Functional Analysis”
   

Listas: Alguns exercícios para resolver encontram-se abaixo. Após terminar os exercícios abaixo, procure outros livros sobre o assunto e faça os exercícios propostos nesses livros.

1. • Lista 1: Resolver todos os exercícios do capítulo 2 do Kolmogorov-Fomin
   

2. • Lista 2: Problemas 1, 2, 3 e 4 da seção “Compactness in Metric Spaces” do Kolmogorov-Fomin